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REDUÇÃO DE TENSÕES EM RISERS RÍGIDOS DE PLATAFORMAS TLP

Alexandre Lima Santiago de Pinho

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS

DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO

DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A

OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL.

Aprovada por:

________________________________________________

Prof. Ronaldo Carvalho Battista, Ph.D.

________________________________________________ Prof. Eliane Maria Lopes Carvalho, D.Sc.

________________________________________________ Prof.Rosane Martins Alves, D. Sc.

________________________________________________ Prof. Vicente Custódio Moreira de Souza, Ph.D.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

AGOSTO DE 2001

ii

PINHO, ALEXANDRE LIMA SANTIAGO DE

Redução de Tensões em Risers Rígidos de Plataformas TLP

[Rio de Janeiro] 2001

XI, 102 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc.,

Engenharia Civil, 2001)

Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE

1. “Riser” Rígido 2. Atenuador passivo

I. COPPE/UFRJ II. Título ( série )

iii

DEDICATÓRIA

À esposa

Mariza Terra Nunes Ribeiro de Pinho

iv

AGRADECIMENTOS

Aos professores Eliane Maria Lopes Carvalho e Ronaldo Carvalho Battista, pela

orientação, apoio e amizades em várias horas difíceis, e ao eterno incentivo e

dedicação.

Aos familiares e amigos, em particular aos padrinhos Tales Simões Mattos e

Sérgio José de Carvalho Júnior.

A minha esposa, pelo apoio e compreensão nos meses de execução deste

trabalho.

À CAPES pelo apoio financeiro e incentivo à pesquisa.

v

Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários

para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)

REDUÇÃO DE TENSÕES EM RISERS RÍGIDOS DE PLATAFORMAS TLP

Alexandre Lima Santiago de Pinho

Agosto/2001

Orientadores: Ronaldo Carvalho Battista

Eliane Maria Lopes Carvalho

Programa: Engenharia Civil

Neste trabalho, analisam-se o comportamento e respostas dinâmicos não

lineares de um riser rígido de produção para águas profundas, acoplado a uma

plataforma offshore do tipo TLP (“Tension Leg Platform”).

Demonstra-se, por meio dos resultados obtidos com modelos numéricos, que a

adoção de um sistema de controle passivo acoplado à TLP atenua a amplitude de

movimento vertical (“heave”) do casco da plataforma e, conseqüentemente, reduz a

variação de tração no “riser”, aumentando à vida útil a fadiga de suas ligações

soldadas.

Respostas dinâmicas em termos de deslocamentos e tensões ao longo do

“riser” são apresentadas para mostrar o bom desempenho do sistema de controle

passivo proposto.

vi

Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

Stress Reduction in Rigid Riser of TLP Platforms

Pinho, Alexandre Lima Santiago de

August/2001

Advisors: Battista, Ronaldo Carvalho

Carvalho, Eliane Maria Lopes

Department: Civil Engineering

In this works it is analysed the dynamic responses and behaviour of a “rigid”

riser linked to Tension Leg Platform (TLP) intended for oil explotation in deep water.

It is demonstrated, by means of numerical results obtained from computational

models, that passive control devices installed in the TLP`s hull are very effective in

atenuating the amplitudes of heave motion and consequent stress variation of welded

joint in the riser.

This effectiveness of the control devices is shown througth both the frequency

and time responses in terms of heave displacements and stress resultant variations

along the riser`s height.

vii

ÍNDICE

Capítulo I - INTRODUÇÃO

I. 1 – Considerações iniciais.............................................................................................1

I. 2 – Objetivo principal.....................................................................................................3

I. 3 – Escopo do trabalho..................................................................................................4

Capítulo II - DESCRIÇÃO DA ESTRUTRA DA TLP E DO RISER

II. 1 – Estrutura da TLP (Tension Leg Platform) ..............................................................6

II. 2 – Estrutura do riser rígido..........................................................................................9

II. 2.1 – Descrição do riser rígido. .......................................................................10

Capítulo III - DESCRIÇÃO DAS AÇÕES ATUANTES.

III. 1 – Introdução............................................................................................................12

III. 2 – Força de tração....................................................................................................13

III. 3 – Ação de ondas marinhas......................................................................................14

III. 3.1 – Introdução..............................................................................................14

III.3.2 – Equação de MORISON...........................................................................15

III. 3.3 –Teoria de onda linear de Airy..................................................................18

III. 4 – Forças de correntes..............................................................................................21

III. 5 - Vorticidade.............................................................................................................24

Capítulo IV - DESCRIÇÃO DOS CARREGAMENTOS UTILIZADOS E PROPRIEDADES

DINÂMICAS DO RISER

IV. 1 – Espectros de mar adotados.................................................................................27

IV. 2 – Movimento da TLP...............................................................................................30

IV. 3 – Força de tração aplicada ao Riser.......................................................................32

IV. 4 – Freqüências naturais do Riser.............................................................................34

IV.4.1 – Modos de flexão.....................................................................................34

IV.4.2 – Modos axiais...........................................................................................35

IV. 5 – Perfil de corrente..................................................................................................37

IV. 6 – Resumo das considerações adotadas.................................................................37

Capítulo V - SISTEMAS DE CONTROLE PASSIVO APLICADO AO RISER

V. 1 – Introdução.............................................................................................................39

V. 2 –Equação de movimento da TLP sem sistema de controle....................................40

V. 3 – Sistema de controle passivo (SCP) do movimento de Heave da TLP.................42

viii

V. 4 – Definição da calibração para sistema de controle passivo..................................44

Capítulo VI - FORMULAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NÃO-LINEARES DE

MOVIMENTO DO RISER

VI. 1 – Introdução............................................................................................................47

VI. 2 – Modos naturais de vibração.................................................................................48

VI. 3 – Modelo matemático (Princípio Variacional de Hamilton)......................................51

VI. 3.1 – Modelo matemático para energia cinética (TC)..................................... 51

VI. 3.2 – Modelo matemático para energia potencial (V = Uext + Uf )...................52

VI.3.2.1 – Energia de deformação elástica extencional (Uext).....................53

VI. 3.2.2 – Energia de deformação elástica de flexão (Uf)..........................55

VI. 3.3 – Modelo matemático para variação do trabalho das forças externas.....56

VI. 3.3.1 – Trabalho das forças de amortecimento não conservativas..........56

VI. 3.3.2 – Trabalho da força de onda............................................................58

VI. 3.3.3 – Trabalho da ação estática da corrente marinha...........................61

VI. 4 – Equações diferenciais não-lineares de movimento..............................................62

VI. 5 – Expressões dos deslocamentos, momentos, rotações e tensões. atuantes........66

VI. 5.1 – Expressão para deslocamento resultante.........................................................66

VI. 5.2 – Expressão para momento fletor........................................................................67

VI. 5.3 – Expressão para tensões atuantes.....................................................................67

VI. 5.4 – Estimativa de tensão máxima...........................................................................69

Capítulo VII – APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS

VII. 1 – Introdução...........................................................................................................70

VII. 2 Análise do Riser para as condições de mar mais desfavoráveis...........................72

VII.2.1 Gráficos de tensões de flexão..................................................................72

VII.2.2 Envoltória de tensões normais ao longo do riser......................................75

VII.2.3 Espectro de tensões.................................................................................79

VII.3 Influência do sistema de controle na vida útil do riser.............................................84

Capítulo VIII - CONCLUSÕES E SUGESTÕES

VIII. 1 – Conclusões........................................................................................................99

VIII.2 - Sugestões para extensão do trabalho...............................................................100

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS..............................................................................101

ix

NOMENCLATURA A – Área da seção transversal do riser

Ao – Fator de proporcionalidade

Cm – Coeficiente de inércia

Cd – Coeficiente de massa adicionada

Ca – Coeficiente de arrasto

CA – Coeficiente de amortecimento

CI – Coeficiente de amortecimento global

c – Celeridade da onda

d – Lâmina d’água

D – Diâmetro relativo à camisa externa do riser

dsi – Velocidade relativa entre o fluido e a estrutura para cada modo

DESL – Deslocamento no plano

E – Módulo de elasticidade da estrutura

e – espessura do riser

f – Freqüência natural do riser

fo – Freqüência da onda

fr – Freqüência de resposta

fs – Freqüência desprendimento de vórtice

Fo – Força da onda

Fi = Magnitude da resultante da força modal de onda

FL – Força lateral

Fa – Força de arrasto

FC – Força de corrente

Fe – Força de empuxo

Fi – Força de inércia

Ft – Força de tração

g – Aceleração da gravidade

H – Altura da onda

I – Momento de inércia

K – Número de Keulegan-Karpenter

ko – Número de onda

Kr – Rugosidade da estrutura

Ki – Coeficiente de rigidez modal

L = Comprimento do riser

x

mt – Massa total do riser

me – Massa total da estrutura

ma – Massa d’água adicionada

mo – Massa do óleo

mi – Parâmetros de massa modal

M – Momento fletor

n – Número do harmônico

Pest – Pressão externa

Re - Número de Reynolds

R – Rotação

Rext – Raio externo

Rmed – Raio médio

S – Número de Strouhal

To – Período da onda

t – tempo

Tr – Tração de referencia

Tc – Energia cinética do sistema

Uo.

– Componente vertical da velocidade da onda

Uo¨ – Componente vertical da aceleração da onda

uf – Componente vertical do deslocamento fundamental da estrutura sob tração

ui – Componente vertical do deslocamento incremental da estrutura sob tração

Uext – Energia de deformação elástica extensional

Uf – Energia de deformação elástica de flexão

V – Energia potencial do sistema

Vc - Velocidade da corrente

Vi – Velocidade da corrente na parte inferior

Vs – Velocidade da corrente na parte superior

Vt – Volume total da estrutura por unidade de comprimento

Wi – Componente transversal do deslocamento incremental do riser

Wi – Amplitude de deslocamentos modais de flexão do “riser”

Wi _

- Coordenadas modais, adimensionais

Wo .

- Componente horizontal da velocidade das partículas d’água

Wo . .

- Componente horizontal da aceleração das partículas d’água

Wm .

- Velocidade relativa média entre o fluido e a estrutura

xi

Wθ _

- Excursão da TLP

Wθ - Deslocamento do modo pendular

Wuc,ext – Trabalho realizado pelas forças de amortecimento não conservativas

Wext,onda – Trabalho realizado pela força de onda

Wext,corr – Trabalho realizado pela força de corrente

Wr – Momento resistente

x _

- Distância a partir do fundo

Letras Gregas

φ − Ângulo de inclinação dos tendões

δL – movimento de “heave” da TLP

εx – Deformação específica extensional

ϕ - Ângulo de fase da onda

γa – Peso específico da água

γm– Peso específico do material

γo – Peso específico do óleo

µ – Massa específica da estrutura

λ – Comprimento de onda

ωn – Freqüências modais para os n harmônicos

ωθ – Freqüência circular da resposta da TLP ou da excitação da cabeça do “riser”

ζ – Função de forma para o modo axial

ρ – Massa específica do fluido

σe – Tensão de escoamento

σf – Tensão de flexão

σn – Tensão normal

σy – Tensão circunferencial

σz – Tensão radial

θ(x) – Função de forma para modo pendular

ψi(x) – Função de forma para modos de flexão

ξ – Taxa de amortecimento

Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários

para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)

MODELAGENS SIMPLIFICADAS DE LAJES MISTAS EM GRELHA

Wendell Diniz Varela

Fevereiro/2000

Orientador: Ronaldo Carvalho Battista

Programa: Engenharia Civil

Numa área em que a computação é uma ferramenta de grande utilidade, como na

engenharia estrutural, é importante que se avalie quais modelagens são realmente

eficientes para cada tipo de estrutura. Neste espírito é que se propõe uma revisão das

possíveis modelagens de estruturas de lajes mistas em grelha sob ação de carregamentos

estáticos.

Neste trabalho são estudados alguns modelos simplificados que poderiam

representar aproximadamente o comportamento dessas estruturas. Primeiramente,

estuda-se o caso de viga mista e fazem-se as primeiras considerações acerca da

eficiência dos modelos em termos de esforços e deslocamentos. Depois, estende-se a

modelagem às estruturas de lajes mistas em grelha, determinando-se o desempenho de

alguns modelos selecionados e, dentre estes, quais apresentam características de maior

praticidade.

Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

SIMPLIFIED MODELING OF COMPOSITE SLABS

Wendell Diniz Varela

February/2000

Advisor: Ronaldo Carvalho Battista

Department: Civil Engineering

In an area that computation is a helpful tool, like in structural engineering, it is

important to evaluate which modelings are really efficient for each type of structure.

With this in mind it is proposed a review of modeling possibilities for composite slabs

structures under static loading.

In this work some simplified models that could approximately represent the

behaviour of these structures are assessed. Firstly, the case of a composite beam is

studied and the initial considerations about the efficiency of the models in terms of

forces and displacements are made. Secondly, some selected modelings are extended to

the case of composite slab structures, assessing their performance and pointing out

which among them presents the most practical aspects.

1

CAPÍTULO I

INTRODUÇÃO

I. 1 – Considerações iniciais

Os “risers” – tubulações que levam o petróleo desde a cabeça do poço

submarino até a plataforma offshore (Figura I.1) para proceder a separação e depois a

exportação - são estruturas sujeitas a ações dinâmicas de natureza aleatória

(correntes marítimas e ondas e indiretamente ventos atuando sobre o casco da

plataforma). Este cenário é ainda mais severo quando um riser, dito rígido, está

suspenso numa plataforma flutuante do tipo TLP. Qualquer falha no sistema pode

deteriorar o ambiente marinho e provocar uma interrupção na produção de óleo, onde

altos custos estão envolvidos, inclusive para recuperação do meio ambiente.

Assim sendo, os risers podem ser considerados como uma das partes críticas

de um sistema de produção (ou perfuração) offshore, já que, estando continuamente

sujeitos a severas condições ambientais e ações dinâmicas, podem ter o seu

comportamento afetado pelo grande número de solicitações variáveis a que estão

submetidos.

É importante que as freqüências dos modos naturais de vibração do riser não se

aproximem da faixa de freqüências dominantes das ondas, para que se possa evitar a

amplificação dinâmica da resposta em termos de deslocamentos e variação de

2

tensões que podem acarretar o colapso da tubulação, provocando um desastre

ecológico e elevado prejuízo.

Figura I.1 – Esquema do“riser” rígido de produção da plataforma tipo TLP

3

Os risers, quando destinados a águas profundas e conectados a plataformas

flutuantes, têm comportamento mecânico caracterizado, em geral, por grandes

deslocamentos do topo e grandes deflexões devido ao grande comprimento e

pequena rigidez à flexão.

As solicitações dinâmicas são em geral minimizadas pela tração controlada

aplicada ao “riser”, por meio de um dispositivo mecânico de compensação de tração

axial, que é o principal parâmetro de controle para reduzir as amplitudes de variação

de tensões dinâmicas, aumentando a vida útil do “riser”. A redução substancial da

diferença entre as tensões máximas e mínimas retarda o processo de acúmulo dos

danos à fadiga do “riser”.

O uso de sistemas de controle para atenuação do movimento de heave em

plataformas do tipo TLP (Tension Leg Platform)[1,2,3] reduz o efeito da variação das

tensões de tração aplicadas no topo dos risers e nos tendões e suas ancoragens,

minimizando o efeito de fadiga nestes componentes e aumentando a vida útil.

A análise de risers é, em geral, realizada de uma forma desacoplada, a partir de

resultados do comportamento global da TLP.

I. 2 – Objetivo Principal

A utilização de sistemas de controle passivo ou ativo permite a redução das

amplitudes de respostas dinâmicas a uma faixa de valores requeridos ou pré-

estabelecidos, visando garantir as condições de segurança e integridade, de forma a

prolongar a vida útil e, conseqüentemente, visando redução de custos.

Este trabalho analisa o comportamento dinâmico de um “riser” acoplado a uma

estrutura complacente do tipo TLP para operar em águas profundas, considerando

esta última provida ou não de um sistema de controle passivo da resposta em termos

do deslocamento vertical (“heave”).

São apresentados e analisados resultados numéricos obtidos para o “riser”, com

e sem a utilização de um sistema de controle passivo aplicado ao movimento de heave

da TLP.

4

O objetivo principal é o de estimar o desempenho do sistema de controle

passivo na redução das amplitudes de respostas dinâmicas do “riser” a valores

desejáveis ou valores limites, visando a redução do efeito de fadiga.

Este trabalho propõe um dispositivo alternativo, aplicando-se um sistema

passivo de atenuação de vibração acoplado à TLP que manterá o “riser” submetido a

pequenas variações de tração.

I. 3 – Escopo do Trabalho

O conteúdo deste trabalho é apresentado em oito capítulos, incluindo esta

introdução.

O Capítulo II descreve a estrutura do “riser” rígido de produção analisada neste

trabalho e ilustra os principais componentes de uma estrutura offshore do tipo TLP.

Sendo o “riser” a estrutura principal de estudo, descreve-se para o mesmo os fatores

que influenciam o seu comportamento.

O Capítulo III descreve os esforços estáticos e dinâmicos atuantes no “riser”.

Nesta parte do trabalho é também feita a justificativa da teoria de onda utilizada, assim

como as simplificações adotadas.

O Capítulo IV apresenta as forças ambientais atuantes no “riser”, tais como as

condições reais de mar (adotadas na bacia de Campos, costa-fora do litoral do Estado

do Rio de Janeiro), perfil de corrente e força de tração, além de um resumo das

considerações feitas.

O Capítulo V descreve o sistema de controle passivo e a calibração do mesmo.

São apresentadas de forma sucinta as equações diferenciais de movimento de 2ª

ordem da TLP, sem sistema de controle e com sistema de controle passivo.

5

No Capítulo VI é desenvolvida explicitamente a formulação matemática para

obtenção das equações diferenciais acopladas de movimento associadas aos modos

de vibração do “riser” em estudo, obtidas a partir do Princípio Variacional de Hamilton.

Apresentam-se as expressões dos deslocamentos, momentos e tensões atuantes no

“riser” sob ação das forças ambientais e do movimento imposto pela plataforma TLP

sujeita às mesmas forças ambientais.

No Capítulo VII são apresentadas as respostas obtidas para o movimento do

“riser” sem sistema de controle e com a implementação de sistema de controle passivo

na plataforma TLP.

No Capítulo VIII apresentam-se os comentários finais e as principais conclusões

deste trabalho, além de sugestões para a extensão desta linha de pesquisa.

6

CAPÍTULO II

DESCRIÇÃO DA ESTRUTRA DA TLP E DO “RISER”

II. 1 – Estrutura da TLP (Tension Leg Platform)

A complacência de uma plataforma consiste no fato de seus primeiros períodos

serem superiores aos períodos dominantes no espectro das ondas, evitando-se assim

a amplificação dinâmica das amplitudes de resposta.

