representasi peubah komplek
TRANSCRIPT
i
REPRESENTASI PEUBAH KOMPLEK
ii Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
REPRESENTASI PEUBAH KOMPLEK © 2020
Penulis
Dr. Dwi Purnomo, M.Pd.
Desain Cover & Penata Isi
Tim Media Nusa Creative
Cetakan I, Juni 2020
Diterbitkan oleh :
Media Nusa Creative Anggota IKAPI (162/JTI/2015) Bukit Cemara Tidar H5 No. 34, Malang Telp. : 0822 3789 1717 E-mail : [email protected] Website : www.mncpublishing.com
ISBN 978-602-462-408-8
Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau
memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ke dalam bentuk apapun,
secara elektronis maupun mekanis, termasuk fotokopi, merekam, atau
dengan teknik perekaman lainnya, tanpa izin tertulis dari Penerbit.
Undang-Undang Nomor 19 Tahun 2000 tentang Hak Cipta, Bab XII
Ketentuan Pidana, Pasal 72, Ayat (1), (2), dan (6)
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo iii
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT. atas
semua limpahan rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulisan buku
ajar yang berjudul Representasi Peubah Komplek dapat diselesaikan
sesuai dengan rencana sebelumnya. Namun demikian mengingat
kekurangan dan sifat “manusiawi” penulis sehingga materi dalam
buku ajar yang telah disusun belum sesuai dengan harapan dari
para pengguna dan pembaca.
Penulisan buku ajar Representasi Peubah Komplek
merupakan penyempurnaan dari kumpulan modul yang digunakan
oleh penulis dalam kegiatan perkuliahan Analisis Variabel Komplek.
Pada buku ajar yang disusun telah dilakukan beberapa revisi dan
penambahan materi dari modul yang digunakan sebelumnya. Revisi
yang dilakukan terutama pada Bab II, III, dan IV. Secara keseluruhan
buku ajar Representasi Peubah Komplek menjelaskan beberapa
konsep yang berkaitan dengan sistem koordinat dalam bidang dan
ruang, sistem bilangan komplek, operasi-operasi dasar bilangan
komplek, nilai mutlak, pembangun aksioma sistem bilangan
komplek, representasi grafis bilangan kompek, bentuk polar
bilangan komplek, teorema de Moivre, akar-akar bilangan komplek,
rumus Euler, persamaan polinomial, akar-akar ke-n dari satuan,
interpretasi vektor bilangan komplek, representasi spherical
bilangan komplek, hasil kali titik dan silang, koordinat-koordinat
konjugate komplek, himpunan-himpunan titik, dan fungsi dalam
peubah komplek serta jumlah dan selisih dua sudut.
Penyusuan buku ajar Representasi Peubah Komplek dari
awal hingga akhir telah dibantu mendapat motivasi dari teman-
teman dan kolega, khususnya teman satu profesi di Program Studi
Pendidikan Matematika Institut Keguruan dan Ilmu Pendidikan
(IKIP) Budi Utomo Malang, lebih-lebih para mahasiswa sebagai
iv Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
inspiring dan motivator bagi penulis. Semoga semua konsep teori
pendukung, pembahasan soal, dan soal-soal latihan yang disajikan
dalam buku ajar ini dapat berguna dan membantu mahasiswa yang
sedang mengikuti perkuliahan Analisis Variabel Komplek.
Kekurangan dan kekhilafan disana sini Insya’allah diperbaiki
dikemudian hari.
Malang, 1 Juni 2020
Penulis
Dwi Purnomo
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo v
Halaman
Halaman Sampul ........................................................................ i
Halaman Judul ............................................................................ ii
Kata Pengantar ............................................................................ iii
Daftar Isi ...................................................................................... v
Halaman Persembahan ............................................................... vii
Bab I. KOORDINAT DALAM BIDANG DAN RUANG 1
1.1. Sistem Koordinat dalam Bidang ............................ 2
1.2. Sistem Koordinat dalam Ruang ............................. 21
1.3. Sistem Koordinat Lainnya ...................................... 28
Bab II. SISTEM BILANGAN KOMPLEK ........................ 35
2.1. Sistem Bilangan Real ............................................... 36
2.2. Representasi Grafik Bilangan Real ......................... 37
2.3. Sistem Bilangan Komplek ....................................... 58
2.4. Operasi Dasar Bilangan Komplek .......................... 60
2.5. Nilai Mutlak ............................................................. 65
2.6. Pembangun-pembangun Aksiomatis dari Sistem
Bilangan Komplek ................................................... 70
2.7. Representasi Grafik Bilangan Komplek ................ 74
2.8. Bentuk Polar Bilangan Komplek ............................ 78
Bab III. TEOREMA SISTEM BILANGAN KOMPLEK ... 87
3.1. Teorema de Moivre ................................................. 88
3.2. Akar-akar Bilangan Komplek.................................. 97
3.3. Rumus Euler ............................................................ 107
3.4. Persamaan-persamaan Polinomial ........................ 114
3.5. Akar-akar ke-n dari Satuan .................................... 119
vi Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
3.6. Interpretasi Vektor dari Bilangan Komplek .......... 121
3.7. Representasi Spherical Bilangan Komplek ............ 125
3.8. Hasil Kali Titik dan Silang ...................................... 126
3.9. Koordinat-koordinat Konjugate Bilangan
Komplek ................................................................... 130
3.10. Himpunan-himpunan Titik .................................... 132
3.11. Soal-soal ................................................................... 135
Bab IV. FUNGSI DALAM PEUBAH KOMPLEK ............. 139
4.1. Pengantar ................................................................. 140
4.2. Fungsi-fungsi dalam Peubah Komplek ................. 142
4.3. Soal-soal ................................................................... 153
Bab V. JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT .............. 157
5.1. Jumlah Dua Sudut ................................................... 158
5.2. Selisih Dua Sudut .................................................... 167
5.3. Rumus Sudut Kembar dan Sudut Pertengahan .... 172
5.4. Perubahan Jumlah atau Selisih Menjadi Hasil
Perkalian Sudut ....................................................... 177
5.5. Menghitung Dua Sudut Jika Diketahui Jumlah
dan Pembagian Sinus Sudut ................................... 181
5.6. Menghitung Dua Sudut Jika Diketahui Jumlah
dan Pembangian Tangen Sudut ............................. 183
5.7. Menghitung Dua Sudut Jika Diketahui Jumlah
dan Pembangian Consinus Sudut .......................... 184
5.8. Soal-soal ................................................................... 186
DAFTAR PUSTAKA ................................................................. 189
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo vii
Untuk Istri dan Anak-anakku tercinta
viii Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 1
KOORDINAT DALAM
BIDANG DAN RUANG
ab I dalam bahan ajar ini membahas tiga hal pokok yang
berkaitan dengan koordinat bidang dan ruang, yaitu: (1)
sistem koordinat dalam bidang, (2) sistem koordinat ruang,
(3) sistem koordinat lainnya, dan (4) soal-soal.
Standar Kompetensi
Setelah mempelajari pokok bahasan pada Bab I diharapkan
mahasiswa memahami sistem koordinat dalam bidang dan ruang
serta dapat menerapkannya pada masalah-masalah praktis dalam
kehidupan sehari-hari.
Kompetensi Dasar
1) Mahasiswa dapat menjelaskan kembali tentang sistem koordinat
dalam bidang dan ruang.
2) Mahasiswa dapat membedakan letak suatu titik pada bidang
dalam koordinat kartesius dan koordinat kutub.
3) Mahasiswa dapat membedakan letak suatu titik pada ruang
dalam koordinat kartesius, koordinat tabung, dan koordinat bola.
4) Mahasiswa dapat menggambarkan letak suatu titik dalam bidang
dan ruang dengan menggunakan aturan sistem koordinat yang
sesuai.
5) Mahasiswa dapat menjelaskan kembali pengertian sistem
koordinat ekliptika heliosentrik, sistem koordinat ekliptika
geosentrik, sistem koordinat ekuator geosentrik, dan sistem
koordinat horison.
B
2 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Sistem koordinat adalah suatu cara yang digunakan untuk
menentukan letak suatu titik pada bidang )( 2R atau ruang )( 3R .
Adalah ahli matematika berkebangsaan Perancis bernama Pierre
Fermat (1601-1665) dan Rene Descartes (1596-1650) yang telah
memperkenalkan sistem koordinat yang kita kenal hingga saat ini.
Dasar pemikiran kedua ahli tersebut adalah untuk menunjukkan
kedudukan sebarang titik (sebut saja P) pada bidang atau ruang.
Seiring perkembangan pengetahuan dan teknologi,
selanjutnya letak suatu titik pada suatu bidang atau ruang
dinyatakan dalam koordinat atau pasangan berurutan. Pada bidang,
letak suatu titik dinyatakan dalam koordinat kartesius (siku-siku)
dan koordinat polar (kutub). Sedangkan pada ruang letak suatu titik
dinyatakan dalam koordinat kartesius, koordinat tabung atau
koordinat bola.
Selain ketiga macam sistem koordinat sebagaimana
disebutkan di atas,terdapat beberapa sistem koordinat yang lain
yang digunakan dalam ilmu hisab atau ilmu perbintangan
(astronomi). Sistem koordinat dalam ilmu hisab dan astronomi
tersebut adalah: (1) sistem koordinat ekliptika heliosentris
(heliocentric ecliptical coordinate), (2) sistem koordinat ekliptika
geosentris (Geocentric Ecliptical Coordinat). (3) sistem koordinat
ekuator geosentris (geocentric equatorial coordinate). (4) sistem
koordinat horison (horizontal coordinate).
Keempat sistem koordinat di atas termasuk ke dalam
koordinat bola. Sebenarnya masih ada sistem koordinat lainnya,
seperti sistem koordinat ekuator toposentrik (topocentric equatorial
coordinate). Namun tidak dibahas dalam tulisan ini.
1.1 Sistem Koordinat dalam Bidang (R2)
Sebagaimana telah dijelaskan sebelumnya, bahwa letak
suatu titik dalam bidang dinyatakan dalam koordinat kartesius atau
koordinat kutub. Masing-masing sistem koordinat dalam bidang
dijabarkan sebagai berikut:
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 3
Sistem Koordinat Kartesius
Istilah kartesius digunakan untuk mengenang ahli
matematika sekaligus filosuf dari Perancis Rene Descartes, yang
perannya besar dalam menggabungkan Aljabar dan Geometri.
Kartesius adalah latinisasi untuk Descartes. Hasil kerjanya sangat
berpengaruh dalam perkembangan Geometri Analitik, Kalkulus,
dan Kartografi. Ide dasar sistem ini dikembangkan pada tahun 1637
dalam dua tulisan karya Descartes. Pada bagian kedua dari
tulisannya Discourse on Method, ia memperkenalkan ide baru untuk
menggambarkan posisi titik atau obyek pada sebuah permukaan,
dengan menggunakan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu
dengan yang lain. Dalam tulisannya yang lain, La Géométrie, ia
memperdalam konsep-konsep yang telah dikembangkannya.
Sistem koordinat kartesius dalam dua dimensi umumnya
didefinisikan dengan dua sumbu yang saling bertegak lurus antar
satu dengan yang lain, yang keduanya terletak pada satu bidang
XOY. Sumbu horizontal diberi label X, dan sumbu vertikal diberi
label Y, Pada sistem koordinat tiga dimensi, ditambahkan sumbu
yang lain yang sering diberi label Z. Sumbu-sumbu tersebut
ortogonal antar satu dengan yang lain. Titik pertemuan antara kedua
sumbu, titik asal, umumnya diberi label O (origin). Setiap sumbu juga
mempunyai besaran panjang unit, dan setiap panjang tersebut diberi
tanda dan ini membentuk semacam grid. Untuk mendeskripsikan
suatu titik tertentu dalam sistem koordinat dua dimensi, nilai x
disebut absis lalu diikuti nilai yang disebut ordinat. Dengan
demikian, format yang dipakai selalu (x,y) dan urutannya tidak
dibalik-balik.
Perhatikan gambar sumbu koordinat siku-siku berikut ini
4 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Gambar 1.1
Pada Gambar 1.1 di atas, terdapat 4 bidang simetris yang
dibatasi oleh sumbu-sumbu koordinat X dan Y , masing-masing
bidang yang dibatasi oleh sumbu-sumbu koordinat dinamakan
kuadran. Pada Gambar 1.1 di atas terdapat 4 kuadran, yaitu kuadran
I dengan batas-batas (x>0, y>0), kuadran II dengan batas-batas (x<0,
y>0), kuadran III dengan batas-batas (x<0, y<0), dan kuadran IV
dengan batas-batas (x>0, y<0). Dengan demikian dapat dibuat tabel
keberadaan kuadran sebagai berikut:
Kuadran Nilai x Nilai y
I > 0 > 0
II < 0 > 0
III < 0 < 0
IV > 0 < 0
Misalkan P(x,y) sebarang titik pada bidang XOY, maka letak
titik P tersebut sangat memungkinkan posisinya di kuadran I,
kuadran II, kuadran III, atau kuadran IV tergantung dari besaran x
dan besaran y.
X
Y
0
0
y
x
0
,0
y
x
0
,0
y
x
0
,0
y
x
IKuadranIIKuadran
IIIKuadran IVKuadran
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 5
Perhatikan Gambar 1.2 berikut.
Gambar 1.2
Pada gambar 1.2 keempat kuadran sistem koordinat
kartesius. Panah yang ada pada sumbu berarti panjang sumbunya
tak terhingga pada arah panah tersebut. Pilihan huruf-huruf didasari
oleh konvensi, yaitu huruf-huruf yang dekat akhir (seperti x dan y)
digunakan untuk menandakan variabel dengan nilai yang tak
diketahui, sedangkan huruf-huruf yang lebih dekat awal digunakan
untuk menandakan nilai yang diketahui.
Misal P(x1,y1) dan terletak di kuadran I hal ini berarti x1>0
dan y1>0
6 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Gambar 1.3
Gambar1.3 di atas menunjukkan bahwa OPM yang salah
satu sudutnya siku-siku dititik M. Menurut teorema Pythagoras
OP2 = OM2 + MP2
= (x1-0)2 + (y1-0)2
= x12 + y12
= 2
1
2
1 yx
atau ditulis dengan notasi 2
2
2
1 yxOP
Rumus di atas dinamakan rumus jarak dua titik yang
menghubungkan titik O (0,0) dengan titik P(x1
,y1
) Selanjutnya
perhatikan gambar berikut.
Y
X
),( 11 yxP
1y
)0,0(O )0,( 1xM1x
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 7
Gambar 1.4
Gambar 1.4 tampak bahwa PQR masing-masing titik sudutnya
),( 11 yxP terletak pada kuadran II, ),( 22 yxQ terletak pada kuadran
IV, ),( 33 yxR terletak pada kuadran III. Jarak masing-masing titik
sudut PQRdapat dinyatakan dengan:
1. 22 )()( PQPQ yyxxPQ
2
12
2
12 )()( yyxx
2. 22 )()( PRPR yyxxPR
2
13
2
13 )()( yyxx
3. 22 )()( QRQR yyxxQR
2
13
2
23 )()( yyxx
Selanjutnya, misal ),( 11 yxP dan ),( 22 yxQ terletak pada bidang,
maka jarak dua titik P dan Q dapat dinyatakan dengan rumus
2
12
2
12 )()( yyxxPQ
),( 22 yxQ
X
),( 11 yxPY
),( 33 yxR
8 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Untuk membuktikan rumus tersebut dapat dilakukan dengan
menggunakan teorema Pythagoras.
Selanjutnya perhatikan Gambar 1.5 berikut ini.
Gambar 1.5
Berdasarkan gambar 1.5 di atas, pandang PSQ, dengan
menggunakan teorma Pythagoras 222 QSPSPQ
2
12
2
12 )()( yyxxPQ
22 )()( PQPQ yyxxPQ
Selanjutnya
Pada Gambar 1.5 di atas M adalah sebarang titik pada garis PQ
dengan perbandingan nmMQPM :: atau n
m
MQ
PM
Sehingga diperoleh
PM’ : MQ’ = m : n dan MM’ : QQ’ = m : n
Selanjutnya akan dicari koordinat M.
),( 22 yxQ
),(' 2 yxQ
),(' 1yxM
),( yxM
),( 11 yxP
Y
X
n
m
),( 12 yxS
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 9
Karena
n
m
MQ
PM
'
' maka
n
m
xx
xx
)(
)(
2
1
)()( 21 xxmxxn
12)( nxmxxnm
)(` 12
nm
nxmxx
atau
nm
nxmxx
PQ
Dengan cara yang sama
n
m
MM
'
'maka
n
m
yy
yy
)(
)(
2
1
)()( 21 yymyyn
12)( nymyynm
)(12
nm
nymyy
Jika diketahui ),( 11 yxP dan ),( 22 yxQ dan ),( yxM titik tengah PQ
maka koordinat M dapat ditentukan dengan rumus :
221 xx
xM
dan
221 yy
yM
Pembuktian rumus di atas ditinggalkan penulis sebagai latihan bagi
pembaca buku ini.
Perhatikan beberapa contoh berikut ini.
1) Tentukan jarak titik P(3,5) dan Q(1,-6).
Jawab
Untuk menentukan jarak titik P dan Q dapat digunakan rumus
PQ 22 )()( PQpQ yyxx
= 22 )56()31(
= 22 )11()2(
= 1214
= 5 3
10 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
2) Tunjukkan bahwa titik-titik A(3,8), B(-11,3), dan C(-8,-2) adalah
titik-titik sudut dari segitiga sama kaki ABC.
Jawab
Dengan menggunakan rumus jarak dua titik, diperoleh
221AB
BC = 34 dan AC = 221
Karena panjang sisi AB sama dengan panjang sisi AC, maka dapat
dikatakan segitiga tersebut di atas adalah segitiga sama kaki.
3) Tunjukkan bahwa titik A(-3,-2), B(5,2) dan C(9,4) terletak pada
satu garis lurus
Jawab
Terlebih dahulu dicari panjang AB, BC, dan AC
Dengan rumus jarak dua titik diperoleh AB = , BC = 2 5
dan AC = 6 5 , sehingga AC + BC = AC, hal ini berarti titik A, B,
dan C terletak pada satu garis lurus
Gradien Garis Lurus
Gambar 1.6
54
),( 22 yxQ
),(' 2 yxQ
),( 12 yxR),(' 1yxM
),( yxM
),( 11 yxP
Y
X
n
m
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 11
Pada Gambar 1.6 di atas jika garis PQ diperpanjang, maka
garis tersebut akan memotong sumbu X atau sumbu Y. Sudut yang
dibentuk oleh garis PQ dengan sumb X disebut disebut inklinasi.
Selanjutnya perhatikan PQR, menurut perbandingan goniometri
diperoleh
PR
QRtan
12
12
xx
yy
Perbandingan goniometri tersebut selanjutnya disebut kemiringan
atau gradien atau tangensial dan dinotasian dengan
12
12tanxx
yy
PR
QRm
.
Dengan demikian gradien garis lurus didefinisikan sebagai tangen
dari sudut inklinasi.
Misal 1l dan
2l dua garis yang terletak pada sumbu koordinat, maka
beberapa hal yang mungkin dari kedua garis tersebut adalah:
1. 1l dan
2l sejajar
2. 1l dan
2l berpotongan
3. 1l dan
2l atau saling tegak lurus.
Jika 1l dan
2l sejajar syarat yang harus dipenuhi adalah gradien 1l
dan gradien 2l sama atau
21 mlml .Jika 1l dan
2l saling tegak lurus
maka dengan memperhatikan Gambar 1.7 di bawah ini
12 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Gambar 1.7
Karena 1l dan
2l saling tegak lurus, maka 12 , sehingga
)tan(tan 12 )
)12
12
cos(
)sin(
1212
1212
sinsincoscos
sincoscossin
Dengan membagi masing-masing bagian dengan 12 coscos ,
diperoleh
12
12
tantan1
tantantan
12
12
1 mm
mm
Karena 1l dan
2l saling tegak lurus, maka o90 , sehingga
haruslah
01 21 mm atau 121 mm
X
Y
2l1l
1 2
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 13
Luas Poligon yang Titik Sudutnya Ditentukan
Perhatikan Gambar 1,8 di bawah ini.
Misal ),( 11 yxP , ),( 22 yxQ , dan ),( 33 yxR . Adalah titik sudut
segitiga yang terletak pada bidang XOY seperti berikut.
Gambar 1.8
Pada Gambar 1.8 di atas, luas PQR adalah
= (Luas trapesium PP’Q’Q + luas trapesium QQ’R’R)- luas trapesium
P’R’RP
))((2
1))((
2
1))((
2
1123132231331 xxyyxxyyxxyy
)})(())(())({(2
1123132231331 xxyyxxyyxxyy
}{2
1122211213222332313331131 xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy
)}()(2
1213213122331 xyxyxyxyxyxy
Y
),( 22 yxR
),( 33 yxQ
),( 11 yxP
'P 'Q 'RX
14 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Bentuk di atas dapat dinyatakan dalam bentuk determinan matrik
ordo 3 x 3
1
1
1
2
1
33
22
11
yx
yx
yx
A
Soal-soal
1. Buatlah ruas garis dan tentukan jarak antara pasangan titik yang
diketahui berikut ini:
a. P(4,5) dan Q(-1,3)
b. P(8,-2) dan Q(3,-1)
c. P(-1,-2) dan Q(-3,-8)
d. P(5,3) dan Q(2,-5)
2. Gambarlah luas suatu poligon (segi banyak) yang titik-titik
sudutnya adalah
a. (-3,2), (1,5), (5,3), (1,-2)
b. (-5,0), (-3,-4), (3,-3), (7,2), (1,6)
3. Tunjukkan bahwa segitiga yang titik-titik sudutnya dibawah ini
adalah sama sisi.
a. A(2,-2), B(-3,-4) dan C(1,6)
b. K(-2,2), L(6,6) dan M(2,-2)
c. P(6,7), Q(-8,-1) dan R(-2,-7)
d. U(2,4), V(5,1) dan W(6,5)
4. Tunjukkan bahwa segitiga berikut adalah siku-siku dan
tentukan luasnya dengan menggunakan aturan yang ada.
a. A(0,9), B(-4,-1), dan C(3,2)
b. P(10,5), B(3,2), dan C(6,-5)
c. A(3,-2), B(-2,3), dan C(0,4)
d. K(-2,8), L(-6,1), dan N(0,4)
5. Buktikan bahwa titik-titik berikut ini adalah paralelogram
a. (-1,-2), (0,1), (-3,2), dan (-4,-1)
b. (-1,-5), (2,1), (1,5), dan (-2,-1)
c. (2,4), (6,2), (8,6), dan (4,8)
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 15
6. Tunjukkan bahwa titik-titik berikut terletak pada satu garis lurus
dengan menggunakan metode jarak.
a. (0,4), (3,-2), dan (-2,8)
b. (-2,3), (-6,1), (-10,-1)
c. (1,2), (-3,10), (4,-4)
d. (1,3), (-2,-3), (3,7)
7. Tentukan sebuah titik yang berjarak 10 satuan dari titik (-3,6)
8. Tentukan koordinat titik P(x,y) yang membagi ruas garis dengan
perandingan diketahui:
a. A(4,-3), B(1,4) dengan AP:PB = r = 2
b. A(2,-5), (6,3) dengan AP:PB = r = ¾
c. A(-5,2), B(1,4) dengan AP:PB = r = -5/3
d. A(0,3), B(7,4) dengan AP:PB = r = -2/7
e. A(-2,3), P(3,-2) dengan AP:PB = r = 2/5
9. Jika M (9,2) membagi ruas garis yang melalui P(6,8) dan Q(x,y)
dengan perbandingan 3/7. Tentukan koordinat titik Q.
10. Tentukan titik pusat (centroid) setiap segitiga diketahui titik-titik
sudutnya di bawah ini:
a. (5,7), (1,-3), (-5,1)
b. (2,-1), (6,7), (-4,-3)
c. (3,6), (-5,2), (7,-6)
d. (7,4), (3-6), (-5,2)
e. (-3,1), (2,4), (6,-2)
11. Tentukan luas poligon yang titik sudutnya adalah:
a. (-3,2), (1,5), (5,3), (1,-2)
b. (-5,0), (-3,-4), (3,-3), (7,2), (1,6)
12. Tentukan koordinat titik-titik suatu segitiga, jika titik-titik tengah
sisi-sisinya adalah:
a. (-2,1), (5,2), (2,-3)
b. (3,2), (-1,-2), dan (5,-4)
13. Gradien dari garis lurus yang melalui titik A(3,2) adalah ¾.
Lukislah titik-titik pada garis yang berjarak 5 satuan dari A.
14. Tentukan gradien suatu garis lurus yang membuat sudut 45o
dengan titik (2,-1) dan (5,3).
16 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
15. Garis p membentuk sudut 60o dengan garis s, Jika gradien p = 1,
tentukan gradien garis s.
16. Sudut yang dibentuk oleh garis l yang melalui titik A(-4,5), B(3,y)
dan garis u yang melalui titik P(-2,4), Q(9,1). Tentukan konstanta
y tersebut.
Sistem Koordinat Kutub
Jika dalam sistem koordinat kartesius, menyatakan bahwa
letak titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan ),( yx , dengan
x dan y masing-masing menyatakan jarak berarah ke sumbu-y dan
ke sumbu-xmaka pada sistem koordinat kutub, letak sebarang titik P
pada bidang dinyatakan dengan pasangan bilangan real ,r ,
dengan r menyatakan jarak titik P ke titik O (disebut kutub)
sedangkan adalah sudut antara sinar yang memancar dari titik O
melewati titik P dengan sumbu-x positif (disebut sumbu kutub)
Gambar 1.9
Berbeda dengan sistem koordinat kartesius (Rene Descartes:
1596-1650) dalam koordinat kutub letak suatu titik dapat dinyatakan
dalam tak hingga banyak koordinat. Sebagai contoh, letak titik
)3,3( P dapat digambarkan dengan cara terlebih dulu melukiskan
sinar yang memancar dari titik asal O dengan sudut sebesar 3/
radian terhadap sumbu mendatar arah positif. Kemudian titik P
terletak pada sinar tadi dan berjarak 3 satuan dari titik asal O (lihat
),( rP
O
r
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 17
Gambar 1.10).Titik P dapat pula dinyatakan dalam koordinat
k23,3 , dengan k bilangan bulat (lihat Gambar 10). Mudah
ditunjukkan pula bahwa koordinat 34,3 pun juga
menggambarkan titik P (lihat Gambar 1.10). Pada koordinat yang
terakhir, jarak bertanda negatif. Hal ini dikarenakan titik P terletak
pada bayangan sinar PO .
