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Experimento 5: Calibração de Termômetro.Métodos Experimentais em Engenharia.Fernando Henrique Gomes ZucatelliManuela PetagnaRaian Bolonha Castilho SpinelliTRANSCRIPT
Experimento 5: Calibração de Termômetro.
Disciplina: BC1707 - Métodos Experimentais em Engenharia.
Discentes: Fernando Henrique Gomes Zucatelli Manuela Petagna Raian Bolonha Castilho Spinelli
Turma: A/Diurno
Prof ª. Dra. Léia Bernardi Bagesteiro.
Santo André, 25 de Julho de 2011
Sumário
1. RESUMO ........................................................................................................................... 2 2. INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 3 3. OBJETIVOS ....................................................................................................................... 4 4. PARTE EXPERIMENTAL ................................................................................................ 4
4.1. Materiais ...................................................................................................................... 4 4.2. Métodos ....................................................................................................................... 5
4.2.1. Construção de escala termométrica ...................................................................... 5 4.2.2. Calibração da escala termométrica ....................................................................... 5 4.2.3. Medidas de temperatura........................................................................................ 6 4.2.4. Determinação da constante térmica de resfriamento de um resistor .................... 6
5. RESULTADOS E DISCUSSÃO ....................................................................................... 9 5.1. Construção de escala termométrica ............................................................................. 9 5.2. Calibração da escala termométrica ............................................................................ 10 5.3. Medidas de temperatura ............................................................................................. 11 5.4. Determinação da constante térmica de resfriamento de um resistor ......................... 12
6. CONCLUSÃO .................................................................................................................. 20 7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................. 21 8. APÊNDICES .................................................................................................................... 22
8.1. Medidas de dispersão ................................................................................................. 22 8.2. Mínimos quadrados adaptado a este tipo de calibração ............................................. 22 8.3. Aplicação em engenharia ........................................................................................... 23 8.4. Dedução matemática da constante de resfriamento k ................................................ 27 8.5. Dedução matemática do erro uk ................................................................................. 28
2
1. RESUMO
Desde a antiguidade os termômetros vêm sendo desenvolvidos pela
necessidade de se medir temperaturas, tanto de objetos parados com em
movimento. Inicialmente diversos materiais poderiam ser utilizados como referencia
para escalas termométricas, hoje, utiliza-se o ponto triplo da água para esse padrão.
Neste relatório um termômetro de mercúrio foi calibrado a partir de um termômetro já
calibrado que se utilizava do mesmo princípio de funcionamento. Após a calibração
do mesmo foi possível observar que quanto maior a temperatura medida maior o
erro cometido pelo termômetro sendo que os erros variaram entre 0,17 e 0,03 em
uma faixa de 80 a 47 °C, mesmo assim tendo erros relativos baixos. Em uma
segunda fase foi determinada a constante de resfriamento de um resistor de 120
ohm, obtendo-se o resultado de k = 0,00840 s-1.
3
2. INTRODUÇÃO
A temperatura se caracteriza por medir o grau de agitação das moléculas em
um sistema em equilíbrio térmico. Essa medida não tem um valor fixo, ela depende
da referência adotada.
Hoje em dia existem diversas escalas de medição de temperatura, sendo as
mais utilizadas as escalas Celsius (°C), Kelvin (K) e Fahrenheit (°F). Para se
determinar uma escala é normal que se utilize como parâmetros fixos as
temperaturas de fusão e ebulição da água e depois se determinam os pontos além e
entre essas duas medidas. A substância água destilada é utilizada por seu fácil
acesso.
Uma nova escala termométrica pode ser determinada a qualquer momento
dependendo do experimento que uma pessoa queira realizar, tudo depende dos
pontos de referência adotados, pois pode ser que seja interessante que o ponto de
ebulição do álcool seja adotado como o 0 da escala ao invés do ponto de ebulição
da água como na escala Celsius.
Os termômetros podem ser construídos a partir de diversos ramos da física. A
princípio os mais conhecidos provêm de escalas térmicas a partir da dilatação da
coluna de um líquido com coeficiente de dilatação bastante sensível. Também
podem ser encontrados outros tipos como, por exemplo, alguns que se utilizam da
resistência elétrica e outros da intensidade do espectro, da radiação eletromagnética
para determinar temperatura, e estes muitas vezes mais precisos que os primeiros
mais tradicionais [1].
Além do já dito sobre diversos tipos de termômetro também é importante
salientar que dependendo da situação em que o material a ser medido está, um tipo
de termômetro é utilizado, por exemplo, objetos em movimento não podem medir
temperatura por contato como um termômetro convencional mede a febre de uma
criança, ou um material muito pequeno não pode ser medido por contato também pó
conta do equilíbrio térmico que acabará por elevar ou diminuir sua temperatura.
Cada situação pede um tipo de termômetro, mas todos eles têm um ponto em
comum, o fato de terem de ser calibrados sempre e terem definidas uma escala a
qual qualquer pessoa que os estude possa utilizá-los de forma clara e repassar
essas informações a qualquer outra pessoa.
4
3. OBJETIVOS
Construir uma escala de temperatura a partir de um capilar com mercúrio,
determinando-se dois pontos fixos, ponto triplo e ponto de ebulição da água. Calibrar
o termômetro a partir de um termômetro pré-calibrado e determinar seu erro a partir
do método de mínimos quadrados. A partir desse novo termômetro calibrado,
determinar o ponto de ebulição do álcool etílico e a temperatura ambiente. Utilizando
um termopar, determinar a constante térmica de resfriamento de uma resistência
elétrica e estimar as incertezas obtidas.
