resumão matemática e raciocínio lógico (caixa)(1)
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Resumo
MATEMÁTICA
E RACIOCÍNIO
LÓGICO
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Sugestões, críticas ou elogios podem ser enviados através do e-mail:
Sumário – Matemática e Raciocínio Lógico
1. INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA ..................................................................... 3
1.1. Fator de Capitalização ............................................................................................... 3
1.2. Fator de Descapitalização ......................................................................................... 3
1.3. Acréscimos e Descontos Sucessivos .......................................................................... 3
2. TAXAS ............................................................................................................................... 3
2.1. Taxa Proporcional: .................................................................................................... 4
2.2. Taxa equivalente: ...................................................................................................... 4
2.3. Taxa Bruta e Taxa Líquida ......................................................................................... 4
2.4. Taxa Real e Taxa Aparente ........................................................................................ 4
2.5. Taxa Nominal e Taxa Efetiva ..................................................................................... 5
3. Juros Simples e Compostos: Capitalização e Descontos .................................................... 6
3.1. Capitalização Simples e Composta ............................................................................ 6
3.2. Desconto Simples e Composto .................................................................................. 8
3.2.1. Desconto Comercial Simples ............................................................................. 8
3.2.2. Desconto Racional Simples ................................................................................ 8
3.2.3. Desconto Comercial Composto ......................................................................... 8
3.2.4. Desconto Racional Composto ............................................................................ 8
4. Séries de Pagamento ...................................................................................................... 10
5. Sistemas de Amortização ................................................................................................ 10
5.1. Sistema de Amortização Francês (SAF) ................................................................... 10
5.2. Sistema de Amortização Constante (SAC) ............................................................... 12
6. Raciocínio Lógico ............................................................................................................ 14
6.1. Construção da Tabela Verdade ............................................................................... 15
6.2. Construção da Tabela-Verdade Para uma Proposição Composta ............................ 16
6.3. Tautologia ............................................................................................................... 17
6.4. Contradição............................................................................................................. 17
6.5. Contingência ........................................................................................................... 17
6.6. Negação .................................................................................................................. 17
6.7. Diagramas lógicos ................................................................................................... 18
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6.8. Quantificadores ...................................................................................................... 19
6.9. Lógica de Argumentação ......................................................................................... 19
6.10. Probabilidade ...................................................................................................... 20
EDITAL Nº 1, DE 23 DE JANEIRO DE 2014
MATEMÁTICA: 1 Juros simples e compostos: capitalização e descontos. 2 Taxas de juros:
nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente. 3 Planos ou sistemas de
amortização de empréstimos e financiamentos. 4 Cálculo financeiro: custo real efetivo de
operações de financiamento, empréstimo e investimento. 5 Números e grandezas
proporcionais: razões e proporções; divisão em partes proporcionais; regra de três;
porcentagem e problemas.
RACIOCÍNIO LÓGICO: 1 Princípios do raciocínio lógico: conectivos lógicos; diagramas lógicos;
lógica de argumentação; interpretação de informações de natureza matemática;
probabilidade.
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1. INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA
1.1. Fator de Capitalização
Vamos supor que um produto sofreu um aumento de 40% sobre seu valor inicial. Para saber
seu valor final temos que multiplicar o valor inicial pelo fator de capitalização que é calculado
da seguinte forma:
Fator de capitalização = (100 + 20)/100 = 120/100 = 1,2
Ex: Um produto custava R$ 20,00 e sofreu um aumento de 10%. Qual o valor final do produto?
Fator de capitalização = (100 + 10)/100 = 110/100 = 1,1
1,1x20 = 22
Valor final: R$ 22,00
1.2. Fator de Descapitalização
Um produto sofreu um desconto de 30% sobre seu valor inicial. Para saber seu valor final
temos que multiplicar o valor inicial pelo fator de descapitalização que é calculado da seguinte
forma:
Fator de capitalização = (100 - 30)/100 = 70/100 = 0,7
Ex: Um produto custava R$ 50,00 e sofreu um desconto de 5%. Qual o valor final do produto?