Estruturas offshore do tipo TLP são complacentes, ancoradas verticalmente às

fundações por meio de tendões mantidos permanentemente tracionados (figura II.1)

pela força residual de flutuação do casco obtendo-se grande rigidez na direção vertical

(heave) e nas rotações (pitch e roll).

A pré-tração dos tendões aplicada através da retirada do lastro imposto no

casco flutuante que é mantida pelo excesso de flutuação da estrutura que garante a

estabilidade do sistema flutuante hidroelástico, fornecendo uma rigidez na direção

heave igual à rigidez elástica axial dos tendões pré-tracionados.

Para o projeto de uma TLP ser considerado bom, deve-se manter pequenos os

valores dos períodos de deslocamento heave, e períodos de rotação pich e roll e

grandes os períodos de rotação em torno do eixo yaw e do deslocamento surge e

sway.

7

heave

surge

sway

yaw roll

pitch

Figura II.1 – Esquema básico da TLP

A TLP é uma estrutura que consiste basicamente de um “deck”, colunas,

flutuadores, dutos ou “risers” e tendões que serão brevemente descritos a seguir:

Estrutura do Convés (“deck”) - A estrutura do convés se assemelha a de

qualquer outra estrutura offshore e o seu dimensionamento é feito em função da planta

de produção de óleo ou gás.

Estrutura do Casco - A estrutura do casco ou unidade flutuante dá suporte ao

deck e é composta pelas colunas e flutuadores, oferecendo ainda ancoragem e pré-

tensionamento dos tendões devido ao seu excesso de flutuabilidade (diferença entre o

empuxo e peso).

Colunas - As colunas, grandes tubulações, em geral de seção circular,

contém o lastro e sistema de fixação dos tendões.

Flutuadores - Os flutuadores (ou “pontoons”) estão num mesmo plano

horizontal submerso, e contém também o lastro.

set down

NA

Tendões“risers” rígido

Corrente

Onda

8

Dutos ou “Risers” - Os “risers” são dutos utilizados na perfuração e extração

de óleo ou gás. Os “risers” de uma TLP são normalmente “risers” rígidos verticais que

ligam o equipamento da cabeça de poço (fundo do mar) à superfície da plataforma.

Normalmente, neste nível, eles são suspensos num dispositivo de compensação de

heave, que os mantém tensionados num valor aproximadamente constante

independente da amplitude do movimento.

A proposta da utilização do sistema de controle passivo acoplado ao casco da

TLP tem o intuito de reduzir as variações de tração no “risers” e suas conexões,

reduzindo os danos à fadiga e minimizando a possibilidade de regiões sujeitas a

compressão.

Tendões - Os tendões são elementos tubulares de aço de alta resistência

mecânica e à corrosão, pré-tracionados, que ancoram o casco flutuante ao fundo do

mar, impedindo grandes excursões laterais do mesmo, viabilizando o funcionamento

dos “risers” do tipo “rígido”. São elementos vitais para a TLP. O destensionamento ou,

pior, a ruína de um deles pode, numa situação de pouca redundância, causar

instabilidade do sistema flutuante hidroelástico.

Sob ação de cargas ambientais, de vento e correntes, a TLP se desloca da sua

posição original vertical para uma posição vizinha inclinada, ilustrada na fig. II.1, em

torno da qual oscila sob a ação das ondas. A deriva ou off-set estático, que consiste

na amplitude de movimento horizontal quase-estático da plataforma, é medida em

relação ao eixo vertical passando pelo poço. Esta amplitude é, em geral, pequena,

mesmo para uma TLP em águas profundas. A distância vertical entre um ponto

extremo numa projeção horizontal na posição original vertical e um ponto central na

posição vizinha mais deslocada é chamada declíneo ou set-down. O ângulo de

inclinação dos tendões (φ), é um fator de projeto que limita este deslocamento lateral e

não deve exceder um valor limite que inviabilize o projeto da TLP.

O comportamento típico de uma TLP sob ação de cargas ambientais, pode ser,

assim, descrito por um deslocamento lateral inicial devido às parcelas quase-estáticas

das forças de corrente e vento sobre o casco, e posteriormente por uma oscilação em

torno da posição média devido à ação das ondas.

Verticalmente, a TLP tem seu comportamento governado pela rigidez dos

tendões. Em um projeto de TLP para águas profundas, as dimensões da seção

9

transversal e o comprimento dos tendões devem ser bem proporcionados para se

evitar que a freqüência de heave se aproxime da freqüência das ondas.

A tabela II.1 apresenta as propriedades da TLP aqui utilizada para análise,

além de suas freqüências naturais.

Tabela II.1 – Propriedades da TLP

Massa do casco 296.849,00 t Coordenada X do c.g. da TLP 0,0 m Coordenada Y do c.g. da TLP 0,0 m Coordenada Z do c.g. da TLP 625,30 m Diâmetro das colunas 14,60 m Diâmetro dos Pontoons 9,92 m Comprimento inicjal dos tendões 599,95 m Calado 29,29 m Comprimento dos Pontoons 54,01 m Aceleração da gravidade 9,81 m/s2

Taxa de amortecimento direção X 0,155 Taxa de amortecimento direção Y 0,155 Taxa de amortecimento direção Z 0,023 Período natural da estrutura na direção X 130,00 s Período natural da estrutura na direção Y 130,00 s Período natural da estrutura na direção Z 2,62 s Tração inicial dos tendões 38095,60 kN Diâmetro externo dos tendões 0,4056 m Diâmetro interno dos tendões 0,2028 m Número de cabos 4 Módulo de elasticidade 2,1 x 108 kN/m2

II. 2 – Estrutura do “Riser” Rígido

Um “riser” marinho para extração de petróleo é essencialmente um tubo

conectado entre a plataforma offshore fixa ou flutuante e a cabeça do poço no leito

marinho. Sua função consiste na condução do óleo misturado à água, gás e

sedimentos, desde o poço até a plataforma.

Os fatores que mais influenciam o comportamento de “risers” são: a sua

configuração geométrica em repouso, condições ambientais e fatores operacionais,

além da sua estrutura própria (i.e se tubos rígidos de aço ou compostos, tal como os

flexíveis multi camada), conexões mecânicas e juntas soldadas

10

II. 2.1 – Descrição do Riser Rígido Analisado.

A seção transversal idealizada de um “riser” de produção é mostrada na Fig

II.2. Ela consiste em uma camisa externa envolvendo o “riser” propriamente dito (por

onde haverá subida do óleo produzido), e outros tubos flexíveis de diâmetros menores:

os umbilicais e auxiliares. Supõe-se que todos esses dutos e linhas internas estejam

ligados à camisa em pontos discretos ao longo de sua altura, através de suportes

flexíveis.

Figura II.2 – Seção Transversal do “Riser” Rígido (unidades em milímetro)

O diâmetro desta camisa tubular do “riser” marinho determinará a magnitude

das forças hidrodinâmicas que nele atuarão, e, juntamente com a espessura, definirá o

peso por unidade de comprimento e o nível de tensões do material.

O sistema de tracionamento hidráulico a que o “riser” será submetido atuará

sobre a camisa externa, já que, é ela quem recebe o peso próprio dos dutos e linhas

internas, a ação de ondas, correntes e os esforços de interação com a TLP, além da

pressão hidrostática.

O “riser” foi considerado não vazado, ou seja, não há passagem de água pelo

seu interior, aumentando assim o efeito do empuxo.

umbilical 01umbilical 02

umbilial 03auxiliar 01

auxiliar 02

auxiliar 03

139,5

152,

5260,5

279,5

11

Na presente análise, foi utilizado um “riser” rígido de produção [4] para operar

em águas profundas e comprimento vertical igual a 610 metros de profundidade, cujas

dimensões da seção transversal estão apresentadas na tabela II.2. A tabela II.3

apresenta as propriedades geométricas.

Tabela II.2 - Dimensões da Seção Transversal do “riser”

Estrutura Raio externo (mm) Raio interno (mm) Dimensão

Umbilical 01 16,5 28,5 1,315” x 0,179”

Umbilical 02 12,9 17,4 1,315“ x 0,179“

Umbilical 03 12,0 16,5 1,315“ x 0,179“

Auxiliar 01 43,5 47,2 4,0“ x 0,28“

Auxiliar 02 43,5 47,2 4,0“ x 0,28“

Auxiliar 03 43,5 47,2 4,0“ x 0,18“

“riser” 139,5 152,5 12,0“ x 0,5“

Camisa externa 260,5 279,5 22,0“ x 0,75“

Tabela II.3 - Propriedades Geométricas do “riser”

Momento de inércia Iy (m4) 0,001503

Momento de inércia Iz (m4) 0,001396

Momento de inércia de referência (m4) 0,001436

Área (m2) 0,032

Para o cálculo das tensões axiais, a área utilizada foi a da camisa externa que

é o elemento sujeito a tração. Para o momento de inércia da seção transversal foi

considerado um valor de referência que é a média entre os momentos Iy e Iz. Todos

os valores que constam na tabela foram reproduzidos da referência [4] (vide Fig. II.2).

12

CAPÍTULO III

DESCRIÇÃO DAS AÇÕES ATUANTES.

III. 1 – Introdução

Um “riser” marinho de uma unidade flutuante de produção é uma estrutura

importante de ligação operacional com o poço de petróleo. Embora estruturalmente

simples, seus mecanismos de ligação e carregamentos são por vezes complexos para

aplicações em águas profundas, sendo o seu comportamento não linear de difícil

previsão.

Os esforços atuantes são estáticos e dinâmicos, a seguir descritos:

Os esforços estáticos são causados pela pré-tração e pela deriva (“offset”)

estática do casco da TLP sob ação do vento. Sob a hipótese de constituírem um

carregamento estático equivalente, as correntes marinhas originam esforços internos

que se superpõem aos estáticos anteriormente citados.

Os esforços dinâmicos são causados pelo movimento de “heave” e “sway” da

TLP, pela tração aplicada à cabeça do “riser” e pela ação de ondas no “riser”. Todos

estes esforços estáticos e dinâmicos podem ser atenuados pelo dispositivo de

compensação de tração instalada no topo do “riser”, na sua ligação com a unidade

flutuante.

13

A utilização de um outro dispositivo como os atenuadores de vibração de

controle passivo (ou ativo) das amplitudes de “heave” do casco da TLP poderá ainda

reduzir substancialmente os esforços dinâmicos.

Como exemplos das cargas a que um “riser” está submetido, pode-se citar a

tração externa aplicada no seu topo, o peso próprio da coluna completa, o empuxo

sobre a camisa, os esforços devidos aos movimentos da plataforma, carga de ondas,

força de arrasto devido a correntes e outras forças hidrodinâmica, como aquela devido

ao efeito de vorticidade.

III. 2 – Força de tração

A tração externa tem como função reduzir a flexão e as variações angulares

nas conexões extremas, especialmente na inferior.

A ação de peso próprio ao longo do comprimento vertical do “riser” é aliviada

pelo empuxo, o qual produz, juntamente com a tração aplicada no topo, o efeito

favorável de uma distribuição linear de tração ao longo da altura do “riser”. O efeito do

empuxo pode ser aumentado com a utilização de flutuadores (não considerados nesta

análise).

Os flutuadores têm a finalidade de reduzir a tração na parte superior do “riser”.

Contudo, a adoção desta alternativa deve ser analisada com cautela, já que o uso de

flutuadores aumenta a magnitude das forças hidrodinâmicas (de inércia e de arrasto)

atuantes. Por isso, os flutuadores não devem ser usados próximos à superfície do

mar, onde o efeito das ondas é mais intenso.

A tração atuante no topo do “riser” é composta de duas parcelas:

FT(t) = ft + δL EA

L (III.1)

onde:

ft = parcela constante que objetiva impedir esforços de compressão no “riser”;

14

δL EA

L = parcela dinâmica provocada pelo movimento de “heave” da TLP;

δL = movimento de “heave” da TLP;

E = módulo de elasticidade;

A = área;

L = comprimento do “riser”.

Os sistemas de controle de “heave” servirão para minimizar o nível de tensões

dinâmicas e suas variações, aumentando a vida útil do “riser”. A redução substancial

da diferença entre as tensões máximas e mínimas retarda o processo de acúmulo dos

danos de fadiga do “riser”.

Por outro lado, quando o “riser” é submetido a grandes deflexões, a parede na

parte côncava fletida no “riser” pode ser submetida à compressão, causando um

mecanismo de flambagem que se mostra por enrugamento da parede (no caso de

paredes finas) ou na forma de uma indentação (no caso de paredes médias à

espessas). O ideal é evitar completamente tensões de compressão, através da

instalação de tração adequada no topo do “riser”.

A camisa externa foi considerada estanque. Caso contrário, o valor da força

axial resultante sobre o “riser” torna-se ainda maior, resultando numa situação mais

desfavorável para a análise. Quanto maior for a resultante axial sobre o “riser” , maior

será o valor da tração inicialmente aplicada na cabeça do mesmo.

III. 3 – Ações de ondas marinhas

III. 3.1 – Introdução

Os esforços provocados por ondas e correntes são relativamente complexos

em sua determinação, visto que são ações dinâmicas e atuam de forma combinada

com distintas direções. Uma simplificação usualmente feita é a consideração de que

ambas as ações atuam na mesma direção, e que a ação de corrente pode ser tomada

como estática.

15

A utilização de parâmetros (coeficientes de arrasto e de inércia) determinados

experimentalmente, e a seleção de uma teoria de onda adequada, se tornam

necessários para a análise estrutural de um “riser”.

É notório que as várias formulações propostas para simular a ação de ondas

sobre elementos tubulares são equivalentes à fórmula de Morison, a qual é composta

de dois termos: (i) força de inércia (função da aceleração da onda); (ii) força de arrasto

(função da velocidade da onda).

Para a determinação da força exercida pelas ondas sobre um “riser”, torna-se

necessário o conhecimento dos campos de velocidade e aceleração das partículas de

água do mar.

Devido a não linearidades do movimento das partículas de água, existem

várias teorias de onda com respectivas expressões para o cálculo das velocidades e

acelerações dessas partículas de água.

III.3.2 – Equação de MORISON

Um fluido em movimento exerce forças variáveis com o tempo sobre os

obstáculos que encontra. Estas forças dependem, sobretudo, da velocidade e

aceleração relativas do corpo e do fluido, ocorrendo assim um acoplamento entre

ambos.

Em 1950, MORISON [5] propôs uma fórmula empírica para o cálculo da força

de onda atuante perpendicular a um cilindro vertical, utilizada até os dias atuais para o

cálculo de estruturas offshore.

Para um escoamento retilíneo acelerado de um fluido real, a força total atuante

é conhecida como Equação de Morison e é dada por:

F0 (x,t) = Fa+ Fi (III.2)

16

Onde:

F0 = Força de onda

Fa = Força de arrasto

Fi = Força de inércia

A força de arrasto por unidade de comprimento exercida por um escoamento

uniforme unidirecional de um fluido real (viscoso) com aceleração nula, incidindo sobre

um cilindro estacionário, é dada por:

Fa = 12 Cd ρ D w0

. | w0

.| (III.3)

Para o caso de escoamento uniformemente acelerado bidimensional de um

fluido ideal (não viscoso) incidindo sobre uma seção circular, atuará a força de inércia,

por unidade de comprimento, resultante das pressões hidrostáticas com intensidade

proporcional à aceleração da massa fluida, dada por :

Fi = CM ρ πD2

4 w0 ..

(III.4)

O termo CM ρπD2

4 , chamado de massa d’água adicional pelo fato de ter a

dimensão de massa, não representa massa fluida, sendo o resultado da integração

das pressões atuantes no contorno do cilindro.

Para estruturas flexíveis, onde a velocidade e a aceleração da estrutura

possuem valores significantes, a Equação de Morison é modificada, usando-se a

velocidade e a aceleração relativas entre o fluido e o cilindro. Entretanto, BERGE e

PENZIEN [6], propõem a seguinte forma alternativa para a Equação de Morison:

F0(x,t) = CM ρπD2

4 w0..

+ Ca ρπD2

4 (w0..

- w..

) + 12CdρD(w0

. - w

.) | w0

. - w

.| (III.5)

17

onde:

|w0.

- w.| = ds = valor absoluto da velocidade relativa entre o fluido e

a estrutura

w0.

= velocidade da onda, (partícula fluida)

w0..

= aceleração da onda, (partícula fluida)

w. = velocidade da estrutura

w..

= aceleração da estrutura

CM = coeficiente de inércia

Ca = CM - 1.0 = coeficiente de massa adicional

Cd = coeficiente de arrasto

Os coeficientes de arrasto (Cd) e de inércia (CM), são obtidos

experimentalmente. Eles dependem do tipo de fluido e das características do elemento

estrutural, principalmente quanto a suas forma e rugosidade.

As figuras III.1 e III.2 apresentam ábacos para os valores de CM e Cd.

Figura III.2 – CM x Re para valores de K (cilindro liso)

18

Figura III.3 – Cd x Re para valores de K (cilindro liso)

III. 3.3 – Teoria de onda linear de Airy

As forças de onda que atuam sobre os “risers” dependem da teoria a elas

associadas, cuja escolha no ábaco[6] da Figura III.3 faz-se de acordo com as relações

básicas da onda: d

gTo2 e

H

gTo2 , onde os parâmetros envolvidos são:

d = lâmina d’água (m);

H = altura da onda (m);

g = aceleração da gravidade ⎝⎛

⎠⎞m

s2

To = período da onda (s).

Para a lâmina d’água superior a 100 m, as teorias mais adequadas para o

cálculo de ação de onda em “risers” são as de Airy e de Stokes. Substituindo-se os

19

valores de H, To e d, para os casos de mar aqui analisados, tem-se que a Teoria de

Onda apropriada seria a de Stokes de 3ª ordem.

Figura III.3 - Escolha da teoria de onda

Todavia, análises foram realizadas utilizando-se as Teorias de Airy e Stokes 3ª

ordem [7] para condições de mar típico da bacia de Campos, obtendo-se para ambas

respostas bastante semelhantes, permitindo, assim, a escolha da Teoria de Airy para a

obtenção dos campos de velocidade e aceleração, evitando-se a grande complexidade

da Teoria de Stokes.

H gTz2

dgTz

2

20

Riser Tendões

Para uma onda referida ao sistema de eixos coordenados (X’, Y) mostrado na

Fig.III.4 , considera-se que o fluido é incompressível, irrotacional, constante e o trem

da onda bi-dimensional, além de se considerar a profundidade (d).

Figura III.4 – Ações ambientais sobre a TLP e o riser

As expressões para as componentes horizontais e verticais da velocidade e

aceleração desta teoria são apresentadas explicitamente por Sarpkaya [6].

