RACHUNEK NIEPEWNOŚCI

POMIARUhttp://physics.nist.gov/UncertaintyWyrażanie Niepewności Pomiaru. Przewodnik. Warszawa, Główny Urząd Miar 1999H. Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN Warszawa 1999A.Zięba, Postępy Fizyki, tom 52, zeszyt 5, 2001, str.238-247A.Zięba, Pracownia Fizyczna WFiTJ, Skrypt Uczelniany SU 1642, Kraków 2002

Międzynarodowa Norma Oceny Niepewności Pomiaru

(Guide to Expression of Uncertainty in Measurements –

Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna ISO)

WSTĘPW trakcie pomiaru uzyskujemy wartości różniące się od przewidywań teorii. Gdy doświadczenie staje się doskonalsze, niepewności pomiarowe maleją. W ogólności rozbieżność między teorią i eksperymentem zależy od:

-Niedoskonałości człowieka (osoby wykonującej pomiar)-Niedoskonałości przyrządów pomiarowych-Niedoskonałości obiektów mierzonych

Terminologia

„Niepewność” a błąd pomiaru

W przypadku pojedynczych pomiarów stosujemy określenia:

Błąd bezwzględny:

Błąd względny:

Gdzie x – wartość zmierzona, x0 – wartość rzeczywista

0xx −=Δ

0xΔ

=δ

[wymiar x]

[bezwymiarowe]

NiepewnośćBłąd pomiaru jest pojedynczą realizacją zmiennej losowej i nie wchodzi do teorii niepewności. W praktyce nie znamy wartości rzeczywistych wielkości mierzonych i szacujemy niepewności pomiarowe wynikające ze statystycznych praw rozrzutu pomiarów.

Niepewność jest parametrem związanym z pomiarem.

Istotny jest również problem niepewności przypisywanej wielkości złożonej (wyliczanej ze wzoru fizycznego) y=f(x1,x2,...xn)

Podział błędówWyniki pomiarów podlegają pewnym

prawidłowościom, tzw. rozkładom typowym dla zmiennej losowej. Z tego względu błędy dzielimy na:

• Błędy grube (pomyłki) - eliminować• Błędy systematyczne - poprawki• Błędy przypadkowe – podlegają rozkładowi

Gaussa, wynikają z wielu losowych przyczynków, nie dają się wyeliminować

Typy oceny niepewności

Typ AMetody wykorzystujące statystyczną analizę serii pomiarów:

•wymaga odpowiednio dużej liczby powtórzeń pomiaru• ma zastosowanie do błędów przypadkowych

Typ BOpiera się na naukowym osądzie eksperymentatora

wykorzystującym wszystkie informacje o pomiarze i źródłach jego niepewności

•stosuje się gdy statystyczna analiza nie jest możliwa•dla błędu systematycznego lub dla jednego wyniku pomiaru

Teoria niepewności maksymalnej

To podejście zakłada, że można określić przedział wielkości mierzonej x, w którym na pewno znajdzie się wielkość rzeczywista. W zapisie

xx Δ±

gdzie Δx jest niepewnością maksymalną

nie posługujemy się rachunkiem prawdopodobieństwa.

Niepewność standardowaJest miarą dokładności pomiaru uznawaną za

podstawową. Definicja mówi:

Niepewność standardowa u jest oszacowaniem odchylenia standardowego.

1. Rezultat pomiaru jest zmienną losową, której rozrzut charakteryzuje parametr zwany odchyleniem standardowym

2. Dokładnej wartości odchylenia standardowego nie znamy. Niepewność standardowa jest jego niezbyt dokładnym oszacowaniem.

Niepewność u posiada wymiar, taki sam jak wielkość mierzona

Niepewność względna ur(x) to stosunek niepewności (bezwzględnej) do wielkości

mierzonej:

xxuxur)()( =

Niepewność względna jest wielkością bezwymiarową i może być wyrażona w %

Rozkład normalny GaussaGęstość prawdopodobieństwa wystąpienia wielkości x lub

jej błędu Δx podlega rozkładowi Gaussa

x0 jest wartością najbardziej prawdopodobną i może być niąwartość średnia

σ jest odchyleniem standardowymσ2 jest wariancją

W przedziale x0-σ < x < x0+σ mieści się ok. 68% wszystkich pomiarów

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=Φ 2

20

2)(exp

21)(

σπσxxx

n

xx

n

ii∑

=

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

Φ(x)

x

x0=15σ=2 σ=5

Rozkład normalny Gaussa

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3Φ(x)

x

x0=15σ=2 σ=5

( ))1(

)(2

−∑ −

==σnn

xxxu i

Prawo przenoszenia niepewności

Niepewność standardową wielkości złożonej y=f(x1,x2,...xn) obliczamy z tzw. prawa