Fator de capitalização = (100 - 5)/100 = 95/100 = 0,95
0,95x50 = 47,75
Valor final: R$ 47,75
1.3. Acréscimos e Descontos Sucessivos
Um erro muito comum em questões sobre acréscimos e descontos sucessivos é o candidato
somar ou subtrair os percentuais, sendo que na verdade deveria multiplicar os fatores de
capitalização e descapitalização. Vamos entender com um exemplo.
Ex: Um produto sofreu um acréscimo de 30% sobre seu valor, após um mês houve um
desconto de 40% e após mais um mês outro acréscimo de 10%. Assim o valor do produto em
relação ao preço inicial é:
a) 20% maior
b) 30% maior
c) Não alterou o preço
d) 14,2% menor
Aumento de 30%: 1,3
Desconto de 40%: 1 - 0,4 = 0,6
Aumento de 10%: 1,1
1,3x0,6x1,1 = 0,858 (valor final)
1 – 0,858 = 0,142 (desconto)
Conclui-se então que o produto sofreu um desconto de 14,2%
2. TAXAS
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2.1. Taxa Proporcional:
É calculada em regime de capitalização simples: Apenas divide ou multiplica a taxa de juros.
Por exemplo, se temos uma taxa ao mês e procuramos uma taxa ao ano, multiplica-se a taxa
por 12, já que um ano tem 12 meses.
Ex: Qual a taxa de juros mensal proporcional a 36% ao ano.
36/12 = 3% ao mês
Ex: Qual a taxa de juros semestral proporcional a 5% ao trimestre?
Como um semestre tem dois trimestres:
5x2 = 10% ao semestre
2.2. Taxa equivalente:
É calculada em regime de capitalização composta: Composta por 3 passos:
1- Transforma a taxa de juros em unitária e soma 1 (100%)
2- Eleva a taxa ao período de capitalização
3- Identifica a taxa correspondente
Ex: Qual a taxa de juros ao trimestre equivalente a 20% ao mês?
Passo 1: 20% = 0,2
0,2 + 1 = 1,2
Passo 2: (1,2)3 = 1,728
Passo 3: 72,8% ao trimestre
2.3. Taxa Bruta e Taxa Líquida
Taxa Bruta: estão inclusos tributações e encargos.
Taxa líquida: está livre desses descontos
Ex: Um investimento proporciona um retorno de 0,8% em um mês. Supondo que foi cobrado
30% sobre o ganho devido ao imposto de renda, qual foi o seu ganho líquido?
Tx líquida = 0,8% x 0,7 (fator de descapitalização) = 0,56
A taxa líquida do investido foi de 0,63%
2.4. Taxa Real e Taxa Aparente
O cálculo da taxa real tem como objetivo descontar a inflação do ganho aparente.
Esse cálculo é feito apenas dividindo a taxa aparente pela inflação.
Ex: Uma ação teve um rendimento de 75%. Considerando que no mesmo período a inflação
acumulada foi de 30%, qual será seu ganho real?
Taxa aparente: 75%
Inflação: 30%
1,75/1,3 = 1,35
Assim o ganho real foi de 35%
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2.5. Taxa Nominal e Taxa Efetiva
Taxa nominal: Quando o prazo difere da capitalização estamos diante de uma taxa nominal.
Ex: 30% ao ano/mês (30% ao ano com capitalização mensal).
Taxa efetiva: Quando o prazo é igual da capitalização. Representa a verdadeira taxa cobrada.
Ex: 30% ao ano/ano (30% ao ano com capitalização anual).
Para simplificar abreviamos da seguinte maneira: 30% ao ano.
Para encontrar a taxa efetiva a partir da taxa nominal fazemos um cálculo através de taxa
proporcional.
Taxa nominal Taxa efetiva 1º caso 24% ao ano/mês Taxa proporcional---------- 2% ao mês/mês
24/12 meses = 2 2º caso 5% ao bimestre/ano Taxa proporcional---------- 30% ao ano/ano
5x 6 bimestres = 30
Se quisermos saber qual é a taxa efetiva anual do 1º caso, faz-se o cálculo de taxas
equivalentes.