Conhecidos os campos de velocidade e aceleração, pode-se determinar as

forças de onda. Para o caso de estruturas verticais, os esforços são máximos quando

a velocidade e a aceleração são horizontais. Por este motivo, considera-se apenas as

componentes horizontais da velocidade (wo.

) e da aceleração (wo..

).

Uma das principais características da Teoria de Airy é o decaimento

exponencial das velocidades e acelerações com a profundidade, levando a valores

nulos para profundidades maiores do que metade do comprimento de onda.

Para compatibilizar a Teoria de Onda com o desenvolvimento das equações de

movimento, é necessário fazer a transferência dos eixos x’, y para x, y. A Figura III.4

mostra esquematicamente a ação de ondas, ilustrando os parâmetros envolvidos.

Onda,W

H NA

λ

d

yX

Y,W0

X’,U0

X = - dCorrente

21

Assim sendo, obtém-se as expressões das componentes horizontais da

velocidade (wo.

) e aceleração (wo..

) quando a crista da onda passa pela estrutura

(y=0):

wo.

= πHT0

cosh ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞2πx

λ

senh ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞2πd

λ

cos ⎝⎛

⎠⎞2πt

T0 (III.6)

wo..

= 2π2HT0

2 cosh ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞2πx

λ

senh ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞2πd

λ

sen ⎝⎛

⎠⎞-2πt

T0 (III.7)

onde:

wo.

= componente horizontal da velocidade da onda;

wo..

= componente horizontal da aceleração da onda;

d = lâmina d’água;

H = altura da onda;

g = aceleração da gravidade;

λ = comprimento de onda;

To = período da onda.

III. 4 – Forças de correntes

Os esforços provocados pelas correntes, ao contrário dos provocados pelas

ondas, que limitam-se à parte superior do “riser”, podem se fazer sentir ao longo de

todo o comprimento do “riser” [8].

As correntes marinhas podem ser causadas por diversos fatores, tais como:

marés, ventos, quedas de pressão barométrica e diferenças de densidade entre

diferentes regiões do mar. Na verdade, o que realmente interessa para o cálculo de

um “riser” é o perfil de corrente no local de instalação.

22

A velocidade da corrente varia com a profundidade e pode inclusive mudar de

direção, sendo normalmente maior o seu valor na superfície. A corrente pode também

variar ao longo do dia, e o valor de sua aceleração pode ser negligenciado no cálculo

dos esforços devidos à ação de corrente. Por este motivo, não se considera na

equação da força de corrente a parcela correspondente à força inercial.

Sendo assim, a força provocada pela corrente, em sua direção, ou seja, a força

de arrasto por unidade de comprimento, é dada por:

Fc = 12 Cd ρ D Vc

2 (III.8)

Onde:

Vc = velocidade da corrente

ρ = massa específica da água do mar

D = diâmetro externo do “riser”

Por se tratar de um fluxo unidirecional em um determinado ponto, visto que foi

suposto que as forças de onda e corrente atuam sobre a mesma direção e sentido, o

valor de Cd pode ser tomado da mesma forma que na equação da força de onda,

tendo assim o mesmo valor.

As forças combinadas de ondas e correntes dependem naturalmente das

respectivas direções e sentido de movimento das partículas fluidas. Numa

aproximação, esta combinação será tomada como máxima quando a direção da

corrente coincidir com a das ondas.

Podem ser adotados diferentes perfis para correntes, da mesma forma que

podem ser adotados diferentes espectros de mar que dependem de aspectos

particulares de cada região. Porém, para simplificação de análise, adotou-se um perfil

de corrente variando linearmente até o fundo do mar, sendo seu valor dado por (III.9)

como mostrado na Figura III.5.

23

Figura III.5 – Perfil de Corrente

Figura III.5 – Perfil de corrente

De acordo com o perfil mostrado na figura anterior, a variação de velocidade ao longo

do “riser” pode ser representada por:

Vc(x) = Vi + (Vs - Vi) xd (III.9)

Que obedecem as seguintes condições de contorno:

x = 0 Vc(x) = Vi (III.10)

x = d Vc(x) = Vs (III.11)

Onde:

VI = velocidade da corrente na parte inferior do “riser”

Vs = velocidade da corrente na parte superior do “riser”

corrente

0,0

NA

d Riser Tendões

Vs

Vi

24

III. 5 – Vorticidade

A força hidrodinâmica decorrente do desprendimento de vórtices pela ação de

correntes torna-se crítica quando adquire uma freqüência próxima à freqüência natural

da estrutura do “riser”, provocando movimentos transversais à direção da corrente e

podendo levar a um processo de fadiga precoce.

Em áreas de fortes correntezas, “risers” podem sofrer fortes vibrações

provocadas por vórtices [8,9]

Considere-se um cilindro imerso em fluido com velocidade uniforme, conforme

mostra a Figura III.6. Quando uma partícula de fluido se choca contra o ponto anterior

de um corpo não aerodinâmico, como um cilindro, sua pressão atinge o valor da

pressão de estagnação. Ao contornar a superfície do cilindro, a partícula vai perdendo

energia devido ao atrito cinético. Sendo a camada de fluido mais próxima à superfície

do cilindro (camada 1), menos veloz do que as mais afastadas (camada 2), a

velocidade destas últimas se torna maior, havendo um ponto, no qual em virtude do

atraso que sofrem, as camadas mais próximas da superfície são obrigadas a se

encurvarem em direção ao cilindro, separando-se da sua superfície, formando

vórtices.

Figura III.6 – Formação de Vórtice

Com o desprendimento dos vórtices, arrastados pelo fluido em movimento,

ocorre uma queda brusca de pressão na superfície do cilindro (região A, por exemplo,

Figura III.6). Com a queda de pressão surge uma força F, decomposta em uma

componente paralela à direção do escoamento (força de arrasto, Fd), e outra

perpendicular a esta (força lateral, FL).

A B

2 1 1 2

FL

F

Fd

25

O cilindro tende a se mover em direção à força FL provocando (ou acelerando)

o desprendimento do vórtice na região B, com conseqüente queda de pressão e

aparecimento de nova força FL. Sendo assim, o cilindro tende a entrar em vibração,

que crescerá até certo ponto [6].

Figura III.7 – Relações do número de Strouhal com número de Reynolds

A freqüência de desprendimento de vórtices (fs) pode ser calculada pela

equação de Strouhal :

fs = S Vc

D (III.12)

Onde:

S = número de Strouhal

VC = velocidade da corrente

D = diâmetro externo do “riser”

O valor do número do Strouhal pode ser retirado de gráficos, como o da Figura

III.7, em função do número de Reynolds, ou pode ser tomado, para a maioria dos

casos práticos, igual a 0,21.

O desprendimento de vórtices provoca maiores problemas quando a

sua freqüência (fs) é próxima ou igual a uma freqüência natural do “riser”, ocorrendo o

fenômeno de ressonância, o que pode provocar um aumento sensível da força de

arrasto, além de causar a ruptura do “riser” por fadiga devido à alternância de tensões

26

elevadas, provenientes do desprendimento de vórtices. A Figura III.8 apresenta a

ressonância de um cilindro com efeito de vortice.

Figura III.8 - Ressonância de um cilindro com efeito de vórtice

vCfD

Ay

D

f s

f

27

Capítulo IV DESCRIÇÃO DOS CARREGAMENTOS UTILIZADOS E PROPRIEDADES DINÂMICAS DO “RISER” IV. 1 – Espectros de mar adotados

O enfoque empregado para se considerar as ações ambientais devidas as

cargas de ondas foi a utilização de espectros de mar que visam a expressar as

seqüências de ondas que caracterizam o mar adotado.

Em vista disso, é mais adequado escolher um espectro modelo que represente

uma distribuição de densidade de onda característico de uma determinada região

geográfica, baseado em condições meteorológicas.

Foi utilizado o espectro de Pierson Moskowitz modificado [10], o ISSC, que é o

mais utilizado para representar um estado de mar da costa brasileira. Em Chakrabarti

[10], o espectro ISSC, mostrado na Figura IV.1, é apresentado como sendo derivado

do espectro de Bretshneider, dado por:

S(fi) = 0.1107 (Hs)2 ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞f4

f5n e

⎝⎜⎜⎛

⎠⎟⎟⎞-0.4427

⎝⎜⎜⎛

⎠⎟⎟⎞

f

fn

4 (IV.1)

28

onde:

f = 1.296f0

f0 = 1Tz

O espectro utilizado está baseado nos parâmetros:

• Hs = altura significativa; e

• TZ = período de cruzamento zero,

Figura IV.1 – Espectro de mar adotado

A cada instante de tempo é feita a divisão do espectro e os parâmetros

relativos à altura, período e comprimento de onda, equações (IV.2) a (IV.6), foram

calculados ao longo da faixa do espectro selecionada, onde havia maior concentração

de energia.

0.02.04.06.08.0

10.012.014.016.018.020.0

0.060 0.075 0.090 0.105 0.120 0.135 0.150 0.165 0.180 0.195 0.210 0.225 0.240freqüência - Hz

S(f)

- m

2 se

g

29

HN = 2 2 Sn (fn) ∆f (IV.2)

∆f = ff + fi NDE (IV.3)

fn = fn-1 + ∆n (IV.4)

Tn = 1fn (IV.5)

λn = g T n

2

2π tgh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞2πd

λn (IV.6)

onde: ff = freqüência final;

fi = freqüência inicial;

ϕ = ângulo de fase aleatório;

NDE = número de subdivisões do espectro, considerado neste trabalho

igual a 50

∆f = intervalo de freqüência

Há de se salientar que o comprimento de onda, equação (IV.6), foi calculado

de forma iterativa. A partir destes parâmetros, obtém-se a força de onda no tempo,

que é então calculada por:

F0(x,t) = ∑n=1

NDE

⎩⎪⎨⎪⎧

⌡⎮⌠

o

L

⎣⎢⎡

CM ρπ D2

4

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞ 2 π2 Hn

Tn2

cosh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞ 2 π x

λn

senh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞2 π d

λn

sen⎝⎛

⎠⎞-2 π t

Tn +ϕ

+CaρπD2

4⎝⎜⎛

⎠⎟⎞ 2π2Hn

Tn2

cosh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞2πx

λn

senh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞2πd

λn

sen⎝⎛

⎠⎞-2πt

Tn+ϕ

⎦⎥⎤

+ 12CdρD

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞πHn

Tn

cosh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞2πx

λn

senh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞2πd

λn

cos⎝⎛

⎠⎞2πt

Tn+ϕ

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

πHnTn

cosh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞2πx

λn

senh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞2πd

λn

cos⎝⎛

⎠⎞2πt

Tn+ϕ - W

.

(IV.6)

O ângulo de fase ϕ varia aleatoriamente de 0 a 2π, e foi obtido por um gerador

de número randômico.

30

A tabela IV.1 apresenta a definição das condições de mar adotadas, cujos

dados de onda para fadiga, segundo uma abordagem estocástica, foram coletados na

Bacia de Campos dos Goytacazes, interior do Estado do Rio de Janeiro, no período de

junho de 1985 a junho de 1986 na plataforma de produção de Carapeba – 3 [12] da

Petrobrás, Petróleo Brasileiro S.A..

Tabela IV.1 - (Condições de mar)

Condição

de mar

Altura

significativa

Hs- (m)

Período de

cruzamento

em zeroTz -

(s)

Número de

registros

no período

de 3 horas

Ocorrência

em 1 ano

medida em

segundos

% de

ocorrência da

onda em 1

ano

1 0,75 5,24 66 712.800 2,26%

2 1,25 5,27 747 8.067.600 25,58%

3 1,75 5,77 1137 12.279.600 38,94%

4 2,25 6,26 572 6.177.600 19,59%

5 2,75 6,89 256 2.764.800 8,77%

6 3,25 7,72 95 1.026.000 3,25%

7 3,75 7,89 23 248.400 0,79%

8 4,25 8,20 19 205.200 0,65%

9 4,75 9,00 5 54.000 0,17%

Total 2.920 31.536.000 100,00%

IV. 2 – Movimento da TLP

A ação da TLP sobre o “riser” é simulada pela imposição de deslocamentos

transversais e longitudinais (estático e dinâmico) no seu topo obtidos a partir de um

arquivo gerado de um programa externo elaborado por Alves [15]. Aqui serão

apresentados os gráficos dos deslocamentos de “sway” e “heave” da TLP,

exemplificados pela condição de mar – 9.

31

Figura IV.2 – Deslocamento na direção “HEAVE” para condição de mar – 09

Figura IV.3 – Deslocamento na direção “SWAY” para condição de mar – 09

-6.00-5.40-4.80-4.20-3.60-3.00-2.40-1.80-1.20-0.600.000.601.201.802.403.003.604.204.805.406.00

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)

Des

loca

men

to n

a di

reçã

o S

WA

Y (m

)

-0.030-0.027-0.024-0.021-0.018-0.015-0.012-0.009-0.006-0.0030.0000.0030.0060.0090.0120.0150.0180.0210.0240.0270.030

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400

Tempo (seg)

Des

loca

men

to n

a di

raçã

o H

EA

VE

(m)

32

IV. 3 – Forças de tração aplicadas ao “riser”

A força de tração aplicada ao “riser” é composta por uma parcela estática e por

uma parcela dinâmica oriunda do movimento da TLP.

A força axial dinâmica, calculada pela equação III.1, com os deslocamentos de

“heave” da TLP para a condição de mar 09, é mostrada na Figura IV.4, que apresenta

valor máximo de 320,09 kN e mínimo de –316,71 kN.

Figura IV.4 – Parcela dinâmica da força de tração para condição de mar - 09

Para garantir uma tração aplicada ao longo de todo o “riser” de forma a não

proporcionar esforços de compressão, a tração estática é composta das seguintes

parcelas:

Ft(topo) = Pp – Emp + Fo (IV.8)

Ft(base) = Fo (IV.9)

Onde:

Pp = peso próprio do “riser”;

Emp = Força de empuxo;

Fo = Amplitude máxima da força axial dinâmica.

-330-300-270-240-210-180-150-120

-90-60-30

0306090

120150180210240270300330

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400

Tempo (seg)

Forç

a de

Tra

ção

Din

âmic

a (k

N)

33

O valor da tração de referência foi obtido somando-se os valores de peso

próprio para os tubos externo, central, tubos umbilicais e auxiliares, acrescentando o

peso do óleo e da força de compressão devida ao movimento de “heave” da TLP,

subtraindo o valor do empuxo da camisa externa. Todos os valores estão

apresentados na Tabela IV.2.

Para a parcela estática, o “riser” foi submetido à tração axial de mesma direção

à resultante das forças axiais que atuam sobre ele e de sentido contrário.

Tabela IV.2 – Determinação do Esforço de Tração

Peso específico da água (kN/m3) 10,00

Peso específico do aço (kN/m3) 76,90

Peso específico do óleo (kN/m3) 8,40

Força de empuxo na camisa externa (kN) 1.468,63

Peso próprio da camisa externa (kN) 1.512,01

Peso próprio do tubo central (kN) 559,41

Peso próprio dos auxiliares 1, 2 e 3 (kN) 247,07

Peso próprio dos umbiliais 1, 2 e 3 (kN) 56,70

Peso do óleo (kN) 313,26

Peso próprio total (kN) 2.688,45

Peso próprio aparente (kN) 1.219,82

Força axial dinâmica máxima (kN)’ 316,70

Tabela IV.3 – Esforço de tração estática

Tração de referência no topo (kN) 1.536,52

Tração de referência na base (kN) 316,70

34

IV. 4 – Freqüências naturais do riser

O valor da massa total da estrutura do “riser” (mt) é obtida somando-se a

massa da estrutura e a massa de óleo apresentados na Tabela IV.2 com a massa

d’água adicionada obtida pela formulação

mágua = ρaπD2L

4 (IV.10)

onde:

ρa = massa específica da água = 1,0 ton/m3;

D = diâmetro da camisa externa do “riser”;

L = comprimento do “riser”.

O valor da massa total da estrutura, (mt=Pt/g), é obtida somando-se a massa

da estrutura propriamente dita (me), a massa do óleo (mo), e a massa d’água

adicionada (mágua).

me = Peg =

2.375,19 (kN)g (m/s2) = 242,119 ton

mo = Pog =

311,82 (kN)g (m/s2) = 31,927 ton

mágua = 149,71 ton , conforme equção IV.10

Logo, mt = me + mo + mágua = 423,75 ton

mtL = 0,695

tonm

IV.4.1 – Modos de flexão

As freqüências naturais para os três modos de flexão do “riser” rígido foram

obtidas através de:

ωn = n2π2

E I

mt L4 + n π

T1

mt L2 (IV.12)

35

onde:

E = Módulo de elasticidade da estrutura;

I = Momento de inércia;

n = Número do harmônico;

T1= Esforço de tração externa aplicado à cabeça do “riser”;

ωn= freqüência natural; e

mt = Massa total da estrutura por metro linear.

Os valores para os três primeiros modos de vibração à flexão são

apresentados na tabela IV.4

Tabela IV.4 – Freqüências naturais dos modos de flexão do riser

Tração de referência T1

(kN) Formas modais Freqüências naturais (Hz)

1º modo de flexão 0,0413

2º modo de flexão 0,0882 1.536,52

3º modo de flexão 0,1406

IV.4.2 – Modos axiais

A equação para obtenção das freqüências naturais dos modos axiais é

apresentada abaixo, e seus valores, para o “riser” analisado, estão na Tabela IV.5.

ωn(axial) = (2n-1)π

2 EA

mt L2 (IV.13)

onde:

E = Módulo de elasticidade da estrutura;

A = Área da seção transversal do “riser”;

n = Número do harmônico;

ωn(axial)= freqüência natural para os n harmônicos; e

mt = Massa total da estrutura por metro linear.

36

Tabela IV.5 – Freqüências naturais dos modos axiais do riser

Formas modais Freqüências naturais (Hz)

1º modo axial 1,2743



O espectro de freqüência de deslocamento de “heave” da TLP, apresentado na

figura IV.5, foi obtido através da aplicação da transformada rápida de Fourier (FFT) no

sinal da figura IV.2.

Figura IV.5 –Espectro de freqüência do deslocamento de “heave” da TLP.

A densidade espectral do deslocamento de “heave” ocorre em freqüências

distantes da freqüência natural dos modos axiais da estrutura isolada do “riser”

tracionado (vide Figura IV.5 e Tabela IV.5), o que justifica desprezar estes modos

axiais na análise dinâmica do “riser” quando acoplado ao casco da TLP.

