09.07.2009

1

İSTATİSTİK IİSTATİSTİK IİSTATİSTİK IİSTATİSTİK I

1

Yrd.Doç.Dr. Ali Kemal ŞEHİRLİOĞLUAraş.Gör. Efe SARIBAY

İstatistik Nedir?

TANIM2:Sayısal verilerin toplanması,

TANIM1:y p

sunumu,organizasyonu,analizi ve yorumlanması içingerekli yöntemlerin geliştirilipuygulanması ile uğraşan vesonuçta verilerden gidilerekbulunan olasılık deyimleri ile

f

Bir anakütleyi tanımlamakiçin ilgili anakütleden belirliyöntemlerle elde edilenörnek verilerinin analizinedayanarak anakütle ile ilgilitahminler yapan ve sonuçl k l d b l

2

objektif karar vermede önemlirol oynayan bir yöntemlerbilimidir.

olarak yorumlarda bulunanbir bilimdir.

09.07.2009

2

Uygulama Alanları• Muhasebe

Denetim

• YönetimPerformans

• Sağlık BilimiBiyoistatistik– Denetim

– Maliyet

• Finansman– Finansal

Trendler

– Performans değerlendirme

– Kalite iyileştirme

• PazarlamaTüketici tercihleri

– Biyoistatistik

– Farmakometri

• Psikoloji– Psikometri

3

Trendler

– Öngörümleme

– Tüketici tercihleri

– Pazarlama Etkileri

İstatistikselBilgisayar Paket Programları

• SPSS

• MINITAB

• SAS

4

• Excel

09.07.2009

3

Yönetim Problemlerine İstatistiksel Yaklaşım

SORUN Yönetim f ül

İstatistiksel formülasyonu formülasyon

İstatistiksel analizYönetimsel

yorum

UYGULAMA

5

İstatistiksel çözümİstatistiksel

yorumYönetimsel

çözüm

y

İSTATİSTİKSELYÖNTEMLER

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER

YORUMLAYICI İSTATİSTİKLER

6

Eğer sadece verileri özetlemek, sunmak gerçekleri kataloglamakistiyorsak tanımlayıcı istatistikleri kullanırız. Ancak örnek verisinedayalı olarak yorumlama yapmak istendiğinde veya belirsizlikaltında karar verileceğinde yorumlayıcı istatistik metotlarındanfaydalanırız.

09.07.2009

4

Anakütle (Populasyon)

• Hakkında belirli bir veya daha fazla özellik(DEĞİŞKEN) açısından araştırma(DEĞİŞKEN) açısından araştırmayapılmak istenen tüm elemanların içindebulunduğu kümedir.

• İstatistik açısından iki temel kavramtanımlanmalıdır:– Araştırılacak topluluk

7

– Araştırılacak topluluk,– Topluluk içindeki incelenecek değişken veya

değişkenler.

İstatistiksel Anlamda Anakütle

• Ne Değildir?

– Bir işletmede üretilen vidalar.

İ

• Nedir?

– Bir işletmede üretilen vidaların çapları.

İ

8

– İMKB’de işlem gören hisse senetleri.

– İMKB’de işlem gören hisse senetlerinin kapanış fiyatı.

09.07.2009

5

Örnek• Anakütleden seçilen ve ilgilenilen değişken

açısından anakütlenin özelliklerini yansıtmaözelliğine sahip alt kümedir.ğ p

• Örneğin en önemli iki özelliği;

☻ zaman ve maliyet kaybını minimumadüşürmek,(optimum örnek hacmi)

9

ş ,( p )

☻ anakütleyi iyi bir şekilde yansıtmak

olarak ifade edilebilir.

Parametre

• Anakütlenin sayısal olarak ölçülebilenherhangi bir özelliği o populasyonunherhangi bir özelliği o populasyonunparametresi olarak tanımlanabilir

PARAMETREYİ BELİRLEMEK İÇİNANAKÜTLEDEKİ TÜM ELEMANLARIN

10

ANAKÜTLEDEKİ TÜM ELEMANLARINİNCELENMESİ GEREKİR.

