Recipročna rešetka idifrakcija X-zraka

Da se podsjetimo...

• Šta je kristalna rešetka?

• Šta je kristal?

• Koliko Bravaisovih rešetki imamo?

• Šta je primitivna ćelija?

• Šta su Millerovi indeksi?

Da se podsjetimo ...

• U svakoj kristalnoj rešetki odreñena čvorišta leže na jednoj ravnini iz skupa paralelnih ravnina koje su na meñusobno jednakom rastojanju Svrstavanje ravnina kristala u neki skup paralelnih ravnina može se napraviti na više načina

Da se podsjetimo....

Orijentacija kristalografskih ravnina – Millerovi indeksi

Kristalografskom osom zovemo svaki pravac koji spaja čvorišta rešetke

Svaki pravac u kristalu može biti specificiran radijus vektorom

332211 arararr���� ++=

Recipročni prostor i rešetka

• Kristalna rešetka se često zove i direktna rešetka , a prostor u kome tačke interpretiramo kao pozicije atoma u kristalu i opisujemo koordinatama s obzirom na kristalografsku bazu direktni prostor .

• Kristalnu strukturu je nemoguće direktno opaziti, već o njoj zaključujemo putem difrakcije

• Za to se pokazala korisnom konstrukcije jedne nove rešetke tzv. recipro čne rešetke

• Recipročna rešetka se konstruiše u 3D fizikalnom prostoru valnih vektora k (k=2π/λ)

Recipročna rešetka

2 31

3 12

1 23

2

2

2

a ab

Va a

bV

a ab

V

π

π

π

×=

×=

×=

� �

�

� �

�

� �

�

( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 1 3 1 2V a a a a a a a a a= ⋅ × = × = ×� � � � � � � � �

V-volumen elementarne ćelije

Recipročna rešetka

2

1

0

i j ij

ij

a b

i j

i j

πδ

δ

⋅ =

==

≠

�

�

Recipročna rešetka

m1,m2,m3=0, ±1,±2,±3,....

Kao i idealna kristalna rešetka, recipročna rešetka je beskonačna i periodičnaDvije ekvivalentne tačke recipročne rešetke povezane su translacijskim vektorom recipročnog prostora

Translacijski vektorrecipročnog prostora

Skup svih tačaka koje su odreñene gornjom jednačinom za sve cijele brojeve midefinira rešetku recipročnog ili k- prostora.

3

1 1 2 2 3 31

i ii

G m b m b m b m b=

= + + =∑� � � ��

Recipročna rešetka

( )1 2 3bV b b b= � � �

( )321 bbbVb

���

×=

=2πm

m=0,±1,±2....

Recipročna rešetke

• Kako možemo volumen recipročnog prostora izraziti pomoću volumena elementarne kristalne ćelije?

( )32

bVV

π=

( ) ( ) ( )A B C B AC C AB× × = −� � � � � �� � �

Za rješenje problema će nam trebati neke relacije:

( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 1 3 1 2V a a a a a a a a a= ⋅ × = × = ×� � � � � � � � �

Primjer

• Pokazati da je recipročna rešetka plošno centriranoj kubnoj rešetki, prostorno centirrana kubna rešetka.

Primjer• Neke poznate relacije koje nam trebaju:

1

2

3

12

1

1

12

1

1

12

1

1

ba

ba

ba

π

π

π

− =

= −

= −

�

�

�

Volumen elementarne ćelije je V=a3/4

Neki zaključci

• Vrijedi:• Recipročna rešetka jednostavnoj kubnoj rešetki je takoñe

jednostavna kubna rešetka. Plošno centrirana i prostorno centrirana kubna rešetka recipročne su jedna drugoj. Pokazati za vježbu

• Recipročna rešetka recipročnoj rešetki je....?

Direktna rešetka

Wigner-Saitzova ćelija recipročnog prostora?

• Da se podsjetimo....

Sadrži jedan čvor,dakle to je primitivna ćelija

Prva Brillouinova zona

Difrakcija X zraka

• Difrakcija valova na kristalu omogućava da se odredi kristalna struktura (prvi je to predložio Laue 1912. godine, razvio je Bragg)

• X zrake- EM valovi velike frekvencije tj. male valne dužine

• Udaljenost izmeñu atoma u kristalu je reda 1 A (10-10 m)

Rentgenske zrake

Difrakcija X-zraka

• Valna dužina X-zraka odgovara toj udaljenosti

• Za veće valne dužine, ne bi se mogli razlučiti detalji strukture

• Za puno manje valne dužine uglovi difrakcije bi bili jako mali što bi otežavalo difrakciju

• Uslovi za Bragov zakon refleksije:• 1. spekularna (zrcalna, ogledalna) refleksija- upadni ugao je isti kao

i ugao refleksije• 2. Interferencija reflektovanih valova od sukcesivnih ravnina bi

trebala biti konstruktivna

Bragov zakon

nλ = 2 d sin(θ)

Primjedba: d i sin(θ) su inverzno proporcionalni (recipročni). Ovo znači da manje vrijednosti d difraktuju pri većim uglovima

Bragov zakon je jako pojednostavljen (ali radi). Ne daje informacije:

a)O intenzitetu i širini difrakcionih vršaka (pikova)b) Zanemaruje razlike u raspršenju od različitih atomac) Zanemaruje distribuciju naboja oko atoma

Von Laue-ov pristup• Jedina pretpostavka- da X-zrake koje su raspršene na atomima

mogu konstruktivno da interferiraju• X zrake (EM valovi e i(ωt-kr ) )

• X-zrake valnog vektora k=2π/λ• Napomena (U kristalografiji se koristi i k=1/λ tj. ei2π(νt-kr ) ))• Elastično raspršenje |k|=| k’ |- ne mijenja se frekvencija tj. valna

dužina

R�

'eR�

�

⋅eR�

�

⋅−

k�

'k�

''' ekk

ekk�

�

�

�

=

=

θ

Von Lauov pristup

• Dobija se:

( )( )'

' 2

1i k k R

R k k m

e

π−

⋅ − =

=� � �

� ��

Poreñenjem sa ranijom relacijom koju smo dobili kad smo

govorili o recipročnom prostoru dobivamo

'k k G− =� � �

Skup tačaka definisanih setom vektora G zove se recipročna rešetkaDifraktogram je mapa recipročne rešetke, za razliku od mikroskopske slikekoja je mapa realne kristalne strukture

Uslov difrakcije

m=0,±1,....