Frequência (Hz)

Den

sida

de E

spec

tral (

m)2

s

37

IV.5 – Perfil de corrente

O perfil de corrente utilizado é apresentado na Figura III.2, onde a velocidade

no fundo é igual a zero e no topo igual a 1,68 m/s.

A ação de correntes provoca o desprendimento de vórtices, cuja freqüência

obtida é igual a 0,6311 Hz, distante das freqüências naturais do “riser” apresentadas

naTabela IV.4. Conforme visto na Seção III.5 e equação (III.12), o número de Strauhal

(S) foi tomado igual a 0,21, como na maioria dos casos práticos.

IV. 6 – Resumo das hipóteses adotadas nas análises

Todas as análises foram realizadas sob as seguintes hipóteses:

(i) não é considerada a interação hidroelástica entre “riser” e TLP em

movimento, isto é, as análises são feitas isoladamente;

(ii) portanto as amplitudes de resposta do “riser” com acoplamento do

modo pendular com os modos de flexão resulta dos deslocamentos

impostos na cabeça do “riser”, obtidos na análise isolada da TLP

sob a ação de ondas e correntes, além dessas ações sobre o

próprio “riser” ;

(iii) a cabeça do “riser”, modelado isoladamente, é então submetida a

deslocamentos verticais e transversais simulando o comportamento

do conjunto com o “riser” pendulado em uma TLP;

(iv) os demais deslocamentos angulares (i.e. rotações) da TLP não

foram considerados, já que, os extremos do “riser” são rotulados;

(v) foram consideradas ondas aleatórias simuladas por espectros de

mar cujos parâmetros estão apresentados na Tabela IV.1;

38

(vi) as ondas e correntes têm a mesma direção e a ação da corrente

marinha sobre o “riser” é tomada como estática, exceto na

verificação do efeito de vorticidade;

(vii) o “riser” tem sua extremidade superior rotulada na linha d’água;

(viii) a tração externa aplicada à cabeça do “riser” é variável ao longo do

tempo, devido a ser um somatório da parcela estática (devida ao

peso próprio e empuxo), e uma parcela dinâmica (devida ao

movimento de “heave” da TLP);

(ix) flutuadores não são considerados.

39

CAPÍTULO V

SITEMA DE CONTROLE PASSIVO APLICADO À TLP

V. 1 – Introdução

O objetivo da utilização de sistemas de controle é reduzir ao máximo as

amplitudes dos deslocamentos e, conseqüentemente, das tensões atuantes na

estrutura devido às ações de forças dinâmicas externas (ondas, correntes e vento). O

sistema de controle passivo consiste em dispositivos mecânicos capazes de aplicar

forças de inércia em oposição de fase com o movimento de “heave” da TLP.

O sistema de controle passivo possui custo relativamente baixo de implantação

e, devido a facilidade de execução e instalação pode ser implantado em estruturas já

existentes. A energia necessária para que a atenuação seja iniciada é a própria

energia do movimento da estrutura, excitada por forças externas oriundas das ações

ambientais. Estas são algumas das vantagens deste sistema em comparação a outros

tipos de atenuadores de vibração.

O estudo da dinâmica vertical de sistema de “risers” vem sendo realizado para

a determinação da amplitude de forças dinâmicas e deslocamentos, causados pela

ação de “heave” (deslocamento vertical) da plataforma flutuante.

40

Devido à grande flexibilidade, é necessário mantê-lo sob tração, pois uma

pequena carga de compressão pode leva à flambagem a parede do “riser”.

A ocorrência de grandes variações da força axial dinâmica (tração variável no

tempo) aumenta os danos acumulados por fadiga do material e, conseqüentemente,

reduz a vida útil do “riser”.

A causa dos rompimentos é essencialmente a mesma para todos os “risers”,

ou seja, ela ocorre quando a amplitude de forças dinâmicas excede uma certa fração

da tensão estática.

Resultados mostram que um sistema adequado de compensação de “heave”

(sistema de tracionamento hidráulico), pode reduzir a amplitude de esforços dinâmicos

a valores aceitáveis. Para tal, deve-se manter constante a tensão de tração aplicada

ao “riser” independente da profundidade e condições ambientais.

Neste trabalho é proposto um sistema alternativo, no qual os esforços

dinâmicos serão reduzidos através da utilização de um sistema de controle passivo

acoplado à TLP.

O API (American Petroleum Institute) [13] recomenda que a amplitude máxima

de tensões dinâmicas seja limitada a 15% da tensão estática.

V. 2 – Equação de movimento da TLP sem sistema de controle

Serão aqui apresentadas as equações diferenciais que descrevem, para a

estrutura sem sistema de controle, o movimento hidroelástico de uma plataforma TLP

sob ação das forças ambientais.

Há de se salientar que as deduções e expressões das equações de movimento

(Lagrangeanas) são apresentadas de forma clara por Alves [15]. Neste trabalho serão

expostos apenas os conceitos básicos julgados pertinentes para que o leitor possa

seguir a linha de raciocínio a ser apresentada.

41

Serão apresentadas as equações de movimento de 2ª ordem para os seis

graus de liberdade, conforme mostrado na Figura V.1 (3 translações e 3 rotações).

Figura V.1 – Definição dos 6 graus de liberdade

Equações de Movimento:

m11x..

+ m15θ..

+ m16β..

+ c11x. + c15θ

. + c16β

. + k11x + k15θ + k16β = ƒ1

m22y..

+ m24α..

+ m26β..

+ c22y. + c24α

. + c26β

. + k22y + k24α + k26β = ƒ2

m33z..

+ m34α..

+ m35θ..

+ c33z. + c34α

. + c35θ

. + k33z + k34α + k35θ = ƒ3 (V.2)

m44α..

+m42y..

+m43z..

+m45θ..

+ m46β..

+c44α.+c42y

.+c43z

.+ c45θ

.+c46β

. +k44α+k42y+k43z+k45θ+k46β=ƒ4

m54α..

+m51x..

+m53z..

+m55θ..

+m56β..

+c54α.+c51x

.+c53z

.+c55θ

.+c56β

.+k54α+k51x+k53z+k55θ+k56β=ƒ5

m64α..

+m62y..

+m43x..

+m65θ..

+m66β..

+c64α.+c62y

.+c63x

.+c65θ

.+c66β

.+k64α+ k62y+k63x+k65θ+k66β=ƒ6

As matrizes de massa, amortecimento e rigidez implementadas estão de

acordo com a referência [19]. O vetor das forças externas é constituído pelas forças

devidas às ações de ondas e correntes e ventos atuantes na TLP, conforme discutido

por Alves [15].

Heave(z)

Sway (y) Pitch (θ)

Yaw (β)

Surge (x)

Roll (α)

42

V. 3 – Sistema de controle passivo (SCP) do movimento de “heave” da TLP

A equação de movimento pode ser escrita na forma:

M x..

(t) + C x.(t) + k x(t) = ƒe (t) + ƒA [ x(t) ] (V.1)

Um sistema de controle passivo, conforme diagrama de bloco da Figura.V.2, é

geralmente um mecanismo em que a magnitude da força de controle depende

diretamente das amplitudes de resposta [14].

A força de controle fA (t) gerada pelo sistema auxiliar adicionado à estrutura

depende de x(t) e também das propriedades características do próprio sistema

auxiliar, que são determinadas previamente em função das propriedades dinâmicas da

estrutura e dos níveis desejáveis de redução de vibrações, ou seja, das amplitudes de

resposta do sistema estrutural não-controlado. As propriedades características do SCP

podem depender ainda do tipo de força de excitação, mas não de sua magnitude.

Força de excitação

ƒe (t)

x(t) ƒA [ x(t) ] Resposta

Força de

controle

Figura V.2 – Diagrama de bloco para sistema de controle passivo

Um dos tipos de sistemas dinâmicos de controle passivo mais utilizados para

redução dos níveis de vibrações em estruturas é denominado atenuador de vibração.

Ele consiste em um mecanismo constituído de uma massa, um elemento de mola e

um amortecedor, ligado à estrutura principal na qual se deseja reduzir a amplitude de

deslocamentos.

Estrutura (K,M,C)

Sistema auxiliar

43

Os sistemas passivos de atenuação de energia são indicados como uma das

possíveis medidas corretivas que podem ser utilizadas para a redução dos níveis de

vibração de estruturas civis como passarelas, lajes de prédios comerciais, chaminés,

torres de transmissão, balcões de teatro, ginásios desportivos, estádios, pontes

estaiadas e suspensas, etc.

No caso de atenuador de vibração que consiste em um sistema massa-mola-

amortecedor, a introdução de forças dissipativas, por meio de forças de inércia ou de

amortecimento geradas no próprio sistema auxiliar, altera as propriedades do sistema

estrutural principal.

Para um controle de sistema passivo ser eficiente ele deve ter uma calibração

precisa no que se refere à sua freqüência natural e à sua taxa de amortecimento, para

que as forças de inércia geradas, pelo sistema passivo, se contraponham às forças

que atuam na estrutura principal, fazendo com que o trabalho realizado pelas forças

resultantes distribuídas na estrutura principal seja reduzido. Deste modo, os sistemas

de controle passivo conseguem reduzir os níveis de vibração da estrutura como um

todo, tendo em vista que cada sistema de atenuação atua em um único grau de

liberdade.

O valor da massa auxiliar do sistema de controle passivo deve ser tal que torne

factível a sua utilização. No presente trabalho os valores de massa considerados na

calibração do atenuador ficaram entre 0,05% e 0,80% da massa total da estrutura.

Convém salientar que o valor da massa considerado na análise é o valor total que

deverá ser distribuído pelas quatro colunas onde serão colocados os sistemas de

atenuação, cada um com um quarto do percentual da massa total utilizada como

massa auxiliar.

Nas equações de movimento (Langrangeanas), será introduzido um grau de

liberdade a mais relativo ao atenuador, totalizando sete equações de movimento de 2ª

ordem.

44

m11x..

+ m15θ..

+ m16β..

+ c11x. + c15θ

. + c16β

. + k11x + k15θ + k16β = ƒ1

m22y..

+ m24α..

+ m26β..

+ c22y. + c24α

. + c26β

. + k22y + k24α + k26β = ƒ2 (V.3)

m33z..

+ m34α..

+ m35θ..

+ c33z. + c34α

. + c35θ

. + k33z + k34α + k35θ = ƒ3

m44α..

+m42y..

+m43z..

+m45θ..

+m46β..

+c44α.+c42y

.+c43z

.+c45θ

.+c46β

.+k44α+k42y+k43z+k45θ+k46β=ƒ4

m54α..

+m51x..

+m53z..

+m55θ..

+m56β..

+c54α.+c51x

.+c53z

.+c55θ

.+c56β

.+k54α+k51x+k53z+k55θ+k56β=ƒ5

m64α..

+m62y..

+m43x..

+m65θ..

+m66β..

+c64α.+c62y

.+c63x

.+c65θ

.+c66β

.+k64α+k62y+k63x+k65θ+k66β=ƒ6

Obs: As parcelas emolduradas das equações de movimento referem-se ao atenuador.

V. 4 – Definição da calibração para sistemas de controle passivo

A eficiência de um sistema de controle passivo depende da precisão na sua

calibração, no que se refere à freqüência natural e à taxa de amortecimento utilizado

para o atenuador.

Para a calibração do atenuador são definidas: a massa auxiliar, a taxa de

amortecimento; a freqüência do Atenuador e, conseqüentemente, a rigidez, todos

fornecidos pelas equações (V.4) a (V.7)

Usualmente o sistema atenuador é calibrado obedecendo às seguintes

relações:

µat (%) = Mat m h (V.4) ∴ mat = massa do atenuador

m h = massa de “heave”

(= massa da estrutura)

mabζ..

+ cabζ. + kabζ = - mabz

..

+ cabζ + kabζ

45

ξat = 20% (V.5) ∴ ξat = taxa de amortecimento do

atenuador

(Cat = 2 ξat ωat mat) amortecimento

do atenuador

ωat = 0.9 ω h (V.6) ∴ ωat = freqüência do Atenuador

(rad/s)

ω h = freqüência do “heave” da

plataforma

Kat = ωat2 x mat (V.7) ∴ Kat= rigidez do atenuador

A atuação do atenuador na direção de movimento vertical (“heave”) da TLP é

esquematizada na fig.V.3.

/ / / / / / / / / / / / / / /

Kh C h Z h

MTLP

Zat

Kat Cat ζ = Zat – Z h

Fig. V.3 – Esquema para dois graus de liberdade (deslocamento “heave”+ atenuador)

A eficiência de um sistema de controle passivo depende da precisão na sua

calibração, no que se refere à freqüência natural, à taxa de amortecimento e à massa

utilizada para o atenuador.

Assim sendo, foram propostos vários casos de calibração sendo apresentados

na Tabela V.1 os que proporcionam melhor resultado com uma razão de massa

variável, tal como mostra a Figura V.4.

h → índice para a estrutura(“heave”)

at → índice para o

atenuador ζ → deslocamento relativo

entre a estrutura e oAtenuador

Zh = deslocamento da

estrutura Zat = deslocamento do

atenuador Matenuador

46

Tabela V.1 – Tipos de atenuadores analisados

Tipo de

Atenuador Mat µ (%) ζat ωat = 0,9ωTLP Kat

Tipo 01 1.484,25 0,5 0,200 2,158 6.912,08

Tipo 02 1.187,40 0,4 0,200 2,158 5.529,66

Tipo 03 890,55 0,3 0,.200 2,158 4.147,26

Tipo 04 593,69 0,2 0,200 2,158 2.764,83

Medida como a relação entre as respostas sem controle e com controle

passivo⎝⎛

⎠⎞δef =

xatx0

, a eficiência dos atenuadores é apresentada na Figura V.4 em

função da relação de massa (µ) para o deslocamento de “heave”, analisando-se a

condição de mar – 9.

0,200,250,300,350,400,450,500,550,60

0,00% 0,10% 0,20% 0,30% 0,40% 0,50% 0,60% 0,70% 0,80% 0,90%µ(%)

δef

Figura V.4 – Eficiência dos atenuadores

Observa-se na Figura V.4 que, para valores de µ maiores que 0,50%, a

eficiência na redução da resposta já é em torno de 75%, e para valores de µ maiores

que 0,50% o comportamento assintótico da curva revela que o acréscimo de massa do

sistema atenuador não contribui num aumento significativo de sua eficiência, além de

dificultar, ou até mesmo inviabilizar, sua aplicação prática.

47

CAPÍTULO VI FORMULAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NÃO-LINEARES DE MOVIMENTO DO “RISER”

VI. 1 – Introdução

A estrutura do “riser” é considerada como uma viga bi-rotulada e o seu

movimento no mar é naturalmente tridimensional. O fato das ondas e correntes serem

consideradas de mesma direção faz com que o “riser” tenda a fletir nesta mesma

direção, tornando assim o movimento bidimensional.

Vale a pena salientar, conforme já mencionado anteriormente no Capiítulo II,

item II.1.2, que a análise do “riser” é realizada de forma desacoplada à TLP, ou seja,

existe um modelo matemático para análise do “riser” e outro para análise da TLP.

A formulação matemática para obtenção das equações diferenciais acopladas

de movimento associadas aos modos de vibração foram obtidas a partir do Princípio

Variacional de Hamilton.

O Princípio Variacional de Hamilton estabelece que a variação da energia

cinética, TC, e potencial, V, mais a variação do trabalho realizado pelas forças externas

variáveis no tempo, durante o intervalo de tempo entre t1 e t2, deve ser igual a zero.

48

⌡⌠

t1 t2

δ_

( Tc - V ) dt + ⌡⌠

t1 t2

δ_

Wext dt = 0 (VI.1)

Segue no decorrer da tese a abordagem sobre o deslocamento do “riser” e os

pontos chaves, do algebrismo matemático, para obtenção de cada um dos parâmetros

necessários para determinação das equações de movimento.

VI. 2 – Modos naturais de vibração

Os modos axiais de vibração não serão considerados aqui, como já foi citado e

justificado no item IV.4.2.

As funções de forma para os três primeiros modos de flexão (w1, w2, e w3) e um

modo pendular (wθ) foram considerados, conforme ilustram as Figuras VI.1 a VI.4.

Figura VI.1 - Fator de forma relativo ao 1º modo de vibração à flexão


ψ1(x) = sen ⎝⎛

⎠⎞πx

L (VI.2)

ψ1(x) = sen ⎝⎛

⎠⎞2πx

L (VI.3)

49


Figura VI.4 - Fator de forma relativo ao modo de vibração pendular

A amplitude do modo pendular provocado pelo movimento “sway” da TLP na

cabeça do “riser” Wθ é conhecida e foi obtida a partir do programa desenvolvido por

Alves [15].

Os deslocamentos vertical, u, e de flexão, W, são escritos da seguinte

forma:

u = uF + uI (VI.6)

W = WF + WI (VI.7)

O deslocamento fundamental, uF , que ocorre quando o “riser” está sob a ação

de uma força axial constante, é dado por :

uF = Ft . x EA (VI.8)

e a solução para os deslocamentos incrementais, uI e WI , por :

ψ1(x) = sen ⎝⎛

⎠⎞3πx

L (VI.4)

θ(x) = xL (VI.5)

50

uI = (x , t) = ∑i=1

3 u i (t) . ζ i (x) (VI.9)

W Ii (x , t) = ∑i=1

3 W i (t) . ψ i (x) + Wθ (t).θ (x) (VI.10)

Onde :

uF = componente vertical do deslocamento fundamental da

estrutura sob tração

Ft = força de tração aplicada ao “riser”

x = distância a partir do fundo

E = módulo de elasticidade da estrutura

A = área da seção transversal do “riser”

uI = componente vertical do deslocamento incremental da

estrutura sob tração

ζ i ( x ) = função de forma para o modo axial

ψ i ( x ) = funções de forma para os modos de flexão

θ ( x ) = função de forma para o modo pendular

W I = componente horizontal do deslocamento incremental

da estrutura

W θ = deslocamento do modo pendular

A componente vertical do deslocamento devido à tração é igual a zero (uI = 0)

pois este esforço tem como objetivo reduzir os efeitos de flambagem, minimizando a

possibilidade do efeito de compressão na estrutura do “riser”, e não objetiva o

deslocamento vertical elástico ou inelástico. Mais adiante se tem a explicação

matemática da anulação desta componente.

