residu dan kutub

7/25/2019 Residu Dan Kutub

1/24

N(z0, r)

Z0

r

z0

Compiled By: Pramudjono

Residu dan Kutub

.zo

.z1 .z

3

z2

z4

.

zn

.zi


2/24

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!

Residu di #a$ !in%%a

Sebelum sampai pada Residu kita lihat titik singular

terasing

Deinisi #iti$ &in%ular #erasin%Titik singular terasing z0dari fungsi f(z) adalah

merupakan titik singular terasing jika terdapat r > 0

sehingga f(z) analitik di 0


3/24

1nt1h"21nt1h Titik Singular Terasing3

(&) z 4 0 titik singular terasing dari f(z) 4

(') z 4 5 k6, k k 4 0, &, ', titik singular

terasing dari f(z) 4 se2 z

1nt1h"21nt1h titik singular tak terasing3

(&) 7ungsi f(z) 4 21se2 mempun#ai tak hingga ban#ak titik

singular #aitu z 4 0, z 4 k 4 &, ',

Titik z 4 0 merupakan titik singular tak terasing

f(z),

z 4 merupakan titik singular tak terasing f(z)

(') Titik z 4 0 bukan titik singular terasing

fungsi ln z, bila z0titik singular fungsi f(z) 4 ln z

maka ada r > 0 sehingga f(z) analitik di 0

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!


$age%

& ' *

+ - . &0

&& &' & & &*

&+ & &- &. '0

'& '' /nd

z

1

2

z

k

1

k

1


4/24

jadi f(z) dapat diekspansikan dalam deret 8aurent

sebagai berikut%

untuk 0 < < r

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!


$age%

& ' *

+ - . &0

&& &' & & &*

&+ & &- &. '0

'& '' /nd

+=

=0

0 )()(n

n

n zzazf

= 1 0)(nn

n

zz

b

0zz


5/24

D'()*)&) R'&)D+

9ila z0titik singular fungsi f(z) dan ekspansi 8aurent

fungsi

maka k1efisien dari #aitu b& disebut

residu f dititik singular terasing z0 N1tasi residu f titik singular

terasing z0 adalah Res (f, z0)

:arena dalam deret 8aurent b& 4

dengan lintasan tertutup tunggal arah p1sitif

#ang mengelilingi z0dan berada di daerah

0 < < r maka residu f dititik singular z0

bernilai sama dengan Res (f, z0)

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!


$age%

& ' *

+ - . &0

&& &' & & &*

&+ & &- &. '0

'& '' /nd

+=

=00 )()(

n

n

n zzazf

= 1 0 )(nn

n

zz

b

( ) 10zz

C

dzzfi

)(.2

1

0zz

=C

dzzfi

)(.2

1


6/24


7/24

;isalkan h(z) 4 maka untuk men2ari

residu f dititik singular z 4 ' adalah sebagai berikut3

/kspansikan e"zdalam pangkat (z = '), #aitu

e"z 4 e"'e"(z"')4 e"' sehingga

adi k1efisien adalah

Sehingga Res(h,') 4

,ati!an :

arilah Res (f, 0), bila f(z) 4 sin dan hitunglah

bila % arah p1sitif

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!


$age%

& ' *

+ - . &0

&& &' & & &*

&+ & &- &. '0

'& '' /nd

( )32

z

e z

( ) ( )

=

0 !

21

n

nn

n

z

( )32

z

e z

( ) ( )

=

=0

3

2

!

21

n

nn

nze

( ) 12 z ( ) ( )

!2

21 32

nz

( )

!2

1 2

2

1=

2

1

z

C

dzzf )( 1=z


8/24

#eorema:

9ila di dalam dan pada lintasan tertutup tunggal ,

fungsi f analitik ke2uali pada titik"titik singular di

dalam #ang ban#akn#a berhingga maka titik"titik

singular tersebut merupakan titik"titik singular

terasing f

9ukti%

.zo

.z1 .z3

z2

z4

.

zn

.zi

#eorema Residu Cau"!y:

ika f analitik di dalam dan pada lintasan tertutup

tunggal , ke2uali di titik"titik singular #ang ban#akn#a

berhingga di dalam maka

dimana jumlah semua residu di dalam

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!


$age%

& ' *

+ - . &0

&& &' & & &*

&+ & &- &. '0

'& '' /nd

= sidzzfC

Re2)(

sRe

d d b


9/24

9ukti%

;enurut te1rema titik singular hingga, untuk setiap

singular zk kita dapat membuat lingkaran k dengan

pusat zk dengan arah p1sitif, terletak di dalam

dan tidak saling berp1t1ngan

-enurut #eorema perluasan Cau"!y/oursat

4 '6i Res (f, z0) 5'6i Res (f, z&) 5'6i Res (f, z') 5'6i

Res (f, z)

4 '6i

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!


