revisão e trabalho - copia

8/19/2019 Revisão e Trabalho - Copia

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Vetores

Vetores são definidos como expressões

matemáticas que tem intensidade, direção e

sentido. São representados por seta acima da letra

usada para representá-lo . Um usado vetor usado para representar uma força que atua sobre

uma dada partícula tem um ponto de aplicação

bem definido, a saber, a partícula propriamente

dita.

ois vetores que t!m a mesma intensidade,

a mesma direção e o mesmo sentido são

considerados i"uais, independentemente de terem

ou não o mesmo ponto de aplicação# vetores i"uais

podem ser representados pela mesma letra.

$ vetor oposto de um dado vetor % &

definido como um vetor que tem a mesma

intensidade e a mesma direção de % e um sentido

oposto ao de %# o oposto de um vetor % &

denotado por '%. (m "eral nos referimos aos

vetores % e '% como vetores i"uais e

opostos.$bviamente %)*-%+ .

Vetores i"uais

Vetores opostos

Decomposição de Vetores – Componentes

Retangulares de uma Força

(m muitos problemas será deseável

decompor uma força em dois componentes que

são perpendiculares entre si. /a fi"ura, a força 0

foi decomposta em um componente 0x ao lon"o do

eixo x e um componente 01 ao lon"o do eixo 1. $

paralelo"ramo desen2ado para se obterem os dois

componentes & um ret3n"ulo, e 0x e 01 são

c2amados de componentes retan"ulares.

$s eixos x e 1 são, "eralmente escol2idos

na 2ori4ontal e na vertical, respectivamente, como

na 0i"ura# podem, entretanto, ser escol2idos emduas direções perpendiculares quaisquer.

ois vetores de intensidade unitária,

diri"idos respectivamente ao lon"o dos eixos

positivos x e 1, serão introdu4idos nesse ponto.

(sses vetores são denominados vetores unitários

e são representados por i e , respectivamente. $s

componentes retan"ulares 0x e 01 da força 0

podem ser obtidos multiplicando-se

respectivamente os vetores unitários i e pelosescalares apropriados. (screvemos

0x 0xi 01 01

e

0 0xi ) 01


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%ara que não 2aa confusão, o componente

escalar 0x & positivo quando o componente vetorial

0x tiver o mesmo sentido que o vetor unitário i *ou

sea, o mesmo sentido que o eixo x positivo+ e &

ne"ativo quando 0x tiver sentido oposto. %ode-se

c2e"ar a uma conclusão semel2ante com relação

ao sinal do componente escalar 01.

5epresentando por 0 a intensidade da força

0 e por θ o 3n"ulo entre 0 e o eixo x, medido no

sentido anti-2orário a partir do eixo x positivo,

podemos expressar os componentes retan"ulares

de 0 da se"uinte maneira6

0x 0.cosθ e 01 0.senθ

/otamos que as relações obtidas valem

para qualquer valor do 3n"ulo θ, de a 78, e

que elas definem tanto o sinal quanto o valor absoluto dos componentes escalares 0x e 01.

9uando a força 0 & definida pelos seus

componentes retan"ulares 0x e 01 , o 3n"ulo θ

definindo sua direção pode ser obtido escrevendo-

se x

y

F

F tg =θ .

: intensidade da força 0 pode ser obtida

aplicando o teorema de %itá"oras e escrevendo-se6

0 22 y x F F + .

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(xercícios6


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B. etermine os componentes x e 1 de cada uma

das forças indicadas6

*:+

*C+

*D+

*+

@. $ elemento C exerce sobre o elemento :CD

uma força % diri"ida ao lon"o da lin2a C.

Sabendo que % deve ter um componente vertical

de E8/, determine *a+ a intensidade da força % e,

*b+ seu componente 2ori4ontal.

8.$ elemento DC de um torno de bancada

*morsa+ exerce no bloco C uma força % diri"ida ao

lon"o da lin2a DC. Sabendo que % deve ter um

componente 2ori4ontal de


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força %, e *b+ seu componente em direção

perpendicular a :D.