Finalmente, substituindo-se as funções de forma (VI.2), (VI.3), (VI.4), (VI.5) em

(VI.10), tem-se W I ( x , t ), sob a forma :

W I (x, t) = Wθ ⎝⎛

⎠⎞ X

L + ⎣⎡

⎦⎤sen ⎝

⎛⎠⎞ πx

L W1 (t) + sen ⎝⎛

⎠⎞2πx

L . W2 (t) + sen ⎝⎛

⎠⎞

3πx L . W3 (t)

(VI.11)

51

VI. 3 – Modelo matemático (Princípio Variacional de Hamilton)

VI. 3.1 – Modelo matemático para energia cinética (TC)

A energia cinética, TC , é composta por dois termos. O primeiro representa a

energia cinética devida ao movimento de translação na direção y. O segundo termo

representa a energia cinética devida à rotações de flexão do “riser” [16] :

Tc = ⌡⌠

0

L µ A2 ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞∂ W

∂ t 2

dx + ⌡⌠

0

L

µ I2 ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞∂ 2 W

∂ t ∂ x 2

dx (VI.12)

Onde :

µ = massa específica do material de que é constituído o “riser”

W = WI ( como foi anteriormente)

Substituindo-se os valores de W I em (IV.12), tem-se :

Tc = ⌡⌠

0

L µ A2 ⎣

⎢⎡

⎦⎥⎤∂

∂ t ⎝⎛

⎠⎞ W2 sen

π x L + W3 sen

2π x L + W3 sen

3π x L + Wθ

x L

2 dx +

⌡⌠

0

L µ I2 ⎣

⎢⎡

⎦⎥⎤∂2

∂ t ∂ x ⎝⎛

⎠⎞ W2 sen

π x L + W3 sen

2π x L + W3 sen

3π x L + Wθ

x L

2 dx (VI.13)

Resolvendo-se as respectivas derivadas e integrais da equação (IV.13) tem-se

para a energia cinética do sistema, a seguinte expressão :

Tc = ⎝⎛

⎠⎞µAL

4 + µIπ2

4L W12 + ⎝

⎛⎠⎞µAL

4 + µIπ2

L W22 + ⎝

⎛⎠⎞µAL

4 + 9µIπ2

4L W32

+ ⎝⎛

⎠⎞µAL

6 W θ

(VI.14)

Com já mencionado anteriormente, o modo pendular, W θ , é um termo cujos

valores são conhecidos. Deste modo a expressão para energia cinética reduz-se a :

TC = ⎝⎛

⎠⎞µAL

4 + µIπ2

4L W12 + ⎝

⎛⎠⎞µAL

4 + µIπ2

L W22 + ⎝

⎛⎠⎞µAL

4 + 9µIπ2

4L W32 (VI.15)

52

VI. 3.2 – Modelo matemático para energia potencial (V = Uext + Uf )

A energia de deformação (U) é dada pela equação:

U = 12 ⌡⌠v

σ x . εx dv (VI.16)

Onde :

σ = tensões

ε = deformações

Considerando-se que a estrutura é constituída de material elástico e isotrópico

satisfazendo a Lei de Hooke :

σ X = E . ε X (VI.17)

onde :

σ X = tensões axiais

ε X = deformação específica extensional, ε ext

Substituindo-se (IV.17) em (IV.16), tem-se, para a energia de deformação

extensional :

U = 12 ⌡⌠v

E . εx2 dv (VI.18)

A energia potencial total do sistema é dada por :

V = U ext + U f (VI.19)

Onde :

U ext = energia de deformação elástica extencional

U f = energia de deformação elástica de flexão

53

VI. 3.2.1 – Energia de deformação elástica extencional (Uext)

A deformação extensional pode ser dada aproximadamente por :

εext = ∂ u ∂ x +

1 2 ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞

∂ W I

∂ x 2

(VI.20)

Considerando-se ε ext constante ao longo do “riser” , seu valor médio é igual

a :

ε_

ext = 1 L ⌡

⎮⌠

o

L

⎣⎢⎡

⎦⎥⎤

∂ u ∂ x +

1 2 ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞

∂ W ∂ x

2 dx (VI.21)

Como já foi visto na Seção VI.2, equações (VI.6) e (VI.7): W F = 0, u = uF + uI e

WI = W, que substituídos em (VI.21), fornecem para ε eXt [18] :

ε_

ext = 1 L

⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤

⌡⎮⌠

o

L

∂ uF ∂ x dx +

⌡⎮⌠

o

L

∂ uF ∂ x dx +

1 2 ⌡

⎮⌠

o

L

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞

∂ W I

∂ x 2

dx (VI.22)

Substituindo-se (VI.22) em (VI.18), chega-se à seguinte expressão para a

energia potencial extensional :

U ext = E 2

⌡⎮⎮⌠

v

⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤

⌡⎮⌠

o

L

∂ uF ∂ x dx +

⌡⎮⌠

o

L

∂ uF ∂ x dx +

1 2 ⌡

⎮⌠

o

L

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞

∂ W I

∂ x 2

dx 2

dx (VI.23)

Fazendo-se a integral sobre a área, tem-se que :

U ext = EA 2L2

⌡⎮⎮⌠

0

L

⎣⎢⎢⎡

⎦⎥⎥⎤

⌡⎮⌠

o

L

∂ uF ∂ x dx +

⌡⎮⌠

o

L

∂ uF ∂ x dx +

1 2 ⌡

⎮⌠

o

L

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞

∂ W I

∂ x 2

dx 2

dx (VI.24)

54

A segunda integral da equação (VI.24) se anula, pois as derivadas das funções

ψi(X) são iguais nos contornos x = 0 e x = L. Sendo assim, a energia potencial

extencional passa a ser :

U ext = E 2

⌡⎮⌠

o

L

⎣⎢⎡

⎦⎥⎤

⌡⎮⌠

o

L

∂ uF ∂ x dx +

1 2 ⌡

⎮⌠

o

L

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞

∂ W I

∂ x 2

dx 2

dx (VI.25)

Substituindo-se (VI.8) e (VI.11) em (VI.25) , tem-se :

U ext = EA 2L2

⌡⎮⌠

o

L ⎣⎢⎡

⌡⎮⌠

o

L ∂ ∂ x ⎝

⎛⎠⎞Ft x

EA dx +12⌡⎮

⌠o

L

⎣⎢⎡ ⎣⎢

⎡⎦⎥⎤∂

∂xW1sen⎝⎛

⎠⎞πx

L +⎣⎢⎡

⎦⎥⎤∂

∂x W2sen⎝⎛

⎠⎞2πx

L +

⎭⎪⎬⎪⎫

⎣⎢⎡

⎦⎥⎤∂

∂ x W3 sen⎝⎛

⎠⎞ 3πx

L + ⎦⎥⎤∂

∂ x Wτ⎝⎛

⎠⎞ x

L 2

dx 2

(VI.26)

A força da tração, Ft, que faz parte de (VI.26), é variável ao longo do

comprimento do “riser”, e obedece a seguinte expressão:

F t = F t (FUNDO) + ( ) F t (TOPO) - F t (FUNDO) x L (VI.27)

e os seguintes valores extremos :

para x = 0, então Ft = Ft (FUNDO)

para x = L, então Ft = Ft (TOPO)

Resolvendo-se separadamente a integral de Ft , ao longo do “riser”, tem-se :

⌡⎮⌠

o

L F t dx = ⌡

⌠o

L ⎣

⎡⎦⎤ F t (FUNDO) + ( ) F t (TOPO) - F t (FUNDO)

x L dx

= L 2 ( ) F t (FUNDO) + F t (TOPO) (VI.28)

Substituindo a equação (VI.28) na equação (VI.26) e resolvendo as derivadas e

os termos elevados ao quadrado, aplicando-se a integral de x=0 a x=L, tem-se a

seguinte expressão para a energia potencial extencional:

55

U ext = Ft

2 . L 2 E A +

π2 8 L ( Ft (FUNDO) + Ft (TOPO)) W1

2 + π2 2 L ( Ft (FUNDO) + Ft (TOPO)) W 22 +

9 π 2 8 L ( ) Ft (FUNDO) + Ft (TOPO) W 32 +

F t 2 L W θ

2 + E A π4

3 2 L 3 W 14 +

E A π4 4L 3 W 12 . W2

2 +

EAπ4

2 L3 W2

4 + 9EAπ4

16 L3 W1

2 W32 +

9EAπ4

4L3 W22 W3

2 + 81EAπ4

32 L3 W

34 +

EAπ2

8 L3 W

12 W θ

2 +

EAπ2 2 L3

W 22 . W θ

2 + 9EAπ2 8 L3

W 32 . W θ

2 + EA 8 L3

W θ4 (VI.29)

VI. 3.2.2 – Energia de deformação elástica de flexão (Uf)

Para o cálculo da energia de deformação elástica de flexão, uf, a deformação

devida à mudança de curvatura é dada por [16] :

εf = - y ∂ 2 W ∂ x 2 (VI.30)

Substituindo-se (VI.30) em (VI.18), e sabendo-se que W = WI , tem-se que :

Uf = E2

⌡⎮⌠

v y2 ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞

∂ 2 W I

∂ x 2 2

dv (VI.31)

Fazendo-se a integral sobre a área, chega-se a :

Uf = E I 2

⌡⎮⌠

o

L y2 ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞

∂ 2 W I

∂ x 2 2

dx (VI.32)

Substituindo-se (VI.11) em (VI.32), tem-se :

Uf = E2

⌡⎮⌠

o

L

∂ 2

∂ x 2 ⎝⎛

⎠⎞ W1 sen⎝

⎛⎠⎞π x

L + W2 sen⎝⎛

⎠⎞

2π x L + W3 sen⎝

⎛⎠⎞

3π x L + Wθ

x L

2

dx (VI.33)

Deve-se notar que o termo do modo pendular, Wθ, não aparecerá na expressão

final de Uf , já que, Wθ é conhecido, definindo o modo pendular de corpo rígido.

56

Sendo assim, resolvendo-se (VI.33), tem-se para a expressão final da energia

de deformação elástica de flexão :

Uf = E I π4 4 L 3 W1

2 + 4 E I π4

L 3 W22 +

81 E I π4 4 L 3 W3

2 (VI.34)

Agora, então, substituindo-se (VI.29) e (VI.34) em (VI.19), tem-se para a

energia potencial total do sistema a seguinte expressão :

V = U ext + U f

V = Ft

2 L 2EA +

π 2 8L ( ) Ft (FUNDO) + F t (TOPO) ) W 12 +

π 2 2L ( ) Ft (FUNDO) + F t (TOPO) W 22 +

9π 2 8L ( ) Ft (FUNDO) + F t (TOPO) W 32 +

F t 2 L Wθ

2 + E A π4 32 L3 W 14 +

E A π4 4 L 3 W 12 . W 22 +

E A π4 2 L 3 W 24 +

9E A π4 16 L 3 W 12 . W 32 +

9E A π4 4 L 3 W 22 . W 22 +

81E A π4 32 L 3 W 34 +

E A π2 8 L 3 W 12 . W θ

2 + E A π2 2 L 3 W 22 . W θ

2 + 9E A π2

8 L 3 W 32 . W θ2 +

E A 8 L 3 W θ

4 +

E I π4 4 L 3 W 12 +

4E I π4 L 3 W 22 +

81E I π4 4 L 3 W 32 (VI.35)

VI. 3.3 – Modelo matemático para variação do trabalho das forças externas

VI. 3.3.1 – Modelo matemático devido ao trabalho das forças de amortecimento não conservativas

Considera-se que a energia do sistema durante sua resposta dinâmica é

dissipada por amortecimento viscoso, que surge da interação “riser”-fluido.

Essas forças não conservativas são limitadas a um carregamento transversal

distribuído, FA ( x, t ) , e a variação do trabalho executado por este carregamento é

dado por [17] :

δ Wuc, ext = - ⌡⌠0L FA (x , t) . δ W (x , t) dx (VI.36)

57

Onde:

FA (x, t) = força de amortecimento viscoso

W = W I = componente horizontal do deslocamento incremental

Tem-se que FA é definida por :

FA = CA . W I (x, t) (VI.37)

Onde:

CA = coeficiente de amortecimento

W I = velocidade incremental

Substituindo-se (VI.37) em (VI.36), chega-se a:

δ Wuc, ext = - ⌡⌠

0

L

CA W I.

(x , t) δ W I (x , t) dx (VI.38)

Substituindo-se (VI.11) em (VI.38), passa-se a ter :

δWuc, ext = - CA ⌡⎮⌠

0

L

⎩⎪⎨⎪⎧

⎭⎪⎬⎪⎫

⎣⎢⎡

⎦⎥⎤

W1

. sen⎝

⎛⎠⎞

πxL +W2

.sen⎝

⎛⎠⎞2πx

L +W3

.sen⎝

⎛⎠⎞3πx

L + Wθ

. xL

δ ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤

W1 sen ⎝⎛

⎠⎞πx

L + W 2 sen ⎝⎛

⎠⎞2πx

L + W3 sen ⎝⎛

⎠⎞3πx

L + Wθ

.

xL dx (VI.39)

Resolvendo-se (VI.39) e observando-se que W θ é um parâmetro conhecido

em qualquer tempo t, tem-se, para o trabalho realizado pelas forças de amortecimento

não conservativas, a seguinte expressão :

δ Wuc, ext = - ⎝⎛

⎠⎞ CA

L2 W1 δ W1 + CA

L2 W2 δ W2 + CA

L2 W3 δ W3 (VI.40)

58

VI. 3.3.2 – Modelo matemático devido à equação de onda

A força de onda, Fο (x,t), por unidade de comprimento, é dada pela Equação de

Morison, modificada para estruturas flexíveis. O trabalho realizado pelas forças de

onda, é dado por:

δ W ext, onda = - ⌡⌠oL Fo (x , t) δ W I (x , t) dx (VI.41)

Substituindo-se (III.5) e (VI.11) em (VI.40) , e lembrando conforme abordado no

item IV.1 que a cada instante de tempo é feita a divisão do espectro de mar, tem-se

então:

F0(x,t) = ∑n=1

NDE

⎩⎨⎧⌡⎮⌠

o

L ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤CM ρπD2

4 W0..

+ CaρπD2

4 (W0..

- W..

) + 12CdρD(W0

. - W

.) |W0

. - W

. |

+ ⎭⎪⎬⎪⎫

δ ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤

W1 sen ⎝⎛

⎠⎞πx

L + W 2 sen ⎝⎛

⎠⎞2πx

L + W3 sen ⎝⎛

⎠⎞3πx

L + Wθ

.

xL dx (VI.42)

Substituindo as equações (III.6), (III.7) e (IV.11) em (VI.42), tem-se:

δ W ext, onda = ∑n=1

NDE

⎩⎪⎨⎪⎧

⌡⎮⌠

o

L

⎣⎢⎡

CM ρπ D2

4

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞ 2 π2 Hn

Tn2

cosh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞ 2 π x

λn

senh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞2 π d

λn

sen⎝⎛

⎠⎞-2 π t

Tn +ϕ

+ Caρ πD2

4⎝⎜⎛

⎠⎟⎞ 2π2Hn

Tn2

cosh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞2πx

λn

senh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞2πd

λn

sen⎝⎛

⎠⎞-2πt

Tn+ϕ

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪2π2Hn

Tn2

cosh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞2πx

λn

senh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞2πd

λn

sen⎝⎛

⎠⎞-2πt

Tn+ϕ - W

..

⎦⎥⎤

+ 12CdρD

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞πHn

Tn

cosh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞2πx

λn

senh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞2πd

λn

cos⎝⎛

⎠⎞2πt

Tn+ϕ

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

πHnTn

cosh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞2πx

λn

senh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞2πd

λn

cos⎝⎛

⎠⎞2πt

Tn+ϕ - W

.

⎭⎪⎬⎪⎫

δ ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤

W1 sen ⎝⎛

⎠⎞πx

L + W 2 sen ⎝⎛

⎠⎞2πx

L + W3 sen ⎝⎛

⎠⎞3πx

L + Wθ

.

xL dx (VI.43)

59

Resolvendo-se a integral da equação (VI.43) e desprezando os termos onde

δwτ (variação do modo pendular) está presente, pois o mesmo tem valor nulo por ser

um termo conhecido, obtém-se a seguinte expressão para o trabalho da força de onda.

δWext,onda= ∑n=1

NDE

⎩⎪⎨⎪⎧

⎣⎢⎢⎡

CmρπD2

4 2π2Hn

Tn2 sen⎝

⎛⎠⎞-2πt

Tn +ϕ

πL ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞cosh ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞

2πdλn

cos ⎝⎛

⎠⎞

πd L - 1

senh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞ 2πd

λn ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞4π2

λ2n +

π2

L2

-CaρL D2

4 Wτ

..

+ CdρD

πHnTn

cos⎝⎛

⎠⎞-2πt

Tn +ϕ

πL ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞cosh ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞

2πd λn

cos ⎝⎛

⎠⎞ πd

L - 1 ds1

senh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞ 2πd

λn ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞4π2

λ2n +

π2

L2

- CaρL2

πD2

4 W1

..

+

Ca ρ πD2

4 2π2Hn

Tn2 sen⎝

⎛⎠⎞-2πt

Tn +ϕ

πL ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞cosh ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞

2πd λn

cos ⎝⎛

⎠⎞

πd L - 1

senh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞ 2πd

λn ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞4π2

λ2n +

π2

L2

+

Caρ πD2

42π2Hn

Tn2 sen ⎝

⎛⎠⎞-2πt

Tn +ϕ

2πλn

sen⎝⎛

⎠⎞πd

L

4π2

λ2n+

π2

L2

- Cd ρ L D ds Wτ

.

2π - Cd ρ L D ds W1

.

2π

-

⎦⎥⎥⎤CdρD

πHnTn

cos⎝⎛

⎠⎞-2πt

Tn+ϕ

2πλn

sen⎝⎛

⎠⎞πd

L ds1

4π2

λ2n +

π2

L2

-

CmρπD2

4 2π2Hn

Tn2 sen⎝

⎛⎠⎞-2πt

Tn +ϕ

2πλn

sen⎝⎛

⎠⎞πd

L

4π2

λ2n +

π2

L2

δW1

+

⎣⎢⎢⎡

CmρπD2

4 2π2Hn

Tn2 sen⎝

⎛⎠⎞-2πt

Tn +ϕ

2πλn

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞cosh ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞

2πd λn

cos ⎝⎛

⎠⎞

2πd L - 1

senh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞ 2πd

λn ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞4π2

λ2n +

4π2

L2

- CaρL2

πD2

4 W2

..

+ CdρD

πHnTn

cos⎝⎛

⎠⎞-2πt

Tn +ϕ

2πλn

⎝⎜⎛


⎛⎠⎟⎞

2πd λn

cos ⎝⎛

⎠⎞

2πd L - 1 ds2

senh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞ 2πd

λn ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞4π2

λ2n +

4π2

L2

+ Caρ L2

D2

4 Wτ

..

