Repetitorium Physik 1

Dr. H. Macholdt

7. Januar 2013

Literaturempfehlung:

• Paul A. Tipler / Physik / Spektrum Akademischer Verlag.

• K. Dransfeld / P. Kienle / G.M. Kalvius / Physik 1 / Oldenbourg

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Einfuhrung und Motivation

In den zuruckliegenden Jahren haben wir an unserem Fachbereich die Erfahrung machenmussen, dass in Physik (in manchen anderen Fachern ebenso) manchmal mehr als dieHalfte aller Studenten die Abschlussklausuren nicht bestanden haben. Dabei haben wirden Eindruck gewonnen, dass der Grund dafur nicht unbedingt darin liegt, dass der aktu-elle Stoff des Physikkurses nicht verstanden wird, sondern dass elementare mathematischeKenntnisse aus der Mittel- und Oberstufe fehlen. Wie sonst ist es zu erklaren dass in einerWiederholungsklausur nur 41% aller Studenten das Volumen einer Kugel korrekt berech-net haben?

Folgende Absichten verfolgen wir mit dem Repetitorium:

• Die Gelegenheit offene Fragen aus der Vorlesung zu behandeln.

• Ihnen die Angst zu nehmen, diese Fragen auch zu stellen.

• Sie dazu ’erziehen’ sich moglichst selbststandig mit den Aufgaben zu beschaftigenund nach Losungen zu suchen auch wenn es etwas ’langer’ dauern solte. Sie habenletztlich nichts davon, wenn wir Ihnen die Aufgaben immer nur ’vorrechnen’.

• Mathematische Grundlagen, die in der Physik benotigt werden, aufzufrischen undauch anzuwenden.

• Mit erganzenden Ubungsaufgaben die ’naturwissenschaftliche Methode’ kennenler-nen.

• Hilfsmittel wie Taschenrechner und PC sinnvoll einzusetzen.

• Vorbereitung auf die Klausur.

Das Repetitorium umfasst insgesamt 12 Lektionen in denen zusatzliche Ubungsaufgabenenthalten sind, die Sie zunachst selbststandig losen sollen. In jeder Lektion sind Stich-punkte oder wichtige Begriffe aus der Vorlesung verzeichnet, die Sie anhand des Vorle-sungsskriptes oder der Literaturhinweise noch einmal nacharbeiten konnen.Manche Lektionen sind mit sogenannten ’Sprints’ versehen, das sind kurze Videos, die Siedurch anklicken auf den Link starten konnen.Die Prasenzveranstaltung zum Repetitorium (Montag 15.20 - 16.50 in K109) dient dazu,noch offene Fragen zur Vorlesung und den Ubungen zu behandeln.

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1 Signifikanz und Messunsicherheit

• Lesen Sie: Tipler, Kapitel 1 (Einheitensysteme).

• Die naturwissenschaftliche Methode, Wo kamen wir denn hin, wenn ... oder Dashaben wir immer schon so gemacht ... oder ???

• Jede physikalische Große ist das Produkt aus einer Zahl {u} und einer Maßeinheit[u].

u = {u} · [u] z.B. 3s, 25m, 37kg

• Ein Zahlenwert liegt immer innerhalb eines Intervalls, dessen Große durch die Si-gnifikanz gegeben ist.

I = 4, 1A ⇒ [4, 05A . . . 4, 14A]

I = 4, 15A ⇒ [4, 145 . . . 4, 154]

• Signifikanz: Anzahl der bedeutenden Stellen einer Zahl.

• Signifikanz einer Berechnung: Das Ergebnis einer Berechnung kann keine großereSignifikanz haben als die Eingangsvariable mit der kleinsten Signifikanz.z.B. Berechnung eines Zylindervolumens:

V =d2 ∗ π

4∗ h =

3, 352 ∗ π4

· 9, 7 = 85, 49706962︸ ︷︷ ︸Taschenrechner

= 85

Anmerkung: Die kleinste vorkommende Signifikanz ist 2, also kann das Ergebnis nur2 signifikante Stellen haben. Konstanten in einer Formel (π und 4) haben auf dieSignifikanz keinen Einfluss.

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• Wissenschaftliche Notation oder Exponentialschreibweise: Eine positive reelle Zahlist in Normdarstellung bzw. wissenschaftlicher Notation gegeben, wenn sie die Form

a · 10z

hat, wobei 1 < a < 10 und z eine ganze Zahl ist.z:B. c = 299.792.458m/s = 2, 99792458·108m/s oder C = 0, 0000047F = 4, 7·10−6F

• Um sich etwas Schreibarbeit zu sparen verwendet man haufig die in der folgendenTabelle angegebenen Vorsatze.

