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Tus aprendizajes• Establece relaciones entre datos y las transforma a expresiones que incluyan la teoría y pro-

blemas con conjuntos.

• Comunica su comprensión sobre las relaciones algebraicas mediante los polinomios y sus operaciones.

• Expresa con dibujos y lenguaje geométrico lo que comprende sobre los segmentos y ángu-los en diversas situaciones.

• Representa las características de una población en estudio mediante variables cualitativas o cuantitativas.

1

9

Observa, reflexiona y comenta1. ¿Qué observas en la imagen? Describe

cada detalle.2. ¿Qué tan importante es el deporte en

nuestra vida diaria? Menciona. 3. ¿Cuáles son los beneficios de hacer

deporte en la adolescencia?4. Comenta. ¿En qué medida el deporte

hace más responsables a los adolescentes?

Vida sana Ambiental ResponsabilidadAutonomía TIC

Las páginas web propuestas han sido verificadas. Es importante recordar que muchas de ellas tienen período determinado de vigencia.

Ingresa a Youtube y observa el video

“Beneficios del deporte en la adolescencia”.

https://www.youtube.com/watch?v=LaHjSwa8u84

Reflexiona y responde. ¿Qué beneficio consideras más importante? ¿Por qué?

Entorno virtual

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a IITeoría de conjuntos

� ¿De qué manera organizas tus materiales escolares?

Activa tus saberes

� ¿Qué diferencia existe entre un conjunto vacío y un conjunto unitario?

Construye tus aprendizajes

Conjunto

Un conjunto es una colección correctamente defi-nida de objetos de cualquier naturaleza.

A estos objetos también los denominamos ele-mentos del conjunto, los cuales se representan por letras minúsculas, números, palabras y figuras.

Entre un conjunto y un elemento existe una rela-ción de pertenencia; recuerda que el símbolo ∈ significa “ … pertenece a …” y el símbolo ∉ se lee “ … no pertenece a …”.

Gráficamente los conjuntos se representan por medio de los Diagramas de Venn que tienen las formas de figuras cerradas de superficie plana en cuyo interior se representa por medio de puntos a los elementos de los conjuntos dados y sus opera-ciones.

Ejemplos: A = {a; e; i; o; u}Por el diagrama de Venn:

A

.e

.a .i.u

.o

Determinación de un conjunto

a. Por extensión o forma tabularSi se menciona cada uno de los elementos del conjunto.Ejemplo:B = {2; 4; 6; 8}

b. Por comprensión o forma constructiva

Si se indican las cualidades o propiedades que caracterizan a todos los elementos del conjunto.Ejemplo:B = {x ∈ / x es un número par menor que 10}

Cardinal de un conjunto A Es el número de elementos del conjunto A. Este número se denota como n(A) o card(A).Ejemplo: • Sea el conjunto A = {2; 4; 6; 8; 10}

Tiene 5 elementos, entonces n(A) = 5.Clases de conjuntos

a. Conjunto finitoSi tiene una cantidad limitada de elementos.Ejemplo:P = {x/x es un divisor de 20}

Analiza la información

Durante las olimpiadas escolares desarrolladas por un colegio, se han formado grupos con los estudiantes de diversas aulas, tal como se observa en la imagen. ¿Qué características se podrían tomar en cuenta para formar los equipos?

Promueve el aprendizaje autónomo.

Slideshare: https://es.slideshare.net/xavierzec/teoria-de-conjuntos-8430633e n t o r n o VIRTUAL

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ica II b. Conjunto infinito

Si tiene una cantidad ilimitada de elementos. Ejemplo:P = {x/x ∈ , x > 8}

Conjuntos especiales a. Conjunto nulo o vacío

Es aquel conjunto que no tiene elementos. Su notación es ∅.

b. Conjunto unitario Es aquel conjunto que tiene un único elemento.

Conjunto universal ( )Se llama así a un conjunto que nos sirve de refe-rencia para el estudio de otros conjuntos incluidos en él.Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {x/x es un gallo}, B = {x/x es una gallina}. Luego, el conjunto universal de A y B podría ser considerado como = {x/x es un ave de corral}.

c. Conjuntos disjuntosSon aquellos conjuntos que no tienen elemen-tos en común.

Conjunto potencia de A [P(A)] Es aquel conjunto formado por todos los subcon-juntos posibles del conjunto A.Propiedades:

N.° de subconjuntos de A : n[P(A)] = 2n(A)

N.° de subconjuntos propios de A : 2n(A) – 1

• El conjunto vacío está incluido en todo conjun-to.

A B

B

A BA B

A AB

A B

Observación:

• Si A B, entonces A B = B.

Ejemplo:Sean los conjuntos:A = {1; 3; 4; 5; 6} y B = {2; 3; 5; 8},entonces A B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8}.Gráficamente:

Relaciones entre conjuntos a. Inclusión de conjuntos ()

Se dice que un conjunto está incluido en otro conjunto cuando todos los elementos del pri-mero forman parte del segundo. : “incluido o contenido en”: "contiene a"A B: “A está contenido en B”“A es subconjunto de B”B A: "B contiene a A"

B

A

A B ∀ x ∈ A : x ∈ B B A

b. Igualdad de conjuntosDos conjuntos son iguales si ambos tienen los mismos elementos.

Operaciones con conjuntosUnión o reunión ()Es la agrupación de todos los elementos de los conjuntos que intervienen.Simbólicamente: A B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B}Gráficamente se tienen los siguientes casos:

Intersección ()La intersección de los conjuntos A y B está forma-da por todos los elementos comunes a ambos.

BA

A B

.1

.6

.4 .5 .8

.3 .2

Simbólicamente: A B = {x/x ∈ A ∧ x ∈ B} Gráficamente se tienen los siguientes casos:

A B

B

A B = ∅A B

A A A BB

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a IIObservación:

• Si A B, entonces A B = A

Ejemplo:Sean los conjuntos A = {1; 3; 4; 5; 6} y B = {2; 3; 5; 8},entonces A B = {3; 5}.Gráficamente:

BA

A B

.1

.6

.4 .5 .8

.3 .2

Diferencia (–) El conjunto diferencia A – B está formado por los elementos que pertenecen a A pero que no perte-necen a B.Simbólicamente: A – B = {x/x ∈ A ∧ x ∉ B}Gráficamente se tienen los siguientes casos:

A – B

B

A – BA – B

A AB

A B

Observación:

• A – B ≠ B – A

Ejemplo:Sean los conjuntos:A = {1; 3; 4; 5; 6} y B = {2; 3; 5; 8}, entonces A – B = {1; 4; 6}.Gráficamente:

BA

A – B

.1

.6

.4.8

.2

Diferencia simétrica (∆)La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B pero no a ambos.Simbólicamente: A ∆ B = {x/x ∈ (A B) ∧ x ∉ (A B)}Gráficamente se tienen los siguientes casos:

A ∆ B

B

A ∆ BA ∆ B

A AB

A B

Observación:

• A ∆ B = B ∆ A • Si A B, entonces A ∆ B = B – A• Si A y B son conjuntos disjuntos, entonces A ∆ B = A B.

Ejemplo:Sean los conjuntos A = {1; 3; 4; 5; 6} y B = {2; 3; 5; 8},entonces A ∆ B = {1; 2; 4; 6; 8}.Gráficamente:

BA

A ∆ B

.1

.6

.4.8

.2

Complemento de A (CA, Ac, A') El complemento del conjunto A es el conjunto for-mado por los elementos que pertenecen al con-junto universal pero no al conjunto A.Simbólicamente

Ac = A' = – A = {x/x ∈ ∧ x ∉ A}

Gráficamente:

Ac

A

L. Act. Pág. 12

� Sintetiza en un organizador gráfico lo aprendido sobre la teoría de conjuntos y las operaciones entre conjuntos.

Utiliza la estrategia

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.3

.5

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ica II Analiza los ejemplos

4. Si los siguientes conjuntos son iguales: A = {a + 3; 4 – a}, B = {a; 7 – a}, C = {2; b + c}, calcula el valor de “b + c – a”.

Por conjuntos iguales se cumple:a + 3 = 7 – a → a = 2Luego:A = {5; 2}; B = {2; 5}; C = {2; 5} → b + c = 5Piden: b + c – a = 5 – 2 = 3

Resolución:

Rpta.: El valor de “b + c – a” es 3.

