rainbow connection number dan strong rainbow...

i

RAINBOW CONNECTION NUMBER DAN STRONG

RAINBOW CONNECTION NUMBER PADA

SHACKLE GRAF ANTIPRISMA 𝑨𝑷𝟒

Dayinta Andira

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI

SYARIF HIDAYATULLAH

JAKARTA

2018 M / 1439 H

i

RAINBOW CONNECTION NUMBER DAN STRONG

RAINBOW CONNECTION NUMBER PADA

SHACKLE GRAF ANTIPRISMA 𝑨𝑷𝟒

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar

Sarjana Matematika (S.Mat)

Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Islam Negeri (UIN) Syarif Hidayatullah Jakarta

Oleh:

Dayinta Andira

1113094000031

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI

SYARIF HIDAYATULLAH

JAKARTA

2018 M / 1439 H

iv

PERSEMBAHAN

Untuk ribuan tujuan yang akan kudaki,

jutaan impian yang akan kuselami,

dan segala pengharapan yang tertanam dalam hati,

kupijakkan diriku pada yang mampu memenuhiku

dengan kekuatan, dengan keikhlasan.

Pada yang kutumpahkan keluh dan kesahku,

dan kutampakkan langkah perjuanganku.

Teruntuk Bapak dan Ibu,

skripsi ini kupersembahkan.

v

MOTTO

“Boleh jadi kamu membenci sesuatu, padahal ia amat baik bagimu, dan boleh

jadi (pula) kamu menyukai sesuatu, padahal ia amat buruk bagimu; Allah

mengetahui, sedang kamu tidak mengetahui.”

(Q.S. Al-Baqarah 2:216)

vi

INTISARI

Rainbow Connection Number dan Strong Rainbow Connection Number

pada Shackle Graf Antiprisma 𝑨𝑷𝟒

Oleh

Dayinta Andira

1113094000031

Misal 𝐺 adalah graf terhubung tak trivial. Minimum 𝑘 warna sedemikian

sehingga 𝐺 memiliki rainbow- 𝑘-coloring merupakan rainbow connection

number, dinotasikan dengan 𝑟𝑐(𝐺). Minimum 𝑘 warna yang dibutuhkan untuk

mewarnai 𝐺 menjadi strongly rainbow connected merupakan strong rainbow

connection number, dinotasikan dengan 𝑠𝑟𝑐(𝐺). Operasi shackle 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐴𝑃4, 𝑡)

adalah graf yang dibentuk dari sebanyak 𝑡 graf 𝐴𝑃4 yang terhubung sehingga

untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ [1, 𝑡] dengan 𝑎 − 𝑏 ≥ 2 berlaku 𝐺𝑎 dan 𝐺𝑏 tidak mempunyai

titik yang sama, dan untuk setiap 𝑖 ∈ 1, 𝑡 − 1 , 𝐺𝑖 dan 𝐺𝑖+1 tepat mempunyai satu

titik yang sama, disebut titik penghubung, dan semua 𝑘 − 1 titik penghubung

berbeda. Shackle yang digunakan merupakan shackle dengan diameter konsisten

untuk setiap 𝑡 bilangan asli. Pada penelitian ini akan ditentukan rainbow

connection number dan strong rainbow connection number dari shackle graf

antiprisma 𝐴𝑃4.

Kata kunci: Graf antiprisma, pewarnaan pelangi, rainbow connection number,

shackle, strong rainbow connection number.

vii

ABSTRACT

On Rainbow Connection Number and Strong Rainbow Connection Number

from Shackle of Antiprism Graph 𝑨𝑷𝟒

By

Dayinta Andira

1113094000031

Let 𝐺 be a nontrivial connected graph. The minimum natural number 𝑘 of

𝑘-edge coloring graph 𝐺 is rainbow connection number of 𝐺, denoted by 𝑟𝑐(𝐺).

The minimum natural number 𝑘 of 𝑘-edge coloring graph 𝐺 to be a strongly

rainbow connected graph is called strong rainbow connection number of 𝐺,

denoted by 𝑠𝑟𝑐(𝐺). Shackle operation of some graphs, denoted as 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐴𝑃4, 𝑡),

is a graph of 𝑡 connected graph 𝐴𝑃4 such that for every 𝑎, 𝑏 ∈ [1, 𝑡] with 𝑎 −

𝑏 ≥ 2, 𝐺𝑎 and 𝐺𝑏 have no common vertex, and for every 𝑖 ∈ 1, 𝑡 − 1 , 𝐺𝑖 and

𝐺𝑖+1 have one common vertex, called linkage vertex, where all 𝑡 − 1 linkage

vertices are different. The shackle application used in this paper are the ones such

that its diameter is consistent for any natural number 𝑡. This paper deals with

rainbow connection number and strong rainbow connection number of the shackle

of antiprism graph 𝐴𝑃4.

Keyword: Antiprism graph, rainbow coloring, rainbow connection number,

shackle, strong rainbow connection number.

viii

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Alhamdulillah, puji dan syukur ke hadirat Allah SWT atas segala limpahan

rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi

yang berjudul “Rainbow Connection Number dan Strong Rainbow Connection

Number pada Shackle Graf Antiprisma 𝑨𝑷𝟒”. Shalawat serta salam senantiasa

tercurahkan kepada baginda Nabi Muhammad SAW, beserta keluarga dan para

sahabatnya.

Di balik terselesaikannya skripsi ini, begitu banyak pihak yang telah

berkontribusi, baik dalam memberikan bimbingan, bantuan, waktu, maupun dalam

bentuk kontribusi lainnya. Untuk itu melalui kesempatan ini, dengan segala

kerendahan hati, penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada:

1. Bapak Dr. Agus Salim, M.Si selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta.

2. Ibu Dr. Nina Fitriyati, M.Kom selaku Ketua Program Studi Matematika dan

Ibu Irma Fauziah, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Matematika.

3. Ibu Yanne Irene, M.Si selaku Dosen Pembimbing I dan Ibu Irmatul

Hasanah, M.Si selaku Dosen Pembimbing II yang senantiasa memberikan

waktu, bimbingan, dan motivasi kepada penulis dalam menyelesaikan

skripsi ini.

4. Bapak Taufik Edy Sutanto, Ph.D selaku Dosen Penguji I dan Bapak Wisnu

Aribowo, M.Si selaku Dosen Penguji II yang telah memberikan arahan dan

saran untuk perbaikan skripsi ini.

5. Seluruh Ibu dan Bapak Dosen Program Studi Matematika yang telah

memberikan ilmu dan pengetahuan yang bermanfaat selama masa studi

penulis.

6. Orang tua penulis, Bapak Djoko Riyanto dan Ibu Retno Sarining, serta

kakak kandung penulis, Dipo Andara, yang tidak pernah berhenti

ix

mengalirkan kasih sayang dan doa serta dukungan moril maupun materil,

sekaligus sebagai motivasi terbesar sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.