09.07.2009

6

• Bir tekstil fabrikasında bir haftada kullanılan ortalama boya miktarı,

PARAMETREYE İLİŞKİN ÖRNEKLER:

y

• D.E.Ü. İ.İ.B.F’de okuyan öğrencilerin sigara içme oranı,

11

• Amerikan Doları’nın ($) Euro (€) karşısında 2006-2008 yılları arasındaki değişim yüzdesinin ortalaması.

Örnek İstatistiği

• Anakütlenin belirli bir parametresininhesaplanmasının zorluğundan dolayı alınanhesaplanmasının zorluğundan dolayı alınanörnek yardımıyla bulunan parametre tahminineörnek istatistiği (istatistik / tahminleyici) adıverilir.

Örnek: İzmir’de üniversitede okuyanöğ il i l k h l t l

12

öğrencilerin aylık harcamalarının ortalamasınıtahmin etmek amacıyla 150 öğrencilik bir örnekalınarak aylık harcama miktarlarınınortalamasının bulunması.

09.07.2009

7

Değişken• Belirli bir özellik bakımından yapılan gözlemler

sonucunda elde edilen verilerin temel niteliği buverilerin birbirinden farklı olmasıdır. Bu nedenleistatistikte bu özelliklere değişken adı veriliristatistikte bu özelliklere değişken adı verilir.

Örnekler:

– Öğrencilerin kardeş sayısı

13

– Bankaların YTL. bazında aylık mevduat faiz oranı

– Bir süpermarkete belirli bir sürede gelen müşteri sayısı

– Tütün işleyen bir fabrikada günlük işlenen tütün miktarı.

Şans Değişkeni

• Tanımlı olduğu aralıktaki belirli değerleri almaolasılıkları belirli olasılık (matematiksel)olasılıkları belirli olasılık (matematiksel)fonksiyonları ile hesaplanabilen değişkenlerdir .

Örnekler:

Bi d i b li li d h t ld ğ d ü t

14

– Bir madeni para belirli sayıda havaya atıldığında üst yüzüne gelen yazı ya da tura sayısı

– Bir zar ile 6 gelinceye kadar yapılan atış sayısı

09.07.2009

8

Hedef Populasyon – Örneklenen Populasyon

• Hedef populasyon üzerinde çalışılan;hakkında bilgi edinilmek istenenhakkında bilgi edinilmek istenenpopulasyon demektir.

• Örneklenen populasyon ise örneğingerçekten içinden seçildiği populasyondemektir.B t l d ğ lt d bi ö kl ’

15

• Bu tanımlar doğrultusunda bir örneklem’etam geçerlidir diyebilmek için hedef veörneklem populasyonunun aynı özellikleresahip olması gerekir.

ÖLÇEKLER• VERİ kavramı gerçeklerin (facts) değerlerin,

gözlem ve ölçümlerin toplanması olarak ifade

edilebilir.

• Verilerin hangi formda bulunduğu konusu veya

ölçümlerin hangi seviyede ele alındığı konusu

öncelikle incelenmelidir.

16

• Verileri analiz eden bir araştırmacı ölçümleri

yapmadan önce kullanacağı ölçek türünü

düşünmek zorundadır.

09.07.2009

9

ÖLÇEKLER

• Nominal Ölçeği

• Ordinal(Sıralama) Ölçeği

• Aralık Ölçeği

• Oran Ölçeği

17

• Oran Ölçeği

şeklinde dört ölçek mevcuttur.

ÖLÇEKLER• Nominal Ölçek:

• Bu ölçek dört tip ölçeğin en zayıf olanıdır.

• Bir cisim veya olayı belirli bir isme göre diğer cisim

ve olaydan ayırmaya yarar.

Örnekler:

○ yeni doğan çocukları kız ya da erkek olarak

18

sınıflandırılması

○ Fabrikada imal edilen ve paketlenmek üzere

yürüyen bir şerit üzerinde taşınan mamüllerin hatalı

veya hatasız diye sınıflandırılması

09.07.2009

10

ÖLÇEKLER

Bazı karakteristiklerine bağlı olarak eşya veBazı karakteristiklerine bağlı olarak eşya ve

olaylar arasındaki farkı belirtmede çoğu kez

normal yolla isimlendirmek yerine şahsi

kanaatlarımıza bağlı olarak numaralandırma

yolunu tercih ederiz

19

yolunu tercih ederiz.