przenoszenia niepewności jako sumę geometryczną różniczek cząstkowych

22

22

2

11

)(...)()()( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

++⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

= nn

c xuxyxu

xyxu

xyyu

yyuyu c

cr)()( =

Przykład – współczynnik załamania światła Z pomiarów D ±ΔD, d1 ±Δd1 i d2 ±Δd2

Wyliczmy niepewność standardową Δn:)/( 21 ddDn −=

2

22

2

11

2

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Δ∂∂

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Δ∂∂

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Δ∂∂

=Δ ddnd

dnD

Dnn 21

1ddD

n−

=∂∂

2211 )( dd

Ddn

−−=

∂∂

)()()(

1 22

21

2

221

2

21dd

ddDD

ddn Δ+Δ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

−=Δ

D= 1.58 mm, d1= 1.26 mm, d2= 0.18 mm, n= 1.58/1.08= 1.46296293

Na wartości ΔD, Δd1 i Δd2 mają wpływ dokładności przyrządów i statystyczny rozrzut pomiarów.

[ ] [ ] 03.05.99.001.0)02.001.0()08.1/(58.108.1/01.0 22222 =+=++=Δn

Metoda najmniejszych kwadratówRegresja liniowa

4 6 8 10 12 14 160

20

40

60

f(xi)yi

xi

y

x

f(x)=ax+ba=3.23, b=-2.08

blad gruby

( )[ ] min2

2 =∑ +−=n

iii baxyS

Warunek minimum funkcji dwu zmiennych:

0022

=∂

∂=

∂∂

bS

aS

Otrzymuje się układ równań liniowych dla niewiadomych a i b

∑∑ ii ybnxaRozwiązując ten układ równań otrzymuje się wyrażenia na a i b

=+∑=∑+∑ iiii yxxbxa 2

Wyxxyxb

Wyxyxna

iiiii

iiii

∑ ∑ ∑ ∑−=

∑ ∑ ∑−=

2

Z praw statystyki można wyprowadzić wyrażenia na odchylenia standardowe obu parametrów

prostej:

( )22 ∑−∑= ii xxnW

nx

ab

WS

nna

i∑Δ=Δ

−=Δ

2

2

2

Przykład zastosowania regresji liniowej y=ax+b

0.00 0.05 0.10 0.15 0.200.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x0

x [m]

F [N]

x=F/k+x0

1/k=a=4.45±0.15, x0=b=0.467±0.08

Prawo Hooke’a

Dopasowywanie właściwej funkcji

0 2 4 6 8 10 12 14 160

20

40

y=ax czyli U=IRa= R= 2.0 ±0.2 [kΩ]

U [V]

I [mA]

Model matematyczny musi pasować do modelu fizycznego!!!

Przykład: prawo Ohma

U=R·Iczyli

Y=a·xa nie y=ax+b

Wyraz wolny b=0!

Regresja liniowa jednoparametrowa

[ ] min2

2 =−= ∑n

iii axyS

02

=∂

∂a

S

022 2 =+− ∑∑ iii xayx

∑∑= 2

i

ii

xyx

a[ ]

[ ]∑

∑

=

=

−•

−= n

ii

n

iii

a

x

yax

nn

1

2

1

2)(

2σ

0 40 80 120 160 200 240 280 32060708090

100110120130140150160170180

Zasady rysowania wykresówZasady rysowania wykresów

Czy ten wykres jest narysowany zgodnie z zasadami? 1. Należy wyraźnie zaznaczyć

punkty eksperymentalne !!!

2. Trzeba nanieść błąd pomiaru

0 40 80 120 160 200 240 280 32060708090

100110120130140150160170180

3. Dobrać zakresy osi współrzędnych odpowiednio do zakresu zmienności danych pomiarowych !!!

0 40 80 120 160 200 240 280 32060708090

100110120130140150160170180

4. Właściwie opisać osie współrzędnych i dobrać skalę, tak aby łatwo można było odczytać wartości zmierzone.

160 200 240 280 32060708090

100110120130140150160170180

co jest na osiach ???

5. Nie łączyć punktów eksperymentalnych linią łamaną!!! Jeśli znany jest przebieg teoretyczny to dokonać dopasowania teorii do doświadczenia (przeprowadzić fitowanie)

160 200 240 280 32060

90

120

150

180

ρ [μ

Ω c

m]

T [K]

160 200 240 280 32060

90

120

150

180 dane eksperymentalne dopasowanie

ρ [μ

Ω c

m]

T [K]

6. Zadbać o aspekt estetyczny wykresu (opis, zamknięcie ramką, itp.)

160 200 240 280 32060

90

120

150

180

dane eksperymentalne dopasowanie

ρ [μ

Ω c

m]

T [K]

Wykres 1Rezystywnosc ρ probki Bi w funkcji temperatury T