v vektörü n uzayında tanımlı olsun c bir skaler olmak üzere,

vv cc

elde edilir. Burada c , c skalerinin mutlak değeridir. n uzayında tanımlı iki vektör u ve v arasındaki uzaklık

(mesafe),

vuvu ,d

22

11 nnvuvu

Uzaklık Ölçünün Özellikleri

1. 0, vud

2. 0, vud ancak ve ancak vu

3. uvvu ,, dd

Tanım: Bir V reel vektör uzayındaki iç çarpım u.v, bu

uzaydaki tüm vektörler için aşağıdaki aksiyomları sağlayan ve

V vektör uzayındaki her u ve v vektörleri ile u.v reel sayısını

bağdaştıran bir fonksiyondur.

1. v.uu.v

2. u.wu.vwvu.

3. vu..vuu.v ccc

4. 2

vv.v

5. 0v.v ve 0v.v ancak ve ancak 0v

İç Çarpım ve İki Vektör Arasındaki Açı

Sıfırdan farklı her hangi u ve v gibi iki vektörün arasındaki

açısının belirlenebilmesi için üçgenler üzerinde tanımlanan

cosinüs kanunu kullanılır:

uvuvuv .2

uvuuvv ..

uuu.vvv .2.

İç çarpım özellikleri uygulanarak, Cosinüs kanunu:

Cosuvuvuv 2222

Cosinüs denklemi Cos için çözüldüğünde,

Cosuvuuvvuvuv 2

22

1

22

1

22

11 nnnnuuvvuvuv

Cosuv2

vu

vuvunnCos

11

vu

u.vCos

Ortogonal Vektörler

Tanım: u ve v vektörleri n uzayında tanımlı olsun,

0u.v

eşitliği sağlanıyor ise vektörler ortogonaldir.

Cauchy-Schwarz Eşitsizliği

Tanım: Eğer u ve v vektörleri n uzayında tanımlı ise,

vuu.v

eşitsizliği geçerlidir. Burada u.v değeri iç çarpımın mutlak

değeridir.

İspat: Eğer 0u ise. 00.v ve 0v0 teorem sağlanır.

Eğer 0u ise. t olmak üzere vu t vektörü ele alınsın.

Bu durumda,

0. vuvu tt

02. 2 v.vu.vu.uvuvu tttt

eşitsizliği sağlanır ve u.ua , u.v2b , v.vc alınarak

02 cbtat

Bu karesel ifade asla negatif olmayacağı için kökler

karmaşıktır ya da katlı tek kök vardır. Diskriminant,

042 acb

v.vu.uu.v 442

Karekök alınarak,

vuv.vu.uu.v

Üçgen Eşitsizliği

Bir üçgenin iki kenar uzunlukları u ve v olsun. Üçüncü kenar

uzunluğu vu olacaktır.

Tanım: Üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu, diğer iki

kenarın uzunluklarının toplamından büyük olamayacağı için

Üçgen Eşitsizliği:

vuvu

İspat:

vuvu

vuvu

vvvuuu

vuvvuu

vuvuvu

.2

.2

..2.

.

.

22

22

2

Burada Cauchy-Schwarz vuvu .. eşitsizliği kullanılarak;

2222

2 vuvuvuvu

vuvu

elde edilir.

Pisagor Teoremi

Üçgen eşitsizliğinin ispatında, 222

.2 vvuuvu

elde edilmişti. Eğer u ve v vektörleri ortogonal ise Pisagor

Teoremi;

222vuvu

elde edilir.

İç Çarpım ve Matris Çarpımı n uzayındaki bir nuuu ,...,, 21u vektörü nx1 boyutlu sütun

vektörü (matris) olarak tanımlanabilir.

nu

u

u

.

.

.2

1

u

Bu durumda iki vektörün iç çarpımı, u vektörünün

transpozunun v vektörü ile matris çarpımı

nn

n

n

T vuvu

v

v

v

uuu

...

.

.

.....

11

2

1

21vuvu

ile gösterilebilir.