Potenz Name Zeichen109 Giga G106 Mega M103 Kilo k102 Hekto h101 Deka da10−1 Dezi d10−2 Zenti c10−3 Milli m10−6 Mikro µ10−9 Nano n

• Beispiele: 12MW = 12 · 106W = 12000000W19, 2µm = 19, 2 · 10−6m = 0, 0000192m

• Leitsatz: Ein Messergebnis ohne Angabe eines Fehlers ist wertlos. Wir geben al-so neben dem eigentlichen Messwert x = 6, 23m auch noch den absoluten Fehler∆x = 2cm an.

d = 6, 23m± 2cm

• Jede Messung ist prinzipiell fehlerhaft. Wir unterscheiden zwei Arten von Fehlern:

• Zufallsfehler = statistische Fehler, betreffen die Reproduzierbarkeit. Zufallige Fehlerergeben ein unsicheres Messergebnis.

• systematische Fehler, betreffen die Richtigkeit. Systematische Fehler ergeben einfalsches Messergebnis. Quelle: Prof. Dr. Christoph Janiak, Seite 11-14

• Die Fehlerangabe kann kann auch in Form des relativen Fehlers ∆xx

angegeben wer-den. In unserem Beispiel ist

d = 6, 23m± 2cm

623cm= 6, 23m± 0, 32%

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• Bei analogen Messgeraten gibt man den Anzeigefehler in Prozent vom Meßbereichs-endwert an.

• Steht in der Anleitung zum Messgerat (meistens bei digitalen Multimetern) zurAngabe der Fehler z.B. ’1,5% of READING’ ±1 digit, dann wird als Fehler derabgelesene Wert zur Berechnung verwendet, dazu kommt dann noch der Wert derletzten Anzeige (digit).

• Sind auf dem Messgerat keine Angaben zur Große des Fehlers gemacht, dann schatzeman den absoluten Fehler so ab, dass er in etwa so groß ist wie der kleinste messbareWert. Lineal: ±1mm, Messschieber mit Nonius: ±0, 1mm, Kuchenwaage: ±0, 1gDas ist manchmal etwas subjektiv und erfordert Erfahrung, hat also etwas mit demsogenannten ’gesunden Menschenverstand’ zu tun.

• In den Naturwissenschaften verwenden wir weltweit ein einheitliches System von sie-ben Basiseinheiten, das MKS-System (Meter, Kilogramm, Sekunde) oder SI-System(System International d’Unites).

• Basiseinheit Meter: 1m ist die Lange der Strecke, die Licht im Vakuum in 1/299.792.458sdurchlauft.

• Basiseinheit Kilogramm: 1kg ist die Masse des Internationalen Kilogrammprototyps.

• Basiseinheit Sekunde: 1s ist das 9.192.631.770-fache der Periodendauer der Strah-lung beim Hyperfeinstrukturubergang des 133Cs.

• Weitere Basiseinheiten sind: Ampere (Stromstarke), Mol (Stoffmenge), Kelvin (Tem-peratur) und Candela (Lichtstarke)

• Abgeleitete Einheiten: Bestimmte Kombinationen von Basiseinheiten die bei Be-rechnungen entstehen erhalten eigene Namen wie Newton, Joule und Watt. Diessind keine Basiseinheiten.

Große Einheit Einheit Abk.Volumen m3 - -Frequenz 1/s s−1 Hz=HertzGeschwindigkeit m/s ms−1 -Beschleunigung m/s2 ms−2 -Kraft kgm/s2 kgms−2 N=NewtonArbeit, Energie Nm kgm2s−2 J=JouleLeistung J/s kgm2s−3 W=WattSpannung J/As kgm2s−3A−1 V=VoltDruck N/m2 kgs−2m−1 Pa=PascalLadung As As C=Coulomb

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Ubungsaufgaben

1. Berechnen Sie die Flache eines Kreises mit dem Duchmesser d = 2, 5m (d = 2, 55m)unter Berucksichtigung der Signifikanz. Innerhalb welchen Intervalls kann das Er-gebnis liegen?

2. Licht breitet sich im Vakuum mit einer Geschwindigkeit von c = 299.792.458m/saus.

(a) Welche Zeit benotigt das Licht, um die 1, 496 · 108km lange Strecke von derSonne bis zur Erde zuruckzulegen?

(b) Astronomische Entfernungen gibt man haufig in Lichtjahren (LJ) an. Wie großist die Strecke, die Licht in einem Jahr zurucklegt?

(c) Der Durchmesser unserer Milchstraße betragt 8, 2 · 1017km. Geben Sie denDurchmesser unserer Milchstraße in Lichtjahren an.