5. Si A = {4x + 1; 2y + 1; 3x + 4} es un conjunto unitario, calcula el valor de (x + y)x.

Por conjunto unitario se cumple: 4x + 1 = 3x + 4 x = 3Luego:2y + 1 = 3x + 4Reemplaza el valor de x = 3:2y + 1 = 3(3) + 4 = 13 → y = 6Piden: (x + y)x = (3 + 6)3 = 93 = 729

Resolución:

Rpta.: El valor de (x + y)x es 729.

2. Se tienen los siguientes conjuntos: P = {x/x es una vocal de la palabra murciélago}, Q = {x/x no es una consonante de la palabra solidario}. Indica los elementos de P – Q.

Determina por extensión cada conjunto:P = {a, e, i, o, u} Q = {a, i, o} Piden: P – Q = {e, u}

Resolución:

Rpta.: P – Q = {e, u}

1. Dados los siguientes conjuntos:A = {Mónica, Elva, Claudia, Juan},B = {Joel, Elva, Carlos, Juan},

determina la suma del cardinal de la unión e intersección de ambos conjuntos.

A B = {Mónica, Elva, Claudia, Juan, Joel, Carlos} n(A B) = 6A B = {Elva, Juan} → n(A B) = 2Piden: n(A B) + n(A B) = 6 + 2 = 8

Resolución:

Rpta.: La suma pedida es 8.

3. Se tiene el siguiente conjunto:

A = {2; {3}; {4; 5}; ∅}.

Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a. 2 ∈ A b. {3} A

c. {4; 5} ∈ A d. ∅ ∈ A

e. {{3}} A f. 2; ∅ ∈ A

a. 2 ∈ A, verdadero porque 2 es elemento de A.b. {3} A, falso porque {3} no es subconjunto

de A, en este caso es un elemento de A.c. {4; 5} ∈ A, verdadero porque {4; 5} es ele-

mento de A.d. ∅ ∈ A, verdadero porque ∅ es elemento de A.e. {{3}} A, verdadero porque {{3}} es sub-

conjunto de A. f. 2; ∅ ∈ A, verdadero porque 2; ∅ son ele-

mentos de A.

Resolución:

Rpta.: V F V V V

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a II6. Clasifica cada uno de los siguientes conjuntos:

A = {x ∈ / x2 + 6x + 9 = 0}, B = {y ∈ / y = 2x + 1, x ∈ ∧ 3 < x < 5}.

Para el conjunto A: x2 + 6x + 9 = 0 → (x + 3)2 = 0 → x = –3 ∉ Luego, A = ∅ es un conjunto vacío.Para el conjunto B: 3 < x < 5 → x = 4Luego: y = 2(4) + 1 = 9 → B = {9}, es un con-junto unitario.

Resolución:

Rpta.:A es un conjunto vacío y B es un conjunto unitario.

7. Dados los siguientes conjuntos: A = {x ∈ / – 7 x < 3}, B = {x ∈ / – 11 < x < –5}, C = {x ∈ / 0 < x 5}, determina (A – B) (B C).

Determina cada conjunto por extensión:A = {–7; -6; –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2}B = {–10; –9; –8; –7; –6}C = {1; 2; 3; 4; 5}. Luego: A – B = {–5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2} B C = {–10; –9; –8; –7; –6; 1; 2; 3; 4; 5} Piden: (A – B) (B C) = {1; 2}

Resolución:

Rpta.: (A – B) (B C) = {1; 2}

8. Si A = {x/x ∈ , –8 x < 1}, B = {x/x ∈ , –1 x 5},

Determina por extensión cada conjunto:A = {–8; –7; –6; –5; –4; –3; –2; –1; 0}B = {–1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}I. A B = {–1; 0}. Gráficamente:

Resolución:

determina y representa gráficamente las si-guientes operaciones: I. A B II. A – B III. B – A

BA.–8

.–2.–5 .–1

.4

.–3

.1.–6

.–4

.–7 .0 .2.3

.5

II. A – B = {–8; –7; –6; –5; –4; –3; –2}Gráficamente:

BA.–8

.–2.–5 .–1

.4

.–3

.1.–6

.–4

.–7 .0 .2.3

.5

III. B – A = {1; 2; 3; 4; 5}

Gráficamente:

BA.–8

.–2.–5 .–1

.4

.–3

.1.–6

.–4

.–7 .0 .2.3

.5

9. ¿Qué operación representa la parte sombreada en el gráfico mostrado?

BA

C

BA

.1

.4

.3

C

Se colocan valores en cada una de las regiones:Resolución:

A = {1; 2; 4; 5}, B = {2; 3; 5; 6} y C = {4; 5; 6; 7}Luego: A B = {2; 5} (A B) – C = {2}

.6

.7

.5

.2

Rpta.: La operación es (A B) – C.

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ica II Problemas con conjuntos

� ¿De qué forma puedes representar gráficamente un conjunto?

Activa tus saberes

� Representa gráficamente los deportes que practican en común ambos amigos.


Problemas con conjuntosPermite dar solución a diferentes situaciones coti-dianas mediante el uso adecuado de los diagramas de Venn. Para esto, es importante reconocer cada una de las regiones que se determinan para 2 y 3 conjuntos.

Problemas con 2 conjuntosPara dos conjuntos se deben tener en cuenta los si-guientes esquemas y lo que representa cada región.

Elementos que pertenecen exclusivamente al conjunto A

Elementos que pertenecen exclusivamente al conjunto B

Elementos que pertenecen al conjunto A y B

A – B

B – A

BA

A B

BA

BA


Mateo, este verano prac-

ticaré tres de-portes: fútbol, básquetbol y

natación.

Jairo, yo practicaré, como siempre, fútbol, tenis y natación. Son los deportes que más

me gustan.

¿EN QUÉ DEPORTES COINCIDEN MATEO Y JAIRO?


Scribd: https://es.scribd.com/doc/103184351/Problemas-Con-2y3Conjuntose n t o r n o VIRTUAL

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a IIProblemas con 3 conjuntos:

Elementos que pertenecen exclusivamente al conjunto C

Elementos que pertenecen a los conjuntos A, B y C

Elementos que pertenecen a los conjuntos A y B

Elementos que pertenecen a los conjuntos A y C

BA

C

BA

C

BA

C

BA

C

Elementos que pertenecen a los conjuntos B y C

BA

C

Elementos que no pertenecen a los conjuntos A, B o C

BA

C

Diagrama de Carroll

El diagrama de Carroll se conoce también como tabla de contingencia o tabla de doble entrada. Se usa para resolver problemas con conjuntos cuando no hay intersección entre ellos.

Ejemplo:

De un grupo de 90 personas, se sabe que 50 son mujeres, 78 estudian Matemática y 15 mujeres no estudian Matemática. Determina cuántos varones estudian dicho curso.

Resolución:

Se representan los conjuntos en un diagrama de Carroll. Si de 50 mujeres, 15 no estudian Matemáti-ca, entonces 35 sí estudian Matemática.

Sea “x” el número de varones que estudia Matemá-tica, se tiene:

De la tabla se observa que:x + 35 = 78 x = 43Luego, 43 varones estudian Matemática.

Estudian Matemática

(78)

No estudian Matemática

Varones (40) x

Mujeres (50) 35 15

78

L. Act. Pág. 15

� Elabora una tabla de doble entrada donde se observen las diferentes regiones sombreadas de 2 y 3 conjuntos y qué representan cada una.


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Analiza los ejemplos

1. De un grupo de 60 personas se sabe que a 48 les gusta leer el diario El Informativo, 35 gustan de leer Prensa libre y 10 no gustan de ninguno de los dos diarios.

2. De un grupo de 180 estudiantes, 100 no llevan el curso de Comunicación, 124 no llevan Ma-temática y 34 llevan otros cursos. Determina cuántos estudian solo uno de los dos cursos.