İç Çarpım Uzayında Ortogonal İzdüşüm

Tanım: u ve v vektörleri n uzayında tanımlı olsun. Eğer v

vektörü sıfırdan farklı ise u vektörünün v üzerindeki ortogonal

izdüşümü, v vektörü yönünde olup uzunluğu v vektöründen

farklıdır,

vuv aiz

Eğer 0a ise 0cos .

v

u.v

v

uvuvv

coscosaa

sonuç olarak a skaleri

v.v

u.v

v

u.v

2a

ve ortogonal izdüşüm vektörü,

vv.v

u.vu

viz

Şekil 5.11

Ortogonal İzdüşüm ve Uzaklık

Tanım: V iç çarpım uzayındaki iki vektör u ve v olsun. 0v

olmak üzere,

v.v

u.vvuuu v ccdizd ,,,

İspat: İzdüşüm vektörünün skaleri

v.v

u.vb

olsun. Herhangi bir izdüşüm vektörü ile u vektörü arasındaki

uzaklığın karesi,

22vvuvu cbbc

olup vu b ve vcb ortogonal vektörlerdir.

0 v.vu cbb

Pisagor Teoremi uygulanarak

2222

222

vvuvu

vvuvvu

cbbc

cbbcbb

Bu eşitlikte cb ve 0v olduğundan 022 vcb ve sonuç

olarak;

vuvu

vuvu

cdbd

cb

,,

22

Şekil 5.14

Ortogonal ve Ortonormal Kümeler

Bir vektör uzayının farklı bazlara sahip olabileceği daha önce

belirtildi. Bununla birlikte bazı özelliklere sahip bazlarla

çalışmak daha uygundur.

Tanım: V iç çarpım uzayında tanımlı bir S vektör kümesi

olsun. Kümedeki her vektör çifti ortogonal ise ortogonal, ek

olarak kümedeki her bir vektör, birim vektör ise ortonormal

olarak adlandırılır.

n

S vvv ,...,,21

için

Ortogonal;

jiji 0v.v

Ortonormal;

ni

ji

i

ji

,...,2,11

0

v

v.v

Ortogonal Kümeler Doğrusal Bağımsızdır.

Tanım: Eğer bir nS vvv ,...,, 21 vektör kümesi V iç çarpım

uzayında tanımlı sıfırdan farklı ortogonal vektörlerin bir

kümesi ise S kümesi doğrusal bağımsızdır.

İspat: Doğrusal bağımsızlık için

0....11 nncc vv

Denkleminin tek çözümü 0...21

n

ccc

olmalı.

S kümesindeki her bir vektör ile bu denklemin her iki tarafının

iç çarpımı;

0......

0)....(

11

11

inniiii

iinnii

ccc

ccc

.vv.vv.vv

.v.vvvv

S kümesi ortogonal olduğundan jiji

0v.v için

ve denklem

0iiic .vv

eşitliğine indirgenir. S kümesindeki vektörler sıfırdan farklı

olduğundan,

02 iii vv.v

Sonuç olarak 0ic olmalıdır. Sonuç olarak küme doğrusal

bağımsız olmalıdır.

Tanım: V boyutu n olan bir iç çarpım uzayı ise, sıfırdan farklı

herhangi n adet ortogonal vektörün oluşturduğu küme, V için

bir baz oluşturur.

Ortonormal Baza Göre Koordinatlar

Tanım: Eğer nS vvv ,...,, 21 kümesi bir V iç çarpım uzayının

ortonormal bazı ise, herhangi bir w vektörünün S ortonormal

bazına göre koordinatı:

wvw.vvw.v nn...11

İspat: S kümesi V için bir baz tanımladığından türetendir.

wvv nncc ...11

denklemin her iki tarafının iv ile çarpımı

iinniiii ccc w.v.vv.vv.vv ......11

S kümesi ortogonal olduğundan,

iiiic w.v.vv

S kümesi ortonormal olduğundan,

ii cw.v

Standart (ortonormal) Baza Göre Koordinatlar

Örnek olarak 2 uzayı ve onun standart(ortonormal) bazı

)1,0()0,1( ji ele alınsın. 2 uzayındaki herhangi bir vektör

w olsun. Bu vektör

wizw

wizwi1

j

2

olmak üzere

21www

yazılabilir. i, j vektörleri birim vektör olduğundan

iii.wii.i

i.ww

i 1iz c

jjj.wjj.j

j.ww

j 2iz c

jiw21

cc

burada 1c ve 2c katsayıları koordinatlardır. Şekil 5.17

Ortogonal Bütünleyen n uzayının bir S alt uzayı verilmiş olsun. S kümesindeki her

bir vektöre ortogonal olan tüm vektörlerin kümesi, S

kümesinin ortogonal bütünleyeni olarak adlandırılır.