3. Im Durchschnitt atmet ein Mensch in einer Minute 15 mal ein und aus. Wie vieleAtemzuge hat ein 16jahriger seit seiner Geburt gemacht? Geben Sie das Ergebnisin wissenschaftlicher Schreibweise an.

4. Mit einem Zeigerinstrument der Genauigkeitsklasse 1.5 wird im Messbereich bis200mA ein Wert von 175mA (33mA) gemessen. Innerhalb welchen Intervalls kannder wahre Messwert liegen? Wie groß ist der relative Fehler?

5. In der Seefahrt wird die Geschwindigkeit eines Schiffes in der Einheit Knoten ange-geben. Legt ein Schiff in einer Stunde eine Seemeile zuruck, dann bewegt es sich miteiner Geschwindigkeit von einem Knoten. Wie groß ist die Geschwindigkeit in km/hund in m/s, wenn sich ein Schiff mit der Geschwindigkeit von 18 Knoten bewegt?Eine Seemeile ist definiert als die Entfernung auf der Erdoberflache, die einem Win-kel von einer Bogenminute (was also ist eine Bogenminute?) entspricht. Der Radiusder Erde betragt RE = 6, 367 · 103m.

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2 Fehlerfortpflanzung, Funktionen

• Summenzeichen: siehe dazu Das Summenzeichen

• Mittelwert und Varianz. Beispiel im Script.

• Die Gaussverteilung: Berechnen sie diese im Script angegebene Funktion mal mitEXCEL. Die werden Sie noch sehr haufig im weiteren Verlauf Ihres Studiums ver-wenden.

• Fehlerfortpflanzung: siehe dazu Fehlerfortpflanzung

• Was ist eine Funktion?

• Bilder einer Funktion am Beispiel Zentrifugalkraft. Erstellen Sie mit EXCEL dreiverschiedene XY-Diagramme der Zentrifugalkraft in Abhangikgeit von m, von v undvon r.

FZ = m · v2

r

• Skizzieren Sie die konstante Funktion

x(t) = x0 = const.

• Lesen Sie: Tipler, Kapitel 2 (Bewegung in einer Dimension).

• Die Geradengleichung, eine lineare Weg-Zeit-Funktion. Skizzieren Sie diese Funktion

x(t) = m · t+ b

• Wie findet man die Weg-Zeit-Funktion?

• Die Ableitung (Steigung) der linearen Funktion.

• Die geradlinige Bewegung, x(t) = v · t+ x0

• Geschwindigkeit als Steigung der Weg-Zeit-Funktion, v(t) = dx(t)dt

• Funktionen Plotten mit MATLAB.x=0:0.5:15y=3*x+5plot(x,y)

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Ubungsaufgaben

1. Ein Zylinder wird vermessen mit folgenden Ergebnissen: Durchmesser d = 122mm±1, 5mm,Hohe h = 22, 5cm± 0, 1cm. Wie groß ist der absolute Fehler des Volumens?

2. Ermitteln Sie die Funktionsgleichungen der folgenden vier linearen Funktionen.

3. Ein Hohensensor liefert bei einem Abstand von 10cm ein Spannungssignal von 0,5Volt. Wird der zu vermessende Korper in eine Entfernung von 46cm gebracht, dannliegt am Ausgang des Sensors eine Spannung von 9,5V an. Ermitteln Sie die zu-gehorige Spannungs-Abstands-Funktion s(U) =? des Sensors.

4. Ableitung von elementaren Funktionen: siehe Ubung Ableitungen

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3 Vektoren, Winkelfunktionen

• Vektoren, Beispiele

• Darstellungen von Vektoren, Einheitsvektoren

• Rechnen mit Vektoren

• Skalarprodukt, Winkel zwischen Vektoren

• Siehe dazu: Sprint Vektoren

• Die Winkelfunktionen sin, cos und tan.

• Die Umkehrfunktionen sin−1,cos−1 und tan−1

• Gradmaß und Bogenmaß

Ubungsaufgaben

1. Berechnen Sie den Winkel zwischen den Vektoren a=(5, 1.5) und b=(1, 2.5).

2. Wie groß ist der Winkel zwischen den Vektoren b=(1, 2.5) und c=(-3.5, 1.5)?

3. Wie groß ist der Winkel zwischen der x-Achse und dem Vektor c=(-3.5, 1.5)?

4. Berechnen Sie mit dem Taschenrechner die fehlenden Werte in der folgenden Tabelle

Winkel in Grad Winkel in rad sin cos tan15◦

π/40,765

0,3421,321

5. Auf einen Massenpunkt mit der Masse m = 5kg wirken die zwei gegebenen Krafte~F1 = 9N · ~ex − 2N · ~ey und ~F2 = −3N · ~ex + 10N · ~ey ein.