Gambar 1.10
Secara umum, jika ,r menyatakan koordinat kutub suatu
titik maka koordinat titik tersebut dapat pula dinyatakan sebagai
berikut:
kr 2, atau )12(, kr dengan k bilangan bulat.
Kutub mempunyai koordinat ),0( dengan sebarang bilangan.
3
)3,3( P
3
3
)23,3( kP
k23
3
)34,3( P
34
3
P
O
18 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Hubungan Antara Sistem Koordinat Kartesius dan Sistem
Koordinat Kutub
Suatu titik P berkoordinat ),( yx dalam sistem koordinat
kartesius dan ),( r dalam sistem koordinat kutub. Apabila kutub
dan titik asal diimpitkan, emikian pula sumbu kutub dan sumbu-x
positif juga diimpitkan, maka kedudukan titik dapat digambarkan
sebagai berikut:
Gambar 1.11
Dari rumus segitiga diperoleh hubungan sebagai berikut:
(1.1) sincos ryrx
atau:
(1.2) )/arccos()/arcsin(22 rxryyxr
Contoh
1) Nyatakan ke dalam system koordinat Kartesius .
a. 3/2,4 A b. 4/,5 B c. 6/5,3 C
Jawab
Dengan menggunakan persamaan (1.1):
a. 323
2sin42
3
2cos4
yx .
Jadi, 32,2A .
X
Y
r y
xO
P(x,y)=(r,𝜃)
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 19
b. 22
5
4sin52
2
5
4cos5
yx .
Jadi, dalam system koordinat Kartesius 22/5,22/5 B .
c. 2
36/5sin33
2
36/5cos3 yx .
Jadi, 2/3,22/3C .
Apabila 0x maka persamaan (1.2) dapat dinyatakan sebagai:
(1.3) 0,/arctan222 xxyyxr
Hati-hati apabila menggunakan persamaan (1.3), karena
x
yarctan akan memberikan 2 nilai yang berbeda, 20 .
Untuk menentukan nilai yang benar perlu diperhatikan letak titik
P, apakah di kuadran I atau II, ataukah dikuadran II atau IV. Apabila
dipilih nilai yang lain, maka 22 yxr .
2) Nyatakan ke dalam sistem koordinat kutub:
a. 4,4 P b. )4,4(Q
Penyelesaian: Dari persamaan (1.3), diperoleh:
a. 24)4(4 22 r
4
7atau
4
3
4
4arctan
Selanjutnya, karena letak titik P di kuadran IV, maka:
4
7dengan24
r , atau
4
3dengan24
r .
Jadi, 4/7,24 P atau 4/3,24 P .
20 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
b. 244)4( 22 r
4
7atau
4
3
4
4arctan
Selanjutnya, karena letak titik Q di kuadran II, maka:
4/3dengan24 r , atau
4/7dengan24 r .
Jadi, 4/3,24 Q atau 4/7,24 Q .
3) Nyatakan persamaan sin2ar ke dalam sistem koordinat
Kartesius .
Jawab
Jika ke dua ruas persamaan di atas dikalikan dengan r maka
diperoleh:
)sin(22 rar
Selanjutnya, karena 222 yxr dan yr sin maka:
,02
2
22
22
ayyx
ayyx
yaitu persamaan lingkaran dengan pusat ),0( a dan jari-jari a .
4) Nyatakan 164 22 yx ke dalam system koordinat kutub.
Penyelesaian: Dengan substitusi sindancos ryrx maka
diperoleh:
16sin4cos 2222 rr
.16)sin31( 22 r
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 21
Soal Latihan
Untuk soal 1 – 8, nyatakan masing-masing dengan dua koordinat
yang lain, satu dengan 0r dan yang lain dengan 0r .
1. 3,6 2. 52,3 3. 4,5 4. 47,5
5. 25,2 6. 65,7 7. 37,6 8. 76,4
Untuk soal 9 – 16, nyatakan dalam sistem koordinat kartesius .
9. 32,6 10. 8,4 11. 4,5 12. 47,6
13. 25,2 14. 65,7 15. 37,6 16. 87,4
Untuk soal 17 – 23, ubahlah ke dalam sistem koordinat kutub.
17. 3,3 18. 2,2 19. 32,2 20. 1,3
21. 11,0 22. 3,33 23. 36,32
Untuk soal 24 – 29, nyatakan masing-masing persamaan ke dalam
sistem koordinat Kartesius .
24. cos3r 25. sin12 r 26. cos1
4
r
27. 4r 28. 4
7 29. 2r
Nyatakan persamaan pada soal 30 – 32 ke dalam sistem koordinat
kutub.
30. 0 yx 31. xy 412 32. 1xy
33. Tunjukkan bahwa jarak titik ),( rP dan ),( RQ adalah:
)cos(222 rRRrd
1.2 Sistem Koordinat dalam Ruang (R3)
Koordinat Kartesius
Untuk menyatakan posisi sebuah benda di dalam ruang,
dibutuhkan suatu sistem koordinat yang memiliki pusat koordinat
dan sumbu koordinat.Sistem koordinat yang paling umum adalah
Koordinat Kartesius. Jika kita berbicara ruang 2 dimensi, maka
22 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
koordinat kartesius 2 dimensi memiliki pusat di O dan 2 sumbu
koordinat yang saling tegaklurus, yaitu x dan y.
Selanjutnya koordinat Kartesian 2 dimensi dapat diperluas
menjadi koordinat kartesius 3 dimensi yang berpusat di O dan
memiliki sumbu x, y dan z. Pada Gambar berikut menyatakan titik P
dapat dinyatakan dalam x, y dan z. OP adalah jarak titik P ke pusat
O.
Gambar 1.12
Koordinat kartesius 3 dimensi (x, y, z) pada Gambar 1.12di
atas dapat diubah menjadi koordinat tabung dan koordinat
bola.Hubungan diantara ketiganya, jika P(x,y,z) adalah letak titik
dalam koordinat kartesius, maka ),,( zrP adalah letak dalam
koordinat tabung dan ),,( P adalah titik dalam koordinat bola
(Spherical Coordinate).
Hubungan anatar koordinat kartesius, koordinat tabung, dan
koordinat bola pada ruang terlihat seperti tampak pada Gambar 1.10
berikut ini.
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 23
Gambar 1.13
Koordinat kartesius dan koordinat tabung dihubungkan oleh
persamaan:
cosrx
cosry
zz 222 ryx
x
ytan
Perhatikan contoh berikut :
1. (3,3,5) menyatakan letak titik P pada ruang dalam koordinat
kartesius. Ubah dan Nyatakan letak titik P dalam koordinat
tabung.
Jawab
Koordinat Kartesius dan koordinat tabung dinyatakan dalam
hubungan
cosrx , cosry , zz ,222 ryx dan
x
ytan sehingga:
231833 22 r
X
),,( zyxP
X
Y
Z
Y
Z
Y
Z
),,( zrP ),,( P
24 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
41arctan1
3
3tan
atau
Jadi koordinat tabung dari )5,3,3( adalah 5,4/,23
2. 2,6/,6 menyatakan letak titik Q pada ruang dalam
koordinat tabung. Ubah dan Nyatakan letak titik Q dalam
koordinat Kartesius .
Jawab
Koordinat Kartesius dan koordinat tabung dinyatakan dalam
hubungan
cosrx , cosry , zz ,222 ryx dan
x
ytan sehingga:
332
3.6
6cos6
x
32
1.6
6sin6
y
Jadi koordinat Kartesius 2,6/,6 adalah 2,3,33
3. 3/2,3/,8 menyatakan letak titik W dalam koordinat bola.
Ubah dan nyatakan letak titik W dalam koordinat Kartesius dan
koordinat tabung.
Jawab
Koordinat Kartesius, koordinat tabung dan koordinat bola
mempunyai hubungan sebagai berikut:
22sin yxrataur
cosz
cossinx
sinsiny
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 25
222 zyx
sehingga dari titik 3/2,3/,8 diketahui
3
2
3,8
dan
dan diperoleh
322
1
2
3.8
3cos
3
2sin8
x
62
3
2
3.8
3sin
3
2sin8
y
42
18
3
2cos8
z
Jadi koordinat Kartesius 3/2,3/,8 adalah )4,6,32 , dan
koordinat tabung 3/2,3/,8 adalah 4,3/,34 .
4. 6,4,34 menyatakan letak titik M dalam koordinat kartesius.
Ubah dan nyatakan letak titik W dalam koordinat tabung dan
koordinat bola.
Jawab
Koordinat kartesius, koordinat tabung dan koordinat bola
mempunyai hubungan sebagai berikut:
22sin yxrataur
cosz
cossinx
sinsiny
cosz
3448632342
38
3
2sin 2
222
yxrataur
26 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
222 zyx
sehingga dari titik 6,34,4 diketahui
634,4 zdanyx
dan diperoleh
10)6()34()4(
6
5
3
31
34
4tan
864)34(4
222222
2222
zyx
x
y
yxr
cos106cos z
)10/6(cosarc
Jadi koordinat tabung 6,34,4 adalah 6,6/5,8 , dan
koordinat bola 6,34,4 adalah )10/6cos(,6/5,10 arc .
5. 8,3/4,4 menyatakan letak titik T dalam koordinat tabung.
Ubah dan nyatakan letak titik T dalam koordinat kartesius dan
koordinat bola.
Jawab
Koordinat kartesius, koordinat tabung dan koordinat bola
mempunyai hubungan sebagai berikut:
22sin yxrataur
cosz
cossinx
sinsiny
cosz
222 zyx
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 27
sehingga dari titik 8,3/4,4 diketahui
8,3/4,4 zr dan diperoleh
3/4
54)8()2()32( 222
5
52arccoscos548cos z
Jadi koordinat kartesius 8,3/4,4 adalah 8,2,32 ,
dan koordinat bola 8,3/4,4 adalah
55/2arccos(,3/4,54 .
Untuk latihan bagi pembaca ubah koordinat berikut dalam koordinat
yang sesuai:
No Koordinat
Kartesius Tabung Bola
1. 4,6,32 4,3/,34 3/2,3/,8
2. 3,2,2 3,4/,22 ....
3. 4,32,2 .... ....
4. 32,2,2 .... ....
5. .... 2,6/,6 ....
6. .... 4,3/2,2 ....
7. .... 1,3/2,2 .....
8. .... .... 6/,3/2,8
9. .... .... 3/2,3/,4
10. ..... .... 0,3/,4
11. .... .... 2/,4/,1
Di atas telah dibahas transformasi dari koordinat kartesius
ke koordinat tabung dan koordinat bola.
28 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
1.3 Sistem Koordinat Lainnya
Selain sistem koordinat di atas, terdapat beberapa sistem
koordinat yang penggunaannya dalam ilmu hisab. Sistem koordinat
tersebut adalah:
1. Koordinat Ekliptika Heliosentrik (Heliocentric Ecliptical
Coordinate).
2. Koordinat Ekliptika Geosentrik (Geocentric Ecliptical Coordinate).
3. Koordinat Ekuator Geosentrik (Geocentric Equatorial Coordinate).
4. Koordinat Horison (Horizontal Coordinate).
Keempat sistem koordinat di atas termasuk ke dalam
koordinat bola. Sebenarnya masih ada sistem koordinat lainnya,
seperti Sistem Koordinat Ekuator Toposentrik (Topocentric Equatorial
Coordinate). Namun tidak dibahas dalam tulisan ini.Sekilas,
banyaknya sistem koordinat di atas bisa membuat rumit. Namun
pembagian sistem koordinat di atas berasal dari benda langit
manakah yang dijadikan pusat koordinat, apakah bidang datar
sebagai referensi serta bagaimana cara mengukur posisi benda langit
lainnya. Penting pula untuk diketahui bahwa seluruh benda langit
dapat dianggap seperti titik. Bisa pula dianggap seperti benda yang
seluruhnya terkonsentrasi di pusat benda tersebut. Jika kita
memperoleh jarak bumi-bulan, maka yang dimaksud adalah jarak
antara pusat bumi dengan pusat bulan.
Sistem Koordinat Ekliptika Heliosentrik dan Sistem
Koordinat Ekliptika Geosentrik sebenarnya identik. Yang
membedakan keduanya hanyalah manakah yang menjadi pusat
koordinat. Pada Sistem Koordinat Ekliptika Heliosentrik, yang
menjadi pusat koordinat adalah matahari (helio = matahari).
Sedangkan pada Sistem Koordinat Ekliptika Geosentrik, yang
menjadi pusat koordinat adalah bumi (geo = bumi). Karena itu
keduanya dapat digabungkan menjadi Sistem Koordinat Ekliptika.
Pada Sistem Koordinat Ekliptika, yang menjadi bidang datar sebagai
referensi adalah bidang orbit bumi mengitari matahari (heliosentrik)
yang juga sama dengan bidang orbit matahari mengitari bumi
(geosentrik).
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 29
Sistem Koordinat Ekliptika Heliosentrik (Heliocentric Ecliptical
Coordinate)
Pada koordinat ini, matahari (sun) menjadi pusat koordinat. Benda
langit lainnya seperti bumi (earth) dan planet bergerak mengitari
matahari. Bidang datar yang identik dengan bidang xy adalah
bidang ekliptika yatu bidang bumi mengitari matahari.
Gambar 1.14
Sistem Koordinat Ekliptika Heliosentrik
1. Pusat koordinat: Matahari (Sun).
2. Bidang datar referensi: Bidang orbit bumi mengitari matahari
(bidang ekliptika) yaitu bidang xy.
3. Titik referensi: Vernal Ekuinoks (VE), didefinisikan sebagai
sumbu x.
4. Koordinat:
5. r = jarak (radius) benda langit ke matahari
6. l = sudut bujur ekliptika (ecliptical longitude), dihitung dari VE
berlawanan arah jarum jam
7. b = sudut lintang ekliptika (ecliptical latitude), yaitu sudut antara
garis penghubung benda langit-matahari dengan bidang
ekliptika.
30 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Sistem Koordinat Ekliptika Geosentrik (Geocentric Ecliptical
Coordinate)
Pada sistem koordinat ini, bumi menjadi pusat koordinat.Matahari
dan planet-planet lainnya nampak bergerak mengitari bumi. Bidang
datar xy adalah bidang ekliptika, sama seperti pada ekliptika
heliosentrik.
Gambar 1.15
Sistem Koordinat Ekliptika Geosentrik
1. Pusat Koordinat: Bumi (Earth)
2. Bidang datar referensi: Bidang Ekliptika (Bidang orbit bumi
mengitari matahari, yang sama dengan bidang orbit matahari
mengitari bumi) yaitu bidang xy.
3. Titik referensi: Vernal Ekuinoks (VE) yang didefinisikan sebagai
sumbu x.
4. Koordinat:
5. Jarak benda langit ke bumi (seringkali diabaikan atau tidak perlu
dihitung)
6. Lambda = Bujur Ekliptika (Ecliptical Longitude) benda langit
menurut bumi, dihitung dari VE.
7. Beta = Lintang Ekliptika (Ecliptical Latitude) benda langit menurut
bumi yaitu sudut antara garis penghubung benda langit-bumi
dengan bidang ekliptika
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 31
Sistem Koordinat Ekuator Geosentrik
Ketika bumi bergerak mengitari matahari di bidang
Ekliptika, bumi juga sekaligus berotasi terhadap sumbunya.Penting
untuk diketahui, sumbu rotasi bumi tidak sejajar dengan sumbu
bidang ekliptika. Atau dengan kata lain, bidang ekuator tidak sejajar
dengan bidang ekliptika, tetapi membentuk sudut kemiringan
(epsilon) sebesar kira-kira 23,5 derajat. Sudut kemiringan ini
sebenarnya tidak bernilai konstan sepanjang waktu.Nilainya
semakin lama semakin mengecil.
Gambar 1.16
Sistem Koordinat Ekuator Geosentrik
1. Pusat koordinat: Bumi
2. Bidang datar referensi: Bidang ekuator, yaitu bidang datar yang
mengiris bumi menjadi dua bagian melewati garis khatulistiwa
3. Koordinat:
4. jarak benda langit ke bumi.
5. Alpha = Right Ascension = Sudut antara VE dengan proyeksi
benda langit pada bidang ekuator, dengan arah berlawanan jarum
jam. Biasanya Alpha bukan dinyatakan dalam satuan derajat,
tetapi jam (hour disingkat h). Satu putaran penuh = 360 derajat =
24 jam = 24 h. Karena itu jika Alpha dinyatakan dalam derajat,
32 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
maka bagilah dengan 12 untuk memperoleh satuan derajat. Titik
VE menunjukkan 0 h.
6. Delta = Declination (Deklinasi) = Sudut antara garis hubung benda
langit-bumi dengan bidang ekliptika.Nilainya mulai dari -90
derajat (selatan) hingga 90 derajat (utara). Pada bidang ekuator,
deklinasi = 0 derajat.
Seringkali, Alpha (right ascension) dinyatakan dalam bentuk H (hour
angle). Hubungan antara Alpha dengan H adalah H = LST - Alpha.
Disini, LST adalah Local Sidereal Time, yang sudah penulis bahas
sebelumnya pada tulisan tentang Macam-Macam Waktu
Sistem Koordinat Horison
Pada sistem koordinat ini, pusat koordinat adalah posisi
pengamat (bujur dan lintang) yang terletak di permukaan bumi.
Kadang-kadang, ketinggian pengamat dari permukaan bumi juga
ikut diperhitungkan. Bidang datar yang menjadi referensi seperti
bidang xy adalah bidang horison (bidang datar di sekitar pengamat
di permukaan bumi).
Gambar 1.17
Sistem Koordinat Horison
1. Pusat koordinat: Pengamat di permukaan bumi
2. Bidang datar referensi: Bidang horison (Horizon plane)
3. Koordinat:
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 33
4. Altitude/Elevation = sudut ketinggian benda langit dari bidang
horison. h = 0 derajat berarti benda di bidang horison. h = 90
derajat dan -90 derajat masing-masing menunjukkan posisi di titik
zenith (tepat di atas kepala) dan nadir (tepat di bawah kaki).
5. A (Azimuth) = Sudut antara arah Utara dengan proyeksi benda
langit ke bidang horison.
Jarak benda langit ke pengamat dalam sistem koordinat ini
seringkali diabaikan, karena telah dapat dihitung sebelumnya dalam
sistem koordinat ekliptika.
Catatan penting: Dalam banyak buku referensi, azimuth
seringkali diukur dari arah selatan (South) yang memutar ke arah
barat (West). Gambar 7 di atas juga menunjukkan bahwa azimuth
diukur dari arah Selatan.Namun demikian, dalam pemahaman
umum, orang biasanya menjadikan arah Utara sebagai titik
referensi.Karena itu dalam tulisan ini penulis menjadikan sudut
azimuth diukur dari arah Utara. Untuk membedakannya, lambang
untuk azimuth dari arah selatan dinyatakan sebagai As, sedangkan
azimuth dari arah utara dinyatakan sebagai A saja. Hubungan antara
As dan A adalah A = As - 180 derajat. Jika As atau A negatif, tinggal
tambahkan 360 derajat.
Suatu sistem koordinat dengan sistem koordinat lainnya
dapat dihubungkan melalui transformasi koordinat. Misalnya, dari
algoritma untuk menghitung posisi bulan menurut sistem koordinat
ekliptika geosentrik, kita dapat menentukan jarak bulan dari pusat
bumi, sudut lambda dan beta. Selanjutnya, sudut lambda dan beta
ditransformasi untuk mendapat sudut alpha dan delta dalam sistem
koordinat ekuator geosentrik. Dari alpha dan beta, serta
memperhitungkan posisi pengamat (bujur dan lintang) dan waktu
saat pengamatan/penghitungan, maka sudut ketinggian (altitude)
dan azimuth bulan menurut sistem koordinat horison dapat
diketahui dengan tepat. Rumus-rumus transformasi koordinat yang
membutuhkan pengetahuan trigonometri
34 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 35
SISTEM BILANGAN KOMPLEK
ab II dalam bahan ajar ini membahas delapan hal pokok yang
berkaitan dengan sistem bilangan komplek, yaitu: (1)
Pendahuluan, (2) Representasi Grafik Bilangan Real, (3)
Sistem Bilangan Komplek, (4) Operasi Dasar Bilangan Komplek, (5)
Nilai Mutlak, (6) Pembangun Aksioma Bilangan Komplek, (7)
Representasi Grafik Bilangan Komplek, dan (8) Bentuk Polar
Bilangan Komplek.
Standar Kompetensi
Setelah mempelajari pokok bahasan pada Bab II diharapkan
mahasiswa memahami sistem bilangan komplek dengan operasinya
dan dapat melakukan representasi pada bentuk grafik dan polar.
Kompetensi Dasar
1) Mahasiswa dapat menjelaskan kembali tentang sistem bilangan
komplek.
2) Mahasiswa dapat melakukan operasi pada bilangan komplek.
3) Mahasiswa dapat merepresentasikan bilangan komplek secara
grafis.
4) Mahasiswa dapat merepresentasikan bilangan komplek dalam
bentuk polar
B
36 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
2.1 Sistem Bilangan Real
Sistem bilangan seperti yang kita kenal hingga saat ini
merupakan hasil dari pengembangan secara bertahap seperti yang
ditunjukkan dalam daftar berikut.
1. Bilangan asli 1, 2, 3, 4,. . , juga disebut bilangan bulat positip,
pertama kali digunakan dalam menghitung. Simbol bervariasi
dengan waktu, misalnya yang digunakan bangsa Romawi I, II, III,
IV. . ., jika a dan b adalah bilangan asli, jumlah ba dan
perkalian ))((,. baba atau ab juga disebut bilangan asli. Untuk
alasan ini himpunan bilangan asli dikatakan tertutup di bawah
operasi penjumlahan dan perkalian atau memenuhi sifat tertutup
(closure) terhadap operasi ini.
2. Bilangan bulat negatip dan nol, dilambangkan dengan - 1, - 2, - 3.
. . dan 0 masing-masing, muncul untuk memungkinkan solusi
dari persamaan seperti
abx , dimana a dan b adalah setiap bilangan asli. Hal ini
mengarah pada operasi pengurangan, atau invers penjumlahan,
dan kita tulis dengan bax himpunan bilangan bulat positip,
negatip dan nol disebut himpunan bilangan bulat dan tertutup di
bawah operasi-operasi penjumlahan, perkalian, dan
pengurangan.
3. Bilangan rasional dan pecahan seperti ,...4
13,
5
6,
7
1,
4
3 muncul
sebagai bagian yang memungkinkan selesaian persamaan
berbentuk abx untuk semua bilangan bulat a dan b di mana
.0b Hal ini mengarah ke operasi pembagian atau invers
perkalian, dan ditulis dengan b
ax
yang disebut hasil bagi a
dan b , di mana a adalah pembilang dan b adalah penyebut.
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 37
Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bagian atau subset
dari bilangan rasional, karena bilangan bulat sesuai dengan
bilangan rasional b
a dimana 1b .
Himpunan bilangan rasional tertutup di bawah operasi-operasi
penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, selama
pembagian dengan nol tidak dilakukan.
4. Bilangan irasional seperti √2 =1.41423. . . dan π = 3. 14159. . .
adalah bilangan yang tidak rasional, yang tidak dapat dinyatakan
dengan ba / dimana a dan b adalah bilangan bulat dan .0b
Himpunan bilangan rasional dan irasional di sebut dengan
himpunan bilangan real. Diasumsikan bahwa siswa sudah
mengetahui dengan berbagai operasi pada bilangan real.
2.2 Representasi Grafis Bilangan Real
Sebelum penulis menguraikan konsep sistem bilangan real
)(R , terlebih dahulu marilah kita ingat kembali konsep himpunan
(set). Himpunan mempunyai peranan sangat penting dalam
memahami sistem bilangan real. Secara eksplisit himpunan
didefinisikan sebagai sekumpulan objek, unsur atau sesuatu yang
mempunyai ciri-ciri, kriteria dan syarat yang tertentu serta
terdefinisi dengan jelas. Objek atau unsur sesuatu himpunan A
dinamakan anggota atau elemen. Anggota suatu himpunan
dinyatakan dengan ,....,,, dcba atau ,....4,3,2,1 sedangkan nama
himpunan dinyatakan dengan huruf kapital ,,,, DCBA dan
seterusnya. Misal kita mendefinisikan suatu himpunan A dengan
menyatakan secara jelas anggota-anggotanya yang terdiri dari
edcba ,,,, , himpunan A tersebut dapat ditulis dalam bentuk
},,,,{ edcbaA dengan masing-masing anggota himpunan A
dipisahkan oleh tanda baca koma dan terdapat dua tanda kurung { }.
Jika himpunan A mempunyai anggota banyaknya tak hingga maka
unsur-unsurnya tidak ditulis semuanya akan tetapi cukup
dituliskan beberapa anggotanya dan titik-titik sebanyak 3 atau 5 , Jika
38 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
a adalah anggota himpunan A maka pernyataan tersebut ditulis
dengan notasi Aa dan dibaca a anggota A. Jika a bukan anggota
himpunan A , maka dituliskan Aa dan dibaca “a bukan anggota A.
Jika suatu himpunan A tidak memiliki anggota, maka A disebut
himpunan kosong, dan dinyatakan dengan notasi atau { }.
Himpunan sebagai telah disebutkan di atas, dalam
penulisannya dapat dilakukan dengan dua metode, yaitu metode
pencirian (notasi) dan metode perincian (tabulasi). Metode pencirian
dilakukan dengan cara menuliskan syarat keanggotaan yang
dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan akan tetapi tidak
dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut. ,
Contoh:
1) }10{ darikurangprimabilanganyyA
2) }21{ dariganjilfaktorxxB
3) },1{ 2 primabilanganxxxC
4) }21{ darigenapfaktorxxD
5) }043{ 2 xxxE
6) }043{ 2 xxxF
7) }24{ xxG
8) }4),{( 22 yxyxH
9) }}3,2,1{{ darikuasahimpunanV
Metode perincian dilakukan dengan cara mendaftar seluruh anggota
himpunan yang memenuhi syarat dan ketentuan yang diberikan
dalam suatu himpunan.