4. PARTE EXPERIMENTAL
4.1. Materiais
• Termômetros de mercúrio com e sem escala
• 2 Béqueres
• Placa de aquecimento
• Água quente, gelo e álcool etílico
• Régua
• Lápis
• Cronômetro
• Fonte de Alimentação
• Protoboard
• Termopar
• Resistor
• Multímetro
• Planilha Microsoft Excel 2010®
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Tabela 1 – Caracterização dos materiais utilizados
Marca Modelo Valor de Fundo Menor divisão
da escala Incerteza
Fonte de
Alimentação Minipa MPL-3303 30 V 0,1 V 0,05 V
Cronômetro Cronobio - 99:9999 00:0001 0,005s
Termômetro Incoterm L-057/07 10°C<T<110°C 1°C 0,5°
Béquer J Prolab - 250 mL 5 mL 2,5 mL
Régua Acrimet - 300 mm 1 mm 0,5 mm
Placa de
Aquecimento Diag Tech DT3120 Tamb<T<400°C - -
Multímetro digita Minipa ET-2510 Ajustável De acordo com
escala de fundo Eq. (7)
4.2. Métodos
4.2.1. Construção de escala termométrica
Inicialmente foi colocar dentro de um béquer uma mistura composta por água e
gelo. Colocou-se o termômetro já graduado e o termômetro a ser graduado dentro
da mistura e quando temperatura esperada de 0° foi atingida no primeiro
termômetro, a altura da coluna de mercúrio do segundo foi marcada em uma fita que
estava grudada a ele. Assim obteve-se a M1 = Tmin = 0°C, ponto de fusão da água.
Um segundo béquer cheio de água foi colocado sobre uma chapa para
aquecer, quando o líquido entrou em fervura, o mesmo procedimento anterior foi
realizado, inseriram-se os dois termômetros e quando as colunas de mercúrio
estabilizaram-se foi feita uma segunda marca, M2 = Tmáx = a temperatura de fervura
da água no local do experimento.
Após as duas medidas foi determinada a altura de M2 em relação a M1, e
depois, a partir de uma regra de três foi estipulada uma primeira aproximação para a
escala termométrica do termômetro novo a ser graduado.
4.2.2. Calibração da escala termométrica
Foi colocado dentro de um béquer cerca de 100 mL de água aquecida a 50°C.
Dentro do béquer foram inseridos os dois termômetros (o já graduado e o a ser
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graduado) e quando as duas colunas de mercúrio foram estabilizadas no seu
máximo marcou-se esse ponto no termômetro a ser graduado e depois foi repetida
essa marcação a cada diminuição de 2 graus no termômetro já graduado. Foram
feitas 9 marcações.
A partir destas medições foi possível determinar a curva que melhor se
aproxima dos pontos obtidos pelo método dos mínimos quadrados adaptado (Anexo
8.2) e assim determinar a real escala termométrica e seu erro associado.
4.2.3. Medidas de temperatura
Os dois termômetros utilizados foram inseridos nas outras etapas dentro de um
béquer com água em temperatura ambiente e após as duas colunas de mercúrio
estabilizarem foi marcada a altura da coluna na fita grudada no termômetro a ser
graduado.
O mesmo procedimento foi feito em um béquer com aproximadamente 20 ml
de álcool etílico (99,5%). Colocou-se o béquer para esquentar em cima da chapa
quente e quando este começar a ferver, utilizou-se os termômetros para determinar
a altura da coluna de mercúrio no termômetro a ser graduado.
A partir da equação determinada pelo método dos mínimos quadrados foi
possível determinar o valor da temperatura ambiente na nova escala termométrica
determinada.
4.2.4. Determinação da constante térmica de resfriamento de um
resistor
O termopar foi conectado ao multímetro, observando se os seus terminais
estão corretamente conectados ao aparelho de medida, e em seguida o termopar e
um termômetro graduado de referência foram colocados num béquer com água e
álcool etílico (99,5%) para ter a referência da temperatura ambiente, sendo anotadas
a temperatura indicada no termômetro e a tensão no multímetro. Em seguida o
procedimento foi repetido colocando os equipamentos em um banho de água
fervente.
Para aquecer o resistor, ele foi posicionado na protoboard (com seus terminais
bem afastados entre si) e conectado à fonte de tensão contínua.
7
De acordo com a especificação da potência máxima sobre o resistor utilizado,
ajuste a fonte de tensão para uma tensão abaixo da máxima que o resistor pode
suportar dado pela equação (1). Este procedimento é adotado a fim de aquecer o
resistor para posterior medida de sua temperatura.
2
.V
P V P RR
= ⇒ = + (1)
Foram realizados três procedimentos de resfriamento anotando a tensão
indicada no multímetro em intervalos regulares. No primeiro resfriamento foram
anotados de 15 em 15 segundos, nos dois seguintes de 10 em 10 segundos, pois se
percebeu que a variação inicial dos valores era rápida e a escala de 15 em 15 não
contemplava muito bem estes dados iniciais.
A conversão dos valores de tensão para valores de temperatura foram
calculados a partir de um ajuste ao polinômio descrito equação (2).
20 1 2 ... n
nT a a X a X a X= + + + + (2)
Sendo coeficientes constantes que dependem do termopar
utilizado e X é o valor da tensão medida dado em milivolts. Estes coeficientes podem
ser ajustados por interpolação dos dados coletados. No experimento, por terem sido
tomados 2 pontos de referência, foi ajustada uma reta, i.e., foram usados apenas a0
e a1, calculados de acordo com o procedimento descrito na equação (3).
2 10 1 1 0 1 1
2 1
( )( ) ; ;
( )
T TT V a a X a a T a X
X X
−= + = = −
− (3)
Onde Ti e Xi são os respectivos valores de temperatura e tensão medidos com
auxílio do termômetro de referência.
O cálculo da constante de tempo térmica, dada pela equação (4) (cuja dedução
se encontra no Anexo 8.4) e seu respectivo erro é dado por (5) (cuja dedução se
encontra no Anexo 8.5).