(a) Geben Sie den Vektor der resultierenden Kraft an.~Fg =

(b) Wie groß ist der Betrag dieses Vektors?

(c) Welcher Winkel liegt zwischen der resultierenden Kraft und der x-Achse?

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4 Gleichformig beschleunigte Bewegung

• Tabelle wichtiger Funktionen und deren 1. Ableitung

Stammfunktion 1. Ableitungsfunktion Bemerkung

x(t) dxdt

oder x(t)x(t) = C x(t) = 0 konstante Funktionx(t) = m · t+ C x(t) = m lineare Funktionx(t) = t+ C x(t) = 1 lineare Funktionx(t) = a · t2 + b · t+ c x(t) = 2a · t+ b quadratische Funktionx(t) = tn x(t) = n · tn−1 Polynom n-ten Gradesx(t) = ln(t) x(t) = 1

tLogarithmus Naturalis

x(t) = et x(t) = et Exponentialfunktionx(t) = eλ·t x(t) = λ · eλ·t Kettenregel

• Lesen Sie: Tipler, Kapitel 3 (Bewegung in zwei und drei Dimensionen).

• Die gleichformig beschleunigte Bewegung am Beispiel des freien Falls.

h(t) = −1

2· g · t2 + v0 · t+ x0

mit g = 9, 81m/s2, v0 = Anfangsgeschwindigkeit, x0 = Anfangsort.

siehe dazu: Sprint Gleichformig beschleunigte Bewegung

• Die Unabhangigkeit der Bewegungen in x-, y- und z-Richtung.GALILEI (1638): Bewegungskomponenten langs senkrecht zueinander stehenderAchsen uberlagern sich zwar, aber sie beeinflussen (storen, andern oder hindern)sich nicht gegenseitig.

• Die Wurfparabel als 2-dimensionale Bewegung: Skispringer, Kanonen und ahnlicheGeschosse.

x(t) = vx · t+ x0

und

y(t) = −1

2· g · t2 + vy · t+ y0

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Ubungsaufgaben

1. Sie stehen auf einer 20, 5m hohen Klippe und werfen einen Ball (fast) senkrechtnach oben. Die Startgeschwindigkeit sei 10, 5m/s. Berechnen Sie fur eine konstanteErdbeschleunigung von 9, 81m/s2 die maximale Hohe, die der Ball erreicht. Nachwelcher Zeit hat der Ball den Fuß der Klippe erreicht? Wie groß ist die Geschwin-digkeit des Balles, wenn er am Fuß der Klippe aufkommt?

2. Ein Teilchen bewege sich mit konstanter Beschleunigung in der x-y-Ebene. Zur Zeitt = 0 befindet es sich bei x = 4m und y = 3m. Die Beschleunigung ist gegebendurch den Vektor ~a = (4m/s2)~ex + (3m/s2)~ey. Der Geschwindigkeitsvektor ist zuBeginn ~v = (2m/s)~ex − (9m/s)~ey.

(a) Skizzieren Sie das Problem.

(b) Bestimmen Sie den Geschwindigkeitsvektor zur Zeit t = 2s.

(c) Bestimmen Sie Betrag und Richtung des Ortsvektors zur Zeit t = 4s.

3. Ein Projektil werde von einem 200m hohen Steilufer aus abgeschossen. Die Anfangs-geschwindigkeit betrage 60m/s, und die Abschussrichtung sei 60◦ zur Horizontalen.Fertigen Sie zunachst eine Skizze des Problems an. Wo wird das Projektil landen,wenn der Luftwiderstand unberucksichtigt bleibt?

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5 Exponentialfunktion und Logarithmus

• Die Logarithmengesetze:

ln(x · y) = lnx+ ln y

lnx

y= ln x− ln y

ln(xy) = y · lnxln ex = x

• Die Exponentialfunktion in 2 Beispielen. Man beachte: ex = exp(x) sind nur zweiverschiedene Schreibweisen fur das gleiche Objekt.

1. Der radioaktive Zerfall: A(t) = A0 · exp(−λ · t)2. Luftdruck als Funktion der Hohe: p(h) = 1013mbar · exp(−h/8000m)

Ubungsaufgaben

1. Fassen Sie zu einem Logarithmus zusammen:

ln 15− ln 3 + ln2

5− ln

1

8= ln

1

3− 3 · ln 1− 2 · ln 2− ln 3 =

2. Eine Gesteinsprobe enthalt 1mg einer radioaktiven Substanz. Nach drei Jahrenenthalt die Gesteinsprobe nur mehr 0,6mg dieser Substanz.

(a) Bestimmen Sie die Zerfallskonstante λ der radioaktiven Substanz!

