quantumtheory ch4 white - university of...
TRANSCRIPT
University of IoanninaUniversity of IoanninaDepartment of Materials Science & EngineeringComputational Materials Science
Κβαντική Θεωρία της ΎληςΚβαντική Θεωρία της Ύλης
∆ιδάσκων: Λευτέρης ΛοιδωρίκηςΠ1, 7146, [email protected]/elidorik
ατα
λικά
Κύμ
Υλικά κύματα
Ύλης:
Ύλ Υλικά κύματα
ωρία της Ύ
ντική Θεω
Κβαν
Τα όρια της θεωρίας Bohr
ατα
• Η θεωρία Bohr εξήγησε τα φάσματα των ατόμων, αλλά είχε περιορισμούς:– δεν προέβλεπε τις εντάσεις των φασματικών γραμμών– δεν προέβλεπε αρκετά καλά τα φάσματα πολυηλεκτρονικών ατόμων
λικά
Κύμ
δεν προέβλεπε αρκετά καλά τα φάσματα πολυηλεκτρονικών ατόμων– δεν έδινε καμιά εξίσωση για χρονική εξέλιξη ατομικών συστημάτων– δεν έδινε ένα γενικό σχήμα «κβάντωσης» και για άλλα συστήματα
Ύλης:
Ύλ
• Υπερτόνιζε την σωματιδιακή φύση της ύληςδεν ερμήνευε τον κυματοσωματιδιακό δυϊσμό του φωτός
ωρία της Ύ – δεν ερμήνευε τον κυματοσωματιδιακό δυϊσμό του φωτός
ντική Θεω • Εάν το φως έχει δυτή φύση, μήπως έχει και η ύλη;
Κβαν
Οδηγούντα κύματα de Broglie• Louis de Broglie (1923)
– «όλες οι μορφές της ύλης έχουν και σωματιδιακές και
ατα
«όλες οι μορφές της ύλης έχουν και σωματιδιακές και κυματικές ιδιότητες»
ό έ ό
λικά
Κύμ • Δανειζόμενος σχέσεις απο τα φωτόνια
Ehf hpchc το μήκος κύματος
του οδηγούμενου
Ύλης:
Ύλ
pcE ppc
του οδηγούμενου κύματος
ωρία της Ύ
– όπου η ορμή του σωματιδίου: mp ντική Θεω
Κβαν
Κβάντωση στροφορμής
• Στο μοντέλο Bohr η στροφορμή είναι κβαντισμένη αναπαράσταση της n=3 κατάστασης
ατα
κβαντισμένη
nrm
αναπαράσταση της n 3 κατάστασης
λικά
Κύμ • Αυτό προκύπτει και απο την θεωρία de Broglie:
– οι ατομικές τροχιές είναι κβαντισμένες έτσι ώστε δ ύ ύ λ ί
Ύλης:
Ύλ τα οδηγούμενα κύματα των ηλεκτρονίων να
σχηματίζουν στάσιμα κύματα
ωρία της Ύ
• στάσιμα κύματα ακέραιος αρισθμός μηκών κύματος de Broglie χωρούν στην τροχιά
hh
ντική Θεω nr 2
22 hnrm
phnr
Κβαν
έ ά ώ ί ύ
nrm • Η ιδέα της κβάντωσης τροχιών δεν είναι πολύ
διαφορετική απο αυτή μιας παλλόμενης χορδής
Παράδειγμα 4.2• Υπολογίστε το μήκος κύματος de Broglie για ηλεκτρόνιο που επιταχύνεται
σε διαφορά δυναμικού 50 V.
ατα
σε διαφορά δυναμικού 50 V.