Onde T0 é a temperatura na qual se desligou a fonte de tensão e iniciou o
processo de resfriamento, Tf é a temperatura final medida no resfriamento, esta
temperatura pode ser interpretada como a temperatura T no instante t em que se faz
a medida como se as medições terminassem naquele instante t, e Ta (Tamb) é a
temperatura ambiente considerada fixa durante todo o resfriamento.
00
1 ( )( ) ( ) lnkt amb
amb amb
amb
T t TT t T T T e k
t T T
− −
= + − ⇒ = −
(4)
8
0
2 22 20( )
0 0
( ) .
( ( ) ) ( ) ( ( ) )( )ambT f TT t t
k
amb amb amb amb
u T T uu k uu
t T t T t T T t T t T T T t
− ∴ = + + +
− − − − (5)
O cálculo do erro associado à temperatura é dado por (6)
( )
( )2
10 1 ( 1)
( )1
... nn
n i
T t X i i X
i
a a X a Xu u a X u
X
−
=
∂ + + + ∴ = = ∂
∑ (6)
O erro uX de leitura do multímetro é dado por (7)
0,0005( ) 2X V lido
u u V D∴ = = + (7)
Onde D é a casa decimal do último digito exibido no multímetro.
Outra forma de se obter o valor da constante k é por meio do ajuste de uma
função exponencial aos dados coletados. Todavia o software escolhido realiza ajuste
de funções exponenciais do tipo bxy ae= , portanto é necessário retrabalhar a partir
da equação (4) para se obter o correto ajuste.
0 0( ) ( ) ( ) ( )kt kt kt
amb amb amb ambT t T T T e T t T T T e T Ce
− − −= + − ⇒ − = − ⇒ ∆ = (8)
Para todas as medições, foram anotadas as tensões até 0,1 mV nos
respectivos intervalos de tempo, depois, percebendo-se o comportamento do
experimento, optou-se por usar os dados até o mesmo intervalo de tempo, sendo
escolhido o total de 6 minutos (360 segundos) de resfriamento.
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Figura 1 – Layout planilha Excel® para coleta de dados e cálculo da constante de resfriamento de
Newton (Há uma tabela para cada resfriamento).
5. RESULTADOS E DISCUSSÃO
5.1. Construção de escala termométrica
A Tabela 2 apresenta valores relacionados de temperatura e alturas medidos
com um termômetro e uma régua, respectivamente. Estes valores foram
correlacionados conhecendo-se a altura em 0°C e a altura no ponto 94°C e os
demais valores foram obtidos a partir de uma proporção linear entre estas
temperaturas.
Tabela 2 – Valores iniciais de calibração do termômetro
Temperatura (°C) 0 11,75 23,5 35,25 47 58,75 70,5 82,25 94
Altura (mm) 0 15,5 31 46,5 62 77,5 93 108,5 124
10
Figura 2 – Gráfico de relação entre a altura e a possível temperatura a ela associada.
Na Figura 2 se nota uma possível relação inicial entre a temperatura do
termômetro e a altura da coluna de mercúrio. Esta relação foi obtida admitindo-se
uma relação linear entre temperatura e altura da coluna de Hg dada pela equação
geral y a bx= + e os parâmetros a e b foram determinados com os pontos de altura
em 0°C e 94°C e então se obteve a equação y=0,758x que é uma primeira
aproximação para essa calibração.
5.2. Calibração da escala termométrica
A Tabela 3 mostra os valores de temperatura e altura obtidos a partir dos dois
termômetros, sendo a temperatura Tk o valor obtido pela equação de reta usada
para calibrar o novo termômetro. A incerteza de todas as alturas é de 0,5mm e da
temperatura real é de 0,5°C. A incerteza associada à temperatura k é dada por (9):
2
20,758 0,758 0,758.0,5 0,379 0,4k k
kk T x T
T TT y x u u u
x x
∂ ∂ = = ⇒ = ∴ = ⇒ = = ≅
∂ ∂ (9)
Tabela 3 – Valores de temperatura obtidos a partir da equação de reta da calibração inicial do
termômetro.
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Altura da coluna de mercúrio (mm) 63 61 57 55 53 50 47 44 41
Temperatura "real" (°C) 47 45 43 41 39 37 35 33 31
Temperatura k (°C) 47,8 46,2 43,2 41,7 40,2 37,9 35,6 33,4 31,1
11
A partir do método de mínimos quadrados foi possível obter os fatores de
correção a partir de (10) para cada temperatura k obtida. Na Tabela 4 esses valores
podem ser observados e também o erro associado a cada uma delas.
0( ) 0,0842 0,0358 ; b T x x T T= − = − (10)
Tabela 4 – valores de temperatura corrigidos.
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Valor de temperatura corrigido (°C) 46,77 45,32 42,40 40,94 39,49 37,30 35,11 32,93 30,74
fator de correção aplicado b(T) -0,99 -0,93 -0,81 -0,75 -0,69 -0,61 -0,52 -0,43 -0,34
u²[b(T)] 0,06 0,06 0,05 0,05 0,05 0,04 0,04 0,03 0,03
É possível observar na Tabela 4 que, à medida que o valor da temperatura
corrigido diminui a incerteza relacionada ao valor de b(T), fator de correção da
temperatura, também diminui e isto era esperado, pois o cálculo dessa incerteza
depende da diferença entre a temperatura medida e a temperatura ambiente e esta
diferença diminui com a diminuição da temperatura medida se aproximando da
ambiente.
5.3. Medidas de temperatura
A Tabela 5 mostra os valores das variáveis necessários para o cálculo da
Temperatura k, temperatura medida com o termômetro calibrado. Estes cálculos
foram utilizados para estimar a temperatura ambiente e a temperatura de ebulição
do álcool etílico 99,5% PA.