Taxa efetiva mensal Taca efetiva anual 2% ao mês Taxa equivalente---------- 26,82% ao ano
(1,02)12 Ex: (Transpetro – 2011) A taxa efetiva anual de juros correspondente à taxa nominal de 12% ao
ano capitalizada mensalmente é?
12% ano/mês Taxa proporcional---------- 1% mês/mês
(1,01)12 = 1,12677 A taxa efetiva anual é de 12,68%
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Gabarito
1 – d; 2 - c; 3 – c; 4 – c
3. Juros Simples e Compostos: Capitalização e Descontos
3.1. Capitalização Simples e Composta
Em juros simples os juros são cobrados sobre o valor do empréstimo (capital).
Em juros composto os juros são cobrados sobre o valor do saldo devedor (capital + juros do
período anterior).
Ex: Maria realizou um empréstimo de R$ 100,00, a uma taxa de juros de 10% ao mês. Qual o
valor pago por Maria se ela quitou a dívida 5 meses após o empréstimo?
Se for juros simples:
Mês Juros cobrado Saldo devedor
1 10% de 100 = 10 reais 100 + 10 = 110 reais
2 10% de 100 = 10 reais 110 + 10 = 120 reais
3 10% de 100 = 10 reais 120 + 10 = 130 reais
4 10% de 100 = 10 reais 130 + 10 = 140 reais
5 10% de 100 = 10 reais 140 + 10 = 150 reais
Se for juros compostos:
Mês Juros cobrado Saldo devedor
1 10% de 100 = 10 reais 100 + 10 = 110 reais
2 10% de 110 = 11 reais 110 + 11 = 121 reais
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3 10% de 121 = 12,10 reais 121 + 12,10 = 133,10 reais
4 10% de 133,10 = 13,31 reais 133,10 + 13,31 = 146,41
5 10% de 146,41 = 14,64 reais 146,41 + 14,64 = 161,05
Assim Maria terá que pagar 150 reais se for cobrado juros simples e 161,05 se for cobrado
juros compostos.
Fórmulas:
Juros Simples
Cálculo dos juros:
J = C × i × t
Cálculo do Montante
M = C × (1+ i×t)
Onde:
J: juros
M: montante
C: Capital
I: taxa de juros
T: prazo
Juros Compostos
Cálculo dos juros:
J = M - C
Cálculo do Montante
M = C × (1+ i)t
Aplicação da fórmula
Ex: Considere um empréstimo, a juros compostos, no valor de R$ 100 mil, prazo de 8 meses e
taxa de 10% ao mês. Qual o valor do montante? (1,1)8 = 2,144
Sem fórmula:
(1,1)8 = 2,144 2,144 – 1 1,144 114,4%
100mil × 1,144 = 114.400 reais de juros
100 mil + 114,4 mil = R$ 214.400,00
Com fórmula:
M = C × (1+ i)t
M = 100.000 (1,1)8
M = 214.400,00
Ex: Qual os juros obtido de uma aplicação de R$ 5.000 feita por 1 ano a uma taxa de juros
compostos de 10% ao semestre?
Sem fórmula
(1,1)2 = 1,21 (1,21 – 1) = 0,21 21%
5000 × 0,21 = R$ 1050,00
Com fórmula
M = C × (1+ i)t
M = 5000 (1,1)2
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M = 6050
J = M - C
J = 6050 – 5000 = R$ 1050,00
3.2. Desconto Simples e Composto
3.2.1. Desconto Comercial Simples
Também conhecido como desconto bancário e desconto por fora.
O desconto é calculado sobre o valor nominal do título (Valor de face ou futuro)
Ex: Considere um título cujo valor nominal seja R$ 10.000,00. Calcule o desconto comercial
simples a ser concedido e o valor atual de um título resgatado 3 meses antes da data de
vencimento, a uma taxa de desconto de 5% ao mês.
3×5 = 15% 100 – 15 = 85% 10.000 × 0,85 = 8.500 Valor atual = R$ 8.500,00
10.000 × 0,15 = 1.500 Desconto = R$ 1.500,00
3.2.2. Desconto Racional Simples
Também conhecido como desconto verdadeiro e desconto por dentro.
(O desconto é calculado sobre o valor atual do título (valor presente).
