CALCULUL DEPLASARILOR LA SOLICITARI COMPUSE-METODE

ENERGETICE.FORMULA MOHR-MAXWELL

a) b) Δdx=du= dxEAN

dx x

y

0 1

0

z

M z T y

M t

N

N N

c) dv=k dxGAT d) df= dx

EIM

mt

f) fig.1 e) dϕt= dxGIMt

p

-incarcari reale Fi-eforturi, deformatii; fig 1a,b,c,d,e, -incarcari virtuale FI=1, fig.1f, L ; ij

efijext L=

L ij =LM al fortelor virtuale Fi care parcurg deplasarile reale produse de Fj; ext

L ij =LM al eforturilor din forta virtuala Fi care parcurg deplasari reale. ef

1Δij=∫ndu+∫tdv+∫mdϕ+∫mtdϕ;

Δij= ∫ ∫ ∫∫ +++p

t GIMtmdx

EIMmdx

GATtkdx

EANn dx; Mohr-Maxwell (2)

dx Δ dx

0 0 1M

ϕd

T

T dx

γ m dv

0 1

0

Mt

y

n

m z

z 0 1

0

t y

dx x

Regula Veresceaghin EI=cst; M(x)-forma oarecare; m(x)-liniara

Δij= ∫ ;dxEIMm

M Mdx

l

m y G

m

x G

x

G

α

M

fig.2

∫mMdx=∫xtgαdA=tgα∫xdA=tgαxGA=yYA; m=xtgα; dA=Mdx; xGtgα=yG;

∫mMdx=ΣyGA; (3) Etape de calcul: -diagrame de eforturi din sarcini reale; -diagrame de eforturi din incarcare virtuala unitara asezata in punctul si dupa directia deplasarii cautate :sageata 1F = rotire 1M = ; -se efectueaza integralele pe intrega structura(cand Δij (+)deplasarea are loc in sensul sarcinii virtuale);

-la bare cu h/l<41 se neglijeaza T;

- la grinzi cu zabrele Δij= ∫ ∑=bare EA

nNdxEANn ;

-la stucturi se poate calcula numai cu influenta incovoierii; -la bare solicitate de N si M se poate neglija influenta lui N;

Aplicatie Sa se calculeze deplasarea pe verticala si orizontala si rotirea punctului 1 bara semicirculara EI=constant. M=-FRsin ; ds=Rd ; m=-Rsin ; m=-R(1-cos );

m=-1;

EIv= 32

0

232

0 4sin FRdFRmMds ∫∫ ==

πππθθ ; EIh= ∫

π

=θθ−θ2

0

33

2FRd)cos1(sinFR ;

∫π

=θθ=ϕ2

0

22 FRdsinFREI ; v=EI4

FR3π ; h=EI2

FR3

; EI

FR2

=ϕ ;

0

F

Θ

R

0

1

0

R

1

Θ

0

1

2 2

1

R

Θ

2 2

F

COMPRESIUNEA CENTRICA A BARELOR ZVELTE FLAMBAJ ELASTIC-BIFURCAREA ECHILIBRULUI

F

fig.1 fig.2 fig.3 FORTA CRITICA DE FLAMBAJ . FORMULA LUI EULER Bara dublu articulata-ideala

Mz(x)=Fcr v(x) (1) ec. diferentiala fibra medie deformata z

z2

2

EI)x(M

dx)x(vd

−= (2)

)x(vEIzFcr

dx)x(vd

2

2−= ; 0)x(v

EIzFcr

dx)x(vd

2

2=+

0)x(vkdx

)x(vd 22

2=+ (3) ec. diferentiala gr II coeficienti constanti

k2=EIzFcr (4) solutia generala v(x)=C1sinkx+C2coskx (5)

la x=0 v(x)=0 C2=0 ⇒ x=l v(x)=0 ⇒C1sinkl=0 C1≠ 0 sinkl=0 kl=⇒ πππ n,...,2,

k=lπ ; k2=

EIzFcr

l22=

π ; Fcr=2

2

lEIzπ (6) Fcr=

2f

2

)l(EIzπ (7)

Alte cazuri de rezemare-lungimi de flambaj,forte critice

y

x

Δ p

(1) (2)

v(x)

LA

STABIL(S)

INDIFERENT(I)

BIL(L)

Δp(1) (2)

Δp (2)(1)

(1)(2)

Δp

l

L

I

F

S

F cr

0 v(x)

x

lf=l 0,7l 2l 0,5l

Fcr=2

2

lEIπ ;

2

2

lEI2π ;

2

2

l4EIπ ;

2lEI4π

fig.4 LIMITE DE APLICARE ALE FORMULEI LUI EULER

Fig.5 (10)-tensiunea critica de flambaj λ−=σ bacrp

2

2

fcr Al

EIA

Fcr πσ == = 2

2

2

min

f

2

f

22 E

il

El

minEiλπ

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

π=

π (8) domeniul plastic

-coeficientul de zveltete:min

f

il

=λ (9);ex:OL37 λp=100-105.

l f

F cr F cr

l f

F cr

l f

F cr

l f

dreapta Tetmajer-Iasinski

Hiperbola Euler

D

C

P

B

σ cr

σ c

σ p

0 λ c λ p

Compresiune pura

Flambaj elastic

λ

( λ 1 ) (λ 0) Flambaj plastic

DEFORMATIILE BARELOR DREPTE ÎNCOVOIATE 1.DEFORMATII SI DEPLASARI. – translaţie (săgetă) pe axa Oy v ϕ – rotaţie în jurul axei neutre

dxdv

=ϕ (1) + în sens orar pentru sistemul

de axe din figura 1. fig.1 . Observatie : deplasările oricărui punct al barei sunt complet definite de ecuaţia a axei deformate care se mai numeşte curbă sau linie elastică dacă se determină în stadiu elastic.

)(xv

2. ECUATIA DIFERENTIALA A AXEI DEFORMATE .

Din studiul formulei Navier => EIzMz

=ρ1 (2) pentru zonă M = const si secţiune constantă ( = const )

=>

EIz

ρ = const => axa deformantă arc de cerc. În caz general cu M ≠ const => )(xϕ variabilă şi ecuaţia axei deformante, ţinând cont de expresia curburii din geometrie diferenţială este:

EIzxMz

dxxvd

dxxvd

x)(

)(1

)(

)(1

23

2

2

2

2

2

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

±=ρ

(3) ± depinde de orientarea axelor de coordonate

)()( xtgdx

xdv ϕ= valori mici faţă de 1 => în (3)

EIzxMz

dxxvd )()(

2

2

−= (4)

M>0 centrul de curbura in sens negativ axei 0y⇒- in 3

ρ1 <0; 02

2

<dx

vd .

y

0

x

y

M>0

0

0

x

y

x

p

p

v

p 1 ϕ

1

3.METODE DE INTEGRARE A ECUATIEI DIFERENTIALE A AXEI DEFORMATE 3.1 INTEGRAREA ANALITICA A ECUATIEI DIFERENTIALE (METODA DIRECTA)