7. Kak Irvan Septiar Musti, M.Si yang telah banyak memberikan inspirasi

kepada penulis, terutama dalam ide penulisan skripsi ini.

8. Sofi, Cynthia, Nadya, Sarah, Imas, Otmilda, Alfi, dan Ayu, sahabat-sahabat

seperjuangan yang sekaligus menjadi rumah dalam berbagi suka dan duka

selama penulis mengarungi kehidupan di masa perkuliahan.

9. Agni, Icha, Shofa, Rizka, Monik, Cibeng, Tira, dan Sari, sahabat-sahabat

penulis sejak hampir sembilan tahun terakhir.

10. Almira Ghaisani, sahabat yang selalu setia menjadi pendengar terbaik.

11. Bagus, Angga, Aul, Nda, Ndi, Panjul, Asfar, Uta, Ady dan teman-teman

Matematika 2013 (Cypress Family) yang selama beberapa tahun terakhir

menjadi bagian dari semangat penulis dalam melanjutkan studi hingga

terselesaikannya skripsi ini.

12. Keluarga Himpunan Mahasiswa Matematika, Dewan Eksekutif Mahasiswa

Fakultas Sains dan Teknologi, dan Sanggar Tari Saintek (Srikandi). Terima

kasih untuk segala kesempatan, kepercayaan, ilmu, dan pengalaman yang

luar biasa.

13. Seluruh pihak yang telah membantu penulis yang tidak dapat disebutkan

satu persatu.

Penulis menyadari penulisan skripsi ini tidaklah sempurna. Kritik dan saran

yang membangun demi perbaikan dan penyempurnaan skripsi ini dapat

disampaikan melalui [email protected]. Akhir kata, penulis

berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat. Aamiin.

Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Jakarta, Oktober 2017

Penulis

x

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ........................................................................................... i

HALAMAN PERNYATAAN ............................................................................ ii

HALAMAN PENGESAHAN ........................................................................... iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................ iv

MOTTO ............................................................................................................. v

INTISARI .......................................................................................................... vi

ABSTRACT ..................................................................................................... vii

KATA PENGANTAR ..................................................................................... viii

DAFTAR ISI ...................................................................................................... x

DAFTAR GAMBAR ........................................................................................ xii

BAB I PENDAHULUAN .............................................................................. 1

1.1 Latar Belakang .............................................................................. 1

1.2 Rumusan Masalah ......................................................................... 2

1.3 Batasan Masalah ........................................................................... 2

1.4 Tujuan Penelitian .......................................................................... 3

1.5 Manfaat Penelitian ........................................................................ 3

1.6 Sistematika Penulisan .................................................................... 3

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ..................................................................... 4

2.1 Fungsi ........................................................................................... 4

2.2 Konsep Dasar dan Terminologi Graf.................................................. 4

2.3 Diameter Graf ............................................................................... 6

2.4 Jenis Graf ...................................................................................... 6

2.5 Beberapa Graf Khusus dan Operasi Graf .......................................... 7

2.6 Rainbow Connection dan Strong Rainbow Connection .................. 9

BAB III PEMBAHASAN ............................................................................... 11

3.1 Rainbow Connection Number pada Shackle Graf Antiprisma 𝐴𝑃4 12

xi

3.2 Strong Rainbow Connection Number pada Shackle Graf Antiprisma

𝐴𝑃4 ..................................................................................................... 17

BAB IV PENUTUP ........................................................................................ 19

4.1 Kesimpulan ....................................................................................... 19

4.2 Saran .................................................................................................. 19

REFERENSI .................................................................................................... 20

xii

DAFTAR GAMBAR

2.1 (a) Contoh Fungsi, (b) Contoh Bukan Fungsi ................................................ 4

2.2 Graf dengan Order 5 dan Size 7 .................................................................... 5

2.3 Graf 𝐺 ........................................................................................................... 6

2 4 (a) Graf Sederhana, (b) Graf Ganda, (c) Graf Semu ....................................... 7

2.5 Graf Lintasan 𝑃2 dan 𝑃4 ................................................................................ 7

2.6 Graf Lingkaran 𝐶3, 𝐶4, dan 𝐶5........................................................................ 8

2.7 Graf Antiprisma 𝐴𝑃4 ..................................................................................... 8

2.8 Graf Hasil Operasi Shackle 𝐶4 ....................................................................... 9

2.9 Graf Petersen dengan (a) 𝑟𝑐(𝑃) = 3 dan (b) 𝑠𝑟𝑐(𝑃) = 4 ............................ 10

3.1 Shackle dari Himpunan Graf Antiprisma 𝐴𝑃4 dengan 𝑡 = 3 ........................ 12

3.2 Pewarnaan-4 Rainbow pada Shackle Graf Antiprisma 𝐴𝑃4 dengan 𝑡 = 2 .... 13

3.3 Pewarnaan-6 Rainbow pada Shackle Graf Antiprisma 𝐴𝑃4 dengan 𝑡 = 3..... 14

3.4 Pewarnaan-8 Rainbow pada Shackle Graf Antiprisma 𝐴𝑃4 dengan 𝑡 = 4..... 16

3.5 Pewarnaan Rainbow pada Komponen ke-𝑖 Shackle Graf Antiprisma 𝐴𝑃4 .... 17

3.6 Pewarnaan-2t Rainbow pada Shackle Graf Antiprisma 𝐴𝑃4 ......................... 18

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Salah satu dari cabang ilmu matematika yang cukup terkenal saat ini adalah

teori graf. Teori graf muncul pertama kali pada tahun 1736, yaitu ketika Leonhard

Euler memecahkan solusi atas permasalahan yang berkaitan dengan jembatan

Konigsberg [1]. Teori graf sebagai cabang dari matematika diskrit, kini menjadi

sebuah topik pembahasan yang telah banyak dikembangkan. Salah satu topik

bahasan yang dikembangkan dalam teori graf adalah rainbow connection.

Rainbow connection diperkenalkan pertama kali pada tahun 2008 oleh

Chartrand dkk [2]. Misal 𝐺 adalah graf terhubung tak trivial. Rainbow connection

adalah pemberian warna pada sisi graf 𝐺 dimana dua sisi yang bertetangga boleh

diwarnai sama. Untuk setiap pasang titik 𝑢 dan 𝑣 di 𝐺, suatu lintasan dengan 𝑢

dan 𝑣 sebagai titik ujung yang setiap sisinya memperoleh warna berbeda disebut

rainbow path. Pewarnaan sisi pada graf 𝐺 disebut rainbow coloring jika graf 𝐺

merupakan rainbow connected, yaitu untuk setiap dua titik 𝑢 dan 𝑣 di 𝐺

mengandung rainbow 𝑢 − 𝑣 path. Jika pewarnaan pada sisi graf 𝐺 menggunakan

sebanyak 𝑘 warna, 𝑘 ∈ ℕ, maka disebut rainbow-k-coloring. Minimum dari 𝑘

yang terdapat pada rainbow-k-coloring pada graf 𝐺 merupakan rainbow

connection number pada graf 𝐺 dan dinotasikan dengan 𝑟𝑐(𝐺).