Tabela 5 – Temperaturas obtidas para a temperatura ambiente e de fusão do álcool etílico
T ambiente T álcool (99,5%)
Altura 25,00 102,00
Temperatura "real" 19,50 77,30
Temperatura k 18,95 77,33
bk (Tr-Tk) 0,55 -0,03
θk (Tk-Tamb) -1,05 57,33
temperatura corrigida 19,08 77,41
fator de correção 0,12 0,09
Erro 0,01 0,17
12
É possível observar na Tabela 5 que o erro na medida da temperatura de
ebulição do álcool etílico 99,5% PA é maior que no caso da medida da temperatura
ambiente e este valor de erro maior era esperado devido à incerteza relacionada a
b(T), i.e., quanto maior a temperatura medida, maior será o erro associado a esta
medida.
Para comparar os valores de temperaturas entre o termômetro padrão e o
termômetro calibrado foi calculado o erro relativo e estes valores estão dispostos na
Tabela 8.
Tabela 6 – Erro relativo entre a medida de referência e a medida do termômetro calibrado.
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 T. ambiente T. álcool
Er (%) 0,48 0,70 1,39 0,14 1,25 0,81 0,32 0,22 0,84 2,17 0,14
Observando-se os resultados da Tabela 6, pode-se perceber que os erros
relativos entre as medidas são pequenos e estes ocorreram devido a erros
relacionados às medidas de altura da coluna de mercúrio, pois além da incerteza do
instrumento, houve incerteza correspondente ao operador do instrumento, à posição
não vertical do termômetro no momento da medição e dificuldade em marcar a
posição da coluna de mercúrio no instrumento na fita adesiva que estava colada no
mesmo.
5.4. Determinação da constante térmica de resfriamento de
um resistor
A Tabela 7 mostra os valores das temperaturas de referência medida com o
termômetro e a respectiva tensão dada pelo termopar. O erro da medida da
temperatura ambiente, que também será usado nos demais cálculos para cada
resfriamento, é metade da escala graduada do termômetro de referência.
Tabela 7 – Referências do Termopar
T ref V ref
Ambiente 22,00 °C -0,20 mV
Água em Ebulição 93,00 °C 2,80 mV
uTamb 0,50 °C
13
Com estes dados e uso da equação (3) foram calculados os coeficientes da
reta sendo estes valores usados para calcular todas as colunas “Temperatura (°C)”
das tabelas dos resfriamentos.
0 126,73; 23,67a a= = (11)
A fonte de tensão foi ajustada em 21V em todos os procedimentos.
A Tabela 8 apresenta os valores das tensões dadas pelo termopar após o
tempo de desligamento da fonte de tensão que aquecia o resistor, tal como a
temperatura calculada a cada instante e o coeficiente de resfriamento considerando
o caso do experimento para naquele mesmo instante e os respectivos erros.
Tabela 8 – 1º Resfriamento
Tempo (s) Tempo (min:s)
Tensão (mV)
uV Temperatura
(°C) ± uT (°C) k (1/s) ± uk (1/s)
0 00:00 7,6 0,2 206,600 0,005 --- ---
15 00:15 6,4 0,2 178,200 0,005 0,01114 0,00003
30 00:30 5,5 0,2 156,900 0,005 0,01046 0,00003
45 00:45 4,7 0,2 137,967 0,005 0,01033 0,00004
60 01:00 4,0 0,2 121,400 0,005 0,01032 0,00004
75 01:15 3,4 0,2 107,200 0,005 0,01031 0,00004
90 01:30 2,9 0,2 95,367 0,005 0,01025 0,00005
105 01:45 2,5 0,2 85,900 0,005 0,01010 0,00005
120 02:00 2,2 0,2 78,800 0,005 0,00982 0,00005
135 02:15 1,9 0,2 71,700 0,005 0,00972 0,00005
150 02:30 1,6 0,2 64,600 0,005 0,00978 0,00006
165 02:45 1,4 0,2 59,867 0,005 0,00960 0,00006
180 03:00 1,2 0,2 55,133 0,005 0,00954 0,00007
195 03:15 1,0 0,2 50,400 0,005 0,00960 0,00008
210 03:30 0,8 0,2 45,667 0,005 0,00978 0,00009
225 03:45 0,7 0,2 43,300 0,005 0,00960 0,00009
240 04:00 0,6 0,2 40,933 0,005 0,00949 0,00010
255 04:15 0,6 0,2 40,933 0,005 0,00893 0,00009
270 04:30 0,5 0,2 38,567 0,005 0,00893 0,00010
285 04:45 0,4 0,2 36,200 0,005 0,00900 0,00011
300 05:00 0,4 0,2 36,200 0,005 0,00855 0,00011
315 05:15 0,3 0,2 33,833 0,005 0,00872 0,00013
330 05:30 0,3 0,2 33,833 0,005 0,00833 0,00012
345 05:45 0,3 0,2 33,833 0,005 0,00796 0,00011
360 06:00 0,3 0,2 33,833 0,005 0,00763 0,00011
De acordo com Tabela 8, o valor da constante de resfriamento k = 0,00763 ±
0,00011 s-1, pois este é o valor da última linha da Tabela 8.
14
A Figura 3 exibe as temperaturas em função do tempo e a função exponencial
ajustada, nota-se que o ajuste não ficou satisfatório e a constante obtida a partir do
gráfico é 0,00509 s-1, que é bem distinta do calor calculado pela Tabela 8. Dessa
forma construiu-se o gráfico da Figura 4 utilizando a manipulação descrita pela
equação (8), ou seja, os valores ∆T do gráfico são os valores das linhas da Tabela 8
subtraídos da temperatura ambiente (Tabela 7). A partir do ajuste da função
exponencial deste gráfico, obteve-se o valor de k =0,00809 s-1, nota-se que neste
gráfico a função possui coeficiente de ajuste (R²) de 98,08%, maior que 94,14% do
gráfico da Figura 3.
Figura 3 – Gráfico com as temperaturas medidas com o termopar em função do tempo.
Figura 4 – Gráfico com as temperaturas medidas com o termopar em função do tempo usando a
equação (8).