$age%

& ' *

+ - . &0

&& &' & & &*

&+ & &- &. '0

'& '' /nd

=

Cdzzf )( +

0)( dzzf +

1)( dzzf +

2)( dzzf +

3)( dzzf

3

0

),(Re kzfs

= si Re.2

R id d K b


10/24

Conto! Pen%%unaan #eorema Residu Cau"!y

& 9ila % ? z ? 4 ' arah p1sitif, hitunglah

a@ab%

Titik"titik singular dari f(z) 4 adalah z&4 0

dan z'4 "& keduan#a terletak di dalam , adi%

Antuk titik singular z&4 0

4 (& =z 5 z'

= z

5 )

5 & =z 5 z'= z5

adi Res (f,0) 4 '

Antuk titik singular z'4 "&

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!


$age%

& ' *

+ - . &0

&& &' & & &*

&+ & &- &. '0

'& '' /nd

+

+

C

dz

zz

z

)1(

23

)1(

23

+

+

zz

z

Cdzzf )(

= si Re.2

)1(

23)(

+

+=

zz

zzf )

1

1)(

23(

++=

zz

)

2

3( z+

z

2=

R id d K t b


11/24

'4( & 5 (&5z) 5 (&5z)'5 )

Sehingga f(z) 4

4 ( "'(& 5 (&5z) 5 (&5z)'5 ))

" ' = '(z5&) " B

adi Res (f,"&) 4 &

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!


$age%

& ' *

+ - . &0

&& &' & & &*

&+ & &- &. '0

'& '' /nd

=z

2

)1(1

1

z+

)1(

23

+

+

zz

z)

1

1)(

23(

++=

zz

1

1

+z

1

1

+=z

C dzzf )( = si Re.2 ( )12.2 += i

=C

idzzf .6)(

R id d K t b


12/24

K+#+B

;isalkan z0 titik singular terasing dari fungsi f(z),

/kspansi 8aurent dapat disajikan,

0 < < r, dimana disebut ba%ian

utama un%si pada $itar titi$ sin%ular terasin%

z0 9agian utama fungsi f ini biasa berupa deret tak

hingga, bisa juga berupa deret hingga

0 < < r dengan b

m

C 0 ika m 4 & maka z0

dinamakan kutub tingkat satu atau kutub tunggal

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!


$age%

& ' *

+ - . &0

&& &' & & &*

&+ & &- &. '0

'& '' /nd

=

=0

0 )(

n

nn zza +

=1 0 )(nn

n

zz

b+

=0

0 )(

n

nn zza

=

1

0 ).(

n

nn zzb

0zz

=

1

0 ).(n

n

n zzb

0zz

R id d K t b


13/24

Deinisi Kutub:

ika bagian utama fungsi f pada kitar titik singular

terasing z0 han#a berupa satu suku saja, maka z0dinamakan $utubfungsi f adi kalau z0kutub fungsi

f maka ekspansi 8aurent fungsi f pada kitar z0,

terdapat m bulat p1sitif sehingga k1efisien 8aurent

bmC 0 dan bj40 untuk semua j > m !alam hal ini z0

dinamakan kutub tingkat m fungsi f !engan

demikian kalau z0 kutub tingkat m fungsi f, maka

terdapat r > 0 sehingga f(z) 4

0 < < r dengan bm C 0 ika m 4 & maka z0

dinamakan kutub tingkat satu atau kutub tunggal

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!


$age%

& ' *

+ - . &0

&& &' & & &*

&+ & &- &. '0

'& '' /nd

( )+

=

m

m

zz

bzf

0

)(( )

+

1

0

1

m

m

zz

b

( )+

+

0

1...zz

b

=

0

0)(n

n

n zza

0zz

R id d K t b


14/24

Conto!"onto! $utub:

& 9ila f(z) 4 maka ekspansi 8aurent f(z)

adalah f(z) 4

adi titik singular z 4 0 merupakan kutub

tunggal fungsi f(z) 4

' 7ungsi g(z) 4 mempun#ai dua titik

singular #aitu,z 4 & dan z 4 0

/kspansi g di sekitar z 4 &, 0 < < &

adalah ekspansi 8aurent f(z) adalah%

/kspansi g di sekitar z 4 &, 0 < < &

adalah ekspansi 8aurent f(z) adalah%

adi z 4 0 merupakan kutub tingkat dua fungsi g(z)

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!