Contoh
1) ,...}5,4,3,2,1{A
2) },',,,,{ sabtuatjumkamisrabuselasaseninB
3) ,...}19,17,13,11,7,5,3,2{C
4) },,{ hijaukuningmerahD
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 39
5) }0{E
6) }{F
7) },1{ xG
8) ),...}4,3(),3,2(),2,1{(H
9) }}2,1{},2{},1{,{V
Misal A dan B suatu himpunan, himpunan A disebut
himpunan bagian himpunan B , ditulis dengan notasi BA , jika
setiap anggota A merupakan anggota B. Kiranya tidaklah sulit untuk
dipahami bahwa A untuk sebarang himpunan A. Jika setiap
anggota himpunan anggota A juga merupakan anggota setiap
himpunan B maka dinotasikan dengan BA
Selanjutnya untuk memudahkan para pembaca dalam
memahami konsep sistem bilangan real berikut ini diberikan
beberapa bilangan dan himpunan bilangan yang pada bab-bab
selanjutnya dalam buku ini sering ditemukan. Bilangan dan
himpunan bilangan tersebut adalah:
1. Himpunan bilangan asli (Natural)
Himpunan bilangan asli biasanya dinotasikan dengan N dan
anggota-anggota bilangan asli adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... sehingga
,...}6,5,4,3,2,1{N
Bilangan asli tertutup terhadap operasi penjumlahan dan
perkalian, artinya untuk setiap ba, bilangan asli maka )( ba
dan ).( ba bilangan asli. Oleh karena itu, himpunan semua
bilangan asli membentuk suatu sistem sistem bilangan asli.
2. Bilangan cacah (whole)
Bilangan cacah biasanya dinotasikan dengan W dan anggota-
anggota bilangan cacah adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., sehingga
,...}.6,5,4,3,2,1,0{W Bilangan cacah tertutup terhadap operasi
penjumlahan dan perkalian, artinya untuk setiap ba, bilangan
cacah maka )( ba dan ).( ba bilangan cacah.
40 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
3. Sistem bilangan asli bersama-sama dengan bilangan nol dan
lawan dari bilangan-bilangan asli membentuk sistem bilangan
bulat, Bilangan bulat biasanya dinotasikan dengan Z yang
anggota-anggotanya adalah ...-3, -2, -,1, 0, 1, 2, 3, ..., sehingga
,...}.3,2,1,0,2,2,3{... Z
4. Bilangan pecahan atau bilangan rasional (quotient) biasanya
dinyatakan dengan Q . Bilangan rasional adalah bilangan yang
secara umum dinyatakan dengan 0,,. bZbab
aQ
Contoh
1) 3/1p
2) 11/2q
3) 7/22r
Bilangan-bilangan rasional di atas, dapat dinyatakan dalam
bilangan-bilangan desimal, yaitu
1) ...33333333,03
1p
2) ...142857142857142857,011
2q
3) ...571481428571428,37
22r
Jika kita cermati lebih mendetail, bilangan-bilangan desimal
sebagai mana tersebut di atas selalu berulang angka-angkanya,
sehingga bilangan rasional juga disebut bilangan desimal berulang.
Sebaliknya bilangan desimal berulang dapat dinyatakan sebagai
bilangan rasional. Untuk menyatakan bentuk desimal menjadi
bilangan rasioan adalah dengan cara melihat angka yang berulang
pada bilangan tersrsebut. Jika terdapat 1 angka yang berulang maka
kalikan bilangan dimaksud dengan 110 . Jika terdapat 2 angka yang
berulang maka kalikan bilangan tersebut dengan .10 2 dan
seterusnya. Selanjutnya cari selisih bilangan semula dengan bilangan
yang baru. Dengan metode perhitungan sederhana akhirnya
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 41
diperoleh bilangan rasional yang dimaksud. Untuk lebih jelasnya
perhatikan contoh-contoh berikut ini.
Contoh:
Ubahlah bilangan desimal berikut ini menjadi bentuk rasional
0,,. bZbab
aQ
1. Tentukan bentuk rasional bilangan 0,12121212...
Jawab
Bilangan ...12121212,0 adalah bilangan desimal dengan 2
angka berulang yaitu angka 1 dan 2 .
Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan
0,1,212121212... adalah 2 angka, kalikan bilangan ...12121212,0
dengan bilangan 210 .
Misal ...12121212,0x , sehingga diperoleh
...212121212,1,12100 x
Akibatnya
12...)12121212,0(...)12.121212,12(100 xx
...)12121212,0(...)12.121212,12(10 xx
99/12
1299
x
x
Sehingga bentuk rasional dari bilangan ...12121212,0 adalah
99/12
2. Tentukan bentuk rasional bilangan .....412333333,1
Jawab
Bilangan .....412333333,1 adalah bilangan desimal dengan 1
angka berulang yaitu angka 3.
Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan
.....412333333,1 adalah 1 angka, kalikan bilangan
.....412333333,1 dengan bilangan 110 .
Misal ...4123333333,1x , sehingga diperoleh
...12333333,1410 x
42 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Akibatnya ...)412333333,1(...)123333333,14(10 xx
900
1271
9
71,12
71,129
x
x
Sehingga bentuk rasional dari bilangan .....412333333,1
adalah 900/1271
3. Tentukan bentuk rasional bilangan ...2739826273273,0
Jawab
Bilangan ...2739826273273,0 adalah bilangan desimal
dengan 3 angka berulang yaitu angka 2,7, dan 3.
Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan
...2739826273273,0
adalah 3 angka, kalikan bilangan ...2739826273273,0
dengan bilangan 310 .
Misal
...2739826273273,0x
...35627327327,9821000 x
Akibatnya
...)32739825627327,0(...)35627327327,982(1000 xx
99900
98158017
999
58017,981
58017,981999
x
x
Sehingga bentuk rasional dari bilangan ...2739826273273,0
adalah 99900
98158017
4. Tentukan bentuk rasional bilangan ...2543120543125431,0
Jawab
Bilangan ...4310543154315,0 adalah bilangan desimal dengan
4 angka berulang yaitu angka 5, 4, 3, dan 1.
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 43
Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan
...4310543154315,0
adalah 4 angka, kalikan bilangan ...4310543154315,0 dengan
bilangan 410 .
Misal
...4310543154315,0x , sehingga diperoleh
....154315431,54310000 x
Akibatnya
...)4310543154315,0(...)154315431,543(10000 xx
99990
5421
9999
1,542
1,5429999
x
x
Sehingga bentuk rasional dari bilangan ...4310543154315,0
adalah 99990
5421
5. Bilangan Irasional (_
Q ) atau disebut juga bilangan tidak rasional
yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk
0,,. bZbab
aQ . Karena bilangan rasional dapat
dinyatakan dengan bilangan desimal yang angka-angkanya
berulang, maka bilangan irasional adalah bilangan desimal yang
angka-angkanya tidak ada yang berulang. Bilangan irasional
juga disebut dengan bilangan bentuk akar.
Persoalan dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai
adanya bilangan-bilangan irasional. Contoh bilangan irasional
antara lain adalah 2 dan . Bilangan 2 adalah panjang sisi
miring segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi tegaknya masing-
masing adalah 1. Perhatikan Gambar 2.1.
44 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Gambar 2.1
Sedangkan bilangan merupakan hasil bagi antara keliling
sebarang lingkaran dengan panjang garis tengah lingkaran tersebut.
Perhatikan Gambar 2.2.
Gambar 2.2
Contoh
1) 2 = 1,41421356237...
2) 3 = 1,73205080756...
3) 11 = 3,316625790355...
4) π = 3.14159265358979….
5) e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352…
Berdasarkan contoh sebelumnya, tampak bilangan-bilangan
dalam bentuk akar umumnya adalah bilangan desimal yang angka-
1d 2d
1l2l
2
2
1
1
d
l
d
l
21
1
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 45
angkanya tidak ada yang berulang. Sehingga bilangan akar juga
disebut bilangan irasional. Dengan demikian apa yang selama ini
dianggap sama yaitu 7/22 tidaklah selalu benar. Karena 7/22
adalah bilangan rasional, sedangkan adalah bilangan irasional.
6. Himpunan semua bilangan irasional bersama-sama dengan
bilangan rasional membentuk himpunan semua bilangan real
)(R , sehingga QQZWNR
Seperti telah diketahui, untuk menyatakan sebarang bilangan real
seringkali digunakan cara desimal.
Contoh
Bilangan-bilangan 66/7dan,3/5,4/3 masing-masing dapat
dinyatakan dalam desimal sebagai dan,...666,1,75,0
....1060606,0 Dapat ditunjukkan bahwa bentuk desimal
bilangan-bilangan rasional adalah salah satu dari 2 tipe berikut:
a. berhenti ( dst.8/1,2/5,4/3 ), atau
b. berulang beraturan ( dst.,66/7,8/5 ).
Sifat-sifat Sistem Bilangan Real
Untuk sebarang dcba ,,, bilangan real berlaku sifat-sifat
sebagai berikut:
1) Sifat komutatif
(i). abbaabba ..).ii(
2) Sifat asosiatif
cbacbacba
cbacbacba
......).ii(
).i(
3) Sifat distibutif perkalian terhadap penjumlahan
).().().( cabacba
4) (i). 0,1
. bb
ab
a
(ii). 0,0,.
).().(
db
db
cbda
d
c
b
a
46 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
(iii). 0,0,.
.. db
db
ca
d
c
b
a
5) (i). ).().().( bababa
(ii). baba .)).((
(iii). aa )(
6) (i). 00
a, untuk setiap bilangan 0a .
(ii). 0
a tak terdefinisikan.
(iii). 1a
a, untuk setiap bilangan 0a .
7) Hukum kanselasi
(i). Jika cbca .. dan 0c maka ba .
(ii). Jika 0, cb maka b
a
cb
ca
.
..
8) Sifat pembagi nol
Jika 0. ba maka 0a atau 0b .
Bilangan real dapat direpresentasikan oleh titik-titik pada
garis yang disebut sumbu real, seperti ditunjukkan pada Gambar 2.3
di bawah ini. Titik yang sesuai dengan nol disebut titik asal.
Gambar 2.3
Sebaliknya untuk setiap titik pada baris ada satu dan hanya satu
bilangan real. Jika suatu titik A sesuai dengan bilangan real a yang
terletak di sebelah kanan titik B sesuai dengan b bilangan real, kita
katakan bahwa a lebih besar dari b atau kurang dari a dan ditulis
secara berurutan dengan ba atau .ab
4
3 2 1 0 1 4
322
3
4
3
2
2
3
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 47
Himpunan dari nilai-nilai x termasuk a < x <b disebut interval
terbuka pada sumbu real bila ,bxa yang mana didalamnya
terdapat titik awal a dan titik akhir ,b disebut interval tertutup.
Lambang x, yang mana dapat berdiri untuk semua susunan dari
nilai–nilai asli, yang disebut variabel asli.
Nilai mutlak dari sebuah bilangan real a , dinotasikan dengan
a , adalah a jika 0a , –a untuk a < 0 dan 0 jika a = 0. Jarak antara
dua titik a dan b pada sumbu real adalah |𝑎 − 𝑏|. Atau dengan kata
lain:
0,
0,0
0,
ajikaa
ajika
ajikaa
a
Sifat-sifat terurut bilangan Real
Prinsip adalah aturan atau sifat yang digunakan sebagai
dasar atau landasan dalam uraian yang berkaitan dengan bukti
sesuatu. Prinsip dapat diambil dari definisi, aksioma, atau dalil-dalil
yang “dimunculkan” kembali untuk digunakan pada bagian lain
suatu konsep yang memerlukan. Diantara prinsip dalam matematika
adalah prinsip urutan (well ordering principle).
Prinsip urutan berkaitan dengan kepositipan dan
ketaksamaan antara bilangan-bilangan real. Cara yang dapat
dilakukan untuk melakukan sifat keterurutan adalah
mengidentifikasi suatu subset khusus dari R dengan menggunakan
gagasan “kepositipan”.
Definisi
Misalkan P himpunan bagian R dan P . Untuk selanjutnya P
disebut bilangan real positip kuat, maka berlaku sifat-sifat berikut
ini:
(1) Jika Pba , maka Pba )(
(2) Jika Pba , maka Pba ).(
48 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
(3) Jika Ra , maka tepat dari salah satu yang berikut dipenuhi
PaaPa ,0,
Dua sifat yang pertama menjamin kesesuaian dari urutan
dengan operasi penjumlahan dan perkalian secara berurutan. Sifat
(3) biasanya disebut sifat trikotomi karena membagi R menjadi 3
jenis unsur yang berbeda. Dinyatakan bahwa }{ Paa dari
bilangan real negatip tidak mempunyai unsur persekutuan dengan
,P dan selanjutnya himpunan R merupakan gabungan dari tiga
himpunan yang saling asing.
Definisi
1) Jika Pa , kita mengatakan bahwa a adalah suatu bilangan real
positip kuat (strictly positip) dan dituliskan dengan 0a , Jika
}0{Pa , maka a disebut bilangan real tidak negatip dan
dituliskan dalam bentuk 0a .
2) Jika Pa , kita mengatakan bahwa a adalah suatu bilangan
real negatip kuat (strictly negatip) dan dituliskan dalam bentuk
0a , Jika }0{ Pa , maka a disebut bilangan real tidak
positip dan dituliskan dalam bentuk .0a
3) Jika Rba , dan jika Pba maka dituliskan dalam bentuk
ba atau .ab
4) Jika Rba , dan jika }0{ Pba maka dituliskan dalam
bentuk ba atau ab .
Untuk kesepakatan bersama kita akan menuliskan cba
yang berarti ba dan cb . Demikian juga jika cba yang
berarti ba maka cb dan seterusnya. Berikut ini diberikan
beberapa teorema yang berkaitan dengan prinsip keterurutan
Teorema 1
Misalkan Rcba ,,
1. Jika ba dan cb maka ca .
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 49
2. Tepat dari salah satu pernyataan berikut ini dipenuhi
bababa ,,
3. Jika ba dan ba maka ba
Bukti
1) ba maka menurut definisi 0ba atau Pba
cb maka menurut definisi 0 cb atau Pcb
Karena Pba dan Pcb maka menurut definisi
diperoleh
Pcbba )()(
sehingga Pca atau ca
2) Dengan sifat trikotomi dalam definisi, maka tepat salah satu dari
yang berikut mungkin terjadi
0ba , atau 0ba atau 0)( ba sehingga
ba atau ba atau ba
3) Jika ba , maka 0ba , sehingga dari bukti (b) kita
dapatkan Pba atau Pcb yakni ba atau
ab . Dalam kasus lainnya salah satu dari hipotesisi tersebut
kontradiksi. Jadi haruslah ba
Teorema 2
1. Jika Ra dan 0a maka .02 a
2. 01
3. Jika Nn maka 0n
Bukti
1. Dengan sifat trikotomi jika 0a , maka Pa atau Pa .
Jika Pa maka dengan definisi kita mempunyai aaa .2 ,
untuk Pa . Dengan cara yang sama Jika -a P maka dengan
definisi sebelumnya diperoleh bentuk Paaa ))(()( 2.
Berdasarkan teorema sebelumnya berakibat bahwa:
2)1)(1()1()1())(( aaaaa . Akibatnya bahwa
Pa 2 . Jadi kita simpulkan bahwa jika Pa , maka 02 a .
50 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
2. Karena 2)1(1 , menurut bukti di atas akan menyebabkan bahwa
1 > 0.
3. Kita dapat menggunakan induksi matematika untuk
membuktikan pernyataan ini.
Pernyataan tersebut benar untuk 1n yakni 1 > 0. Selanjutnya
kita anggap benar untuk kn , dengan k bilangan asli.
Karena 1 > 0 dan P1 , maka Pk 1 , sehingga pernyataan di
atas benar adanya dengan menggunakan definisi sebelumnya.
Teorema 3
Misalkan Rcba ,,
1. Jika ba , maka cbca
2. Jika ba , dan cb maka dbca
3. Jika ba , 0c maka bcac
4. Jika ba , 0c maka bcac
5. Jika 0a maka 0/1 a
6. Jika 0a maka 0/1 a
Bukti teorema di atas dapat dijelaskan sebagai berikut:
1. Karena ba berarti menurut definisi sebelumnya 0ba .
Karena 0ba sehingga Pba .
)()()( ccbaba
)()()()( cbcaccba
Sehingga Pcbca )()( . Dengan kata lain
0)()( cbca
Karena 0)()( cbca berarti )()( cbca
2. Karena ba dan dc berarti 0ba dan 0 dc .
Hal ini berarti Pba dan Pdc .
Menurut definisi bilangan real positip kuat (1) diperoleh
Pdcba )()( . Dengan kata lain 0)()( dcba ,
atau
0)()( dcba sehingga berlaku )()( dcba
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 51
3. Karena ba dan dc berarti 0ba dan 0 dc .
Hal ini berarti Pba dan Pdc .
Menurut definisi bilangan real positip kuat (2) diperoleh
Pcba )( . Dengan kata lain Pbcac )( , atau
0)( bcac sehingga berlaku bcac
4. Karena ba dan 0c berarti 0ba dan 0c atau
0)( c .
Hal ini berarti Pba dan Pc .
Menurut definisi bilangan real positip kuat (2) diperoleh
Pcba ))(( . Dengan kata lain Pacbc )( , atau
Pacbc )( sehingga berlaku acbc
5. Jika 0a maka 0a (berdasarkan sifat trikotomi). Karena
0a , berdasarkan sifat sebelumnya maka berlaku ,01
a Jika
0/1 a , berdasarkan teorema sebelumnya diperoleh
0)/1(1 aa .
Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 1 < 0. Jadi haruslah
0/1 a
6. Jika 0a , maka 0a (berdasarkan sifat trikotomi). Karena
0a , berdasarkan sifat sebelumnya maka maka berlaku
,0/1 a Jika
0/1 a , berdasarkan teorema sebelumnya diperoleh
0/11 aa
Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 1 < 0. Jadi haruslah
0/1 a
Teorema 4
Jika Rba , , maka bbaa 2
1
Bukti.
Karena ba , maka dapat diperoleh baaa atau baa 2
52 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Demikian pula ba maka dapat diperoleh bbba atau
bba 2
Dari ketaksamaan baa 2 dan bba 2 didapatkan
bbaa 2
bbbaaa )2(2
1)(
2
1)2(
2
1
bbaa )(2
1
Akibat dari teorema di atas adalah:
jika Ra dan 0a maka bbaa )(2
1
Contoh
Tentukan selesaian persamaan dan pertidaksamaan di bawah ini.
1) 342 x
Jawab
342 x
2
7
2
7
2
2
72
43442
x
x
x
x
Jadi selesaian persamaan 342 x adalah 3/7x
2) 0432 xx
Jawab
0432 xx
14
0)1(0)4(
0)1)(4(
0432
xataux
xataux
xx
xx
Jadi selesaian persamaan 0432 xx adalah 1x atau
1x
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 53
3) Tentukan selesaian pertidaksamaan 7552 xx .
Jawab
4
)31.(12)31.(3
123
55755552
7552
x
x
x
xxxx
xx
Jadi, selesaian pertidaksamaan 7552 xx .adalah 4x
Pertidaksamaan tipe lain mungkin lebih sulit diselesaikan
dibandingkan pertidaksamaan-pertidaksamaan seperti pada contoh
di atas.
Beberapa contoh diberikan sebagai berikut.
1) Tentukan selesaian 0652 xx
Jawab
Dengan memfaktorkan ruas kiri pertidaksamaan, maka
diperoleh:
032 xx
Telah diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila ke
dua faktor positif atau ke dua faktor negatif. Oleh karena itu,
(i). Jika ke dua faktor positif maka:
3dan2
03dan02
xx
xx
Sehingga diperoleh: 3x .
(ii).Jika ke dua faktor negatif, maka:
3dan2
03dan02
xx
xx
Diperoleh: 2x .
Jadi, selesaian persamaan 0652 xx adalah 2x atau
3x .
Selesaian pertidaksamaan di atas dapat pula diterangkan sebagai
berikut: Ruas kiri pertidaksamaan bernilai nol jika
54 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
3atau2 xx . Selanjutnya, ke dua bilangan ini membagi garis
bilangan menjadi 3 bagian: 3dan,32,2 xxx .
Pada bagian 2x , nilai )3(dan)2( xx keduanya negatif,
sehingga hasil kali keduanya positif. Pada segmen 32 x ,
)2( x bernilai positif sedangkan )3( x bernilai negatif.
Akibatnya, hasil kali keduanya bernilai negatif. Terakhir, pada
bagian 3x , )3(dan)2( xx masing-masing bernilai positif
sehingga hasil kali keduanya juga positif. Rangkuman uraian di
atas dapat dilihat pada Tabel berikut.
Tanda nilai
Kesimpulan 2x 3x
)3)(2( xx
2x - - + Pertidaksamaan dipenuhi
32 x + - - Pertidaksamaan tidak dipenuhi
3x + + + Pertidaksaman dipenuhi
Jadi, selesaian pertidaksamaan adalah 2x atau 3x .
Metode penyelesaian seperti pada contoh 1 di atas dapat pula
diterapkan pada bentuk-bentuk pertidaksamaan yang memuat
lebih dari 2 faktor maupun bentuk-bentuk pecahan.
2) 112 23 xxx .
Jawab
Apabila ke dua ruas pada pertidaksamaan di atas ditambah 1,
maka diperoleh:
0)2)(1)(1(
022 23
xxx
xxx
x<2 2<x<3 x>3
0 2 3 4
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 55
Jika 0)2)(1)(1( xxx , maka diperoleh:
2atau,1,1 xxx . Selanjutnya, perhatikan table berikut:
Nilai-nilai peubah 2,1,1 xxx disebut titik kritis.
Tanda nilai/nilai Kesimpulan
1x 1x 2x )2)(1)(1( xxx
1x - - - - Pertidaksamaan
dipenuhi
11 x + - - + Pertidaksamaan
tidak dipenuhi
21 x + + - - Pertidaksamaan
dipenuhi
2x + + + + Pertidaksamaan
tidak dipenuhi
1x 0 -2 -3 0 Pertidaksamaan
dipenuhi
1x 2 0 -1 0 Pertidaksamaan
dipenuhi
2x 3 1 0 0 Pertidaksamaan
dipenuhi
Jadi, selesaian pertidaksamaan 112 23 xxx x 1 atau
1 2 x .
Cara lain untuk menentukan selesaian pertidaksamaan
112 23 xxx .
adalah dengan menggunakan garis bilangan
2,1,1
,0)2)(1)(1(
0112
112
23
23
xdanxx
adalahmaanpertidaksakritistitikSehingga
xxx
xxx
xxx
56 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Dengan memilih satu titik sebarang disetiap interval diatas
diperoleh:
- - - - - - - - - + + + + + + + - - - - - - - - - + + + + + + +
Berdasarkan garis bilangan di atas selesaian pertidaksamaan
adalah
x 1 atau 1 2 x .
3) 12
82
x
x
x.
Penyelesaian
Apabila pada ke dua ruas ditambahkan )1( x maka diperoleh:
02
)2)(5(
02
103
02
2820)1(
2
82
2
2
x
xx
x
xx
x
xxxx
x
x
Nilai nol pembilang adalah 5dan2 , sedangkan nilai nol
penyebut adalah 2. Sekarang, untuk mendapatkan nilai x
sehingga 02
)2)(5(
x
xx diperhatikan tabel berikut:
Tanda nilai/nilai
Kesimpulan 2x
2x
5x
2
)5)(2(
x
xx
2x - - - - Pertidaksamaan
tidak dipenuhi
22 x + - - + Pertidaksamaan
dipenuhi
1 21
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 57
52 x + + - - Pertidaksamaan
tidak dipenuhi
5x + + + + Pertidaksamaan
dipenuhi
2x 0 -4 -7 0 Pertidaksamaan
dipenuhi
2x 4 0 -3 Tidak
terdefinisi
Pertidaksamaan
tidak dipenuhi
5x 7 3 0 0 Pertidaksamaan
dipenuhi
Jadi, selesaian pertidaksamaan adalah 522 xataux
dan ditulis dengan notasi interval ~),5[)2,2[
Soal-soal
1) Misalkan Rdcba ,,, buktikan pernyataan berikut:
a. Jika cbba , maka bdacbcad
b. Jika ba dan dc maka dbca
c. 022 ba jika dan hanya jika a = 0 atau b = 0
2) Carilah bilangan Rdcba ,,, yang memenuhi ba 0
dan 0 da dan berlaku
a) bdac
b) bdac .
3) Tentukan bilangan real x , sedemikian sehingga:
a) 432 xx
b) 41 2 x
c) 0432 xx
d) 062
1
x
x
e) 01
22
x
x
58 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
f) 51
21
x
x
g) x
x3
41
h) xx
1
i) 72
1
x
j) 32
1
x
2.3 Sistem Bilangan Komplek
Persamaan kuadrat merupakan salah satu konsep dalam
matematika yang telah dikenalkan sejak dini. Persamaan tersebut
mempunyai bentuk umum ,02 cbxax dengan .,, realcba
Nilai peubah x yang memenuhi persamaan kuadrat dinamakan
selesaian. Selesaian suatu persamaan yang juga disebut dengan akar-
akar persamaan kuadrat dapat berupa bilangan real atau tidak real.
Misal 012 x adalah sebarang persamaan kuadrat, maka
persamaan tersebut akar-akarnya tidak real atau dengan kata lain
tidak ada bilangan real yang memenuhi persamaan 012 x , hal
ini dikarenakan .12 x Pernyataan ini adalah sesuatu yang tidak
mungkin karena tidak ada kuadrat suatu bilangan real yang hasilnya
.1 Untuk itu perlu diperkenalkan bilangan komplek yaitu suatu
bilangan yang mempunyai bentuk umum bia dimana realba ,
dan 1i .
Bilangan komplek didefinisikan sebagai pasangan
berurutan dari bilangan real ba, yang memenuhi sifat-sifat tertentu
yang secara umum dituliskan sebagai .biaz Kita dapat
mengangap sebuah bilangan komplek mempunyai sifat .12 i .
Untuk selanjutnya dalam bilangan komplek .biaz a disebut
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 59
bagian real dari dari z dan b disebut bagian bilangan imajiner dari
z , secara berturut-turut keduanya dilambangkan dengan
}Re{za dan }Im{zb . Variable yang berlaku pada bilangan
komplek disebut sebagai variabel komplek.
Dua bilangan komplek biaz 1 dan dicz 2
adalah
sama jika dan hanya jika ca dan db . Kita dapat mengangap
bilangan asli sebagai sebuah bagian dari susunan bilangan komplek
dengan b = 0. Bilangan komplek 0 + 0i dan -3 +0i kembali ditunjukan
bilangan asli 0 dan -3 berturut-turut. Jika a = 0 , bilangan komplek 0
+ bi atau disebut bilangan imajiner sejati.
