El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas

que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas

matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos

aplicados a procesos del mundo real.

El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los

ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos

extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números

binarios y operaciones matemáticas simples.

Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el

andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos

matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en

algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos

empleando números.

Definido el error, junto con el error admisible, pasamos al concepto de

estabilidad de los algoritmos. Muchas de las operaciones matemáticas

pueden llevarse adelante a través de la generación de una serie de números

que a su vez alimentan de nuevo el algoritmo (feedback).

Yonel MartínezC.I. 16.239.566

En análisis  numérico,  la interpolación polinomial es  una  técnica de interpolación de  un  conjunto  de  datos  o de  una  función  por  un polinomio. Es  decir, dado  cierto  número  de  puntos  obtenidos por muestreo o a partir de un experimento se pretende  encontrar  un  polinomio  que  pase por todos los puntos.

Del mismo modo  La interpolación  poli nómica es un método usado para conocer, de un modo aproximado,  los  valores  que  toma cierta  función  de  la  cual  sólo  se  conoce  su imagen  en  un  número  finito  de abscisas. A menudo,  ni  siquiera  se  conocerá  la expresión de la función y sólo se dispondrá de  los  valores  que  toma  para  dichas abscisas.  El  objetivo  será  hallar  un polinomio que cumpla  lo antes mencionado y  que  permita  hallar  aproximaciones  de otros  valores  desconocidos  para  la  función con una precisión deseable  fijada. Por  ello, para  cada  polinomio  interpolador  se dispondrá  de  una  fórmula  del  error  de interpolación  que  permitirá  ajustar  la precisión del polinomio.

Es  fácil  demostrar,  usando  el determinante  de  Vandermonde,  que  por  n puntos,  con  la única  condición de que para cada  x  haya  una  sola  y,  siempre  se  puede encontrar  un  polinomio  de  grado  igual  a     (n-1) que pase por los n puntos

Dados los valores de una función desconocida correspondiente a dichos valores de x, ¿cuál es el comportamiento de la función?; el propósito es determinar dicho comportamiento, con las muestras de los pares de datos (x,

f(x)); se encontrará un polinomio que satisfaga un conjunto de puntos seleccionados (xi, f(xi)) donde los valores que aporten el Polinomio y la función se comportan casi de la misma manera, en el intervalo en cuestión.

Si se desea encontrar un polinomio que pase a través de los mismos puntos que la función desconocida se puede establecer un sistema de ecuaciones, pero este proceso es un poco engorroso; resulta conveniente arreglar los datos en una tabla con los valores de x en forma ascendente. Además de las columnas para x y para f(x) se deberán tabular las diferencias de los valores funcionales. Cada una de las columnas de la derecha de f(x), se estima o determina calculando las diferencias entre los valores de la columna a su izquierda. La siguiente tabla es una tabla típica de diferencias.

Ejemplo de tabla de diferencias divididas

Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se le puede aproximar al polinomio que se le parece. Una forma sencilla de escribir un polinomio que pasa por un conjunto de puntos equi espaciados, es la fórmula del Polinomio Interpelante de Newton-Gregory (en avance y retroceso).

La fórmula usa la notación, que es el número de combinaciones de s cosas tomadas de n a la vez, lo que lleva a razones factoriales. Donde s viene dada por: x es el valor a interpolar el polinomio obtenido; Xo viene a ser el punto de partida para seleccionar los valores , que serán seleccionados de la tabla de diferencias, formando una fila diagonal hacia abajo en el caso de la fórmula de avance; en caso de la fórmula de retroceso los valores forman una fila diagonal hacia arriba y a la derecha. Y ha viene a ser la longitud o distancia entre los valores de xi

Fórmula de Avance

Fórmula de Retroceso

Ejemplo del polinomio de Newton-Gregory.

Suponga que se desea interpolar para el valor

de x = 0.73 mediante el polinomio de Newton-

Gregory para los valores mostrados en la

figura. Como primer paso se calculan todas

las diferencias de orden 3 o menor:

Ejemplo

Hay una gran variedad de fórmulas de interpolación además del Método de Newton-Gregory, difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la tabla de diferencias; Por ejemplo la fórmula del Polinomio Interpolante de Gauss (en avance y retroceso), donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir los valores desde el punto de partida Xo serán seleccionados en forma de zig-zag.

En el caso de la fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo, y así sucesivamente. En fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba, y así sucesivamente. A continuación se tiene las fórmulas de avance y retroceso del Polinomio Interpolante de Gauss.

Aquí buscamos un polinomio por pedazos Hn(x) que sea cúbico en cada subintervalo, y que interpole a f(x) y f'(x) en los puntos . La función Hn(x) queda determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo requiere de la solución de n sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno. La desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad de los lo cual no es el caso en muchas en muchas aplicaciones.

Se sabe que H4(x)=4+3(x+1)- 2(x+1)2 (x-1)-(1/2)(x+1)2(x-1)2 es el polinomio de interpolación de Hermite de cierta función f ,basado en los datos:

f(-1), f'(-1), f(1), f'(1) y f"(1).a) Sin evaluar H4(x) ni sus

derivadas en -1 y 1, completar la tabla de diferencias divididascon repetición utilizada en la construcción de H4(x).

Ejemplo Hermite

En el subcampo matemático del análisis numérico, un spline es una curva diferenciable definida en porciones mediante polinomios.

En los problemas de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado, evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayoría de las aplicaciones, encontradas al interpolar mediante polinomios de grado elevado.

Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formas complicadas. La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen populares para la representación de curvas en informática, particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador.

Definición. El término "spline" hace referencia a una amplia clase de funciones que son utilizadas en aplicaciones que requieren la interpolación de datos, o un suavizado de curvas. Los splines son utilizados para trabajar tanto en una como en varias dimensiones.

Las funciones para la interpolación por splines normalmente se determinan como minimizadores de la aspereza sometidas a una serie de restricciones.

Para construir un polinomio

de grado menor o igual que n que

pase por los n+1 puntos: , donde se

supone que si i ¹ j. Este Polinomio

Pn es la fórmula del Polinomio

Interpolante de Lagrange.

Esta fórmula si puede

aplicarse independientemente del

espaciamiento de la tabla, pero

tiene el inconveniente de que no se

conoce el grado del polinomio.

Como no se conoce, se tiene que

determinar iterativamente. Se

propone un grado, se realiza la

interpolación, se propone el

siguiente grado, se vuelve a

interpolar y se compara con algún

criterio de convergencia, si se

cumple terminamos si no, se repite

el procedimiento.

EjemploCalcular el polinomio de Lagrange usando los siguientes datos:

f(x) = -0,0739x3 + 0,3906x2 + 0,624x - 2,978

Sustituyendo, el polinomio de Lagrange queda definido como sigue:

Simplificamos, y obtenemos:

Tras realizar las diferentes operaciones la ecuación resultante quedará de la siguiente forma:

donde