3. En un grupo de 50 personas encuestadas, 3 juegan fútbol, básquetbol y tenis; 8 juegan solo fútbol; 5 solo básquetbol y 13 solo tenis. Si 23 juegan fútbol, 23 básquetbol y 27 tenis. Deter-mina cuántas personas juegan exactamente 2 de los deportes o ninguno de ellos.

a. Calcula cuántas personas gustan de leer ambos diarios.

b. Calcula cuántas personas leen solo El Infor-mativo.

c. Calcula cuántas personas leen solo Prensa libre.

a. Sea: El Informativo: I → n(I) = 48 Prensa libre: P → n(P) = 35

Resolución:

Rpta.: a. 33, b. 15, c. 2

Se escriben los datos en el siguiente diagra-ma de Venn:

Resolución:

Rpta.: 156 estudiantes

60

10

48 – x 35 – xx

180

34

x zy

Del gráfico:(48 – x) + x + (35 – x) + 10 = 6093 – x = 60 → x = 33a. 33 personas leen ambos diarios. b. Leen solo El Informativo: 48 – x = 48 – 33 = 15c. Leen solo Prensa libre: 35 – x = 35 – 33 = 2

Sean: Comunicación: C, Matemática: MPor dato, son 180 estudiantes.n(C') = 100 → n(C) = 80n(M') = 124 → n(M) = 56

Resolución:

Del gráfico:x + 34 = 180 – 56 = 124 → x = 90z + 34 = 180 – 80 = 100 → z = 66Piden: x + z = 90 + 66 = 156

Fútbol: a + b + 11 = 23 → a + b = 12 Básquetbol: a + c + 8 = 23 → a + c = 15Tenis: b + c + 16 = 27 → b + c = 11Se suman las tres ecuaciones:2(a + b + c) = 38 → a + b + c = 19Luego: c = 7; b = 4; a = 8Ningún deporte: 50 – 19 – 8 – 5 – 13 – 3 = 2

Rpta.:Juegan 2 de los deportes, 19; y ningu-no de los deportes, 2.

50

P(35)I(48)

C(80) M(56)

B(23)

T(27)

F(23)

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a IIExpresiones algebraicas

� ¿Con qué letra se representa generalmente una variable?

Activa tus saberes

� ¿Qué elementos presenta un término algebraico?



En la competencia de salto largo participaron Marcos, Pedro, Cé-sar y Martín. En cierto momento comentan:Marcos: Yo salté 7x metros.Pedro: César saltó 3x2 metros.Martín: Yo superé el récord. La distancia que salté fue 2,4 x3 metros.César: Pedro corrió una distancia de (x2 + x) metros.¿Cuál de los cuatro atletas saltó una mayor distancia?

EXPRESIÓN ALGEBRAICA (E.A.)Es un conjunto de letras y números donde las variables están relacionadas con las 6 operaciones básicas: adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Clasificación de las expresiones algebraicas

A. EXPRESIÓN ALGEBRAICA RACIONAL

B. EXPRESIÓN ALGEBRAICA IRRACIONAL Cuando algunas de sus variables están afectadas por

radicales o exponentes fraccionarios. Ejemplos:

• 5x4y2 + 2 3 xy4 • 9x + 8y6

a. Racional entera Cuando los exponentes de las variables son

números enteros positivos.

Ejemplos:

• 6x3y4 + 32

x3y6

• x3 + x2 + 5x – 3

b. Racional fraccionaria Cuando por lo menos uno de los

exponentes de las variables es un número entero negativo.

Ejemplos: • 2x–3y6 + x3y6

• 5x–5 + 3x–2 + x + 4

32


Calameo: https://es.calameo.com/read/00055382823ef2ed153bde n t o r n o VIRTUAL

Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio - Álgebra

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ica II Término algebraico

Es aquella expresión algebraica cuyas variables no están relacionadas por las operaciones de adición o sustracción.

Ejemplos:

Términos semejantesDos o más términos algebraicos son semejantes si tienen la misma parte literal, variables y exponentes.

Ejemplos:

a. Parte literal Está formada por las letras (variables) con sus respectivos exponentes.

Elementos:

• 6x5y2 • –23x11y15

b. CoeficienteEs el número que generalmente se antepone a la parte literal. Ejemplo:

Exponentes

Coeficiente Parte literal

–5 x 4 y 11

1. 0,8a6b4 y 9b4a6 son términos semejantes.

2. Determina el valor de “a + b”, si los términos 7xb+1y4a+b; 12x6y13 son semejantes.

Resolución:Si son semejantes los términos, entonces de-ben tener la misma parte literal; es decir:xb+1y4a+b = x6y13

Calcula el valor de “b”: b + 1 = 6 → b = 5Calcula el valor de “a”: 4a + b = 13 4a + 5 = 13 → a = 2Piden: a + b = 2 + 5 = 7

Reducción de términos semejantesDos o más términos semejantes se pueden redu-cir a uno solo al operar los coeficientes y escribir la misma parte literal.

Ejemplos:1. Reduce la siguiente expresión:

A = 7x4 – 5x4 + 8x4.Resolución:Se observa que todos los términos tienen el mismo exponente, entonces:A = (7 – 5 + 8)x4

A = 10x4

2. Reduce la siguiente expresión:B = 14x2y – 8xy2 + 7xy2 – 8 + 5x2y – xy2 + 3.

Resolución:Se agrupan los términos semejantes:

Se reducen los términos semejantes:B = x2y(14 + 5) + xy2(7 – 8 – 1) – 5B = 19x2y – 2xy2 – 5.

B = (14x2y + 5x2y) + (7xy2 – 8xy2 – xy2) – 8 + 3 x2y(14 + 5) xy2(7 – 8 – 1)

PolinomioUn polinomio es una expresión algebraica racio-nal entera (es decir, los exponentes de las variables son números enteros positivos).Ejemplos:P(x) = 3x4 + 4x3 + x2 – 5P(x; y) = 7x5y2 + 8x4y3 – x3y4 + 3

Si el polinomio tiene un solo término, se llama monomio; dos términos, binomio; tres términos, trinomio.De dos términos a más reciben el nombre general: “Polinomio”.Notación polinómicaP(x) = Polinomio de una sola variable “x”P(x; y) = Polinomio de dos variables “x” e “y”Ejemplos:Monomio: P(x) = 5x4 Binomio: Q(x; y) = 3x3y – 5xy2

Trinomio: R(x; y) = 8xy3 – 5x4 + 9x2y3

Polinomio de 4 términos: 3 – 4x3 + 5x7y + y4x Observación:

El coeficiente principal de un polinomio es la constante que multiplica a la variable en el término de mayor grado.


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a IIValor numérico de un polinomio (V.N.)

El valor numérico de un polinomio es el número que resulta de sustituir las variables por números y realizar las operaciones indicadas.Ejemplo:Calcula el V.N. de P(x) = 6x3 – 3x2 + 3, para x = –2.Resolución:Se reemplaza el valor de x = –2 en el polinomio:P(–2) = 6(–2)3 – 3(–2)2 + 3P(–2) = 6(–8) – 3(4) + 3 = –57Grado relativo (G.R.) y grado absoluto (G.A.) • G.R. de un monomio (respecto de una variable)

Está dado por el exponente de dicha variable. • G.A. de un monomio

Está dado por la suma de los exponentes de las variables.

Grado relativo (G.R.) y grado absoluto (G.A.) de un polinomio • G.R. de un polinomio (respecto de una variable)

Está dado por el mayor exponente de dicha va-riable en el polinomio.Ejemplo:Para el polinomio:P(x; y) = 9x4y7 + 4x3y6 – 5x5y7, se observa que G.R.(x) = 5; G.R.(y) = 7

• G.A. de un polinomioEstá dado por el mayor grado absoluto de los monomios que lo conforman.Ejemplo:Si Q(x; y; z) = 5x3y5z + 4x6y5z11– x9y2,se determina el G.A. de cada término:Q(x; y;z) = (5x3y5z) + 4x6y5z11 – x9y2

Luego, G.A.(Q) = 22Polinomios especiales • Polinomio mónico

Es aquel polinomio cuyo coeficiente principal (coeficiente del término de mayor grado) es igual a la unidad.

Ejemplo:P(x) = 3x3 + 2x + x4 – 5x2 es un polinomio mó-nico porque el coeficiente del término de ma-yor grado (x4) es la unidad.