– κινητική ενέργεια ηλεκτρονίου
λικά
Κύμ eVm 2
21
Ύλης:
Ύλ
– ορμή ηλεκτρονίου
meVm 2
ωρία της Ύ
– μήκος κύματος de Broglie
meVm 2
ντική Θεω
meVh
ph
2
Κβαν meVp 2
1740sJ 1063.6 34
nm 174.0V) C)(50 10kg)(1.602 1011.9(2 19-31
Πείραμα Davisson-Germer:περίθλαση ηλεκτρονίων απο κρύσταλλο
ατα
λικά
Κύμ
Ύλης:
Ύλ
ωρία της Ύ
ντική Θεω
Κβαν
Πειραματική απόδειξη κυματικής υφής
• Πείραμα Davisson-Germer (1927)έδ λ ί λή έ (54 V)
ατα
– σκέδαση ηλεκτρονίων χαμηλής ενέργειας (54 eV) απο κρυσταλικό νικέλιο (d=0.215 nm)
– χαμηλή ενέργεια επιφανειακή σκέδαση
λικά
Κύμ nd sin
1650))( i 502150( oπειραματικόΎλης:
Ύλ nm 165.0)nm)(sin50 215.0( o
nm1670hh
πειραματικό
de Broglie
ωρία της Ύ
κτρό
νιαnm 167.0
2
meVpde Broglie
ντική Θεω
μενα
ηλεκ
Κβαν
σκεδαζόμ
γωνία
σ
Περίθλαση ενεργητικών ηλεκρονίων
• Σε μεγάλες ενέργειες ηλεκτρονίωνύ β θ ά ύ λλ ήθ έδ B gg
ατα
– εισχωρούν βαθιά στον κρύσταλλο συνήθης σκέδαση Bragg
nd sin2
λικά
Κύμ – πολύ πιο οξείες γραμμές περίθλασης
Ύλης:
Ύλ
ωρία της Ύ
ντική Θεω
Κβαν
περίθλαση ηλεκτρονίων 50 keV από κράμα Cu3Au
περίθλαση ηλεκτρονίων από μονoκρύσταλο NaCl
Παράδειγμα 4.3• Μπορούν θερμικά νετρόνια να υποστούν περίθλαση σε κρυστάλλους;
– θερμικά σωματίδια είναι αυτά που έχουν ενέργεια 3kT/2
ατα
θερμικά σωματίδια είναι αυτά που έχουν ενέργεια 3kT/2– τι μήκος κύματος de Broglie έχουν τα θερμικά νετρόνια;
λικά
Κύμ
kTmn 23
21 2 kTmmp nnn 3
kTmh
n3
Ύλης:
Ύλ
nm1450sJ 1063.6 34
ωρία της Ύ nm 145.0
K) J/K)(300 10kg)(1.381 10675.1(3 23-27
ντική Θεω
το μήκος κύματος de Broglie των θερμικών νετρονίων είναι της τάξης έθ λλ ώ ά Ά θ ύ ίθλ
Κβαν μεγέθους των κρυσταλλικών αποστάσεων. Άρα θα υποστούν περίθλαση
Παράδειγμα 4.3• Τα νετρόνια που δημιουργούνται σε πυρηνικούς αντιδραστήρες είναι
μεγάλων ενεργειών και ακατάλληλα για πειράματα περίθλασης.
ατα
μεγάλων ενεργειών και ακατάλληλα για πειράματα περίθλασης. – Συνήθως επιβραδύνονται απο μια στήλη γραφίτη ώστε να καταλήξουν σε
θερμικές ενέργειες Για να καταφέρουμε μια «μονοχρωματική» δέσμη νετρονίων (όλα δηλαδή με
λικά
Κύμ – Για να καταφέρουμε μια «μονοχρωματική» δέσμη νετρονίων (όλα δηλαδή με
το ίδιο μήκος κύματος de Broglie) χρησιμοποιείται η παρακάτω διάταξη (γωνία μεταξύ σχισμών 10ο )ποιά ταχύτητα περιστροφής της διάταξης απαιτείται ώστε να περνάνε μόνο
Ύλης:
Ύλ – ποιά ταχύτητα περιστροφής της διάταξης απαιτείται ώστε να περνάνε μόνο
νετρόνια με μήκος κύματος de Broglie 0.1 nm;
h
ωρία της Ύ
m
/3960sJ1063.6 34
ντική Θεω m/s 3960
m) kg)(10 10675.1( 10-27
m50
Κβαν
s 000126.0m/s 3960m 5.0
t
s 004536.010360
tT o
o
Hz 2201
Tf
Οδηγούντα κυματοπακέτα
• Ξαναγυνάμε στα οδηγούντα κύματα de Broglieπεριγράφονται απο κυματοομάδες: πολλές συχνότητες μαζί ώστε να
ατα
– περιγράφονται απο κυματοομάδες: πολλές συχνότητες μαζί ώστε να δημιουργείται περιορισμένο κύμα στον χώρο
– αυτό το κύμα «οδηγεί» το σωματίδιο στον χώρο δ ύ ώ δ ό ό ά έ ύ ί δ ύ