$age%

& ' *

+ - . &0

&& &' & & &*

&+ & &- &. '0

'& '' /nd

3

cos1

z

z

...!8!6!42

1 53++

zzz

z

3

cos1

z

z

2)1(

1

zz

0zz

=

= p

n

nn zn

zzg

1

1)1(.)1(

1

1)( ...)1(31

1 ++

= zzz

0zz

== =

p

n

nzz

zg

02

1)( ...1

11 22

+++++ zzzz

R id d n K t b


15/24

atatan%

Titik"titik singular terasing f(z) #ang buka merupakan

titik kutub disebut titik singular terasing esensial

Teorema Residu Kutub tingkat m

ika z0 kutub tingkat m fungsi f maka terdapat

sekitar 0 < < r, r > 0 sehingga fungsi f

dapat dituliskan sebagai f(z) dengan

(z) analitik di 0 < < r, (z) C 0 dan

Res (f, z0) 4

Kebalikan Teorema Residu Kutub tingkat mika fungsi f(z) dapat dituliskan sebagai dengan

(z) analitik di z0dan (z) C 0 maka z0 merupakan

kutub tingkat m dari f dan Res (f, z0) 4

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!


$age%

& ' *

+ - . &0

&& &' & & &*

&+ & &- &. '0

'& '' /nd

0zz

0zz

m

zz

z

)(

)(

0

)!1(

)( 0)1(

m

zm

mzz

z

)(

)(

0

)!1(

)( 0)1(

m

zm

Residu dan Kutub


16/24

Pen%%unaan teorema residu$utub dan $ebali$an%

& f(z) 4 dapat ditulis sebagai f(z)4

dengan (z) 4 analitik di z 4 0 dan

(0) 4 maka menurut kebalikan

te1rema residu kutub z 4 0 merupakan kutub

tingkat & atau kutub tunggal fungsi f(z)

' fungsi f(z) dapat juga dituliskan sebagai

dengan analitik di z 4 dan

maka menurut kebalikan te1rema residu kutub

z 4 merupakan kutub tingkat ' dan

Res (f, ) 4

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!


$age%

& ' *

+ - . &0

&& &' & & &*

&+ & &- &. '0

'& '' /nd

2)3(

cos

zz

z

z

z)(

2)3(

cos

z

z

2)3(

1

09

1=

2)3(

)(

z

z

z

zz

cos)( = 0

3

3cos)3( =

9

3cos3sin3

!1

)3(1 +=

Residu dan Kutub


17/24

#eorema Residu Kutub #un%%al

ika z0kutub tunggal fungsi f , maka

Res (f, z0) 4 (z =z0) f(z)

1nt1h $enggunaan Te1rema Residu :utub Tunggal3

& $ada 21nt1h kutub telah ditunjukkan bah@a z 4 &

merupakan kutub tunggal dari g(z) 4

maka Res (g, &) 4 (z =&) 4 4 "&

' $ada 21nt1h penggunaan te1rema residu"kutub telah

ditunjukkan ba@a z 4 0 merupakan kutub tunggal dari

4f(z) maka Res (f, 0) 4

4 4

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!


$age%

& ' *

+ - . &0

&& &' & & &*

&+ & &- &. '0

'& '' /nd

0

limzz

2

)1(

1

zz

1

11

limz 2)1(

1

zz

2)3(coszzz

0limz 2)3(

coszz

2)3(

1

9

1

Residu dan Kutub


18/24

#eorema #iti$ &in%ular (un%si asil Ba%i

0 maka z0ika f dan g analitik di z0dan f(z0)

jika dan han#a jikamerupakan titik singular terasing

g(z0) 4 0

#eorema Kutub #un%%al (un%si asil Ba%i

ika f dan g analitik di z0dan f(z0) 0, g(z0) 4 0dan gD(z0) 0, maka z0adalah kutub tunggal dari

(dan Res , z0)4

#eorema Kutub #in%$at m (un%si asil Ba%i

ika f dan g analitik di z0dan f(z0) 0, g(z0) 4 gD(z0)4

4g(m"&)(z0)4 0,

g(m)(z0) 0, maka z0adalah kutub tingkat m fungsi

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!