G.A. = 9 G.A. = 22 G.A. = 11

• Polinomio homogéneoEs aquel polinomio en el cual todos sus térmi-nos tienen igual grado absoluto.Ejemplo:El siguiente polinomio es homogéneo:

P(x; y) = 7x5 y4 – x3 y6 – 2 x7 y2

G.A. = 5 + 4 = 9

85

G.A. = 3 + 6 = 9

G.A. = 7 + 2 = 9

• Polinomio ordenado

Un polinomio es ordenado, con respecto a una variable, cuando sus exponentes están ordena-dos en forma ascendente o descendente.Ejemplo: R(x) = 4x3 + 4x2 – 7x + 2 un polinomio ordena-do en forma descendente.

• Polinomios idénticosDos polinomios del mismo grado y con las mismas variables son idénticos, si los coeficien-tes de sus términos semejantes son iguales. Es decir, si los polinomios:P(x) = ax2 + bx + c y Q(x) = mx2 + nx + p, son idénticos, entonces a = m; b = n; c = p y se es-cribe como P(x) = Q(x).

• Polinomio idénticamente nuloEs aquel polinomio que tiene todos sus coefi-cientes iguales a cero, es decir, su valor es cero para cualquier valor de la variable.Luego, si P(x) = ax2 + bx + c, entonces a = 0; b = 0; c = 0.

L. Act. Pág. 19

� Organiza en un esquema gráfico cada uno de los polinomios especiales y sus propiedades.


• Polinomio completo

Es aquel polinomio que presenta todos sus tér-minos desde el grado cero (término indepen-diente) hasta el término de mayor grado.Ejemplo:Q(x) = 2x5 – x2 + 5x + 8x4 – 6x3 + 3


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5. Si Q(x – 3) = 4x – 1, calcula el valor de Q(4).

6. Si Q(x) = x2 – 2x + 3, determina el valor de la expresión F.

F = Q(–1) + Q(1) + 3Q(–2)

1. Las expresiones 23x5y9, (a + 12)x3+myn–4 repre-sentan el sueldo de Margarita y Juan, respecti-vamente. Determina el valor de “m + n”, si los términos son semejantes.

Resolución:

Rpta.: El valor de” m + n” es 15.

Por términos semejantes:5 = 3 + m → m = 29 = n – 4 → n = 13Piden: m + n = 2 + 13 = 15

Resolución:

Rpta.: El valor de Q(4) es 27.

x – 3 = 4 → x = 7Se reemplaza “x” por 7: Q(7 – 3) = 4(7) – 1 Q(4) = 27

Resolución:

Rpta.: El valor de la expresión F es 1.

Del polinomio Q(x) = x2 – 2x +3:Para x = –1: Q(–1) = (–1)2 – 2(–1) + 3 = 6Para x = 1: Q(1) = (1)2 – 2(1) + 3 = 2Para x = –2: Q(–2) = (–2)2 – 2(–2) + 3 = 11Reemplaza los valores en la expresión F:

2. Juan participa en un juego de canicas. Si ini-cialmente tenía 5x canicas, luego de jugar con Carlos gana 8x canicas, con Sergio pierde 2x canicas y, finalmente, con Gustavo gana 12x ca-nicas. Indica la expresión algebraica que repre-senta el número de canicas que tiene al finali-zar el juego.

Resolución:

Rpta.: Al finalizar el juego tiene 23x canicas.

Del dato: Al inicio Juan tiene 5x canicas.Gana 8x canicas.Pierde 2x canicas.Gana 12x canicas.Luego, al final tiene: 5x + 8x – 2x + 12x = 23x

3. Calcula el valor numérico del polinomio P(x) = 5x2 + 3x – 1; para x = 3.

Resolución:

Rpta.: El valor numérico es 53.

Evalúa el polinomio en x = 3:P(3) = 5(3)2 + 3(3) – 1P(3) = 45 + 9 – 1 = 53

4. Si P(x) = 4x – 3, determina el valor de la si-

guiente expresión:

E = P(x – 1) – P(x)2

Rpta.: El valor de la expresión E es –2.

Reemplaza “x” por “x – 1” en P(x):P(x – 1) = 4(x – 1) – 3 = 4x – 7Reemplaza en E:

E = 4x – 7 – (4x – 3)2

= –42

= – 2

F = 6 + 2 + 311

= 1111

= 1

7. Si P(x + 2) = 4x + 3, determina el valor de P(x).

Resolución:

Rpta.: El valor de P(x) es 4x – 5.

Se realiza el cambio de variable:x + 2 = y → x = y – 2 → P(y) = 4(y – 2) + 3 = 4y – 5Luego: P(x) = 4x – 5

Resolución:


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a II8. Determina el valor de “a” para que el grado ab-

soluto de P(x; y; z) = 3x5y2az3 sea igual a 24.Resolución:

Rpta.: El valor de “a” es 8.

Por dato: G.A.(P) = 24 5 + 2a + 3 = 24 2a = 16 a = 8

12. Si P(x) = 2xa–3 + 5xa–b+4 – xc–b+3 es un polinomio completo y ordenado en forma descendente, calcula el valor de “a + b – c”.Resolución:

Rpta.: El valor de “a + b – c” es 8.

Por datos del polinomio, se deduce que P es de segundo grado. Luego, se cumple:• a – 3 = 2 → a = 5• a – b + 4 = 1 5 – b = –3 → b = 8• c – b + 3 = 0 c – 8 + 3 = 0 → c = 5Piden: a + b – c = 5 + 8 – 5 = 8

Rpta.: El valor de “m + n” es 8.

(3n – 1) + (m + 1) = 183n + m = 18 …(II)Resta (I) y (II):n = 5 → m = 3Piden: m + n = 3 + 5 = 8

9. Si el grado absoluto del monomio P(x; y) = 5x2yn+3 es 12, indica el grado relativo con respecto a “x” de Q(x; y)= 4nx2ny8.Resolución:

Rpta.: El grado relativo pedido es 14.

Por dato del grado absoluto:2 + (n + 3) = 12 → n = 7Piden: G.R.(x) = 2n = 2(7) = 14

10. Determina el grado absoluto del siguiente poli-nomio: P(x)= 4x3n + 5xn+3 – 15xn2 + 5n, si su tér-mino independiente es 15.Resolución:

Rpta.: El grado absoluto es 9.

Por dato del término independiente se cumple:5n = 15 → n = 3 Al reemplazar el valor de “n”, se obtiene:P(x) = 4x9 + 5x6 – 15x9 + 15Piden: G.A.(P) = 9

11. Dado el siguiente polinomio:P(x) = 3x2n–3ym + 2x3n–1ym+1 + 5x2n–1ym+n, se sabe que G.A. = 18 y G.R.(x) + G.R(y) = 22. Determina el valor de “m + n”.Resolución:

Por dato: G.R.(x) + G.R.(y) = 22(3n – 1) + (m + n) = 224n + m = 23 …(I)Luego por el G.A.

13. Si 3x + 12 ≡ a(x + 7) + b(x – 2), calcula el valor de “ab”.

Resolución:

Rpta.: El valor de “ab” es 2.

3x + 12 ≡ ax + 7a + bx – 2b3x + 12 ≡ ax + bx + 7a – 2b3x + 12 ≡ x(a + b) + (7a – 2b)Por polinomios idénticos se cumple:a + b = 3 … (I)7a – 2b = 12 … (II)Se multiplica por 2 a la ecuación (I) y se suman ambas ecuaciones:2a + 2b = 67a – 2b = 129a = 18 a = 2 → b = 1 Piden: ab = 21 = 2


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ica II Operaciones con polinomios

� ¿Qué operaciones básicas conoces?

Activa tus saberes

� ¿De qué forma se multiplican dos polinomios?



Practicar deporte es una manera de tener una vida saludable y activa. Germán en estos tres últimos días ha recorrido 5x; 5(3x + 4) y 7x – 11 metros, mientras que Juliana recorrió 3(y – 2); 4y – 5; 11y metros.

¿Qué expresión representa el recorrido total de cada persona?

OPERACIONES CON MONOMIOS

Adición de monomiosSe deben sumar los monomios semejantes y luego reducir. Es decir, se adicionan los coeficientes y se coloca la misma parte literal.

Sustracción de monomios:Para restar dos o más monomios semejantes se restan sus coeficientes y al resultado se le coloca la misma parte literal. El resultado que se obtiene recibe el nombre de diferencia.

Ejemplos:Adiciona los siguientes monomios: 5xy; 9x7; 4xy; 3x7; 12xy3

Resolución:5xy + 9x7 + 4xy + 3x7 + 12xy3

= 5xy + 4xy + 9x7 + 3x7 + 12xy3 = 9xy + 12x7 + 12xy3

Ejemplos:

Resta 35xy3 de 41xy3.

