respuesta temporal de sistemas

7/12/2019 Respuesta Temporal de Sistemas

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espuesta temporal de sistemas



Conceptos

Respuesta temporal de sistemas de primer

orden

Respuesta temporal de sistemas de

segundo orden

Introducci6n a la identificaci6n de sistemas

Respuesta de sistemas de orden superior

Nociones de estabilidad



Respuesta a un sa ito en u

" C dy(t) +yet) =Ku(t)dt

. . .r- U(

5

) . L _ K - - - - - '_ 1"s+ I

Y ( s )

K u K /1" u a ~ a (s + 1 /1") ~ SY (s)== -== -== -+ == + --

(1"S+ 1 ) s (s + 1 /1") S S S + 1/1" s(s + 1 /1") s(s + 1 /1")

para s ==0 ::::? KU /1" ==a/1"; a ==K u

para s ==-1 /1 " ::::? KU /1" ==- ~ /1"; ~ ==-K u

Y(s )=Ku( ! - 1); y(t) = L-1 [Y (s )] = KU (L -1 [!]-L -1 [ 1 ]\

s S + 1/1" S S + 1 /1" )

t

y(t) ==K u(I- e T )

t-~ te --

1" K u- +K u(I-e T ) =1"



Respuesta a un sa ito en u

U(s)

· 1

Y(s)

rdy(t) +yet) =Ku(t) K•

dt 1"S +1

= Ku(1- e ,t ) 1y(t)

. .

Ku

0 constan te de tiem po . .estab le , s in re tardo n i

b io de concavidad y

u

n cia = K = Ku/u

4



Interpretacion en 5

-t U(s)

· 1

Y(s)K

yet) = = Ku(l- e t ) •1"S +1

r s+1=0

polo = -1/1'y(t)

S

lo en la pa te real

uierda del plano s

Sir > 0 Respuesta estable,

sin cambio de concavidad ysobreamortiguada



In te rp re tac i6n en 5 ( 1 " < 0 )

-t U(s)

· 1

Y(s)K

yet) = = Ku(l- e t ) •1"S +1

r s +1=0

po lo = -1/1 'y(t)

posit ivo

S

lo en la pa te rea l derecha

l p lano s

S i r < 0

Res pu es ta in es ta ble

Prof. Cesar de Prada ISA-UVA E



Otros tipos de en tradas

Ejemplo: Impulso I U ( s ) I

- - - - + I " : ' [ s : 1Y ( s )

tKu --yet) = = -e.-

r

La estabilidad viene

determinada por la posici6n

del polo, no por el tipo de

entrada

7



S is tem as de segundo orden

+28 m dy(t) +m 2y(t) =K m 2u(t)n dt n n

Y ( s )

A~B

K c o2

n

u=O

r - ; - - - - u(t)=u

t=O

K gananc ia

8 amor t iguamiento

(Dn frecuenc ia p rop ia no

amor t iguada

es ta a una en trada sa ito en u (t)

8



S is tem as de segundo orden

U ( s ) Y ( s )Kco

2

n

Palos:

si C O n > 0

si 8 > 1 2 raices reales negativas

si 8 < 1 2 raices complejas conjugada:

-8con

+ jcon~1-82

9



In te rp re tac ion en 5

U ( s ) Y ( s )Kab

(s+a)(s+b)

lo mas a la derecha domina

a desaparici6n del transitorio y(t) = = e x + ~e -at + ye - bt

-a

y(t)

K u

en la par real

erda del pi no 5 u

10



S is tem as de orden superio r

m

K·IT(S+Zi)

( ) i=lS = -n----q -------

IT ( S + P i) . IT ( S 2 + 2 . r ; i • c o ni • S + (j);i)i=l i=l



· ,SIS em ser :

La respues ta tem pora l de es te

; Y(s) = Xes) -W(s) Im

K· n(S+Z2)

= L-I[X(s) -W(s)] =L-I 2 _ 2-1 _

S ~ ~n (s+~) .n ( S 2 + 2· ~ 2 . W ~ 2 . S + W ; 2 )

2-1 2-1

nq

= A· u(t) +I, · e-P i

-t + IM i • e-(i+W l1i-t• s i n e W i • t +

i= l i= l



n q

= A · u(t) + L B, · e-P it + LM i · e-,; i+W Ylit sin(wi• +;

1= 1 1= 1

I num erado r no in fluye en e l tipo de respues ta , es t

de te rm inado po r e l denom inado r.

e ros (B i, C i y D i): In fluyen en la am p litud de I e

pues ta , no en la fo rm a.

o los (P i): In fluye en e l tiem po exponenc ia l de caidr

la fu nc i6nos po los com p le jos in fluyen en la am ortiguac i6n d e

espuesta



S is tem as de orden superio r

U ( s ) Y ( s )