$age%

& ' *

+ - . &0

&& &' & & &*

&+ & &- &. '0

'& '' /nd

gf

g

f

)('

)z(

0

0

zg

f

g

f

g

f

Residu dan Kutub


19/24

:husus untuk m 4 ' te1rema di atas mudah dirumuskan

residun#a Seperti te1rema berikut

#eoremaika f dan g analitik di z0dan f(z0) 0, g(z0) 4 gD(z0) 4 0,

tetapi gDD(z0) 0, maka z0adalah kutub tingkat ' fungsi

dan Res ( , z0) 4 "

3. R'&)D+ di #a$ in%%a

z titik singulat di z 4 , jika dipenuhi bah@a,

4(" f( ) ("zf(z) ada, selanjutn#a

(" f( )4

("zf(z) 4 Res(f, )

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!


$age%

& ' *

+ - . &0

&& &' & & &*

&+ & &- &. '0

'& '' /nd

g

f

g

f

)(''

)z('2

0

0

zg

f2

0

0

)3(

0

))(''(3

)z()z(2

zg

gf

1

1

0lim

z

lim

0lim

1

1

zlim

Residu dan Kutub


20/24

Deinisi:

ika fungsi f analitik atau mempun#ai titik singular

terasing di z 4 , dan jika lingkaran besar berpusat

di 0 #ang mengelilingi semua titik singular f #ang terletakpada bagian hingga bidang k1mpleks dan #ang

mempun#ai arah negatif, maka residu fungsi f di z 4

didefinisikan sebagai3

Res(f(z), z 4 ) 4

Dalam deinisi ini lin%$aran C berara! ne%ati.

#eorema

ika suatu fungsi han#a mempun#ai berhingga ban#ak

titik singular, maka jumlah residu di titik"titik singular itu,

termasuk residu di tak hingga adalah n1l

1nt1h%

Eitunglah Res(f, ), jika f(z) 4

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!


$age%

& ' *

+ - . &0

&& &' & & &*

&+ & &- &. '0

'& '' /nd

C

dzzf

i

)(

.2

1

)3)(2)(1(

3

zzz

z

Residu dan Kutub


21/24

$en#elesaian%

Titik"titik singular f pada bagian berhingga bidang

k1mpleks han#alah kutub tunggal di z 4 &, z 4 ', dan z 4

ika z0kutub tunggal menurut te1rema di atas maka

(z=z0)f(z) didapatRes(f,z0) 4

Res(f ,&) 4

Res(f,') 4 "-

Res(f,) 4 &

!ari te1rema terakhir didapat

Res (f, ) 4 (Res(f ,&) 5 Res(f,') 5 Res(f,)) 4 "+

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!


$age%

& ' *

+ - . &0

&& &' & & &*

&+ & &- &. '0

'& '' /nd

0

limzz

2

1

2

1

Residu dan Kutub


22/24

#u%as -in%%u Depan K',-PK

1 satu Kelompo$ -a$simum 3 oran% di$umpul$an

pada saat $uis

& Tentukan Res(f, ) dan Res(h, &) untuk

f(z) 4 dan h(z) 4

' ika z0kutub tunggal f, buktikan

Res(f,z0) 4 (z=z0)f(z)

9uktikan bah@a titik singular masing"masing fungsi di

ba@ah ini adalah kutub Tentukan tingkat masing"

masing kutub dan residu fungsi di kutubn#a

a b 2

d e

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!


$age%

& ' *

+ - . &0

&& &' & & &*

&+ & &- &. '0

'& '' /nd

4

1

4

1

cos

z

z2

3

)2)(1( zz

z

0

limzz

zz

z

+

+2

34

sin

z

zz3

21

z

e z

2

3

)2( z

e z

4

cos

z

z

Residu dan Kutub


23/24

Tentukan residu se2 za dan 21tg z disetiap kutubn#a

* Eitunglah ika lingkaran berarah p1sitif

a b

+ Antuk lingkaran (a) , (b) dan

(2) dengan arah p1sitif tentukan nilai

Eitunglah Res(f, ), jika

a) f(z) 4

b) f(z) 4

Residu dan Kutub

Residu

Kutub

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!

a. Deinisi

b. Conto!

". #eorema

d. Conto!


$age%

& ' *

+ - . &0

&& &' & & &*

&+ & &- &. '0

'& '' /nd

+

C zz

dzz

)3()1(

)1(2

2

2=z 22 =z

2=z2

1= iz

21=z

+C

zz

dz

)1( 33

)3)(2)(1(

2

2

izzz

z

++

22

2

)3)(2)((

sin

+ zzz

zz


24/24

Terima :asih, Ftas $erhatian Fnda

$age%

& ' *

+ - . &0

&& &' & & &*

&+ & &- &. '0

'& '' /nd

residu dan kutub

Documents