Resolución:

41xy3 – 35xy3 = 6xy3

Ejemplos:

Al monomio 21a4b3, resta la suma de 10a4b3 y 9a4b3.

Resolución:

21a4b3 – (10a4b3 + 9a4b3) = 2a4b3


8cifras-YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=on7AeL1QiKwe n t o r n o VIRTUAL


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a IIMúltiplicación de monomios

Se multiplican los coeficientes considerando la ley de signos y se multiplica la parte literal de los mo-nomios teniendo en cuenta la siguiente propiedad:

División de monomios Se dividen los coeficientes considerando la ley de signos y se divide la parte literal de los monomios teniendo en cuenta la siguiente propiedad:

Adición de polinomios Para calcular la suma de dos o más polinomios, se procede de la siguiente manera: • Primero, se ordenan y completan. • Luego, se escribe uno debajo del otro, de

modo que los términos semejantes se encuen-tran en una misma columna.

• Finalmente, se reducen los términos semejantes.

ax · ay = ax + y

Ejemplos:1. Multiplica 5x4y3 ∧ 4x5y2. Resolución: (5x4y3)(4x5y2) = (5)(4)x9y5

= 20x9y5

2. Efectúa (5a3b5)(–2a7b3)(8ab4). Resolución: (5a3b5)(–2a7b3)(8ab4) = (5)(–2)(8) a3 + 7 + 1b5 + 3 + 4

= –80a11b12

3. Determina el resultado de multiplicar 6a4b6 con 4a2b8.

Resolución: (6a4b6)(4a2b8) = 24a4 + 2b6 + 8 = 24a6b14

= ax – y; a ≠ 0ax

ay

Ejemplo:

Dados los siguientes polinomios:

P(x) = 5x3 – 4x + 6,

Q(x) = 5x – 6x3 + 7,

determina 3P(x) + 2Q(x).

Resolución:

3P(x) = 3(5x3 – 4x + 6) =15x3 – 12x + 18

2Q(x) = 2(5x – 6x3 + 7) = 10x – 12x3 + 14

Se ordena y se reduce:

15x3 – 12x + 18

–12x3 + 10x + 14

3x3 – 2x + 32

Luego:

3P(x) + 2Q(x) = 3x3 – 2x + 32

Sustracción de polinomios Para calcular la diferencia de dos polinomios, se procede de la siguiente manera: • Primero se calcula el opuesto del sustraendo. • Luego, se ordenan y completan los polinomios,

como en el caso de la adición. • Finalmente, se reducen los términos semejantes.

Ejemplo:Dados los siguientes polinomios:P(x) = 6x2 – 12x – 4,Q(x) = 7x + 16x2 – 5,determina Q(x) – P(x).Resolución:Se calcula el opuesto de P(x):–P(x) = –6x2 + 12x + 4

Se ordena y reduce:16x2 + 7x – 5–6x2 + 12x + 410x2 + 19x – 1Luego:Q(x) – P(x) = 10x2 + 19x – 1


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ica II Multiplicación de polinomios

Para multiplicar dos polinomios se procede de la siguiente manera: • Se ordenan los dos polinomios de forma des-

cendente respecto a una de sus variables, para esto, deben estar completos, si no es así, se completan con ceros.

• Se escriben los polinomios uno debajo del otro.

• Se multiplica el primer término del multiplica-dor con cada término del multiplicando, em-pezando por el primero, luego se escriben los productos parciales obtenidos uno debajo del otro, de forma que los términos semejantes es-tén en una misma columna.

• Finalmente se procede a reducir los términos semejantes de los productos parciales que se obtuvieron.

División de polinomios

Se puede utilizar el método clásico teniendo en cuenta lo siguiente:

• Se ordenan y completan los polinomios divi-dendo y divisor en forma descendente.

• Se divide el primer término del dividendo con el primer término del divisor para obtener el primer término del cociente.

• Se multiplica este término por cada uno de los términos del divisor y el resultado se coloca con su signo opuesto debajo de cada término semejante del dividendo.

• Luego, se baja el siguiente término del divi-dendo que se encuentra a la derecha del lugar donde se ubicó el resultado anterior.

• Se repite el procedimiento hasta obtener como residuo un polinomio de grado menor que el divisor.Ejemplos:

1. Encuentra el producto de M(x; y) = 8x4y6 con N(x; y) = –4x2y.

Resolución:

M(x; y) · N(x; y) = (8x4y6)(–4x2y)

= (8)(–4)(x4y6)(x2y)

= (–32)(x4 + 2y6 + 1)

= –32x6y7

2. Determina el producto de A(x) = 3x2, y

B(x) = 5x7 + 9x5 – 3x3 + 2x.

Resolución:

A(x) · B(x) = (3x2)(5x7 + 9x5 – 3x3 + 2x)

Se aplica la propiedad distributiva:

A(x) · B(x) = (3x2)(5x7) + (3x2)(9x5) – (3x2)(3x3) + (3x2)(2x)

Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de las bases iguales:

A(x) · B(x) = 15x9 + 27x7 – 9x5 + 6x3

Ejemplo:Efectúa la siguiente división:

7x + 2x4 – x3 – 3 2x + 3

2x4 – x3 + 0x2 + 7x – 3 2x + 3 –2x4 – 3x3 x3 – 2x2 + 3x – 1 –4x3 + 0x2

+4x3 + 6x2

+6x2 + 7x –6x2 – 9x –2x – 3 +2x + 3 0

Resolución:Se ordena el primer polinomio con respecto a la variable “x” y en sentido decreciente.

Luego, el cociente es x3 – 2x2 + 3x – 1 y el residuo, 0.

� Parafrasea de qué manera se pueden realizar cada una de las operaciones con monomios y polino-mios.


L. Act. Pág. 21


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a IIAnaliza los ejemplos

2. Reduce la siguiente expresión:M = 2a + 3b + 4c − (4a + 3b + 2c).

M = 2a + 3b + 4c − 4a − 3b − 2c Ordena los términos semejantes:M = (2a – 4a) + (3b – 3b) + (4c – 2c)M = –2a + 2c

Resolución:

Rpta.: La expresión reducida es –2a + 2c.5. Calcula el valor de la siguiente expresión:

A = (–3an + 4 bn + 1)(–4an + 2 bn + 3)

A = (–3)(–4)an + 4 · an + 2 · bn + 1 · bn + 3

A = 12an + 4 + n + 2bn + 1 + n + 3

A = 12a2n + 6b2n + 4

Resolución:

Rpta.: El valor de A es 12a2n + 6b2n + 4.

1. Francisco acaba de comprar un terreno, tal como se muestra en el gráfico:

Para el perímetro (2p):2p = 3x + 2x + 3x + 2x = 10xPara el área (A):A = (3x)(2x) = 6x2

Resolución:

Rpta.: El perímetro es 10x y el área, 6x2.

2x

3x

Expresa algebraicamente el perímetro y el área del terreno.

Se ordenan los polinomios y se efectúa la adición.

A(x) = 3x2 – 5x – 6

B(x) = 5x2 + 3x

C(x) = –15x2 + 8

A(x) + B(x) + C(x) = –7x2 – 2x + 2

Piden la suma de coeficientes:–7 – 2 + 2 = –7

Resolución:

Rpta.: La suma de coeficientes es –7.

4. Dados los siguientes polinomios: A(x; y) = –8x2y – 5xy2 – 6, B(x; y) = –15x2y + 3xy2, C(x; y) = 12x2y – 20xy2 + 10, determina el valor de la siguiente expresión:

E = [A(x; y) + B(x; y)] – C(x; y).

Ordena los polinomios y efectúa la suma:

A(x; y) = –8x2y – 5xy2 – 6

B(x; y) = –15x2y + 3xy2

A(x; y) + B(x; y) = –23x2y – 2xy2 – 6

–C(x; y) = –12x2y + 20xy2 – 10

E = –35x2y + 18xy2 – 16

Resolución:

Rpta.: El valor de E es –35x2y + 18xy2 – 16.

3. Dados los siguientes polinomios:

A(x) = 3x2 − 5x − 6,

B(x) = 5x2 + 3x,

C(x) = −15x2 + 8,

calcula la suma de coeficientes de:

A(x) + B(x) + C(x).