Pentru bare cu const : - rotirea =EIz ∫ +−= 1)(1)( cdxxMzEIz

xϕ (5)

- săgeata [ ]∫ ++−= 21)(1)( cxcdxdxxMzEIz

xv (6)

Constantele din condiţii de: 21 ,cca) rezemare v=0 ϕ ; v=0 ϕ 00≠ ≠ ; v=0 ϕ=0 b) continuitatea fibrei deformate în punctele care separă intervalele cu zone de variaţie diferită a momentului încovoietor

;)( FxxMz −= ;)(2

2

Fxdx

xvdEIz = F

2

;2

)( 1

2

cFxxEI +=ϕ

;6

)( 21

3

cxcFxxEIv ++=

lx = 0=Av =0 ;26 2

33

cFlFl+− 3

2 Flc =

0=Aϕ ;2

0 1

3

cFl+=

2

2

1Flc −=

fig.2

;22

)(22 FlFxxEI −=ϕ 0=x

EIFl2

2

max −=ϕ

;26

)( 323

FlxFlFxxEIv +−= EI

Flv3

3

max =

Observatie: Semnul „minus” rezultă din scrierea momentului încovoietor de la dreapta.

l

xBA

y M(x)

-

vmax

x

ϕmax

EXPRESIA GENERALA A ENERGIEI DE DEFORMATIE -tensiuni normale

dL=21σxdxdydzεx=dU=

21σxεxdV; dV=1; U1= 2

1σxεx ; (1)

dV

U1= 21 (σxεx+σyεx+σzεz) ; (2)

-tensiuni tangentiale

U1= 21 (σxεx+σyεy+σzεz+τyzγyz+τzxγzx+τxyγxy) ; (3)

εx,εy,εz si γ din legea lui Hooke⇒

U1= ( ) ( ) ( )2zx

2yz

2xyxzzyyx

2z

2y

2x G2

1EE2

1τ+τ+τ+σσ+σσ+σσ

μ−σ+σ+σ ; (4)

-starea plana

U1= ( ) 2xyyx

2y

2x G2

1EE2

1τ+σσ

μ−σ+σ ; (5)

-intindere monoaxiala

U1= Ex

2

2σ ; (6)

-forfecare pura

U1= G2

2xyτ

; (7)

-cub cu laturi unitare,muchii paralele cu directii principale⇒ din(4):

U1= ( ) ( 13322123

22

21 EE2

1σσ+σσ+σσ

μ−σ+σ+σ ); (8)

Efectele energiei: -variatia de volum-daca cubul e solicitat pe toate fetele de aceiasi tensiune normala, deci pe toate fetele se aplica tensiunea medie:

σm=31 (σ1+σ2+σ3) care da deformatia volumica εv

U1v= 2mm

mvm

E)21(3

E)21(3

22σ

μ−=σ

μ−σ=

εσ ; (9)

Sau U1v= ( 2321E6

21σ+σ+σ

μ− ) ; (10)

-variatia formei⇒scazand din energia totala cea de volum

( )U1f=U1-U1v= ( ) ( )232113322123

22

21 E6

21EE2

1σ+σ+σ

μ − μ ; −σ+σ+σ −σσ+σσ+σσ

U1f= ( )[ 213

232

221 )()(

E61

σ−σ+σ−σ+σ−σμ+ ]; (11)

INCOVOIERE CU FORTA AXIALA

Definirea solicitarii

Fig.1

N=F ; z 0 =N

My; y =0 N

Mz (1)

z

y

G

NM y

x

Mz

Încovoiere oblicã cu forţã axialã Fig.2 N=F; Mz = Ny 0

(1 ' ) Încovoiere dreaptã cu forţã axialã Studiul tensiunilor

zI

My

IM

AN

y

y

z

zMyx

Mzx

Nx ++=++= σσσσ

(2)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=++= 2

02

000 1yz i

zziyy

ANz

IyNz

yIz

NyANσ

(3) axa neutrã: 01 2

020 =++ z

iz

yiy

yz

(4)

AIi z

z =2 AI

i yy =2

tãieturile axei neutre:

y =-n0

2

yiz ;

z

y

x

G P 0

z0

y0

F

z

y

x

G

P 0 y0

F

z

y

G

N

x

Mz

17

z =-n0

2

ziy ;

(5)

zI

M

y

yMyx =σ

σ Mz

ANN

x =σ yIzMzMz

x =σ

Fig.3

SAMBURE CENTRAL Dreptunghi

yos=-n

2z

yi

; zos=-n

2y

zi

;

z

y

G

N

x

M z

y

x

x

z σ My

σ

-

a.n.

σ N

M y

z n

y n.1

3

P0.y0

.z0

+

σ 1

3σ

.y

z dA

x

y

z

A B

CD

P2

P3

P4

P1

G

n2

n2

n1n2

y

zos2

yos3

yos1

b/3

h h/3

b

18

ibh12

bhAIz 3

2z == =

12h2

;

i12b

bh12hb

AI 23y2

y === ;

n1-n1

2hy;z

11 n0n −== ;

;6h

2h

12h

y

2

os1=

−−= ( )1punctulP0z

1os =

n2-n2

zn2=-2b ; yn2=0;

yos2=0; z0s2=-6b

2b

12b2

=−

(punctulP2) etc

Cerc n1-n1

yn1=-2d

; zn1=0; n

16

4

642

2

4

2 dd

d

AIziz ===

π

π

n 1 1

;8

2

16

2

2

01

1

dd

d

yiy

n

zs =

−−=−=

G

z P 1

y

fig.5 010 =sz .

COMPRESIUNE EXCENTRICA-ZONA ACTIVA

−aA suprafaţã activã

=ah lungimea zonei active

max21 σbhR a=

19

RN ≡

bh

NbhNa

a2

21

max ⇒= σ = maxσ

N si R pe acelasi suport h =3c ⇒ a

c= 02yh

−

cbN

32

max =σ

20

fig.6

z

y b

N

0

0

axa zero

c

h a

h

σ max

R

N

y 0

y 0s

INCOVOIEREA OBLICA

Definirea problemei

-linia fortelor inclinata cu unghiul α fata de axa minima de inertie y. Mz=M cosα My=M sinα (1)

linia fortelor

fig.1 Cazuri de incarcare:

-incarcarea cuprinsa in planul sectiunii; linia fortelor nu coincide cu nici una din axele de inertie (fig.2a). Rezulta M care se descompune comform relatiilor (1).