Nilai mutlak bilangan komplek biaz dinotasikan
dengan dan disefinisikan sebagai .22 baz
Konjugate komplek atau secara singkat konjugate, suatu
bilangan komplek bia adalah bia . Konjugate bilangan
bilangan komplek z sering dinotasikan dengan 𝑧 ̅ atau .*z
Contoh:
1) ii 3232
2) iii
4
5
4
1
4
51
4
51
3) iiiiiiiii 4848)2266()2266()22)(3( 2
4) Jika iziziz 23,42,1 321
Maka
a) 1}Re{ 21 zz
b) 2}Re{ 21 zz
c) 2}Re{ 21 zz
d) 7/436Im3
21
z
zz
e) 31Im 321 zzz
60 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Soal-soal
1. Tunjukkan bahwa iziz 1,1 21 adalah akar-akar dari
persamaan kuadrat 0222 zz
2. Tunjukkan bahwa 2
21,
2
2121
iz
iz
adalah akar-akar
dari persamaan kuadrat 012 zz .
3. Tentukan
a. ii 35223
b.
i
i
32
423
2.4 Operasi Dasar pada Bilangan Komplek
Operasi yang ditunjukan pada bilangan komplek juga
berlaku seperti pada Aljabar. Operasi pada bilangan komplek
meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.
Pada operasi bilangan komplek kita dapat memprosesnya seperti
aljabar dari bilangan-bilang asli dan mengganti 𝑖2 dengan -1
sehingga diperoleh hasil sebagai operasinya.
Misal biaz 1 dan dicz 2
hasil operasinya dapat dijelaskan
sebagai berikut:
1. Penjumlahan
idbcadicbiadicbiazz )()()()(21 Contoh
a. iiiiiii 4)23()84(8234)82()34(
b. iiiiiii 410)48()82()48()82()24(2)41(2
c. iiiiiii 672273222732
2. Pengurangan
idbcadicbiadicbiazz )()()()(21
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 61
Contoh
a) iiiiiii 1417)212()143()214()123()7(2)41(3
b) iiiiiii 101)212()23()22()123()1(2)41(3
c) iiiiiiiiii 443222832228)32()2()4(2
3. Perkalian
ibcadbdac
bdibcadac
bdibicadiac
dicbiazz
)()(
)1()(
))((
2
21
Contoh
a) iiiiiii 1011)1(310831228432 2
b) iiiiiii 915)1(12931231234133 2
c) iiiiiiiiii 161221418686143221 2
4. Pembagian
idc
adbc
dc
bdac
dc
iadbcbdac
idcdicdic
dicbia
dic
dic
dic
bia
dic
bia
z
z
2222
22
222
2
1
)()(
))((
.
Contoh
a. ii
i
iii
i
i
i
i
i
i
17
14
17
5
17
145
16
31228
4
4.
4
32
4
322
2
62 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
b. ii
i
iii
i
i
i
i
i
i
25
7
25
1
25
71
916
3434
34
34.
34
1
34
12
2
c. ii
i
iii
i
i
i
i
i
i
5
4
5
3
5
43
4
224
2
2.
2
2
2
22
2
d. Hitunglah
i
i
ii
1
2
1
412
2
2
2311
2
432015
2
543
2
543
2
)31()44(43
2
)22()44(1224
2
)1)(2()1(4)12)(12(
1
2
1
412
22
2
i
ii
ii
ii
iii
iiiiiii
iiiii
i
i
ii
e.
21
21232
i
iii
2
155
2
1510
4
3020
2
2.
2
1510
2
1510
2
218
1
212322
iii
i
i
i
i
i
i
i
ii
i
iii
Soal-soal
1. Selesaikanlah
a. )7)(23( ii
b. )23)(7( ii
c. )72()68( ii
d. )57()21()35( iii
e. )57()21()35( iii
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 63
f. )24)(32( ii
g. )32)(24( ii
h. )45)(23()2( iii
i. )45()23)(2( iii
j. )43)(57()21( iii
k. i
i
1
23
l. ii
i
34
20
43
55
m. 12
3 1910
i
ii
n.
2
3
3
2
1
i
o.
32
1
12
1
13
i
i
i
i
p. 15105
1694
2 iii
iii
q.
3
7
52
i
i
r. 2
7
2
3
i
i
i
i
s. )2)(1(
3
ii
i
t. 223
i
u. 2221 ii
2. Jika iziz 23,2 21 dan 2
3
2
13
iz
64 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Tentukan nilai masing-masing berikut ini.
a. 21 43 zz
b. 843 1
2
1
3
1 zzz
c. 43z
d.
2
13
13
32
52
izz
izz
e.
2
2
3
3
2
1
z
z
z
z
f. 533 zz
g. 22
2
2
3
22
2
2
1 zzzz
h. 1221 zzzz
i. 3132 zzzz
3. Tentukan
a.
2)1(
21232Re
i
iii
b.
2)1(
21232Im
i
iii
c.
22/1
)24)(23(Im
i
ii
d.
22/1
)24)(23(Im
i
ii
e. 2
3
2
2
2
1 532Im zzz dan
2
3
2
2
2
1 532Im zzz
Jika iziz 23,2 21 dan 2
3
2
13
iz
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 65
2.5 Nilai Mutlak
Nilai Mutlak atau modulus dari suatu bilangan komplek
biaz dinotasikan dengan z dan didefinisikan sebagai
22 babiaz
Contoh
a) 1394)3(232 22 i
b) 52204162)4(24 22 i
c) 13943232 22 i
d) 412516)5()4(54 22 i
e)
136
1
9
1
4
1
3
1
2
1
3
1
2
122
i
Jika mzzzz .....,,, 321 adalah bilangan komplek, berlasku sifat-sifat
berikut
1. 2121 zzzz atau mm zzzzzz ...... 2121
Bukti
Misal diczbiaz 21 ,
ibcadbdacdicbiazz 21
`)()( 22
21 bcadbdaczz
`()2( 22222222 cbabcddadbacbdca
`( 222222 dadbca
`))(( 2222 dcba
2222 dcba
`))(( 2222 dcba
66 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
21 zz
2. ,2
1
2
1
z
z
z
z jika 02 z
Bukti
Dari operasi pembagian dua bilangan komplek diperoleh:
22
2
1 )(
dc
iadbcbdac
dic
bia
z
z
, sehingga
22
2222
22
22222222
222
22222222
2
22
2
22
2
1
22
dc
dcba
dc
dacbdbca
dc
daabcdcbdbabcdca
dc
adbc
dc
bdac
z
z
Dilain pihak
Sehingga dapat disimpulakn bahwa ,2
1
2
1
z
z
z
z asalkan 02 z
3. a. 2121 zzzz , b. 321321 zzzzzz
,
c. 2121 zzzz
22
2222
22
22
22
22
22
22
2
1.
dc
dcba
dc
dc
dc
ba
dc
ba
z
z
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 67
(a). Penyelesaian
Misal 222111 , iyxziyxz dan kita harus
menunjukkan bahwa
2
2
2
2
2
1
2
1
2
21
2
21 )()( yxyxyyxx
Kuadaratkan Persamaan kedua diatas, akan benar jika
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
21
2
21 ))((2)()( yxyxyxyxyyxx
jika ))((2
2
2
2
2
1
2
12121 yxyxyyxx atau jika
(Kuadratkan Kedua persamaan lagi)
s
2
2
2
1
2
2
21
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
12121
22
2
1 2 yyxyyxxxyyyyxxxx
Atau 2
2
21
2
2
2
121212 xyyxyyxx
Tetapi ini sama untuk ( 0)2
1221 yxyx jika benar.
Balikkan langkah –langkah yang reversibel.
Contoh soal
1) Jika iziziz2
3
2
1,23,2 321 , hitunglah
a) 15711)6(11681236)23(4)2(343 22
21 iiiiizz
b) 82423284323
1
2
1
3
1 iiizzz
848443.2.3.2.32 23223 iiiiii
848312126128 232 iiiiii
848312126128 iiii
848312126128 iiii
i37
68 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
c) 2.244
4
32
3
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
iiiz
4
3
2
3
4
1
4
3
2
3
4
1
2
3
2
1
4
3
2
3
4
12
2
22
2 iiiiii
i2
3
2
1
d) i
i
i
i
i
i
iiiz
iii
izz
izz
34
34.
34
43
34
43
3)23()(2
5)2()23(2
32
52
21
12
1)1(025
250
916
1216912
34
34.
34
43 222
iiii
i
i
i
i
2) Tentukan bilangan real x dan y sedemikian sehingga
iyixiyx 57523
Jawab
iyixiyx 57523
iixyyx 57)2()53(
Sehingga diperoleh dua persamaan
52
753
yx
yx
Dengan menggunakan metode substitusi diperoleh
2,1 yx
3) Tunjukkan kesamaan di bawah ini:
a) 2121 zzzz
Bukti
idbcazz
idbcadicbiazz
)()(
)()()()(
21
21
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 69
Karena
biaz 1 sehingga biaz 1
dicz 2 sehingga dicz 2
idbcadicbiadicbiazz )()()()(21
Tampak bahwa sehingga 2121 zzzz
b) 2121 zzzz s
Bukti
21
2222
2222
22222222
22222222
22
2
21
22
)()())((
zz
dcba
dcba
cbdadbca
cbabcddadbabcdca
bcadbdac
ibcadbdacbdibciadiacdicbiazz
Soal-soal
1. Jika iz 341 dan iz 212 , hitunglah
(a). 21 zz (b). 21 zz
(b). 21 zz (d). 232 21 zz
2. Jika 𝑧1 = 2 − 2𝑖, 𝑧2 = 3 − 2𝑖 𝑑𝑎𝑛 𝑧3 = −1
2+
√3
2 𝑖,
Tentukan nilai masing-masing berikut ini.
a) 21 43 zz
b) 843 1
2
1
3
1 zzz
c) 43z
70 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
d)
2
13
13
32
52
izz
izz
e) 423 11
2
1 zzz
f) 21 43 zz
3. Tentukan z dari:
a. 2
3
2
1 iz
b. )1(2
2iz
c. )27()1()4( iiiz
d. 333 iz
e. 32 iz
2.6 Pembangun-pembangun Aksiomatis dari Sistem
Bilangan Komplek
Dari suatu segi pandangan yang logis dapat digambarkan
angka-angka complex sebagai pasangan ),( ba dari bilangan real a
dan b menunjuk pada yang definisi yang beragam ternyata sama
dengan definisi diatas. Semua definisi yang digambarkan ini, dimana
semua angka menggantikan bilangan-bilangan real.
a. Persamaan ),(),( dcba jika dan hanya jika dbca ,
b. Penjumlahan ),(),(),( dbcadcba
c. Produk ),(),)(,( bcadbdacdcba dan ),(),( mbmabam
Dari ini kita dapat menunjukkan bahwa
)1,0()0,1(),( baba dan kita berhubungan dengan ini bia di
mana lambang untuk )1,0( dan mempunyai )0,1()1,0)(1,0(2 i
(yang dipertimbangkan setara dengan bilangan riil - 1 dan ( 1, 0)
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 71
jadilah setara dengan bilangan real 1. Pasangan yang diinginkan
)0,0( sesuai dengan bilangan real 0.
Dari pernyataan di atas kita dapat membuktikan bahwa jika
321 ,, zzz bagian dari bilangan komplek .S
1. 21 zz dan
21zz terdapat di S Hukum tertutup
2. 21 zz =
12 zz Bukti
idbca
ibdac
biadicbiadiczz
idbca
dicbiadicbiazz
12
21
Hukum
Komutatif
Penjumlahan
3. 321321 )()( zzzzzz
321
)()()(
)()(
)()(
)()(
))((
zzz
fiedibca
ifdbeca
ifdecbia
ifdecbia
fiedicbia
fiedicbia
Hukum Asosiatif
Penjumlahan
4. 1221 zzzz
Bukti
iadbcbdac
bdibicadiac
dicbiazz
)()(
)(
)()(
2
21
iadcbdbca
dbidiacbica
biadiczz
)()(
)(
))((
2
12
Hukum
komutatif
Perkalian
72 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
5. 321321 )()( zzzzzz
ibdfbceadeacfbdebcfadface
ibdfbceadeacfbdebcfadface
idecfbidfcebiidecfadfcea
idecfdfcebia
dfdiecficebia
fiedicbiazzz
)()(
)()()()(
)()()()(
)()(
))(()(
2
321
ibdfacfadebceadfbcfbdeace
ibdfacfiadebceadfbcfbdeace
ifiadbcfibdacieadbcebdac
fieiadbcbdac
fiebidiadibicac
fiedicbiazzz
)()(
)()()()(
)()()()(
)()()(
)()()()( 321
Hukum
assosiatif
Perkaliam
6. 3121321 )( zzzzzzz
iafbebcadbfbdaeac
bifibidiafiadibiebicaeac
ifdbiifdaecbieca
ifdecbia
fiedicbia
fiedicbiazzz
)()(
)()()()(
)()(
)()()( 321
iafbebcadbfaebdac
iafbebfaeibcadbdac
bifiafibeiaebidibicadiac
fiebiadicbiazzzz
)()(
)()()()(
))(())((3121
Hukum
Distributif
Perkalian
terhadap
Penjumlahan
7. 111 00 zzz
111 1..1 zzz
0 disebut identintas
penjumlahan
1 disebut
identintas
perkalian
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 73
8. Untuk suatu bilangan komplek 1z ada satu
bilangan Sz yang tunggal sedemikian
sehingga 011 zzzz . Untuk
selanjutnya z disebut invers (balikan)
penjumlahan dari 1z dan dilambangkan
dengan 1z .
9. Untuk suatu 01 z ada satu bilangan Sz
yang tunggal sedemikian sehingga
111 zzzz . Untuk selanjutnya z disebut
inver perkalian dari 1z dan dilambangkan
dengan 1
1
z atau
1
1
z
Secara umum suatu himpuan sedemikian sehingga seperti pada S
yang anggota-anggotanya memenuhi sifat di atas disebut dengan
field (lapangan).
Contoh
1. Gunakan defenisi dari sebuah bilangan kompleks sebagai
pasangan orderdari bilangan real dan defenisi pada halaman tiga
untuk membuktikan bahwa (a,b)=a(1,0),b(0,1)dimana
(0,1),(0,1)=(-1,0)=(a,c) + (c,b)=(a,b)
Dari defenisi jumlah dan produk atau hasil di halaman 3, kita
mendapatkan (𝑎, 𝑏) = (𝑎, 0) + (0, 𝑏) = 𝑎(1,0) + 𝑏(1,0) dimana
(0,1)(0,1) = (0 ∗ 0 − 1 ∗ 1,0 ∗ 1 + 1 ∗ 0) = (−1,0) Dari identifikasi
(1,0) dengan 1 dan (0,1) dengan 𝑖, kita melihat bahwa (𝑎, 𝑏) =
𝑎 + 𝑏𝑖
2. Jika 𝑧1 = (𝑎1, 𝑏1), 𝑧2 = (𝑎2, 𝑏2) dan 𝑧3 = (𝑎3 ,𝑏3), membuktikan
hukum
persamaan distribusi 3121321 )( zzzzzzz
Kita mendapatkan
𝑧1(𝑧2 ,𝑧3) = (𝑎1, 𝑏1){(𝑎2, 𝑏2) + (𝑎3, 𝑏3)} = (𝑎1, 𝑏1)(𝑎2, 𝑎3) + (𝑏2, 𝑏3)
= {𝑎1(𝑎2+𝑎3) − 𝑏1(𝑏2, 𝑏3), 𝑎1(𝑏2, 𝑏3) + 𝑏1(𝑎2+𝑎3)}
= (𝑎1𝑎2 − 𝑏1𝑏2 + 𝑎1𝑎3 − 𝑏1𝑏3, 𝑎1𝑏2 + 𝑏1𝑎2 + 𝑎1𝑏3 + 𝑏1𝑎3)
74 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
= (𝑎1𝑎2 − 𝑏1𝑏2, 𝑎1𝑏2 + 𝑏1𝑎2) + (𝑎1𝑎3 − 𝑏1𝑏3, 𝑎1𝑏3 + 𝑏1𝑎3)
= (𝑎1, 𝑏1)(𝑎2, 𝑏2) + (𝑎1, 𝑏1)(𝑎3, 𝑏3) = 𝑧1 ,𝑧2 + 𝑧1 ,𝑧3
2.7 Representasi secara Grafis Bilangan Komplek
Jika skala-skala bilangan real dipilih pada dua sumbu yang
saling tegak lurus, yaitu 'XOX dan 'YOY (selanjutnya disebut
sumbu x dan sumbu y secara berturut-turut) seperti pada Gambar
2.4 berikut.
Gambar 2.4
Selanjutnya kita dapat meletakkan sebarang titik pada
bidang dengan cara menarik garis yang sejajar masing-masing dan
kedua garus dapat bertemu di satu titik, titik tersebut dinamakan
koordinat tegak lurus dan dinotasikan dengan ).,( yx Pada gambar
di atas dipilih titik ).5,3(P
Karena suatu bilangan komplek yixz dapat dipandang
sebagai pasangan berurutan bilangan real sehingga kita dapat
merepresentasikan bilang komplek dengan suatu titik pada bidang
xy . Bidang xy sebagai representasi bilangan komplek dinamakan
bidang komplek atau argand. Bilangan komplek yang ditunjukkan
titik )5,3(P seperti pada gambar 1.2 dapat dipandang sebagai i53
. Setiap bilangan komplek berkorepondesni satu dan hanya satu
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 75
dengan setiap titik pada bidang, sebaliknya setiap satu titik pada
bidang berkorespondensi dengan satu dan hanya satu bilangan
komplek. Karena hal ini sering dan biasa kita menyatakan bilang
komplek ,z sebagai titik .z
Kadang-kadang kita dapat menyatakan sumbu x dan
sumbu y sebagai sumbu real dan sumbu imajiner secara berturut-
turut dan bidangnya dinamakan bidang .z Jarak antara dua titik
iyxz 111 dan iyxz 222 pada bidang komplek diberikan
oleh 2
21
2
2121 )()( yyxxzz
Contoh Soal
1) Bentuklah operasi-operasi berikut secara analitik dan grafik.
a) )54(32 ii
Secara analitis
Secara grafis
Gambar 2.5
b) 3(1 + 2i) – 2(2 – 3i)
Secara analitis
iiiiii 121)66()43()64()63()32(2)21(3
i32
i54
i26
X
Y
iiiiii 26)53(425432)54(32
76 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Secara grafis
Gambar 2.6
c) (7 + i) – (4 – 2i)
d) 3(1 + i) + 2(4 – 3i) – (2 + 5i)
e) 1
2(4 − 3𝑖) +
3
2(5 + 2𝑖)
Contoh 1.c,d dan e ditinggalkan penulis sebagai latihan bagi
pembaca.
2. Jika z1,z
2dan z 3 merupakan vektor yang ditunjukan dalam
gambar 1.7, buatlah grafik :
(a). 2z1 + z 3 (c). z
1+ (z
2+ z 3 ) (e). 312
3
2
4
3
3
1zzz
(b). (z1+ z
2) + z 3 (d). 3z
1- 2z
2+ 5z 3
X
Y
i63i64
i121
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 77
Gambar 2.7
3. Jika z1= 4 – 3i dan z
2= -1 + 2i, buatlah grafik dan analitik:
(a). 21 zz (b). 21 zz
(b). 21 zz (d). 232 21 zz
4. Letak vektor dari titik BA, dan C dari segitiga ABC masing-
masing diberi
1z = 1 + 2i, z2
= 4 - 2i dan z 3 = 1 – 6i. Buktikan bahwa ABC
merupakan segitiga samakaki dan hitunglah panjang sisinya.
5. Misalkan z1,z 432 ,, zz ,letak vektor tegak lurus untuk segi empat
ABCD . Buktikan bahwa ABCD adalah sebuah jajaran genjang
jika dan hanya jika .`04321 zzzz
6. Jika diagonal sebuah segi empat saling membagi dua, buktikan
bahwa segi empat merupakan sebuah jajaran genjang.
7. Buktikan bahwa median dari sebuah segitiga dihubungkan
dalam satu titik.
X
Y
1z
2z
3z
78 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
8. Misalkan segi empat ABCD dan HGFE ,,, titik tengah dari
sisinya. Buktikan bahwa EFGH adalah sebuah jajaran genjang.
9. Dalam jajar genjang ABCD , titik E membagi dua sisi AD .
Buktikan bahwa dimana titik BE dihubungkan dengan titik AC
membagi AC .
10. Letak vektor dari titik BA, berturut-turut adalah 2 + i dan 3 – 2i.
(a). carilah sebuah persamaan garis AB . (b). carilah sebuah
persamaan garis yang tegak lurus ke AB pada titik tengahnya.
11. Gambar dan grafik bentuk manakah yang ditunjukan di bawah
ini:
(a). ,2 iz (b). ,622 ixiz
(c). ,433 zz (d). ,3)2( zz
(e). .4Im 2 z
12. Carilah sebuah persamaan (a). sebuah lingkaran jari-jarinya 2
dengan titik pusat (-3,4) , (b). panjang lingkaran dengan titik pusat
pada (0,2) dan (0,-2) yang mana sumbu utama mempunyai
panjang 10.
2.8 Bentuk Polar Bilangan Komplek
Jika P adalah titik pada bidang komplek yang
berkorepondensi dengan bilangan komplek ),( yx atau yix maka
berdasarkan gambar 2.8 kita dapat melihat bahwa: cosrx ,
.sinry
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 79
Gambar 2.8
Karena yixyxr 22
adalah modulus atau nilai mutlak
dari bilangan komplek 1iyxz (dinotasikan dengan zmod
atau z
); dan disebut amplitude atau argument dari iyxz
(dinotasikan dengan arg z), adalah sudut yang dibuat oleh garis OP
dengan sumbu x positif.
Oleh karena itu, )sin(cos iryixz (1)
Yang disebut bentuk polar dari bilangan komplek, r dan θ disebut
koordinat polar. Kadang-kadang dengan mudah untuk menulis dan
menyebut sebagai singkatan cis untuk sincos i .
Untuk suatu bilangan kompleks 0z terdapat korespondensi satu
dan hanya satu terdapat hanya satu nilai yang sesuai dengan
untuk 0 ≦ 𝜃 < 2π. Namun, interval lain dari panjang 2π, misalnya - π
< θ ≦ π, dapat digunakan. Setiap pilihan utama, diputuskan terlebih
dahulu, disebut jarak utama, dan nilai θ disebut nilai utamanya.
Contoh
1. Nyatakan setiap titik dalam koordinat tegak lurus berikut dalam
bentuk polar
a. i22
),( yxP
X
Y
y
x
r
80 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Gambar 2.9
Karena iz 22 maka 228)2(2 22 rz
Karena titiknya terletak pada kuadran ke-4 maka
4/73352
2cos o
Sehingga
4/7224/7sin4/7cos2222 cisiiz
b. 31 i
Gambar 2.10
Karena 3iiz maka 24)3()1( 22 rz
Karena titiknya terletak pada kuadran ke-2 maka
3/21202
3sin o
X
Y31 i
3/2
X
Y
i22
2
2
4
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 81
Sehingga
3/223/2sin3/2cos231 cisiiz
c. i2222
Gambar 2.11
2222 iz maka 416)22()22( 22 rz
Karena titiknya terletak pada kuadran ke-1 maka
4/452
2
4
22cos o
Sehingga 4/44/sin4/cos42222 cisiiz
d. i
Gambar 2.12
X
Y
i
X
Y2222 i
82 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
iz maka 11)1()0( 22 rz
Karena titiknya terletak pada sumbu -Y maka
2/327001
0cos
o
Sehingga 2/32/3sin2/3cos1 cisiiz
e. -4
s
Gambar 2.13
4z maka 414)0()4( 22 rz
Karena titiknya terletak pada sumbu -X maka
o18014
4cos
Sehingga cisiz 4sincos44
f. i232
Gambar 2.14
X
Y
i232
X
Y
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 83
iz 232 maka 416)2()32( 22 rz
Karena titiknya terletak pada kuadran 3 maka o2104
2cos
Sehingga oo iiz 210sin210cos4232
g. Buktikan bahwa )2/1(tan 1
52
iei
Gambar 2.15
iz 2 maka 5)1()2( 22 rz
Karena titiknya terletak pada kuadran 1 maka 2/1tan atau
).2/1(arctan
Sehingga )2/1(sin(arctan)2/1(cos(arctan52 iiz
2. Nyatakanlah bentuk polar berikut dalam koordinat tegak lurus
a. )135sin135(cos6 oo i
Karena 4/3135 o berarti 0,0 yx
dan diperoleh
23)22/1(6135cos6 ox
23)22/1(6135sin6 oy
Sehingga )23,23(1356)135sin135(cos6 ooo cisi
Y
i2
X
84 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Catatan 4/36)135sin135(cos6 ioo ei
b. ocis 9012
Karena 2/90 o berarti 0,0 yx
dan diperoleh
0)0(1290cos12 ox
12)1(1290sin12 oy
Sehingga )12,0()90(12 ocis
c. 4/52 ie
Karena o2254/5 berarti 0,0 yx
dan diperoleh
2)22/1(24/5cos2 x
2)22/1(24/5sin2 y
Sehingga )2,2(2 4/5 ie
d. 6/75 ie
Karena o2106/7 berarti 0,0 yx
dan diperoleh
32/5)32/1(56/7cos5 x
2/5)2/1(54/7sin5 y
Sehingga )2/5,22/5(5 4/5 ie
e. 3/23 ie
Karena o603/2 berarti 0,0 yx
dan diperoleh
32/3)32/1(3)3/2cos(3 x
2/3)2/1(3)3/2sin(3 y
Sehingga )2/3,32/3(3 4/5 ie
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 85
Soal-soal
1. Tunjukkan bentuk polar dari
a. i43
b. i21
c. 33 i
d. i322
e. i55
f. 26 i
g. i3
h. 5
2. Buatlah grafik untuk titik yang dinyatakan oleh
a. )240sin240cos(6 oo i
b. 4
2
cis
c. 4/722 cis
d. 5/34 ie
e. 4/2 ie
3. Seseorang menempuh perjalalan wisata 12 km dalam arah timur
laut, dilanjutkan 20 km dalam arah o30 disebelah barat dari utara
kemudian 18 km o60 disebelah selatan dari barat. Tentukan
secara analitis dan grafis jarak yang ditempuh dan bagaimana
arah yang ditempuh dari titik awal.
86 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 87
TEOREMA SISTEM
BILANGAN KOMPLEK
ab III dalam bahan ajar ini membahas sepuluh hal pokok yang
berkaitan dengan teorema sistem bilangan komplek, yaitu:
(1) Teorme de Moivre, (2) Akar-akar Bilangan Komplek, (3)
Rumus Euler, (4) Persamaan Polinomial, (5) Akar-akar ke-n dari
Satuan, (6) Interpretasi Vektor Bilangan Komplek, (7) Representasi
Spherical Bilangan Komplek, (8) Hasil Kali Titik dan Silang, (9)
Koordinat-koordinat Konjugate Bilangan Komplek, dan (10)
Himpunan-himpunan Titik.