Misal 𝑐 ∶ 𝐸 𝐺 → (1,2, . . . , 𝑘} suatu rainbow coloring pada suatu graf

terhubung 𝐺. Untuk sebarang titik 𝑢 dan 𝑣 di 𝐺, rainbow 𝑢 − 𝑣 geodesic di 𝐺

adalah rainbow path dengan panjang 𝑑(𝑢, 𝑣), dimana 𝑑(𝑢, 𝑣) adalah jarak antara

titik 𝑢 dan 𝑣. Graf 𝐺 dikatakan strongly rainbow connected jika 𝐺 mengandung

minimal satu rainbow 𝑢 − 𝑣 geodesic untuk setiap pasang titik 𝑢 dan 𝑣 di 𝐺.

Dalam hal ini, 𝑐 dikatakan strong rainbow-c-coloring dari 𝐺. Nilai minimum yang

dibutuhkan untuk mewarnai graf 𝐺 menjadi strong rainbow connected merupakan

strong rainbow connection number pada graf 𝐺 dan dinotasikan dengan 𝑠𝑟𝑐(𝐺).

2

Para peneliti sebelumnya telah mengkaji dan mengembangkan bahasan

mengenai rainbow connection number dan strong rainbow connection number

pada graf. Pada tahun 2008, Chartrand dkk [1] melakukan penelitian rainbow

connection number dan strong rainbow connection number pada beberapa jenis

graf khusus seperti graf lingkaran, graf roda, graf lengkap, graf pohon, dan graf

lengkap k-partite. Dalam tesisnya pada tahun 2015, Darmawan [3] melakukan

penelitian rainbow connection number dan strong rainbow connection number

pada beberapa jenis graf khusus, salah satunya pada graf antiprisma (𝐴𝑃𝑛 ). Selain

itu, Darmawan juga melakukan penelitian rainbow connection number dan strong

rainbow connection number pada beberapa jenis graf khusus yang dioperasikan

menggunakan operasi graf, salah satunya adalah operasi shackle.

Berdasarkan beberapa penelitian tersebut, peneliti akan mengkaji dan

mengembangkan rainbow connection number dan strong rainbow connection

number pada hasil operasi shackle graf antiprisma. Dalam hal ini, peneliti

memfokuskan pada penggunaan graf antiprisma 𝐴𝑃4.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, permasalahan yang akan

diteliti dalam penelitian ini yaitu mengenai bagaimana menentukan rainbow

connection number dan strong rainbow connection number pada shackle graf


1.3 Batasan Masalah

Dalam penelitian ini, agar pembahasan tidak meluas maka penulis

membatasi objek kajian, yaitu:

1. Graf khusus yang digunakan adalah graf antiprisma 𝐴𝑃4.

2. Operasi yang digunakan pada pengoperasian graf adalah shackle.

3. Aplikasi shackle yang digunakan merupakan shackle dengan diameter

konsisten untuk setiap 𝑡 bilangan asli.

3

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah menentukan rainbow

connection number dan strong rainbow connection number pada shackle graf


1.5 Manfaat Penelitian

Manfaat dalam melakukan penelitian ini adalah:

1. Dapat menentukan rainbow connection number pada shackle graf


2. Dapat menentukan strong rainbow connection number pada shackle

graf antiprisma 𝐴𝑃4.

3. Menambah wawasan penulis tentang teori graf, khususnya mengenai

rainbow connection number dan strong rainbow connection number

pada shackle graf antiprisma 𝐴𝑃4.

4. Sebagai penambah hasil-hasil penelitian yang dapat dijadikan bahan

acuan peneliti lain yang mengkaji permasalahan atau topik yang sama.

1.6 Sistematika Penulisan

Skripsi ini ditulis dalam empat bab. Bab 1 sebagai pendahuluan yang terdiri

dari latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat

penelitian, dan garis besar penulisan skripsi. Pada bab 2 akan dijelaskan mengenai

tinjauan pustaka yang akan digunakan pada penelitian. Pada bab 3 akan

ditentukan rainbow connection number dan strong rainbow connection number

pada shackle graf antiprisma 𝐴𝑃4. Terakhir, pada bab 4 sebagai kesimpulan dan

saran dari hasil yang diperoleh pada bab 3.

4

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Fungsi

Misal 𝐴 dan 𝐵 himpunan tak kosong. Fungsi 𝑓 dari 𝐴 ke 𝐵 adalah suatu

pemetaan setiap elemen di 𝐴 dengan tepat satu elemen di 𝐵 [6]. Fungsi 𝑓 dari 𝐴

ke 𝐵 dapat ditulis sebagai 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 yang artinya 𝑓 memetakan 𝐴 ke 𝐵. Berikut

ini ilustrasi fungsi dan bukan fungsi.

Gambar 2.1 (a) Contoh Fungsi, (b) Contoh Bukan Fungsi

2.2 Konsep Dasar dan Terminologi Graf

Graf 𝐺 didefinisikan sebagai pasangan himpunan (𝑉, 𝐸). Dalam hal ini, 𝑉

merupakan himpunan tak kosong, dimana elemen-elemennya disebut titik dan 𝐸

himpunan yang mungkin kosong, dimana elemen-elemennya disebut sisi [4].

Berdasarkan definisi graf, dapat dinyatakan bahwa 𝑉 tidak boleh kosong,

sedangkan 𝐸 boleh kosong. Menurut Chartrand dkk [1], suatu graf yang hanya

memiliki sebuah titik tetapi tidak memiliki sisi, maka disebut graf trivial.

Himpunan titik di 𝐺 dinotasikan dengan 𝑉(𝐺) dan himpunan sisi di 𝐺 dinotasikan

𝐸 𝐺 . Jumlah titik pada graf 𝐺 disebut order dari 𝐺, dinotasikan dengan |𝑉 𝐺 |

dan jumlah sisi pada graf 𝐺 disebut size dari 𝐺, dinotasikan dengan |𝐸 𝐺 |.

Gambar 2.2 menunjukkan contoh graf 𝐺 dengan 𝑉 𝐺 = 5 dan 𝐸 𝐺 = 7.