-incarcarile sunt aplicate de la inceput in doua plane perpendiculare (fig.2b). Rezulta Mz si My. fig2a fig.2b

y

z

α

G M z

M y M

x

p x

l

α lfz

y

z

x

y

FF

HH

a l-2a

a

14

Studiul tensiunilor normale Sectiunea din fig. 3 este incarcata de momentele Mz si My intr-un punct oarecare si se suprapun tensiunile normale ale celor doua incovoieri drepte.

fig.3

zI

My

IM

y

y

z

zMyx

Mzxx +=+= σσσ (2)

axa neutra: 0=+ zI

My

IM

y

y

z

z (3)

inclinarea axei neutre: y

z

y

z

z

y

II

tgII

MM

zytg αβ ===

(4) Observatie:

-directia axei neutre nu coincide cu directia vectorului moment decat la sectiunea cu Iz=Iy

. -σmax rezulta pentru punctul cel mai departat de axa neutra. Caz particular: Sectiunea dreptunghiulara sau inscriptibila intr-un dreptunghi. Tensiunile extreme rezulta in varfurile sectiunii din analiza semnelor momentelor incovoietoare pe sectiune (fig.4).

dA

σ x1

σ

M y

z

y

a.n.

y

M z G z

x

β

M

3

1 σ x3

σ x

z GMz

zy

dA

y

x

σMz

σMzx

zG

z y dA

M y y

x

σ MyMyxσ

15

16

=+=+==

11

111max

zI

M

yI

MzI

My

IM

y

y

z

z

y

y

z

zxσσ

3min xy

y

z

z

WM

WM

σσ ==+ ; (5)

y

y

z

zx W

MWM

+−=2σ ; (6) z

y

G

Calcul practic: Verificare: σmax≤R (7) Dimensionare:

Pentru sectiuni dreptunghiulare bh

WW

y

z = , pentru profile I si U laminate 10...7=y

zW

W

dim1 zz

y

y

zznec W

MM

WW

RMzW =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ; (8)

-se alege raportul si se calculeaza cu relatia (8); yz WW / -se stabileste sectiunea cu dimzznec WW = si se calculeaza Wz si WY pentru sectiunea adoptata. -se verifica relatia (7) si daca nu verifica se redimensioneaza, rezulta incercari.

+- -

++

+

+

+ + + +

- - ------ -

- -

- - - - - +

+

+- y3

y1

z 3 3 2

1

h M z

My

bz 1

LEGEA LUI HOOKE GENERALIZATA-MATERIAL ELASTIC,IZOTROP

E

zz

σε ='

xσ

E

xx

σε =' E

yy

σε ='

fig.1

dupa axa x se imprima lungirea ε`x= ⇒σE

x contractii: dupa y:-με`x

z:-με`x etc.

εx=ε’x-με`y-με`z= E1 [σx-μ(σy+σz)]

εy=ε’y-με`z-με`x= E1 [σy-μ(σz+σx)] Legea lui Hooke generalizata (1)

εx=ε’z-με`x-με`y= E1 [σz-μ(σx+σy)]

γ=Gτ ; G=

)1(2Eμ+

; (2)

γxy= xyxy

E)1(2

Gτ

μ+=

τ

γyz= yzyz

E)1(2

Gτ

μ+=

τ Legea lui Hooke generalizata (2’)

γzx= zxzx

E)1(2

Gτ

μ+=

σ

Legea lui Hooke pentru deformatie de volum rezulta din (1)

εx+εy+εz= (E21 μ−

σ1+σ2+σ3) sau εv= )(E21

zyx σ+σ+σμ− ; (3)

x

0

x

z

−με

y

−με x −με y

x

0

z

y 0

x

z

y −με y

σ

−

σ z

− με z με z

Daca x,y,z sunt directii principale:

εv= )(E21

321 σ+σ+σμ− ; m

321

3σ=

σ+σ+σ ; tensiune medie.

εv= mE)21(3

σ=μ− ; (4)

Starea plana de tensiuni σz=τxz=τyz=0⇒εz≠0⇒starii plane de tensiuni ii corespunde o

stare de deformatii spatiala

εx= E1 (σx-μσy);

εy= E1 (σy-μσx);

εz= - ( yxEσ+σ

μ ); (5)

γxy= xyE)1(2τ

μ+ ;

Se rezolva primele 2 ecuatii din (5) in raport cu σx,σy, si rezulta expresiile tensiunilor in

functie de deformatiile specifice:

σx= 21Eμ−

(εx+μεy); (6)

σy= 21Eμ−

(εy+μεx);

METODA PARAMETRILOR INITIALI Când momentul încovoietor are mai multe ecuaţii în lungul barei, se utilizează metoda

parametrilor iniţiali cu 2 constante de integrare: valorile săgetii şi pantei din origine (iniţiale).

0

F p

fig.1

m

y

a

b

c

d

x x

X

M01=0

M1-2= - m(x-a)0

M2-3= - m(x-a)0-F(x-b)

M3-4= - m(x-a)0-F(x-b)-p(x-c)2⁄2 (1)

M4-5= -m(x-a)0-F(x-b)-p(x-c)2⁄2+p(x-d)2⁄2;

Observatii: -cuplul concentrat “m”s-a inmultit cu (x-a)0=1 , deci aceasi valoare pentru “m”.

-după secţiunea 4 “p” se termină dar se consideră ca se continua pana la capatul

barei aplicand doua sarcini egale si de sens contrar.

-pe fiecare interval ,ec.de momente este cea de pe intervalul precedent plus un nou

termen (relatia de recurenta.)

Se integreza Eiv’’ = -M stiind ca ∫(x-a) =(x-a); ∫(x-a)dx=(x-b)2/2 etc. dx0

EI ϕ01=C1

EIϕ12=C2+m(x-a)

EIϕ23=C3+m(x-a) +F(x-b)2/2 (2)

3

EIϕ34=C4+m(x-a)+ F(x-b)2/2+p(x-c)3/6

EIϕ45=C5+m(x-a) +F(x-b)2/2+p(x-c)3/6-p(x-d)3/6

EIv01=C1x+D1

EIv12=C2x+D2+m(x-a)2/2

EIv23=C3x+D3+m(x-a)2/2+F(x-b)3/6 (3)

EIv34= +D4+m(x-a)2/2+F(x-b)3/6+p(x-c)4/24 xC14

EIv45= +D5+m(x-a)2/2+F(x-b)3/6+p(x-c)4/24-p(x-d)4/24 xC15

Din setul (2) C1=EIϕ0.Se aplica din setul (2) prima si a doua ecuatie pentru x=a

(sectiunea 1) si rezulta C1=C2=C3=C4=C5 idem în setul (3) de ecuatii si rezulta D1=EIv0

,D1=D2=D3=D4=D5.

Ecuatiile deformatiilor devin :

EIϕ=EIϕ0⏐01+m(x-a)⏐12+F(x-b)2/2⏐23+p(x-c)3/6⏐34-p(x-d)3/6⏐45 ; (4)

EIv=EIv0+EIϕ0x⏐01+m(x-a)2/2⏐12+F(x-b)3/6⏐23+p(x-c)4/24⏐34-p(x-d)4/24⏐45 ; (5)

Observatii:

-semnul ⏐23 arata ca ecuatia deformatiei pe intervalul 2-3 este data de toti

termenii aflati in stanga acestui semn .

-termenii care dau moment incovoietor negativ sunt cu (+) in ecuatiile (4) si (5) .

