Representación gráfica de funciones.

,0)

,0)

Función impar: Centro de simetría el (0,0)

Crecimiento y Decrecimiento

Sea f una función derivable en los puntos del intervalo abierto I:

Si f ’(x) > 0 para todo x I, entonces f es estrictamente creciente en I,

Si f ’(x) < 0 para todo x I, entonces f es estrictamente decreciente en I,

De esta forma, el estudio del crecimiento o decrecimiento de una función

se reduce al estudio del signo de su derivada.

Ejemplo.- Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las

función f(x) = 4 x 3 – 3 x

Como f ‘ (x) = 12 x 2 – 3 = 3 . ( 2 x + 1 ) . ( 2 x – 1 ).

Igualado f ‘ (x) a cero, se obtiene las soluciones x = -1/2 y x = +1/2 . Y

obtenemos el estudio de crecimiento y decrecimiento siguiente

Extremos locales y relativos: máximos y mínimos

Sea f una función derivable en un punto x0. Si f tiene en (x0,f(x0)) un extremo

relativo (máximo o mínimo), entonces f ´(x0) = 0.

Para que f tenga un máximo local en (x0,f(x0)) tiene que existir dos números a,

b (a < b) tales que f sea creciente en (a,x0) y decreciente en (x0,b).

Para que f tenga un mínimo local en (x0,f(x0)), tiene que existir dos números a,

b (a < b) tales que f sea decreciente en (a,x0) y creciente en (x0,b).

Puede suceder que f ‘ (x0) = 0, y f no tenga en (x0,f(x0)) ni máximo ni mínimo

local (se suele denominar punto de inflexión).

También puede suceder que no exista f ‘(x0) y que f tenga un máximo o un

mínimo local (pero no relativo) en (x0,f(x0)).

Los puntos x0 en los que f ’(x0 ) = 0 o no existe la derivada, se denominan

puntos críticos.

Extremos locales: máximos y mínimos

Ejemplos.

Halla los máximos y mínimos de f(x) = x3 + x2 – x - 1.

Como f ‘(x) = 0 3 x2 + 2 x – 1 = 0 x = -1 y x = 1/3

Y teniendo en cuenta que

será:

(-1,f(-1)) un máximo relativo

(1/3,f(1/3)) un mínimo relativo

Extremos locales: máximos y mínimos

Halla los máximos y mínimos de f(x) = x3 - 1.

Como f ‘(x) = 0 3 x2 = 0 x = 0

Y teniendo en cuenta que

f no tiene ni máximo ni mínimos relativos

Extremos locales: máximos y mínimos

Halla los máximos y mínimos de f(x) = |x|.

f ‘(x) 0 para todo x 0 y f ‘(0) no existe

Sin embargo teniendo en cuenta que f es continua en x = 0 y que

f tiene ni mínimo local en (0,0)

Concavidad, convexidad y puntos de inflexión

Una función f es convexa en un intervalo I, cuando para cualquier par de

puntos a, b I el segmento que [a,b] queda por encima de la gráfica f en I.

Una función f es cóncava en un intervalo I, cuando para cualquier par de

puntos a, b I el segmento que [a,b] queda por debajo de la gráfica f en I.

En x0 f tiene un punto de inflexión cuando existe un a, b (a < b) tal que f es

convexa en (a,x0) y cóncava en (x0,b) o cóncava en (a,x0) y convexa en

(x0,b)

Ejemplo.-

La función x2 es convexa en todo intervalo real.

La función g(x) = - x2 es cóncava en todo intervalo real.

La función h(x) = x3 tiene un punto de inflexión en x = 0.

Concavidad, convexidad y puntos de inflexión

Sea f una función con derivada segunda en un intervalo I

Si f ‘ ‘(x) > 0, entonces f ‘(x) es creciente en I, y por tanto f es convexa

en I.

Si f ‘ ‘(x) < 0, entonces f ‘(x) es decreciente en I, y por tanto f es

cóncava en I.