(a) (b)

5

Gambar 2.2 Graf dengan Order 5 dan Size 7

Misal 𝑢 dan 𝑣 sebarang titik di 𝐺. Penotasian sisi dapat direpresentasikan

dengan 𝑢𝑣 atau 𝑣𝑢. Dua buah titik dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung

secara langsung. Titik 𝑢 dan 𝑣 dikatakan bertetangga di 𝐺, jika 𝑒 = 𝑢𝑣

merupakan sisi pada graf 𝐺. Sedangkan sisi 𝑒 = 𝑢𝑣 dengan titik 𝑢 dan 𝑣

dikatakan bersisian jika 𝑢 dan 𝑣 merupakan titik-titik ujung dari 𝑒. Ilustrasi pada

Gambar 2.2 merupakan suatu graf 𝐺 dengan 𝑉 𝐺 = {𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑦} dan 𝐸 𝐺 =

{𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, 𝑒4, 𝑒5, 𝑒6, 𝑒7}. Sisi 𝑒1 = 𝑢𝑣 bersisian dengan 𝑢 dan 𝑣, tetapi tidak

bersisian dengan 𝑤, 𝑥, dan 𝑦. Sisi 𝑒1 dan 𝑒2 adalah dua sisi yang berbeda namun

memiliki titik yang sama sehingga 𝑒1 dan 𝑒2 bertetangga (begitu pula 𝑒1 dengan

𝑒3, 𝑒4, dan 𝑒5). Akan tetapi 𝑒1 dan 𝑒6 (dan 𝑒1 dan 𝑒7) tidak bertetangga.

Jalan yang memiliki panjang 𝑛 dengan titik awal 𝑣0 dan titik akhir 𝑣𝑛 adalah

barisan 𝑣0, 𝑒1, 𝑣1, 𝑒2, 𝑣2 , . . . , 𝑣𝑛−1, 𝑒𝑛 ,𝑣𝑛 yang suku-sukunya bergantian antara titik

dan sisi, sedemikian sehingga 𝑒𝑖 = 𝑣𝑖−1𝑣𝑖 untuk 𝑖 = 1,2, . . . , 𝑛. Sebuah jalan

dengan titik dan sisi yang berbeda dan tidak dilintasi secara berulang disebut

lintasan (path). Lintasan yang berawal dan berakhir pada titik yang sama disebut

lintasan tertutup, sedangkan lintasan yang tidak berawal dan berakhir pada titik

yang sama disebut lintasan terbuka.

Graf 𝐺 dikatakan terhubung (connected) jika untuk setiap pasang titik 𝑢 dan

𝑣 di 𝐺 memuat lintasan 𝑢 − 𝑣, yaitu lintasan yang menghubungkan titik 𝑢 dan 𝑣.

Sebaliknya, jika terdapat titik-titik 𝑢 dan 𝑣 namun tidak memuat lintasan 𝑢 − 𝑣,

maka graf 𝐺 disebut tak terhubung (disconnected).

6

2.3 Diameter Graf

Pada suatu graf 𝐺 tak trivial dengan sepasang titik 𝑢, 𝑣 dari himpunan titik

𝑉(𝐺), jarak 𝑑(𝑢, 𝑣) antara titik 𝑢 dan 𝑣 adalah panjang dari lintasan terpendek

𝑢 − 𝑣. Maksimum dari panjang lintasan terpendek seluruh pasang titik pada graf

𝐺 disebut diameter graf 𝐺, dinotasikan dengan 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐺) [1].

Gambar 2.3 Graf 𝑮

Berdasarkan ilustrasi pada Gambar 2.3, diperoleh jarak untuk setiap pasang

titik di graf 𝐺 sebagai berikut.

𝑑 𝑣1, 𝑣2 = 1 𝑑 𝑣1, 𝑣3 = 2 𝑑 𝑣1, 𝑣4 = 1 𝑑 𝑣1, 𝑣5 = 2 𝑑 𝑣1, 𝑣6 = 2



Jadi, 𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐺 = 3.

2.4 Jenis Graf

Menurut Sugeng dkk [8], graf dapat dikelompokkan ke dalam beberapa

kategori. Pengelompokan graf berdasarkan ada tidaknya sisi ganda terbagi dalam

dua jenis, yaitu:

1. Graf Sederhana

Graf sederhana adalah graf yang tidak memuat gelang (loop) ataupun

sisi ganda.

7

2. Graf Tidak Sederhana

Graf tidak sederhana adalah graf yang memuat gelang (loop) ataupun

sisi ganda. Terdapat dua jenis graf tidak sederhana,yaitu graf ganda

(multigraph) dan graf semu (pseudograph). Graf ganda adalah graf

yang memuat sisi ganda. Graf semu adalah graf yang memuat sisi ganda

dan loop.

Gambar 2 4 (a) Graf Sederhana, (b) Graf Ganda, (c) Graf Semu

2.5 Beberapa Graf Khusus dan Operasi Graf

Graf khusus adalah graf yang memiliki keunikan khusus. Keunikannya

adalah graf khusus tidak isomorfik dengan graf lainnya. Ada beberapa graf khusus

sederhana yang dapat dijumpai pada beberapa aplikasi, diantaranya sebagai

berikut:

1. Graf Lintasan (Path)

Graf lintasan merupakan graf yang terdiri dari satu lintasan. Graf

lintasan dengan 𝑛 titik dinotasikan dengan 𝑃𝑛 , dimana 𝑛 ≥ 2.

Gambar 2.5 Graf Lintasan 𝑷𝟐 dan 𝑷𝟒

2. Graf Lingkaran (Cycle)

Graf lingkaran adalah graf yang setiap titiknya berderajat dua. Graf

lingkaran memiliki jumlah titik dan sisi yang sama dan dilambangkan

dengan 𝐶𝑛 , dimana 𝑛 ≥ 3.

(a) (b) (c)

8

Gambar 2.6 Graf Lingkaran 𝑪𝟑, 𝑪𝟒, dan 𝑪𝟓

3. Graf Antiprisma (Antiprism)

Graf antiprisma dinotasikan dengan 𝐴𝑃𝑛 adalah graf dengan himpunan

titik 𝑉(𝐴𝑃𝑛 ) = 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 dan himpunan sisi 𝐸(𝐴𝑃𝑛 ) = {𝑥𝑖𝑥𝑖+1|

1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ 𝑥𝑛𝑥1 ∪ 𝑦𝑖𝑦𝑖+1|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 ∪ 𝑦𝑛𝑦1 ∪ {𝑥𝑖𝑦𝑖 |

1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ 𝑥𝑖𝑦𝑖+1|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ∪ 𝑥𝑛𝑦1 .

Gambar 2.7 Graf Antiprisma 𝑨𝑷𝟒

Operasi graf adalah suatu cara untuk menghasilkan graf baru dengan

mengombinasikan dua graf atau lebih. Salah satu operasi graf adalah shackle.

Definisi 2.5.1 Shackle [5] Graf shackle dinotasikan dengan 𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐺1, 𝐺2, . . . , 𝐺𝑘)

merupakan sebuah graf yang dibentuk dari 𝑘 graf terhubung tak trivial

𝐺1, 𝐺2, . . . , 𝐺𝑘 sehingga untuk setiap 𝑠, 𝑡 ∈ [1, 𝑘] dengan 𝑠 − 𝑡 ≥ 2 berlaku 𝐺𝑠

dan 𝐺𝑡 tidak mempunyai titik yang sama, dan untuk setiap 𝑖 ∈ 1, 𝑘 − 1 , 𝐺𝑖 dan

𝐺𝑖+1 tepat mempunyai satu titik yang sama, disebut titik penghubung, dan semua

𝑘 − 1 titik penghubung berbeda. Jika shackle terbentuk dari sebanyak 𝑘 graf 𝐻

yang terhubung, maka shackle dinotasikan dengan 𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐻, 𝑘).