ÖLÇEKLER

• Mesela paketlenmek üzere yürüyen bir şeritteki• Mesela paketlenmek üzere yürüyen bir şeritteki

mallardan hatalı olanları 1 ve sağlam olanları 0

ile gösterebiliriz.

• Her bir kategori içerisine düşen eşya ve olay

20

• Her bir kategori içerisine düşen eşya ve olay

sayısını bulmak için genellikle nominal ölçeği

kullanırız.

09.07.2009

11

ÖLÇEKLER

• Örneğin, belirli bir ruh ve sinir hastalıkları

h t i d k h thastanesinde kaç hastaya

şizofrenik,

manik-depresif ve psiko-nöratik

diye teşhis konulduğunu bilmek isteyebiliriz.

21

• Bu tip veriler çoğu kez sayılan veriler, sıklık

verileri, kategorik veriler olarak da adlandırılır.

ÖLÇEKLER

• Ordinal (Sıralama) Ölçeği:

• Nominal ölçekten bir derece daha hassas veya

karmaşık olan ölçek sıralama ölçeğidir.

• Gösterdikleri bazı karakteristiklerin nisbi

miktarlarına göre bir nesne veya olayı

22

diğerinden ayırmak için sıralama ölçeği

kullanılmaktadır.

09.07.2009

12

ÖLÇEKLER

• Sıralama ölçeği eşyaların belirli bir sıraya göre

sıralamasını mümkün kılar.

• Örnekler:

☼ Pazarlamacılar bu ölçek kullanarak kişilikleri itibariyle

en zayıftan en iyiye doğru sıralanabilir.

☼ Bir köpek güzelliği yarışmasında yarışmaya katılan

23

köpekler en az güzelden en çok güzele doğru

sıralanabilir.

☼ Aynen bunun gibi belirli bir hastalığın en hafiften en

şiddetliye doğru sıralanması da mümkündür.

ÖLÇEKLER

Eğer n adet eşya ve olayı belirli özelliklerine

göre sıraya koysak,

1 rakamı üzerinde durulan özelliğin en zayıf

olduğu şeyi gösterirken;

2 rakamı, söz konusu özelliğin 1 rakamı ile

24

, ğ

ifade edilenden biraz daha fazla, fakat 3,4,…

numaraları ile ifade edilenden az olduğunu

gösterir.

09.07.2009

13

ÖLÇEKLER• Sıra değerleri arasındaki derece farkının eşit olması

şart değildir.

• Örneğin, belirli bir sınava giren öğrenciler söz konusu

sınavı tamamlama zamanlarına göre birinci, ikinci,

üçüncü şeklinde sıralanabilir.

• Bununla birlikte bu sınavı tamamlama bakımından

bi i i iki i öğ i d ü i iki i

25

birinci ve ikinci öğrenci arasında geçen sürenin ikinci

ve üçüncü arasında arasında geçen süreye eşit

olması beklenemez.

ÖLÇEKLER

• Aralık Ölçeği:• Aralık Ölçeği:

• Eşya ve olayların birbirinden ayırt edilip

sıralanabildiği ve ölçümler arasındaki farkında

bunlara ilave olarak anlamlı olduğu durumlarda

l i li öl k l k öl ğidi

26

en elverişli ölçek aralık ölçeğidir.

• Aralık ölçeğinde sıfır noktası vardır ancak

izafidir.

09.07.2009

14

ÖLÇEKLER

• Bu ölçeğe en iyi verebilecek örnek Fahrenheit

derece ve Celcius derece cinsinden sıcaklık

ölçümleridir.

• Fahrenheit ve Celcius türü termometrelerde

sıfır derece sıcaklığın olmadığı anlamına

gelmez.

27

g

• Bununla birlikte sıfır derece kendisinden

daha yüksek ve düşük sıcaklığın olduğunu

belirtmektedir.

ÖLÇEKLER

Örneğin A, B, C, D’nin 20, 30, 60, 70 gibi

aralık ölçeği ile ölçülmüş sonuçları ifade

ettiğini varsayalım.