Adição de Forças Pela Soma dos Componetes

X e Y

9uando tr!s ou mais forças são

adicionadas, a solução analítica do problema pode

ser obtida decompondo-se cada força em dois

componentes retan"ulares. Donsidere, por

exemplo, tres forças, %, 9 e 5 atuando sobre uma

partícula :, a resultante & obtida pela relação6

5 % ) 9 ) 5

ecompondo cada força em seus componetes

retan"ulares, escrevemos

5xi ) 51 %xi ) %1 ) 9xi ) 91 ) 5xi ) 51

*%x ) 9x ) Sx+ i ) *%1 ) 91 ) S1+

e onde temos que

5x %x ) 9x ) Sx 51 %1 ) 91 ) S1

$u, em notação redu4ida,

5x Σ 0x 51 Σ01

Doncluímos que os componentes escalares

5x e 51 da resultante 5 de várias forças que

atuem sobre uma partícula são obtidos

adicionando-se al"ebricamente os

correspondentes componentes escalares das

forças dadas.

/a prática, a determinação da resultante 5

& feita em tr!s passos. %rimeiro as forças são

decompostas em seus componentes x e 1 de 5.

:dicionado esses componentes, obtemos os

componentes x e 1 de 5. %or fim, a resulatnte 5

5xi ) 51 & determinada aplicando-se a lei do

paralelo"ramo. (ste & o Gnico m&todo analítico

prático para a adição de tr!s ou mais forças.

(xemplo6 etermine a intensidade da forçaresultante e indique sua direção, medida nosentido anti-2orário, em relação ao eixo x positivo.

(xercícios6


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*C+

*D+

*+

Euil!"rio de uma Part!cula

Se um ponto material estiver submetido aum sistema de vária forças coplanares ecolineares, cada força poderá ser decomposta emcomponentes x e 1 e para a condição de equilíbrio& necessário que as se"uintes condições seamatendidas.

∑ = 0 x F e ∑ = 0

y F

E#erc!cios


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C+

D+

>.ois cabos estão li"ados em D e sãocarre"ados tal como mostra a fi"ura. etermine a

tração *a+ no cabo :D e *b+ no cabo CD.

7. Sabendo que H >@I, determine a tração *a+ no

cabo :D e *b+ na corda CD.

B.Sabendo que H @J e que a 2aste :D exerce

no pino D uma força diri"ida ao lon"o da lin2a :D,

determine *a+ a intensidade dessa força e *b+ a

tração no cabo CD.

@. ois cabos estão li"ados em D e são

carre"ados tal como mostra a fi"ura. Sabendo que

H 7J , determine a tração *a+ no cabo :D e *b+no cabo CD.


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8.Um telef&rico parou na posição indicada.

Sabendo que cada, cadeira pesa 7/ e que o

esquiador que está na cadeira ( pesa =E/,

determine o peso do esquiador da cadeira 0.

A. 9uatro elementos de madeira são unidos com

placas conectoras metálicas e estão em equilíbriosob a ação das quatro forças mostradas. Sabendo

que 0 : >>E@/ e 0C >


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04 02.senφ 0. senθ1.senφ

: força 0 dada foi então decomposta em

tr!s componentes retan"ulares vetoriais 0x , 01, 04

que estão diri"idos ao lon"o dos tr!s eixos

coordenados.

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:plicando o teorema de %itá"oras aos

tri3n"ulos $:C e $D da fi"ura acima,

escrevemos6

0> *:$+> *$C+> ) *C:+> 01> ) 02

>

02> *$D+> *$+> ) *D+> 0x

> ) 04>

(liminando 02> dessas duas equações eresolvendo para 0, obtemos a se"uinte relação

entre a intensidade de 0 e seus componentes

retan"ulares escalares6

0> 0x> ) 01

> ) 04>

: relação existente entre a força 0 e seus

tr!s componentes 0x, 01, 04 & mais facilmente

visuali4ada se uma McaixaN tendo 0x, 01, 04 como

arestas for desen2ada como tal mostra a fi"ura. :

força 0 & então representada pela dia"onal :$

dessa caixa.

0x 0.cosθx 01 0.cosθ1 04 0.cosθ4

$s tr!s 3n"ulos θx, θ1 θ4 definem a direção

da força 0# eles são mais comumente usados para

essa finalidade do que os 3n"ulos θ1 e φ

apresentados no ínicio. $s cossenos de θx, θ1 θ4

são con2ecidos como cossenos diretores da força

0.