9

Berikut ilustrasi graf hasil operasi shackle.

Gambar 2.8 Graf Hasil Operasi Shackle 𝑪𝟒

2.6 Rainbow Connection dan Strong Rainbow Connection

Konsep rainbow connection pertama kali diperkenalkan oleh Chartrand dkk

[2]. Misal 𝐺 adalah graf terhubung tak trivial dengan pewarnaan sisi 𝑐 ∶ 𝐸 𝐺 →

{1, 2, , . . . , 𝑘}, 𝑘 ∈ ℕ, dimana sisi yang bertetangga boleh diwarnai sama. Suatu

lintasan 𝑢 − 𝑣 di 𝐺 merupakan rainbow path jika tidak ada dua atau lebih sisi

dengan warna yang sama. Jika graf 𝐺 memuat suatu rainbow 𝑢 − 𝑣 path untuk

setiap titik 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐺, graf 𝐺 disebut rainbow connected dengan pewarnaan 𝑐.

Dalam hal ini, pewarnaan 𝑐 disebut rainbow coloring. Jika pewarnaan 𝑐

menggunakan sebanyak 𝑘 warna, maka disebut rainbow-k-coloring. Minimum

dari 𝑘 yang terdapat pada rainbow-k-coloring pada graf 𝐺 merupakan rainbow

connection number pada graf 𝐺 dan dinotasikan dengan 𝑟𝑐(𝐺).

Misal 𝑐 suatu rainbow coloring pada suatu graf terhubung 𝐺. Untuk

sebarang titik 𝑢 dan 𝑣 di 𝐺, rainbow 𝑢 − 𝑣 geodesic di 𝐺 adalah rainbow path

dengan panjang 𝑑(𝑢, 𝑣), dimana 𝑑(𝑢, 𝑣) adalah jarak antara titik 𝑢 dan 𝑣. Graf 𝐺

dikatakan strongly rainbow connected jika 𝐺 mengandung satu rainbow 𝑢 − 𝑣

geodesic untuk setiap pasang titik 𝑢 dan 𝑣 di 𝐺. Dalam hal ini, 𝑐 dikatakan strong

rainbow coloring dari 𝐺. Nilai minimum 𝑘 dari pewarnaan sisi 𝑐 ∶ 𝐸 𝐺 →

{1, 2, , . . . , 𝑘} yang dibutuhkan untuk mewarnai graf 𝐺 menjadi strongly rainbow

connected merupakan strong rainbow connection number pada graf 𝐺 dan

dinotasikan dengan 𝑠𝑟𝑐(𝐺).

Menurut Chartrand dkk [2], jika 𝐺 adalah graf terhubung tak trivial dengan

size 𝑚 yang diameternya adalah 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐺), maka

10

𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐺 ≤ 𝑟𝑐 𝐺 ≤ 𝑠𝑟𝑐(𝐺) ≤ 𝑚 (2.1)

Sebagai ilustrasi, diberikan contoh rainbow connection number dan strong

rainbow connection number pada graf petersen 𝑃. Pada Gambar 2.9 (a), akan

ditunjukkan bahwa 𝑟𝑐 𝐺 = 3. Jelas bahwa 𝑟𝑐 𝐺 ≤ 3. Akan ditunjukkan bahwa

𝑟𝑐 𝐺 ≥ 3 Jika 𝑢 dan 𝑣 adalah titik yang tidak bertetangga pada 𝑃, maka

𝑑 𝑢, 𝑣 = 2 (𝑑 𝑢, 𝑣 adalah jarak dari 𝑢 ke 𝑣) dan panjang minimum dari lintasan

𝑢 − 𝑣 adalah 2. Jadi setiap pewarnaan rainbow di 𝑃 memuat sekurangnya 2 warna

sehingga 𝑟𝑐 𝑃 ≥ 2. Jika 𝑃 memuat pewarnaan-2 rainbow, maka terdapat dua sisi

bertetangga di 𝑃 yang diwarnai sama, misal 𝑒1 = 𝑢𝑣 dan 𝑒2 = 𝑣𝑤 adalah kedua

sisi yang diwarnai sama. Karena terdapat tepat satu lintasan 𝑢 − 𝑤 dengan

panjang 2 di 𝑃, maka tidak terdapat lintasan 𝑢 − 𝑤 rainbow di 𝑃. Berdasarkan

asumsi 𝑟𝑐 𝑃 ≤ 3 terjadi kontradiksi sehingga haruslah 𝑟𝑐 𝑃 ≥ 3. Oleh karena

itu 𝑟𝑐 𝑃 = 3.

Karena 𝑟𝑐 𝑃 = 3, maka 𝑠𝑟𝑐 𝑃 ≥ 3. Selanjutnya, karena diketahui

bilangan kromatik sisi pada graf petersen adalah 4, setiap pewarnaan-3 𝑐 pada

sisi-sisi di 𝑃 dimana dua sisi bertetangga 𝑢𝑣 dan 𝑣𝑤 diberikan warna yang sama.

Karena 𝑢, 𝑣, 𝑤 adalah satu-satunya lintasan 𝑢 − 𝑤 geodesic di 𝑃, maka pewarnaan

𝑐 bukan merupakan pewarnaan strong rainbow. Pewarnaan-4 pada sisi di 𝑃 yang

ditunjukkan pada Gambar 2.9 (b) adalah pewarnaan strong rainbow, 𝑠𝑟𝑐 𝑃 = 4.

Gambar 2.9 Graf Petersen dengan (a) 𝒓𝒄 𝑷 = 𝟑 dan (b) 𝒔𝒓𝒄 𝑷 = 𝟒

(a) (b)

11

BAB III

PEMBAHASAN

Sebagaimana telah diuraikan pada pendahuluan bahwa permasalahan yang

menjadi fokus adalah penentuan rainbow connection number dan strong rainbow

connection number pada shackle graf antiprisma 𝐴𝑃4 , pada bab ini akan

dijelaskan mengenai hasil penelitiannya. Langkah awal penelitian ini adalah

menentukan graf khusus yaitu graf antiprisma 𝐴𝑃4 , kemudian melakukan

operasi graf yaitu shackle. Hasil dari operasi graf shackle tersebut selanjutnya

akan diterapkan pewarnaan rainbow dan strong rainbow dan diuji apakah

pewarnaan tersebut sudah optimal dengan menggunakan teorema-teorema yang

sudah ada. Jika pewarnaan sudah optimal dan membentuk suatu pola maka

selanjutnya peneliti menentukan fungsi dari pewarnaan rainbow dan strong

rainbow.

Hasil dari fokus permasalahan dalam penelitian ini adalah teorema baru

mengenai rainbow connection number dan strong rainbow connection number

pada shackle graf antiprisma 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘(𝐴𝑃4, 𝑡) yang akan disajikan dengan paparan

teorema dan bukti pendukung berupa ilustrasi gambar.