Burada aralık ölçeği kullandığımız için 20 ile

30 arasındaki farkın 60 ile 70 arasındaki farka

28

eşit olduğunu söyleyebiliriz.

09.07.2009

15

ÖLÇEKLER• Aralık ölçeği yapılan ölçümler itibariyle yukarıdaki

her bir çift arasındaki farklılığın birbirine eşite b ç t a as da a ğ b b e eş t

olduğunu ifade eder. Bununla birlikte aralık ölçeği

sonuç çiftlerine ait oranlar oranlar hakkında anlamlı

bilgi sağlamaz.

• Az önceki örneğimize göre konuşursak C için

29

sağlanan 60’lık skor B için bulunan 30’luk skor ile

karşılaştırdığımızda C için elde edilen skorun B’nin

iki katı olduğunu söyleyemeyiz.

ÖLÇEKLEROran Ölçeği:

• Elde edilen ölçümler şimdiye kadar bahsedilen üç

ölçeğin özelliklerini sağlamakla birlikte söz konusu

ölçümlerin oranları bizim için belirli bir anlam ifade

ediyorsa kullanacağımız ölçek oran ölçeğidir.

• Oran ölçeği ile ölçülmüş bir karakteristiğin sıfır olması,

k kt i tiği öl ül l d l d ğ

30

o karakteristiğin ölçülen eşya veya olayda olmadığını

gösterir.

• Ağırlık, boy ölçümleri, bu tür bir ölçeğin en karakteristik

örnekleridir.

09.07.2009

16

ÖLÇEKLER

• Normal aralık ölçeğinin kullanılmasından

anlaşılacağı gibi, “90 kilo gelen bir kimse 60 kilo

gelen bir kimseden 30 kilo daha ağırdır” denilebilir.

• Oran ölçeğinin kullanılmasıyla birlikte “90 kilo gelen

bir kimsenin ağırlığı 45 kilo gelen insanın ağırlığının

iki k t d ” d il bili

31

iki katıdır” denilebilir.

• Oran ölçeği en yüksek ölçüm seviyesini gösterir.

ŞANS DEĞİŞKENİTÜRLERİ

KESİKLİ ŞANS SÜREKLİ ŞANS KATEGORİK ŞANS

32

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENİ

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENİ

KATEGORİK ŞANS DEĞİŞKENİ

09.07.2009

17

Kesikli Şans Değişkeni

• Tanımlı olduğu aralıktaki sadece tam sayıdeğerleri alabilen değişkenlerdirdeğerleri alabilen değişkenlerdir.

Örnekler:

– Ders başladıktan sonra ilk 5 dk. içinde derse geç kalan öğrenci sayısı

33

kalan öğrenci sayısı,

– Banka şubesinde gün içerisinde açılan vadeli TL. hesap sayısı.

Sürekli Şans Değişkeni

• Tanımlı olduğu aralıktaki tüm değerleri( sonsuz sayıda değer) alabilen değişkenlerdir.( y ğ ) ğ ş

Örnekler:

– Bir süpermarkete gelen iki müşteri arasındaki geçen süre,

34

,

– Yeni doğan bebeklerin ağırlığı.

– Şebeke sularındaki arsenik miktarı.

09.07.2009

18

Kategorik Şans Değişkeni• Ölçüm veya sayımla ifade edilemeyen

değişkenlerdir.

• Kesikli değişkenlerin özel bir türü olarakdüşünülebilir ve kodlanarak sayısal haledönüştürülebilirler.

Örnekler:

35

Örnekler:– Cinsiyet,

– Saç yada göz rengi,

– Taraftarı olunan futbol takımı.

Anakütle-Örnek İlişkisi-I

• Anakütle parametrelerinin hesaplanması birçokaçıdan zor olduğundan dolayı anakütleyi en iyi biraçıdan zor olduğundan dolayı, anakütleyi en iyi birşekilde temsil edecek örnek alınarak, parametretahminleyicisi olan örnek istatistiği elde edilir.