4

METODA GRINZILOR CONJUGATE

Se utilizeaza relatiile diferentiale intre sageata moment incovoietor ,forta taietoare si

intensitatea sarcinii distribuite .

grinda reala

grinda fictiva

fig.1

F

M(x)=p (x)

Fl

T M

x

l

X

y

Se cere : ϕ1, v1

EIz ( )xMdx

vd−=2

2

sau ( ) ( )xMdx

vEId z −=2

2

(1)

Relatii diferentiale

( ) ( ) ( )xpdx

xdTdx

xMdn−=−=2

2

(2)

Pe grinda fictiva incarcata cu diagrama (M) a grinzii reale astfel ca M(x)=pnf(x) relatiile

diferentiale (2) se scriu :

( )xpdxdT

dxMd

ff

2f

2

−== (3)

5

Egalând (1) cu (3) rezulta relatia diferentiala a fibrei medii deformate a grinzii reale in

functie de incarcarea grinzii fictive.

( )2

f2

2z

2

dxMd

dxvEId

= ; (4)

care integrata de 2 ori si punand conditia de anulare a constantelor de integrare.

EIz ff T

dxdM

dxdv

== sau ϕ=z

f

EIT (5)

EIzv=Mf sau v=z

f

EIM

Anularea constantelor de integrare este posibila daca grinda reala si grinda conjugata

indeplinesc conditiile relatiei (5) adica :

-grinda reala punct cu ϕ=0 grinda fictiva Tf=0

-grinda reala punct cu v=0 grinda fictiva Mf=0

-grinda reala punct cu ϕ≠0 ,v≠0 grinda fictiva Tf≠0 ,Mf≠0

Grinda reala ϕ1 v1

Incastrare 0 0 1

Capt liber 1 ∫ ≠0 ≠0

Reazem simplu ≠0 ≠0 1

1 articulatie

Reazem simplu ≠0 0 1

Intermediar

Articulatie ≠0 0 1

Intermediara

6

Grinda fictiva Tf1 Mf1 0 0 Capat liber

1

≠0 ≠0 1 Incastrare

≠0 =0 Reazem simplu ,articulatie

1 1

≠0 0 Articulatie intermediara 1

≠0 ≠0 Reazem simplu intermediar 1

Incarcarea produsa pe grinda fictiva de diagrama (M) a grindei reale este :

-pozitiva in sensul axei Oy cand momentul (M) este pozitiv

-negativa in sensul axei Oy cand momentul (M)este negativ

Pentru grinda din figura :

V1f=T1f= 2Fll ϕ1=

z

2

z

f1

EI2Fl

EIT

=

M1f= l32

2Fll

v1=z

3

z

f1

EI3Fl

EIM

=

7

Deformatiile grinzilor de egala rezistenta—Aplicatie

Se considera o grinda incastrata la un capat si libera la celalat incarcata cu o forta cocentrata .In sectiune , grinda este un dreptunghi de inaltime constanta h, si latime variabila liniar,. grinda modeland astfel forma teoretica a arcului in foi (fig 1). Se determina rotirea si sageata maxima.

Se aplica ecuatia diferentiala a fibrei medii deformate:

EIz( ) ( )Fx

dxxvd

2

2

−−=

Se exprima momentul de inertie variabil in functie de cel din incastrare:

Iz= 12bh3

Iz(x)=12hb 3

x

EIz(x) ( ) Fxdx

xvdII

2

2

z

z =

( )lx

bb

12bh12hb

IxI x

3

3x

z

z === EIz ( )xlFx

dxxvd

2

2

=

Ecuatia diferentiala se integreaza de doua ori:

EIz( )

zEIdx

xdv= ϕ(x)=Flx+C1

EIzv(x)=Fl 21

2

CxC2x

++

Se determina constantele de integrare :

La x=l ϕ1=0=Fl2+C1 deci C1=-Fl2

La x=l v1=0= 23

3

CFl2

Fl+− deci C2= 2

Fl3

8

x

F

fig.1

Expresiile functiilor de deformatie devin:

EIzϕ(x)=Flx-Fl2

EIzv(x)=2lFxFl

2xFl

32

2

+−

In capatul liber, pentru x=0 rezulta:

ϕ2=-z

2

EIFl ; v2=

z

3

EI2Fl

Se compara cu rezultatele obtinute pentru grinda cu sectiune constata ϕ2=-z

2

EI2Fl ; v2=

z

3

EI3Fl si

se constata o marire apreciabila a deformatiilor grinzii de egala rezistenta,ceea ce justifica folosirea arcurilor in foi ca elemente de preluare si amortizare a solocitarilor dinamice:

-rotirea maxima se dubleaza; -sageata maxima creste cu 50%.

La aceasta grinda de egala rezistenta fibra medie deformata va fi un cerc (nu o parabola).

2 1

- M

M(x)=-Fx

z

x

l

y b

h

y

Fl

bx

9

Aplicarea principiului suprapunerii eforturilor la calculul deformatiilor barelor incovoiate.

Ca si in cazul trasarii diagramelor de eforturi , se poate aplica principiul suprapunerii

efectelor si la calculul deformatiilor indiferent de metoda de calcul utilizata.

Daca se considera grinda simplu rezemata din figura 1 cu o sarcina distribuita si una

concentrata si se doreste calculul deplasarii liniare in punctul 1de exemlpu cu metoda

grinzilor conjugate , calculul se conduce separat pentru fiecare incarcare in parte iar

valoarea finala a sagetii rezulta prin insumare algebrica .Rigiditatea barei este constanta.

Din forta concentrata v1= EI192Fl5 3

;

Din incarcare distribiuta v1= EI96pl4

;

Sageata finala din punctul 1 devine v1= EI96pl

EI192Fl5 43

+ ;

Grinda reala

4Fl

fig.1

F

2 1 3

M

F

a)

b)

c)

p

pl 2/8

ll/4

10

Grinzile conjugate

1 2 3

Fl/4

b')

Fl/4

V f2=Fl 2/12

V f3

Fl 2/8

Fl 2/32

1)

1 2 3c')

Pl 2/8

V f32pl 3/24

v f2

V f2=pl 3/24

l l/4

l/4 l

fig. 6

Aplicatie Grinda simplu rezemata cu consola rigiditate constanta

1 2 3

fig. 3

M Fl/4

F

V 2 V 1 l/4 l

11

Se dtermina f3,ϕ2.