Graf 𝐴𝑃4 merupakan graf antiprisma yang memiliki himpunan titik

𝑉(𝐴𝑃4) = 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 4 dengan 𝑉(𝐴𝑃4) = 8 dan himpunan sisi 𝐸(𝐴𝑃4) =

𝑥𝑖𝑥𝑖+1|1 ≤ 𝑖 ≤ 3 ∪ 𝑥4𝑥1 ∪ 𝑦𝑖𝑦𝑖+1|1 ≤ 𝑖 ≤ 3 ∪ 𝑦4𝑦1 ∪ {𝑥𝑖𝑦𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 4}

∪ 𝑥𝑖𝑦𝑖+1|1 ≤ 𝑖 ≤ 4 ∪ 𝑥4𝑦1 dengan 𝐸(𝐴𝑃4) = 16. Suatu operasi graf shackle

dari 𝑡 graf antiprisma 𝐴𝑃 4 1, 𝐴𝑃 4 2, … , 𝐴𝑃 4 𝑡 dinotasikan dengan

𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘 𝐴𝑃4, 𝑡 . Misal 𝐺 ≅ 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘 𝐴𝑃4, 𝑡 . Graf 𝐺 memiliki himpunan titik

𝑉 𝐺 = {𝑤𝑖 , 𝑥𝑗 ,𝑘 , 𝑦𝑗 ,𝑘 , 𝑧𝑙 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡 + 1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑡, 1 ≤ 𝑘 ≤ 2, 1 ≤ 𝑙 ≤ 2𝑡 dengan

𝑉 𝐺 = 7𝑡 + 1 dan himpunan sisi 𝐸 𝐺 = 𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖,𝑗 +1|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 𝑗 = 1 ∪

𝑦𝑖 ,𝑗𝑦𝑖 ,𝑗 +1|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 𝑗 = 1 ∪ 𝑥𝑖,𝑗𝑦𝑖 ,𝑗 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 1 ≤ 𝑗 ≤ 2 ∪ 𝑤𝑖𝑧2𝑖−1|1 ≤ 𝑖 ≤

𝑡 ∪ 𝑤𝑖𝑧2𝑖 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡 ∪ 𝑤𝑖+1𝑧2𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡 ∪ 𝑤𝑖+1𝑧2𝑖−1|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡 ∪ {𝑥𝑖,𝑗𝑤𝑖 |

1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 𝑗 = 1} ∪ 𝑥𝑖,𝑗𝑤𝑖+1|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 𝑗 = 2 ∪ {𝑥𝑖,𝑗 𝑧2𝑖−1|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 1 ≤ 𝑗 ≤ 2}

12

∪ 𝑦𝑖 ,𝑗𝑤𝑖 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 𝑗 = 1 ∪ 𝑦𝑖 ,𝑗𝑤𝑖+1|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 𝑗 = 2 ∪ {𝑦𝑖 ,𝑗 𝑧2𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 1

≤ 𝑗 ≤ 2} dengan 𝐸(𝐺) = 16𝑡. Berikut ilustrasinya.

Gambar 3.1 Shackle dari Himpunan Graf Antiprisma 𝑨𝑷𝟒 dengan 𝒕 = 𝟑

3.1 Rainbow Connection Number pada Shackle Graf Antiprisma 𝑨𝑷𝟒

Lema 3.1.1. Misal 𝐺 ≅ 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘 𝐴𝑃4, 𝑡 dimana 𝑡 = 2, maka 𝑟𝑐 𝐺 = 4.

Bukti. Diketahui 𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐺 = 4. Berdasarkan pertidaksamaan (2.1) maka

𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐺 ≤ 𝑟𝑐 𝐺 ≤ 𝑚

4 ≤ 𝑟𝑐 𝐺 ≤ 32

Berdasarkan pertidaksamaan di atas, maka nilai 𝑟𝑐 𝐺 yang mungkin adalah

4, 5, . . . , 32. Untuk 𝑟𝑐 𝐺 = 4, didefinisikan pewarnaan 𝑐 ∶ 𝐸 𝐺 → {1, 2, 3, 4}

sebagai berikut.

13

𝑐 𝑒 =

1,

2,

3,

4,

𝑒 = 𝑥1,1𝑦1,1; 𝑒 = 𝑥1,1𝑤1; 𝑒 = 𝑦1,1𝑤1; 𝑒 = 𝑤1𝑧1;𝑒 = 𝑥1,2𝑦1,2; 𝑒 = 𝑥1,2𝑤2; 𝑒 = 𝑦1,2𝑤2; 𝑒 = 𝑤2𝑧2

𝑒 = 𝑥1,1𝑥1,2; 𝑒 = 𝑥1,1𝑧1; 𝑒 = 𝑦1,1𝑧2; 𝑒 = 𝑤1𝑧2; 𝑒 = 𝑦1,1𝑦1,2; 𝑒 = 𝑥1,2𝑧1; 𝑒 = 𝑦1,2𝑧2; 𝑒 = 𝑤2𝑧1


𝑒 = 𝑥2,1𝑥2,2; 𝑒 = 𝑥2,1𝑧3; 𝑒 = 𝑦2,1𝑧4; 𝑒 = 𝑤2𝑧4

𝑒 = 𝑦2,1𝑦2,2; 𝑒 = 𝑥2,2𝑧3; 𝑒 = 𝑦2,2𝑧4; 𝑒 = 𝑤3𝑧3

;

Karena 4 adalah nilai minimum dari interval batas nilai rainbow connection

number pada shackle graf 𝐺, maka untuk 𝑡 = 2, nilai 𝑟𝑐 𝐺 = 4. □

Berikut ilustrasi pewarnaan rainbow pada 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘 𝐴𝑃4, 2 .

Gambar 3.2 Pewarnaan-4 Rainbow pada Shackle Graf Antiprisma 𝑨𝑷𝟒

dengan 𝒕 = 𝟐

Lema 3.1.2. Misal 𝐺 ≅ 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘 𝐴𝑃4, 𝑡 dimana 𝑡 = 3, maka 𝑟𝑐 𝐺 = 6.

Bukti. Diketahui 𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐺 = 6 dimana 𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐺 adalah diameter dari graf 𝐺.

Berdasarkan pertidaksamaan (2.1) maka


6 ≤ 𝑟𝑐 𝐺 ≤ 48

14


6, 7, . . . , 48. Untuk 𝑟𝑐 𝐺 = 6, didefinisikan pewarnaan 𝑐 ∶ 𝐸 𝐺 → {1, 2, . . . , 6}

sebagai berikut.