λικά
Κύμ – ας δούμε πρώτα τις ιδιότητες ενός άπειρου εκτεταμένου κύματος: επίπεδα κύματα
Ύλης:
Ύλ
00 / mhωρία της Ύ
ντική Θεω
Κβαν
0 g
Επίπεδα κύματα• Στην γενική του μορφή, ένα επίπεδο κύμα δίνεται
tx 22 λ: χωρική περίοδος
ατα
TtxA
22cos Τ: χρονική περίοδος
1 Tf
λικά
Κύμ
• Η ταχύτητα διάδοσης της φάσηςγια σημείο σταθερής φάσης
t4
Ύλης:
Ύλ – για σημείο σταθερής φάσης
t3txttxx 22)(2)(2
ωρία της Ύ
t2
TT
)()(
xtx
ντική Θεω
t1Tt
xTtx
p
0
Κβαν x
k /2
Tk
/2/2
tkxA cos kfp /
Πρόσθεση δύο επίπεδων κυμάτων• Δύο κύματα με μικρή διαφορά στο μήκος κύματος: διακρότημα
ατα
txkAtxkA 221121 coscos
2 babab
λικά
Κύμ
2cos
2cos2coscos ba
k
ταχύτητα φάσης: kp /
ταχύτητα ομάδος: k /
Ύλης:
Ύλ txktxkA
cos22
cos2ταχύτητα ομάδος: kg /
ωρία της Ύ
ντική Θεω
οδεύον κύμα περιβάλλουσα
Κβαν οδεύον κύμα περιβάλλουσα
Κυματοομάδες
dkkxkAx cos)()(Ένα κυματοπακέτο περιλαμβάνει πολλά μήκη κύματος
ατα
)()(
Δχ
πολλά μήκη κύματος
λικά
Κύμ Δχ
Ψ(χ
)
Ύλης:
Ύλ
x
Ψ
ωρία της Ύ
)
ντική Θεω
ΔkΑ(k
Κβαν
k
γενικός κανόνας: 1 xk
Παράδειγμα με δύο κύματα
• Εαν θεωρήσουμε Δx το έυρος ενός διακροτήματος τότε
ατα
xkxxk
2cos)(
2cos το ίδιο ισχύει μεταξύ
συχνότητας και χρόνου
λικά
Κύμ
22
xkxk 2 t
Ύλης:
Ύλ 2
ωρία της Ύ
ντική Θεω
Κβαν
Αρχή της απροσδιοριστίας
W H i b g (1927)
ατα
• Werner Heisenberg (1927)– σε μια μέτρηση, η αβεβαιότητα στην θέση Δx και
η αβεβαιότητα στην ορμή Δp του σωματιδίου δεν
λικά
Κύμ
η η η ρμή p μμπορούν να ελατωθούν ανεξάρτητα η μια απο την άλλη. Το γινόμενό τους είναι πάντα:
Ύλης:
Ύλ
xp
ωρία της Ύ
kpxk
1 xp
ντική Θεω
Κβαν
Ένα παράδειγμα απροσδιοριστίας• ένα φωτόνιο σκεδάζεται προς τον φακό
– μέγιστη επιτρεπτή γωνία θ
ατα
μέγιστη επιτρεπτή γωνία θ– ορμή p=h/λ– λόγω διατήρησης ορμής στον x άξονα, η
απροσδιοριστία στην ορμή του ηλεκτρονίου
λικά
Κύμ απροσδιοριστία στην ορμή του ηλεκτρονίου
sin2 hp
Ύλης:
Ύλ
• το φωτόνιο συλλέγεται απο τον φακό– διακριτική ικανότητα φακού (και άρα
ωρία της Ύ
διακριτική ικανότητα θέσης ηλεκτρονίου)
x
ντική Θεω
ό β β ή
sin2x
Κβαν • γινόμενο αβεβαιοτήτων
hhxp
sin2 hxp
sin2
sin2
Αρχή της απροσδιοριστίας
ατα
• Δύο σχέσεις απροσδιοριστίας– θέσης – ορμής
λικά
Κύμ
xp
Ύλης:
Ύλ
– ενέργειας-χρόνου
ωρία της Ύ
tE
ντική Θεω
Κβαν
Παράδειγμα 4.6
• Η ταχύτητα ενός ηλεκτρονίου βρέθηκε ίση με 5000 m/s, με περιθώριο σφάλματος 0 003%
ατα
σφάλματος 0.003%. – ποιά η αβεβαιότητα στον προσδιορισμό της θέσης;
λικά
Κύμ – ορμή ηλεκτρονίου
m/skg 1056.4m/s) kg)(5000 1011.9( 2731 mp
Ύλης:
Ύλ
– αβεβαιότητα στην ορμήωρία της Ύ
m/skg 1037.100003.0 31 pp
ντική Θεω – αβεβαιότητα στην θέση
m1077.0sJ 10055.1 331
34
x
Κβαν m 1077.0
m/skg 1037.1 31
px
Παράδειγμα 4.7
• Ένα διεγερμένο άτομο μπορεί οποιαδήποτε στιγμή να εκπέμψει ένα ό ί θ λ ώδ ά
ατα
φωτόνιο και να γυρίσει στην θεμελιώδη κατάσταση– κατά μέσο όρο το κάνει μετά απο χρόνο τ, χαρακτηριστικό για κάθε
διαφορετικό άτομο και στάθμη.