Reactiunile grinzii:

V1=0,25F= F41 ; V2=1,25F= F

45 ;

1)Metoda parametrilor initiali:

EIϕ=EIϕ1+( )

23

2

212

2

1 2lxV

2xV −

− ;

EIv=EIv1+EIϕ1x+V123

3

212

3

6)(

6lxVx −

− ;

Se aplica ecuatia sagetii in reazemul 2 x=l , v2=0

0=EIϕ1l+ 6lF

41 3

; ϕ1=-FEI24

l2 ;cu care ecuatiile deformatiilor devin :

EIϕ=-F +24l2 ( )

23

2

12

2

2lxF

45

2xF

41 −

− ; EIv=- ( )23

3

12

32

6lxF

45

6xF

41

24lF −

−+ ;

Pentru x=l EIϕ2=-12824

222 FlFlxFl=+ ;

x=1,25l EIϕ3= 96Fl11 2

; ϕ3= EI96Fl11 2

;

x=1,25l EIv3= 192Fl5 3

; v3= EIFl

1925 3

;

12

2)Metoda grinzii conjugate :

1 2 3

M fFl/4

V 1f FL 2/8 V 2f

V 2f

FL 2/32

l l/4

fig.4

ϕ2= EIT 2f ; v3= EI

M 3f : Tf2=Vf2= 12Fl2 :ϕ2= EI12

Fl2 ;

Mf3=

192Fl5

4l

32

32Fl

4l

12Fl 322

=+ ; v3= EI192Fl5 3

;

13

STAREA PLANA DE TENSIUNI

VARIATIA TENSIUNILOR IN JURUL UNUI PUNCT.TENSIUNI PRINCIPALE a) b) fig.2 Suprafete OA=Acosα; OB=Asinα; AB=A Ecuatii de proiectie dupa directiile σα,τα: σαA-σxAcos2α-σyAsin2α-2τxyAsinαcosα=0; ταA+σxAsinαcosα-σyAsinαcosα-τxyAcos2α+τyxAsin2α=0; Se simplifica cu A si se tine cont de:

sin2α= ⇒=+

=− αααααα 2sincossin2;

22cos1cos;

22cos1 2 (3)

σα=σxcos2α+σysin2α+τxysin2α= ατ+ασ−σ

+σ+σ

2sin2cos22 xy

yxyx ;

τα=- ατ+ασ−σ

2cos2sin2 xy

yx ; (4)

Directiile pe care σ este max.,min.-directii principale

αα τ==ατ+α

σ−σ−=

αασ 02cos22sin

22

)2(d xyyx ; (5)

⇒ pe directiile principale tens. tangentiala sunt nule.

tg2α=yx

xy2σ−σ

τ; ⇒ (6)

y

τ yx

σ x

z

τ xy

σ y

x x

y

0 B

A n

dy

dx

σ xτ xy

σ y

τ yx

αα

τ α

σ α

1 0

cu sin2α=( ) 2

xy2

yx

xy

4

2

τ+σ−σ

τ± si cos2α=

( ) xyyx

yx

22 4τσσ

σσ

+−

−

din relatia (6)⇒ σ1,2= ( ) 2xy

2yx

yx 421

2τ+σ−σ±

σ+σ; (7)

tensiuni normale principale Se determine maxima sau minima tensiunii τα:

02sin2cos2)2(d

dxy

yx =ατ−ασ−σ

−=ατα ;

cu solutia tg2α`=-α

−=τ

σ−σ

2tg1

2 xy

yx ; (6`)⇒directiile 2α si 2α` sunt perpendiculare, deci

tensiunile tangentiale sunt maxime la 450 fata de directiile principale.

Cu (6`) in (4)⇒τ1,2= 2

21 σ−σ± ; (8)

Planul tensiunilor principale ( se decaleaza din punctul dat, pe directie normalei si se indroduc tensiunile din acele plane).

0

2

σ 1 1

τ 1 σ 2

45° 135°

τ 2 σ α2 σ α1

fig.3 -in fatetele principale tens.tg.≡0 -in fatetele de taiere maxime tens. normale ≠0⇒din(4) cu σx=σ1, σy=σ2, τxy=0,α=450

σα1=σα2= 221 σ+σ ; (9)

-cand σ1=-σ2 ⇒σα1=σα2=0⇒taiere pura ⇒ τ1=τmax=σ1.

REPREZENTAREA GRAFICA A VARIATIEI TENSIUNILOR CERCUL LUI MOHR

Se considera fig.2b cu axele x,y principale (τxy=0,σ1,σ2) si se determina σα,τα din (4). fig.4

d y

y

A n

d x σ x = σ 1

τ yx 0

τ xy

B σ y = σ 2

x

(1)

(2)

σ α

τ α

σα= ασ−σ

+σ+σ 2cos

222121 ; τα= α

σ−σ− 2sin

221 ; (10)

Se elimina unghiul 2α din (10)⇒

2212

221

22⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ σ−σ=τ+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ σ+σ−σ αα cercul lui Mohr pentru starea plana de tensiuni.

Cercul lui Mohr:

-centrul cercului OD=2

21 σ+σ ;

-raza cercului R=2

21 σ−σ ;

-tensiunile pe fateta inclinata cu unghiul α OC=σx , CB=τxy;

fig.5

Obs:-se poate rezolva si problema inversa:

-se cunosc σx,σy,τxy pe doua directii perpendiculare;

-se construieste cercul cu OC=σx,O`C=σy,CB=τxy,C`B`=-τxy si ⇒dreapta BB` prin

τ

0

E

B

B'

D C

C' τ xy τ max σ

A

A'

- τ xy

σ 2 σ y

( σ 1 + σ 2 )/2

σ xσ 1

2 α

centrul D al cercului OD=2

yx σ+σ;

-in A si A`` ⇒σ1 si σ2.

CAZURI PARTICULARE ALE STARII DE TENSIUNE PLANA 1)Starea liniara de tensiune(solicitare axiala): σy=0; τxy=0;

σ1,2= 22xx σ

±σ deci σ1=σx;σ2=0;

τmax= ( ) x21 21

21

σ±=σ−σ± ;

2)Forfecare pura σx=σy=0;

σ1=τxy ; σ2=-τxy;

3)Bara solicitata la incovoiere σy=0

σ1,2= 2xy

2x

x 421

2τ+σ±

σ ;

σx,τxy sunt tensiuni intr-un punct al sectiunii situat la distanta y de axa neutra si se determina cu formulele cunoscute. a) b)

y

x

σ 1 =0 σ 2 σ 2

σ 2

σ 1 σ 2

σ 1 σ 2 σ 1

σ 1 σ 2 =0

σ 1=0

σ 1σ 2=0

y

σ 1

σ 1

σ 2

σ 245° 45°

h 4

h 4

h 4

h 4

57°

45°

33°

Fig.6

Alegand mai multe nivele de calcul rezulta ca directiile 1 si 2 se rotesc iar tensiunile σ1 si σ2 variaza.Pentru grinda din fig.6a solicitata de incovoiere pozitiva si taiere sunt reprezentate tensiunile principale la diferite nivele de calcul.Cu datele obtinute se pot trasa liniile izostatice (fig.6b) sau infasuratoarea tensiunilor principale.Prin orice punct al barei trec doua izostatice.Cunosterea liniilor izostatice are mare importanta pentru a vedea irectiile pe care materialul este intins.