𝑐 𝑒 =

1,

2,

3,

4,

5,

6,

𝑒 = 𝑥1,1𝑦1,1; 𝑒 = 𝑥1,1𝑤1; 𝑒 = 𝑦1,1𝑤1; 𝑒 = 𝑤1𝑧1;𝑒 = 𝑥1,2𝑦1,2; 𝑒 = 𝑥1,2𝑤2; 𝑒 = 𝑦1,2𝑤2; 𝑒 = 𝑤2𝑧2;𝑒 = 𝑥1,1𝑥1,2; 𝑒 = 𝑥1,1𝑧1; 𝑒 = 𝑦1,1𝑧2; 𝑒 = 𝑤1𝑧2; 𝑒 = 𝑦1,1𝑦1,2; 𝑒 = 𝑥1,2𝑧1; 𝑒 = 𝑦1,2𝑧2; 𝑒 = 𝑤2𝑧1


𝑒 = 𝑥2,1𝑥2,2; 𝑒 = 𝑥2,1𝑧3; 𝑒 = 𝑦2,1𝑧4; 𝑒 = 𝑤2𝑧4;𝑒 = 𝑦2,1𝑦2,2; 𝑒 = 𝑥2,2𝑧3; 𝑒 = 𝑦2,2𝑧4; 𝑒 = 𝑤3𝑧3







dengan 𝒕 = 𝟑

15

Lema 3.1.3. Misalkan 𝐺 ≅ 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘 𝐴𝑃4, 𝑡 dimana 𝑡 = 4, maka 𝑟𝑐 𝐺 = 8.

Bukti. Diketahui 𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐺 = 8. Berdasarkan pertidaksamaan (2.1) maka


8 ≤ 𝑟𝑐 𝐺 ≤ 64


8, 9, . . . , 64. Untuk 𝑟𝑐 𝐺 = 8, didefinisikan pewarnaan 𝑐 ∶ 𝐸 𝐺 → {1, 2, . . . , 8}

sebagai berikut.

𝑐 𝑒 =

1,

2,

3,

4,

5,

6,

7,

8,


𝑒 = 𝑥1,1𝑥1,2; 𝑒 = 𝑥1,1𝑧1; 𝑒 = 𝑦1,1𝑧2; 𝑒 = 𝑤1𝑧2;𝑒 = 𝑦1,1𝑦1,2; 𝑒 = 𝑥1,2𝑧1; 𝑒 = 𝑦1,2𝑧2; 𝑒 = 𝑤2𝑧1 𝑒 = 𝑥2,1𝑦2,1; 𝑒 = 𝑥2,1𝑤2; 𝑒 = 𝑦2,1𝑤2; 𝑒 = 𝑤2𝑧3;𝑒 = 𝑥2,2𝑦2,2; 𝑒 = 𝑥2,2𝑤3; 𝑒 = 𝑦2,2𝑤3; 𝑒 = 𝑤3𝑧4








16



dengan 𝒕 = 𝟒

Teorema 3.1.4. Misal 𝑡 bilangan bulat positif dengan 𝑡 ≥ 2 dan 𝐺 ≅

𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘 𝐴𝑃4, 𝑡 . Maka 𝑟𝑐 𝐺 = 2𝑡.

Bukti. Misal 𝐺 adalah 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘 𝐴𝑃4, 𝑡 yang memiliki himpunan titik 𝑉 𝐺 = {𝑤𝑖 ,

𝑥𝑗 ,𝑘 , 𝑦𝑗 ,𝑘 , 𝑧𝑙 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡 + 1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑡, 1 ≤ 𝑘 ≤ 2, 1 ≤ 𝑙 ≤ 2𝑡 dengan 𝑉 𝐺 =

7𝑡 + 1 dan himpunan sisi 𝐸 𝐺 = 𝑥𝑖,𝑗𝑥𝑖,𝑗+1|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 𝑗 = 1 ∪ 𝑦𝑖 ,𝑗𝑦𝑖 ,𝑗 +1|1 ≤

𝑖 ≤ 𝑡, 𝑗 = 1 ∪ 𝑥𝑖,𝑗𝑦𝑖 ,𝑗 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 1 ≤ 𝑗 ≤ 2 ∪ 𝑤𝑖𝑧2𝑖−1|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 ∪ {𝑤𝑖𝑧2𝑖 |

1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡} ∪ 𝑤𝑖+1𝑧2𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡 ∪ 𝑤𝑖+1𝑧2𝑖−1|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡 ∪ {𝑥𝑖,𝑗𝑤𝑖 |1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 𝑗

= 1} ∪ 𝑥𝑖,𝑗𝑤𝑖+1|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 𝑗 = 2 ∪ 𝑥𝑖,𝑗 𝑧2𝑖−1|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 1 ≤ 𝑗 ≤ 2 ∪ {𝑦𝑖 ,𝑗𝑣𝑖|1

≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 𝑗 = 1} ∪ 𝑦𝑖 ,𝑗𝑤𝑖+1| 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 𝑗 = 2 ∪ 𝑦𝑖 ,𝑗 𝑧2𝑖 | 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡, 1 ≤ 𝑗 ≤ 2

dengan 𝐸(𝐺) = 16𝑡. Graf 𝐺 memiliki 𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐺 = 2𝑡. Berdasarkan pertidak-

samaan (2.1) maka

17


2𝑡 ≤ 𝑟𝑐 𝐺 ≤ 16𝑡

Selanjutnya akan ditunjukkan 𝑟𝑐 𝐺 = 2𝑡 yang dibagi ke dalam dua kasus.

(i) Akan ditunjukkan 𝑟𝑐 𝐺 ≤ 2𝑡

Didefinisikan pewarnaan sisi 𝑐 sebagai berikut.

𝑐 𝑒 =

2𝑖 − 1

2𝑖

𝑒 = 𝑥𝑖,𝑗 𝑦𝑖 ,𝑗 ;𝑒 = 𝑥𝑖,𝑗 𝑤𝑖 ; 𝑒 = 𝑦𝑖 ,𝑗𝑤𝑖 ;𝑒 = 𝑥𝑖,𝑗 𝑤𝑖+1; 𝑒 = 𝑦𝑖 ,𝑗𝑤𝑖+1;𝑒 = 𝑤𝑖𝑧2𝑖−1; 𝑒 = 𝑤𝑖+1𝑧2𝑖 ;𝑒 = 𝑦𝑖 ,𝑗 𝑧2𝑖 ; 𝑒 = 𝑥𝑖,𝑗 𝑧2𝑖−1;𝑒 = 𝑥𝑖,𝑗 𝑥𝑖,𝑗 +1; 𝑒 = 𝑦𝑖 ,𝑗𝑦𝑖 ,𝑗 +1;𝑒 = 𝑤𝑖𝑧2𝑖 ; 𝑒 = 𝑤𝑖+1𝑧2𝑖−1;

1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡; 1 ≤ 𝑗 ≤ 21 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡; 𝑗 = 11 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡; 𝑗 = 21 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡; 1 ≤ 𝑗 ≤ 21 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡; 𝑗 = 11 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡

Berdasarkan pendefinisian tersebut, diperoleh bahwa 𝑐 ∶ 𝐸(𝐺) →

{1, 2, . . . , 2𝑡} sehingga 𝑟𝑐 𝐺 ≤ 2𝑡.