Ex: Considere um título cujo valor nominal seja R$ 10.000,00. Calcule o desconto racional
simples a ser concedido e o valor atual de um título resgatado 3 meses antes da data de
vencimento, a uma taxa de desconto de 5% ao mês.
3×5 = 15% Regra de três 10.000 ---- 115% X ---- 100% X = 8.695,65 Valor atual: R$ 8.695,65
Desconto = 10.000 - 8.695,65 D = 1304,35
O valor do desconto depende do valor atual então é preciso primeiro calcular o valor atual
para depois achar o desconto.
3.2.3. Desconto Comercial Composto
Calculado sobre o valor nominal do título (Valor de face ou futuro).
Ex: Considere um título cujo valor nominal seja R$ 10.000,00. Calcule o desconto comercial
composto a ser concedido e o valor atual de um título resgatado 2 meses antes da data de
vencimento, a uma taxa de desconto de 10% ao mês.
(1-0,1)2 = (0,9)2 0,81
10.000×0,81 = 8.100
Desconto = 10.000 – 8.100 = 1.900,00
3.2.4. Desconto Racional Composto
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Calculado sobre o valor atual do título (valor presente).
Ex: Considere um título cujo valor nominal seja R$ 10.000,00. Calcule o desconto racional
composto a ser concedido e o valor atual de um título resgatado 2 meses antes da data de
vencimento, a uma taxa de desconto de 10% ao mês.
(1,1)2 = 1,21
Regra de três
10.000 ---- 121%
X ---- 100%
X = 8.264,46
Desconto = 10.000 - 8.264,46 = 1735,53
Exercícios
Gabarito
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1 – c; 2 – c; 3 – c; 4 – b
4. Séries de Pagamento
- Série póstecipada: não existe entrada
- Série antecipada: existe entrada
5. Sistemas de Amortização
5.1. Sistema de Amortização Francês (SAF)
Conhecido também como PRICE
Características:
Parcelas constantes
Juros crescentes
Amortizações crescentes
Saldo devedor decrescente
- Cálculo da prestação utilizando o capital
P = C× ((1 + i)t × i)
((1 + i)t – 1)
- Cálculo da prestação utilizando o montante
P = M× ( i )
((1 + i)t – 1)
- Conceitos importantes:
P = J + A
Apenas a amortização reduz o saldo devedor
Onde:
P: prestação M: montante
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I: taxa de juros
t: tempo
J: juros
A: amortização
Ex: Um cliente fez um empréstimo de R$ 10.000 para pagar em 5 prestações mensais iguais,
sendo que a primeira parcela tem seu vencimento 30 dias após a data da contratação. A taxa
de juros é de 10% ao mês. Calcule o valor da prestação, os juros e a cota de amortização de
cada mês.
Série póstecipada
C = 10.000
t = 5 meses
i = 0,1
Dica: vá calculando e colocando os resultados na tabela para ficar mais fácil de visualizar.
N Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 ----- ----- ----- 10.000
1 2640,18 1000 1640,18 8359,82
2 2640,18 835,98 1804,2 6555,62
3 2640,18 655,56 1984,62 4571
4 2640,18 2387,92
5 2640,18 13,47
P = C× ((1 + i)t × i) = 10.000 × ((1 + o,1)5 × 0,1) = 2640,18
((1 + i)t – 1) ((1 + 0,1)5 – 1)
R$ 10.000 × 1,1 = 11.000
Ou seja, na data do pagamento da 1ª parcela, o saldo devedor do cliente será 11 mil.
- Saldo devedor após o pagamento da 1ª parcela:
R$ 11.000 – 2640,18 = 8.359,82
Juros = 11.000 – 10.000 = 1.000
A = P – J = 2.640,18 – 1.000 = 1640,18
- Saldo devedor no pagamento da 2ª parcela:
R$ 8.359,82 × 1,1 = 9.195, 80
J = 9.195, 80 - 8.359,82 = 835,98
A = P – J = 2.640,18 – 835,98 = 1.804,2
- Saldo devedor após o pagamento da 2ª parcela:
R$ 9.195, 80 - 2.640,18 = 6555,62
E assim por diante...