STAREA SPATIALA DE TENSIUNE

σ

fig.1

Torsonul tensiunilor

σx τxy τxz Tσ= τyx σy τyz (1) τzx τzy σz Suprafata SBCD=dA SOCD=dAl SOBD=dAm l,m,n,cosinusi directori ai normalei la suprafata SOBC=dAn (ΣF)x=0; px=lσx+mτyx+nτzx; p= 2

z2y

2x ppp ++ ; (3)

(ΣF)y=0; (2) py=lτxy+σym+τzyn; σ=prNp=lpx+mpy+npz ; (4) (ΣF)z=0; pz=τxzl+τyzm+σzn; cu px,py,pz din (2) in (4)⇒σ=l2σx+m2σy+n2σz+2lmτxy+2mnτyz+2nlτzx (5) τ= 22p σ− ; (6)

y

σ x

σ z

τ yz

τ yx τ xy

τ xz τ zy

τ zx

N(l,m,n)

σ

p

B

C

D

τ

x

y

p z

p x

p y

TENSIUNI PRINCIPALE. DIRECTII PRINCIPALE

TENS.NORMALE : px=lσ l(σx-σ)+mτyx+nτzx=0 py=mσ (7) se inlocuiesc in (2)⇒ lτxy+m(σy-σ)+nτzy=0 (8) pz=nσ lτxz+mτyz+(σz-σ)n=0

l2+m2+n2=1 (9) σx-σ τxy τxz τyx σy-σ τyx =0⇒σ3-I1σ2+I2σ-I3=0 (9) τzx τzy σz-σ

invarianti: I1=σx+σy+σz I2=σxσy+σxσz+σyσz-τ2

xy-τ2yz-τ2

zx I3= σx τxy τxz τyx σy τyz τzx τzy σz

232

1σ−σ

±=τ⇒2

13 σ−σ±TENS.TANGENTILAE :Daca σ1>σ2>σ3 ; τ2= ;

τ3= 221 σ−σ

± ; (10)

Cu axele x, y, z,axe principale 1,2,3 relatia(2) devine: px=lσ1 py=lσ2 (11) pz=lσ3 iar relatia(5) σ=l2σ1+m2σ2+n2σ3 (12) σ1 0 0

tensorul tensiunilor (1) T= 0 σ2 0 (13) 0 0 σ3 *daca σ1=σ2=σ3 tensorul tensiunilor este tensor sferic si produce variatii

de volum; *daca σ1+σ2+σ3=0 deviator rezulta variatia formei.

CERCUL LUI MOHR

Se pot construi 3 cercuri: Daca 1 ;32 σσσ >> Cercul 1 rerprezinta tensinile σ,τ pe plane cu l=0(plane care contin axa 1 sau

sunt paralele cu acesta):σ=001= 232 σ+σ ; τ=τ1= 2

32 σ−σ ;

Cercul 2-σ,τ pe plane m=0 (contin axa 2 sau sunt paralele ce ea) Cercul 3-σ,τ pe plane n=0(contin axa 3 sau sunt paralele ce ea) -punctele din zona hasurata au stari de tensiune pe plane cu l≠ 0,m 0,n 0 ≠ ≠

fig.2

0

τ

σ

τ1τ2

τ3B A

2 ( σ 2 σ 3)/2

( σ 1 + σ 3)/2

D 1

D 2m=0

D 3

σ 3

o 1 o 2 o 3n=0

3

1

σ 2

σ 1

OCTAEDRICE TENSIUNI

Cu ajutorul unui cub(fig.3)se construiesc 8 plane octaedrice(cu diagonalele patratelor). Pe un astfel de plan au loc tensiuni octaedrice:

σoct= 3321 σ+σ+σ ; τoct= [ ] =σ−σ+σ−σ+σ−σ 2

1213

232

221 )()()(

31

= 212

322

21 )(

32

τ+τ+τ ; (14)

0

z

y

x

Fig.3 ELIPSOIDUL TENSIUNILOR

Se determina locul geometric al extremitatii vectorului p cand inclinarea planului BCD

variaza. Se elimina l,m,n din relatia(11) si (9) si rezulta:

1ppp23

2z

22

2y

21

2x =

σ+

σ+

σ (15) Elipsoidul tensiunilor(Elipsoidul lui Lameé)

Obs:-semiaxele elipsoidului sunt tensiuni principale din punctul 0 -pentru stare plana de tensiuni(σ3=0)din(15)rezulta elipsa tensiunilor

-pentru stare liniara(σ2=0,σ3=0) elipsa devine o dreapta.

STAREA DE DEFORMATII

Starea de deformatie in jurul unui punct-SPATIALA Tensorul deformatiilor

εx xy21γ

0 u

0'

A

A'

C' B'

B C

v

x

y

α xy

d x

α yx

d y

xz21γ

Tε= yx21 εy γ yz2

1γ (1)

zx21γ zy2

1γ εz

z

0 y

x

γ

fig.1

ε1 0 0 γ1=ε2-ε3 Tε= 0 ε2 0 (2) γ2=ε3-ε1 γmax=γ2 (3) 0 0 ε3 γ3=ε1-ε2

STAREA PLANA DE DEFORMATIE

u+xu∂∂

v+xv

∂∂ dx

u+yu∂∂ dy

fig.2

yz ε z

ε y

ε x

γ zx

γ xy

u+du

A A' 0 0'

u dx+ Δ dx

dx

fig.3

Tensorul de deformaţii

εx xy21γ

Tε= yx21γ εy (1`)

Figura 3 explicatie -deplasarea lui A este u+du

du= dzzudy

yudx

xu

∂∂

+∂∂

+∂∂

(deplasarea depinde de pozitia punctului definita de 3 coordonate x,y,z) rezulta pentru

punctul A pe axa x deplasarea u+ dxxu∂∂ .

εx= xu

dx

dxxu

dxdx

∂∂

=∂∂

=Δ ; εy= y

vdydy

∂∂

=Δ ; εz= z

wdzdz

∂∂

=Δ (4)

xv

dx

vdxxvv

xy ∂∂

=−

∂∂

+=α ; (5)

tgyu

dy

udyyuu

yxyx ∂∂

=−

∂∂

+=≈ αα ;

γxy= xv

yu

∂∂

+∂∂ ; γxz= x

wzu

∂∂

+∂∂ ; γyz=

yw

zv

∂∂

+∂∂

; (6)

Relatiile (4) si (6) dau legatura intre deformatiile specifice ε,γ, in functie de

componentele deplasarii relative u,v,w.