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a II Segmento

� ¿Qué objetos te dan la idea de una recta?

Activa tus saberes


� ¿Qué relación se cumple entre las longitudes de dos segmentos congruentes?


MAYTE, UNA ALUMNA QUE PRÁCTICA LANZAMIENTO DE BALA HA LOGRADO ALCANZAR 11, 5 METROS. ESTA DISTANCIA NOS DA UNA IDEA DE LO QUE ES UN SEGMENTO DE RECTA.


Vitutor: https://www.vitutor.com/geo/eso/el_3.htmle n t o r n o VIRTUAL

Importante:

• Rectas secantesSon aquellas rectas que se cor-tan y tiene un solo punto en co-mún.

P es el punto común de L1 y L2.

• Rectas paralelasSon aquellas rectas que no se intersecan y pertenecen a un mismo plano.

Notación:

L1 // L2

L2

L1

L1

L2

P

El puntoEs un ente matemático que no puede definirse por sí mismo, sino que tiene un significado a partir de su relación con otros conceptos. Se representa por una letra mayúcula.

•A

Se lee: el punto A.

Conceptos geométricos

La rectaUna recta se forma por un con-junto de puntos que se encuen-tran en una misma dirección.

Se lee: la recta L.

L

Semirrecta y rayoObserva la recta AB. Sobre ella se ha tomado un punto “O” entre A y B.Este punto “O” divide a la recta en dos subconjuntos que se llaman semirrecta de origen “O”.

Resuelve problemas de forma, movimiento y localización - Geometría

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a IIA

A O BO

OA: se lee "semirrecta OA" OB: se lee "semirrecta OB"

O B

BO

El punto “O” se llama frontera y no pertenece a ninguna de las dos semirrectas.A la unión de una semirrecta con el punto frontera se llama rayo. El punto frontera es el origen del rayo.

OB: Se lee “rayo OB”.

Segmento de rectaLa parte de una recta, comprendida entre los pun-tos incluyendo a estos, se llama segmento de recta o simplemente segmento.

A B

2 cm

Notación:AB: Se lee segmento de recta AB.

Longitud o medida de un segmentoEs la distancia que hay entre los puntos extremos de un segmento.Notación:AB: Longitud del segmentomAB: Medida del segmento ABDel gráfico anterior: AB = mAB = 2 cm

3 cm 3 cm

A B P

Q

Se observa que AB = PQ, entonces AB ≅ PQ.Se lee: "el segmento AB es congruente al segmento PQ".

Punto medio de un segmentoEs aquel punto que divide a un segmento en otros dos segmentos de igual longitud.

Segmentos congruentesDos segmentos son congruentes si tienen la mis-ma longitud.

MA B

Si M es punto medio de AB, entonces AM = MB.

Operaciones con segmentosLas operaciones se realizan con los números que representan las longitudes de los segmentos.Ejemplo: Se tiene el siguiente segmento:

A

B

a b

C

Pasos para ubicar el punto medio de un segmen-to AB mediante el uso de la regla y el compás

Paso 2. Luego, se traza otra circunferencia con centro en B y de radio BA.

Paso 3. Ambas circunferencias se intersectan en los puntos H y S.

Paso 4.

Se traza el segmento HS que al intersecarse con AB de-termina el punto M, que es punto medio de AB y HS.

BA

BA

B

S

H

A

BA

S

H

M

Paso 1. Se traza una circunferencia de centro en A y de radio AB.

Luego: AM = MB HM = MS

Se cumple:AC = AB + BC → = a + bAB = AC – BC → a = – b

BC = AC – AB → b = – a

L. Act. Pág. 23

� Organiza en un esquema gráfico lo aprendido sobre segmentos.



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1. En la Av. Abancay se ubican en línea recta tres tiendas comerciales de productos y están re-presentadas por los puntos A, B y C, de modo que AC = 38 m y BC = 12 m. Determina la medida de AB.

4. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos

A, B, C, D y E, de modo que AB2

= BC3

= CD5

= DE7

y

AE = 153 cm. Calcula la longitud de AD.

2. En la figura mostrada, calcula el valor de “x”, si AD = 64 cm.

3. Sobre una recta se toman los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D, de modo que AB = 3 cm y BD = 18 cm. Si B es punto medio de AC, ¿cuál es la longitud de CD?

5. En una recta se ubican los puntos colineales y con-secutivos A, B, C, D, y E, de modo que AE – DE = 15 cm, AB + CE = 22 cm y BE – CD = 11 cm. Determi-na el valor de AB + CD.

Del gráfico:x + 12 = 38 → x = 26

Resolución:

Rpta.: La medida de AB es 26 m.

Por dato:AD = 6416 + 12 + 3x = 643x = 36 → x = 12

Resolución:

Rpta.: El valor de “x” es 12 cm.

Por punto medio, AB = BC = 3 cm.Luego:

Resolución:

Rpta.: La longitud de CD es 15 cm.

B

x 12

38

CA

Por dato:AB2

= BC3

= CD5

= DE7

= k → AB = 2k, BC = 3k; CD = 5k; DE = 7kLuego:

Del gráfico: 2k + 3k + 5k + 7k = 153 17k = 153 k = 9Piden: AD = 10k = 10(9) = 90

Resolución:

Rpta.: La longitud de AD es 90 cm.

DCB

2k 3k 5k 7k

153

EA

Por dato: • AE – DE = 15

x + y + m + n – n = 15 → x + y + m = 15…(I) • AB + CE = 22

x + m + n = 22 … (II) • BE – CD = 11

y + m + n – m = 11 → y + n = 11…(III) Suma las ecuaciones (I), (II) y (III): 2x + 2y + 2m + 2n = 48 x + y + m + n = 24…(IV) Reemplaza (III) en (IV): x + m + 11 = 24 AB + CD = 13

Resolución:

Rpta.: El valor de AB + CD es 13 cm.

DCB

x y m n

EA

B C DA

16 cm 12 cm 3x

B C DA

3 cm 3 cm

18 cm

Del gráfico:3 + CD = 18 CD = 15


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a IIÁngulos

� Menciona algunas situaciones donde hayas observado los ángulos.

Activa tus saberes


� ¿Qué instrumentos se utiliza para medir los ángulos?


Los ángulos geométricos son tan indispensables para algunos de-portes, en el caso del lanzamiento de jabalina el deportista debe conocer el ángulo de inclinación y la fuerza necesaria para poder lanzar, ya que esto permite alcanzar una mayor distancia de reco-rrido. ¿Qué tipo de ángulo representa q?

ÁNGULOSe llama ángulo a la unión de dos rayos no colineales que tienen el mismo origen.

A

O a

B

NotaciónÁngulo AOB

AOB; AOB

Elementos:Lados: OA y OBOrigen o vértice: O

• a es la medida del ángulo AOB.

Medida de un ánguloEn Geometría para medir un ángulo, se utiliza el sistema sexagesimal que toma como unidad principal al ángulo de 1 grado sexagesimal (1°).Para encontrar la medida de un ángulo se emplea un instrumento llamado transportador.

m AOB: se lee "medida del ángulo AOB".m AOB = 35°

35°

A

B

O

Bisectriz de un ánguloEs el rayo cuyo origen es el vértice del ángulo y divide a este en dos ángulos congruentes.

Si OM es bisectriz del AOB, se cumple que:m AOM = m MOB. Además, se dice que OM biseca al ángulo AOB.

A

M

BO

qq


8cifras-YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=uK3J5qiWjpge n t o r n o VIRTUAL

q


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ica II CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS

Según sus medidas

Según la suma de sus medidas

Ángulo agudoSu medida es mayor que 0° y menor que 90°.

a

0° < a < 90°

Ángulo rectoSu medida es igual a 90°.

m AOB = 90°

A

BO

Ángulo obtusoSu medida es mayor que 90° y menor que 180°.

90° < b < 180°

b

Ángulos opuestos por el vérticeSon dos ángulos en los cuales los lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados del otro.

m AOB = m COD

O

C

D

B

A

Ángulos complementariosSon dos ángulos cuyas medidas suman 90°.