O último saldo devedor deve dar zero. Na tabela apareceu um valor de 13,47 devido a erros de
arredondamento.
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Ex: Um cliente financiou uma motocicleta no valor de R$ 10.000 com uma entrada e mais duas
parcelas, sendo a primeira a vencer 30 dias após a compra. A taxa de juros é de 10% ao mês,
qual o valor da prestação?
Sistema antecipado (com entrada)
P = C× ((1 + i)t × i) = 10.000 × ((1 + o,1)3 × 0,1) = 4.021,10
((1 + i)t – 1) ((1 + 0,1)3 – 1)
R$ 4021,10 ---- 110%
X ---- 100%
X = R$ 3.655,54 A entrada não leva juros então desconta o valor do juros.
5.2. Sistema de Amortização Constante (SAC)
Características:
Amortização constante
Parcelas decrescentes
Juros decrescentes
Saldo devedor decrescente
- Cálculo da Prestação
P = A + J
- Cálculo da Amortização
A = C/t
Ex: Um cliente fez um empréstimo no valor de R$ 10.000,00 para pagar em 5 prestações
mensais. A taxa de juros é de 10% ao mês. Calcule o valor da prestação e os juros e cota de
amortização de cada mês considerando que o banco utiliza o Sistema de Amortização
Constante (SAC).
A = C/t = 10.000/5 = 2.000
- 1ª parcela: 10.000 – 2.000 = 8.000
- 2ª parcela: 8.000 – 2.000 = 6.000
- 3ª parcela: 6.000 – 2.000 = 4.000
- 4ª parcela: 4.000 – 2.000 = 2.000
- 5ª parcela: 2.000 – 2.000 = 0
- Juros
J1 = SD0 × i
J1 = 10.000 × 0,1 = 1.000
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P1 = A + J = 2.000 + 1.000 = 3.000
J2 = SD1 × i
J2 = 8000 × 0,1 = 800
P2 = 2000 + 800 = 2800
E assim por diante
N Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
0 --- --- ---- 10000
1 3000 1000 2000 8000
2 2800 800 2000 6000
3 2600 600 2000 4000
4 2400 400 2000 2000
5 2200 200 2000 0
Ex: Uma família financiou 100% de um imóvel no valor de R$ 60.000,00 para pagamento em 20
anos com o SAC. A taxa de juros é de 1% ao mês. Calcule o valor da 51ª parcela.
Para o cálculo dos juros da parcela 51ª é necessário saber o valor do saldo devedor após o
pagamento de uma parcela anterios, a 50ª.
A = C/t = 60000/240 = 250,00
SD50 = 60000 – (50 × 250) = 47.500
J51 = SD50 × i = 47.500 × 0,01 = 475,00
P51 = A + J51 = 250 + 474 = 725,00
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3. (BB – 2014, ESCRITURÁRIO) Um cliente contraiu um empréstimo, junto a um banco, no valor de R$ 20.000,00, a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, com prazo de 2 trimestres, contados a partir da liberação dos recursos. O cliente quitou a dívida exatamente no final do prazo determinado, não pagando nenhum valor antes disso. Qual o valor dos juros pagos pelo cliente na data da quitação dessa dívida? (A) R$ 2.500,00 (B) R$ 1.250,00 (C) R$ 1.640,00 (D) R$ 5.300,00 (E) R$ 2.650,00
4. (BB – 2014, ESCRITURÁRIO) Uma empresa contraiu um financiamento para a aquisição de um terreno junto a uma instituição financeira, no valor de dois milhões de reais, a uma taxa de 10% a.a., para ser pago em 4 prestações anuais, sucessivas e postecipadas. A partir da previsão de receitas, o diretor financeiro propôs o seguinte plano de amortização da dívida: Ano 1 – Amortização de 10% do valor do empréstimo; Ano 2 – Amortização de 20% do valor do empréstimo; Ano 3 – Amortização de 30% do valor do empréstimo; Ano 4 – Amortização de 40% do valor do empréstimo. Considerando as informações apresentadas, os valores, em milhares de reais, das prestações anuais, do primeiro ao quarto ano, são, respectivamente, (A) 400, 580, 740 e 880 (B) 200, 400, 600 e 800 (C) 400, 560, 720 e 860 (D) 700, 650, 600 e 500 (E) 700, 600, 500 e 400 Gabarito 1 – d; 2 – c; 3 – d; 4 – a
6. Raciocínio Lógico
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1º) ~ (negação) 2º) ^ (conjunção: e) 3º) v (disjunção: ou) 4º) v (disjunção exclusiva: ou) 4º) (condicional: se, então) 5º) ↔ (bicondicional: se e somente se) PROPOSIÇÃO: Denomina-se proposição a toda frase declarativa à qual se possa atribuir somente um de dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso. São exemplos de proposições as seguintes sentenças declarativas: A capital do Brasil é Brasília. 23 > 10 Existe um número ímpar menor que dois. Não são proposições: 1) frases interrogativas: “Qual é o seu telefone?”