Tanım: Eğer S kümesi n uzayının bir alt uzayı ise, S

kümesinin ortogonal bütünleyeni,

için tüm0., SS n vvuu

Sıfır alt uzayının 0 ortogonal bütünleyeni, n uzayının

kendisidir. Bu ifadenin tersi de geçerlidir.

n uzayının bir alt uzayının bütünleyeni aynı zamanda n uzayının bir alt uzayıdır.

n uzayının bir alt uzayının ortogonal bütünleyeni, matrisin

boş uzayının

0Ax

çözülmesi ile bulunur.

Ortogonal Alt Uzaylar n uzayının iki alt uzayı, her bir alt uzaydaki vektörler diğer

alt uzaydaki vektörlere ortogonal ise ortogonal alt uzaylardır.

Tanım: S1 ve S2 kümeleri n uzayının alt uzayları olsun. S1

kümesindeki tüm v1 vektörleri ve S2 kümesindeki tüm v2

vektörleri için

0.21vv

koşulu sağlanıyor ise ortogonal alt uzaylardır.

Eğer S1 ve S2, n uzayının ortogonal alt uzayları ise, kesişim

kümesi sadece sıfır vektörünü içerir.

Örnek: A matrisi

1000

0121A

Satırları 4 uzayındadır. Satır uzayı bAx ,

1

0

0

0

,

0

1

2

1

AR 21

,rrAR

Boş uzayı 0Ax ,

0

1

0

1

,

0

0

1

2

AN 21

,nnAN

0. ii

nr

ARAN

Doğrudan Toplam n uzayının iki ortgonal alt uzayı S1 ve S2 olsun. Bu uzaydaki

her bir vektör nx , S1 kümesinden bir s1 vektörü ve S2

kümesinden bir s2 vektörünün toplanmasıyla eşsiz bir şekilde

xss 21

elde edilebilir. Diğer bir ifade ile n uzayı, S1 ve S2 alt

uzaylarının toplamı

21

SSn

şeklinde elde edilebilir.

Ortogonal Alt Uzayın Özellikleri n uzayının bir alt uzayı S olsun.

1. nSS dimdim

2. nSS 21

3. SS

Alt Uzay Üzerine İzdüşüm

Bir vektörün bir diğer vektör üzerine izdüşümü

uv

iz

daha önce açıklanmıştı. Konu bir v vektörünün bir S alt

uzayına izdüşümü açıklanarak genellenecektir.

SSn

olması nedeniyle n uzayında tanımlı bir v vektörü, S alt

uzayından bir vektör ve S alt uzayından bir vektörün toplamı

olarak

21

vvv S1

v , S2

v

yazılabilir. v1 vektörü S alt uzayı üzerine v vektörünün

izdüşümüdür ve

vvS1

iz

ile gösterilir. Benzer şekilde v2 vektörü S alt uzayı üzerine v

vektörünün izdüşümüdür ve

vv S

iz2

ile gösterilir. Alt uzaylar ortogonal oldukları için,

vvvvvS12

iz

yazılabilir. Diğer bir deyişle v2 vektörü S alt uzayına diktir,

12vv .

n uzayının bir S alt uzayı verildiğinde S için bir ortanormal

baz, Gram-Schmidt yöntemi ile bulunabilir. Daha sonra da S

üzerine v vektörünün izdüşümü elde edilebilir.

Tanım: n uzayının bir alt uzayı S için ortanormal baz

t

uu ,...,1

ve nv ise

tt

uv.uuv.uv 11S

iz

elde edilir.

