Análisis numérico

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VENEZOLANA*******

Edición: Enero,2015

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Interpolación

Intercambio de conocimientos

análisis numéricoEl objeto del Análisis Numérico es el cálculo

aproximado de soluciones en problemas matemáticos. Estecurso pretende que el alumno complete los conocimientos deÁlgebra y Cálculo Diferencial e Integral con conceptos yprocedimientos que le permitan de un modo efectivo alcanzarla solución de estos problemas. Estas técnicas se basan enprocedimientos que consideran aspectos del cálculo ligados alos problemas reales y se ajustan a los medios actuales decálculo automático digital. En este sentido, en este curso, losmétodos del Álgebra Lineal se revisan considerando susaspectos algorítmicos y las dificultades que surgen en elcálculo con matrices de dimensión elevada.

interpolaciónLa teoría de la Interpolación permitirá la resolución de problemascuyo análisis matemático puede ser establecido pero para los cualesla solución analítica no es posible determinar o encierra grancomplejidad. Las técnicas interpoladoras permiten mediante cálculosalgebraicos determinar el valor de las derivadas e integrales defunciones que no son elementales.

Por otra parte, no es posible desligar el aprendizaje de las técnicasnuméricas del manejo de los instrumentos de cálculo automático quepermiten su verdadera puesta en práctica en situaciones que no seandeliberadamente simples. La aplicación de los algoritmos numéricosen entornos de cálculo automático es esencial para la perfectacomprensión de la metodología del cálculo numérico. Por esta razón,junto con la realización de ejercicios de naturaleza teórica destinados ala formación conceptual se planteará la resolución de problemas enhojas de cálculo y entornos avanzados de cálculo científico.

Es un método de interpolación polinómica.Aunque sólo existe un único polinomio que interpola unaserie de puntos, existen diferentes formas de calcularlo. Estemétodo es útil para situaciones que requieran un númerobajo de puntos para interpolar, ya que a medida que crece elnúmero de puntos, también lo hace el grado del polinomio.

Existen ciertas ventajas en el uso de este polinomio respectoal polinomio interpolador de Lagrange. Por ejemplo, si fuesenecesario añadir algún nuevo punto o nodo a la función, tansólo habría que calcular este último punto, dada la relaciónde recurrencia existente y demostrada anteriormente.

Tipos de interpolación

Definición analiticaDados n+1 escalares distintos z_0, z_1,..., z_n y n+1 escalares

(iguales ó distintos) w_0, w_1,...,w_n se define el polinomio interpolador enla forma:

p(z) = c_0 + c_1(z- z_0) + c_2(z - z_0)( z - z_1) + c_3(z - z_0)( z - z_1)( z - z_2) +... + c_n(z - z_0)( z - z_1)( z - z_2)...( z - z_{n-1})Siendo {c_0,...,c_n} las coordenadas del polinomio y la expresión anterior delpolinomio interpolador la conocida como diferencias divididas. Teniendo encuenta que existe una función p tal que p(z_i)=w_i y haciendosucesivamente:z = z_i , i={0,...,n}Se llega a:c_0=w_0c_1= \frac{w_1 - w_0}{z_1 - z_0}c_2= \frac{1}{z_2 - z_0}\left ( \frac{w_2 - w_1}{z_2 - z_1} - \frac{w_1 -w_0}{z_1 - z_0} \right )

Interpolacion de gaussHay una gran variedad de fórmulas de interpolación

además del Método de Newton-Gregory, difieren de la forma delas trayectorias tomadas en la tabla de diferencias; Por ejemplola fórmula del Polinomio Interpolante de Gauss (en avance yretroceso), donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decirlos valores desde el punto de partida Xo serán seleccionados enforma de zig-zag. En el caso de la fórmula de avance los valoresson tomados en forma de zigzag, iniciando primero hacia abajo,luego hacia arriba, luego hacia abajo, y así sucesivamente. Enfórmula de avance los valores son tomados en forma de zigzag,iniciando primero hacia arriba, luego hacia abajo, luego haciaarriba, y así sucesivamente. A continuación se tiene las fórmulasde avance y retroceso del Polinomio Interpolante de Gauss.