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Os dados do 2º resfriamento encontram-se na Tabela 9. Neste resfriamento o
valor de k = 0,00832 ± 0,00014 s-1.
Tabela 9 – 2º Resfriamento
Tempo (s) Tempo (min:s)
Tensão (mV)
uV Temperatura
(°C) ± uT (°C) k (1/s) ± uk (1/s)
0 00:00 7,8 0,2 211,333 0,005 --- ---
10 00:10 6,8 0,2 187,667 0,005 0,01335 0,00004
20 00:20 6,1 0,2 71,100 0,005 0,01194 0,00004
30 00:30 5,5 0,2 156,900 0,005 0,01130 0,00004
40 00:40 5,1 0,2 147,433 0,005 0,01029 0,00003
50 00:50 4,4 0,2 130,867 0,005 0,01107 0,00004
60 01:00 4,0 0,2 121,400 0,005 0,01074 0,00004
70 01:10 3,6 0,2 111,933 0,005 0,01063 0,00004
80 01:20 3,3 0,2 104,833 0,005 0,01033 0,00004
90 01:30 2,9 0,2 95,367 0,005 0,01053 0,00005
100 01:40 2,5 0,2 85,900 0,005 0,01086 0,00005
110 01:50 2,2 0,2 78,800 0,005 0,01095 0,00006
120 02:00 2,1 0,2 76,433 0,005 0,01039 0,00005
130 02:10 1,9 0,2 71,700 0,005 0,01029 0,00006
140 02:20 1,8 0,2 69,333 0,005 0,00990 0,00006
150 02:30 1,6 0,2 64,600 0,005 0,00994 0,00006
160 02:40 1,5 0,2 62,233 0,005 0,00968 0,00006
170 02:50 1,3 0,2 57,500 0,005 0,00985 0,00007
180 03:00 1,2 0,2 55,133 0,005 0,00968 0,00007
190 03:10 1,1 0,2 52,767 0,005 0,00956 0,00007
200 03:20 1,0 0,2 50,400 0,005 0,00949 0,00007
210 03:30 0,8 0,2 45,667 0,005 0,00990 0,00009
220 03:40 0,8 0,2 45,667 0,005 0,00945 0,00008
230 03:50 0,7 0,2 43,300 0,005 0,00950 0,00009
240 04:00 0,7 0,2 43,300 0,005 0,00910 0,00009
250 04:10 0,6 0,2 40,933 0,005 0,00921 0,00010
260 04:20 0,5 0,2 38,567 0,005 0,00937 0,00011
270 04:30 0,5 0,2 38,567 0,005 0,00902 0,00010
280 04:40 0,4 0,2 36,200 0,005 0,00925 0,00012
290 04:50 0,4 0,2 36,200 0,005 0,00893 0,00011
300 05:00 0,4 0,2 36,200 0,005 0,00863 0,00011
310 05:10 0,3 0,2 33,833 0,005 0,00894 0,00013
320 05:20 0,3 0,2 33,833 0,005 0,00866 0,00012
330 05:30 0,3 0,2 33,833 0,005 0,00840 0,00012
340 05:40 0,3 0,2 33,833 0,005 0,00815 0,00012
350 05:50 0,2 0,2 31,467 0,005 0,00856 0,00014
360 06:00 0,2 0,2 31,467 0,005 0,00832 0,00014
16
Tal como no 1º resfriamento foram construídos os gráficos com os dados do
resfriamento e com a subtração da temperatura ambiente. Novamente o valor de k
de 0,00516 (Figura 5) sem a correção da temperatura ambiente está bem distante
do valor de k = 0,00830 da Figura 6 com a correção para o correto ajuste por parte
do software e coeficiente de ajuste de 98,91%.
Figura 5 – Gráfico com as temperaturas medidas com o termopar em função do tempo.
Figura 6 – Gráfico com as temperaturas medidas com o termopar em função do tempo usando a
equação (8).
A Tabela 10 apresenta os dados coletados durante o 3º resfriamento. Neste
resfriamento foi obtido k= 0,00901 ± 0,00019 s-1.
17
Tabela 10 – 3º Resfriamento
Tempo (s)
Tempo (min:s)
Tensão (mV)
uV Temperatura
(°C) ± uT (°C) k (1/s) ± uk (1/s)
0 00:00 7,5 0,2 204,233 0,005 --- ---
10 00:10 6,6 0,2 182,933 0,005 0,01243 0,00004
20 00:20 6,0 0,2 168,733 0,005 0,01083 0,00003
30 00:30 5,4 0,2 154,533 0,005 0,01062 0,00003
40 00:40 4,8 0,2 140,333 0,005 0,01079 0,00004
50 00:50 4,3 0,2 128,500 0,005 0,01074 0,00004
60 01:00 3,9 0,2 119,033 0,005 0,01050 0,00004
70 01:10 3,5 0,2 109,567 0,005 0,01047 0,00004
80 01:20 3,1 0,2 100,100 0,005 0,01059 0,00005
90 01:30 2,8 0,2 93,000 0,005 0,01047 0,00005
100 01:40 2,6 0,2 88,267 0,005 0,01012 0,00005
110 01:50 2,3 0,2 81,167 0,005 0,01023 0,00005
120 02:00 2,1 0,2 76,433 0,005 0,01007 0,00005
130 02:10 1,8 0,2 69,333 0,005 0,01037 0,00006
140 02:20 1,7 0,2 66,967 0,005 0,01000 0,00006
150 02:30 1,5 0,2 62,233 0,005 0,01007 0,00006
160 02:40 1,3 0,2 57,500 0,005 0,01022 0,00007
170 02:50 1,2 0,2 55,133 0,005 0,01003 0,00007
180 03:00 1,1 0,2 52,767 0,005 0,00988 0,00008
190 03:10 1,0 0,2 50,400 0,005 0,00978 0,00008
200 03:20 0,9 0,2 48,033 0,005 0,00973 0,00008
210 03:30 0,8 0,2 45,667 0,005 0,00972 0,00009
220 03:40 0,7 0,2 43,300 0,005 0,00976 0,00009
230 03:50 0,6 0,2 40,933 0,005 0,00985 0,00010
240 04:00 0,6 0,2 40,933 0,005 0,00943 0,00010
250 04:10 0,5 0,2 38,567 0,005 0,00959 0,00011
260 04:20 0,4 0,2 36,200 0,005 0,00982 0,00012
270 04:30 0,4 0,2 36,200 0,005 0,00945 0,00012
280 04:40 0,4 0,2 36,200 0,005 0,00911 0,00012
290 04:50 0,3 0,2 33,833 0,005 0,00943 0,00014
300 05:00 0,3 0,2 33,833 0,005 0,00911 0,00013
310 05:10 0,2 0,2 31,467 0,005 0,00954 0,00016
320 05:20 0,2 0,2 31,467 0,005 0,00924 0,00016
330 05:30 0,2 0,2 31,467 0,005 0,00896 0,00015
340 05:40 0,1 0,2 29,100 0,005 0,00954 0,00020
350 05:50 0,1 0,2 29,100 0,005 0,00927 0,00019
360 06:00 0,1 0,2 29,100 0,005 0,00901 0,00019
18
Para este resfriamento o valor sem correção (Figura 7) de k = 0,00536, distante
do valor obtido por meio da Tabela 10, com a correção da temperatura (Figura 8) o
valor de k = 0,00907 com coeficiente de ajuste de 99,64%
Figura 7 – Gráfico com as temperaturas medidas com o termopar em função do tempo.