(b) Nach welcher Zeit enthalt der Stein nur mehr 0,1mg der Substanz?

3. Das Kohlenstoffisotop C-14 ist naturlich radioaktiv mit der Halbwertzeit von 5760Jahren. Es kommt in der Atmosphare sowie in lebenden Organismen vor und seinAnteil bleibt konstant, solange die Organismen leben. Nach deren Tod nimmt derC-14-Anteil exponentiell ab.

(a) In Holzresten aus der Hohle von Lascaux stellte man 14,5% des ursprunglichenC-14-Gehalts fest. Berechne Sie daraus das Alter dieser Holzreste.

(b) Bis zu welchem Alter kann man diese Methode verwenden, wenn noch 1% desursprunglichen C-14-Gehalts mit hinreichender Genauigkeit festgestellt werdenkann?

4. Sie sind mit einem Ballon aufgestiegen. Das Barometer im Ballon zeigt einen Wertvon 756mbar an. In welcher Hohe befinden Sie sich?

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6 Kreisbewegung

• Winkel im Bogenmaß: ϕ(t) = ω · t

• Konstante Winkelgeschwindigkeit

ω =2 · πT

T = Dauer eines Umlaufes

• Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit

ω =dϕ(t)

dtv = R · ω

• Kreisbewegung: Die Bewegung der Erde um die Sonne

x(t) = R · cos(ω · t)y(t) = R · sin(ω · t)

• Die Bahnkurve geplottet mit MATLAB

t = 0:1:365 %Zeit in Tagenw = 2*pi/365 %WinkelgeschwindigkeitR = 150 %Radius der Umlaufbahn in Mio. Kilometerx = R * cos(w*t)y = R * sin(w*t)plot(x,y,’*’)grid

• Winkelbeschleunigung: a = R · ω2 = v2

R

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Ubungsaufgaben

1. Wandeln Sie die gegebenen Winkel vom Gradmaß in Bogenmaß um: 10◦; 45◦; 90◦;22◦35’20”.

2. Wandeln Sie die gegebenen Winkel vom Bogenmaß in Gradmaß um: 0.5;π; 3/2·π; 2π.

3. Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit , die Bahngeschwindigkeit und die Radi-albeschleunigung

• des Mondes um die Erde (R = 3, 84 · 105km, Umlaufzeit T = 27, 3 Tage)

• der Erde um die Sonne (R = 150 · 106km, Umlaufzeit ist wohl bekannt)

• der Erde um die eigene Achse. Anmerkung: Es gibt eine einfache, naheliegendeund eine etwas komliziertere aber richtige Losung, siehe Sternentag.pdf

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7 Newton

• Lesen Sie: Tipler, Kapitel 4 (Die Newtonschen Axiome).

1. EIN UNBESCHLEUNIGTER KORPER BEWEGT SICH MIT KONSTAN-TER GESCHWINDIGKEIT ODER RUHT.

2. DIE ZEITLICHE ANDERUNG DES IMPULSES p = m · v IST GLEICHDER SUMME DER AN IHM ANGREIFENDEN KRAFTE ~Fk.

3. UBT OBJEKT A EINE KRAFT ~FAB AUF OBJEKT B AUS, SO UBT BEINE KRAFT ~FBA AUF A AUS.

• Beispiele fur Krafte:

1. Gewichtskraft nahe der Erdoberflache:

~F = m · ~g mit g = 9, 81m/s2

2. Federkraft Fk = −k · x mit k = Federkonstante

3. Gravitation

~Fg = −G · m1 ·m2

r2mit G = 6, 67 · 10−11Nm

2

kg

4. elektrostatische Kraft

~FE =1

4πε0· q1 · q2

r2mit

1

4πε0= 8, 99 · 109Nm

2

C2

5. Kraft auf eine bewegte Ladung im Magnetfeld (Lorentskraft)

~FL = q · ~v × ~B

• Reibung und schiefe Ebene, Skizzieren Sie die Krafte an der schiefen Ebene ausIhrer Erinnerung.

• Reibungskraft in Flussigkeiten, Beispiel fur eine Differentialgleichung

Ubungsaufgaben

1. Wie groß ist die Gravitationskraft des Positrons auf ein Elektron im Abstand voneinem Meter? Die Masse eines Protons betragt mp = 1, 67·10−27kg, die des Elektronsme = 9, 1 · 10−31kg

2. Wie groß ist die anziehende elektrostatische Kraft eines Positrons auf ein Elektronim Abstand von einem Meter? Die Ladung beider Teilchen betragt q = 1, 6 · 10−19C

3. In welchem Verhaltnis stehen diese Krafte?

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8 Das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) von Vektoren

• Der Vektor ~ω dient zur Beschreibung von Drehungen.