+

CaρπD2

4 2π2Hn

Tn2 sen⎝

⎛⎠⎞-2πt

Tn +ϕ

2πλn

⎝⎜⎛


⎛⎠⎟⎞

2πd λn

cos ⎝⎛

⎠⎞

2πd L - 1

senh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞ 2πd

λn ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞4π2

λ2n +

4π2

L2

+

CaρπD2

42π2Hn

Tn2 sen⎝

⎛⎠⎞-2πt

Tn +ϕ

2πλ sen⎝

⎛⎠⎞2πd

L

4π2

λ2n +

4π2

L2 -

Cd ρ L D ds Wτ

.


.

2π

60

-

⎦⎥⎥⎤CdρD

πHnTn

cos⎝⎛

⎠⎞-2πt

Tn0+ϕ

2πλn

sen⎝⎛

⎠⎞2πd

L ds2

4π2

λ2n+

4π2

L2

+

CmρπD2

42π2Hn

Tn2 sen⎝

⎛⎠⎞-2πt

Tn+ϕ

2πλ sen⎝

⎛⎠⎞2πd

L

4π2

λ2n+

4π2

L2

δW2

+

⎣⎢⎢⎡

CmρπD2

4 2π2Hn

Tn2 sen⎝

⎛⎠⎞-2πt

Tn +ϕ

3πλn

⎝⎜⎛


⎛⎠⎟⎞

2πd λn

cos ⎝⎛

⎠⎞

3πd L - 1

senh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞ 2πd

λn ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞4π2

λ2n +

9π2

L2 - Caρ

L2

πD2

4 W3

..

+ CdρD

πHnTn

cos⎝⎛

⎠⎞-2πt

Tn0 +ϕ

3πL ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞cosh ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞

2πd λn

cos ⎝⎛

⎠⎞

3πd L - 1 ds3

senh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞ 2πd

λn ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞4π2

λ2n +

9π2

L2 -Caρ

L3

D2

4 Wτ

..

-

CaρπD2

42π2Hn

Tn2 sen⎝

⎛⎠⎞-2πt

Tn+ϕ

2πλn

sen⎝⎛

⎠⎞3πd

L

4π2

λ2n+

9π2

L2

- Cd ρ L D ds Wτ

.


.

2π

+

CaρπD2

4 2π2Hn

Tn2 sen⎝

⎛⎠⎞-2πt

Tn +ϕ

3πλn

⎝⎜⎛


⎛⎠⎟⎞

2πd λn

cos ⎝⎛

⎠⎞

3πd L - 1

senh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞ 2πd

λn ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞4π2

λ2n +

9π2

L2

-

⎦⎥⎥⎤

CmρπD2

42π2Hn

Tn2 sen⎝

⎛⎠⎞-2πt

Tn+ϕ

2πλn

sen⎝⎛

⎠⎞3πd

L

4π2

λ2n+

9π2

L2

+CdρD

πHnTn

cos⎝⎛

⎠⎞-2πt

Tn +ϕ

2πλn

sen⎝⎛

⎠⎞3πd

L ds3

4π2

λ2n +

9π2

L2

δW3

(VI.44)

Onde :

Ca = CM - 1.0

CM = coeficiente de inércia

Cd = coeficiente de arrasto

d = lâmina d’água

VI = velocidade da corrente na parte inferior do “riser”

VS = velocidade da corrente na parte superior do “riser”

λ = comprimento de onda

dsi = valor absoluto da velocidade relativa entre o fluido e a estrutura

L = comprimento do “riser”

Wi

.. = aceleração para os três modos

61

Wi

. = velocidade para os três modos

Wi = deslocamento para os três modos

VI. 3.3.3 – Modelo matemático devido à ação estática da corrente marinha

A partir da formulação:

δ Wext,corrente = - ⌡⌠0d Fc (x , t) . δ Wi (x , t) dx (VI.45)

onde:

Fc(x) = 12 Cd ρ D V2

c ; e (VI.46)

W I (x, t) é apresentado pela equação (VI.11)

Substituindo (VI.11) e (VI.46) em (VI.45), obtém-se:

δWext,corrente =- ⌡⌠

0

d12 CdρDV2

c δ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤

W1sen ⎝⎛

⎠⎞πx

L + W2 sen⎝⎛

⎠⎞2πx

L +W3sen⎝⎛

⎠⎞3πx

L +Wθ

.

xL dx (VI.47)

De acordo com a Figura III.2, a expressão para velocidade de corrente ao longo

do “riser” é dada por Vc, a partir das condições de contorno aplicadas na equação da

reta. Assim sendo, Vc = Vi + ( )Vs - Vi xd (VI.48)

Resolvendo a integral e lembrando-se de que:

δWθ = 0 (VI.49)

obtém-se para o trabalho realizado pela força de corrente a seguinte expressão:

62

δWext,corrente=-12 Cd ρ D V2

cδW1⎩⎨⎧V2

i Lπ⎝

⎛⎠⎞1-cos⎝

⎛⎠⎞πd

L -L2

dπ2sen⎝⎛

⎠⎞πd

L +2L3

d2π3 ⎝⎛

⎠⎞1-cos ⎝

⎛⎠⎞πd

L -

2VsVi⎝⎜⎛

⎠⎟⎞3L2

dπ2sen⎝⎛

⎠⎞πd

L +⎝⎛

⎠⎞2L3

d2π3-2Lπ cos ⎝

⎛⎠⎞πd

L -2L3

d2π3⎭⎪⎬⎪⎫

V2s⎝⎜⎛

⎠⎟⎞2L2

dπ2sen⎝⎛

⎠⎞πd

L +⎝⎛

⎠⎞2L3

d2 π3-Lπ cos⎝

⎛⎠⎞πd

L -2L3

d2 π3

- 12 Cd ρ D V2

c δW2 ⎩⎪⎨⎪⎧ V2

i ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤

L2π +cos ⎝

⎛⎠⎞2πd

L ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞2Lπ2d2-L2

4π3d2 -sen ⎝⎛

⎠⎞2πd

L ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞πL2-L2

4π3d -

2VsVi⎣⎢⎡

⎦⎥⎤sen⎝

⎛⎠⎞2πd

L ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞L2-2πL2

4π3d -cos⎝⎛

⎠⎞2πd

L ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞L3-L2

4π3d2 + L3

4π3d2

⎭⎪⎬⎪⎫

V2s ⎣⎢

⎡⎦⎥⎤ -

L2

2dπsen⎝⎛

⎠⎞2πd

L + L3

4π3d2 - ⎝⎛

⎠⎞L3

4π3 - d2L2π cos ⎝

⎛⎠⎞πd

L

- 12 Cd ρ D V2

c δW3 ⎩⎪⎨⎪⎧ V2

i ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤-

L3π +

2L3

27π3d2 +cos ⎝⎛

⎠⎞3πd

L ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞2L3-9π3d2

27π3d2 -sen ⎝⎛

⎠⎞3πd

L ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞−3L2

4π3d -

2VsVi ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤ sen ⎝

⎛⎠⎞3πd

L ⎝⎛

⎠⎞-L2

9π3d + cos ⎝⎛

⎠⎞3πd

L ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞-2Lπ2d2+2L3

27π3d2 + 2L3

27π3d2

⎭⎪⎬⎪⎫

V2s ⎣⎢

⎡⎦⎥⎤ sen ⎝

⎛⎠⎞3πd

L ⎝⎛

⎠⎞-2L2

9π3d + cos ⎝⎛

⎠⎞3πd

L ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞-2Lπ2d2+2L3

27π3d2 + 2L3

27π3d2 (VI.50)

VI. 4 – Equações diferenciais não-lineares de movimento

O termo TC – V = L da equação VI.1 é conhecido como o Lagrangeano do

sistema. Sendo assim, a equação relativa ao princípio de Hamilton toma a forma

geral:

⌡⌠

t2t1

δ_

L dt + ⌡⌠

t2t1

δ_

W ext dt = 0 (VI.51)

Tendo sido definida cada uma das parcelas da formulação do Princípio

Variacional de Hamilton, resolve-se a integral e obtém-se a equação de Movimento

associada aos três primeiros modos de vibração considerados.

Vale a pena salientar que os termos δW1, δW2 e δW3, que apareceram na

resolução da integral, são arbitrários.

Pode-se fazer δW2 e δW3 nulos, obtendo-se a primeira equação de movimento.

Em seguida faz-se δW1, δW3 nulos e resulta a segunda equação de movimento. E

finalmente, fazendo-se δW1, δW2 nulos obtém-se a terceira equação de movimento.

63

Deste procedimento resultam três equações deferenciais não-lineares acoplada de

movimento.

A equação diferencial de movimento associada ao 1º modo de vibração fica

então sob a seguinte formulação:

⎣⎢⎡

⎦⎥⎤

µAL

2 + µIπ2

2L + CaρL2

πD2

4 W1

.. = - ⎝

⎛⎠⎞ Ca ρ

D2

4 L Wθ

.. - ⎝

⎛⎠⎞1

2 CdρLπD ds4 Wθ

. -

⎝⎛

⎠⎞CA

L2 +

12 Cd ρ

L2 D ds1 W 1

. - ⎣

⎡⎦⎤ π2

4L ( )Ft (FUNDO) + Ft (TOPO) + EAπ2

4L3 Wθ2 +

EIπ4

2L3 W1 -

EAπ4

8L3 W13 -

EIπ4

2L3 W1 W22 -

9EAπ4

8L3 W1 . W3

2 =

+ ∑n=1

NDE

⎩⎪⎨⎪⎧

CmρπD2

4 2π2Hn

Tn2 sen⎝

⎛⎠⎞-2πt

Tn +ϕ

πL ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞cosh ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞

2πd λn

cos ⎝⎛

⎠⎞

πd L - 1

senh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞ 2πd

λn ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞4π2

λ2n +

π2

L2

+ CdρD

πHnTn

cos⎝⎛

⎠⎞-2πt

Tn +ϕ

πL ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞cosh ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞

2πd λn

cos ⎝⎛

⎠⎞

πd L - 1

senh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞ 2πd

λn ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞4π2

λ2n +

π2

L2

-

⎭⎪⎬⎪⎫CdρD

πHnTn

cos⎝⎛

⎠⎞-2πt

Tn+ϕ

2πλn

sen⎝⎛

⎠⎞πd

L4π2

λ2n +

π2

L2

-

CmρπD2

4 2π2Hn

Tn2 sen⎝

⎛⎠⎞-2πt

Tn +ϕ

2πλn

sen⎝⎛

⎠⎞πd

L

4π2

λ2n +

π2

L2

- 12 Cd ρ D V2

c δw1 ⎩⎨⎧ V2

i Lπ ⎝

⎛⎠⎞1-cos ⎝

⎛⎠⎞πd

L -L2

dπ2sen ⎝⎛

⎠⎞πd

L + 2L3

d2π3 ⎝⎛

⎠⎞1-cos ⎝

⎛⎠⎞πd

L -

2VsVi ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞

3L2

dπ2sen⎝⎛

⎠⎞πd

L + ⎝⎛

⎠⎞2L3

d2 π3 - 2L

π cos ⎝⎛

⎠⎞πd

L -2L3

d2π3

⎭⎪⎬⎪⎫

V2s ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞

2L2

dπ2sen⎝⎛

⎠⎞πd

L + ⎝⎛

⎠⎞2L3

d2 π3 - L

π cos ⎝⎛

⎠⎞πd

L - 2L3

d2 π3 (VI.52)

64

A equação diferencial de movimento associada ao 2º modo de vibração é:

⎣⎢⎡

⎦⎥⎤

⎝⎛

⎠⎞

µ A L 2 +

2 µ I π2 L + Ca ρ

L 2

π D 2 4 W

..2 = ⎝

⎛⎠⎞ Ca ρ

D2 4

L 2 W

..θ +

⎝⎛

⎠⎞

1 2 C d ρ

L 2 π Dds4 W

.θ - ⎝

⎛⎠⎞ CA

L 2 +

1 2 Cd ρ

L 2 Dds2 W

.2 -

⎣⎡

⎦⎤

π 2 L ( ) F t (FUNDO) + Ft (TOPO) +

E A π2 L 3 W θ

2 + 8E I π4

L3 W 2 - 2 E A π4

L 3 W23

-

E A π4 2 L 3 W 1

2 . W 2 - 9 E A π4

2 L 3 W2 . W3 2 =

+ ∑i=1

NDE

⎩⎪⎨⎪⎧Cmρ

πD2 4

2π2Hn

Tn2 sen⎝

⎛⎠⎞-2πt

Tn +ϕ

2πλn

⎝⎜⎛


⎛⎠⎟⎞

2πd λn

cos ⎝⎛

⎠⎞

2πd L - 1

senh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞ 2πd

λn ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞4π2

λ2n +

4π2

L2

+ CdρD

πHnTn

cos⎝⎛

⎠⎞-2πt

Tn +ϕ

2πλn

⎝⎜⎛


⎛⎠⎟⎞

2πd λn

cos ⎝⎛

⎠⎞

2πd L - 1

senh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞ 2πd

λn ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞4π2

λ2n +

4π2

L2

-

⎭⎪⎬⎪⎫

CdρD

πHnTn

cos⎝⎛

⎠⎞-2πt

Tn0+ϕ

2πλn

sen⎝⎛

⎠⎞2πd

L4π2

λ2n+

4π2

L2

+

CmρπD2

42π2Hn

Tn2 sen⎝

⎛⎠⎞-2πt

Tn +ϕ

2πλ sen⎝

⎛⎠⎞2πd

L

4π2

λ2n +

4π2

L2

- 12 Cd ρ D V2

c δw2 ⎩⎪⎨⎪⎧ V2

i ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤

L2π +cos ⎝

⎛⎠⎞2πd

L ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞2Lπ2d2-L2

4π3d2 -sen ⎝⎛

⎠⎞2πd

L ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞πL2-L2

4π3d -

2VsVi ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤ sen ⎝

⎛⎠⎞2πd

L ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞L2-2πL2

4π3d - cos ⎝⎛

⎠⎞2πd

L ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞L3-L2

4π3d2 + L3

4π3d2

⎭⎪⎬⎪⎫

V2s ⎣⎢

⎡⎦⎥⎤ -

L2

2dπsen⎝⎛

⎠⎞2πd

L + L3

4π3d2 - ⎝⎛

⎠⎞L3

4π3 - d2L2π cos ⎝

⎛⎠⎞πd

L (VI.53)

65

A equação diferencial de movimento associada ao 3º modo de vibração é:

⎣⎢⎡

⎦⎥⎤

⎝⎛

⎠⎞

µ A L 2 +

2 µ I π2 L + Ca ρ

L 2

π D 2 4 W

..3 = ⎝

⎛⎠⎞ Ca ρ

D2 4

L 3 W

..θ +

⎝⎛

⎠⎞

1 2 C d ρ

L 3 π Dds4 W

.θ - ⎝

⎛⎠⎞ CA

L 2 +

1 2 Cd ρ

L 2 Dds3 W

.3 -

⎣⎡

⎦⎤

9π 2 4L ( ) F t (FUNDO) + Ft (TOPO) +

9E A π2 4L 3 W θ

2 + 81 E I π4

2L3 W 3 - 81E A π4

8L 3 W33

-

9E A π4 8L 3 W 1

2 . W 3 - 9E A π4

8L 3 W3 . W2 2 =

+ ∑i=1

NDE

⎩⎪⎨⎪⎧Cmρ

πD2 4

2π2Hn

Tn2 sen⎝

⎛⎠⎞-2πt

Tn +ϕ

3πλn

⎝⎜⎛


⎛⎠⎟⎞

2πd λn

cos ⎝⎛

⎠⎞

3πd L - 1

senh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞ 2πd

λn ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞4π2

λ2n +

9π2

L2

+ CdρD

πHnTn

cos⎝⎛

⎠⎞-2πt

Tn0 +ϕ

3πL ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞cosh ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞

2πd λn

cos ⎝⎛

⎠⎞

3πd L - 1

senh⎝⎜⎛

⎠⎟⎞ 2πd

λn ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞4π2

λ2n +

9π2

L2

-

⎭⎪⎬⎪⎫Cmρ

πD2

42π2Hn

Tn2 sen⎝

⎛⎠⎞-2πt

Tn+ϕ

2πλn

sen⎝⎛

⎠⎞3πd

L

4π2

λ2n+

9π2

L2

+CdρD

πHnTn

cos⎝⎛

⎠⎞-2πt

Tn +ϕ

2πλn

sen⎝⎛

⎠⎞3πd

L

4π2

λ2n +

9π2

L2

- 12 Cd ρ D V2

c δw2 ⎩⎪⎨⎪⎧ V2

i ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤-

L3π +

2L3

27π3d2 +cos ⎝⎛

⎠⎞3πd

L ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞2L3-9π3d2

27π3d2 -sen ⎝⎛

⎠⎞3πd

L ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞−3L2

4π3d -

2VsVi ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤ sen ⎝

⎛⎠⎞3πd

L ⎝⎛

⎠⎞-L2

9π3d + cos ⎝⎛

⎠⎞3πd

L ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞-2Lπ2d2+2L3

27π3d2 + 2L3

27π3d2

⎭⎪⎬⎪⎫

V2s ⎣⎢

⎡⎦⎥⎤ sen ⎝

⎛⎠⎞3πd

L ⎝⎛

⎠⎞-2L2

9π3d + cos ⎝⎛

⎠⎞3πd

L ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞-2Lπ2d2+2L3

27π3d2 + 2L3

27π3d2 (VI.54)

Pode-se observar que as equações de movimento são acopladas em termos

de deslocamentos.

Nas equações anteriores, o termo Caρ L2

πD2

4 representa massa d’água

adicionada, e o termo 12 Cd ρ Ddsi é interpretado como sendo o coeficiente de

amortecimento hidrodinâmico.

66

As equações de movimento aqui apresentadas foram resolvidas

numericamente utilizando-se o algoritmo de Runge-Kutta [18], o qual transforma as n

equações diferenciais de 2ª ordem em 2n equações de 1ª ordem.

Também foi utilizado um processo interativo, considerando-se a velocidade

relativa entre a estrutura (em um determinado ponto) e as partículas de fluido no

movimento da onda (ver equação(IV.6)).

Como ponto de partida desse processo iterativo, considera-se que a velocidade

da estrutura tenha valor inicial nulo.

VI. 5 – Expressões dos deslocamentos, momentos, rotações e tensões atuantes.

VI. 5.1 – Expressão para deslocamento resultante

Os deslocamentos modais num certo tempo t = t_

são representados a seguir,

por W1

_, W2

_, W3

_,. Estes deslocamentos são obtidos por processo iterativo, para cada

modo de vibração. A partir deles pode-se obter a velocidade e aceleração, para este

mesmo tempo t_

.

As expressões para os deslocamentos da estrutura para até três modos de

vibração, variáveis a cada intervalo de tempo, são dadas por :

DESL 1 = W1

_ sen ⎝

⎛⎠⎞

πxL (VI.55)

DESL 2 = W2

_ sen ⎝

⎛⎠⎞

2πxL (VI.56)

DESL 3 = W3

_ sen ⎝

⎛⎠⎞

3πxL (VI.57)

Onde x é uma posição arbitrária ao longo do “riser”, em relação à qual deseja-se saber

o comportamento da estrutura.