Complemento de un ángulo El complemento de un ángulo es lo que falta a la medida del ángulo para ser igual a 90°.En general, si "a" es la medida de un ángulo, su complemento es:

Ejemplo:C(37°) = 90° – 37° = 53°Luego, el complemento de 37° es 53°.

a + b = 90°

Ángulos suplementariosSon dos ángulos cuyas medidas suman 180°.

Suplemento de un ánguloEl suplemento de un ángulo es lo que falta a la medida del ángulo para ser igual a 180°.En general, si "b" es la medida de un ángulo, su suplemento es:

Ejemplo:S(124°) = 180° – 124° = 56°Luego, el suplemento de 124° es 56°.

q + γ = 180°

Ángulos adyacentesSon dos ángulos que tienen el vértice y un lado en común.

Los ángulos AOB y BOC son adyacentes.

O C

BLado

común

Vértice común

A

Ángulos consecutivosSon dos o más ángulos que tienen el vértice y un lado en común.

Los ángulos AOB, BOC y COD son consecutivos.

O

C

D

BA

A

B

C(a) = 90° – a

E F

S(b) = 180° – b

Según la posición de sus lados

a a

aq γ

b

Del gráfico, se cumple: Del gráfico, se cumple:


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a IIRecuerda:

Si no se conoce la medida de un ángulo, esta se puede representar mediante cualquier letra del alfabeto griego como a, b, q, φ, entre otros.

Del gráfico, m POQ = a

P

O

Q

a

Observaciones:

I.

Se cumple:

II.

Se cumple:

a b

a + b = 180°

a + b + q = 360°

a

bq

Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una recta secante

Las rectas L1 y L2 son paralelas (L1 // L2) y L3 es una recta secante.

a

a

a

a

b

b

b

b L1

L2

L3

Los cuatro ángulos determinados en la recta L1 se relacionan con los cuatro ángulos determinados en la recta L2 formando parejas que reciben nom-bres específicos como ángulos correspondientes, alternos y conjugados. Es importante identificar ta-les parejas y conocer sus propiedades.

A. Ángulos alternos (sus medidas son iguales)

Ángulos alternos externos

bb

L1

L2

L1

L2

a

a

Ángulos alternos internos

B. Ángulos conjugados (sus medidas suman 180°)

Ángulos conjugados externos

b

a

L1

L2

Ángulos conjugados internos

ab

L1

L2

a + b = 180°

a + b = 180°

C. Ángulos correspondientes (sus medidas son iguales)

a

a

L1

L2

b

b

L1

L2

Postulado de los ángulos correspondientesSi se trazan paralelas sucesivas a L1 hasta llegar a L2, se podrá comprobar que cada par de ángulos correspondientes son congruentes.


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b

b

L1

L2

L3

Se cumple que los ángulos correspondientes son iguales.

1. Si L1 // L2, se cumple:


Propiedades

L1

L2

3x + 15°

85°

10°

L1

L2

a

x

b

x = a + b

Ejemplo:En el gráfico mostrado, L1 // L2. Calcula el valor de “x”.

Resolución:Por propiedad se cumple:85° = 10° + 3x + 15° 3x = 60° x = 20°

L1

L2

a

x

y

b

q

x + y = a + b + q

Ejemplo:En el siguiente gráfico, L1 y L2 son rectas parale-las. ¿Cuál es el valor de “x”?

L1

L2

x

15°

25°

40°

3x

Resolución:Por propiedad se cumple:15° + 25° + 40 ° = x + 3x80° = 4x → x = 20°



Donde "n" es el número de ángulos. Para este caso n = 5.

a + b + γ + φ = 180°

a + b + q + γ + φ = 180° (n – 1)

a

b

γ

φ

L1

L2

L1

L2

ba

qγ

φ

� Elabora un organizador gráfico donde se muestren los tipos de ángulos determinados por dos rectas paralelas y una recta secante.


L. Act. Pág. 26


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1. En el gráfico mostrado, determina la medida del ángulo AOB.

3. En el gráfico, AB // DC y BC // DE. Calcula el valor de a.

4. Si el suplemento del complemento de un án-

gulo es igual a los 43

de la diferencia entre el

suplemento y el complemento del mismo án-

gulo, determina la medida del suplemento del

complemento de dicho ángulo.

2. Se tienen los ángulos consecutivos AOB; BOC y COD, tal que m AOB + m COD =70°. Calcula m XOY, donde OX es bisectriz del AOC y OY es bisectriz del BOD.

Del gráfico se cumple:(3x + 20°) + (2x + 10°) = 90° 5x + 30° = 90 5x = 60° x = 12° Piden: m AOB = 3x + 20° = 3(12°) + 20° = 56°

Resolución:

Rpta.: La medida del ángulo AOB es 56°.

Resolución:

Rpta.: El valor de a es 45°.

SC(x) = 43

[S(x) – C(x)]

180° – (90° – x) = 43

[(180°– x ) – (90°– x)]90° + x = 4

3 (90°)

270° + 3x = 360° → x = 30°Piden: SC(30°) = S(60°) = 120°

Resolución:

Rpta.: La medida pedida es 120°.

Por dato:m AOB + m COD = 70°.(a + a – q) + (b – q + b) = 70° 2(a + b – q) = 70 a + b – q = 35°Piden: m XOY = (a – q) + q + b – q = a + b – q = 35°

Resolución:

Rpta.: La medida del ángulo XOY es 35°.

AB

CO

3x + 20°

2x + 10°

AB C

O

Dba q b –

qa –

q

X

Y

AB

C

135°

D

E

a

Como BC // DE, entonces m BCD = a.Por ángulos conjugados internos: 135° + a = 180° a = 45°

AB

C

135°

D

E

aa


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a II Ángulo trigonométrico

� ¿Qué nombre recibe el sentido de movimiento de las agujas de un reloj?

Activa tus saberes

� ¿Qué características presenta el ángulo trigonométrico?


Trigonometría

Es la rama de la Matemática que estudia la reso-lución de problemas relacionados con triángulos. Esta permite el cálculo de modo indirecto de las medidas de todos sus elementos (ángulos y lados) a partir de algunos datos.

La palabra trigonometría, etimológicamente pro-viene de los vocablos:

• TRI: Tres • GONO: Ángulos • METRIA: Medida

Ángulo trigonométricoUn ángulo trigonométrico es aquel que se genera por la rotación de un rayo respecto a un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial o lado inicial hasta una posición final o lado final.

B

Lado inicial

Lado final

A

O q

Donde:O: vérticeOA: lado inicialOB: lado finalq: medida del ángulo trigonométrico


Vamos, amiga, el profesor ha pedido una

vuelta en sentido horario alrededor de la cancha.

Camilo, pero nosotros estamos corriendo en el otro sentido.

Te parece si completamos la vuelta y giramos al otro sentido

que pidió el profesor.


Calameo: https://es.calameo.com/books/0007098317b36fe580186e n t o r n o VIRTUAL

Características de un ángulo trigonométrico1. El ángulo trigonométrico tiene sentido.

Lado final

aLado inicial

Resuelve problemas de forma, movimiento y localización - Trigonometría

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a II

4. Para realizar operaciones con ángulos trigo-nométricos, estos se deben encontrar en un mismo sentido. Por lo general en sentido anti-horario.

2. El ángulo trigonométrico es ilimitado, es decir no tiene restricción alguna para su magnitud.

Si a es un ángulo trigonométrico entonces a ∈ ⟨–∞; +∞⟩.

+∞ –∞

3. Para cambiar el sentido de un ángulo trigo-nométrico, se debe anteponer el signo menos al ángulo inicial.

b –b

Ángulo de una vueltaEs aquel ángulo trigonométrico que se genera cuan-do coinciden por primera vez su lado inicial y final.

a = 1 vueltaaO

Ejemplos:

1. Calcula el valor de “x” en la siguiente figura:

2x

40° + 4x

–2x

40° + 4x

Resolución:Cambia el sentido del ángulo 2x. Luego, se tiene:

Del gráfico: (40° + 4x) + (–2x) = 90° 2x = 50° x = 25°

2. En el gráfico mostrado, determina una relación entre a y b.

b a

b –a

Resolución:Cambia el sentido de a y se tiene:

Del gráfico:b + 90° – (–a) = 180°b + a = 90°

L. Act. Pág. 29

� Explica con tus propias palabras cada una de las características del ángulo trigonométrico.


Se observa que a es un ángulo generado en sentido antihorario; entonces es positivo.