Standar Kompetensi
Setelah mempelajari pokok bahasan pada Bab III diharapkan
mahasiswa memahami beberapa teorema dalam sistem bilangan
komplek dan dapat mengaplikasikannya pada masalah-masalah
praktis.
Kompetensi Dasar
1) Mahasiswa dapat menjelaskan kembali tentang teorema de
Moivre.
2) Mahasiswa dapat menentukan akar-akar bilangan komplek.
3) Mahasiswa dapat menjelaskan kembali rumus Euler.
4) Mahasiswa dapat menentukan akar-akar persamaan polinomial
dengan variabel bilangan komplek.
5) Mahasiswa dapat menentukan akan-akar ke-n dari satuan.
B
88 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
6) Mahasiswa dapat menggambarkan bilangan komplek dengan
interpretasi vektor.
7) Mahasiswa dapat menentukan hasil kali dan titik dari bilangan
komplek.
8) Mahasiswa dapat menentukan koordinat-koordinat konjugate
bilangan komplek.
3.1 Teorema de Moivre
Jika )sin(cos 111111 iriyxz dan
)sin(cos 222222 iriyxz kita dapat menunjukkan
bahwa:
)sin(cos)sin(cos 22211121 irirzz
21
2
21212121 sinsincossinsincoscoscos iiirr
irr )sincoscos(sin)sinsincos(cos 2121212121
)2(...................)sin()cos( 212121 irr
2
1
z
z
)sin(cos
)sin(cos
222
111
ir
ir
)sin(cos
)sin(cos.
)sin(cos
)sin(cos
222
222
222
111
ir
ir
ir
ir
)sincossincossin(cos
)sinsincossincossincos(cos
2
22
2222
22
2
21
2
21122121
iiir
iiirr
)sin)1((cos
)sinsin)1(cossincossincos(cos
2
2
2
22
2
2121122121
r
iirr
)sin(cos
))cossincos(sin)sinsincos(cos
2
2
2
22
2
2112212121
r
irr
2
2
212121 sin()cos(
r
irr
)3(....................)sin(cos( 2121
2
1 ir
r
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 89
Bentuk generalisasi dari (2) menyebabkan
)}.....sin().....{cos(............ 21212121 nnnn irrrzzz
(4)
dan jika bentuk (4) menjadi
)5(.........)sin(cos)}sin(cos{....... ninrirzzzzzz nnn
Bentuk (5) sering disebut teorema de Moivre
Contoh soal
1. Buktikan teorema de Moivre
nini n sincos)sin(cos dengan n sebarang
bilangan bulat positip.
Bukti
Kita gunakan prinsip induksi matematika
Untuk 1n maka diperoleh
sincos)sin(cos)sin(cos 1 inii n
Dianggap benar untuk n = k, sehingga
kiknii kn sincos)sin(cos)sin(cos
Selanjutnya akan dibuktikan benar untuk n = k+1
)1sin()1cos(
)sin(cos)sin(cos)sin(cos)sin(cos 1
kik
iiii kkn
Dengan demikian benar untuk
...,3,2,1n
Hasil di atas ekuivalen
`)( nini ee
2. Buktikan identitas
a. cos5cos20cos165cos 35
Bukti
5sincos5sin5cos ii
90 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
)sinsincos10sincos5(sincos5sincos10cos
sinsincos5sincos10sincos10sincos5cos
)sin()sin(cos
)sin(cos)sin(cos)sin(coscos
53244235
54322345
55
5
45
4
325
3
235
2
45
1
55
0
i
iii
ii
iii
sehingga
4235 sincos5sincos10cos5cos
22235 )cos1(cos5)cos1(cos10cos
)coscos21(cos5cos10cos10cos 42535
)cos5cos10cos5cos10cos10cos 52535
b. 3324 sinsincos10sincos55sin
dengan cara yang sama diperoleh
5324 sinsincos10sincos55sin
53222 sin)sin)sin1(10sin)sin1(5
55342 sin)sin(sin10sin)sinsin21(5
55343 sin)sin10sin10sin5sin10sin5
sin5sin20sin20 25
c. 1cos12cos16
sin
5sin 24
jika ,...2,,0
sin
sinsincos10sincos5
sin
5sin 5324
4224 sinsincos10cos5 22224 )cos1()cos1(cos10cos5
)coscos21(cos10cos10cos5 42424
1cos12cos16 24
3. Buktikan bahwa
a. 2cos
ii ee
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 91
Jawab
sincos,sincos ieie ii
2cos
cos2
sincossincos
ii
ii
ii
ee
ee
iiee
b. i
ee ii
2sin
Jawab
i
ee
eei
iiee
ii
ii
ii
2sin
sin2
sincossincos
4. Buktikan identitas
a. 3sin
4
1sin
4
5sin3
Jawab )
3sin4
1sin
4
3
24
1
24
3
8
133
8
1
33(8
1
)())((3)()(3)(8
1
8
)(
2sin
2sin
33
33
33
3223
3
33
3
i
ee
i
ee
eei
eei
eeeei
eeeeeei
i
ee
i
ee
i
ee
iiii
iiii
iiii
iiiiii
iiii
ii
92 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
b. 8
32cos
2
14cos
8
1cos4
Jawab
8
32sin
4
14cos
4
1
8
3
24
1
24
1
16
644
8
1
8
1
464(16
1
)())((4)()(6)()(4)(16
1
16
)(
2cos
2cos
2244
2244
4224
432234
44
4
iiii
iiii
iiii
iiiiiiii
iiii
ii
eeee
eeee
eeee
eeeeeeee
eeee
ee
5. Hitunglah
a. ooo ii 80sin80(cos440sin40(cos3 0
Jawab
ooooooo iii 8040sin()8040cos(4.380sin80(cos440sin40(cos3 0
366
2
3
2
112
120sin120cos12
i
i
i oo
b.
3
7
454
152
o
o
cis
cis
Jawab
)135105(213564
105128
45.34
15.72
454
1523
7
3
7
oo
o
o
o
o
o
o
ciscis
cis
cis
cis
cis
cis
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 93
c.
10
31
31
i
i
Jawab
o
o
o
o
o
o
o
ciscis
cis
ciscis
cis
i
i1200
)600(
600
)60.10(2
60.10cos2
)60(2
602
31
3110
101010
2
2
2
1120 icis o
6. 660 50sin50cos2502 oo icis
33232
32/12/164
300sin300cos64
50.6sin50.6cos26
i
i
i
i
oo
oo
7.
54
1
1
3
3
i
i
i
i
Jawab
5454
315sin315(cos2
45sin45(cos2
30sin30(cos2
330sin330(cos2
1
1
3
3
oo
oo
oo
oo
i
i
i
i
i
i
i
i
5
315.5sin315.5(cos2
45.5sin45.5(cos24
30.4sin30.4(cos16
330.4sin330.4(cos16
oo
oo
oo
oo
i
i
i
i
oo
oo
oo
oo
i
i
i
i
1575sin1575(cos24
225sin225(cos24
120sin120(cos16
1320sin1320(cos16
22/122/1(24
22/1(22/1(24
32/12/1(16
32/1(2/1(16 i
i
i
94 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
22/122/1(
22/1(22/1(
32/12/1(
32/1(2/1(
i
i
i
i
22/122/1
22/122/1
22/122/1(
22/1(22/1(
32/12/1
32/12/1
32/12/1(
32/1(2/1(
i
i
i
i
i
i
i
i
2/12/1
2/12/12/12/1
4/13/1
34/134/14/1( iiii
2
3
2
13
2
1
2
1
iii
8. Buktikan
a. 2121 argarg)arg( zzzz
Bukti
Misal 1111 sincos irz dan 2222 sincos irz
)sin(cos)sin(cos 222211121 irrirzz 21
2
21212121 sinsincossinsincoscoscos iiirr irr )sincoscos(sin)sinsincos(cos )1221212121
irr )sin()cos( 212121
Sehingga
212121 argarg)arg( zzzz
b. 2121 argarg)/arg( zzzz
Bukti
2
1
z
z
)sin(cos
)sin(cos
222
211
ir
ir
)sin(cos
)sin(cos.
)sin(cos
)sin(cos
222
222
222
111
ir
ir
ir
ir
)sincossincossin(cos
)sinsincossincossincos(cos
2
22
2222
22
2
21
2
21122121
iiir
iiirr
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 95
)sin)1((cos
)sinsin)1(cossincossincos(cos
2
2
2
22
2
2121122121
r
iirr
)sin(cos
))cossincos(sin)sinsincos(cos
2
2
2
22
2
2112212121
r
irr
2
2
212121 sin()cos(
r
rr
)sin()cos( 2121
2
1 r
r
Sehingga
2121
2
1 argargarg zzz
z
Soal-soal
1. Hitunglah
a. 4/34/32 ciscis
b.
4/3
4
33/
2
1 ciscis
c. 4/73224/2 ciscis
d.
63
32
ciscis
e.
32
23
ciscis
2. Tentukan hasil perkalian berikut dan nyatakan dalam koordinat
tegak lurus.
a. oooo ii 70sin70cos420sin20cos2
b. oooo ii 90sin90cos530sin30cos2
c. oooo ii 35sin35cos835sin35cos4
d. oooo ii 172sin172cos2118sin118cos3
e. oooo ii 60sin60cos2120sin120cos4
96 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
f. oooo ii 200sin200cos6135sin135cos8
g. 20 30sin30cos2 oi
h. 30 60sin60cos5 oi
i. 3
6
72
cis
j. 4
6
112
cis
3. Buktikan bahwa
a. 3sin4sin33sin
b. cos3cos43cos 3
4. Buktikan bahwa
a. 4cos63cos22cos8
sin
4sin 3
b. 1sin8sin84cos 24
5. Buktikan teorema de Moivre untuk bilangan bulat negatif dan
bilangan rasional
6. Buktikan bentuk-bentuk berikut ini:
a. x
xx2sec
1)sin1)(sin1(
b. xx 2tan)1)(sec1(sec
c. xxxx costansinsec
d. xx
x 2
2
2
sinsec
1sec
e. 1sec
1sin
2
2 x
x
f. yyy cos3cos43cos 3
g. sssss cossin4cossin84sin 3
h. xxx 2sin)cos1)(cos1(
i. 1sec
cos
cos
sin
p
p
p
p
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 97
j. 1)cot1)(cos1( 22 xx
k. tttt 2cos)sin(cscsin
l. ty
y22
2
sec
1
csc
csc1
3.2 Akar-akar Bilangan Komplek
Suatu bilangan w disebut akar ke-n bilangan komplek z jika
zwn atau dapat kita tulis dalam bentuk nwz /1 . Berdasarkan
teorema de Moivre kita dapat menunjukkan bahwa jika n adalah
bilangan bulat positip,
nn yixz/1/1
nir /1)}sin(cos{
)}sin(cos{ /1
ni
nr n
)6(......)1...(2,1,0,2
sin2
cos/1
nk
n
ki
n
kr n
Berdasarkan bentuk di atas, untuk n nilai yang berbeda untuk nz /1
, yaitu n akar yang berbeda dari z . asalkan .0z
Contoh soal
1. a) Temukan semua nilai ,z sehingga 325 z ,
b) Tempatkan atau masukkan nilai ini dalam bidang kompleks.
Jawab
a) 5/15/15 0323232 izz
Gambar 3.1
X
Y
)0,32(
98 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Dalam bentuk polar
,...3,2,1,0,2sin()2cos(32)032( kkiki
Sehingga dalam bentuk polar
5/15/1sincos32032 ii
Dengan menggunakan teorema de Moivre diperoleh
4,3,2,1,0,5
2sin
5
2cos32sincos32 5/15/1
k
ki
ki
Untuk
5sin
5cos2
5sin
5cos320
5/1
1
iizk
Untuk
5
3sin
5
3cos2
5
3sin
5
3cos321
5/1
2
iizk
Untuk 2)01(2sincos322
5/1
3 izk
Untuk
5
7sin
5
7cos2
5
7sin
5
7cos323
5/1
4
iizk
Untuk
5
9sin
5
9cos2
5
9sin
5
9cos324
5/1
5
iizk
Dengan mempertimbangkan 𝑘 = 5, 6 serta nilai-nilai negatif, -
1, -2, ..., pengulangan dari lima nilai di atas 𝑧 diperoleh. Oleh
karena itu ini adalah satu-satunya solusi atau akar dari
persamaan yang diberikan. lima akar ini disebut " lima akar dari
– 32 ” dan secara kolektif ditunjukkan dengan (−32)1/5. Pada
umumnya, 𝑎1/𝑛 mewakili Akar ke-" 𝑛 " dari dan 𝑎. Dan
terdapat 𝑛 akar.
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 99
b)
Gambar 3.2
2. Tentukan 3/11 i
Jawab
Gambar 3.3
Dalam bentuk polar
kiki 24/3sin()24/3cos(21
X
Y
i1
X
Y
6/2 cis
100 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Sehingga
3/13/14/3sin4/3cos211 i
3/1
24/3sin()24/3cos(2 kik
2,1,0,
3
24/2sin
3
24/3cos2
3/1
kk
ik
42
3
4/3sin
3
4/3cos20 6/1
3/1
1
cisizk
12
112
3
24/3sin
3
24/3cos21 6/1
3/1
1 cisizk
4
192
3
44/3sin
3
44/3cos22 6/1
3/1
1
cisizk
Semua akar–akar ini dapat terlihat pada gambar berikut ini
y
11π/12 Z1
Z2 π/4
19π/12
Z3
Gambar 3.4
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 101
3. 4/1
232 i
Jawab
Gambar 3.5
Dalam bentuk polar
kiki 26/7sin()26/7cos(4232 Sehingga
3/14/1
6/7sin6/7cos4232 ii
4/126/7sin()26/7cos(4 kik
3,2,1,0,
4
26/7sin
4
26/7cos4
3/1k
ki
k
24
74
24
7sin
24
7cos40 4/14/1
1
cisizk
24
194
24
19sin
24
19cos41 4/14/1
2
cisizk
24
454
24
45sin
24
45cos42 4/14/1
3
cisizk
24
714
24
71sin
24
71cos43 4/14/1
4
cisizk
X
Y
i232
102 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Pernyataan di atas dinyatakan dalam gambar di bawah ini :
Gambar 3.6
4. Mencari akar–akar kuadrat dari – 15 − 8i
Jawab
Gambar 3.7
Dalam bentuk polar
Cara 1
– 15 − 8i = 17 {cos ( θ + 2kπ ) + i sin ( θ + 2kπ )}
Dimana, cos θ = −15
17 dan sin θ = −
8
17
Maka akar – akar kuadrat dari – 15 − 8i adalah :
X
Y
i1815
X
Y
1z2z
3z 4z
24/7
24/19
24/31
24/43
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 103
√17 ( cos θ
2+ i sin
θ
2 )
( 1 )
√17 { cos ( θ
2+ π ) + i sin (
θ
2+ π ) } = −√17 ( cos
θ
2 + i sin
θ
2 )( 2)
Jadi,
Cos θ
2= ± √
( 1 + cos θ )
2 =
√( 1 −1517)
2= ±
1
√17
Sin θ
2= ± √
( 1 − cos θ )
2 =
√( 1 +1517)
2= ±
4
√17
Karena θ adalah sudut yang berada di kuadran ketiga, maka θ
2
adalah sudut yang berada di kuadran kedua. Sehingga Cos θ
2 =
−1
√17 dan Sin
θ
2=
4
√17
Dan dari persamaan ( 1 ) dan ( 2 ) di atas, diketahui bahwa akar–
akar kuadratnya adalah – 1 + 4i dan 1 − 4i
Untuk membuktikannya, coba cek bahwa :
( – 1 + 4i )2 = ( 1 − 4i )2 = −15 − 8i
Cara 2
Misalkan kita ambil p + iq, dimana p dan r adalah anggota
bilangan Real yang mewakili akar – akar kuadrat dari – 15 − 8i
Kemudian dikuadratkan menjadi (p + iq)2 = p2 − q2 + 2pqi =
−15 − 8i
Atau p2 − q2 = −15 ( 3 )
Dan pq = −4 ( 4 )
Substitusikan (gantilah) q = −4
p dari persamaan (4) ke persamaan
(3)
Menjadi p2 −16
p2 = −15 atau p4 + 15p2 − 16 = 0
Sebagai contohnya, (p2 + 16) (p2 − 1) = 0 atau p2 = −16 , p2 = 1
104 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
5. 2/1
232 i Jawab
Gambar 3.8
Dalam bentuk polar
kiki 26/7sin()26/7cos(4232 Sehingga
2
26/7sin
2
26/7cos4232 2/1
2/1 ki
ki
2
6/7sin
2
6/7cos40 2/1
ik
2
26/7sin
2
26/7cos41 2/1
ik
X
Y
i232
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 105
1. 5/144 i
Gambar 3.9
4
3sin
4
3cos2444
ii
5/1
5/1
4
3sin
4
3cos2444
ii
4,3,2,1,0,5
24/3sin
5
24/3cos)24( 5/1
k
ki
k
Untuk
20
3sin
20
3cos)2(40 10/15/1
1
izk
Untuk
5
24/3sin
5
24/3cos)2(41 10/15/1
2
izk
Untuk
5
44/3sin
5
44/3cos)2(42 10/15/1
3
izk
Untuk
5
64/3sin
5
64/3cos)2(43 10/15/1
4
izk
X
Y
i44
4
3
106 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Untuk
5
84/3sin
5
84/3cos)2(44 10/15/1
4
izk
Soal-soal
Hitunglah
1. 66/1
3131 ii
Dibaca : Akar pangkat 6 dari 31 i
2. 4/1i
3. 6/1314 i
4. `2235/1
i
5. 8/124 i
6. 2/144 i
7. 2/1125 i
8. 2/1
548 i
9. 3/1
222 i
10. 6/121 i
11. 7/1
31 i
12. 8/144 i
13. 9/144 i
14. 3/1211 i
15. 3/1
2 i
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 107
3.3 Rumus Euler
Berdasarkan asumsi perluasan deret berhingga
....!3!2
132
xx
xe x
dari kalulus elementer ketika ,ix
kita dapat mengambil hasil:
)!1(
)(.....
!5
)(
!4
)(
!3
)(
!2
)()(1
15432
n
iiiiiie
ni
)!1(...
!5!3)!2(...
!4!21
115533224422
n
iiii
n
iii nnnn
)!1(...
!5!3)!2(...
!4!21
153242
niiii
n
nn
)!1(...
!5!3)!2(...
!4!21
153242
ni
n
nn
Dengan menggunakan definisi jumlah deret tak hingga diperoleh:
)7.......(71828,2sincos eie i
Yang mana (7) kita sebut sebagai rumus Euler’s yang sesuai,
bagaimanapun secara sederhana kita mendefinisikan .ie
umumnya kita definisikan
)8(`.........sincos yixeeeee xiyxiyxz
Misalnya untuk contoh dimana 0y menghasilakan xe
Perlu dicatat bahwa bentuk dari (7) pada dasarnya merupakan hasil
dari teorema de Moivre untuk inni ee
108 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Contoh soal
1. Tentukan rumus Euler untuk
31 i
Gambar 3.10
31 iz maka 231)3()1( 22 rz
Karena titiknya terletak pada kuadran 1 maka 2
1cos
Diperoleh
3/602
1
oarc
Sehingga 3/23
23
sin3
arccos231 iecisiiz
Sehingga
3/231 ieiz
i232
31 i
X
Y
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 109
Gambar 3.11
iz 232 maka 416)2()32( 22 rz
Karena titiknya terletak pada kuadran 3 maka o2104
2cos
Sehingga
iooo eciscisiiz )6/7(26
722102210sin210cos4232
)2/1(tan 1
52
iei
Gambar 3.12
iz 2 maka 5)1()2( 22 rz
Karena titiknya terletak pada kuadran 1 maka 2
1tan
Y
i2
X
Y
i232
X
110 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Diperoleh
Sehingga
)2/1(tan)2/1arctan( 1
55)2/1(sin(arctan)2/1(cos(arctan52
ii eeiiz
26 i
Gambar 3.13
iz 26 maka 228)2()6( 22 rz
Karena titiknya terletak pada kuadran 2 maka
6
5150
2
2sin o
Sehingga
iooo eciscisiiz )6/5(26
522102210sin210cos4232
2. Nyatakan hasil akhirnya dengan rumus Euler
54
1
1
3
3
i
i
i
i
Jawab
5454
315sin315(cos2
45sin45(cos2
30sin30(cos2
330sin330(cos2
1
1
3
3
oo
oo
oo
oo
i
i
i
i
i
i
i
i
X
Y
26 i
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 111
5
315.5sin315.5(cos2
45.5sin45.5(cos24
30.4sin30.4(cos16
330.4sin330.4(cos16
oo
oo
oo
oo
i
i
i
i
oo
oo
oo
oo
i
i
i
i
1575sin1575(cos24
225sin225(cos24
120sin120(cos16
1320sin1320(cos16
22/122/1(24
22/1(22/1(24
32/12/1(16
32/1(2/1(16 i
i
i
22/122/1(
22/1(22/1(
32/12/1(
32/1(2/1(
i
i
i
i
22/122/1
22/122/1
22/122/1(
22/1(22/1(
32/12/1
32/12/1
32/12/1(
32/1(2/1(
i
i
i
i
i
i
i
i
2/12/1
2/12/12/12/1
4/13/1
34/134/14/1( iiii
2
3
2
13
2
1
2
1
iii
ii
i
i
i
i
2
1
4
3
2
3
2
1
1
1
3
354
1
2
1
2
322
r
Karena titik di kuadaran ke-3 maka
4
1arctan
2
2/1arctan,
4
1
2
2/1tan
Sehingga
)4/1(arctan('4/1(sin(arctan4/1cos(arctan12
1
4
3 ieii
112 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
3. Nyatakan hasil akhir soal di bawah ini dengan rumus Euler
a.
4/1
32
cis
Jawab
4/14/14/1
23
sin23
cos23
sin3
cos23
2
iicis
Dengan menggunakan teorema de Moivre diperoleh
,2,1,0,4
23/sin
4
23/cos2
3sin
3cos2 4/1
4/1
k
ki
ki
ieik 12/4/14/1 212
sin12
cos20
ieik 12/74/14/1 212
7sin
12
7cos21
ieik 12/134/14/1 212
13sin
12
13cos22
ieik 12/194/14/1 212
19sin
12
19cos23
b.
43
22
ciscis
Jawab
4sin
4cos3
2sin
2cos2
43
22
iiciscis
ie
cis
i
i
4/36
4
36
4
3sin
4
3cos6
42sin
42cos3.2
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 113
c. )7)(23( ii
Jawab
)1719(
)21721(
)214321()7)(23( 2
i
i
iiiii
Dalam bentuk polar
19
17tansin
19
17arctancos265)1719( acrii
Bentuk Euler
i
eacri
19
17arctan
26519
17tansin
19
17arctancos265
Soal-soal
Tentukan rumus Euler yang bersesuaian dengan hasil akhir dari
operasi di bawah ini!
1. )7)(23( ii
2. )23()7( ii
3. )72()68( ii
4. )57()21()35( iii
5. )57()21()35( iii
6. )24)(32( ii
7. )32)(24( ii
8. )45)(23()2( iii
9. )45()23)(2( iii
10. )43)(57()21( iii
11. i
i
1
23
12. ii
i
34
20
43
55
114 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
13. 12
3 1910
i
ii
14.
2
3
3
2
1
i
15.
32
1
12
1
13
i
i
i
i
16. 15105
1694
2 iii
iii
3.4 Persamaan-persamaan Polinomial
Sering dalam hal-hal praktis kita menemukan selesaian
persamaan pangkat banyak (polinomial) dengan bentuk umum :
)9.........(0... 1
2
2
1
10
nn
nnn azazazaza
Dimana naaa ....,,0 10
adalah bilangan komplek dan n adalah
bilangan bulat positip yang disebut pangkat dari persamaan.
Selesesaian dari persamaan polinomial juga disebut pembuat nol
(zeros) ruas kiri persamaan (9) akar-akar persamaan.
Teorema ini sangat penting sehingga disebut teorema
mendasar dari aljabar yang menyatakan bahwa setiap persamaan
polinomial dari bentuk (9) mempunyai paling sedikit satu akar
bilangan. Berdasarkan fakta ini kita dapat polinomial mempunyai n
akar bilangan komplek yang kadang-kadang beberapa ada yang
sama dan bahkan mungkin semua akar-akarnya sama.
Jika nzzzz ,...,,, 321
dengan n akar-akar persamaan
polinomial maka (9) dapat di tulis sebagai:
)10(..........0)).....()()(( 321 no zzzzzzzza
yang mana di sebut bentuk pemfaktoran dari persamaan
polynomial, sebaliknya jika kita dapat menulis (9) pada bentuk (10)
kita dapat menentukan akar-akarnya dengan mudah.
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 115
Contoh soal
1. Selesaikanlah persamaan kuadrat berikut
0,02 acbzaz
Dengan menukar c dan membaginya dengan 0a diperoleh
bentuk persamaan
a
c
a
bzz 2
Jika masing-masing ruas ditambahkan dengan
2
2
a
b
Diperoleh bentuk kuadrat sempurna 22
2
22
a
b
a
c
a
b
a
bzz
22
2
22
a
b
a
c
a
b
a
bzz
a
acb
a
bz
2
4
2
22
a
acb
a
bz
2
4
2
2
a
acbbz
a
acbbz
a
acb
a
bz
2
4,
2
4
2
4
2
2
2
2
.1
2
Untuk selanjutnya a
acbbz
2
42
2.1
Disebut akar-akar 0,02 acbzaz
2. Tentukan selesaian persamaan polinomial berikut:
a. 05)32(2 iziz
116 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Jawab
Dengan menggunakan rumus pada soal nomor 1 diperoleh
2
815)32(
2
4209124()32(
2
)5.(1.4)32()32(
2
4
2
2
2
2.1
ii
iiii
iii
a
acbbz
Sehingga
2
815)23(1
iiz
dan 2
815)23(2
iiz
b. 0)3()2(2 iziz
Jawab
Dengan faktorisasi diperoleh
0)21(1()3()2(2 iziziziz Sehingga
iziz 21,1 21
c. Jabarkanlah 𝑧2(1 − 𝑧2) = 16 Jawab
Dengan menggunakan metode 1. Persamaan pada soal diatas
jika dijabarkan akan menghasilkan persamaan berikut. 𝑧4 −
𝑧2 + 16 = 0, bisa juga 𝑧4 + 8𝑧2 + 16 − 9𝑧2 = 0, supaya
menghasilkan persamaan
(𝑧2 + 4)2 − 9𝑧2 = 0, 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝑧2 + 4 + 3𝑧)(𝑧2 + 4 − 3𝑧) = 0
Maka akan menghasilkan jawaban dari
𝑧2 + 4 + 3𝑧 = 0, 𝑑𝑎𝑛 𝑧2 + 4 − 3𝑧 = 0, yaitu −3
2±
√7
2𝑖 𝑑𝑎𝑛
3
2±
√7
2𝑖.