Örnek:

İzmir’deki üniversitelerde ki öğrencilerinin sigara içmeoranının tahminlemek amacıyla tüm üniversite öğrencilerine

36

y ğtek tek sorup cevap almaktansa belirli örneklemeyöntemlerini kullanarak yeterli sayıda öğrencinin seçilereksigara içme oranının tahminlenmesi.

09.07.2009

19

Anakütle-Örnek İlişkisi-II

Anakütle Parametresi Örnek İstatistiği

Anakütle Parametreleri ve Tahminleyicileri

Anakütle Parametresi Örnek İstatistiği

(Anakütle Ortalaması ) (Örnek Ortalaması )

S2

x

37

(Anakütle Varyansı ) (Örnek Varyansı)

(Anakütle Oranı )

p(Örnek Oranı )

Anakütle-Örnek İlişkisi-IIIAnakütle

N

n

Örnek

Örnek verilerinin analizi

Anakütle parametresi

Örnekten elde edilen örnekistatistiği x anakütleparametresi ’ ye ne kadaryakın ise yapılan çalışma okadar iyidir. Anakütle içinap lacak or mlar o kadar

38

x

Örnek İstatistiği

yapılacak yorumlar o kadartutarlı olacaktır.

09.07.2009

20

Temel Örnekleme Yöntemlerinden Bazıları;

• Basit Şans Örneklemesi,(B.Ş.Ö)

Si t tik Ö kl• Sistematik Örnekleme,

• Tabakalı Örnekleme,

• Kümeli Örnekleme’dir.

Bu dersin kapsamında yalnız B.Ş.Ö’den

39

p y Şbahsedilip diğer bunlarla beraber diğer örneklemeyöntemleri İstatistik II dersinde bir bölüm olarak elealınacaktır.

1 Her anakütle elemanının

Basit Şans Örneklemesi

1. Her anakütle elemanının seçilme şansı eşittir.

2. Bir birimin seçilmesi diğerlerinin seçilme şansını etkilemez.

40

Rastgele sayılar tablosu, çekiliş yöntemi kullanılabilir.

09.07.2009

21

VERİLERİN DERLENMESİ VE SUNUMU

• Anakütleden alınan örnek yardımıyla elde edilenverilerin şans değişkeninin türüne göresınıflandırıldıktan veya gruplandıktan sonraçizelgeler ve grafikler halinde bir diğer analize hazırolmak üzere gerekli karar vericilere sunulur.

41

olmak üzere gerekli karar vericilere sunulur.

VERİ

Verilerin Organizasyonu

Kesikli Veriler Sürekli Veriler

Tablo Metotları

Grafik Metotları

Tablo Metotları

Grafik Metotları

1.Frekans Dağ. 3.Çubuk gr. 7.Frekans Dağ. 10.Histogram

42

1.Frekans Dağ.

2.Relatif Fr.Dağ.

3.Çubuk gr.

4.Daire gr.

5.Çizgi gr.

6.Kutu Grafiği

7.Frekans Dağ.

8.Rel.Fr.Dağ.

9.Küm.Rel.Fr.Dağ.

11.Frekans Poligonu

12. Gövde-Yaprak Gösterimi

13.Kutu Grafiği

09.07.2009

22

SERİTÜRLERİ

GRUPLANMIŞ SINIFLANMIŞ

43

BASİT SERİGRUPLANMIŞ

SERİ

SINIFLANMIŞ SERİ

Basit Seri• Araştırma veya analizlerde kullanılmak üzere elde edilen veri sayısı az ise bu tür veri yapılarına BASİT SERİ adı verilirBASİT SERİ adı verilir.

• Verilerin büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe sıralanmasıyla oluşturulan seridir.

Örnek: 7 öğrencinin bir dersten devamsızlık l 3 4 6 1 5 2 4 l

44

sayıları 3,4,6,1,5,2,4 olsun.

Buradaki basit seri; 1,2,3,4,4,5,6 şeklindedir.

09.07.2009

23

Basit Seri Grafikleri • Basit serilerde şans değişkeninin sürekli veya kesikliolduğuna bakılmaksızın verileri bir grafik halinde özetlemekamacıyla ÇUBUK ve ÇİZGİ grafikleri kullanılır

CUBUK DIYAGRAMI

FR

EK

AN

S 3,0

2,0

amacıyla ÇUBUK ve ÇİZGİ grafikleri kullanılır.