67

VI. 5.2 – Expressão para momento fletor

Considerando-se o “riser” como uma viga, o momento fletor é dado por :

M = EI W1 ‘’ , 1 = 1, 2, 3 (VI.58)

onde, Wi‘’, é a segunda derivada dos deslocamentos para os três modos de vibração,

dados por (VI.56), (VI.57), (VI.58), como mostrado a seguir :

W1’’ = - π2

L2 sen ⎝⎛

⎠⎞

πxL . W1

_ (VI.59)

W2’’ = - 4π2

L2 sen ⎝⎛

⎠⎞

2πxL . W2

_ (VI.60)

W3’’ = - 9π2

L2 sen ⎝⎛

⎠⎞

3πxL . W3

_ (VI.61)

Logo, substituindo-se (VI.59), (VI.60), (VI.61) em (VI.58), tem-se as expressões

dos momentos fletores para os tres modos de vibração :

M1 = - EI π2

L2 sen ⎝⎛

⎠⎞

πxL . W1

_ (VI.62)

M2 = - EI 4π2

L2 sen ⎝⎛

⎠⎞

2πxL . W2

_ (VI.63)

M3 = - EI 9π2

L2 sen ⎝⎛

⎠⎞

3πxL . W3

_ (VI.64)

VI. 5.3 – Expressão para tensões atuantes

As tensões atuantes sobre o “riser” são as tensões normais (σx) , causadas

pela força de tração (Ft) e pelo momento fletor (M), e tensões circunferenciais (σY)

causadas pelo diferencial de pressões (externa-interna). As tensões radiais (σZ) não

serão consideradas, devido à pequena espessura da camisa do “riser”, a qual é aqui

considerada estanque.

68

São as seguintes as expressões para as tensões atuantes :

σX = FtA -+

MWR

= σt + σf (VI.65)

σY = p_

. Rmed e (VI.66)

onde,

WR = I

Rext = momento resistente

I = momento de inércia

Rext = raio externo do “riser”

Ft = força de tração

M = momento fletor

A = área da seção transversal do “riser”

p_

= pressão externa, resultante do diferencial de pressão

pex = γa x h ; para p_

= pressão externa hidrostática

γa = peso específico da água do mar

Rmed = raio médio

e = espessura do “riser”

As tensões de flexão, (σF), podem ser obtidas substuindo-se (VI.62), (VI.63),

(VI.64) na segunda parcela da equação (VI.65) (referente às tensões de flexão),

resultando as expressões mostradas a seguir :

σF1 = - E π2

L2 Rext . sen ⎝⎛

⎠⎞πx

L . W1

_ (VI.67)

σF2 = - E 4π2


⎠⎞

2πxL . W2

_ (VI.68)

σF3 = - E 9π2


⎠⎞

3πxL . W3

_ (VI.69)

A parcela relativa à força de tração é dada por:

69

σt = σest + σdin = FestA +

E δL , (VI.70)

sendo a tensão normal total dada por:

σx = Fconst

A + E δL + ∑

i=1

n

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

E n2π2


⎠⎞

nπxL wn (VI.71)

Convém observar que a área foi tomada sempre, em relação à dimensão mais

externa do “riser” (tubo + encamisamento) , já que a tração é aplicada na parte mais

externa.

Para o momento de inércia, I, foi considerado um valor médio, levando-se em

conta todos os tubos que compõem o “riser”.

VI. 5.4 – Estimativa de tensão máxima A estimativa de tensões máximas a partir das respostas aleatórias no tempo

dos sinais de tensão normal foram feitas através da relação [10]:

σmáx = ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤ln(N) +

0,2886ln(N)

σrms

O valor médio quadrático (σrms) da tensão normal foi obtido a partir do sinal de tensão

no tempo da fórmula:

σrms = 1N ∑

i=1

n σi

2

Onde:

N = número do pontos do sinal no tempo; e

σ� = tensão normal em cada instante de tempo.

70

CAPÍTULO VII APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS

VII. 1 – Introdução

Neste capítulo são apresentadas as análises feitas sobre o comportamento do

“riser” sem sistema de controle e com a implementação de sistema de controle passivo.

A força de onda foi abordado no item III.3 e o desenvolvimento do modelo

matemático encontra-se no item VI.3.3.2. A força de corrente foi abordada no item III.4 e o

desenvolvimento do modelo matemático está no item VI.3.3.3.

A fim de facilitar a análise dos resultados obtidos graficamente, é apresentada a

Tabela VII.1 com as freqüências naturais das estruturas e reapresentada a Tabela IV.1,

que aborda os dados de onda para fadiga, segundo uma abordagem estocástica,

coletados na Bacia de Campos dos Goytacazes.

71

Tabela VII.1 – Freqüência naturais

Estrutura analisada Formas modais Freqüências naturais (Hz)


2º modo axial 3,8228 “riser” (modo axial)


1º modo flexão 0,0413

2º modo flexão 0,0882 “riser” (modo de flexão)

3º modo flexão 0,1406

Direção “heave” 0,3817

Direção “surge” 0,0078 TLP

Direção “sway” 0,0078

Atenuador Direção “heave” 0,3434

Tabela IV.1 – Condições de mar

Condição

de mar

Altura

significativa

Hs- (m)

Período de

cruzamento

em zeroTz -

(s)

Número de

registros no

período de

3 horas

Ocorrência

em 1 ano

medida em

segundos

% de

ocorrência da

onda em 1

ano

1 0,75 5,24 66 712.800 2,26%

2 1,25 5,27 747 8.067.600 25,58%

3 1,75 5,77 1137 12.279.600 38,94%

4 2,25 6,26 572 6.177.600 19,59%

5 2,75 6,89 256 2.764.800 8,77%

6 3,25 7,72 95 1.026.000 3,25%

7 3,75 7,89 23 248.400 0,79%

8 4,25 8,20 19 205.200 0,65%

9 4,75 9,00 5 54.000 0,17%

Total 2.920 31.536.000 100.00%

72

VII.2 – Análise do “Riser” para as condições de mar mais desfavoráveis

Observa-se que na Tabela IV.1, dentre as várias condições de mar adotadas, as

quais caracterizam ação da força de onda, que a mais desfavorável devido à altura

significativa e ao período de cruzamento em zero é a condição de mar – 09, a qual

proporcionará os maiores valores de tensões e deslocamentos.

As ondas consideradas como as mais desfavoráveis para o estudo da vida útil do

“riser” são aquelas que acumulam maiores danos ao processo de fadiga devido ao alto

índice de ocorrência. A de maior índice é a condição de mar – 03.

Visando obter conhecimento sobre o comportamento do “riser”, inicialmente foram

feitas análises mais detalhadas para estas duas condições de mar.

VII.2.1 - Gráficos das tensões de flexão

São apresentados a seguir os gráficos de tensão de flexão para o “riser” sem e

com a adoção do sistema de controle para as condições de mar 03 (Figura VII.1.a) e mar

09 (Figura VII.2.a). Estes gráficos representam os diagramas de variação de tensões de

flexão em certos instantes de tempo t, para os quais estas tensões alcançaram seus

valores máximos ao longo da resposta dinâmica sob a ação destas condições de mar.

Pode-se abservar nestas figuras que, para ambas as condições de mar, a

amplitude de tensão de flexão máxima ocorre numa seção a 3/4 do comprimento do

“riser” (x=457,5 metros). Observa-se também que o sistema de controle praticamente não

tem influência nestas respostas de tensão de flexão, uma vez que este se encontra

acoplado ao movimento de “heave” da TLP, ou seja, é associado ao esforço de tração

aplicado no topo do “riser”.

São apresentados, também, para estes mesmos instantes t, os gráficos de

tensões normais (tensão de tração + tensão de flexão) ao longo do “riser” com e sem

73

sistema de controle para as condições de mar 03 (Figura VII.1.b) e mar 09 (Figura

VII.2.b). Nestas figuras foram reapresentados os gráficos das tensões de flexão

mostrados nas Figuras VII.1.a e VII.2.a, respectivamente, para as condições de mar 03 e

mar 09. Observa-se que, para ambas as condições de mar, a parcela da tensão devida

ao esforço de tração é predominante.

Figura VII.1a – Envoltória da tensão de flexão para condição de mar –03 em t=146,70 s

Figura VII.1b – Envoltória de tensões para a condição de mar – 03 em t = 146,70 s

061122183244305366427488549610

-1.95 -1.80 -1.65 -1.50 -1.35 -1.20 -1.05 -0.90 -0.75 -0.60 -0.45 -0.30 -0.15 0.00Tensão de flexão (MPa)

Com

prim

ento

do

riser

(m)

Tensão de flexão Tensão de flexão atenuada

061

122183244305366427488549610

-4.0 0.0 4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 24.0 28.0 32.0 36.0 40.0 44.0 48.0Tensões (MPa)

Com

prim

ento

do

riser

(m) Tensão normal

Tensão de tração Tensão de flexão Tensão normal atenuada Tensão de tração atenuada Tensão de flexão atenuada

Nív

eis

x(m

) do

“ris

er”

Nív

eis

x(m

) do

“ris

er”

1,95 1,80 1,65 1,50 1,35 1,20 1,05 0,90 0,75 0,60 0,45 0,30 0,15 0,00

-4,0 0,0 4,0 8,0 12,0 16,0 20,0 24,0 28,0 32,0 36,0 40,0 44,0 48,0

Tensões (MPa)

74

Figura VII.2a – Envoltória da tensão de flexão para condição de mar – 09 em t=58,05 s

Figura VII.2b – Envoltória de tensões para a condição de mar – 09 em t=58,05 s

061

122183244305366427488549610

-2.30 -2.05 -1.80 -1.55 -1.30 -1.05 -0.80 -0.55 -0.30 -0.05 0.20 0.45Tensão de flexão (MPa)

Com

prim

ento

do

riser

(m)

Tensão de flexão Tensão de flexão atenuada

Nív

eis

x(m

) do

“ris

er”

061

122183244305366427488549610

-3.0 0.0 3.0 6.0 9.0 12.0 15.0 18.0 21.0 24.0 27.0 30.0 33.0 36.0 39.0 42.0 45.0 48.0 51.0 54.0Tensões (MPa)

Nív

eis

do r

iser

(m

)

Tensão normal Tensão de tração Tensão de flexão Tensão normal atenuada Tensão de tração atenuada Tensão de flexão atenuada

-2,30 -2,05 -1,80 -1,55 -1,30 -1,05 -0,80 -0,55 -0,30 -0,05 0,20 0,45

-3,0 0,0 3,0 6,0 9,0 12,0 15,0 18,0 21,0 24,0 27,0 30,0 33,0 36,0 39,0 42,0 45,0 48,0 51,0 54,0

Tensões (Mpa)

75

VII.2.2 – Envoltória de tensões normais às seções ao longo do “riser”

Inicialmente são apresentadas as envoltórias de tensões dinâmicas (parcela da

tração dinâmica + flexão) para o “riser” sem e com adoção do sistema de controle para as

condições de mar 03 (Figuras VII.3.a e b) e mar 09 (Figuras VII.4.a e b). Os valores das

tensões máximas foram estimados de acordo com o item VI.5.4.

Observa-se, nestas figuras, uma grande redução nas amplitudes da tensão

máxima quando se acopla o sistema de controle ao movimento de “heave” da TLP

(Figuras VII.3.b e VII.4.b), o que provoca a diminuição da parcela de tensão devida à

tração dinâmica.

As Figuras VII.5.(a e b) apresentam, respectivamente, as envoltórias de tensão

total (estática + dinâmica) para as condições de mar 03 e mar 09. Observa-se, nestas

figuras, que, para as condições de mar analisadas, as máximas tensões ocorrem no topo

do “riser”

76

Figura VII.3.a – Envoltória da tensão dinâmica (parcela de tração + parcela de flexão)

para a condição de mar – 03 sem sistema de atenuação passiva

Figura VII.3.b - Envoltória da tensão dinâmica (parcela de tração + parcela de flexão) para

a condição de mar – 03 com sistema de atenuação passiva

0

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

6 0 0

7 0 0

1 .9 6 0 1 .9 7 0 1 .9 8 0 1 .9 9 0 2 .0 0 0 2 .0 1 0 2 .0 2 0 2 .0 3 0 2 .0 4 0 2 .0 5 0

T e n s ã o d e tra ç ã o d in â m ic a + f le xã o (M P a )

Nív

eis

do ri

ser (

m)

0

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

6 0 0

7 0 0

0 .6 5 0 0 .6 7 5 0 .7 0 0 0 .7 2 5 0 .7 5 0 0 .7 7 5 0 .8 0 0 0 .8 2 5 0 .8 5 0 0 .8 7 5

Te ns ã o d e tra ç ã o d inâ m ic a + fle xã o (M P a )

Nív

eis

do ri

ser (

m)

Nív

eis

x(m

) do

“ris

er”

Nív

eis

x(m

) do

“ris

er”

1,96 1,97 1,98 1,99 2,00 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 Tensão de tração dinâmica + flexão (MPa)

0,650 0,675 0,7000 0,725 0,750 0,775 0,800 0,825 0,850 0,875 Tensão de tração dinâmica + flexão (MPpa)

77

Figura VII.4.a - Envoltória da tensão dinâmica (parcela de tração + parcela de flexão) para

a condição de mar – 09 sem sistema de atenuação passiva

Figura VII.4.b - Envoltória da tensão dinâmica (parcela de tração + parcela de flexão)

para a condição de mar – 09 com sistema de atenuação passiva

0

100

200

300

400

500

600

700

9.35 9.4 9.45 9.5 9.55 9.6 9.65 9.7Tensão de traç ão dinâm ic a + flexão (MPa)

Nív

eis

do ri

ser (

m)

0

100

200

300

400

500

600

700

4.05 4.10 4.15 4.20 4.25 4.30 4.35 4.40 4.45 4.50 4.55 4.60Tensão de traç ão dinâm ic a + flexão (MPa)

Nív

eis

do ri

ser (

m)

Nív

eis

x(m

) do

“ris

er”

Nív

eis

x(m

) do

“ris

er”

78

Figura VII.5.a - Envoltória da tensão normal total (parcela tração dinâmica + parcela

tração estática + parcela de flexão) para a condição de mar – 03 com e sem sistema de

atenuação passiva

Figura VII.5.b Envoltória da tensão normal total (parcela tração dinâmica + parcela tração

estática + parcela de flexão) para a condição de mar – 09 com e sem sistema de

atenuação passiva

0

100

200

300

400

500

600

700

0 .00 10.00 20 .00 30.00 40 .00 50.00 60.00

Tensão de tração norm a l (M P a)

Nív

eis

do ri

ser (

m)

C om contro leS em contro le

0

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

6 0 0

7 0 0

0 .0 0 1 0 .0 0 2 0 .0 0 3 0 .0 0 4 0 .0 0 5 0 .0 0 6 0 .0 0 7 0 .0 0T e n sã o n o r m a l ( M P a )

Nív

eis

x(m

) do

riser

C o m c o n t r o leS e m c o n t r o le

79

VII.2.3 – Espectros de tensões

Nesta seção são apresentados os espectros de tensão obtidos através da

aplicação da Transformada Rápida de Fourier nos sinais de tensão normal x tempo. Aqui

serão feitas as análises em duas seções (x=457,05 metros e x=595 metros) para as

condições de mar 03 e mar 09.

As Figuras VII.6. (a e b) apresentam, respectivamente, os espectros de tensão

para a condição de mar 03 na seção do topo (x=595 metros) para o “riser” sem sistema de

controle e com a adoção do sistema de controle passivo.

Observa-se nestas figuras que, nesta seção do topo do “riser”, os modos de flexão

não são excitados e a estrutura responde na apenas freqüência da excitação, ou seja, na

da tração provocada pelo movimento de “heave” da TLP (vide Tabela VII.1 e Figura IV.5

do item IV.2). Pode-se observar também, nestas figuras, a grande atenuação da resposta

quando se considera a aplicação do sistema de controle.

As Figuras VII.7 (a e b) apresentam os espectros de tensões para a seção x=457,5

metros para a estrutura submetida à mesma condição de mar 03. Nestas figuras notam-

se, além de pico da freqüência de excitação de tração devido ao movimento de “heave”

da TLP, presenças de pico de densidade espectral nas freqüências dos modos naturais

de flexão do “riser” e do movimento “sway” da TLP, (vide Tabela VII.1) já que esta seção

se encontra a ¾ do comprimento do “riser”, onde as tensões devidas à flexão são

máximas e sofrem influência do movimento “sway” da TLP (Figuras VII.1.a e VII.2.a)

Observa-se também uma grande atenuação da resposta da tensão devida ao

movimento de “heave” da TLP (em torno de 0,38 Hz) quando se utiliza o sistema de

controle passivo. Na faixa de freqüência dos demais modos (0,0078 Hz a 0,14 Hz) não

existe atenuação do sinal de resposta, já que o sistema de controle está acoplado apenas

ao movimento de “heave” da TLP.

Para a condição de mar 09 foram feitas análises semelhantes e os espectros de

tensão do “riser” para a seção x=595 metros estão apresentados nas Figuras VII.8.a (sem

sistema de controle) e VII.8.b (com sistema de controle). Nas Figuras VII.9. (a e b) estão

apresentados estes espectros para a seção x=457,5 metros. Comportamento semelhante

80

ao ocorrido para a condição de mar 03 pode ser observado nestas figuras. Para as duas

condições de mar analisadas pode-se observar que a seção mais crítica é a do topo do

“riser” (x=595 metros).