Figura 8 – Gráfico com as temperaturas medidas com o termopar em função do tempo usando a
equação (8).
19
A Tabela 11 é um resumo das constantes de resfriamento obtidas em cada
procedimento.
Tabela 11 – Resumo dos três resfriamentos.
1º Resfriamento 2º Resfriamento 3º Resfriamento
k (tabela) (s-1) 0,00763 ± 0,00011 0,00832 ± 0,00014 0,00901 ± 0,00019
k (gráfico) (s-1) 0,00809 0,00830 0,00907
A média das constantes calculadas com base nas tabelas é 0,00832 s-1 e a
média com base nos gráficos é 0,00849 s-1, sendo então a média dos dados de
0,00840 s-1.
A pequena diferença nos valores de k obtidos nos três resfriamentos mostrados
na Tabela 11 deve-se ao tempo de atraso do operador em olhar a contagem do
tempo mostrada no cronômetro e o valor de tensão mostrado no visor do multímetro
e este atraso ocorreu principalmente nos valores de tensão iniciais do resfriamento,
pois estes decrescem mais rapidamente no tempo. Buscando minimizar esta fonte
de incerteza, foi incluído mais um operador neste procedimento para minimizar o
tempo de atraso na medida.
O procedimento experimental para determinação de uma escala termométrica
para um termômetro apresenta algumas incertezas relevantes nas medidas. Por
exemplo, na medida da altura da coluna de mercúrio, há o erro do operador, pois
este deve posicionar a régua em uma posição paralelamente vertical ao termômetro
para que a medida seja realizada com maior precisão, o que não ocorre em todos os
casos. Também relacionado à medida da altura da coluna de mercúrio, a pessoa
que está realizando a experiência deve marcar a posição, em uma fita adesiva presa
ao termômetro, da altura da coluna de mercúrio em uma determinada posição e
essa medida é difícil de ser realizada, pois o operador tem que virar o termômetro
para uma posição, olhar a altura, e virar o termômetro para outra posição, que não
dá para verificar a correspondência da altura, e assim realizar a marcação gerando
assim uma incerteza a mais na medida. Outra medida apresentada neste
experimento que apresenta fonte de incerteza que influência de forma considerável
na medida é o tempo de atraso na leitura do tempo no cronômetro e a leitura da
tensão correspondente no multímetro, sendo esse atraso mais significativo no inicio
das medidas, pois a variação da tensão era maior nestes pontos iniciais.
20
6. CONCLUSÃO
Este experimento mostrou que a temperatura de um corpo pode ser
determinada de diferentes formas como, por exemplo, através de um termômetro de
mercúrio ou através de um termopar.
Estes diferentes métodos apresentam suas incertezas associadas
características e pela análise dos dados e resultados, percebeu-se que a maior
incerteza se concentra nas medidas realizadas com um termômetro de mercúrio
calibrado com o método comparativo entre altura e temperatura, pois há mais fontes
de incertezas que no caso de um termopar, que mede a tensão em função da
temperatura, pois os dados são coletados com um multímetro, que possui maior
precisão que uma régua para medição de altura. Porém este método mostrou-se
eficiente, pois a incerteza no valor de correção da temperatura, do termômetro de
calibração, foi, em média, de 0,05°C.
Por outro lado, as medidas de temperatura de diversos métodos podem
determinar valores de variáveis importantes como o coeficiente de resfriamento de
Newton calculado, neste experimento, realizado com um termopar, valor encontrado
0,00840 s-1 com uma incerteza de ±0,00015 s-1 mostrando a eficiência deste
método.
21
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] BALBINOT, Alexandre; BRUSAMARELLO, Valner J. Instrumentação e
fundamentos de medidas. Rio de janeiro: LTC, 2006. V.1.
[2] TERMORRESISTÊNCIAS. Disponível em
<http://www.automacaoindustrial.com/instrumentacao/temperatura/termorresistencia.
php>. Acesso em 04 de ago. 2011
[3] FREIRE, Amaury. Instrumentação Industrial: Temperatura Disponível em
<http://www.faatesp.edu.br/publicacoes/Intrumenta%E7%E3o%20Industrial_Temper
atura_pg1_40.pdf>. Acesso em 04 de ago. 2011
[4] TERMÔMETROS de Radiação. Disponível em:
<http://www.fem.unicamp.br/~instmed/Temperatura_2.pdf>. Acesso em 03 de ago.
de 2011
[5] SODRÉ, Ulysses. Matemática Essencial: Equações Diferenciais Ordinárias
Disponível em <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/fourier/
edo.pdf>. Acesso em 05 de ago. 2011
22
8. APÊNDICES
8.1. Medidas de dispersão
As medidas de dispersão como média, variância, incerteza da média e desvio
padrão foram calculadas de acordo com as equações (12), (13), (14) e (15)
respectivamente.