CIZGI GRAFIGI

FR

EK

AN

S 3,0

2,0

45DEV_SAYI

654321

1,0

0,0

DEV_SAYI

654321

1,0

0,0

Gruplanmış Seri

• Verilerin kesiklid ği k i

Örnek : Bir mağazadasatılan kot pantolonlarınşans değişkeni

olduğu durumlarda(adet belirten tamsayıdeğerleri gibi)verilerin aynı tamsayıdeğerlerinin bir grupolarak kabul edildiği

satılan kot pantolonlarınbedenlerine göre satışadetleri;

28 beden 2 adet29 beden 5 adet30 beden 6 adet32 b d 7 d t

46

olarak kabul edildiğiseridir.

32 beden 7 adet33 beden 1 adet34 beden 4 adet

09.07.2009

24

Gruplanmış Seri Tabloları • Basit serilerde şans değişkeninin kesikli olduğundandolayı verileri bir tablo şeklinde amacıyla frekans dağılımıve relatif frekans dağılımı kullanılır.

R l tif( ö li) f k l h bi b bütü i i i d ki• Relatif(göreli) frekanslar her bir grubun bütün içerisindekimiktarı yüzde olarak ifade eden değerlerdir.Kümülatif isemevcut grup ve kendinden önceki grupların toplam içindekiyüzdesini ifade eder.Beden Adet(frekans) Relatif(göreli) Frekans Kümülatif Frekans

28 2 2 / 25 = 0 08 0 08

47

28 2 2 / 25 = 0,08 0,0829 5 5 / 25 = 0,2 0,2830 6 6 / 25 = 0,24 0,5232 7 7 / 25 = 0,28 0,8033 1 1 / 25 = 0,04 0,8434 4 4 / 25 = 0,16 1,00

Toplam 25 1,00

Gruplanmış Seri Grafikleri - I • Gruplanmış serilerde şans değişkeninin kesikliolmasından dolayı verileri bir grafik halinde özetlemekamacıyla ÇUBUK ÇİZGİ ve DAİRE(PASTA) grafikleriamacıyla ÇUBUK, ÇİZGİ ve DAİRE(PASTA) grafiklerikullanılır.

ÇUBUK GRAFİK -BEDENLERE GÖRE SATIŞ ADETLERİ-

5

6

7

8

DE

Dİ

48

0

1

2

3

4

28 29 30 32 33 34

BEDEN

SA

TIŞ

A

09.07.2009

25

Gruplanmış Seri Grafikleri - II

ÇİZGİ GRAFİK

8

2

3

4

5

6

7

8

SA

TIŞ

AD

EDİ

49

0

1

2

28 29 30 32 33 34

BEDEN

Gruplanmış Seri Grafikleri - III PASTA(DAİRE) GRAFİĞİ

BEDENLERE GÖRE SATIŞLAR

28; 8%

29; 20%33; 4%

34; 16%

28 29

30 32

33 34

50

30; 24%

32; 28%

33 34

09.07.2009

26

Sınıflanmış Seri

• Verilerin sürekli şans değişkeni olduğuVerilerin sürekli şans değişkeni olduğudurumlarda her bir verinin belirli kurallara göreoluşturulan bir sınıfa kaydederek sınıflandırıldığıseridir.Örnek: Erkek öğrencilerin ağırlıkları göre

55 ≤ x < 65 ( 55- 65’den az)

51

65 ≤ x < 75 ( 65- 75’den az)75 ≤ x < 85 ( 75- 85’den az)

gibi sınıflara ayrılması.

Sınıflanmış Seri Tabloları-I

• Sınıflanmış serilerde şans değişkeninin sürekliliolduğundan dolayı verileri bir tablo şeklinde amacıylafrekans relatif frekans ve kümülatif relatif frekansfrekans, relatif frekans ve kümülatif relatif frekansdağılımları kullanılır.