Figura VII.6a - Espectro tensão normal para seção na cabeça do “riser” (x =595 m) sujeita

a condição de mar 03 sem sistema de controle

Figura VII.6b - Espectro tensão normal para seção na cabeça do “riser” (x =595 m) sujeita

a condição de mar 03 com sistema de controle

Freqüência (Hz)

Den

sida

de e

spec

tral (

N/m

m2 )2 .

s D

ensi

dade

esp

ectra

l (N

/mm

2 )2 .

s

Freqüência (Hz)

81

Figura VII.7a - Espectro tensão normal para seção na cabeça do “riser” (x =457,5 m)

sujeita a condição de mar 03 sem sistema de controle

Figura VII.7b - Espectro tensão normal para seção na cabeça do “riser” (x =457,5 m)

sujeita a condição de mar 03 com sistema de controle

Den

sida

de e

spec

tral (

N/m

m2 )2 .

s D

ensi

dade

esp

ectra

l (N

/mm

2 )2 .

s

Freqüência (Hz)

Freqüência (Hz)

82

Figura VII.8a - Espectro tensão normal para seção na cabeça do “riser” (x =595 m) sujeita

a condição de mar 09 sem sistema de controle

Figura VII.8b - Espectro tensão normal para seção na cabeça do “riser” (x =595 m) sujeita

a condição de mar 09 com sistema de controle

Den

sida

de e

spec

tral (

N/m

m2 )2 .

s D

ensi

dade

esp

ectra

l (N

/mm

2 )2 .

s

Freqüência (Hz)

Freqüência (Hz)

83

Figura VII.8a - Espectro tensão normal para seção na cabeça do “riser” (x =457,5 m)

sujeita a condição de mar 09 sem sistema de controle

Figura VII.8b - Espectro tensão normal para seção na cabeça do “riser” (x =457,5 m) sujeita a condição de mar 09 com sistema de controle

Den

sida

de e

spec

tral (

N/m

m2 )2 .

s D

ensi

dade

esp

ectra

l (N

/mm

2 )2 .

s

Freqüência (Hz)

Freqüência (Hz)

84

VII.3 – Influência do sistema de controle na vida útil do “riser”

A partir das análises feitas nas seções anteriores, pode-se observar que as

maiores amplitudes de tensões ocorrem no topo do “riser”.

Para cada uma das condições de mar apresentadas na Tabela IV.1, o

comportamento dinâmico do “riser” sem e com a adoção do sistema de controle passivo

será ilustrado para a seção x=595 metros, graficamente através de

(i) resposta do deslocamento do movimento de “heave” x tempo; e

(ii) resposta da tensão normal x tempo.

Estas análises foram executadas para dois casos distintos:

(i) ação isolada da força de onda; e

(ii) ação combinada da força de onda e força de corrente, atuando ambas na

mesma direção e sentido.

As Figuras VII.10(a e b) a VII.18(a e b) apresentam, para as várias condições de

mar para a seção na cabeça do “riser”, as respostas no tempo, em termos das tensões

normais e deslocamentos, obtidos para o “riser” sem e com o efeito do sistema de

controle passivo na TLP. Os resultados apresentados nestas figuras foram obtidos para a

tração de referência T1 = 1536,52 kN e deslocamentos (“heave” e “sway”) impostos na

cabeça do “risers” obtidos das respostas da TLP, tal como apresentados nas Figuras IV.2

e IV.3.

85

Figura VII.10a – Variação da tensão normal para condição de mar – 01 na parede externa

do “riser” na seção da (cabeça do “riser”) x=595m

Figura VII.10b – Variação do deslocamento vertical na cabeça do “riser” (x=595 metros)

para condição de mar – 01. amplitude máxima em t =121,95 segundos

-0.0033-0.0030-0.0027-0.0024-0.0021-0.0018-0.0015-0.0012-0.0009-0.0006-0.00030.00000.00030.00060.00090.00120.00150.00180.00210.0024

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)

Des

loca

men

to d

ireçã

o H

EA

VE

(m)

sem controlecom controle passivo

Amplitude máxima0.0023 m0.0008 m

0,00240,00210,00180,00150,00090,00060,00030,0000

-0,0003-0,0006-0,0009-0,0012-0,0015-0,0018-0,0021-0,0024-0,0027-0,0030

Des

loca

men

to v

ertic

al (m

)

45,95

46,20

46,45

46,70

46,95

47,20

47,45

47,70

47,95

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)

Tens

ão N

orm

al (M

Pa)

sem controlecom controle

i

Amplitude máxima:0.79MP0.24MP

86


do “riser” na seção (cabeça do “riser”) x=595m)


para condição de mar – 02. amplitude máxima em t = 121,98 segundos.

45,50

45,90

46,30

46,70

47,10

47,50

47,90

48,30

48,70

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)

Tens

ão N

orm

al (M

pa)


Amplitude máxima:1.32 MPa0.40 MPa

-0.0045-0.0040-0.0035-0.0030-0.0025-0.0020-0.0015-0.0010-0.00050.00000.00050.00100.00150.00200.00250.00300.00350.0040

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo ( seg)

Des

loca

men

to d

ireçã

o H

EA

VE

(m)


Amplitude máxima:0.0038 m0.0012 m

0,00400,00350,00300,00250,00200,00150,00100,00050,0000

-0,0005-0,0010-0,0015-0,0020-0,0025-0,0030-0,0035-0,0040-0,0045

Des

loca

men

to v

ertic

al (m

)

87




para condição de mar – 03. amplitude máxima em t =121,95 segundos.

-0.007-0.006-0.005-0.004-0.003-0.002-0.0010.0000.0010.0020.0030.0040.0050.006

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)

Des

loca

men

to d

ireçã

o H

EA

VE

(m)



0,0060,0050,0040,0020,0010,000

-0,001-0,002-0,003-0,004-0,005-0,006-0,007

Des

loca

men

to v

ertic

al (m

)

44,5045,0045,5046,0046,5047,0047,5048,0048,5049,0049,50

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)

Tens

ão N

orm

al (M

Pa)


i


88




para condição de mar – 04. amplitude máxima em t = 121,95 segundos.

44,00

45,00

46,00

47,00

48,00

49,00

50,00

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)

Tens

ão N

orm

al (M

Pa)


Amplitude máxima:2.63MPa0.92 MPa

-0.007-0.006-0.005-0.004-0.003-0.002-0.0010.0000.0010.0020.0030.0040.0050.006

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)

Des

loca

men

to d

ireçã

o H

EA

VE

(m)



0,0060,0050,0040,0020,0010,000

-0,001-0,002-0,003-0,004-0,005-0,006-0,007

Des

loca

men

to v

ertic

al (m

)

89



Figura VII.14b – Variação do deslocamento vertical na cabeça do “riser” (x=595 metros) para condição de mar – 05. amplitude máxima em t = 121,92 segundos.

43,00

44,00

45,00

46,00

47,00

48,00

49,00

50,00

51,00

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)

Tens

ão N

orm

al (M

Pa)



-0.008-0.007-0.006-0.005-0.004-0.003-0.002-0.0010.0000.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.008

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)

Des

loca

men

to d

ireçã

o H

EA

VE

(m)



0,0070,0060,0050,0040,0020,0010,000

-0,001-0,002-0,003-0,004-0,005-0,006-0,007-0,008

Des

loca

men

to v

ertic

al (m

)

90

Figura VII.15a – Variação da Tensão Normal para Condição de Mar – 06 na Parede

Externa do “riser” na seção da (Cabeça do “riser”) x=595m

Figura VII.15b – Variação do Deslocamento Vertical na Cabeça do “riser” (x=595

metros) para Condição de Mar – 06. Amplitude máxima em t =

175,80 segundos.

-0.012-0.010-0.008-0.006-0.004-0.0020.0000.0020.0040.0060.0080.0100.012

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)

Des

loca

men

to d

ireçã

o H

EA

VE

(m)



0,0120,0100,0080,0060,0040,0020,000

-0,002-0,004-0,006-0,008-0,010-0,012

Des

loca

men

to v

ertic

al(m

)

40,0041,0042,0043,0044,0045,0046,0047,0048,0049,0050,0051,0052,00

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo( )

Tens

ão N

orm

al (M

Pa)


i

Amplitude máxima:5.22MP2.36MP

91





175,80 segundos.

-0.017-0.015-0.013-0.011-0.009-0.007-0.005-0.003-0.0010.0010.0030.0050.0070.0090.0110.0130.0150.017

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)

Des

loca

men

to d

ireçã

o H

EA

VE

(m)



0,0170,0150,0130,0090,0070,0050,0030,001

-0,001-0,003-0,005-0,007-0,009-0,011-0,013-0,015-0,017

Des

loca

men

to v

ertic

al(m

)

39.0040.5042.0043.5045.0046.5048.0049.5051.0052.5054.00

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)

Tens

ão N

orm

al (M

Pa)

sem controlecom controle pessivo

Aplitudes máximas:6.24 MPa3.86 MPa

54,0

52,5

51,0

49,5

48,0

46,5

45,0

43,5

42,0

40,5

39,0

Tens

ão N

orm

al (M

Pa)

92





175,80 segundos.

-0.027-0.024-0.021-0.018-0.015-0.012-0.009-0.006-0.0030.0000.0030.0060.0090.0120.0150.0180.0210.0240.027

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)

Des

loca

men

to d

ireçã

o H

EA

VE

(m)



0,0270,0240,0210,0180,0150,0120,0090,0060,0030,000

-0,003-0,006-0,009-0,012-0,015-0,018-0,021-0,024-0,027

Des

loca

men

to v

ertic

al(m

)

36.0037.5039.0040.5042.0043.5045.0046.5048.0049.5051.0052.5054.00

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)

Tens

ão N

orm

al (M

Pa)


Amplitudes máximas:7.83 MPa3.46 MPa

54,0

52,5

51,0

49,5

48,0

46,5

45,0

43,5

42,0

40,5

39,0

Tens

ão N

orm

al (M

Pa)

93





176,00 segundos.

30.0033.0036.0039.0042.0045.0048.0051.0054.0057.00

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400

Tempo (seg)

Tens

ão N

orm

al(M

Pa)


Amplitudes máximas:9.41 MPa4.29 MPa

57,0

54,0

48,0

45,0

42,0

39,0

36,0

33,0

30,0

Tens

ão N

orm

al (M

Pa)

-0.036-0.030-0.024-0.018-0.012-0.0060.0000.0060.0120.0180.0240.030

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (seg)

Des

loca

men

to v

ertic

al (m

)



0,0300,0240,0180,0120,0060,000

-0,006-0,012-0,018-0,024-0,030-0,036

Des

loca

men

to v

ertic

al (m

)

94

A Tabela VII.2 apresenta as amplitudes máximas de tensões dinâmica obtidas

da análise dos gráficos das Figuras VII.10a à VII.18a. Conforme exposto no item V.1, o

API (American Petroleum Institute) [14] recomenda que a amplitude máxima de

tensões dinâmicas seja limitada a 15% da tensão estática.

Observa-se na Tabela que o “riser” sem sistema de controle, para as condições

de mar 08 e mar 09, não obedece a recomendação da API, uma vez que, sendo o

valor da parcela de tensão estática de 47,10 MPa, as parcelas dinâmicas relativas à

tensão de tração não podem exceder o valor de 7,07 MPa. Os valores das tensões

dinâmicas para estas duas condições de mar foram respectivamente de 7,83 MPa e

9,41 MPa. Com a utilização do sistema de atenuação passiva, esses valores são

reduzidos respectivamente para 3,46 MPa e 4,29 MPa, apresentando uma atenuação

em torno de 55% em ambos os casos, e atendendo as recomendações da API.

Tabela VII.2 – Amplitudes máximas de tensões dinâmicas

Amplitude dinâmica - MPa Condição

de mar sem controle com controle

mar - 01 0,79 0,24

mar - 02 1,32 0,40

mar - 03 1,91 0,57

mar - 04 2,63 0,92

mar - 05 3,69 1,44

mar - 06 5,22 2,36

mar - 07 6,24 3,86

mar - 08 7,83 3,46

mar - 09 9,41 4,29

A Tabela VII.3 apresenta, para cada condição de mar considerada, as quais

caracterizam cada ação de onda, o percentual de redução da amplitude máxima do

deslocamento do movimento de “heave” e redução da amplitude máxima da tensão de

tração à qual o “riser” rígido está submetido. Ambos obtidos com a aplicação do

sistema atenuador passivo.

A onda mais desfavorável, segundo a altura significativa (Hs) e o período de

cruzamento em zero (Tz), de acordo com a Tabela VII.1, é caracterizada pela condição

95

de mar 09. Ela apresenta freqüência de ocorrência de 0,17%, a mais baixa de todos os

registros, que por ser muito pequena não apresenta grande influência no estudo de

acúmulo de danos causadores do processo de fadiga. Mesmo assim teve bom

percentual de redução, com 54,41% para as tensões de tração às quais o “riser” é

submetido, e de 51,35% no deslocamento do movimento de “heave”

As ondas consideradas como as mais desfavoráveis para o estudo da vida útil

do “riser” são aquelas que acumularam maiores danos ao processo de fadiga devido

ao alto índice de ocorrência. Estas são caracterizadas pelas condições de mar 03, mar

02 e mar 04 (vide Tabela VII.1), cujas freqüências de ocorrência são respectivamente

de 38,94%, 25,58% e 19,59%, totalizando 84,11% da ocorrência de onda no período

de um ano.

Estas mesmas condições de mar apresentaram as maiores reduções

percentuais na amplitude da tensão de tração e amplitude do deslocamento do

movimento de “heave”. Para a tração obteve-se redução de 70,16% para o mar 03 e

69,70% para o mar 02 e 65,02% para o mar 04. Para o movimento de “heave”

reduções de 67,92%, 67,92% e 68,42%, respectivamente para as condições de mar

04, mar 03 e mar 02.

As ondas de maior freqüência de ocorrência e que são as que mais influenciam

no acúmulo de danos à fadiga da estrutura, possuem alto índice de redução na

amplitude de tensões, conforme analisado anteriormente. Este fato é extremamente

favorável ao aumento da vida útil do “riser” rígido.

Outra grande redução do nível de tensão de tração foi obtida para a condição

de mar 01, com 69,62%, mas sua influência não é significativa devido à sua freqüência

de ocorrência ser baixa, 2,26%.

96

Tabela VII.3 – Redução percentual dos deslocamentos e tensões com a

adoção do sistema de atenuação passiva.

Redução Condição

de mar

% de ocorrência da

onda em 1 ano Tensões Deslocamento

mar - 01 2,26% 69,62% 65,22%

mar - 02 25,58% 69,70% 68,42%

mar - 03 38,94% 70,16% 67,92%

mar - 04 19,59% 65,02% 67,92%

mar - 05 8,77% 60,98% 65,55%

mar - 06 3,25% 54,79% 62,50%

mar - 07 0,79% 54,20% 63,16%

mar - 08 0,65% 55,81% 58,33%

mar - 09 0,17% 54,41% 51,35%

Minimizando o nível de tensões dinâmicas e suas variações, conforme os

gráficos de Tensão x Tempo (Figuras VII.10a a VII.18a) nos diversos tipos de mares

adotados, aumenta-se a vida útil do “riser”, pois a redução substancial da diferença

entre as tensões máximas e mínimas retarda o processo de acúmulo de danos à

fadiga.

A Figura VII.19 (a e b) apresenta ampliação na escala do tempo,

respectivamente das respostas das Figuras VII.12a e VII.18a. Observa-se que com a

presença do sistema de controle passivo, embora provoque uma pequena alteração

no período da resposta, não é significativa a alteração do número de ciclos de tensão

e, conseqüentemente, tem pequena influência na vida útil do “riser”.

97

Figura VII.19.a – Ampliação da escala do tempo da resposta tensão de tração x tempo

para a condição de mar – 09

Figura VII.19.b – Ampliação da escala do tempo da resposta tensão de tração x tempo

para a condição de mar – 03

Com relação à ação combinada da força de onda e força de corrente, atuando

ambas na mesma direção e sentido, as Figuras VII.20 (a e b) apresentam

respectivamente os gráficos da variação da amplitude de tensão normal ao longo do

tempo com a condição de mar 09, sem o efeito da corrente (a) e com o efeito da

corrente (b), para o ponto na cabeça do “riser” (x=595m), com e sem o adoção do

36.00

39.00

42.00

45.00

48.00

51.00

54.00

57.00

130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195Tempo (seg)

Tens

ão d

e tra

ção

(MP

a)

sem controle com controle passivo

45.0045.5046.0046.5047.0047.5048.0048.5049.0049.50

95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150Tempo (seg)

Tens

ão N

orm

al (M

Pa)

sem controle com controle passivo

98

sistema de atenuação passiva. Esta condição de mar foi escolhida por ser a mais

desfavorável em relação às tensões de flexão.

Figura VII.20.a – Variação da amplitude da tensão normal para o ponto na cabeça

(x=595m) do “riser” SEM o efeito da corrente

Figura VII.20.b – Variação da amplitude da tensão normal para o ponto na cabeça

(x=595m) do “riser” COM o efeito da corrente

Observa-se nestas Figuras que a consideração da corrente para as condições

de mar adotadas não possuem influência significativa na variação da tensão normal,

visto que a parcela de contribuição da tensão de flexão é muito pequena.

36.0038.0040.0042.0044.0046.0048.0050.0052.0054.0056.0058.00

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400

Tempo (seg)

Tens

ão N

orm

al(M

Pa)

sem controle (595m) com controle passivo (595m)

36.0038.0040.0042.0044.0046.0048.0050.0052.0054.0056.0058.00

0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400Tempo (s)

Tens

ão n

orm

al (M

Pa)

Sem controleCom controle

99

Capítulo VIII

CONCLUSÕES E SUGESTÕES. VIII.1 - Conclusões

A execução do modelo matemático do riser desacoplado da plataforma TLP,

com apenas os três primeiros modos de flexão, mostrou-se adequada para a análise

dinâmica, visto que os três primeiros modos axiais foram desprezados do modelo

devido estarem fora da faixa espectral de excitação.

A utilização de dispositivos de controle passivo é solução viável para a

atenuação das amplitudes verticais (“heave”) de uma plataforma TLP, e

conseqüentemente das tensões nos “risers” a ela acoplados. Pode-se destacar alguns

aspectos relevantes decorrentes da utilização destes dispositivos.

1. A aplicação de sistemas de controle para a atenuação das amplitudes de

“heave” em plataformas é mais eficiente do que tentar atenuar tensões no

“riser” isoladamente. Controlando-se o movimento de “heave” na TLP

controlam-se as variações de tensões nos “risers” e também nos tendões e

suas ancoragens, minimizando os problemas de fadiga, aumentando a vida útil

destes componentes.

100

2. Nota-se excelente redução dos níveis de tensão e deslocamento do elemento

“riser”, fazendo com que o mesmo passe a obedecer às recomendações

internacionais da API [13] a partir da adoção do sistema de atenuação passiva.

3. O sistema de controle é realizado por sistemas mecânicos robustos que não

necessitam de fonte de energia.

VIII.2 - Sugestões para extensão do trabalho

1. A análise dinâmica, considerando o acoplamento total entre a TLP, seus

tendões e “risers” e estimativa da vida útil à fadiga destes últimos

componentes.

2. A validação do modelo matemático através de ensaios experimentais de

modelos reduzidos com dispositivos de controle passivo e ativo;

3. A extensão das análises anteriores para considerar o efeito de um grupo de

“risers”.

4. O estudo da redução dos níveis de variação das tensões de tração,

considerando a utilização de controle ativo.

101

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reduÇÃo de tensÕes em risers rÍgidos de … · redução de tensões em risers rígidos de...

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