2) frases exclamativas: “Que menina bonita!”
3) frases imperativas: “Trabalhe mais.”
4) frases optativas: “Vá com Deus.”
5) frases sem verbo: “O livro de Augusto.”
6) sentenças abertas (o valor lógico da sentença depende do valor (do nome) atribuído a variável): “x é maior que 3”; “x+y = 3”; “Z é a capital do Brasil”.
6.1. Construção da Tabela Verdade - Negação ~A As seguintes frases são equivalentes entre si: Lógica não é fácil. Não é verdade que Lógica é fácil. É falso que Lógica é fácil. Não é o caso que Lógica é fácil.
A ~A
V F
F V
- Conjunção A^B Ex: Vou à Igreja e ao mercado Dica: pense como se fosse uma promessa. Se você for em apenas um dos lugares ou em nenhum deles, estará quebrando a promessa e a sentença será falsa. Então a sentença só será verdadeira se for aos dois lugares.
A B A^B
V V V
V F F
F V F
F F F
- Disjunção AvB Ex: A camisa dele é verde ou a calça é azul. Para que a sentença seja verdadeira uma das proposições tem que ser verdadeiras ou as duas.
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A B AvB
V V V
V F V
F V V
F F F
- Disjunção exclusiva AvB Ex: Ou a camisa dele é verde ou a calça é azul. Para que a sentença seja verdadeira uma das proposições tem que ser verdadeira mas não ambas.
A B AvB
V V F
V F V
F V V
F F F
- Condicional AB Ex: Se chove então fico molhado
A B AB
V V V
V F F
F V V
F F V
Se chove então fico molhado (V) Se chove então não fico molhado (F) Se não chove então fico molhado (V) Se não chove então não fico molhado (V) Ou seja, A é condição suficiente para que B ocorra e B é condição necessária para que A ocorra. -Bicondicional A↔B Uma proposição bicondicional "A se e somente se B" equivale à proposição composta: “se A então B e se B então A”, ou seja, “A ↔ B “ é a mesma coisa que “ (A B) e (B A) “ A sentença apenas será verdadeira se as duas proposições forem verdadeiras ou se as duas forem falsas.
A B A↔B
V V V
V F F
F V F
F F V
6.2. Construção da Tabela-Verdade Para uma Proposição Composta
O número de linhas da tabela-verdade de uma sentença é igual a 2n, onde n é o número de proposições simples (letras) que há na sentença.
Ex) (P v ~R) (Q ^ ~R ) número de linhas = 23
= 8 linhas
P Q R ~R (P v ~R) (Q ^ ~R ) (P v ~R) (Q ^ ~R )
V V V F V F F
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V V F V V V V
V F V F V F F
V F F V V F F
F V V F F F V
F V F V V V V
F F V F F F V
F F F V V F F
6.3. Tautologia
Quando a coluna de resultados da tabela verdade for tudo V.
A B A^B AvB (A^B)( AvB)
V V V V V
V F F V V
F V F V V
F F F F V
6.4. Contradição
Quando a coluna de resultados da tabela for tudo F.
A B ~B (A↔~B) A^B (A↔~B)^( A^B)
V V F F V F
V F V V F F
F V F V F F
F F V F F F
6.5. Contingência
Quando não for nem tautologia, nem contradição. A coluna de resultados da tabela tem tanto resultados F quanto V.