G ( s )

a ~ y u cr( - + + + 2 + ... + 2 2 + .... );s s+ a s- i -b (s+ b) s +28wns+wn

L-1[yes)] = =

L-1

[ ~ ] + L-1 [ s ~ a ] + L-

1 [ s : b ] + L-1

[(S +Ub) ] + ... + L-

1 [ s 2 + 2 8 :n

S + ill

a + ~e-a t + ye-b t + u te-b t + ... + e -o co ntsen (w n~1- 82 +~ ) + ...

estabilidad y tipos de respuesta la determinan los polos. Los ceros modifican lma de la respuesta pero no la estabilidad

1



de o rden superio r- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~

aci6n anterior, pueden existir polos multiples, tanto de primer como de sel

e observa que la respuesta del sistema de orden superior se compone de la S U I

de sistemas de primer y segundo orden. La respuesta en el tiempo es

la respuesta de un sistema estable de orden superior es la suma de una combir

exponenciales (primer orden) y sinusoidales amortiguadas (segundo orden).

c((0) = = ana es estable, el valor final es

ante comentar que los po los de lazo cerrado dan valor a los terrnlnos esponeamortiguados, mientras que los ceros de lazo cerrado afectan la mag

os residuos.



de orden superior- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~

n modelo de orden inferior es capaz de representar un sistema de alto orden

que la respuesta transitoria de un sistema de orden superior esta compuesta

ion de terrninos de respuestas de primer y segundo orden

en, el efecto de cada uno de estos terrnlnos sobre la respuesta total no es el

n de las partes reales de los polos de lazo cerrado....------------,

kO J k ) no del va lor de los residuos .(aj' bk

, Ck )

que tienen parte real mas negativa tienen residuos generalmente peqi

duran un tiempo muy corto. Por consiguiente contribuyen poco a la res]

Si se desprecian estos efectos, el sistema de orden superior se apr

uno de orden inferior.

arte, los polos mas cercanos a eje jw, tienen respuestas transitorias que dismmente y dominan el comportamiento de la transitoria total. Se denominan

de lazo cerrado.



as de orden superior - - - - J I

ciones analiticas que describen las respuestas transitorias d

s de orden superior son complejas

argo, casi siempre es posible representar la respuesta transitori

de alto orden por medio de un modele de orden inferior

plo, la respuesta transitoria ante un escalon del sistema de cua

G(s) = 136s4 +lSs3 +S7s2 +70s+136

es practices puede ser representada por el sistema de segundo

G(s) = 1.6s2+0 .5s+1.6

Se verificara 10 anterior utilizando r v



de o rden superio r--------------------~

so del ejemplo, el sistema en lazo cerrado

G(s) = 1 3 6s4 +18s3 +87s2 +70s+136

siguientes polos de lazo cerrado

43 }Sus efectos son de corta duraci6n (se desprecian)

44+1.3105i }Polos dominantes de lazo cerrado

que el sistema de segundo orden~----------------~

G(s) = 2 1.6s + O.5s +1.6

0+ 1.2400i - }

- 1.2400i

Polos de lazo cerrado



de o rden superio r

step( [136J, [1 18 87 70 136J)

e ab tiene la grafica de la respues ta trans ita ria de l s is tem a de cuarto arden

Step Response

From: U(1)

Q)

"'0 ~::J . . - -. . . . . . ~o, > - 0.8

E 0

« I-

0.6

Tim e (sec.)



de o rden superio r- - - - - - - - - - - - - - - - -

o los comando s: hol~ on step ( [1 . 6] , [1 O. 5 1. 6] )

la grafica anter ior y se obtiene la respues ta del m ode lo reducido

o,

E«

~. . - -

> - 0.8

oI-

Step Response

From: U(1)

1.6 ,------------,-----------,-------,------------,---------,

1.4

1.2

0.6Sis tem a orig ina l 4 o rden

S is tem a segundo orden.4

0.2

5 10 15 20 25

Tim e (sec.)



de o rden superio r- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~

emplo:

a ganancia de 1.6 en el sistema de segundo orden no hace que los polos d

sean los mismos que los polos dominantes de lazo cerrado del sistema de

aproximaci6n es suficiente para considerarlo como utll. (vease a las figura



la pos ic ion de los po los podem os de te rm inar

s i un s is tem a es es tab le 0 no :

Re

~jil 'EN'TI;' I;'C 'T A : ~ 1 I r : ; ', u , " ,·.L\" _,,' ,.!::. ~~i.1I . , ·.I:).,lLll::'

gO )

l m

t

t

R e

Jm _ P I

B ---xI

I

-n]

ES .ABLE

t\j~AilL; IN A U V~EN T[ ES .T A I

g ) ( 1

]NESTABLE



Conceptos

istema es estable si todos sus polos estan situados en el semiplano comph

istema es inestable si algun polo esta situado en el semiplano, complejo posit

isten polos multiples en el eje imaginario 0 en el origen.

istema es limitadamente estable si existe un solo polo en el origen, estando

situados en el semiplano negativo.

istema es marginalmente estable si existe una pareja simple (no multiples)complejos conjugados sobre el eje imaginario, estando los restantes po

os en el semiplano negativo.

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