1
1 n
i
i
x xn =
= ∑ (12)
2 2
1
1( )
( 1)
n
i
i
s x xn =
= −−∑ (13)
2
msu
n= (14)
2u s= + (15)
8.2. Mínimos quadrados adaptado a este tipo de calibração
A calibração será feita a partir da comparação entre valores lidos de
temperatura Tk e do termômetro de referência Tc o desvio é dado por
k c kb T T= − (16)
De onde se obtêm a curva linear de calibração
1 2 0( ) ; b T y y x x T T= + = − (17)
Onde: y1 é o coeficiente linear da curva, y2 é o coeficiente angular da curva , T
é um valor qualquer de temperatura na qual se deseja aplicar a correção ao
termômetro (é a variável independente); b(T) é a correção que deve ser aplicada ao
termômetro no valor de temperatura T (é a variável dependente); T0 é uma
temperatura exata qualquer de referência convenientemente escolhida, que servirá
de localização da curva (deve ser escolhida de preferência abaixo do primeiro valor
de temperatura medido).
Definindo 0k kT Tθ = − e ( )
22k k
N θ θ∆ = −∑ ∑ , sendo N o número de amostras,
tem-se as equações para y1 e y2:
2
1k k k k k
b by
θ θ θ−=
∆
∑ ∑ ∑ ∑ (18)
2k k k k
N b by
θ θ−=
∆
∑ ∑ ∑ (19)
23
Os respectivos desvios-padrão dos coeficientes são dados por:
1
22 2y k
σσ θ=
∆∑ (20)
2
22y N
σσ =
∆ (21)
A medida de incerteza total do ajuste dada por (22)
2
2 [ ( )]
2k k
b b T
Nσ
−=
−
∑ (22)
Após encontrar o valor previsto para a correção do termômetro a uma
determinada temperatura, calcula-se a incerteza dessa correção que resultará em
um intervalo. Esta é calculada a partir da seguinte expressão:
1 2 1 2
2 2 2 21 2[ ( )] 2 ( , )c y y y yu b T u x u xu u r y y= + + (23)
e “r” é o coeficiente de correlação dado por (24)
1 21 2 1 2
( ). ( ).( , ) ( . )
y yr y y y y
n= −
∑ ∑∑ (24)
8.3. Aplicação em engenharia
Termômetro de Resistência (RTD)
Um dos métodos elementares para medição de temperatura envolve mudança
de resistência elétrica de certos materiais em função da temperatura. Estes tipos de
termômetros são geralmente chamados de bulbo de resistência e são largamente
utilizados nas indústrias por ter alta estabilidade e repetitividade, baixa
contaminação, menor influência de ruídos e uma boa exatidão. Devido a essas
qualidades, tornou-o um instrumento padrão internacional (ITS-90) para medição de
temperatura na faixa de -259°C a 962°C.
O princípio de funcionamento deste sensor consiste no princípio de variação da
resistência ôhmica em função da temperatura. Seu elemento sensor consiste de
uma resistência na forma de fio de platina de alta pureza, de níquel ou de cobre
encapsulado num bulbo de cerâmica ou vidro.
24
A equação matemática que modela a variação da resistência em função da
temperatura chama-se de equação Callendar-Van Dusen dada por (25) para faixa de
temperatura de -200°C a 0°C e (26) para a fixa entre 0 a 850°C.
2 30.1 .( 100)Rt R At Bt Ct t = + + + − (25)
20 1Rt R At Bt = + + (26)
Onde Rt é a resistência na temperatura t, R0 a resistência a 0°C, t a
temperatura em °C e A,B e C são coeficientes determinados pela calibração e seus
valores são 3,90802.10³ (°C-1), -5,802.10-1 (°C-2) e -4,27350.10-12 (°C-4),
respectivamente. O número que expressa a variação da resistência em função da
temperatura é denominado alfa e se relaciona de acordo com (27) e a unidade no SI
é °C-1.
100 0
0100.
R R
Rα
−= (27)
Onde R100 é a resistência a 100°C e R0 é a resistência a 0°C [2].
Termômetro à dilatação de sólido (termômetro bimetálico)
O termômetro bimetálico baseia-se no fenômeno de dilatação linear dos metais
com a temperatura, dado por (28) e a variação de temperatura dada por (29).
0 (1 )t
L L Tα= − ∆ (28)
0T T T∆ = − (29)
Onde T é a temperatura do metal em °C, T0 a temperatura de referência do
metal em °C, L0 o comprimento do metal à temperatura de referência e Lt o
comprimento do metal à temperatura T em °C e α o coeficiente de dilatação linear
dado em °C-1.
Baseado no fato de que dois metais diferentes modificam as suas dimensões
de modo desigual ao variar a temperatura, o termômetro bimetálico consiste em
duas lâminas de metal justapostas, formando uma só peça e geralmente na forma
helicoidal. Uma extremidade da hélice é fixa e a outra é ligada a um ponteiro que
pode girar livremente sobre uma escala circular graduada.
25
Para a construção de um termômetro bimetálico, normalmente usa-se o Invar
(64%Fe e 36%Ni) como metal de baixo coeficiente de dilatação e o latão como metal
de alto coeficiente de dilatação, porém, para temperaturas mais elevadas, utiliza-se
também o níquel como metal de alto coeficiente de dilatação térmica.
Estes termômetros têm aplicação similar às dos termômetros de vidro, porém,
por serem resistentes, admitem condições de estresse mais rígidas. Então estes
tipos de dispositivos de temperatura medem temperaturas na faixa de -50°C a 500°C
com precisão de ±1%, no qual respostas rápidas não são exigidas [3].
Pirômetro
O pirômetro mede a temperatura de corpos a partir da radiação emitida por
eles. Para cada intensidade espectral, dependendo da faixa do espectro
eletromagnético (Figura 9), existe uma temperatura associada e cada aparelho que
se utiliza da radiação como método de medida utiliza uma faixa, no caso do
pirômetro, a faixa do espectro utilizado é o vermelho, 0,65 µm (Figura 10) [4].
Figura 9 – Temperatura associada a cada comprimento de onda dependendo da intensidade
espectral. Fonte http://www.ir-impac.com/englisch/Pyrometerhandbook.pdf
26
Figura 10 – Esquema de funcionamento do pirômetro.
A medição de temperatura com esse método é utilizada para corpos em
movimento ou longe do alcance de contato, o que não pode ser realizado na
utilização de termopares ou termômetros, por exemplo, pois além de não necessitar
do contato também mede a intensidade do espectro de forma instantânea ao invés
de necessitar do alcance de “equilíbrio” como em outros aparelhos. A grande
desvantagem deste método é que a emissividade, ε, do objeto a ser medido deve
ser conhecida (Tabela 12) e essa é alterada dependendo da rugosidade e
irregularidade da superfície, tais desvios são levados em consideração ou antes de
fazer a medição ou depois no momento de se calcular o erro.
Tabela 12 – Emissividade de alguns materiais.
Material ε óxido de magnésio 0,9
preto 0,82
ouro 0,82
ferro 0,14-0,38
quartzo 0,93
porcelana 0,92
Para efeito de cálculos qualquer procedimento que se utilize da radiação
eletromagnética para determinar a temperatura de corpos se utiliza das mesmas
equações, as mudanças são referentes ao comprimento de onda utilizado. Os erros
relacionados às medidas são muito pequenos devido a se utilizar como referencia
inicial o corpo-negro (ε = 1) em que o erro não existe.
A temperatura aparente medida inicialmente pelo procedimento é dada pela
Equação (30) .
27
1
4a
a
ET
σ
=
(30)
Para se determinar o erro associado a esse valor utiliza-se a Equação (31)
1
41 1a aT T T
ErroT T
ε−
= = − = − (31)
8.4. Dedução matemática da constante de resfriamento k
A demonstração a seguir é baseada nas notas de aula do profº Ulysses Sodré
[5].
Considerando a equação diferencial para a variação da temperatura em função
do tempo quando este está cedendo calor ao meio ambiente e, considerando que o
meio ambiente como um reservatório infinito, i.e., não sofre variações de
temperatura de acordo com a variação de temperatura de corpos em seu interior.
( )amb
dTk T T
dt= − − (32)
Por notação, prefere-se utilizar a letra “k” na posição descrita por (32), dessa
forma “k” terá unidade de “s-1” (Hz), outra forma de se definir tal constante para que
tenha unidade de tempo é considerando o inverso de k como 1kτ −= .
A EDO em (32) é do tipo separável, assim:
0ln( )( ) amb
amb
dTkdt T T kt k
T T= − ⇒ − = − +
−∫ ∫ (33)
Aplicando a função exponencial e reunindo as constante em uma única:
( ) ( )kt kt
amb ambT t T Ce T t T Ce
− −− = ⇒ = + (34)
Sendo a temperatura no instante t=0 conhecida e denotada por T0, obtém a
constante C:
00 0(0)
amb ambT T T Ce C T T= = + ⇒ = − (35)
Logo, tem-se a equação (36):
0( ) ( ) kt
amb ambT t T T T e
−= + − (36)
Da qual foi isolada a constante k na equação (4) da seção 4.2.4
28
8.5. Dedução matemática do erro uk
A equação (37) é a forma geral do erro na medição da constante de
resfriamento k.
0
2 22
( )0( ) ambk T t T T
amb
k k ku u u u
T t T T
∂ ∂ ∂= + +
∂ ∂ ∂ (37)
Calculando as derivadas parciais
0
2
( )ln amb
amb
T t T
T Tk k
t t t
−
−∂ − = =∂
(38)
0
0
0 0
0
0
0
( )1
( )
1( ) ( ( ) )( 1)1
( )
( )1 1
( )
amb amb
amb amb amb amb
amb amb amb
amb amb amb
amb amb amb
T T T t Tk k
T t T t T T T T
T T T T T t Tk
T t T t T T T
T T tk
T t T t T T T
− −∂ − ∂=
∂ − ∂ −
− − − − − −∂ −=
∂ − −
−∂ −=
∂ − −
(39)
( )
( )
0
0 0 0
02
0 0
0 0
( )1
( )
( )1
( )
1
( )
amb amb
amb amb
ambamb
amb amb
amb
T T T t Tk k
T t T t T T T T
T t TT Tk
T t T t T T T
k
T t T T
− −∂ − ∂=
∂ − ∂ −
− − −∂ −= ∂ − −
∂ −=
∂ −
(40)
( )
0
0
0 02
0
( )1
( ) ( ) ( )
1
( ) ( )
1
( ) ( ( ) )
amb amb
amb amb
amb amb
amb amb
amb
T T T t Tk k
T t t T t T T t T T
T T T Tk
T t t T t T T T
k
T t t T t T
− −∂ − ∂=
∂ − ∂ −
− −∂ −= ∂ − −
∂=
∂ −
(41)
Reunindo os termos tem-se a equação utilizada no experimento:
0
2 22 20( )
0 0
( ) .
( ( ) ) ( ) ( ( ) )( )ambT f TT t t
k
amb amb amb amb
u T T uu k uu
t T t T t T T t T t T T T t
− ∴ = + + +
− − − − (42)