A B A^B A↔( A^B)
V V V V
V F F F
F V F V
F F F V
6.6. Negação
Proposição Negação da proposição
Algum Nenhum
Nenhum Algum
Todo Algum.. não..
Algum.. não.. Todo
Ex:’’Algum carro é veloz’’ / ‘’nenhum carro é veloz’’ “Todo político não é rico” / “Algum político é rico” “Toda música é legal” / “Alguma música não é legal” NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
Proposição Negação da Proposição
(A e B) ~A ou ~B
(A ou B) ~A e ~B
(A B) A e ~B
(A ↔ B) 1ª forma) ~(AB e BA) = (A e ~B) ou (B e ~A)
2ª forma) A ou B
(A ou B) A ↔ B
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TABELA DE EQUIVALÊNCIA LÓGICA
~(p^q) ------ ~p v ~q
~(~q) ------ p
~(pvq) ------ ~p ^~q
p^q ------ q^p
pvq ------ qvp
pvp ------ p
p^p ------ p
pvqvr ------ (pvq)v r
p^q^r ------ (p^q)^r
p^(qvr) ------ (p^q)v(p^r)
pv(q^r) ------ (pvq)^(pvr)
6.7. Diagramas lógicos
Todo A é B = todo elemento de A também é elemento de B. Nenhum A é B = A e B não tem elementos em comum. Algum A é B = o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. Algum A não é B = o conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao conjunto B.
Proposição Diagrama
Todo A é B
Nenhum A é B
Algum A é
B
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Algum A não é B
6.8. Quantificadores
Quantificador Significado
Universal
para todo, para cada, qualquer que seja
Existencial
existe pelo menos um, existe um, existe, para algum
Negação dos Quantificadores:
6.9. Lógica de Argumentação
Chama-se argumento a afirmação de que um grupo de proposições iniciais redunda em uma outra proposição final, que será consequência das primeiras!
Dito de outra forma, argumento é a relação que associa um conjunto de proposições p1, p2, ... pn , chamadas premissas do argumento, a uma proposição c, chamada de conclusão do argumento. No lugar dos termos premissa e conclusão podem ser também usados os correspondentes hipótese e tese, respectivamente. Dizemos que um argumento é válido quando a sua conclusão é uma consequência obrigatória do seu conjunto de premissas. Dizemos que um argumento é inválido quando a verdade das premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão. Exercícios
1) (CESPE/ PF/ 2004) Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras então a proposição (~P) v (~Q) também é verdadeira.
P Q ~P ~Q (~P) v (~Q)
V V F F F
A afirmação é falsa
2) (CESPE/ PF/ 2004) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R(~T) é falsa
T R ~T (R(~T)
V F F V
A afirmação é falsa
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3) (MPE/RR 2008 CESPE) Considere as seguintes proposições.
A: Jorge briga com sua namorada Sílvia. B: Sílvia vai ao teatro. Julgue os itens seguintes.
1. Nesse caso, ¬(AB) é a proposição C: “Se Jorge não briga com sua namorada Sílvia, então Sílvia não vai ao teatro”.
~(AB) = (A ^ ~B) Jorge briga com Silvia e Silvia não vai ao teatro O item é falso
2. Independentemente das valorações V ou F para A e B, a expressão ¬(AvB) correspondente à proposição C: “Jorge não briga com sua namorada Sílvia e Sílvia não vai ao teatro”.
~(AvB) = ~A ^ ~B O item é verdadeiro. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Agora é com você: 4) (TRT 17ª Região Téc Jud 2009 CESPE) Julgue os itens a seguir. 1. A proposição “Carlos é juiz e é muito competente” tem como negação a proposição “Carlos não é juiz nem é muito competente”. 2. A proposição “A Constituição brasileira é moderna ou precisa ser refeita” será V quando a proposição “A Constituição brasileira não é moderna nem precisa ser refeita” for F, e vice-versa. 5) (PC/ES 2010 Cespe) A negação da proposição (Pv~Q)^R é (~PvQ)^(~R).