Bir Matrisin Temel Alt Uzayları

Boyutu m×n olan bir A matrisi için,

R(A) satır uzayı,

C(A) sütun uzayı,

N(A) boş uzay,

TN A sol boş uzay

temel alt uzaylardır.

R(A) ve N(A), n uzayının ortogonal alt uzaylarıdır.

C(A) ve TN A , m uzayının ortogonal alt uzaylarıdır.

nNR AA

mTNC AA

En Küçük Kareler Problemi

Bazı denklem sistemleri çözümsüzdür. Bununla birlikte bu tip

sistemler için mümkün olan en iyi çözümün nasıl elde

edilebileceği araştırılabilir. Çözümsüz sistemler için bir

çözümün elde edilebilmesi genellikle en küçük kareler

regresyon doğrusunun elde edilmesi probleminde ortaya çıkar.

En Küçük Kareler Regresyon Doğrusu

3 uzayındaki üç nokta (1,0), (2,1), (3,3) olsun. Bu üç noktaya

en iyi uyumu sağlayan,

xccy10

doğrusu nasıl bulunabilir?

Eğer bu üç nokta bir doğru üzerinde olsaydı, aşağıdaki

denklem sistemi

010 cc

1210 cc

3310 cc

çözümlü olurdu. Bu sistem,

31

21

11

A

3

1

0

b

2

1

c

cx

alınarak matris yapısında

bAx

tanımlanabilir.

Bunula birlikte noktalar bir doğru üzerinde olmadığı için,

sistem çözümsüzdür. Bu nedenle bAx şeklinde çözüm

veren bir x vektörü bulmak imkansızdır. Fakat Ax ve b

vektörleri arasındaki farkı

bAx

minimize eden bir x vektörü araştırılabilir. Vektörler

arasındaki fark, hata olarak adlandırılır. Bu minimizasyon

probleminin çözümü

Tcc10

,x

ile elde edilen doğru

xy10

cc

regresyon doğrusu olarak adlandırılır.

Bu problemin çözümünde, ortogonallik ve izdüşüm kavramları

kullanılır. Yukarıdaki problemin daha genel bir yapısı, m×n

boyutlu bir A matrisi ve m uzayında tanımlı bir b vektörü ile

verilebilir.

Tanım: Boyutu m×n olan bir A matrisi ve m uzayında

tanımlı bir b vektörü verilmiş olsun.

2

bAx

fonksiyonunu minimize eden, n uzayında tanımlı x

vektörünün elde edilmesi, en küçük kareler problemi olarak

adlandırılır.

Problem, bAx uzaklığını en küçükleyen bir x vektörünün

belirlenmesidir. Burada A, m×n boyutlu bir matris, b ise m

uzayında bir vektördür. A matrisinin sütun alt uzayı S = C(A)

olsun. b vektörünün S alt uzayında yer almadığı kabul edilsin.

Çünkü b vektörü, S alt uzayında ise bAx tutarlı (çözümlü)

bir denklem sistemidir. Problem, b vektörüne olabildiğince

yakın olan ve S alt uzayında yer alan bir Ax vektörünü

bulmaktır.

Daha önceki bilgiler ışığında, araştırılan vektör b vektörünün

S alt uzayı üzerine ortogonal izdüşümü tanımlayan vektördür.

bAxs

iz

Ayrıca

bbbAx s

iz

vektörünün S = C(A) uzayına ortogonal olduğu görülebilir.

Diğer bir ifadeyle

bAx

vektörü, C(A) alt uzayına diktir. Aynı zamanda TN A alt

uzayındadır.

TNC AA

olduğundan

0bAxAT

ortogonallik koşulu sağlanmalıdır.

bAAxA TT

denklem sistemi (normal denklemler) elde edilir. En küçük

kareler probleminin çözümü n×n boyutlu doğrusal denklem

sisteminin çözümüne indirgenmiştir.

Bilinmeyen vektörü

bAAAx TT 1

Alt uzaydaki izdüşüm vektörü

bAAAAAxb TT

S

1

iz

Burada S alt uzayı için izdüşüm matrisi

TT AAAAH1