Dengan menggunakan metode 2. Kita bisa misalkan 𝑤 = 𝑧2,
maka persamaan diatas bisa kita jabarkan menjadi 𝑧4 − 𝑧2 +
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 117
16 = 0 dan ganti z menjadi w maka 𝑤2 − 𝑤 + 16 = 0 atau 𝑤 =1
2± √72
3𝑖. untuk mendapatkan jawabannya bisa digunakan cara
pada soal 30.
d. 0124 zz
Jawab
Atau
32
1
4
3
2
1
4
3
2
1
04
3
2
1
01
2
2
2
2
2
24
iz
z
z
zz
Sehingga diperoleh
32
1
2
12 iz
dan 3
2
1
2
12 iz
32
1
2
1
32
1
2
1
2
2
iz
iz
Atau
32
1
2
12.1 iz
3
2
1
2
1,3
2
1
2
121 iziz
2/1
2/1
1
3
2sin
3
2cos1
32
1
2
13
2
1
2
1
i
iiz
118 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
1,0,3
23/2sin
3
23/2cos1 2/1
k
ki
k
312
13
2
1
2
11
3
3/2sin
2
3/2cos10 2/1 iiizk
312
1
3
7
3
23/2sin
2
23/2cos11 2/1 icisizk
2/1
2 32
1
2
13
2
1
2
1
iz
1,0,3
23/2sin
2
23/2cos
3
2sin
3
2cos1
2/1
2
kk
ik
iz
3
7
3
23/2sin
2
23/2cos1
312
13
2
1
2
110
cisizk
iizk
Soal-soal
Selesaikanlah
1. 0462 345 zzzz
2. 010332256 234 zzzz
3. 01025 2 zz
4. 0)3()2(2 iziz
5. Carilah dua bilangan komplek yang jumlahnya 4 dan hasil
kalinya 8.
6. 0814 z
7. 316 iz
8. 023 zzz
9. 0)8126( 234 zzzz
10. 0)( 24 zz
11. 0)412136( 234 zzzz
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 119
12. 0)16249( 246 zzz
13. 0)( 68 zz
14. 0)64( 23 z
15. 01202742258515 2345 zzzzz
16. 04423 zzz
17. 0)( 4 zz
18. 0)52( 52 zz
19. 0)365( 24 zz
20. 04875 2345 zzzzz
21. 0133 23 zzz
22. 0)3)(44( 2 zzz
3.5 Akar-akar nke dari Satuan
Selesaian dari persamaan 1nz dimana n adalah bilangan
bulat positip disebut akar-akar nke dari satuan dan di berikan
oleh :
)11(....1,.....,3,2,1,02sin2cos
2
nken
ki
n
kz n
k
Misal jika ,2sin2cos /2 nike
n
ki
n
k n akar-akar dari
persamaannya adalah: 1, .,.......,, 12 n yang secara geometri
menunjukkan bahwa n vertical dari sebuah polygon (segi banyak)
beraturan teratur dimana di samping n di tuliskan pada sebuah
lingkaran dari jarak satu dengan pusat yang sebenarnya. Lingkaran
ini mempunyai persamaan 1z dan sering di sebut lingkaran
satuan.
120 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Contoh soal
1. Carilah semua akar-akan ke-4 dari satuan
Jawab
4/14 11 zz
4,3,2,1,4
2sin
4
2cos
4,3,2,1,0,4
20sin
4
20cos1
0sin0cos101
4/1
4/14/1
kk
ik
kk
ik
iiz
Untuk 10sin0cos0 1 izk
Untuk iizk 4
sin4
cos1 2
Untuk 1sincos2 3 izk
Untuk iizk 2
3sin
2
3cos3 4
2. Jika n = 2, 3, 4... Tunjukkan bahwa
a) n
2cos
n
4cos + 1
)1(2cos...
6cos
n
n
n
b) n
2sin
n
4sin 0
)1(2sin...
6sin
n
n
n
misalkan persamaan ,01nx mempunyai solusi terhadap
nilai dari akar-akar kesatuan. 1, n
ik
e
2
, 5
4 ik
e
, 5
6 ik
e
,
0...
)1(2
5
8
n
inik
ee
Soal-soal
1. Tentukan akar-akar ke-4 dari satuan
2. Tentukan akar-akar ke7 dari satuan
3. Tentukan akar-akar ke-11 dari satuan
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 121
4. Carilah semua akar dari 5511 zz
3.6 Interpretasi Vektor Bilangan Komplek
Bentuk bilangan komplek yixz dapat dipandang
sebagai vektor OP yang mempunyai titik awal di titik asal O (origin)
dan titik akhirnya pada koordinat ),( yxP seperti pada gambar 1.25
berikut ini.
Gambar 3,14
Kadang-kadang kita menyebut iyxOP sebagai vektor
positip dari .P Dua vektor mempunyai panjang (magnitudo) dan
arah yang sama, tetapi titik-titik awal berbeda sedemikian sehingga
OP dan AB pada gambar 1.25 dipandang sama. Dalam hal ini
dapat ditulis iyxABOP
Jumlah dari bilangan komplek berkorespondensi dengan
hukum jajarangenjang dari jumlah untuk vektor. (lihat gambar 1-26).
Dengan demikian jumlah bilangan komplek 1z dan
2z melengkapi
jajarangenjang OABC diman OA dan OC berkorespondensi
dengan 1z dan .2z Diagonal OB pada jajarangenjang
berkorespondensi dengan .21 zz
X
Y
O
),( yxPA
B
122 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Gambar 3.15
Contoh soal
1. Misalnya vektor posisi titik 𝐴(𝑥1, 𝑦1) dan 𝐵(𝑥2, 𝑦2) berturut-turut
dinyatakan oleh 𝑧1 dan 𝑧2.
(a) Nyatakan vektor AB sebagai suatu bilangan kompleks.
(b) Tentukan jarak antara A dan B.
Jawab
Gambar 3.16
X
Y
1z
2z
21 zz
),( 11 yxA
),( 22 yxB
X
Y
O
1z
1z
2z
2z
21 zz
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 123
b) Dari gambar 1.27 𝑂𝐴 + 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 atau
AB = OB –OA = 𝑧1 − 𝑧2
=(𝑥2 + 𝑖𝑦2) − (𝑥1 + 𝑖𝑦1)
=(𝑥2 − 𝑥1) + 𝑖(𝑦2 − 𝑦1)
Jarak antara titik A dan B diberikan oleh
|AB| = |(𝑥2 − 𝑥1) + 𝑖(𝑦2 − 𝑦1)| = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
2. Misalkan 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 dan 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2 menyatakan dua vektor
tak segaris atau tak sejajar. Jika a dan b merupakan bilangan real
(skalar) sehingga 𝑎𝑧1 + 𝑏𝑧2 = 0, buktikan bahwa 𝑎 = 0 dan 𝑏 = 0.
Syarat yang diberikan 𝑎𝑧1 + 𝑏𝑧2 = 0 setara dengan 𝑎(𝑥1 + 𝑖𝑦1) +
𝑏(𝑥2 + 𝑖𝑦2) = 0, atau 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑥2 + 𝑖(𝑎𝑦1 + 𝑏𝑦2) = 0. Maka 𝑎𝑥1 +
𝑏𝑥2 = 0 dan 𝑎𝑦1 + 𝑏𝑦2 = 0. Persamaan-persamaan tersebut
mempunyai jawaban bersama 𝑎 = 0, 𝑏 = 0 jika 𝑦1/𝑥1 ≠ 𝑦2/𝑥2,
yaitu jika vektor-vektor tersebut bukan vektor segaris atau sejajar.
3. Buktikan bahwa diagonal suatu jajar genjang saling membagi dua
antara yang satu dengan lainnya.
Gambar 3.17
Misal OABC (gambar 3.17) adalah jajaran genjang yang diberikan
dengan diagonal-diagonalnya berpotongan di P.
P
A B
C
1z
2z
124 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Karena 𝑧1 + 𝐴𝐶 = 𝑧2, 𝐴𝐶 = 𝑧2 − 𝑧1. Maka 𝐴𝑃 = 𝑚(𝑧2 − 𝑧1) dimana
0 ≦ 𝑚 ≦ 1.
Karena 𝑂𝐵 = 𝑧1 + 𝑧2, maka 𝑂𝑃 = 𝑛(𝑧1 + 𝑧2) di mana 0 ≦ 𝑛 ≦ 1.
Tetapi 𝑂𝐴 + 𝐴𝑃 = 𝑂𝑃, yaitu 𝑧1 + 𝑚(𝑧2 − 𝑧1) = 𝑛(𝑧1 + 𝑧2) atau
(1 − 𝑚 − 𝑛)𝑧1 + (𝑚 − 𝑛)𝑧2 = 0). Oleh karena itu menurut soal no
9, 1 − 𝑚 − 𝑛 = 0, 𝑚 − 𝑛 = 0 atau 𝑚 =1
2, 𝑛 =
1
2 dan ini
mengakibatkan P merupakan titik tengan dari kedua diagonal
tersebut.
4. Tentukan suatu persamaan untuk garis lurus yang pelalui dua
titik yang diberikan, yaitu 𝐴(𝑥1, 𝑦1) dan 𝐵(𝑥2, 𝑦2).
Misalkan, 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 dan 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2 berturut-turut adalah
vektor posisi dari A dan B.
Misalkan 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 adalah vektor posisi dari suatu titik P. pada
garis yang menghubungakan A dan B.
Gambar 3.18
Dari gambar 3.18
𝑂𝐴 + 𝐴𝑃 = 𝑂𝑃 atau 𝑧1 + 𝐴𝑃 = 𝑧, yaitu 𝐴𝑃 = 𝑧 − 𝑧1
𝑂𝐴 + 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 atau 𝑧1 + 𝐴𝐵 = 𝑧2, yaitu 𝐴𝐵 = 𝑧2 − 𝑧1
Karena 𝐴𝑃 dan 𝐴𝐵 segaris, 𝐴𝑃 = 𝑡 𝐴𝐵 atau 𝑧 − 𝑧1 = 𝑡(𝑧2 − 𝑧1) di
mana t adalah riil, dan persamaan yang diinginkan adalah:
𝑧 = 𝑧1 + 𝑡(𝑧2 − 𝑧1) atau 𝑧 = (1 − 𝑡)𝑧1 + 𝑡𝑧2
A
P
B1z
2z
z
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 125
Soal-soal
1. Jika iziz 21,34 21
Tentukan hasil (secara analitis dan grafis) dari
a. 21 zz
b. 21 zz
c. 21 zz
d. 232 21 zz
2. Vektor-vektor posisi dari titik-titik pada ABC
.61,24,21 21 iCizBizA Buktikan bahwa
ABC adalah sama sisi dan tentukan panjang masing segi-
masing sisinya.
3. Misal 4321 ,,, zzzz adalah vektor-vektor posisi dari segiempat
ABCD . Buktikan bahwa segiempat ABCD jika dan hanya jika
04321 zzzz
4. Pesawat terbang WISATA terbang 150 km menuju arah tenggara
(southeast), 100 km kearah barat (west) 225 km dalam arah o30
disebelah utara dari timur, dan 323 km dalam arah timur laut
(northeast). Tentukan berapa jauh jarak yang ditempuh oleh
pesawat jika dihitung dari titik awal pemberangakatan
penerbangan.
3.7 Representasi Spherical Bilangan Komplek, Proyeksi
Stereografis
Misalnya P (pada gambar 1.6) adalah bidang komplek dan
pandang suatu unit sphere (jari-jari satu) tangent P di .0z
Untuk diameter NS tegak lurus dengan P dan titik N dan S kita sebut
kutub-kutub utara dan bagian selatan dari . Beberapa
korenspondensi titik A di P kita dapat membuat garis NA
126 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
berpotongan dengan pada titik A’. Dengan demikian setiap titik
di bidang bilangan komplek berkorespondensi satu-satu dan hanya
satu titik dari sphere , dan kita dapat menggambarkan sebarang
bilangan komplek oleh satu titik pada sphere. Untuk melengkapi
titik N hal itu berkorespondensi dengan “ jumlah pada titik” dari
bidang tersebut. Dari himpunan semua titik-titik termasuk bidang
komplek untuk jumlah pada titik disebut semua bidang kompleks,
semua bidang z, atau bidang kompleks secara luas.
Methode yang telah dijelaskan di atas untuk memetakan
bidang pada sphere disebut proyeksi stereografis. Sphphich. Sphere
tersebut kadang-kadang disebut Riemann sphere.
Gambar 3.19
3.8 Hasil Kali Titik (dot) dan Silang (cross)
Misal 111 iyxz dan 222 iyxz adalah dua bilangan
komplek dan dinyatakan sebagai vektor-vektor. Hasil kali titik
antara dua bilangan komplek 1z dan .2z merupakan sebuah skalar.
Hasil kali titik antara dua bilangan kompel z1 dan z2
didefenisikan dengan bentuk :
N
S
A
P
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 127
)12(.....2
1Recos. 21212121212121 zzzzzzyyxxzzzz
Dimana adalah sudut diantara z1 dan z2 yang mana terletak antara
0 dan .
Hasil kali silang dari z1 dan z2 didefenisikan sebagai
)14(.
)13(..........2
1Imsin
21212121
21212121212121
iezzzzizzzz
zzzzi
zzxyyxzzzz
Jika 1z dan
2z adalah bukan nol, maka
1. Syarat perlu dan cukup bahwa 1z dan
2z tegak lurus adalah
bahwa 0. 21 zz
2. Syarat perlu dan cukup bahwa 1z dan
2z sejajar adalah bahwa
021 zz
3. Magnitudo proyeksi dari 1z pada .2z adalah ./. 221 zzz
4. Luas jajarangenjang yang mempunyai sisi z1 dan z2 adalah
.21 zz
Contoh soal
1. Jika iziz 3,52 21, tentukan:
a. 21.zz
156)1)(5()3)(2(cos. 21212121 yyxxzzzz
b. 21 zz
17152)3)(5()1)(2(sin 21212121 xyyxzzzz
c. 12.zz
156)5)(1()2)(3(cos. 12121212 yyxxzzzz
d. 12 zz
17)2(15)2)(1()5)(3(sin 12121212 xyyxzzzz
128 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
e. 21.zz
f. 12.zz
g. 21 zz
h. 12 zz
Soal e,f,g dan h ditinggalkan penulis untuk latihan bagi
pembaca.
2. Buktikan bahwa:
a. 1221 .. zzzz
Bukti
222111 , iyxziyxz Menurut definisi hasil kali titik diperoleh
1212121221212121 .coscos. zzzzyyxxyyxxzzzz
b. 1221 zzzz
Bukti
222111 , iyxziyxz Menurut definisi hasil kali silang diperoleh
1212211221212121 .cossin. zzzzyxyxxyyxzzzz
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 129
3. Ditentukan iziz 34,43 21 tentukan besar sudut yang
dibentuk oleh 1z dan .2z
Gambar 3.20
Menurut definisi hasil kali titik, diperoleh
cos. 2121 zzzz
21
21.coszz
zz
25
24
5.5
24
3443
)34).(43(cos
ii
ii
25
24arccos
4. Buktikan bahwa jajaran genjang ABCD yang mempunyai
panjang sisi 1z dan
2z adalah 21 zz
X
Yi34
i43
130 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Gambar 3.21
Luas jajaran genjang
2121122 sinsin zzzzzztzABCD
3.9 Koordinat-koordinat Konjugat Bilangan Komplek
Suatu titik di bidang kompleks, dapat diletakkan pada
koordinat tegak lurus (𝑥, 𝑦) atau koordinat kutub (𝑟, 𝜃). Namun
banyak juga kemungkinan yang lain, misalnya dalam bentuk ).,( zz
Karena yixz dan yixz maka akan diperoleh
22
__________
zzxxzz
yixz
yixz
dan
i
zzyyizz
yixz
yixz
22
__________
1z
2z
sin1zt
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 131
Bentuk 2
zzx
dan
i
zzy
2
dapat disubstitusikan kedalam
persamaan yanga diketahui. Koordinat (𝑧, 𝑧̅) yang menentukan letak
suatu titik dinamakan koordinat-koordinat bilangan komplek dalam
konjugate atau disingkat dengan koordinat konjugate dari sustu titik.
Contoh soal
1. Nyatakan persamaan berikut dalam bentuk koordinat konjugate
a. 52 yx
Misal yixz sehingga yixz
Dengan menggunakan metode substitusi diperoleh
zzx 2 dan zziy 2
Sehingga diperoleh 2
zzx
dan
i
zzy
2
Substitusikan x dan y sehingga
52 yx
izziziz
izizi
izzzzi
i
zz
i
zzi
i
zzzz
1022
10)12()12(
10)()(2
522
2
522
2
b. 3622 yx
3622
22
i
zzzz
362
1
2
1 zzzz
36 zz
132 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
c. 9)3( 22 yx
92
92
62
22
i
zzzzzz
94
29
26
4
22222
zzzzzzzzzz
362361222222 zzzzzzzzzz
02122 zzzzzz
01212 zz
d. 25164 22 yx
252
162
4
22
i
zzzz
252422222 zzzzzzzz
2548422222 zzzzzzzz
25633222 zzzz
025633222 zzzz
Soal-soal
1. Deskripsikan setiap locus berikut ini yang diyatakan dalam
koordinat konjugate menjadi bentuk bilangan komplek.
2. Ubahlah setiap persamaan berikut dalam koordinat konjugate
3.10 Himpunan-himpunan Titik
Sebarang kumpulan titik-titik di bidang kompleks
dinamakan suatu himpunan titik berdimensi dua, dan setiap titiknya
dinamakan suatu anggota atau unsur himpunan tersebut.
Definisi dasar berikut ini diberikan sebagai bahan rujukan.
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 133
1. Lingkungan (neighbourhoods)
Suatu lingkungan delta (atau 𝛿) dari titik 𝑍𝑜 adalah Himpunan
semua titik 𝑧 sehingga |𝑧 − 𝑍𝑜| < 𝛿 dimana 𝛿 adalah suatu
bilangan positif yang diberikan. Suatu lingkungan – 𝛿 yang
dihilangkan dari 𝑍𝑜 adalah Suatu lingkungan dari 𝑍𝑜 yang titik
𝑍𝑜 nya dibuang, yaitu 0 < |𝑧 − 𝑍𝑜| < 𝛿 .
2. Titik lserimit (limit points)
Suatu titik 𝑍𝑜 disebut titik limit, titik gabung, atau titik kumpul dari
himpunan titik 𝑆. Jika setiap lingkungan – 𝛿 yang dihilangkan dari
𝑍𝑜 memuat titik di himpunan 𝑆, karena 𝛿 adalah Suatu bilangan
positif sebarang, maka himpunan 𝑆 harus memiliki banyak titik
yang tak berhingga. Perhatikan bahwa 𝑍𝑜 mungkin terletak di
dalam atau di luar himpunan 𝑆.
3. Himpunan-himpunan tertutup (closed sets)
Sebuah himpunan 𝑆 disebut tertutup jika setiap titik limit dari 𝑆
termasuk di dalam 𝑆, yaiut 𝑆 memuat semua titik limitnya.
Sebagai contoh, himpunan semua titik 𝑧 sehingga |𝑧| ≤ 1 adalah
suatu himpunan tertutup.
4. Himpunan-himpunan terbatas (bounded sets)
Sebuah himpunan 𝑆 disebut terbatas jika kita dapat menemukan
suatu konstata 𝑀 sehingga |𝑧| ≤ 𝑀 untuk setiap titik 𝑧 dan 𝑆.
Suatu himpunan tak terbatas adalah himpunan yang tidak
memiliki batas. Suatu himpunan yang terbatas dan tetutup
dinamakan Kompak.
5. Titik dalam, titik luar, dan titik terbatas (interior, exterior, and
boundary points)
Suatu titik 𝑍𝑜 disebut titik dalam dari himpunan 𝑆 jika kita dapat
menentukan suatu lingkungan 𝛿 dari 𝑍𝑜 yang semua titiknya
termasuk pada 𝑆. Jika setiap lingkungan 𝛿 dari 𝑍𝑜 memuat titik di
𝑆 dan juga titik di luar 𝑆, maka 𝑍𝑜 dinamakan titik batas. Jika
suatu titik bukan suatu titik dalam atau titik batas dari suatu
himpunan 𝑆, maka titik ini dinamakan titik luar dari 𝑆.
134 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
6. Himpunan-himpunan terbuka (open sets)
Suatu himpunan terbuka adalah suatu himpunan yang hanya
terdiri dari titik dalam. Sebagai contoh, himpunan titik 𝑍 sehingga
|𝑧| < 1 adalah suatu himpunan terbuka.
7. Himpunan-himpunan tersambung (connected sets)
Suatu himpunan terbuka 𝑆 disebut tersambung jika untuk setiap
dua titik di himpunan tersebut dapat dihubungkan oleh suatu
lintasan yang berbentuk garis lurus (lintasan segi banyak) yang
semua titiknya terletak di dalam 𝑆.
8. Daerah terbuka atau domain (open regions or domains)
Suatu himpunan terbuka tersambung dinamakan suatu daerah
terbuka atau domain.
9. Closure suatu himpunan (closure of a set)
Jika suatu himpunan 𝑆 kita gabungkan semua titik limitnya, maka
himpunan baru yang terbentuk disebut penutup himpunan 𝑆 dan
merupakan suatu himpunan tertutup.
10. Daerah tertutup (closed regions)
Penutup suatu daerah terbuka atau domain disebut suatu daerah
tertutup.
11. Daerah (regions)
Jika pada suatu daerah terbuka atau domain kita gabungkan
beberapa, semua atau tidak sama sekali titik limitnya, maka kita
menemukan suatu himpunan yang disebut daerah. Jika semua
titik limitnya digabungkan, maka daerahnya tertutup dan jika
tidak digabungkan sama sekali, maka daerahnyaterbuka. Dalam
buku ini bilamana kita menggunakan istilah daerah tanpa
mengelompokkannya, kita akan mengartikannya sebagai daerah
terbuka atau domain.
12. Gabungan dan Irisan dari himpunan. sebuah himpunan terdiri
dari semua titik yang tergabung dalam himpunan S1 dan
himpunan S2 atau kedua-duanya yang dinamakan union/
gabungan dari himpunan S1 dan S2 yang ditandai dengan
himpunan S1 + S2 / 𝑠1 ∪ 𝑠2Suatu himpunan terdiri dari semua titik
yang terdapat dalam himpunan S1 dan S2 dinamakan irisan S1 dan
S2 yang ditandai dengan S1 , S2 / 𝑠1 ∩ 𝑠2
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 135
13. Komplemen dari himpunan. Suatu himpunan yang tergabung
dari semua titik yang tidak termasuk dalam himpunan S
dinamakan komplemen S dan dinyatakan dengan 𝑆~
14. Himpunan kosong dari sub himpunan. Menarik untuk memikir
sebuah himpuan yag tak bernilai, himpunan ini dinamakan
himpunan kosong ( ∅). Jika dua himpunan S1 dan S2 tidak
memiliki nilai (dimana kedua himpunan tersebut dinamakan
himpunan yang tak berkaitan/saling keterkaitan), kita dapat
menjelaskannya dengan menulis S1 - S2 = ∅. Setiap himpunan
yang dibentuk melalui pemilihan semua nilai / tanpa nilai dari
sebuah himpunan dinamakan sub himpunan dari S. bila kita
menjelaskan himpunan ini dimana semua nilai S telah dipilih
maka himpunan itu dinamakan sebuah himpunan yang benar
dari S.
15. Himpunan tak terhingga. Jika bagian sebuah himpunan dapat
ditempatkan dalam sebuah persamaan dengan angka-angka
1,2,3………maka himpunan itu dinamakan himpunan yang dapat
dihitung, jika tidak dapt dihitung maka himpunan tersebut
dinamakan himpunan tak terhingga.
Berikut ini ada dua teori penting mengenai nilai-nilai himpunan:
a) Teorema Welerstrass-Bolzano. Teori ini menyatakan bahwa
setiap himpunan dasar terikat memiliki paling sedikit satu batas
nilai.
b) Teorma Heine-Borel. Teori ini menyatakn bahwa S merupakan
sebuah himpunan terpadu masing-masingnya mengandung satu
atau lebih himpunan A1, A2.....( yang kemudian dikatakan
meliputi himpunan S tak terhingga). Kemudian akan terjadi
sejumlah himpunan dasar A1, A2 yang meliputi S tak terhingga.
3.11 Soal-soal
Operasi Dasar Bilangan Komplek
1. Selesaikanlah
a) )7)(23( ii
b) )23)(7( ii
136 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
c) )72()68( ii
d) )57()21()35( iii
e) )57()21()35( iii
f) )24)(32( ii
g) )32)(24( ii
h) )45)(23()2( iii
i) )45()23)(2( iii
j) )43)(57()21( iii
k) i
i
1
23
l) ii
i
34
20
43
55
m) 12
3 1910
i
ii
2. Jika 𝑧1 = 2 + 𝑖, 𝑧2 = 3 − 2𝑖 𝑑𝑎𝑛 𝑧3 = −1
2+
√3
2 𝑖,
Tentukan nilai masing-masing berikut ini.
a) 21 43 zz
b) 843 1
2
1
3
1 zzz
c) 43z
d)
2
13
13
32
52
izz
izz
3. Buktikan bahwa (a). Re 2/)(}{ zzz , (b). Im 2/)(}{ zzz .
4. Buktikan jika hasil dari dua bilangan kompleks adalah 0 < 1 dari
bilangan nol
5. Jika w = 3iz – z2
dan x = x + iy, carilah 2
w dari x dan y.
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 137
Representasi Grafis Bilangan Komplek
1. Nyatakan hasil operasi bilangan komplek berikut ini secara
analitis dan grafis
a. )3()2( ii
b. )23()13( ii
c. )92()32()4( iii
2. Jika z1= 4 – 3i dan z
2= -1 + 2i, buatlah grafik dan analitik:
(a). 21 zz (b). 21 zz
(b). 21 zz (d). 232 21 zz
3. Letak vektor dari titik A,B dan C dari segitiga ABC masing-
masing diberi
z1 = 1 + 2i, z
2= 4 - 2i dan z
3 = 1 – 6i. Buktikan bahwa ABC
merupakan segitiga samakaki dan hitunglah panjang sisinya.