Von Laue-ov pristup

• Dobili smo jednostavno geometrijsko tumačenje uslova difrakcije

• Konstruktivna interferencija će se pojaviti tamo gdje je promjena valnog vektora upadnog i reflektovanog zraka jednaka vektoru recipro čne rešetke

• Sad možemo pretpostaviti da formulacija difrakcionih tačaka redukuje problem na geometrijsko razmatranje u 3D

• Skup vektora k definira recipročnu rešetku

'k k G− =� � �

G

Von Laueov pristup

• Pošto znamo da je |k |=| k’ |

• Iz prethodnog uslova

• Dobijamo da je

'k k G− =� � �

21

2k G G⋅ =� �

Ovo nam pokazuje da za konstruktivnu interferenciju projekcija vekotra k na osu duž vekotra recipročne rešetke G mora biti jednaka polovini dužine vektora G

Laueov uslov difrakcije

(jer su i G i –G vektori recipročne rešetke)

Difrakcija (konstruktivna interferencija) je najjača na okomitoj tzv. Bragovojravni koja se nalazi na sredini izmeñu dvije tačke recipročne rešetke

Ewaldova konstrukcija

G

Geometrijski prikaz Braggovog zakona

Ewaldova konstrukcija (sfera)

• G Difrakcija će se desiti kad Ewaldova sfera siječe neki čvor recipročne rešetke (npr. G). Ugao izmeñu k i k’ je 2θB . Lako je izračunati uobičajeni oblik Bragovog zakona

λθ nd Bhkl =sin2

gdje je dhkl razmak mrežnih ravnina kojije sa vektorom G povezan kao

hkldG

π2=

2π

G

Pojasnimo malo indekse hkl u svjetlu recipročne rešetke

• Tačke recipročnog prostora (k-prostor) odreñene su vektorima k• Vrijedi isto kao i za direktnu rešetku

Gkk

Rrr���

�

��

+=

+=

'

'

Da bi skup vektora k definirao recipročnu rešetku koja posjeduje simetrijuBravaisove rešetke za sve vektore r i R, ravni val mora zadovoljati periodicitet

( ) rkiRrki ee�

��

�

�

=+

Ovo je ispunjeno kad vrijedi 1=Rkie��

Pojasnimo malo indekse hkl u svjetlu recipročne rešetke

• Ovo znači da mora biti ispunjeno

2k R mπ⋅ =� �

Na osnovu ranije izvedenog svojstva 2G R mπ⋅ =� �

Slijedi da k mora biti linearna kombinacija osnovnih vektora recipročne rešetke

332211 bkbkbkk����

++= ki=0,±1,±2

U prostoru recipročne rešetke postoji vrlo jednostavan način svrstavanjaparalelnih kristalografskih ravnina u jedan skup. U tu svrhu koristi se normala

na bilo koju ravninu iz skupa paralelnih ravni kristala. Kako je svaki vektor klinearna kombinacija vektora recipročne rešetke b i (i=1,2,3), uvijek okomitna neki skup ravnina direktne rešetke ai, to se kao predstavnik normale možeuzeti vektor G, kao normala najmanje dužine. Na taj način normala na ravninu sa Millerovim indeksima (hkl) je osnovni vektor recipročne rešetkepri čemu su cijeli brojevi (hkl) najmanji cijeli brojevi za dati skup paralelnih ravnina

321 blbkbhG����

++=

m=0,±1,±2....

Ishodište

k

k’

Dakle, dobili smo RECIPROČNU REŠETKU

2π/d

Ose Recipročne Rešetke:b1 leži okomito na ravninu b-cb2 leži okomito na ravninu a-cb3 leži okomito na ravninu a-b

RR (RL) tačke se indeksiraju na osnovu ose

Svaka tačka predstavlja sveparalelne kristalne ravnine. Npr., sve ravnine paralelne ravnini a-c su unutar tačke (010).

Familije ravnina postaju tačke!

b2

b1

(110)

(010)

(200)

G

Longitudinalni ili θ-2θ scanuzorak se kreće za θ, detektor za 2θ

k k’

0 10 20 30 40

Longitudinalni ili θ-2θ scanuzorak se kreće za θ, detektor za 2θ

0 10 20 30 40

Recipročna rešetka se okreće za θtokom skeniranja

Longitudinalni ili θ-2θ scanuzorak se okreće za θ, detektor za 2θ

2θ

0 10 20 30 40

0 10 20 30 40

Longitudinalni or θ-2θ scanuzorak se kreće za θ, detektor za 2θ

2θ

Longitudinalni ili θ-2θ scanuzorak se kreće za θ, detektor za 2θ

2θ

0 10 20 30 40

Longitudinalni ili θ-2θ scanuzorak se kreće za θ, detektor za 2θ

0 10 20 30 40

2θ

0 10 20 30 40

Longitudinalni ili θ-2θ scanuzorak se kreće za θ, detektor za 2θ

0 10 20 30 400 10 20 30 40

2θ

0 10 20 30 40