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REGRESSAO LINEAR SIMPLES

Prof. Tiago Viana Flor de Santanawww.uel.br/pessoal/tiagodesantana/

[email protected] – sala 07

Universidade Estadual de Londrina – UELDepartamento de Estatıstica – DSTA

Sumario

1 Introducao

2 Regressao linear simples

3 Coeficiente de determinacao

Prof. Tiago VFS (UEL/DSTA) REGRESSAO 2 / 23

Introducao

Exemplo Certa empresa, estudando a variacao de vendas de seus produtosem relacao a variacao de despesas com propagandas, obteve a tabela:

Vendas (R$) 24 34 27 20 36 16 27 16 28 30Despesas (R$) 7 12 10 5 13 4 8 4 9 11

Calcule o coeficiente de correlacao e interprete.


Introducao

4 6 8 10 12

1520

2530

35

Correlação positiva

Despesas com propaganda

Tota

l de

vend

as


Introducao

Coeficiente de correlacao

Corr(X ,Y ) = 0, 98

Teste de hipoteseH0 : ρ = 0, As variaveis nao sao correlacionadas

H1 : ρ 6= 0, As variaveis sao correlacionadas

Estatıstica do teste

tcal = 14, 71 e ttab = 2, 31

Como tcal > ttab, rejeita-se H0 ao nıvel de significancia de 5%.


Introducao

Conclusao:

As variaveis despesas de vendas estao fortemente correlacionadas e quantomais e investido com propaganda mais retorno obtem-se nas vendas.


Regressao linear simples

Pode-se estar interessado em conhecer o quanto em vendas seria obtidopara valores nao amostrados;

Pode-se estar interessado estimar total de vendas para investimento empropaganda maior que os apresentados.



4 6 8 10 12

1520

2530

35Reta de regressão


Tota

l de

vend

as



Modelo de regressao linear

Y = a + bX

em que

b =

∑XY − nX Y∑X 2 − nX 2

a = Y − bX



O modelo de regressao linear para o exemplo do custo com propaganda e:

Y = −3, 74 + 0, 47X

em que

b =2340− 10× 8, 3× 25, 8

785− 10× 8, 32∼= 0, 47

a = 25, 8− 2, 07× 8, 3 ∼= −3, 74



Exercıcio 1. Os dados abaixo sao referente a renda bruta mensal e porcen-tagem da renda gasta em saude de 10 famılias pesquisadas.

Famılia Renda bruta (X ) Gasto com saude (Y )

A 12 7,2B 16 7,4C 18 7,0D 20 6,5E 28 6,6F 30 6,7G 40 6,0H 48 5,6I 50 6,0J 54 5,5

Sabendo que corr(X ,Y ) = −0, 86. Determine a reta de regressao linear.



Exercıcio 2. Numero de anos de servico por numero de clientes de agentesde uma companhia de seguros.

Agente Anos de servicos (X ) Numero de clientes (Y )

A 2 48B 3 50C 4 56D 5 52E 4 43F 6 60G 7 62H 8 58I 8 64J 10 72

Sabendo que corr(X ,Y ) = 0, 88. Determine a reta de regressao linear.



Exercıcio 3. Resultado de um teste de lınguas estrangeira e tempo deoperacao de maquina para oito indivıduos.

Famılia Resultado do teste (X ) Tempo de operacao (Y )

A 45 343B 52 368C 61 355D 70 334E 74 337F 76 381G 80 345H 90 375

Sabendo que corr(X ,Y ) = 0, 24. Determine a reta de regressao linear.



Resp 1. Y = 7, 61− 0, 04X

Resp 2. Y = 39, 68 + 2, 95X

Resp 3. Y = 335, 17 + 0, 29X


Coeficiente de determinacao

O quadrado do coeficiente de correlacao de Pearson, e chamado de coefi-ciente de determinacao e representado por r2

Seu campo de variacao e

0 ≤ r2 ≤ 1

O coeficiente de variacao indica a proporcao da variacao total que eexplicada pela regressao.



Se r2 = 1, todos os pontos observados se situam exatamente sobre a retade regressao.

Logo 100% da variacao de Y e explicada pela regressao.



Exemplo Certa empresa, estudando a variacao de vendas de seus produtosem relacao a variacao de despesas com propagandas, obteve a tabela:

Vendas (R$) 24 34 27 20 36 16 27 16 28 30Despesas (R$) 7 12 10 5 13 4 8 4 9 11



O coeficiente de correlacao e 0, 98. (Rejeitamos H0)

A reta de regressao e Y = 8, 65 + 2, 07X .

E o coeficiente de determinacao e:

r2 = 0, 982 = 0, 9604 = 96, 04%



4 6 8 10 12

1520

2530

35

Reta de regressão


Tota

l de

vend

as

Logo, aproximadamente 96% da variacao das vendas sao explicadas pelaregressao.



Exemplo Os dados abaixo sao referente a renda bruta mensal e porcentagemda renda gasta em saude de 10 famılias pesquisadas.

Famılia Renda bruta (X ) Gasto com saude (Y )

A 12 7,2B 16 7,4C 18 7,0D 20 6,5E 28 6,6F 30 6,7G 40 6,0H 48 5,6I 50 6,0J 54 5,5



O coeficiente de correlacao e −0, 94. (Rejeitamos H0)

A reta de regressao e Y = 7, 71− 0, 04X .


r2 = (−0, 94)2 = 0, 8845 = 88, 45%

Logo, aproximadamente 88% da variacao do gasto com saude, emporcentagem, e explicada pela regressao.



Exemplo Dados sobre resultados de um teste de lınguas estrangeira e tempode operacao de maquina para oito indivıduos.

Famılia Resultado do teste (X ) Tempo de operacao (Y )

A 45 343B 52 368C 61 355D 70 334E 74 337F 76 381G 80 345H 90 375



O coeficiente de correlacao e 0, 24.

A reta de regressao e Y = 335, 17− 0, 29X .


r2 = (0, 24)2 = 0, 0567 = 5, 67%

Logo, aproximadamente 6% da variacao do gasto com saude, emporcentagem, e explicada pela regressao.

tcal = 0, 6056 < ttab = 2, 447 ⇒ Nao rejeita H0

H0 : As variaveis nao sao associadas


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