• Ublicherweise legt man ~ω auf die Drehachse des drehenden Korpers.

• Der Daumen der rechten Hand zeigt dann in Richtung von ~ω, wenn die Finger inDrehrichtung zeigen.

• Die Lange (Betrag) von ~ω ist

ω =2π

T

• Skizzieren Sie eine Schallplatte (falls Sie noch wissen, was das ist) und zeichnen Sie~ω ein.

• Skizzieren Sie ein Fahrrad. In welche Richtung zeigt ~ω, wenn das Fahrrad vorwarts(ruckwarts) fahrt?

• Das Kreuzprodukt~c = ~a×~b

kann man am einfachsten mit der Determinantenregel (siehe Script) berechnen.

• Der Betrag des Kreuzproduktes ist

|~c| = |~a| · |~b| · sin Θ

• Anwendung des Kreuzproduktes bei Scheinkraften

• Scheinkrafte sind nicht nur scheinbar da

• Die Zentrifugalkraft:~FZ = −m · (~ω × (~ω × ~rB))

• Die Corioliskraft:~FC = −2m · (~ω × ~vB)

• Die Drei-Finger-Regel oder wie man es schafft die Richtung der Scheinkrafte ohneschwerwiegende Verletzung zu erhalten.

• Ein Experiment zur Corioliskraft: Drehen Sie sich um die eigene Achse und lassenSie dabei mal Ihre Arme aus der Waagerechten herunterfallen. Wo landen die Arme?

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Ubungsaufgaben

1. Berechnen Sie zunachst den Betrag des Kreuzprodukt der Vektoren ~a = (3, 5, 2)

und ~b = (4, 1, 7). Den Winkel Θ zwischen den Vektoren erhalt man mit Hilfe dasSkalarproduktes der Vektoren (siehe dazu Kapitel Vektoren). Uberprufen Sie ihrErgebnis, indem Sie das Kreuzprodukt mit der Determinantenregel berechnen undanschließend den Betrag bilden.

2. Berechnen Sie das Kreuzprodukt der Vektoren ~a = (7,−2, 2) und ~b = (2,−4, 1) mitHilfe der Determinantenregel.

3. Bestimmen Sie mit Hilfe der Drei-Finger-Regel die Richtung der Coriolis-Kraft aufeinen Fallschirmspringer der a) am Aquator und b) am Nordpol aus dem Flugzeugspringt.

4. Ein Karusell mit dem Durchmesser D = 12m dreht sich in 6 Sekunden einmal um dieeigene Achse. Berechnen Sie den Betrag der Zentrifugalkraft auf eine 75kg schwerePerson und die Bahngeschwindigkeit am Rand des Karusell’s.

5. Auf einer Magnetbahn, die auf dem 45. Breitengrad in sudlicher Richtung verlauft,fahrt ein 27t schweres Testfahrzeug mit einer Geschwindigkeit von 450km/h. Wiegroß ist der Betrag der Corioliskraft?

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9 Das Gravitationsgesetz

• Das Gravitationsgesetz: Wie ’LESEN’ wir dieses Gesetz?

~FG = −G · m1 ·m2

r2· ~rr

• Die Anziehungskraft zwischen zwei Bleikugeln: siehe Beispiel 6.1 im Script, Losungmit EXCEL.

• Das Gravitationsfeld: Kraftfelder sind eine durchaus hilfreiche Beschreibung, aberexistieren sie auch?

~g (~r) = −G · Mr2· ~rr

• Die Gravitationsbeschleunigung an der Erdoberflache, Losung mit EXCEL.

• Die Gravitationsbeschleunigung am Ort des Mondes, Losung mit EXCEL.

• Die Kepler’schen Gesetze

1. Planetenbahnen sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

2. Der Fahrstrahl von der Sonne zum Planeten uberstreicht in gleichen Zeitengleiche Flachen.

3. Die Quadrate der Umlaufzeiten verhalten sich wie die dritten Potenzen ihrergroßen Halbachse.

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Planet Umlaufquadrate: T 2 Bahnkuben: R3 VerhaltnisMerkurVenusErdeMarsJupiter

Ubungsaufgaben

1. Vervollstandigen Sie mit Hilfe der Planetendaten die obige Tabelle.

2. Durch Gleichsetzen der Gravitationskraft FG mit der Zentrifugalkraft FZ erhalt maneine Bestimmungsgleichung fur die Masse der Sonne. Berechnen Sie damit und mitden obigen Daten der Planeten die Masse der Sonne.

3. Der Asteroid Ceres befindet sich einer Entfernung von 413Mio. Kilometern vonder Sonne und beschreibt eine nahezu kreisformige Umlaufbahn. Der Radius derErdumlaufbahn betragt ca. 149Mio. km.