Se observa que b es un ángulo generado en sentido horario, entonces es negativo.

Lado inicial

Lado final

b

90° – (–a)


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1. Determina el valor de “x” en el siguiente gráfico: 3. En la siguiente figura, OC es bisectriz del ángulo AOB. Calcula el valor de “x”.

4. En el siguiente gráfico, expresa el valor de “x” en función de a, b y q.

2. En el gráfico mostrado, determina el valor de “x”.

Cambia el sentido del ángulo –4x:

Resolución:

Rpta.: El valor de “x” es 18°.

Cambia el sentido del ángulo –2x:

Resolución:

Rpta.: El valor de "x" es 16°.

6x–4x

6x4x

Del gráfico:4x + 6x = 180° 10x = 180° x = 18°

Del gráfico:x + 42° + 2x = 90° 3x = 48° x = 16°

Cambia el sentido del ángulo –2x – 18°:

Cambia el sentido del ángulo a:

Como OC es bisectriz del ángulo AOB, se cumple:2x + 18° = 4x – 6° 2x = 24° x = 12°

Resolución:

Rpta.: El valor de “x” es 12°.

Del gráfico:b + (–a) + x = qx = a – b + q

Resolución:

Rpta.: El valor de “x” es a – b + q.

x ab

q

x –ab

q

x

42°–2x

x

42°2x

B

A

OC

–2x – 18°

4x – 6°

B

A

OC

2x + 18°

4x – 6°


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a IIIntroducción a la Estadística

� ¿Menciona algunas variables cuantitativas?


� ¿Qué entiendes por muestra y población?Activa tus saberes


EN LA IMAGEN SE OBSERVA A UN GRUPO DE NIÑOS DE DISTINTAS EDADES, ESTATURAS Y TALLAS DE CALZADO QUE PARTICIPAN EN EL TALLER DE FÚTBOL DE SU COLEGIO. INDICA CUÁLES SON LAS VARIABLES QUE ENCUENTRAS.

ESTADÍSTICAEs la ciencia que nos proporciona un conjunto de métodos y procedimientos para la recolección, clasificación e interpretación de datos, los mismos que sirven para sacar conclusiones y tomar decisiones razonables.

Estadística descriptivaSe encarga de describir en forma clara y adecuada los

datos que se manejan.

Estadística inferencialNos proporciona un conjunto de métodos con el fin de extraer conclusiones que van más allá de la descripción de los datos lo cual servirá para una correcta toma de

decisiones y hacer estimaciones.

Población estadísticaEs un conjunto de elementos en el cual se estudia una característica.Ejemplo:El conjunto de alumnos del colegio, también se conoce como universo

MuestraCuando una población es demasiado grande se recurre a tomar una parte de esta, que se llama muestra.

población

muestra


Vitutor: https://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_3.htmle n t o r n o VIRTUAL

Ejemplo:De la población total de alumnos del colegio se considera solo al 2° grado de secundaria para la toma de datos.

Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre - Estadística y probabilidad

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VARIABLE ESTADÍSTICAEs una característica de la población y se puede tomar diferentes valores.

Ejemplo:

Las notas de los 45 alumnos del 2° grado secundaria

CuantitativaResulta cuando se puede establecer cuánto o en qué cantidad posee una determinada característica. Puede ser:Ejemplos:• Número de estudiantes de un colegio• Estatura de una persona

CualitativaSon variables cuyos valores son cualidades que presentan la población.Ejemplos:• La variable profesión puede adoptar las modalidades:

ingeniero, doctor, profesor, arquitecto, etc.• Estado civil• Deporte preferido

DiscretaResulta del procedimiento de conteo, es decir toman valores enteros.Ejemplos:• Número de hijos por familia• Número de habitantes de una ciudad

ContinuaTeóricamente puede tomar cualquier valor de un intervaloEjemplos:• Peso de una persona• Talla de calzado

Tabla de distribución de frecuencias Es una ordenación de los datos estadísticos en una tabla, asignando a cada uno de los datos su fre-cuencia correspondiente.

Frecuencia absoluta (fi) Es el número de veces que aparece el valor de una variable estadística en un conjunto de datos. La suma de todas las frecuencias absolutas es igual al número total de datos.

Frecuencia absoluta acumulada (Fi)Es la suma de las frecuencias absolutas desde f1

hasta fi.

Frecuencia relativa (hi)Es el cociente entre la frecuencia absoluta (fi) del dato y el número total de datos (n).

La suma de todas las frecuencias relativas es igual a la unidad.

Frecuencia relativa porcentual (hi %) Indica qué porcentaje del total de datos toma el valor de la variable estadística.

La suma de todas las frecuencias relativas porcen-tuales es igual a 100 %.

Se aplica cuando la variable tiene determinada je-rarquía u orden.

Fi = f1 + f2 + f3 + … + fihi % = hi × 100 %

hi =fi

n

� Ejemplifica mediante una situación problemática los diferentes tipos de frecuencias.


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1. Identifica la población, la muestra, la variable esta-dística y el tipo de variable en la siguiente situación:

Alicia quiere averiguar qué profesores del colegio Los talentos tienen automóvil. Para esto, encuestó a 60 de los 100 profesores del colegio.

Población: 100 profesores de la institución educativa Los talentos.Muestra: 60 profesores del colegio Los talentos.Variable estadística: AutomóvilTipo de variable: Cualitativa

Resolución:

Elabora una tabla de distribución de frecuen-cias. Luego, responde.

a. ¿Cuántos estudiantes fueron encuestados? b. ¿Cuántos estudiantes prefieren fútbol? c. ¿Qué porcentaje representan los que prefieren básquetbol?

Se realiza el conteo y se tiene el siguiente cuadro:

• Calcula la frecuencia absoluta acumulada: F1 = f1 = 6 F2 = f1 + f2 = 6 + 4 F3 = f1 + f2 + f3 = 6 + 4 + 4 = 14 F4 = f1 + f2 + f3 + f4 = 6 + 4 + 4 + 2 = 16 • Calcula la frecuencia relativa:

h1 = f1

n = 616

= 0,375; h2 = f2

n = 416

= 0,25

h3 = f3

n = 416

= 0,25; h4 = f4

n = 216

= 0,125

• Calcula la frecuencia relativa porcentual: h1 % = h1 × 100 % = 0,375 × 100 % = 37,5 % h2 % = h2 × 100 % = 0,25 × 100 % = 25 % h3 % = h3 × 100 % = 0,25 × 100 % = 25 % h4 % = h4 × 100 % = 0,125 × 100 % = 12,5 % Luego, la tabla completa será:

Resolución:

2. Marca con un aspa el tipo de variable estadísti-ca en el cuadro mostrado.

Variable TipoCualitativa Cuantitativa

Número de electores de una mesa de votación

Tiempo de servicio de tra-bajadores de una empresa

Sexo de los estudiantes de una sección

3. Indica qué tipo de variable estadística corres-ponde a cada enunciado.

• Peso de una persona: Variable cuantitati-va continua

• Número de integrantes de una familia: Variable cuantitativa discreta

• Color de auto: Variable cualitativa • Nivel socioeconómico: Variable cualitativa. • Estatura de una persona: Variable cuanti-

tativa continua

Resolución:

• Peso de una persona • Número de integrantes de una familia • Color de auto • Nivel socioeconómico • Estatura de una persona

Deporte favorito fi

Fútbol 6

Básquetbol 4

Vóleibol 4

Tenis 2

Total 16

Deporte favorito fi Fi hi hi %Fútbol 6 6 0,375 37,5 %

Básquetbol 4 10 0,25 25 %

Vóleibol 4 14 0,25 25 %

Tenis 2 16 0,125 12,5 %

Total 16

4. Se realizó una encuesta a un grupo de estudian-tes respecto a su deporte favorito y estos respon-dieron: fútbol, básquetbol, básquetbol, vóleibol, tenis, fútbol, tenis, básquetbol, vóleibol, básquet-bol, fútbol, fútbol, vóleibol, fútbol, fútbol, vóleibol.

a. De la tabla, se observa que fueron en-cuestados 16 estudiantes.

b. Prefieren fútbol: fi = 6 c. Prefieren básquetbol: h2% = 25 %

Rpta.: a. 16 estudiantes b. 6 estudiantes c. 25 %


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