Tarea 1 — En este trabajo se presenta un resumen de las operaciones aplicacables a diversas estructuras algebraicas con la finalidad de definir un campo.

I. DEFINICIONES PREVIAS

ara describir el concepto de campo, primeramente es necesario mencionar algunas definiciones de utilidad:P

Operación Binaria: Una operación binaria en es una operación matemática que requiere un operador y dos operandos, y que asigna a cada par de elementos de un conjunto, algún elemento del conjunto.

Grupo: Un grupo <G,*> es un conjunto G, junto con una operación binaria * en G, tal que satisface los siguientes axiomas:

La operación binaria es asociativa, es decir, si a,b,c ∈G, entonces se cumple que:

a*(b*c) = (a*b)*c

Existe elemento neutro en G, tal que e*x = x*e = x para todas las x ∈ G, donde e es llamado elemento identidad.

Para cada a en G, existe un elemento a’ en G con la propiedad a*a’ = a’*a = e, donde a’ es llamado elemento inverso.

Grupo Abeliano: Un grupo G es Abeliano, si satisface la propiedad conmutativa a*b=b*a, donde a,b ∈ G.

Anillo: Un anillo <R,+,·> es un conjunto R junto con 2 operaciones binarias + y ·, llamadas suma y multiplicación, definidas en R tales que satisfacen los siguientes axiomas:

<R,+> es un grupo abeliano. La multiplicación es asociativa. Para todas las a,b,c ∈ R, se cumple la ley distributiva

izquierda a(b+c) = (ab)+(ac) y la ley distributiva derecha (a+b)c = (ac)+(bc).

II. CAMPO

Un campo es una estructura algebraica bajo la cual se pueden realizar las operaciones suma y multiplicación. Un campo es un anillo conmutativo con división, es decir, cumple con la existencia de elemento neutro e inverso bajo la multiplicación.

III. EJEMPLOS

Sea Z = a+bí, Z ∈ C, donde a,b ∈ R y C representa el conjunto de los números complejos. Para demostrar que C es un campo, se requiere probar que satisface las propiedad asociativa, conmutativa, elemento neutro y elemento inverso para la suma y multiplicación.

Suma. Asociativa:

Z1+( Z2+Z3 )¿a1+i b1+(a2+ ib2+a3+a3 )¿ (a1+i b1+a2+ ib2 )+a3+a3

¿(Z¿¿1+Z2)+Z3 ¿

Conmutativa:Z1+Z2=a1+i b1+a2+i b2

¿a2+i b2+a1+i b1¿(a2+ib2)+(a1+i b1)¿ Z2+Z1

Elemento Neutro:Para demostrar que existe elemento neutro, sea e=0+ i0

Z1+(0+ i0 )¿a1+i b1+0+i 0

¿ (a1+0 )+i ( b1+0 )=a1+i b1¿ Z1

Elemento Inverso:Para demostrar que existe elemento inverso,

sea Z−1=−a1−ib1

Z1+Z−1=0a1+i b1−a1−i b1=0

Z−1=0+i 0=e

Multiplicación.Tomando la forma polar: Z=r e iθ

Asociativa:

Z1∗( Z2∗Z3 )¿ r1 eiθ1∗[r2 eiθ2∗r3 e iθ3 ]¿ r1 eiθ1∗¿¿ r1 r2r 3∗e i(θ¿+θ3)¿¿¿

¿ [r1 e iθ1∗r2 eiθ2 ]∗r3e iθ3

¿(Z¿¿1∗Z2)∗Z3 ¿

Conmutativa:

Z1∗Z2¿ r1 eiθ1∗r2e iθ2¿ r1 r2∗e i (θ1+θ ¿¿2)¿

¿ r2 r1∗e i (θ2+θ¿¿1)¿¿ r2 e iθ2∗r1e iθ1¿ Z2∗Z1

Elemento Neutro:

Estructuras Algebraicas: Campo Profesor: Dr. Eduardo Liceaga Castro, CIIIA-UANL,

Estudiante: Lic. Fernando Guerrero Vélez, CIIIA - UANLCurso: Aeronaves Autónomas

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Para demostrar que existe elemento neutro, sea e=1Z1∗(1 )¿(a1+ib1)∗(1 )¿ (a1∗1 )+i (b1∗1 )

¿a1+i b1¿ Z1

Elemento Inverso:Para demostrar que existe elemento inverso, sea Z−1=1/Z

Z1∗Z−1=( a+ib )∗1+0 i

a+ib

¿(a+i b )∗a−ib

a2+b2

¿a∗a+b∗b+ i (ab−ab )

a2+b2 ¿1=e

Por lo tanto, el conjunto de los números complejos forma un campo bajo las operaciones binarias del producto y la suma.

IV. REFERENCIAS

[1] Algrebra Abstracta, John B. Fraleigh, Addison-Wesley, 1era Edición.

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