(a) Wie lange dauert ein Umlauf des Ceres um die Sonne?

(b) Welcher Gravitationsbeschleunigung von der Sonne (MS = 1, 97·1030kg, G =6, 67 · 10−11m3/kgs2) ist Ceres ausgesetzt?

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10 Arbeit und Energie

• Lesen Sie: Tipler Kapitel 6 (Arbeit und Energie).

• Die Arbeit als Skalarprodukt

• Die Arbeit als Integral uber die Kraft-Funktion

• Arbeit im Gravitationsfeld

• Konservative Krafte: Eine Kraft heißt konservativ, wenn die gesamte Arbeit ent-lang eines beliebigen, geschlossenen Weges gleich Null ist.

• Dies bedeutet: Die Arbeit, die eine konservative Kraft an einem Massenpunkt ver-richtet, ist unabhangig davon, auf welchem Weg sich der Massenpunkt von einemOrt zum anderen bewegt. ∮

~F • ~dl = 0

• Umkehrung: Aus der potentiellen Energie erhalt man durch Bildung des Gradientendie Kraft

• Die kinetische Energie: Ekin = 1/2 ·m · v2

• Die potentielle Energie: Epot = m · g · h

• Die Warmeenergie: Q = m · c ·∆θ

• Leistung: Motoren, Krane und andere muhevolle Tatigkeiten.

F = m · g W = F · h P =W

t

• Kombination der obigen Gleichungen ergibt die ’Kranformel’: Welche Leistung mussder Motor (mindestens) haben, um eine Masse m in der Zeit t um eine bestimmteHohe h zu heben. Das gleiche macht auch eine Wasserpumpe.

P =m · g · h

t

• Leistung als Kraft mal Geschwindigkeit

• Die Einheit der Arbeit/Energie ist Joule, die der Leistung ist Watt.

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Ubungsaufgaben

1. Eine Kugel der Masse 10g besitze eine Geschwindigkeit von 1,2km/s.

(a) Wie groß ist ihre kinetische Energie in Joule?

(b) Welche kinetische Energie hat die Kugel, wenn ihre Geschwindigkeit halb

(c) und doppelt so groß ist?

2. Welche Arbeit muss aufgebracht werden um eine Feder mit der Federkonstantenk = 24N/cm aus der Ruhelage eine Strecke von 1,3m auszulenken?

3. Der Antriebsmotor eines Kranes hat eine Leistung von 35kW. Kann der Kran damiteine 2000kg schwere Metallplatte in einer Zeit von t = 15s auf eine Hohe von h =50m heben, d.h. welche Leistung musste er fur diese Aufgabe aufbringen?

4. In einem Warmwasserboiler (c = 4190J/ (kgK))sollen 500 Liter Wasser von ei-ner Anfangstemperatur von 20◦C auf 95◦C erwarmt werden. Wie lange dauert dasAufheizen, wenn eine elektrische Leistung von 15kW zur Verfugung steht? Der Wir-kungsgrad wird mit 0,95 angenommen.

5. Wieviel kg Wasser kann ein Durchlauferhitzer mit einer Leistung von 12kW in ei-ner Minute von 20◦C auf 73◦C erwarmen, wenn der Wirkungsgrad mit η = 0, 95angenommen wird? (c = 4190J/ (kgK))

6. Ein Stein wird in einen 95m tiefen Brunnen geworfen. Mit welcher Geschwindigkeittrifft er auf der Wasseroberflache auf? (Hinweis: Energieerhaltungssatz)

7. Ein Kran mit einer gegebenen Motorleistung von 25kW hebt eine 1,8 Tonnen schwereMetallplatte in eine Hohe von 25m. Wie lange braucht er dazu?

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11 Impulserhaltung

Newton 3: Actio = Reactiobesagt, dass eine Kraft die von einem Korper Nr. 1 auf einen Korper Nr. 2 ausgeubt wird,gleich ist der negativen Kraft, die Korper Nr.2 auf Korper Nr. 1 ausubt.

F21 = −F12

Da Kraft gleich der zeitlichen Anderung des Impulses ist, folgt:

dp1

dt= −dp2

dt

oder

⇒ dp1

dt+dp2

dt=d (p1 + p2)

dt= 0

Die zeitliche Anderung des Gesamtimpulses ist Null, d.h. der Gesamtimpuls eines Sys-tems von Teilchen bleibt konstant. Somit ist der Gesamtimpuls eine weitere wichtigeErhaltungsgroße.