λικά
Κύμ – τι διεύρυνση προκαλείται στην συχνότητα εκπομπής λόγω αυτού όταν τ=10-8 s;
Ύλης:
Ύλ
tE
1 7
ωρία της Ύ
Hz 106.1s 1014159.32
1 78
ffh
ντική Θεω
Κβαν
Τι είναι η κυματοσυνάρτηση;
• Το κύμα που περιγράφει το σωματίδιοά
ατα
– κυματοσυνάρτηση Ψ(x)
• Δεν είναι μετρήσιμη
λικά
Κύμ • Δεν είναι μετρήσιμη
• Είναι εν γένει μιγαδική
Ύλης:
Ύλ • Είναι εν γένει μιγαδική
• Το τετράγωνο του μέτρου της αντιπροσωπεύει πιθανότητα
ωρία της Ύ • Το τετράγωνο του μέτρου της αντιπροσωπεύει πιθανότητα
)()(|)(| *2 xxx πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο στην θέση x είναι ανάλογη του:
ντική Θεω
– είχε υπάρξει μεγάλη διαμάχη μεταξύ των φυσικών στα πρώτα χρόνια ως προς τι ακριβώς αντιπροσωπεύει
Κβαν ως προς τι ακριβώς αντιπροσωπεύει
• Το ηλεκτρόνιο (και κάθε μικρό σωματίδιο) συμπεριφέρεται είτε ως • Το ηλεκτρόνιο (και κάθε μικρό σωματίδιο) συμπεριφέρεται είτε ως σωματίδια είτε ως κύματα, ανάλογα με το είδος του πειράματος.
Περίθλαση από δύο σχισμές
2/sin Dελάχιστο όταν:
ατα ph /
λικά
Κύμ pDh 2/sin
Ύλης:
Ύλ
ωρία της Ύ
ντική Θεω
Κβαν
Περίθλαση από δύο σχισμές
ατα
λικά
Κύμ
Ύλης:
Ύλ
ωρία της Ύ
ντική Θεω
Κβαν
Περίθλαση από δύο σχισμέςατα
λικά
Κύμ 2
21 ||
Ύλης:
Ύλ
ωρία της Ύ
ντική Θεω
Κβαν
Περίθλαση από δύο σχισμές
• Το ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε μια κατάσταση υπέρθεσης, ασχέτως
ατα
απο ποιά σχισμή περνάει
21
λικά
Κύμ
Η θ ό ί θό ί
21
Ύλης:
Ύλ • Η πιθανότητα ανίχνευσης στην οθόνη είναι
221
2 ||||
ωρία της Ύ 21 ||||
cos||||2|||||| 212
22
12
ντική Θεω
Κβαν
Περίθλαση από δύο σχισμές• Μέτρηση σε διαφορετικές χρονικές στιγμές
ατα Η κυματοσυνάρτηση του
ηλεκτρονίου περνάει και
λικά
Κύμ ηλεκτρονίου περνάει και
απο τις δύο σχισμές!!
Ύλης:
Ύλ
ωρία της Ύ
ντική Θεω
Κβαν
Κατάσταση υπέρθεσης: η περίφημη «γάτα του Schrödinger»η περίφημη γάτα του Schrödinger
ατα
λικά
Κύμ
Ύλης:
Ύλ
ωρία της Ύ
ντική Θεω
Κβαν
ατα
λικά
Κύμ
Ύλης:
Ύλ
ωρία της Ύ
ντική Θεω
Κβαν
Προβλήματα
xpph /
ατα • 4.5: Ένα ηλεκτρόνιο και ένα πρωτόνιο έχουν το καθένα ενέργεια ίση με 50
keV. Ποιά είναι τα μήκη κύματος de Broglie; Για ένα φωτόνιο πόσο είναι;
λικά
Κύμ
• 4.8: Βρείτε το μήκος κύματος de Broglie μιας μπάλας μάζας 0.2 kg η οποία έχει ριχθεί απο κτήριο ύψους 50 m λίγο πρίν αυτή χτυπήσει στην γή
Ύλης:
Ύλ έχει ριχθεί απο κτήριο ύψους 50 m, λίγο πρίν αυτή χτυπήσει στην γή.
δείτε αυτό: http://htwins.net/scale/index.html
ωρία της Ύ
• 4.11: Από ποιά διαφορά δυναμικού θα πρέπει να επιταχυνθεί ένα ηλεκτρόνιο ώστε να αποκτήσει μήκος κύματος de Broglie 10-10 m;
ντική Θεω
• 4.14: Μια μπάλα μάζας 50 g κινείται με ταχύτητα 30 m/s. Αν η ταχύτητά της μετριέται με περιθώριο σφάλματος 0.1%, πόση είναι η ελάχιστη
Κβαν της μετριέται με περιθώριο σφάλματος 0.1%, πόση είναι η ελάχιστη
αβεβαιότητα για την θέση της μπάλα;
• 4.15: Ένα πρωτόνιο έχει κινητική ενέργεια 1 MeV. Αν η ορμή του μετριέται με αβεβαιότητα 5%, πόση είναι η ελάχιστη αβεβαιότητα της θέσης του;