Si f tiene en x0 un punto de inflexión y existe la derivada segunda en

ese punto, entonces f ‘ ‘ (x0) = 0

Ejemplo.- Estudiar los intervalos de concavidad, convexidad y puntos de

inflexión de la función f(x) = x3 – 3 x 2.

Como f ‘ (x) = 3 x 2 – 6 x; f ‘ ‘ (x) = 6 x – 6 = 0 x = 1

Como: f ‘ ‘ (x) < 0 si x < 1, y f ‘ ‘ (x) > 0 si x > 1. f es cóncava en x < 1,

convexa en x > 1, y tiene un punto de inflexión en (1,f(1)) = (1,-2).

Máximos y mínimos con la derivada segunda

Si f es una función tal que f ‘(x0) = 0, es decir en x0 hay un punto crítico, y

existe la derivada segunda en algún intervalo que contiene a x0.

Si f ‘ ‘ (x0) > 0, entonces f alcanza un mínimo relativo en ((x0,f(x0)).

Si f ‘ ‘ (x0) < 0, entonces f alcanza un máximo relativo en (x0,f(x0)).

Ejemplo.- Estudiar los extremos relativos de la función f(x) = x4 – 4 x3 + 2

Como f ’(x) = 0 4 x3 – 12 x 2 = 0 x = 0 y x = 3.

Como f ‘ ‘(0) = 12.02 – 24.0 = 0 y f ‘ ‘(3) = 12.32 – 24.3 > 0.

Y teniendo en cuenta que f ‘ (x) < 0, si x (-,3) – {0}.

f tendrá un punto de inflexión en (0,2) y un mínimo relativo en (3,-25)

convexa

convexa

horizontal

Asíntotas verticales y horizontales

Si f es una función tal que

decimos que f tiene una asíntota horizontal y = a

lim limx x

f x a o f x a

Ejemplo.- Estudiar las asíntotas horizontales de

2

2 1

xf x

x

Como

La función f tiene una asíntota horizontal y = 1

2

2lim lim 1 lim

1x x x

xf x f x

x

Asíntotas verticales y horizontales

Si f es una función racional tal que para x = a, se anula el denominador si

decimos que f tiene una asíntota vertical en x = a

lim limx a x a

f x o f x

Ejemplo.- Estudiar las asíntotas verticales de

3

1 2

xf x

x x

Como

La función f tiene una asíntota vertical en x = -2 y otra en x = 1

2 2 1 1

lim ; lim ; lim ; lim ;x x x x

f x f x f x f x

Asíntotas oblicuas

Decimos que la recta y = m.x + n (con n 0) es una asíntota oblicua, cuando

se cumple:

( )lim ; lim ( )

o bien

( )lim ; lim ( )

x x

x x

f xm f x m x n

x

f xm f x m x n

x

Asíntotas oblicuas

Ejemplo.- Estudiar las asíntotas oblicuas de la función3

2( )

1

xf x

x

Como

3

32

3

3

2 2

( ) 1lim lim lim 1

1lim ( ) lim lim 0

1 1

x x x

x x x

xf x xx mx x x x

xf x m x x n

x x

f tiene una asíntota oblicua y = x

Estudio de las gráficas de una función

El estudio de la gráfica de una función requiere recopilar gran cantidad de

información y resultados. Una posible ordenación de este estudio es:

1.- Estudio de las propiedades globales de la función: Se estudia el

dominio, los puntos de corte con los ejes, las simetrías y la periodicidad.

Los intervalos del eje X en los cuales la función está por encima o por

debajo del eje horizontal. Los puntos en los que f es discontinua.

2.- Derivada primera: Se estudian los puntos críticos, los intervalos de

crecimiento y decrecimiento.

3.- Derivada segunda: Se analiza los intervalos de concavidad y

convexidad, puntos de inflexión.

4.- Asíntotas: Se estudia las posibles asíntotas, verticales, horizontales y

oblicuas.

5.- Representación gráfica: Se representa la gráfica teniendo en cuenta

todos los datos obtenidos en los apartados.

Estudio de las gráficas de una función

VER EJEMPLO DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

.

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Matemática de DESCARTES del

Ministerio de Educación y ciencia

(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)

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