4. Misalkan z1,z
432 ,, zz ,letak vektor tegak lurus untuk segi empat
ABCD. Buktikan bahwa ABCD adalah sebuah jajaran genjang
jika dan hanya jika 04321 zzzz
5. Jika diagonal sebuah segi empat saling membagi dua,buktikan
bahwa segi empat merupakan sebuah jajaran genjang.
6. Buktikan bahwa median dari sebuah segitiga dihubungkan
dalam satu titik.
7. Misalkan segi empat ABCD dan E,F,G,H titik tengah dari sisinya.
Buktikan bahwa EFGH adalah sebuah jajaran genjang.
8. Dalam jajar genjang ABCD , titik E membagi dua sisi AD.
Buktikan bahwa dimana titik BE dihubungkan dengan titik AC
membagi AC.
9. Letak vektor dari titik A dan B berturut-turut adalah 2 + i dan 3
– 2i.
(a). carilah sebuah persamaan garis AB. (b). carilah sebuah
persamaan garis yang tegak lurus ke AB pada titik tengahnya.
10. Gambar dan grafik bentuk manakah yang ditunjukan di bawah
ini:
138 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
(a). ,2 iz (b). ,622 ixiz (c). ,433 zz
(d). ,3)2( zz (e). .4Im 2 z
11. Carilah sebuah persamaan (a). sebuah lingkaran jari-jarinya 2
dengan titik pusat (-3,4) , (b). panjang lingkaran dengan titik
pusat pada (0,2) dan (0,-2) yang mana sumbu utama mempunyai
panjang 10.
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 139
FUNGSI DALAM
PEUBAH KOMPLEK
ab IV dalam bahan ajar ini membahas hal yang berkaitan
dengan fungsi dalam peubah komplek yang meliputi, (1)
pengantar fungsi dalam peubah komplek, (2) jenis-jenis
fungsi dalam peubah komplek, (3) beberapa pembuktian sifat fungsi
dalam peubah komplek, (4) contoh-contoh soal dan pembahasannya,
dan (5) soal-soal.
Standar Kompetensi
Setelah mempelajari pokok bahasan pada Bab IV diharapkan
mahasiswa dapat memahami jenis-jenis fungsi dalam peubah
komplek dan dapat menerapkannya pada masalah-masalah praktis
yang berkaitan dengan bidang komplek atau fungsi dan invers
fungsi.
Kompetensi Dasar
1) Mahasiswa dapat menentukan nilai ketunggalan suatu fungsi
dalam peubah komplek.
2) Mahasiswa dapat merepresentasikan nilai ketunggalan fungsi
dalam peubah komplek pada bidang komplek.
3) Mahasiswa dapat membuktikan beberapa kesamaan dalam
fungsi eksponen dengan peubah komplek.
4) Mahasiswa dapat membuktikan beberapa kesamaan dalam
fungsi trigonomteri dan inversnya dengan peubah komplek.
B
140 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
5) Mahasiswa dapat membuktikan beberapa kesamaan dalam
fungsi hiperbolik dan inversnya dengan peubah komplek.
6) Mahasiswa dapat menjawab dengan benar setiap soal-soal dan
masalah yang diberikan pada setiap berakhirnya kegiatan
perkuliahan.
4.1 Pengantar
Peubah yang selama ini digunakan untuk menyimbulkan
bilangan komplek adalah z dan merupakan simbul yang dapat
mewakili sebarang himpunan dalam bilangan komplek. Dalam
pembahasan selanjutnya z dinamakan sebagai peubah komplek dan
dinyatakan sebagai z = x + yi, dimana Ryx , dan 1i . Jika
setiap nilai dari peubah komplek z dapat diasumsikan dapat
berkorespondensi satu atau lebih dari varibel komplek w, maka
dapat dikatakan bahwa fungsi dari z dan ditulis sebagai w=f(z) atau
w = g(z) dan seterusnya. Peubah pada fungsi f(z) atau g(z) disebut
sebagai peubah bebas, sedangkan w disebut peubah tak bebas.
Selanjutnya nilai dari a pada fungsi w=f(z) atau w = g(z) pada titik z =
a dapat ditulis sebagai f(a). Dengan demikian jika f(z) = z2 maka f(2i)
=(2i)2= 22(i)2=4(-1) =-4.
Seperti halnya dalam peubah real, dalam peubah komplek
juga dikenal dengan fungsi bernilai tunggal atau fungsi bernilai tidak
tunggal. Jika hanya ada satu nilai dari fungsi dalam peubah z maka
dapat dikatakan bahwa w = f(z) adalah fungsi bernilai tunggal atau
w bernilai tunggal, Sebaliknya jika ada banyak nilai dari w yang
berkorespondensi dengan w =f(z) maka w disebut fungsi bernilai
tidak tunggal atau fungsi nilai tidak tunggal dari w = f(z). Fungsi
yang bernilai tidak tunggal dapat dipandang sebagai kumpulan dari
fungsi-fungsi yang bernilai tunggal dan setiap anggota yang tidak
tunggal tersebut dinamakan cabang (branch) dari fungsi.
Contoh:
1. Jika w=f(z)=z2 maka nilai w yang berkorespondensi dengan -2+i
dan 1-3i dapat dijelaskan sebagai berikut.
a. w=f(z)=z2 sehingga f(-2+i)=(-2+i)2 =4-4i+(-1)=3-4i
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 141
b. w=f(z)=z2 sehingga f(1-3i)=(1-3i)2=1-6i+9(-1)=-8-6i.
2. Korespondensi soal 1.a dan 1.b di atas dapat direpresentasikan
secara grafis seperti dapat dilihat pada Gambar 4.1 dan 4.2.
Gambar 4.1 Gambar 4.2
Pada Gambar 4.1, titik z=-2+i ditunjukkan dengan titik P(-2,1) dan
titik P mempunyai peta (image) di titik w=3-4i yang ditunjukkan
oleh titik P’. Hal ini diakibatkan oleh fungsi pengaitnya f(z).
Selanjutnya kita dapat mengatakan bahwa P dapat dipetakan ke
titik P’ yang berarti fungsi pemetaan atau transformasi w=z2.
Dengan cara yang sama untuk titik z=1-3i dpat ditunjukkan
dengan titik Q(1,-3) seperti pada gambar 4.2 memunyai peta
(image) di titik w=-8-6i yang ditunjukkan oleh titik Q’. Dengan
demikian untuk setiap titik pada bidang z terdapat korespondensi
satu dan hanya satu titik sebagai peta (image) pada bidang w. Dalam
hal lain dapat dikatakan bahwa w adalah fungsi bernilai tunggal
dari z.
3. Tunjukkan bahwa garis lurus yang melalui titik P dan Q pada
bidang z seperti pada Gambar 4.1 di atas adalah peta dari w=z2
dalam kurva yang menghubungkan titik P’Q’ seperti pada
Gambar 4.2 disebelahnya. Tentukan persamaan dari kurva
tersebut.
wbidang
u
v
'P'Q i43i68
zbidang
i2
i31
P
Q
x
y
142 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Jawab
Titik P dan Q berturut-turut mempunyai koordinat (-2,1) dan (1,-
3), Maka persamaan parametrik dalam bidang w yang
menghubungkan titik P dan Q adalah:
12
1
12
1
yy
yy
zz
zz
tyz
13
1
)2(1
)2(
tiytx 4,23
Sehingga persmaan garis lurus PQ dapat dinyatakan dengan
z=(3t-2)+i(1-4t) dan kurva pada bidang w yang memetakan garus
lurus PQ dapat dinyatakan dengan
W=z2=((3t-2)+i(1-4t))2=(3t-2)2+2(3t-2)i(1-4t)+i2(1-4t)2
=3-4t-7t2+(-4+22i-24t2)i
Karena w=u+iv, persamaan parameter dari peta garis lurus PQ
diberikan oleh
u=3-4t-7t2, v=-4i+22t-24t2.
Jika w=f(z), maka kita dapat memandang z sebagai fungsi dari w,
ditulis sebagai z=g(w)=f-1(w). Fungsi f-1 sering disebut sebagai
fungsi invers yang berkorespondensi dengan f. Dengan demikian
w=f(z) dan w=f-1(z) adalah fungsi invers dari sesamanya.
4.2 Fungsi-fungsi dalam Peubah Komplek
Fungsi dalam peubah komplek dapat diperikan menjadi
beberapa fungsi dasar, fungsi-fungi tersebut dapat dijelaskan sebagai
berikut.
1. Fungsi Pangkat Banyak (Polinomial)
Fungsi pangkat banyak dalam Peubah komplek adalah fungsi
yang didefinisikan oleh
nn
nnn
o azazazazaw
1
2
2
1
1 ...
dimana ,0oa dan nn aaaa ...,, ,21 adalah konstanta bilangan
komplek dan n adalah bilangan bulat positip dan disebut sebagai
derajat dari fungsi pangkat banyak P(z).
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 143
Transformasi w = az + b disebut sebagai transformasi linear.
Contoh
1. 412136 234 zzzzw
2. 16249 246 zzzw
3. 68)( zzzf
4. 23 )64()( zzf
5. 4423 zzzw
6. zzw 4
7. 52 )52()( zzzf
8. 365)( 24 zzzf
2. Fungsi Rasional Aljabar
Fungsi rasional Aljabar dalam peubah komplek adalah fungsi
yang mempunyai bentuk umum )(
)(
zQ
zPw
Dimana P(z) dan Q(z) adalah adalah fungsi pangkat banyak.
Dalam kasus khusus dcz
bazw
dengan 0bcad . Bentuk ini
sering disebut sebagai bilinear atau transformasi linear pecahan.
Contoh
1. 4
2
zw
2. 4
122
z
zw
3. 23
1)(
2
zz
zzf
4. 44
4)(
2
2
zz
zzf
5. zz
zzzxf
5
12)(
3
35
144 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
3. Fungsi Eksponensial
Fungsi eksponensial dalam peubah komplek adalah fungsi yang
dapat dinyatakan sebagai iyxiyxz eeeew
Karena
)!1(
)(
)!2(
)(...
!4
)(
!3
)(
!2
)()(1
12432
n
iy
n
iyiyiyiyiye
nniy
...
!7!5!3...
!6!4!21
753642 yyyyi
yyy+
= cos y + i sin y
Sehingga yciseyiyew xx )sin(cos Dimana e = 2,71828..... adalah logaritma berbasis bilangan alami
(natural).
Jika a bilangan real positip, kita dapat mendefinisikan azz ea ln
Dimana ln a adalah logaritma natural dari bilangan real a.
fungsi eksponensial dalam peubah real, sehingga:
yxyx eee . dan yx
y
x
ee
e .
Contoh soal
1. Buktikan bahwa 2121 zzzz eee
Bukti
Menurut definisi fungsi dalam pubah komplek dapat dijelaskan
bahwa
)sin(cos 11111111 yiyeeeee
xiyxiyxz
dan
)sin(cos 22222222 yiyeeeee
xiyxiyxz
Sehingga )sin(cos).sin(cos 22112121 yiyeyiyeee
xxzz
)sin(cos).sin(cos 2211221 yiyeyiyee
xxx
))sincossin(cos)sinsincos((cos 1221212121 iyyyyyyyyee
xx
)sin()(cos( 212121 yyiyyee
xx
)()( 2121 iyyxx
eee
)( 2121 iyiyxxeeee
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 145
)()( 2211 iyxiyx ee
)()( 2211 iyxiyxe 21 zze
2. Buktikan bahwa xx ee
Bukti
yixeeeeeee zyixyixyixz sincos
xe 1
xe
4. Fungsi Trigonometri
Fungsi trigonometri dalam peubah komplek adalah fungsi yang
berhubungan dengan fungsi sin z, cos z atau bentuk lainnya.
Karena peubahnya adalah bilangan komplek, sehingga diberikan
beberapa definisi berikut ini.
i
eez
iziz
2sin
2cos
iziz eez
)(cos
sintan
ixix
ixix
eei
ee
z
zz
)(sin
coscot
iziz
iziz
eei
ee
z
zz
iziz ee
i
zz
2
cos
1sec
iziz ee
i
zz
2
sin
1csc
Beberapa fungsi trigonometri dalam peubah komplek
mempunyai sifat yang identik dengan fungsi trigonometri dalam
peubah real. Diantara kesamaan sifat tersebut adalah:
146 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
1cossin 22 zz
zz 22 sectan1
zz 22 csccot1
zz
zz
zz
tan)tan(
cos)cos(
sin)sin(
212121 sincoscossin)sin( zzzzzz
212121 sinsincoscos)cos( zzzzzz
212121 sinsincoscos)cos( zzzzzz
21
221
tantan1
tantan)tan(
zz
zzzz i
21
221
tantan1
tantan)tan(
zz
zzzz i
1cossin 22 zz
Contoh soal
Buktikan
1. 1cossin 22 zz
Bukti
dani
eez
iziz
,2
sin
2cos
iziz eez
Sehingga diperoleh 22
22
22cossin
iziziziz ee
i
eezz
4
2
4
2
22
222222
iziziziziziziziz eeeeee
i
ee
42
1
442
1
4
2222 iziziziz eeee
1
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 147
2. Buktikan bahwa
212121 sincoscossin)sin( zzzzzz dan
212121 sinsincoscos)cos( zzzzzz Bukti
i
eeee
i
eezz
izizizizzzizzi
22)sin(
21212121 )()(
21
i
zizzizzizziz
2
)(sin())(cos(sin()(cos()sin)(cossin(cos 22112221
i
zizzizzizziz
2
)sin)(cossin(cos)sin)(cossin(cos 22112221
i
izzzzzzzzizzzzzzzz
2
))sin(cos)sin((cos)sinsincos((cos))sincossin((cos)sinsincos((cos 2112212112212121
i
izzzzizzzz
2
)sincossin(cos)sincossin(cos 12211221
2
)sincossin(cos)sincossin(cos 12211221 zzzzzzzz
2121 sincoscossin zzzz sehingga diperoleh
212121 sincoscossin)sin( zzzzzz
3. 22
)cos(21212121 )()(
21
izizizizzzizzi eeeeeezz
2
)(sin())(cos(sin()(cos()sin)(cossin(cos 22112221 zizzizzizziz
2
)sin)(cossin(cos)sin)(cossin(cos 22112221 zizzizzizziz
2
))sin(cos)sin((cos)sinsincos(cos))sincossin((cos)sinsincos(cos 2112212112212121 izzzzzzzzizzzzzzzz
2
)sinsincos(cos)sinsincos(cos 21212121 zzzzzzzz
2
)sinsincos(cos2 2121 zzzz
2121 sinsincoscos zzzz
148 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
sehingga diperoleh 212121 sinsincoscos)cos( zzzzzz
4. zz sin)sin(
Bukti
)sin(222
)sin()()(
zi
ee
i
ee
i
eez
izizizizzizi
5. zz cos)cos(
Bukti
)cos(222
)cos()()(
zi
ee
i
ee
i
eez
izizizizzizi
Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa
1) zz 2cos)2cos(
2) zizeiz sincos
3) zize iz sincos
4) zz 2cos)2cos(
5) zz 2sin)2sin(
6) zz sin)sin(
7) zz 4tan)4tan(
5. Fungsi Hiperbolik
Fungsi hiperbolik dalam peubah komplek didefinisikan seperti di
bawah ini
2sinh
zz eez
2cosh
zz eez
)(cosh
sinhtanh
zz
zz
ee
ee
z
zz
)(sinh
coshcoth
zz
zz
ee
ee
z
zz
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 149
zz eezhz
2
cosh
1sec
zz eezhz
2
sinh
1csc
Berdasarkan definisi di atas, sifat-sifat berikut dapat dibutikan
kesamaanya sebagai latihan bagi para pembaca.
1) 1coshsinh 22 zz
2) zhz 22 sectanh1
3) zhz 22 csc1coth
4) zz sinh)sinh(
5) zz cosh)cosh(
6) zz tanh)tanh(
7) 212121 sinhcoshcoshsinh)sinh( zzzzzz
8) 212121 sinhsinhcoshcosh)cosh( zzzzzz
9) 21
221
tantan1
tantanh)tanh(
zz
zzzz i
Antara fungsi trigonometri dengan fungsi hiperbolik terdapat
hubungan, beberapa diantaranya adalah
ziiz
ziiz
sinsinh
sinhsin
ziz
ziz
coscosh
coshcos
ziiz
ziiz
tantanh
tanhtan
Perhatikan uraian berikut ini
a. )sinh()sinh( zz
Karena 2
sinhzz ee
z
maka
222)sinh(
)()( zzzzzz eeeeeez
Sehingga sinh(-z) = -sinh(z)
b. Buktikan bahwa zhz 22 sectanh1
Bukti
150 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Berdasarkan definisi
2sinh
2cosh
zzzz eezdan
eez
Sehingga 22
22
22sinhcosh
zzzz eeeezz
selanjutnya dengan membagi kesamaan
1sinhcosh 22 zz
dengan cosh2z
diperoleh
zhzz
zz 2
22
22
seccosh
1
cosh
sinhcosh
Akhirnya diperoleh kesamaan
zhzz
zz 22
2
22
sectanh1cosh
sinhcosh
c. ziee
iee
i
i
i
ee
i
i
i
ee
i
eeiz
zzzzzzzziziizi
sinh22222
sin2
)()(
d. zeeeeeeee
izzzzzzziziizi
cosh2222
cos)()(
e.
zz
zz
zz
zz
iziizi
iziizi
ee
ee
i
i
ee
ee
ieei
ee
iziz
iz
iziz
2
)()(
)()( 12
2cos
1sin
cos
sintan
ziee
eei
zz
zz
tanh
f. zii
eei
eeeeiz
iziziziziziz
sin222
sinh)()(
g. zi
eeeeeeiz
iziziziziziz
cos222
cosh)()(
h.
)(
2
2cosh
1sinh
cosh
sinhtanh
)()(
)()(
iziz
iziz
izzz
iziz
iziz
iziz
eei
eei
ee
ee
i
i
ee
ee
iziz
iz
iziz
zieei
eei
iziz
iziz
tan(
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 151
Bentuk-bentuk kesamaan yang lain dalam fungsi trigonometri
dan fungsi hiperbolik dalam peubah komplek dapat dicoba
oleh para pembaca sebagai latihan dalam menyelesaikan
masalah.
6. Fungsi Logaritma
Jika wez maka dapat ditulis dalam bentuk lain zw ln yang
disebut sebagai bentuk logaritma natural dari z. Dengan demikian
fungsi logaritma natural adalah invers dari funsi eksponensial
dan kita dapat membuat definisi sebagai berikut.
)2(lnlnln kirzw untuk ....3,2,1,0 k
Dimana )2( kirez
Perlu diingat bahwa ln z adalah fungsi bernilai ganda (multiple
valued function). Nilai prinsipal dari ln z didefinisikan sebagai
ir ln dimana .20 Dalam hal lain panjang 2 dapat
diubah menjadi - .
Fungsi logaritma dapat didefinisikan untuk bilangan real
berbilngan pokok selian e. Dengan demikian jika waz maka
zw a log dimana 0a dan .1,0a Dalam hal ini zwez ln
demikian pula a
zz
ln
ln
7. Fungsi Invers Trigonometri
Jika wz sin maka zw arcsin disebut fungsi invers sinus z.
Dengan cara yang sama kita definisikan fungsi invers
trigonometri yang lain yakni zz arctan,arccos dan yang lainnya.
Fungsi-fungsi berikut adalah bernilai ganda yang dapat
diekspresikan dalam bentuk natural sebagaimana terlihat di
bawah ini. Dalam setiap bentuk berikut kita kecualikan
penjumlahan konstanta ,...2,1,0,2 kik
21ln1
arcsin zizi
z
152 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
1ln1
arccos 2 zizi
z
iz
iz
iz
1
1ln
2
1arctan
z
z
izarc
11ln
1csc
2
z
z
izarc
211ln
1sec
iz
iz
izarc ln
2
1cot
8. Fungsi Invers Hiperbolik
Jika wz sinh maka hzw arcsin disebut fungsi invers
sinushiperbolik dari z. Dengan cara yang sama kita dapat
mendefiniskan fungsi invers hiperbolik yang lain yakni
hzhz arctan,arccos dan yang lainnya. Fungsi-fungsi berikut
adalah bernilai ganda yang dapat diekspresikan dalam bentuk
natural sebagaimana terlihat di bawah ini. Dalam setiap bentuk
berikut kita kecualikan penjumlahan konstanta
,...2,1,0,2 kik
21ln1
arcsin zzi
hz
1ln1
arccos 2 zzi
hz
z
z
ihz
1
1ln
2
1arctan
z
zihzarc
1lncsc
2
z
zhzarc
211lnsec
1
1ln
2
1coth
z
z
izarc
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 153
9. Fungsi z
Fungsi z dimana mungkin bilangan komplek didefinisikan
sebagai .ln ze Dengan cara yang sama jika f(z) dan g(z) diberikan
dua fungsi z, kita dapat mendefinisikan )(ln)()()( zfzgzg ezf
yang secara umum fungsi-fungsi tersebut bernilai ganda.
10. Fungsi Aljabar dan Transenden
Jika w adalah selesaian dari fungsi pangkat banyak
0)()(...)()()( 1
2
2
1
1
zPwzPwzPwzPwzP nn
nn
o
Dimana no PPPP ,...,,,0 21 adalah fungsi pangkat banyak dalam
Peubah z dan n adalah bilangan bulat positip maka w = f(z)
disebut fungsi aljabar dalam z.
Beberapa fungsi yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk
0)()(...)()()( 1
2
2
1
1
zPwzPwzPwzPwzP nn
nn
o
disebut fungsi transenden. Contoh dari fungsi transenden adalah
fungsi logaritma, fungsi trigonometri, fungsi invers trigonometri,
fungsi hiperbolik dan fungsi invers hiperbolik.
4.3 Soal-soal
1. Misal w=f(z)=(2-z)
Carilah nilai w yang berkorespondensi dengan z=1+i dan z=2-2i
dan gambarlah grafik korespondensi nilai di bidang w dan z.
2. Jika z
zzfw
1
1)( , carilah )(if dan f(1-i). Nyatakan
hasilnya secara grafis.
3. Jika 23
12)(
z
zzfw untuk
3
2z . Tentukan nilai dari
)/1( zf dan )}({ zff .
4. Jika 12
2)(
z
zzfw untuk
2
1z
a. Tentukan f(0), f(1), dan f(1+i)
b. Carilah nilai z sedemikian sehingga f(z)=i dan f(z)=2-3i
154 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
c. Tunjukkan bahwa z adalah fungsi bernilai tunggal dari fungs
w
d. Carilah nilai z sedemikian sehingga f(z)=z
5. Buktikan bahwa
a. 21
2
1
zz
z
z
ee
e
b. yiz ee
6. Carilah semua nilai z yang memenuhi persamaan
dan ie z 4
7. Buktikan bahwai tidak ada sebarang bilangan bernilai berhingga
sedemikian sehingga 0ze
8. Carilah semua nilai z untuk 13 ze dan ie z 4
9. Buktikan bahwa
a. zzz cossin22sin
b. zzz 22 sincos2cos
c. )cos1(2
12/sin2 z
d. )cos1(2
12/cos2 zz
e. 212121 sincoscossin)(sin zzzzzz
f. izeziz sincos
g. izeziz sincos
h. 212121 sinsincoscos)cos( zzzzzz
10. Jika 2cos z carilah nilai untuk z2cos dan z3cos
11. Buktikan bahwa bahwa pembuat nol (zeros) dari sin z dan cos z
adalah bilangan real dan tentukan pembuat nol tersebut.
12. Buktikan bahwa
a. zz sin)sin(
b. zz cos)cos(
c. zz tan)tan(
13 ze
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 155
13. Tunjukkan bahwa
a. zz sinsin
b. zz coscos
c. zz tantan
14. Buktikan bahwa
a. zzz 222 sinhcoshcosh
b. ziz coshcos
c. ziiz sinhsin
d. yxiyxiyx sinhcoscoshsin)sin(
e. 1cosh2
1
2cosh2
z
z
c. 21
2
1
zz
z
z
ee
e
15. yiz ee
16. Tunjukkan bahwa 1ln1
cos 21 zzi
z
17. Tunjukkan bahwa 1lnsinh 21 zzz
18. Tunjukkan bahwa
1
1ln
2
1cot 1
z
z
iz
19. Tunjukkan bahwa
1
1ln
2
1coth 1
z
zz
20. Jika wez dimana )sin(cos irz dan w = u +iv tunjukkan
bahwa u=ln r dan ,.....3,2,1,0,2 kku sedemikian
sehingga )2(ln kirw
21. Carilah semua nilai dari
a. i1cosh
b. )1ln(sinh 1
c. 2sin 1
d. i1cos
22. Tentukan nilai dari i1ln
156 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 157
JUMLAH DAN SELISIH
DUA SUDUT
ab V buku ini membahas hal-hal pokok yang berhubungan
dengan jumlah dan selisih dua sudut, antara lain (1) jumlah
dua sudut, (2) selisih dua sudut, (3) rumus sudut kembar dan
sudut pertengahan (4) perubahan jumlah atau selisih menjadi hasil
perkalian sudut, (5) menghitung dua sudut jika diketahui jumlah dan
perbandingan sinus sudutnya, (6) menghitung dua sudut jika
diketahui jumlah dan perbandingan tangen sudutnya, dan (7) soal-
soal.
Standar Kompetensi
Setelah mempelajari pokok bahasan pada Bab V diharapkan
mahasiswa memahami dalil dan rumus dalam jumlah dan selisih
sudut serta dapat mengaplikasikannya pada masalah-masalah
praktis dengan peubah real.
Kompetensi Dasar
1. Mahasiswa dapat menggunakan rumus jumlah dua sudut.
2. Mahasiswa dapat menggunakan rumus selisih dua sudut.
3. Mahasiswa dapat menunjukkan kesamaan rumus sudut kembar.
4. Mahasiswa dapat mengubah rumus jumlah atau selisih menjadi
perkalian.
5. Mahasiswa dapat menghitung dua sudut dengan menggunakan
rumus jumlah dan perbandingan sinus atau tangen.
B
158 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
5.1 Jumlah Dua Sudut
Gambar 5.1
Pada gambar 5.1, ABC adalah segitiga yang salah satu
sudutnya adalah dan sudut tersebut siku-siku. Karena
CBA dan misal yBCxAB , , dan rAC , sehingga
berdasarkan ABC diperoleh enam perbandingan panjang sisi
suatu segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku.