Interpolación de hermite

Aquí buscamos un polinomio porpedazos Hn(x) que sea cúbico en cadasubintervalo, y que interpole a f(x) y f'(x) en lospuntos . La función Hn(x) queda determinada enforma única por estas condiciones y su cálculorequiere de la solución de n sistemas lineales detamaño 4x4 cada uno. La desventaja de lainterpolación de Hermite es que requiere de ladisponibilidad de los lo cual no es el caso enmuchas en muchas aplicaciones.

¿Qué tipo de personalidad tienes?TestMeyer Friedman creó la definición de personalidades tipo A y tipo B. Pero antes deexplicar cada una de éstas, te invitamos a que contestes el siguiente test para quepuedas descubrir tu personalidad.

1. ¿Sientes que tu trabajo, carrera o escuela lleva mucha responsabilidad de por medio?a) Síb) No

2. ¿Generalmente tratas de hacer las cosas lo más rápido posible?a) Síb) No

3. ¿Gente cercana a ti te ha pedido que le bajes al ritmo en el trabajo?a) Síb) No

4. Si hay competencia en tu trabajo, ¿la disfrutas?a) Síb) No

5. ¿Te molesta si te hacen esperar?a) Síb) No

6. ¿Comes y caminas rápido?a) Síb) No

ResultadosMayoría de A:Las personas con esta forma de ser “Tipo A” son adictos al trabajo,impacientes, siempre ocupados, sufren con el estrés, insomnio e indigestión

Mayoría de B: “tipo B” son gente relajada, de fácil trato, pacifica, prudente, menos agresiva, pero igualmente competitiva que el tipo A.

Splines

Interpolación de splines

Los dos tipos de polinomios por pedazos que hemos discutidos hastaahoratienen la desventaja de que su segunda derivada no es continua enlos puntosde interpolación. Se ha observado que en aplicaciones gráficas, el ojohumanoes capaz de detectar discontinuidades en la segundas derivadas deuna función,haciendo que los gráficos con este tipo de funciones no luscanuniformes. Estomotiva el uso de los splines que son funciones s(x) continuas porpedazos conlas siguientes propiedades:1. s(x) es polinomio cúbico en .2. existen y son continuas en .3. s(x) interpola a la función f en los datos .4. s(x) es continua en el intervalo.

Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que

pase por los n+1 puntos: , donde se supone que si i ¹ j. Este Polinomio

Pn es la fórmula del Polinomio Interpolante de Lagrange. Esta fórmula si

puede aplicarse independientemente del espaciamiento de la tabla,

pero tiene el inconveniente de que no se conoce el grado del

polinomio. Como no se conoce, se tiene que determinar

iterativamente. Se propone un grado, se realiza la interpolación, se

propone el siguiente grado, se vuelve a interpolar y se compara con

algún criterio de convergencia, si se cumple terminamos si no, se repite

el procedimiento.

Interpolacion de lagrange

Aplicación de los metodos

Para datos tabulados en forma equiespaciada o noesquiespaciada, a través de una serie de técnicas que antes de la llegada delas computadoras tenían gran utilidad para la interpolación, sin embargo,con fórmulas como las de NewtonGregory, Gauss, Lagrange, Hermite,Newton, etc., son compatibles con computadoras y debido a las muchasfunciones tabulares disponibles, como subrutinas de librerías; dichasfórmulas tienen relevancia en la solución de ecuaciones diferencialesordinarias. Una gran cantidad de problemas físicos están descritos porecuaciones diferenciales en las que interviene un operador Laplaciano (laecuación de Laplace, la ecuación de onda, la ecuación de Schrödinger, etc.).Matemáticamente, estas ecuaciones corresponden a casos particulares delproblema de Sturm-Liouville, vale decir, ecuaciones de autovalores para unoperador diferencial autoadjunto. No entraremos en los detalles de estadiscusión. Sólo diremos que los polinomios de Hermite son un casoparticular de soluciones a un problema de Sturm-Liouville. Dichassoluciones forman un conjunto completo y ortogonal, con cierta función depeso. En el caso de familias de polinomios ortogonales, existen relacionesde recurrencia que vinculan cada polinomio con los de gradosinmediatamente anterior y posterior, y típicamente poseen una funcióngeneratriz, así_ como operadores de subida y de bajada. En los capítulossiguientes encontraremos nuevas familias de polinomios ortogonales. Todosellos provienen de sendos problemas de Sturm-Liouville, y por tanto no seráextraño encontrar las mismas características que hemos identificado en lospolinomios de Hermite.

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