(ii) Akan ditunjukkan 𝑟𝑐 𝐺 ≥ 2𝑡

Graf 𝐺 memiliki 𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐺 = 2𝑡. Berdasarkan pertidaksamaan (2.1) maka

2𝑡 ≤ 𝑟𝑐 𝐺 sehingga terbukti bahwa 𝑟𝑐 𝐺 ≥ 2𝑡.

Berdasarkan (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa 𝑟𝑐 𝐺 = 2𝑡. □

Gambar 3.5 Pewarnaan Rainbow pada Komponen ke-𝒊 Shackle Graf

Antiprisma 𝑨𝑷𝟒

3.2 Strong Rainbow Connection Number pada Shackle Antiprisma 𝑨𝑷𝟒

Misal 𝐺 ≅ 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘 𝐴𝑃4, 𝑡 . Berdasarkan pertidaksamaan (2.1), nilai

𝑟𝑐 𝐺 ≤ 𝑠𝑟𝑐 𝐺 . Pada subbab 3.1 telah ditunjukkan bahwa nilai 𝑟𝑐 𝐺 = 2𝑡.

Dengan mendefinisikan pewarnaan 𝑐 ∶ 𝐸(𝐺) → {1, 2, . . . , 2𝑡}, akan dibuktikan

bahwa 2𝑡 ≤ 𝑠𝑟𝑐 𝐺 .

18

𝑐 𝑒 =

2𝑖 − 1

2𝑖

𝑒 = 𝑥𝑖,𝑗 𝑦𝑖 ,𝑗 ;𝑒 = 𝑥𝑖,𝑗 𝑤𝑖 ; 𝑒 = 𝑦𝑖 ,𝑗𝑤𝑖 ;𝑒 = 𝑥𝑖,𝑗 𝑤𝑖+1; 𝑒 = 𝑦𝑖 ,𝑗𝑤𝑖+1;𝑒 = 𝑤𝑖𝑧2𝑖−1; 𝑒 = 𝑤𝑖+1𝑧2𝑖 ;𝑒 = 𝑦𝑖 ,𝑗 𝑧2𝑖 ; 𝑒 = 𝑥𝑖,𝑗 𝑧2𝑖−1;𝑒 = 𝑥𝑖,𝑗 𝑥𝑖,𝑗 +1; 𝑒 = 𝑦𝑖 ,𝑗𝑦𝑖 ,𝑗 +1;𝑒 = 𝑤𝑖𝑧2𝑖 ; 𝑒 = 𝑤𝑖+1𝑧2𝑖−1;

1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡; 1 ≤ 𝑗 ≤ 21 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡; 𝑗 = 11 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡; 𝑗 = 21 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡; 1 ≤ 𝑗 ≤ 21 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡; 𝑗 = 11 ≤ 𝑖 ≤ 𝑡

Berdasarkan pendefinisian tersebut, maka jelaslah bahwa 𝑠𝑟𝑐 𝐺 ≤ 2𝑡.

Setiap titik pada graf antiprisma 𝐴𝑃4 seluruhnya dihubungkan oleh lintasan

geodesic dengan 𝑑𝑖𝑎𝑚 𝐴𝑃4 = 2, misal 𝑑 𝑤1, 𝑤2 = 𝑑 𝑧1, 𝑧2 = 𝑑 𝑤1 , 𝑥1,2 =

𝑑 𝑤1 , 𝑦1,2 = 𝑑 𝑤2, 𝑥1,1 = 𝑑 𝑤2 , 𝑦1,1 = 𝑑 𝑧1, 𝑦1,1 = 𝑑 𝑧1, 𝑦1,2 = 𝑑(𝑧2, 𝑥1,1)

= 𝑑 𝑥1,1 , 𝑦1,2 = 𝑑(𝑥1,2, 𝑦1,1) = 2. Hal ini juga berlaku untuk seluruh titik pada

graf 𝐺, sehingga setiap lintasan geodesic sudah diwarnai dengan pewarnaan-2𝑡

strong rainbow berdasarkan pendefinisian pewarnaan-2𝑡 rainbow. Jadi 𝑠𝑟𝑐 𝐺 =

𝑟𝑐 𝐺 = 2𝑡. □

Gambar 3.6 Pewarnaan-2t Rainbow pada Shackle Graf Antiprisma 𝑨𝑷𝟒

19

BAB IV

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan lema 3.1.1, lema 3.1.2, dan 3.1.3 diperoleh rainbow connection

number pada shackle graf antiprisma 𝐴𝑃4, yaitu 𝑟𝑐 𝐺 = 4 untuk 𝑡 = 2, 𝑟𝑐 𝐺 =

6 untuk 𝑡 = 3, 𝑟𝑐 𝐺 = 8 untuk 𝑡 = 4, yang secara umum digeneralisasikan

menurut teorema 3.1.4, yaitu 𝑟𝑐 𝐺 = 2𝑡. Sedangkan strong rainbow connection

number pada shackle graf antiprisma 𝐴𝑃4, yaitu 𝑠𝑟𝑐 𝐺 = 2𝑡. Sehingga dapat

disimpulkan dalam sebuah teorema baru, yaitu misal 𝑡 bilangan bulat positif

dengan 𝑡 ≥ 2 dan 𝐺 ≅ 𝑆ℎ𝑎𝑐𝑘 𝐴𝑃4, 𝑡 . Maka 𝑟𝑐 𝐺 = 𝑠𝑟𝑐 𝐺 = 2𝑡.

4.2 Saran

Berdasarkan hasil penelitian mengenai rainbow connection number dan

strong rainbow connection number pada shackle graf antiprisma 𝐴𝑃4 , saran

yang dapat diberikan peneliti kepada pembaca adalah melakukan penelitian

penentuan rainbow connection number dan strong connection number pada

shackle graf 𝐴𝑃2𝑛 dengan 𝑛 ≥ 3.

20

REFERENSI

[1] Chartrand, G., & dkk. (1993). Applied and Algoritmic Graph Theory. New

York: Mac Graw-Hill, Inc.

[2] Chartrand, G., & dkk. (2008). Rainbow Connection in Graphs. Math Bohem

133(1), 85-98.

[3] Darmawan, R. N. (2015). Analisis Rainbow Connection Number pada Graf

Khusus dan Hasil Operasinya. Tesis. Universitas Jember.

[4] Hartsfield, N., & Ringel, G. (1990). Pearls in Graph Theory. San Diego:

Academic Press, Inc.

[5] Maryati, T., Salman, A., Baskoro, E., Ryan, J., & Miller, M. (2010). On H-

supermagic Labelings for Certain Shackles and Amalgamations of a

Connected Graph . Utilitas Mathematica 87, 333-342.

[6] Rosen, K. H. (2012). Discrete Mathematics and Its Applications. New York:

McGraw-Hill.

[7] Sugeng, K. A., Slamet, S., & Silaban, D. R. (2014). Teori Graf dan

Aplikasinya. Indonesia: Departemen Matematika Universitas Indonesia.

rainbow connection number dan strong rainbow...

Documents