Perbandingan dimaksud sesuai dengan gambar 5.1 adalah
.,,,,BC
AC
AB
AC
BC
AB
AB
BC
AC
AB
AC
BC
Keenam perbandingan tersebut dinamakan perbandingan
goniometri. Karena yBCxAB , , rAC dan BAC
maka perbandingan goniometri di atas dapat dinyatakan dalam
bentuk yang lain yaitu:
1. sinr
y
AC
BC
2. cosr
x
AC
AB
3.
tan
cos
sin
x
y
r
xr
y
AC
ABAC
BC
AB
BC
x
r
C
BA
y
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 159
4. cotsin
cos
x
x
y
x
r
yr
x
AC
BCAC
AB
BC
AB
5.
seccos
111
x
r
r
x
AC
ABAB
AC
6.
cscsin
1
/
11
y
r
ry
AC
BCBC
AC
Menurut teorema Pythagoras jika suatu ABC salah satu sudutnya
siku-siku, maka berlaku: 222 ACBCAB
222 ryx
Selanjutnya secara berurutan persamaan 222 ryx dibagi
222 ,, ryx diperoleh persamaan baru
1. 2
2
2
2
2
2
r
r
r
y
r
x
)1(1sincos
1sincos
1
22
22
22
r
y
r
x
2. 2
2
2
2
2
2
x
r
x
y
x
x
)2(sectan1
)(sectan1
1
22
22
22
x
r
x
y
160 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
3. 2
2
2
2
2
2
y
r
y
y
y
x
)3(csc1cot
)(csc1cot
1
22
22
2
2
2
y
r
y
x
Persamaan (1), (2), dan (3) dinamakan rumus-rumus identitas.
Berdasarkan perbandingan goniometri yang telah
disebutkan di atas dapat dibuat beberapa rumus tentang jumlah dua
sudut. Rumus-rumus jumlah dua sudut dapat dapat dijelaskan
dengan menggunakan gambar berikut ini.
Cara I
Perhatikan gambar berikut ini.
Gambar 5.2
l
k
m
O
U
P Q
S T
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 161
Pada gambar 5.2 di atas terdapat 4 segitiga dan masing-
masing adalah siku-siku, yaitu OPUdanOTUTSUQOT ,,,
dan diketahui TOUQOT , . TSUQOT sehingga
SUT
Berdasarkan OPU diperoleh perbandingan panjang sisi
OU
UPPOU sin dengan UP = PS + SU
Karena TSUQOT maka SU = UT cos
Karena PS = QT dan karena OQT siku-siku di TQU maka OQ
= OT cos dan QT = OT sin
Karena OTU siku-siku di OTU maka OT = OU cos dan UT
= OU sin
Karena POU
OU
UPPOUsin
OU
UP )sin(
OU
SUPS
OU
SUQT
OU
UTOT cossin
OU
OUOU cossinsincos
Sehingga diperoleh rumus
cossincossin)sin( ............ (4)
Dengan cara yang sama diperoleh:
OU
OPPOU cos , OP = OQ – PQ
Karena TSUQOT maka SU = UT cos
162 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Karena PQ = ST dan karena UST siku-siku di TSU maka ST =
SU sin
Karena OTU siku-siku di OTU maka OT = OU cos dan UT
= OU sin
Karena OQT siku-siku di TQU maka OQ = OT cos dan QT
= OT sin
Karena POU
OU
UPPOU cos
OU
OP )cos(
OU
PQOQ
OU
STOQ
OU
UTOT sincos
OU
OUOU sinsincoscos
Sehingga diperoleh rumus sinsincoscos)cos( ........(5)
Karena
cos
sintan
Maka )cos(
)(sin)(tan
Sehingga menurut (4) dan (5)
sinsincoscos
sincoscossin)(tan
Persamaan di atas dibagi dengan cos cos , diperoleh
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 163
coscos
sinsin
coscos
coscos
coscos
sincos
coscos
cossin
)tan(
coscos
cossin1
cos
sin
cos
sin
tantan1
tantan
Sehingga
tantan1
tantan)tan(
.................... (6)
Cara II
Gambar 5.3
Pada gambar 5.3 di atas sudut-sudut , adalah sudut lancip,
sedangkan adalah sudut tumpul.
A
B
O GE
H F
D
X
Y
164 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Selanjutnya pada gambar 5.3 di atas, XOA dan AOB .
Kemudian dilukis garis-garis OXFG dan 'OXDE serta garis-
garis OADF dan .DEFH
Pandang DFO dan FGO , Jika pOD
Pada DFO diperoleh OD
DFsin sehingga sinpDF demikian
pula
OD
OFcos sehingga cospOF
Pandang FGO
Pada FGOOF
FGsin sehingga sincossin pOFFG
Demikian pula OF
OGcos sehingga coscoscos pOFOG
Dengan cara yang sama pada DHF diperoleh
cossinpDH dan sinsinpFH
Sehingga
p
pp
OD
FGDH
OD
DE
sincoscossin)sin(
sincoscossin …………………….(7)
p
pp
OD
FHOG
OD
OE
sinsincoscos)cos(
sinsincoscos …………………….(8)
Sehingga menurut (7) dan (8)
sinsincoscos
sincoscossin)(tan
Persamaan di atas dibagi dengan cos cos , diperoleh:
coscos
sinsin
coscos
coscos
coscos
sincos
coscos
cossin
)tan(
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 165
coscos
cossin1
cos
sin
cos
sin
tantan1
tantan
Sehingga
tantan1
tantan)tan(
.................... (9)
Gambar 5.4
Berdasarkan gambar 5.4 di atas
Sehingga
sin)sin(
Dengan cara yang sama
r
x
r
x )cos(,cos
Sehingga
)cos(cos
Berdasarkan fakta ini dapat ditentukan rumus pengurangan dua
sudut sebagai berikut
))(sin()sin(
Y
y
r
yr
r
y
r
y )sin(,sin
x
'M
P
166 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
)(sincos)(cossin
)sin(coscossin
sincoscossin ...........(6)
))(cos()cos(
)(sinsin)(coscos
)sin(sincoscos
sinsincoscos ...........(7)
)cos(
)(sin)(tan
sinsincoscos
sincoscossin
Persamaan di atas dibagi dengan cos cos , diperoleh:
coscos
sinsin
coscos
coscos
coscos
sincos
coscos
cossin
coscos
cossin1
cos
sin
cos
sin
tantan1
tantan
Sehingga
tantan1
tantan)tan(
.................... (8)
)cos(
)(sin)(tan
sinsincoscos
sincoscossin
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 167
Persamaan di atas dibagi dengan cos cos , diperoleh:
coscos
sinsin
coscos
coscos
coscos
sincos
coscos
cossin
coscos
cossin1
cos
sin
cos
sin
tantan1
tantan
Sehingga
tantan1
tantan)(tan
.................... (9)
5.2 Selisih Dua Sudut
Gambar 5.5
Perhatikan gambar 5.4 di atas.
Misal XOA , AOB , sehingga )( XOB
X
B
A
O E F
C
D G
168 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Misal C adalah titik pada OB Selanjutnya dibuat garis dengan
ketentuan
OXDEOXCFOACD ,, dan FCDG sehingga DCG
Jika `pOC maka dalam CDO diperoleh
p
CD
OC
CDsin atau sinpCD
p
OD
OC
ODcos atau sinpOD
Demikian pula dalam DEO
OD
DEsin atau sinODDE
sinsinp
OD
OEcos atau cosODOE
cossinp
Dalam CDG
DC
DGsin atau sinDCDG
DC
CGcos atau cosCG
Dengan demikian diperoleh
sinsinpDG sincospCG
Sehingga
OC
CDDE
OC
CGFG
OC
CFBOX
sin
Atau
sincoscossinsincoscossin
)sin(
p
pp
OC
DGOE
OC
EFOE
OC
OFBOX
cos
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 169
Atau
sinsincoscossinsincoscos
)cos(
p
pp
Berdasarkan kesamaan di atas, diperoleh
)cos(
)(sin)(tan
sinsincoscos
sincoscossin
Persamaan di atas dibagi dengan cos cos , diperoleh:
coscos
sinsin
coscos
coscos
coscos
sincos
coscos
cossin
)tan(
coscos
cossin1
cos
sin
cos
sin
tantan1
tantan
Sehingga
tantan1
tantan)(tan
..................
Contoh soal
1) Buktikan dengan menggunakan rumus yang sesuai
a) sin)90cos( 0
Bukti
Menurut rumus cosinus jumlah dua sudut diperoleh
sinsincoscos)cos(
Sehingga
sin90sincos90cos)90cos( 0 oo
sin.1cos0
sin
170 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
b) cos)90sin(
Bukti
Menurut rumus sinus jumlah dua sudut diperoleh
sincossin)sin( osc
Sehingga
sin90coscos90sin)90sin( 0 oo
sin.0cos.1
cos
2) Diketahui dan adalah sudut lancip dengan ,
12
5cos
dan ,5
3sin Hitunglah )sin( dan )cos(
Jawab
Menurut rumus sinus jumlah diperoleh
sincoscossin)sin(
Karena ,12
5cos maka 22 cos1sin
atau 11912
1
12
51cos1sin
2
2
Demikian pula, karena ,5
3sin
maka 5
4
5
31sin1cos
2
2
sehingga
sincoscossin)sin(
4
1119
15
1
5
3
12
5
5
4119
12
1)sin(
Dengan cara yang sama diperoleh
cossincoscos)cos(
sehingga
sinsincoscos)cos(
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 171
119120
1
3
1
5
3119
12
1
5
4
12
5)cos(
Latihan soal
1) Mudahkanlah dengan cara yang sesuai
a) )90sin( o )180sin() of )270sin() ok
b) )90cos( o )180sin() og )180tan() ol
c) )90tan( o )270sin() 0 h )270cos() om
d) )270tan( o )180cos() oi )270sin() on
e) )270sin( )270cos() oj )270cos() o
2) Tunjukkan bahwa cot)90tan( o
3) Diketahui dan adalah sudut lancip dengan ,
12
5cos
dan ,5
3sin
Hitunglah
a) )sin(
b) )cos(
c) )sin(
d) )cos(
4) Buktikan
1)
cotcot
1cotcot)cot(
2)
coscos
)sin(tantan
3)
sinsin
)sin(cotcot
172 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
5) Buktikan kesamaan berikut ini
a)
sin
sincos)45tan( 0
sos
b) cossin2)sin()sin(
c) coscos2)cos()cos(
d) sin)180cos()150cos( 0
e) )sin(
)sin(
tantan
tantan
f) 0sinsin
)sin(
sinsin
)sin(
sinsin
)sin(
6) Uraikanlah dan sederhanakan!
a) )(sin
b) )(cos
c) )(cos
d) )(sin
5.3 Rumus Sudut Kembar dan Sudut Pertengahan
Sebagaimana telah dijelaskan dalam rumus sinus jumlah dua
sudut yang telah dijelaskan dalam pasal 5.1
sincoscossin)(sin
Jika
maka rumus di atas menjadi
cossin2sincoscossin2sin)(sin
Dengan cara yang sama diperoleh
2cos
2sin2
2sin
2cos
2cos
2sin
22sinsin
2
3cos
2
3sin2
2
3sin
2
3cos
2
3cos
2
3sin
2
3
2
3sin3sin
2cos2sin22sin2cos2cos2sin)22sin(4sin
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 173
Sehingga secara umum dapat ditulis dalam bentuk umum:
2cos
2sin2sin
nnn
Selanjutnya menurut rumus cosinus jumlah dua sudut yang
telah dijelaskan pada pasal 5.1
sinsincoscos)(cos
Jika
maka rumus di atas menjadi
22 sincossinsincoscos2cos)(cos
Karena
1sincos 22
Maka
1cos2cos1cos2cos 222
Atau
222 sin21sinsin12cos
Dengan cara yang sama diperoleh
2sin21cos1
2cos2cos 22
atau
2
3sin213cos1
2
3cos23cos 22
atau
2sin214cos12cos24cos 22 atau
Sehingga secara umum dapat ditulis dalam bentuk:
2sin21cos1
2cos2cos 22
n
nataun
n
dan seterusnya.
Demikian pula untuk rumus tangen jumlah dua sudut, diperoleh
tantan1
tantantan
Jika
maka rumus di atas menjadi
174 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
2tan1
tan2
tantan1
tantan2tan)tan(
Dengan cara yang sama diperoleh
2tan1
2tan2
2tan1
2tan
2tan
22tantan
22
2
3tan1
2
3tan2
2
3tan1
2
3tan
2
3tan
2
3
2
3tan3tan
22
2tan1
2tan2tan22tan4tan
2
dan seterusnya
Dengan menggunakan rumus-rumus di atas, selanjutnya dapat
ditentukan rumus setengah sudut jika cosinusnya sudut tersebut
diketahui, misalnya:
2sin21cos 2
cos12
sin2 2
2
cos1
2sin 2
2
cos1
2sin
Dengan cara yang sama diperoleh
12
cos2cos 2
cos12
cos2 2
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 175
2
cos1
2cos2
2
cos1
2cos
Selanjutnya dapat dibuktikan beberapa rumus berikut.
2tan1sec
2tan1
1cos
2tan1
tansin
2tan1
tan22sin
2
2
tan1
tan12cos
Soal-soal
1) Diketahui
22
145cos 0
Hitunglah perbandingan-perbandingan goniometri sudut
tersebut dan sudut 220 3’
2) Diketahui
p2
tan
Tentukan nilai dari
cos
3) Hitunglah
cos
176 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Jika diketahui t
1
2tan
4) Hitunglah
sin
Jika diketahui t
1
2tan
Jawab
Menurut rumus identitas
22 sectan1
Sehingga
2sec
2tan1 22
2sec11 22
t
22
2
22
1
2cos
211
1
2cos
ttatau
tt
Menurut rumus identitas yang lain
12
sin2
cos 22
5) Buktikan bahwa
cot2
tancot
2cos1
2cos
6) Buktikan bahwa
sin
cos1
cos1
sin
2tan
7) Hitunglah
cos
Jika diketahui
p22
tan
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 177
5.4 Perubahan Jumlah atau Selisih Menjadi Hasil Perkalian
Sudut
1) Menurut rumus cosinus jumlah dua sudut dan cosinus selisih
sudut diperoleh:
yxyxyx
yxyxyx
yxyxyx
coscos2)cos()cos(
sinsincoscos)cos(
sinsincoscos)cos(
+
Atau
)cos()cos(2
1coscos yxyxyx
Jika
Ayx )( dan Byx )( maka diperoleh BAx 2
1
dan BAy 2
1
sehingga diperoleh
BABABA 2
1cos
2
1cos2coscos
2) Menurut rumus cosinus jumlah dua sudut dan cosinus selisih
sudut diperoleh:
yxyxyx
yxyxyx
yxyxyx
sinsin2)cos()cos(
sinsincoscos)cos(
sinsincoscos)cos(
-
Atau
)cos()cos(2
1sinsin yxyxyx
Jika
Ayx )( dan Byx )( maka diperoleh BAx 2
1 dan
BAy 2
1
178 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
sehingga diperoleh
BABABA 2
1sin
2
1sin2coscos
3) Menurut rumus sinus jumlah dua sudut dan cosinus selisih
sudut diperoleh:
yxyxyx
yxyxyx
yxyxyx
cossin2)sin()sin(
sincoscossin)sin(
sincoscossin)sin(
+
Atau
)sin()sin(2
1cossin yxyxyx
Jika
Ayx )( dan Byx )( maka diperoleh BAx 2
1 dan
BAy 2
1
sehingga diperoleh
BABABA 2
1cos
2
1sin2sinsin
4) Menurut rumus sinus jumlah dua sudut dan sinus selisih sudut
diperoleh:
yxyxyx
yxyxyx
yxyxyx
sincos2)sin()sin(
sincoscossin)sin(
sincoscossin)sin(
-
Atau
)sin()sin(2
1sincos yxyxyx
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 179
Jika
Ayx )( dan Byx )( maka diperoleh BAx 2
1
dan BAy 2
1
sehingga diperoleh
BABABA 2
1sin
2
1cos2sinsin
Berdasarkan rumus-rumus perkalian yang dapat diubah
menjadi rumus penjumlahan tersebut dapat ditentukan ukuran dua
sudut, misalnya x dan y jika hasil perkalian dua sudut tersebut
diketahui.
Misal pyx dan pyx sin.sin
Berdasarkan pemisalan di atas
pyx 2sin.sin2
Karena )cos()cos(sinsin2 yxyxyx maka
pyxyxyx 2cos)cos()cos()cos(
Sehingga )( yx dapat dihitung, Karena )( yx diketahui.
Dengan cara yang sama dapat ditentukan besarnya dua sudut x dan
y jika perkalian cosinusnya diketahui, demikian pula yang diketahui
perkalin sinus dan cosinus, serta diketahui perkalian cosinus dan
sinusnya.
Contoh
1) Hitunglah sudut-sudut )180( 0xx dan )180( 0yy ,jika
060 yx dan 2,0sinsin yx
Jawab
Berdasarkan soal diatas diketahui `060 dan 2,0sinsin yx
Sehingga
pyxyxyxyx 2cos)cos()cos()cos(sinsin2
060cos)cos()2,0(2 yx
180 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
500,0400,0)cos( yx
900,0)cos( yx
900,0)( yx
Karena 060 yx dan ... yx
Akhirnya dengan metode substitusi diperoleh ....x dan ....y
2) Hitunglah sudut-sudut )180( 0xx dan )180( 0yy ,jika
010 yx dan 4,0coscos yx
Jawab
Berdasarkan soal diatas diketahui `010 yx dan
4,0coscos yx
Sehingga
pyxyxyxyx 2cos)cos()cos()cos(coscos2 010cos)cos()4,0(2 yx
010cos800,0)cos( yx
......)cos( yx
.....)( yx
Karena 010 yx dan ... yx
Akhirnya dengan metode substitusi diperoleh ....x dan ....y
Soal-soal
1) Ubahlah jumlah atau selisih berikut ini menjadi suatu
perkalian dan jika mungkin mudahkan
00 23sin33sin
00 23cos33cos
00 23sin33sin
00 23cos33cos
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 181
2. Buktikan kesamaan-kesamaan berikut ini.
a) )(2
1tan
)(2
1tan
sinsin
sinsin
b) )(2
1tan
)cot(
coscos
coscos
c) )(
2
1tan
coscos
sinsin
d) )(
2
1cot
coscos
sinsin
e) )sin()sin()sin)(sinsin(sin
f) )sin()sin()cos)(coscos(cos
g)
2cos2sin4)3sin2sin2(sin 2
5.5 Menghitung Dua Sudut, Jika Diketahui Jumlah dan
Perbandingan Sinus Sudutnya
Misal dalam suatu segitiga diketahui
yxdanq
p
y
x
sin
sin
Dari persamaan di atas dapat dibuat persamaan baru
1
1
1sin
sin
1sin
sin
q
p
q
p
y
x
y
x
182 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
q
qp
q
qp
y
yx
y
yx
sin
sinsin
sin
sinsin
qp
qp
yx
yx
sinsin
sinsin
qp
qp
yxyx
yxyx
2
1sin
2
1cos2
2
1cos
2
1sin2
Jika ruas kiri dibagi dengan
yxyx 2
1cos
2
1cos2
Diperoleh
qp
qp
yx
yx
2
1tan
2
1tan
yxqp
qpyx
yxqp
qpyx
tan)(2
1tan
2
1tan
2
1tan
Sehingga yx dapat dihitung jika yx diketahui, demikian pula
x dan y dapat diketahui.
Contoh soal
1) Hitunglah x dan y dengan )180,180( 00 yx jika diketahui
a. 060 yx , 2:1sin:sin yx
Jawab
Berdasarkan soal tersebut di atas dapat diketahui 060 yx
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 183
,2
1
sin
sin
y
x sehingga diperoleh 2,1 qp
Sehingga
2tan
2
1tan
qp
qpyx
2
60tan
21
21
2
1tan
0
yx
030tan3
1
2
1tan
yx
3
30tan
2
1tan
0 yx
6
1
3
2
1
2
1tan
yx
5.6 Menghitung Dua Sudut, Jika Diketahui Jumlah dan
Perbandingan Tangen Sudutnya.
Misal dalam suatu segitiga diketahui
yxdanq
p
y
x
tan
tan
Dari persamaan di atas dapat dibuat persamaan baru
1
1
1tan
tan
1tan
tan
q
p
q
p
y
x
y
x
q
qp
q
qp
y
yx
y
yx
tan
tantan
tan
tantan
qp
qp
yx
yx
tantan
tantan
184 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
qp
qp
xyyx
yyyx
cossincossin
cossincossin
qp
qp
yxyx
yx
)sin(
sin
)sin(
)sin(
Sehingga yx dapat dihitung jika yx diketahui, demikian pula
x dan y dapat diketahui.
5.7 Menghitung Dua Sudut, Jika Diketahui Jumlah dan
Perbandingan Cosinus Sudutnya.
Misal dalam suatu segitiga diketahui
yxdanq
p
y
x
cos
cos
Dari persamaan di atas dapat dibuat persamaan baru
1
1
1cos
cos
1cos
cos
q
p
q
p
y
x
y
x
q
qp
q
qp
y
yx
y
yx
cos
coscos
cos
coscos
qp
qp
yy
yx
coscos
coscos
qp
qp
yxyx
yxyx
)(2
1sin)(
2
1sin2
)(2
1cos)(
2
1cos2
qp
qp
yxyx
yxyx
)(2
1sin)(
2
1sin
)(2
1cos)(
2
1cos
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 185
qp
qp
yxyx
yxyx
)(2
1sin)(
2
1sin
)(2
1cos)(
2
1cos
qp
qpyxyx )(
2
1cot)(
2
1cot
pq
qpyxyx )(
2
1tan)(
2
1cot
Sehingga yx dapat dihitung jika yx diketahui, demikian pula
x dan y dapat diketahui.
Contoh
1) Hitunglah sudut-sudut )180( 0xx dan )180( 0yy ,jika
050 yx dan 11:5tan:tan yx
Jawab
Berdasarkan soal diatas diketahui `050 dan 11
5
q
p
Sehingga
115
115
tantan
tantan
yx
yx
6
16
cossincossin
cossincossin
xyyx
yyyx
6
16
)sin(
50sin
)sin(
)sin( 0
yxyx
yx
050sin6
16)sin( yx
....)( yx
Karena 050 yx dan ... yx
Akhirnya dengan metode substitusi diperoleh ....x dan ....y
186 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
5.8 Soal-soal
1) Buktikan kesamaan
a) .sin)sin(cos)cos(sin
b) xx 2tan)1)(sec1(sec
c) x
xx2sec
1)sin1)(sin1(
d) xxxx coscossinsec
e) xx
x 2
2
2
sinsec
1sec
f) 1sec
1sin
2
2 x
x
g) yyy cos3cos43cos 3
h) sssss cossin4cossin84sin 3
i) xxx 2sin)cos1)(cos1(
j) 1sec
cos
cos
sin
p
p
p
p
k) 1)cot1)(cos1( 22 xx
l) tttt 2cos)sin(cscsin
m) ty
y22
2
sec
1
csc
csc1
2) Diketahui ntan , hitunglah perbandingan goniometri
sudut
yang lainnya.
3) Diketahui psec , hitunglah perbandingan goniometri
sudut
yang lainnya.
4) Buktikan bahwa:
a)
2tansintansintan
b) ttttt 4cos2coscossin88sin
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 187
c)
2tan1
tan22sin
d) )(2
1sin)(
2
1sin)(
2
1sin4)sin()sin()sin( xzzyyxxzzyyx
5) Jika0180 srqp
buktikan bahwa rqqprqqp sinsinsinsincoscoscoscos
6) Hitunglah x dan y dengan )180,180( 00 yx jika diketahui
070 yx , 3:5sin:sin yx
7) Hitunglah x dan y dengan )180,180( 00 yx jika diketahui
0150 yx , 2:1sin:sin yx
8) Hitunglah x dan y dengan )180,180( 00 yx jika diketahui
0
20 yx , 1111:1044cos:cos yx
9) Hitunglah x dan y dengan )180,180( 00 yx jika diketahui
0100 yx , 7:3cos:cos yx
10) Hitunglah x dan y dengan )180,180( 00 yx jika diketahui
050 yx , 11:5tan:tan yx
11) Hitunglah x dan y dengan )180,180( 00 yx jika diketahui
60 yx , 2:1tan:tan yx
12) Hitunglah sudut-sudut )180( 0xx dan )180( 0yy ,jika
0100 yx dan 6,0cossin yx
13) Hitunglah sudut-sudut )180( 0xx dan )180( 0yy ,jika
015 yx dan 36,0sincos yx
14) Hitunglah sudut-sudut )180( 0xx dan )180( 0yy ,jika
070 yx dan 25,0tantan yx
15) Hitunglah sudut-sudut )180( 0xx dan )180( 0yy ,jika
050 yx dan 5,1tantan yx
188 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo
Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 189
C.H Edwards, Jr and David Penney. 1982. Calculus and Analytic
Geometry. New Jersey, USA: Prentice-Hall Inc Englewood.
Edwin J. Purcell., Dale Varberg., Steven E. Rigdon., I Nyoman Susila
(Ed.). 2007. Kalkulus. Jilid I Edisi IX. Jakarta: Erlangga.
John B. Reade. 2003. Calculus with Complex Numbers. London, New
York: Taylor and Francis Inc.
Louis Leithold, 1988. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik, Jidil I Edisi V
(alih bahasa S.M Nababan dkk). Jakarta: Erlangga.
Marvin Marcus and Henryk Minc. 1971. College Trigonometry. Boston,
USA: Houghton Miflin Company.
Mega Teguh W. 2004. Trigonometri. Jakarta: Bagian Proyek
Pengembangan Kurikulum Direktorat Pendidikan Menengah
Kejuruan, Direktorat Jendral Pendidikan Dasar dan
Menengah. Departemen Pendidikan Nasional.
Murray R Spiegel. 1984. Transformasi Laplace, Seri Buku Schaum teori
dan soal-soal. (terjemahan Pantur Silaban dan Hans Wospakrik).
Jakarta: Erlangga.
Murray R. Spiegel, 1981. Theory and Problems of Complex Variables with
an Introduction to Comformal Mapping. Singapore: Mc Graw-Hill
International Company,
Mustofa Usman, 1988. Kumpulan Kuliah Trigonometri untuk Program
Sarjana dan Diploma Jurusan MIPA. Fakultas Keguruan dan
Ilmu Pendidikan Universitas Lampung.
190 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo