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Reg(s)
Reguladores y Redes de Compensación
G(s)
Ø Reguladores sencillos
Ø Seguir la señal de referencia asignada: r(t)
Ø Eliminar las posibles perturbaciones: l(t)
r(t) e(t) x(t)
l(t)
y(t)
n(t)
l(t): perturbación de carga n(t): perturbación en la medida
( )( )∏
∏+
+=
i
ipszs
KsR )(
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Reguladores y Redes de Compensación
Control on-off (todo o nada) Es la forma más sencilla de controlar
Eficiente para señales de evolución lenta
0
M
u(t)
e(t) 0
M
u(t)
e(t) δ -δ
Sin histéresis Con histéresis
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0 5 10 15 20 25 300
5
10
15
20
25
30
35
40
0 5 10 15 20 25 300
5
10
15
20
25
30
35
40
Reguladores y Redes de Compensación
r(t) R(s)
u(t) y(t) G(s)
Sin histéresis (M = 15) Con histéresis: (M = 15; δ = 5)
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Reguladores y Redes de Compensación
Redes de Adelanto y/o Atraso de Fase ü Son dispositivos físicos (eléctricos, mecánicos, …) que actúan como compensadores
ü Dan lugar a funciones de transferencia físicamente realizables
ü Se diseñan según un conjunto de especificaciones:
§ Régimen transitorio: tr, ts, tp, Mp, ωn, ωd, ξ, …
§ Régimen permanente (precisión): ep, ev, ea
ü Una Red de Adelanto es aquella que ante una señal senoidal de entrada da como salida otra señal senoidal de igual frecuencia y fase adelantada. Se usa para el ajuste del régimen transitorio.
ü Una Red de Atraso es aquella que ante una señal senoidal de entrada da como salida otra señal senoidal de igual frecuencia y fase atrasada. Se usa para el ajuste del error en régimen permanente.
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Reguladores y Redes de Compensación
)10(1
1
)( <<+
+= α
αTs
Ts
cKsR
Red de Adelanto de Fase )(11)( Nd
N
d TTsTsTKsR >
+
+=
KTd
TN
1
t
K
E(s)
a
sen(ωt+φ)
t(s)
sen(ωt) φ = a.ω
Red de Adelanto de Fase
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Reguladores y Redes de Compensación
6211
2 ++==
sssG
ssU )(;)(
Red de Adelanto de Fase
R(s) = 100
R(s) = 100 s + 1 s + 1
0’5
R(s) = 100 s + 1 s + 1
0’3
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Reguladores y Redes de Compensación
v1(t)
C
R1 R2 v2(t)
CRRRRs
CRs
KsVsVsG cc
21
211
1
3
1
++
+==)()()(
AMPLIFI-CADOR
(Kc)
v3(t)
Red de Adelanto de Fase
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Reguladores y Redes de Compensación
1
t
K
Ti
E(s)
Red de Atraso de Fase a
sen(ωt-φ)
t(s)
sen(ωt) φ = a.ω
Red de Atraso de Fase )(11
)( NTiTsNTsiTKsR >>
+
+=
)1(1
1
)( >+
+= β
βTs
Ts
KsR c
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Reguladores y Redes de Compensación
6211
2 ++==
sssG
ssU )(;)(
R(s) = 100
R(s ) = 100 s + 1 s + 1
5
R(s ) = 100 s + 1 s + 1
2
Red de Atraso de Fase
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Red de Atraso de Fase
Reguladores y Redes de Compensación
v1(t) C
R1 R2 v2(t)
CRRs
CRs
RRRK
sVsVsG cc
)()()()(
21
2
21
2
1
31
1
++
+
+==
v3(t)
AMPLIFI-CADOR
(Kc)
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Reguladores y Redes de Compensación
Compromiso entre régimen transitorio y permanente
Red de Atraso-Adelanto de Fase
Red de Atraso-Adelanto de Fase
),()( 111
1
1
1
2
2
1
1 ><
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
+
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
+= βα
βα Ts
Ts
Ts
Ts
KsR c
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Red de Atraso-Adelanto de Fase
Reguladores y Redes de Compensación
v1(t) C2
R1 R2 v2(t)
21212121
22211122211
1
31
11
CCRRs
CCRRCRCRCRs
CRs
CRs
KsVsVsG cc
+++
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
==)()()(
v3(t)
AMPLIFI-CADOR
(Kc)
C1
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Diseño de Reguladores (Lugar de las Raíces)
2) Dibujar el L.R. y ver si pasa por los puntos especificados
PD o Red de Adelanto de Fase
)10(1
1
)( <<+
+= α
αTs
Ts
KsG cc
4) Si no pasa
pszsKsG cc +
+=)(
3) Si pasa cc KsG =)(
Gp(s) Gc(s)
1) Situar los polos para cumplir el régimen transitorio: Mp, tp, ts, tr, …
Criterio del módulo
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Diseño de Reguladores (Lugar de las Raíces)
pszsKsG cc +
+=)(
n1 m
4
α1 α2 α3
- p
jc
32141 αααπαβ +++=−ϕc
( ) πααααβ =+++− 43211
1
4321nmmmmKc =
( )πθθ ∑∑ +=−n
p
m
z q11
12
∞ soluciones - z
α4 β1
ϕc
jc
- p - z
* Pd
El cero y el polo con el criterio del argumento La ganancia con el criterio del módulo
4) Diseño de la Red de Adelanto de Fase
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θ
Diseño de Reguladores (Lugar de las Raíces)
Ejemplo: Gc(s) )1(
1+ss
Datos: ξ = 0’7 y ωn = 2 rad/s
* Pd
α1 α2 α3 β1
- p - z
ϕc
ξ = cos(θ) θ ≈ π/4 = 45º
º10685'11414'1
414'1
º13543
4
2
1
==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
−=
==−=
radarctg
rad
πα
πππα
º61º42135'721 ===++= radc ααπϕ
j414'1414'1j4
sen24
cos2Pd +−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=ππ
-1 0
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Diseño de Reguladores (Lugar de las Raíces)
* Pd
r1
r2
ϕc/2 ϕc/2
- p - z
Se obtiene el regulador con a máxima
b) Situar el cero del regulador en el punto de corte de la vertical que pasa por el polo dominante Pd y el eje real. Si existiese un polo real de Gp(s) cerca del punto de corte se sitúa el cero a la izquierda de éste.
c) Situar el cero y el polo del regulador de la siguiente manera:
Métodos para situar el cero y el polo del regulador
a) Situar el cero del regulador coincidente con el 2º polo más significativo (el que está más cerca del eje imaginario) de Gp(s).
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θ
* Pd
Diseño de Reguladores (Lugar de las Raíces)
Ejemplo: Gc(s) )3s)(1s(s
1++
Datos: ξ = 0’4 y ωn = 1’4 rad/s
α1 α2
ξ = cos(θ) θ ≈ 1’16 rad = 66’5º
( ) ( ) j3'156'0j16'1sen4'116'1cos4'1Pd +−=+−=
º2849'056'033'1
º3'7124'156'013'1
º3'11397'156'03'1
3
2
1
==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=
==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=
==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
radarctg
radarctg
radarctg
α
α
πα
º6'32º6'392321c ==+++= αααπϕ
-1 0 -3
α3
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-1 0 -3
* Pd
α2
Diseño de Reguladores (Lugar de las Raíces)
Primer método para situar el cero y el polo del regulador
- p
ϕc º7'18º90º180 2 =−−= αγ
( )3'156'0ptg c
−=+ γϕ
2'21)(
+
+=
ssKsG cc
( ) ( ) 222222 3'156'02'23'156'033'156'0 +−+−+=cK Kc = 8’2
2'212'8)(
+
+=
sssGc
γ
-0’56
1’3j
Situar el cero del regulador coincidente con el 2º polo más significativo (el que está más cerca del eje imaginario) de Gp(s).
p = 2’2
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-1 0 -3
* Pd
Diseño de Reguladores (Lugar de las Raíces)
Segundo método para situar el cero y el polo del regulador
- p
ϕc º57º90º180 ≈−−= cϕβ
( )56'0p3'1tg
−=β
4'1s56'0sK)s(G cc +
+=
1
4321c n
mmmmK = Kc = 6’4
4'1s56'0s4'6)s(Gc +
+=
-0’56
1’3j
Situar el cero del regulador en el punto de corte de la vertical que pasa por el polo dominante Pd y el eje real. Si existiese un polo real de Gp(s) cerca del punto de corte se sitúa el cero a la izquierda de éste.
m3 n1
β
p = 1’4
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º3'113180 =−= βγ
-1 0 -3
* Pd
Diseño de Reguladores (Lugar de las Raíces)
Tercer método para situar el cero y el polo del regulador
º7'6656'03'1
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= arctgβ
-0’56
1’3j
ϕc/2 ϕc/2
- p - z
β φ
º7322
180 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−−= cϕγ
βφ
( )56'03'1
−=z
tg φ z = 0’96
ψ
1'296'0K(s)G cc +
+=
ss
1
4321c n
mmmmK = Kc = 7’9 1'296'09'7(s)Gc +
+=
ss
γ/2
γ
( )56'03'1
−=p
tg ψ p = 2’1 º3'4022
180 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−−= cϕγ
βψ
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Diseño de Reguladores (Lugar de las Raíces)
5) Si se cumple el transitorio pero no el permanente
pszsKsG cc +
+=)(PI o Red de Atraso de Fase:
szsKsG cc
+=)(
Ø Colocar el polo en el origen o muy cerca de él para ajustar el error permitido.
Ø El cero muy cerca del polo para que el transitorio no cambie demasiado
T1
)( 11>β
βT
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Diseño de Reguladores (Lugar de las Raíces)
Primer método para situar el cero y el polo del regulador
1º polo o cero de Gp(s) en el eje real (exceptuando s = 0)
-1/T -1/bT
0’1 d
d
β se relaciona con el aumento de ganancia necesario para ajustar el error en régimen permanente
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Diseño de Reguladores (Lugar de las Raíces)
Segundo método para situar el cero y el polo del regulador
Situar el polo y el cero del compensador cerca del origen de forma que la diferencia entre el ángulo del polo y el del cero, al unirlos con Pd, sea menor que 5º.
* Pd
-1/βT -1/T
α θ 0 < α – θ < 5º
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Diseño de Reguladores (Lugar de las Raíces)
Ejemplo: Gc(s) )3s)(1s(s
1++
Datos: ξ = 0’4 y ev ≤ 0’4 s ξ = cos(θ) θ ≈ 1’05 rad = 60º
-1 0 -3
Pd *
θ
Pd = - 0’37 + 0’64j Gc(s) = K = 1’81
)3)(1(81'1lim
1
0 ++
=
→ ssss
e
s
v ev = 1’65 > 0’4 s
No cumple
Cálculo del error:
Red de Atraso de fase: pszsKsG cc +
+=)(
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Diseño de Reguladores (Lugar de las Raíces)
Cálculo de β:
Primer método:
ev ≤ 0’4 s 4'0
11
)3)(1(81'1lim
1
0
≤
++
++→ TsTs
ssss
s β
β ≥ 4’1 β = 5
El cero se sitúa en z = 0’1d z = 1/T = 0’1 T = 10
p = 1/βT = 0’02 02'01'0ˆ)(
+
+=
ssKsG cc
Gc(s) )3s)(1s(s
1++
1
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Diseño de Reguladores (Lugar de las Raíces)
Cálculo de Kc:
-1 0 -3
P'd
θ
* P’d = -0’34 + 0’58j Kc = 1’71
02'01'071'1)(
+
+=
sssGc
ev = 0’35 < 0’4 s
)3s)(1s(s1
++)02'0(1'0ˆ
+
+
ssKc
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Diseño de Reguladores (Lugar de las Raíces)
Cálculo de β:
Segundo método:
β ≥ 4’1 β = 5 Igual que antes
-1/βT -1/T
α θ
Pd * 0’64j
-0’37
θ α
4ˆˆ180ˆ
180ˆ=−=−⇒
⎪⎭
⎪⎬⎫
−=
−=θααθ
θθ
αα(bj)
(a)
Por ejemplo α – θ = 4º
Tabtgβ
α1
)ˆ(−
=;1
)ˆ(Ta
btg−
=θ
( ) ( )( )
)º4(ˆ)ˆ(1ˆ)ˆ(ˆˆ tg
tgtgtgtgtg =
+
−=−
αθ
αθαθ
( ) ( ) 01)1()ˆˆ(1222 =+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++
−
−−+ TatgbTba β
αθ
ββ z = 1/T = 0’07
p = 1/βT = 0’014
014'007'0ˆ)(
+
+=
ssKsG cc
0’026
14’2 T =
Polo y cero muy alejados
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Diseño de Reguladores (Lugar de las Raíces)
Cálculo de Kc:
-1 0 -3
P'd
θ
* P’d = -0’34 + 0’58j Kc = 1’71
014'007'071'1)(
+
+=
sssGc
ev = 0’35 < 0’4 s
)3s)(1s(s1
++)014'0(07'0ˆ
+
+
ssKc
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Reguladores y Redes de Compensación
Reguladores PID Son los más usados en toda clase de industrias ya que dan prestaciones suficientemente buenas para la mayoría de los sistemas de control
Pueden usarse de forma individual (stand-alone) o en control distribuido
Se usan en lazo cerrado
Eliminan los errores en el estacionario
Se anticipan al futuro con la acción derivativa
dttdekdttekteku
t
dip)()()(
0∫ ++= ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++= sTsT
KsR di
p ..11)(
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Reguladores PID
Acción de control (si aumentamos…)
Tiempo de subida
Sobrepico Error estacionario
Kp Disminuye Aumenta Disminuye
Kp/Ti Disminuye Aumenta Eliminado
Kp*Td Cambia poco
Disminuye Cambia poco
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Reguladores de tipo P
Tipo P
Compensación rápida pero poco precisa
Tipo P con filtrado 1
)(+
=sTK
sRN
p
1K
t
E(s)
1
K
t
E(s)
Reguladores PID
pKsR =)(
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r(t) Reg(s)
u(t) x(t) G(s)
u(t) = Kp.e(t)
y = x + n
x = Kplanta.(u + l)
u = Kp.(r- y)
x = Kp.Kplanta
1 + Kp.Kplanta (r-n) +
Kp
1 + Kp.Kplanta l
Si Kp.Kplanta aumenta
x(t) tiende a r(t)
La influencia de l(t) disminuye
La influencia de n(t) aumenta
Se disminuye el error en estacionario
Regulador de tipo P l(t) n(t)
y(t) e(t)
Reguladores PID
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Reguladores de tipo P
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8Step Response
Time (sec)
Ampli
tude k = 100
k = 10
k = 1
pKsRss
sGs
sU
=++
==
)(62
1)(;1)( 2
Reguladores PID
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Reguladores de tipo I
Tipo I
Error de posición nulo pero compensación lenta
Tipo I filtrado ( )11)(
+=
sTsTsR
Ni
1
Ti t
E(s)
Reguladores PID
sTsKsR
i
1)( ==
1
t
TN E(s)
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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.5
1
1.5Step Response
Time (sec)
Ampli
tude
Kp/Ti = 5
Kp/Ti = 1
Kp/Ti = 10
sTKsRss
sGs
sU
ip=++
==
)(62
1)(;1)( 2
Reguladores de tipo I
Reguladores PID
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Reguladores de tipo PD
Atenúa las sobreoscilaciones (acción anticipativa)
Permite ajustar condiciones de la respuesta transitoria
Puede resultar problemático ante la presencia de ruido con altas frecuencias
Regulador ideal
Reguladores PID
1K
t
E(s)
Tipo PD )1()( sTKsR dp +=
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (sec)
Ampli
tude
sTKKsRss
sGs
sU
dpp +=++
==
)(62
1)(;1)( 2
Kp = 100; KpTd = 5
Kp = 100; KpTd = 10
Kp = 100; KpTd = 15
Reguladores de tipo PD
Reguladores PID
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Reguladores de tipo PI
Tipo PI sT
sK
sTKsR i
pi
p
111)(
+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
1
t
K
Ti
E(s)
Reguladores PID
Si Ti es grande El cero del regulador muy cerca de su polo Casi no se modifica el transitorio
Compensación rápida y precisa
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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (sec)
Ampli
tude
Reguladores de tipo PI
sTK
KsR
sssG
ssU
i
pp +=
++==
)(
621)(;1)( 2
Kp = 1; Kp/Ti = 1
Kp = 1; Kp/Ti = 5
Kp = 1; Kp/Ti = 10
Reguladores PID
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Reguladores de tipo PID
Tipo PID
Compromiso entre régimen transitorio y permanente
Regulador ideal
Reguladores PID
1
t
K
Ti
E(s)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=sT
sTKsRi
d11)(
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Problemas en la implantación de PID
ü Efecto Windup
ü Señales de control bruscas en los saltos de consigna
ü Amplificación del ruido en la parte derivativa
ü …
Reguladores PID
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§ En sistemas con acción de control integral y saturación del actuador.
§ Al saturarse la señal de control, el integrador sigue actuando sin efecto en la respuesta del sistema.
§ Entre que cambia de signo la señal de error y se “desatura” la señal de control pasa un cierto intervalo de tiempo El sistema tarda en responder.
§ Para evitar el windup se puede diseñar un circuito de forma que active un lazo de realimentación en torno al integrador durante el tiempo que dura la saturación.
Efecto Windup
[-0.5,0.5]
1+10/s 1000
s2 + 1000s + 1000
Reguladores PID
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.2
0.3
0.4
0.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2
0
0.2
0.4
señal de error
señal de control
señal del regulador
señal de salida
(señal de control)
Reguladores PID
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Ejemplo de solución anti Windup:
error Kp
Kp/Ti 1/s
1/Tt
actuador
et
Si el actuador está saturado et ≠ 0. Esta señal se realimenta a través del integrador para ser anulada. La constante de seguimiento Tt permite ajustar la velocidad de recuperación de la integral.
Reguladores PID
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.2
0.3
0.4
0.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2
0
0.2
0.4
señal de error
señal de control
señal del regulador
señal de salida
(señal de control)
Tt = 1
Reguladores PID
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ü Útiles para plantas de las que se desconoce su modelo
ü Son métodos experimentales
ü Dan una estimación razonable de los parámetros del PID
ü Se requiere posteriormente una sintonía fina
Sintonía experimental de PID
Ti.s Kp(1+ + Td.s) 1 Planta
KpTd
s2 + s + 1 Td
1 TiTd
s
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Sintonía experimental de PID (1º método de Ziegler-Nichols)
ü Se aplica a la planta un escalón unitario
ü Se buscan respuestas en forma de S.
ü Da reguladores que provocan que el sistema tengan de media Mp < 25%
L
K
T
c(t)
t
Planta
1
c(t) u(t)
Línea tangente en el punto de inflexión
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T L
K
c(t)
t
Línea tangente en el punto de inflexión
Tipo de controlador Kp Ti Td
P T/L ∞ 0
PI 0’9T/L L/0’3 0
PID 1’2T/L 2L 0’5L
c(t)
t
K
T L
Ts + 1 G(s) =
Ke-Ls 0’632 K
PID = 0’6T s
1 L
s + 2
Sintonía experimental de PID (1º método de Ziegler-Nichols)
K
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Sintonía experimental de PID (2º método de Ziegler-Nichols)
Kp Planta
ü Se aplica un regulador proporcional Kp y se cierra el lazo
ü Se aumenta Kp hasta un Kcr que inestabilice el sistema
Aparición de polos imaginarios puros
ü Se lee el periodo de oscilación de la señal de salida
0 < Kp < Kcr
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Sintonía experimental de PID (2º método de Ziegler-Nichols)
Tipo de controlador Kp Ti Td
P 0’5Kcr ∞ 0
PI 0’45Kcr Pcr/1’2 0
PID 0’6Kcr 0’5Pcr 0’125Pcr
PID = 0’075KcrPcr s
4 Pcr
s + 2
Pcr
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Sintonía analítica de PID (asignación de polos)
Se basa en ajustar los polos del sistema para que su respuesta cumpla ciertas condiciones.
Ti.s Kp(1+ + Td.s) 1 Planta
tp, tr,Mp, ξ, ωn, …
N(s)
D(s) M(s) =
D(s) = (s2 + 2ξωns + ωn2)(s2 + 2ξωns + ωn
2)…
D(s) = f(Kp, Ti, Td)
Kp, Ti, Td operando
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Sintonía analítica de PID (asignación de polos)
Ejemplo: Sistemas de primer orden suficiente con un PI (ajustar a un 2º orden)
Ti.s Kp(1+ + Td.s) 1 tp, tr,Mp, ξ, ωn, …
N(s)
D(s) M(s) =
D(s) = (s2 + 2ξωns + ωn2)
D(s) = s2 + s + operando
Ts + 1 K
T 1 + K.Kp
T.Ti
K.Kp
Kp = K 2ξωnT-1
T.ωn2
2ξωnT-1 Ti =
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Sintonía analítica de PID (asignación de polos)
Ejemplo: Sistemas de segundo orden se necesita un PID
Ti.s Kp(1+ + Td.s) 1 tp, tr,Mp, ξ, ωn, …
D(s) = (s2 + 2ξωns + ωn2)(s + α.ωn)
D(s) = s3 + s2 + s +
(1+ T1.s).(1 + T2.s) K
T1.T2
T1 + T2 + K.Kp.Td
T1.T2
1 + K.Kp
Kp = K
T1T2ωn2(1 + 2αξ) - 1
T1.T2.Ti
K.Kp
Ti = T1T2αωn
3
T1T2ωn2(1 + 2αξ) - 1 Td =
T1T2ωn2(1 + 2αξ) - 1
T1T2ωn(α + 2ξ) – T1 – T2
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θreal
Regulador Planta
Sensor
COMPUTADORA
θreal θreferencia
T sensor
Discretización (introducción)
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w2 w4 w3
tiempo
w(t)
w(k.T) = wk = {
w0
w1
w0 , w1 , w2 , w3 , w4 , w5, w6, w7, w8, …,} T T T
Ecuación en diferencias
rk = 3 wk – 2 wk-1 + 7 wk-2 – rk-1 + 5 rk-2
Discretización (muestreo)
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Es la ecuación que controla la planta R(s)
R(s) Transformada Z
R(z)
Ecuación en diferencias
2z2 + 5 z + 4 z3 + 3 z2 - 2 z + 8
R(z) = = = Y(z) U(z)
yk + 3 yk-1 – 2 yk-2 + 8 yk-3 = 2 uk-1 + 5 uk-2 + 4 uk-3
Discretización (ecuación en diferencias)
2z-1 + 5 z-2 + 4z-3
1 + 3 z-1 - 2 z-2 + 8z-3 =
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Existen varios métodos
Transformada Z (G(s) G(z))
Discretización (transformada Z)
Ø Aproximación del operador derivada:
dx(t) dt
xk – xk-1
T = s =
z – 1
T
Ø Método trapezoidal o método de Tustin:
s = 2
T z - 1
z + 1 Ø …