6) (MPE Tocantins/2006/CESPE) Julgue o item subseqüente. 1. A proposição P: “Ser honesto é condição necessária para um cidadão ser admitido no serviço público” é corretamente simbolizada na forma A B, em que A representa “ser honesto” e B representa “para um cidadão ser admitido no serviço público”. 7) (Assembléia Leg./CE 2011 Cespe) Julgue o item a seguir. 1. A proposição “Os cartões pré-pagos são uma evolução dos cartões tradicionais, pois podem ser usados, por exemplo, pelo público jovem” é equivalente a “Se podem ser usados, por exemplo, pelo público jovem, então os cartões pré-pagos são uma evolução dos cartões tradicionais”. Gabarito: 4 – E/C; 5 – E; 6 – E; 7 – C
6.10. Probabilidade
Para revisar probabilidade é necessário revisar antes análise combinatória: Fatorial
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Permutação
Ex: Quantos números de três algarismos (sem repeti-los) podemos formar com os algarismos 1, 2 e 3?
3 possibilidades x 2 possibilidades x 1 possibilidade = 6 possibilidades
= 3.2.1! = 6 Arranjo simples
Ex: Quantos números de dois algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? Obs: Lembre-se que 12 é diferente de 21, ou seja, a ordem importa.
Podemos formar 72 números diferentes de 2 algarismos.
Combinação
Ex: A,E,R,F e G são pessoas que formam uma equipe. Dois deles precisam representar a equipe em uma palestra. Quantas são as possibilidades? Obs: Lembre-se que A e F é a mesma dupla que F e A, ou seja, a ordem não importa.
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Existem 10 possibilidades de formar as duplas.
Probabilidade Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:
União de Eventos Considere A e B como dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, temos:
Eventos Mutuamente Exclusivos
Ex: Considerando todos os números naturais de 4 algarismos distintos que se podem formar com os algarismos 1, 3, 4, 7, 8 e 9. Qual é a probabilidade de sair um número que comece por 3 e termine por 7?
DICA: Memorize bem isso: Usamos Arranjos quando a ordem importa. Usamos Combinação quando a ordem não importa.
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_ _ _ _ _ _ A6,4 = 360 3 7 A4,2 = 12 P = 12/360 = 1/30 Usamos o arranjo para calcular a probabilidade porque, neste caso, a ordem importa, pois 341897 é diferente de 314897, por exemplo. Ex: Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Ao pegar 3 parafusos, ao acaso, qual é a probabilidade de que pelo menos dois sejam defeituosos? Então 2 ou 3 são defeituosos. Chamando de “D” o evento “2 são defeituosos” e de “B” o evento “3 são defeituosos”, temos: C = D U B p(C) = p(D) + p(B)
2 com defeito 1 sem defeito
todos p(B) = C5,3 = 10 = 0,00005 C50,3 19600 P(C) = 0,02296 + 0,00005 = 0,02301 Exercícios
1) Uma urna contém 6 bolas: duas brancas e quatro pretas. Retiram-se quatro bolas,
sempre com reposição de cada bola antes de retirar a seguinte. A probabilidade de só
a primeira e a terceira serem brancas é:
a) 1/81
b) 16/81
c) 4/81
d) 24/81
e) 2/81
2) A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma única bola de uma
urna que contém, exatamente, 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis é:
a) 1/3
b) 1/2
c) 1/4
d) 1/12
e) 1/8
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3) Retirando uma carta de um baralho comum de 52 cartas, qual a probabilidade de se
obter um rei ou uma dama?
4) Jogam-se dois dados “honestos” de seis faces, numeradas de 1 a 6, e lê-se o número
de cada uma das duas faces voltadas para cima. Calcular a probabilidade de serem
obtidos dois números ímpares ou dois números iguais?
Gabarito: 1 – c; 2 - 1/3; 3 – 2/13; 4 – 1/3
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Referências:
1. www.cursoagoraeupasso.com.br 2. Dante, L. R. Contexto e Aplicações, Editora Parma. 2002. 3. Nova – Apostilas para Concursos Públicos 4. www.acasadoconcurseiro.com.br 5. www.somatematica.com.br