RĂSUCIREA (TORSIUNEA)

1. Definiţie, calculul momentului de torsiune

a) b) c)

b) Mt = TR (1)

c) Mt = (T1−T2)R = (T4−T3)r (2)

Mt = 9,55 ⋅ 103 np [N⋅m] (3) p [kw] - puterea

Mt = 70.260 [daNcm] (4) p [CP] n ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡minrot - turaţia

2. TORSIUNEA BARELOR CU SECŢIUNE CIRCULARĂ

arc bb' = γ dx = rdϕ (6)

x Mt = Mx

+

Mt R

T

Rr

T1 T2

T3 T4 T3 T4

T1 T2

O

l

B A

d c

b a

C2 C1

R R

x

Mt O

dx

d' c'

b a

C2 C1

r

γ a dϕb

b'

Mt

O

dx

r

R

D

τmax

τmax

dA

Mt O

τmax

τmax

εx = 0 (5)

γ = rdxdϕ (6')

γ = rθ (7)

γmax = Rθ (7')

θ = dxdϕ (8)

τ = Gγ = Gθ (8)

Mt = GθIp (9) ( )∫ ∫ =⋅θ=τA A

2dArGrdA

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=θ 10

GIM

p

t în (8) τ = p

t

IM r (11)

τmax = p

t

IM R (12) ( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡π 13

WM

p

tmax

ϕ = ( )

dxIM

l p

t∫ ; ϕ2 − ϕ1 = p

12t

GIlM

(14)

3. CALCULUL LA TORSIUNE - BARE CIRCULARE

- verificare la rezistenţă

τmax = p

t

WM

≤ Rf (15) Wp = 16D3π ; Ip =

32D 4π

- dimensionare

Wp = f

t

RM

(16) Wp = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

π 43

Dd1

16D Ip =

32D4π

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

4

Dd1

D

D

d

- încărcare maximă capabilă

Mt cap = Wp τa (17)

- verificarea deformaţiei

ϕef < ϕa sau θef = p

t

GIM

≤ θa (18)

- dimensionare din condiţia deformaţii

Ip nec = a

t

GMθ

(19)

APLICATIE

Un ax cu secţiune variabilă (fig. 8.11) încastrat la ambele capete este solicitat de

momentele de torsiune M0 şi 4M0

Să se determine tensiunea tangenţială maximă din ax şi unghiul de rotire al secţiunii 1.

Se dau M0 = 500.000 N ⋅ mm; d = 30 mm; l = 500 mm; G = 8,1 ⋅ 104 N/mm2

fig. 8.11

2l 1.000

2l 1.000

BA

d 30

1

l 500

2 3

MA M0 4M0

2d = 603d = 90 mm.

x

MB

l 500

Mt

0,0453 M0

1,0453 M0

2,9547 M0

Axul este static nedeterminat

Condiţia de echilibru static MA + MB = 3M0

Condiţia de echilibru elastic ϕAB = ϕA1 + ϕ12 + ϕ23 + ϕ3B = 0

0 = ( ) ( ) ( )

p

00A

p

00A

p

0A

p

A

IG81lM4MM

IG16lM4MM

IG16l2MM

IGl2M

⋅⋅⋅−+

+⋅⋅

⋅−++

⋅⋅⋅+

+⋅⋅

unde

IpA1 = 32

d 4⋅π = Ip

Ip12 = Ip23 = ( )32

d2 4⋅π = 16 Ip

Ip3B = ( )32

d3 4⋅π = 81 Ip

Din rezolvare rezultă

MA = 0,0453 M0

MB = 2,9547 M0

Tensiunea tangenţială maximă se calculează pe porţiunea 2-3 cu

Mt = 2,9547 M0 = 2,9547 ⋅ 5 ⋅ 105 = 14,77 ⋅ 105 N ⋅ mm

τmax = 3

5

p

t

1041,421077,14

WM

32⋅⋅

=−

= 34,5 N/mm2

W ( )230

2d

16d2

16d 3333

p 32

⋅π=

⋅π=

⋅π=

⋅π=

−= 42,41 ⋅ 103 mm3

Unghiul de rotire al secţiunii 1

ϕA1 = grade180dG

32l2M0453,0IG

l2M4

0

p

1A

π⋅

⋅π⋅⋅⋅

=⋅⋅

= 52,9 40

dGlM

⋅⋅

=

= 52,9 44

5

30101,8500105⋅⋅⋅⋅ = 0,201 grade

8.4 Noţiuni de calcul la torsiune a barelor cu secţiune dreptunghiulară

Răsucirea barelor cu secţiune necirculară este o problemă complexă, întrucât ipotezele de

calcul admise la bara de secţiune de secţiune circulară nu mai sunt valabile, în deosebi ipoteza

secţiunilor planelor. Soluţia generală a răsucirii libere pentru bare cu secţiuni oarecare a fost

formulată de către Barré de Saint-Venant utilizând metodele Teoriei elasticităţii.

În cele ce urmează se vor da câteva rezultate ale soluţiei exacte pentru bara de secţiune

dreptunghiularǎ.Se considerǎ modelul unei bare dreptunghiulare pe care s-a trasat o reţea

ortogonală (fig. 8.12a).

a) b)

c)

fig. 8.12

Se supune la răsucire bara şi se constată apariţia unor deplanări ale secţiunilor

transversale (fig. 8.12a).

h

1 2

3

z

y b

Mz t

y

3'

1'2'

Mt

x

h

b

y

z G τxy max

τxz maxMt

Din studiul modelului se remarcă:

- pe suprafaţa laterală dreptunghiurile iniţiale se transformă în paralelograme suferind

deformaţii unghiulare;

- un ochi de caroiaj din mijlocul barei de tip 2 se deformează mult, iar dreptunghiurile de

tip 1 şi 3 de lângă muchii de loc.

În consecinţă tensiunile tangenţiale au valori maxime la mijlocul laturii, au variaţie

continuă între 1 şi 3 iar la muchii sunt nule.

Teoria exactă emisă de Saint-Venant confirmă rezultatele studiului pe model.

Expresiile tensiunilor tangenţiale maxime la mijlocul celor două laturi (h > b) vor fi:

τmax = τxymax = t

t

WM

= 2t

hbMα

(8.25)

şi

τzxmax = γ τxymax (8.27)

unde modulul de rezistenţă la torsiune are expresia

Wt = αhb2 (8.26)

Unghiul de răsucire specifică se calculează cu relaţia:

θ = t

t

GIM

= Ghb

M3t

β (8.28)

iar momentul de inerţie la torsiune este

It = βhb3 (8.29)

Coeficienţii α, γ, β1 se scot din tabelul 8.1 în funcţie de raportul laturilor.

Produsul GIt = βhb3G din relaţia (8.28) este rigiditatea la răsucire a barei.

În figura 8.12c sunt reprezentate tensiunile tangenţiale pe conturul secţiunii (rabătute

pentru a putea fi reprezentate).

Tabelul 8.1

bh 1,0 1,5 1,75 2,0 2,5 3 4 6 8 10 ∞

α 0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333 β 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,294 0,307 0,313 0,333 γ 1,000 0,859 0,820 0,745 0,766 0,753 0,745 0,743 0,742 0,742 0,742

Pentru secţiuni dreptughiulare subţiri la care bh > 4, coeficienţii α şi βse pot calcula cu

formula:

α − β = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

hb63,01

31 (8,30)

iar bh> 10, α şi β =

31 iar formulele (8.25) şi (8.28) devin

τmax = 3hbM3 (8.25') θ =

GhbM3

3t (8.28')

Verificarea la torsiune a barei cu secţiune dreptunghiulară se face prin verificarea

condiţiei de rezistenţă (8.25) faţă de τa şi de deformaţii (8.28) faţă de θa.

8.5 Noţiuni de calcul la torsiune a barelor cu pereţi subţiri

Secţiunile transversale ale barelor solicitate la torsiune, pot fi alcătuite şi sub forma de

dreptunghiuri înguste legate între ele, sau cu contur curb cu grosime mică, sau chiar profile

laminate (fig. 8.13).

a)

b)

fig. 8.13

Aceste bare cu grosime mică se numesc bare cu pereţi subţiri şi pot fi:

- bare cu profil deschis: figura 8.23a

- bare cu profil închis: figura 8.13b

Cu excepţia inelului circular şi în cazul acestor secţiuni nu se aplică în calcule ipoteza

secţiunilor plane.

Se consideră cazul răsucirii libere, când deplanarea secţiunilor nu este împiedicată şi se

dă o metodă aproximativă de calcul a tensiunilor tangenţiale şi a unghiului de răsucire.

8.5.1 Bare cu pereţi subţiri cu profil deschis

Secţiunea transversală din figura 8.14 se consideră alcătuită din mai multe dreptunghiuri

înguste, şi se admite că fiecare dreptunghi se răsuceşte independent de celălalt.

h1

h2

b1

b3

Mt1

Mt3

Mt2

b2 τ

τ

τ

h3

fig. 8.14

Momentul de inerţie convenţional pentru întreaga secţiune va fi:

It = ∑ ihib (8.30) =

βn

1i

3i

iar modulul de rezistenţă la torsiune

Wt = maxi

t

bI

(8.31)

unde: bi, hi sunt dimensiunile dreptunghiurilor componente iar coeficientul βi se alege în funcţie

de raportul i

i

bh

din tabelul 8.1

Tensiuni tangenţiale maxime, apar în mijlocul laturii lungi a fiecărui dreptunghi solicitat

de momentul de torsiune Mt ce revine fiecărui element care este:

M = Mtitt

t

II

i (8.32)

unde I este momentul de torsiune al dreptunghiului i şi se determină cu relaţia: it

τimax = i

i

t

t

IM

= Mt i

i

tt

t

III

= t

t

IM (8.33)

Pentru întreaga secţiune, tensiunea tangenţială maximă va fi la mijlocul dreptunghiului

component de grosimea cea mai mare.

τmax = t

t

WM

= t

t

IM bmax (8.34)

Unghiul de răsucire specificǎ pentru dreptunghiul i va fi

θ = i

i

t

t

GIM

= t

t

GIM (8.35)

Deoarece întreaga secţiune se roteşte ca un tot rigid, unghiul de răsucire al întregii

secţiuni este egal cu unghiul de răsucire al fiecărui dreptughi component.

Observaţii

- La racordările intrânde ale profilelor apar concentrări de tensiuni care se calculează cu

formula:

τ ∗ = αk τmax (8.36) max

unde τmax se calculează cu formula (8.34) iar αk, coeficientul de concentrare al tensiunilor are

expresia:

αk = 1,74 3

rb (8.37)

unde r este raza de racordare.

- În cazul profilelor laminate, momentul de inerţie la torsiune calculat simplificat cu

relaţia (8.30) este mai mic decât momentul de inerţie care ia în considerare şi racordările. De

aceea se recomandă corectarea momentului de inerţie calculat cu (8.29) prin înmulţire cu un

coeficient η sub forma:

It = 31η∑β ihib (8.30') 3

i

unde η este: corniere η = 1; profile I η = 1,2; profile U η = 1,12; profil T η = 1,15

8.5.2 Bare cu pereţi subţiri cu profil închis

Răsucirea profilului închis se deosebeşte de cea a profilului deschis prin faptul că forţele

elementare τdA se reduc în secţiune la momentul de răsucire total Mt nu prin momente de

răsucire realizate pe porţiuni componente ale secţiuni (fig. 8.14) ci prin fluxul tensiunilor

tangenţiale pe tot conturul închis al secţiunii (fig. 8.15)

fig. 8.15 fig. 8.16 fig. 8.17

Grosimea peretelui secţiunii este mică, deci se admite ipoteza distribuţiei uniforme a

tensiunilor tangenţiale pe această grosime, ca sens fiind dirijate după tangenta la linia mediană a

grosimii peretelui.

Presupunând că grosimea peretelui δ variază în lungul conturului, se detaşează un

element de bară (fig. 8.16) şi se scrie condiţia de echilibru proiectând forţele pe direcţia axei

barei:

τ2δ2dx − τ1δ1dx = 0

sau în general

τ1δ1 = τ2δ2 = τiδi = constant (8.38)

respectiv produsul dintre tensiunea tangenţială τ şi grosimea δ numit fluxul tensiunilor

tangenţiale este constant în lungul conturului secţiunii.

Se consideră profilul închis de formă oarecare din figura 8.17. Se scrie momentul de

torsiune al forţei elementare τδds în raport cu punctul O sub forma

dMt = τδdsh (8.39)

unde h este perpendiculara din O pe direcţia forţei elementare. Suma tuturor acestor momente

elementare în lungul conturului va da momentul de torsiune care solicită secţiunea:

τ

τ

τ

δ

y

z

δ1

δ2

τ2

τ2

τ1

τ1

x

z

y

ds

Mt

h

τδds

dx δ

Mt = ∫ tdM = ∫ τδdsh = τδ ∫ hds (8.40)

Se observă din figura 8.17 că produsu h ⋅ ds reprezintă dublu suprafeţei sectorului format

de arcul ds şi cele două raze care îl mărginesc ∫ hds = 2Ω unde:

Ω reprezintă dublul ariei suprafeţei închisă de conturul median.

Astfel integrala devine:

Mt = τδ2Ω (8.40')

şi expresia tensiunii tangenţiale maxime:

τmax = min

t

2MδΩ

(8.41)

Relaţia (8.41) se numeşte formula lui Bredt.

Expresia răsucirii specifice θ se deduce egalând lucrul mecanic elementar exterior (8.42)

cu energia potenţială elementară de deformare( lucrul mecanic elementar interior ) (8.43).

dLe = 21 Mtdϕ (8.42)

dLi = = ∫VdWdV ∫τG2

2

δdsdx = ∫ δδτ dsdxG2

22

− dUd (8.43)

Rezultă:

21 Mtdϕ = ∫ δ

δτ dsdxG2

22

respectiv

dxdϕ = θ = ∫ δ

δτ dsGM t

22

(8.44)

Se înlocuieşte valoarea lui τ cu cea din relaţia (8.41) şi se gǎseşte expresia rǎsucirii

specifice, respectiv a doua formulă a lui Bredt.

θ = ∫ δΩds

G4M t =

t

t

GIM (8.45)

unde convenţional momentul de inerţie la torsiune este:

It =

∫ δ

Ωds

4 (8.46)