• Impulserhaltung im 1dim-Fall: Der elastische Stoß im Falle einer vorher ruhendenKugel, die von einer ersten Kugel mit der Geschwindigkeit u1 angestoßen wird.

v1 =m1 −m2

m1 +m2

· u1

v2 =m1

m2

· u1 −m1

m2

· v1

• Der Massenschwerpunkt im diskreten Fall

~rcm =1

M·N∑i=1

mi · ~ri mit M = Gesamtmasse

• Der Massenschwerpunkt fur kontinuierliche Verteilungen

~rcm =1

M·∫M~rdm =

1

M·∫V~rρdV

• Integration im Raum

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Ubungsaufgaben

1. Gegeben seien drei Korper gleicher Masse von jeweils 2kg. Korper 1 befinde sich beix = 10cm, y = 0cm, Korper 2 bei x = 0cm, y = 10cm und Korper 3 bei x = 10cm,y = 10cm. Bestimmen Sie den Massenschwerpunkt.

2. Ein Personenwagen mit der Masse 1500kg fahre mit einer Geschwindigkeit von20m/s nach Westen, ein Lastwagen der Masse 3000kg mit 16m/s nach Osten. Be-stimmen Sie die Geschwindigkeit des Massenschwerpunktes.

3. Zwei Massen von 5kg und 10kg ruhen auf einem reibungsfreien Tisch und seien durcheine komprimierte Feder miteinander verbunden. Nach dem Losen der Feder bewegesich die kleinere Masse mit einer Geschwindigkeit von 8m/s nach links. BestimmenSie die Geschwindigkeit der großeren Masse.

4. Der Waggon einer Modelleisenbahn mit der Masse 250g bewege sich mit einer Ge-schwindigkeit von 0, 5m/s und kopple an einen zweiten Waggon an, der die Masse400g hat. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der beiden gekoppelten Waggons.

5. Bei einem zentralen elastischen Stoß treffe eine Metallkugel der Masse m1 = 1, 5kgund der Geschwindigkeit u1 = 3, 5m/s auf eine ruhende zweite Metallkugel derMasse m2 = 5, 5kg.Wie groß sind die Geschwindigkeiten der Kugeln nach dem Stoß?

6. Eine Kugel mit der Masse m1 = 2kg trifft auf eine ruhende Kugel mit der Massem2 = 1, 2kg. Nach dem Stoß hat die Kugel mit der Masse m1 eine Geschwindigkeitvon v1 = 3m/s.

(a) Wie groß war ihre Geschwindigkeit u1 vor dem Stoß?

(b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit der gestoßenen Kugel.

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12 Rotation

• Translation - Rotation: Ein tabellarischer Vergleich

Translation Formelzeichen Rotation FormelzeichenGeradlinige Bewegung Formel Drehbewegung Formel

Ortskoordinate x(t) Winkelkoordinate φ(t)

Geschwindigkeit v(t) Winkelgeschwindigkeit ω = dφdt

Beschleunigung a = d2x(t)dt2

Winkelbeschleunigung α = d2φ(t)dt2

Masse m Tragheitsmoment IKraft F Drehmoment D

Bewegungsgleichung F = m · a - D = I · αImpuls ~p = m · ~v Drehimpuls ~L = I · ~ωEnergie Ekin = 1

2m · v2 Rotationsenergie Erot = 1

2I · ω2

• Einige Tragheitsmomente symmetrischer Korper

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• Lesen Sie: Tipler Kapitel 8 (Drehbewegungen)

• Beispiele zum Tragheitsmoment

1. Der diskrete Fall

2. Tragheitsmoment einer Tur

3. Tragheitsmoment eines Hohlzylinders

• Der Steiner’sche Satz, Herleitung

• Beispiele zum Steiner’schen Satz

1. Dunner Stab

2. Rollbewegung

• Rotationsenergie und die rollende Kugel

Ubungsaufgaben

1. Berechnen Sie den Drehimpuls eines scheibenformigen Kreisels der sich mit n =2000U/min dreht. (m = 250g, r = 5cm, h = 0, 5cm)

2. Ein Korper mit der Masse m = 100kg wird mit Hilfe einer motorgetriebenen Seil-scheibe (d = 0, 5m) gehoben. Die konstante Drehzahl n der Antriebswelle betragtn = 1500U/min. Welche mechanische Leistung muß der Motor liefern? (Hinweis:Leistung=Kraft x Geschwindigkeit)

3. Welche maximale Geschwindigkeit erreicht eine Kugel (Durchmesser d = 2m, Dichteρ = 2320kg/m3), die eine schiefe Ebene mit Hohe h = 5m und α = 30◦ herunter-rollt? Reibungsverluste werden nicht berucksichtigt.

4. Welche Hohe erreicht die gleiche Kugel, wenn sie mit einer Anfangsgeschwindigkeitvon 15m/s die schiefe Ebene hinaufrollt?

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