• Bir sınıftaki erkek öğrencilerin kiloları hakkında biraraştırma yapılmaktadır. Bu amaçla 50 öğrencininkiloları ölçülerek kaydedilmiştir

52

kiloları ölçülerek kaydedilmiştir.

• Erkek öğrencilerin kiloları bir sonraki çizelgedesıralanmıştır.

09.07.2009

27

71,6678 77,9169 84,2766 73,6000 66,090871,9902 63,5059 78,6458 73,0000 78,4345

Ağırlık Verileri

71,9902 63,5059 78,6458 73,0000 78,434574,1246 76,8961 73,1000 85,5665 53,675052,1406 90,4038 94,5391 53,1676 82,000070,0821 74,5058 80,6314 80,9486 77,000062,7181 69,6469 74,4337 62,4231 76,000077 5122 61 9232 66 6818 76 6000 67 1974

53

77,5122 61,9232 66,6818 76,6000 67,197486,1013 65,7171 86,5080 61,5705 68,985581,0930 75,5000 68,1715 67,0000 80,014972,1109 83,8189 88,4113 71,3824 68,2225

Sınıf Frekans Relatif(göreli) Fre. Küm. Relatif Fre.

Sınıflanmış Seri Tabloları-II

50-57’den az 3 3 / 50 = 0,06 0,0657-64’den az 5 5 / 50 = 0,10 0,1664-71’den az 10 10 / 50 = 0,20 0,3671-78’den az 17 17 / 50 = 0,34 0,7078-85’den az 9 9 / 50 = 0,18 0,8885-92’den az 5 5 / 50 = 0,10 0,9892 99’d 1 1 / 50 0 02 1 00

54

92-99’den az 1 1 / 50 = 0,02 1,00Toplam 50 1,00

09.07.2009

28

Sınıflanmış Seri Grafiği• Sınıflanmış serilerde şans değişkeninin sürekliolmasından dolayı verileri bir grafik halinde özetlemekamacıyla uygulamada oldukça sık kullanılanHİSTOGRAM kullanılır.

• Frekans dağılışlarının elde edilmesinin önemlinedenlerinden biri ilgilenilen değişkenin nasıl birdağılış gösterdiği hakkında bilgi sahibi olmaktır

55

dağılış gösterdiği hakkında bilgi sahibi olmaktır.Örneğin dağılış şekilsel olarak çift tepeli bir görünümarz ediyorsa örneklenen anakütlenin ilgilenilenözellik bakımından karışık olduğunu gösterebilir.

Histogramların Hazırlanması (Sürekli Değişken Verileri İçin)

Adım 1 : Kaç adet veri olduğu sayılır,

Adım 2 : Veriler küçükten büyüğe sıralanır,

Adım 3 : Değişim Aralığı hesaplanır,

(En Büyük Değer-En Küçük Değer)

Adım 4: Aralık sayısı belirlenir

56

Adım 4: Aralık sayısı belirlenir,

(Analizin tipine göre 5-20 aralığı veya örnek hacminin karekökü esas alınabilir)

09.07.2009

29

Adım5: Sınıf aralığı hesaplanır,

Değişim Aralığı / Aralık Sayısığ ş ğ y

Adım6: Aralıkların başlangıç noktaları belirlenir,

Adım7: Her aralığa düşen veri adedi sayılır,

57

Adım8: Histogram oluşturulur.

Histogram 1iiAralık sayısı fazla-Aralık genişliği az bu

nedenle UYGUN DEĞİL

2

1

Fre

quen

cy

Frekans

58

1009080706050

0

C10 Ağırlık(kg.)

09.07.2009

30

Histogram 2

Frekans

10

5

Fre

quen

cy

59

95908580757065605550

0

C10 Ağırlık(kg.)

Gövde ve Yaprak Grafiği

Taşıt motorlarında kullanılan pompaların gürültüTaşıt motorlarında kullanılan pompaların gürültüdüzeylerine ait fabrika içerisinde yapılmış ölçümsonuçları verilmiştir. Bu ölçümler iki gün boyunca100 adet pompa üzerinde elde edilmiştir veaşağıdaki tabloda verilmiştir.

60

09.07.2009

31

Gövde ve Yaprak Grafiği

61

Gövde ve Yaprak Grafiği

62