O generalizare a identitatii Botez - CatalanIoana OLAN 1

În 1872, N. St. Botez publica o lucrare originala în care apare identitatea1

n+ 1+

1

n+ 2+ · · ·+ 1

2n+ 1= 1− 1

2

µ1

1 · 3 +1

2 · 5 + · · ·+1

n (2n+ 1)

¶, n ∈ N∗,

care, daca tinem seama de formula de descompunere1

2k (2k + 1)=1

2k− 1

2k + 1, k ∈ N∗,

se aduce la forma1

n+ 1+

1

n+ 2+ · · ·+ 1

2n= 1− 1

2+1

3− 14+ · · ·+ 1

2n− 1 −1

2n, n ∈ N∗, (1)

numita identitatea Botez - Catalan. Ne propunem sa-i dam o generalizare.Amintim o demonstratie a formulei (1), generalizarea obtinându-se în acelasi fel:

1− 12+1

3− 14+ · · ·+ 1

2n− 1 −1

2n=

µ1− 1

2

¶+

µ1

3− 14

¶+ · · ·+

µ1

2n− 1 −1

2n

¶=

=

µ1 +

1

2− 2 · 1

2

¶+

µ1

3+1

4− 2 · 1

4

¶+ · · ·+

µ1

2n− 1 +1

2n− 2 · 1

2n

¶=

= 1 +1

2+1

3+1

4+ · · ·+ 1

2n− 1 +1

2n− 2

µ1

2+1

4+ · · ·+ 1

2n

¶=

= 1 +1

2+1

3+ · · ·+ 1

2n−1 +1

2n−µ1 +

1

2+ · · ·+ 1

n

¶=

1

n+1+

1

n+2+ · · ·+ 1

2n.

Propozitie. Pentru n ∈ N∗ si m ∈ N, are loc egalitatea1− 2

m − 12m

+1

3m− 2

m − 14m

+· · ·+ 1

(2n− 1)m−2m − 1(2n)

m =1

(n+ 1)m+· · ·+ 1

(2n)m . (2)

(Pentru m = 1 se obtine identitatea (1).)Demonstratie. Într-adevar, avem:

1− 2m − 12m

+1

3m− 2

m − 14m

+ · · ·+ 1

(2n− 1)m −2m−1

(2n)m =

=

µ1+

1

2m−2m 1

2m

¶+

µ1

3m+1

4m−2m 1

4m

¶+ · · ·+

µ1

(2n− 1)m+1

(2n)m−2m 1

(2n)m

¶=

= 1 +1

2m+1

3m+1

4m+ · · ·+ 1

(2n− 1)m +1

(2n)m− 2m

µ1

2m+1

4m+ · · ·+ 1

(2n)m

¶=

= 1 +1

2m+1

3m+ · · ·+ 1

(2n− 1)m +1

(2n)m −

µ1 +

1

2m+ · · ·+ 1

nm

¶=

=1

(n+ 1)m+

1

(n+ 2)m+ · · ·+ 1

(2n)m, q.e.d.

Cazuri particulare. Pentru m = 2 si m = n, formula (2) devine:

1− 3

22+1

32− 3

42+ · · ·+ 1

(2n−1)2 −3

(2n)2=

1

(n+1)2+

1

(n+2)2+ · · ·+ 1

(2n)2,

1− 2n−12n

+1

3n− 2

n−14n

+ · · ·+ 1

(2n−1)n−2n−1(2n)

n =1

(n+1)n+

1

(n+2)n+ · · ·+ 1

(2n)n .

1 Eleva, cl. a VIII-a, Colegiul National "C. Negruzzi", Iasi

25