Ontrodu4indo os vetores unitários i, j e $,

diri"idos respectivamente ao lon"o dos eixos x, 1 e

4, podemos expressar F na forma

0 0x i ) 01 ) 04 P

(xemplo


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(xemplo 7. : componente de uma força de 7/no plano x4 vale >8/ e seu 3n"ulo formado com oeixo & de 7J, como mostra a fi"ura. Dalcule,

0orça definida por sua Ontensidade e por dois

pontos em sua lin2a de :ção

(m muitas aplicações, a direção de umaforça 0 & definida pela coordenada de dois pontos,

L *x+, locali4ados em sua

lin2a de ação. Donsidere o vetor li"ando L e

/ e de

mesmo sentido de 0. 5epresentando seus

componentes escalares por dx, d1 e d4 ,

respectivamente, escrevemos

dx i ) d1 j ) d4 %

$ vetor unitário Q ao lon"o da lin2a de ação

de 0 pode ser obtido dividindo-se o vetor por

sua intensidade d *L/+. Substituindo por de

dx i ) d1 j ) d4 % e observando que L/ & i"ual a

dist3ncia d e L a /, escrevemos

Rembrando que F & i"ual ao produto de 0 e

Q, temos6

(xemplo B6 Um cabo de sustentação de

uma torre está ancorado por meio de um parafuso

em :. : tração no cabo & de >@/. etermine *a+

os componentes 0x, 01, 04 da força que atua sobre

o parafuso, e *b+ os 3n"ulos θx, θ1 θ4 que definem adireção da força.

/, determine *a+ os componentes x,1 e 4da força exercida por esse cabo na árvore, e *b+ os

3n"ulos θx, θ1 θ4 que forma com os eixos em :paralelos aos eixos coordenados.


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B. %ara se estabili4ar uma árvore parcialmentearrancada durante uma tempestade, os cabos :C e :D são amarrados na parte superior do tronco daárvore e depois são presos a 2astes de açoancoradas no c2ão. Sabendo que a tração no cabo :D & 7,8/, determine *a+ os componentes x,1 e 4

da força exercidapor esse cabo na árvore, e *b+ os3n"ulos θx, θ1 θ4 que forma com os eixos em :

paralelos aos eixos coordenados.

Utili4e a fi"ura para resolver as questões @, 8, Ae =.

@.Uma placa circular 2ori4ontal está suspensa,como mostra a fi"ura, por tr!s fios que estãoli"ados a um suporte e forma 3n"ulos de 7

com a vertical. Sabendo que o componente x da

força exercida pelo fio : na placa & de >>,8/,determine *a+ a tração no fio : e *b+ os 3n"ulosTx, T1 e T4 que a força exercida em : forma com oseixos coordenados.

8. Uma placa circular 2ori4ontal está suspensa,como mostra a fi"ura, por tr!s fios que estãoli"ados a um suporte e forma 3n"ulos de 7

com a vertical. Sabendo que o componente 4 daforça exercida pelo fio C na placa & de -8B,>=/,determine *a+ a tração no fio C e *b+ os 3n"ulos

Tx, T1 e T4 que a força exercida em C forma com oseixos coordenados.

A. Uma placa circular 2ori4ontal está suspensa,como mostra a fi"ura, por tr!s fios que estãoli"ados a um suporte e forma 3n"ulos de 7

com a vertical. Sabendo que tração no fio D &@B/, determine *a+ os componentes da forçaexercida por esse fio na placa e *b+ os 3n"ulos Tx,T1 e T4 que a força exercida em D forma com oseixos coordenados.

=. Uma placa circular 2ori4ontal está suspensa,como mostra a fi"ura, por tr!s fios que estãoli"ados a um suporte e forma 3n"ulos de 7

com a vertical. Sabendo que o componente x daforça exercida pelo fio D na placa & de -


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>. Um recipiente de peso %


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rabal2o de (stática

. ois cabos estão li"ados em D e são

carre"ados tal como mostra a fi"ura. etermine a

tração *a+ no cabo :D e *b+ no cabo CD.

7. Se a intensidade da força resultante deve ser

E/ direcionada ao lon"o do eixo x positivo,

determine a intensidade da força que atua sobre

a ar"ola e seu 3n"ulo θ.

θ7,8o e 8,8,/

B.: camin2oneta precisa ser rebocada usando

duas cordas. etermine as intensidades das forças

0 : e 0C que atuam em cada corda para produ4ir

uma força de intensidade de E@/, orientada ao

lon"o do eixo x positivo. Donsidere θ @I.

0 : AAB/ e 0C 7B8 /

@. Sabendo que H 7I, determine a tração *a+ no

cabo :D e *b+ na corda CD.


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8. Se a intensidade da força resultante que atua

sobre a ar"ola & de 8/ e sua direção no sentido

2orário do eixo x positivo & θ 7o, determine a

intensidade de 0>,7 / e C 7>,8/

E. Se o bloco pesa >/ # 0CD

>>=/


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,B>m

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