pt 2 matriks1-rev
TRANSCRIPT
![Page 1: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/1.jpg)
MATEMATIKA- I
Oleh:Dr. Parulian Silalahi, M.Pd
Matriks- 1
![Page 2: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/2.jpg)
MATRIKS1. Pengertian MatriksMatriks adalah susunan sekelompok bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom.
Bentuk Umum:
mn
n
n
nnn
ij
a
aa
aaa
aaaaaa
aA:
.........::::
.................
2
1
321
232221
131211
![Page 3: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/3.jpg)
2. Ordo MatriksMatriks yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut berordo m x n
Contoh:
Matriks A berordo 2x2Matriks B berordo 2 x 3
326512
;4312
BA
![Page 4: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/4.jpg)
3. Transpose matriksTranspose matriks A ( ditulis AT) adalah pertukaran baris menjadi kolom dan kolom menjadi barisContoh:Tentukanlah transpose dari matriks berikut:
Jawab:
241635
;4251
BA
264315
;4521 TT BA
![Page 5: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/5.jpg)
4. Kesamaan dua MatriksDua buah matrisk A dan B dikatakan sama jika ordonya sama dan elemen-elemen yang seletak sama. Contoh:
Matriks A= B
416
48
26
22
;4231
BA
![Page 6: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/6.jpg)
5. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Dua buah matriks A dan B dapat
dijumlahkan atau dikurangkan jika mempunyai ordo yang sama
Contoh:Diketahui;
Tentukanlah : 1. A + B ; 2 . A – B
Jawab:
1526
5502
BABA
1526
5502
BABA
![Page 7: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/7.jpg)
6. Perkalian Matriksa.Perkalian skalar pada matriksContoh: diketahui:
Tentukanlah : 1. -2 A ; 2. 1/5 A
Jawab:
2453
A
52
54
55
53
51)2
48106
2)1 AA
![Page 8: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/8.jpg)
b. Perkalian matriks dengan matriksMatriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B.Contoh:Diketahui:
Tentukanlah : 1. A x B ; 2. B x A
1.
2. B x A , tidak bisa dilakukan
412310
;4321
BA
25781134
412310
4321
AxB
![Page 9: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/9.jpg)
7. Determinan matriksa.Determinan matriks berordo 2 x 2
Jika matriks , maka determinannya adalah: det A =
Contoh: Tentukan determinan matriks dari
Jawab: det A =
dcba
A
cbdadcba
..
2354)1(31453
1453
A
![Page 10: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/10.jpg)
b. Determinan matriks berordo 3x3Contoh: tentukanlah determinan matriks berikut:
Jawab:
012302111
A
Aturan Sarrus
Diagonal utama
Diagonal samping(-) (-) (-)
(+) (+) (+)
538)0.2.11.3.12.0.1()1.2.12.3.10.0.1(
120211
012302111
det
A
![Page 11: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/11.jpg)
8. Menghitung sistem persamaan linier dari dua variabel (SPLDV) dengan menggunakan determinan
Contoh: Tentukan harga x dan y dari dua persamaan berikut dengan menggunakan determinan
2x + y = 5x-2y = 0
![Page 12: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/12.jpg)
Jawab:
155;2
510
55.10.20152
100.1)2.(52015
51.1)2.(22112
DD
yDDx
D
D
D
yx
y
x
![Page 13: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/13.jpg)
9. Menghitung sistem persamaan linier dari tiga variabel (SPLTV) dengan menggunakan determinan
Contoh: Selesaikan persamaan linier simultan berikut ini.
2 i1 + i2 - i3 = -2
2 i1 + 2 i2 + i3 = 0
3 i1 – i2 + 2 i3 = 9
![Page 14: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/14.jpg)
Jawab:
349302
)1(2312
)2(2910
2293102122
171920
)1(2910
12112
)2(219120112
171322
)1(2312
12112
2213122112
2
1
Di
Di
D
![Page 15: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/15.jpg)
21734
21734
11717
341322
)2(9302
19102
2913022212
33
22
11
3
DDii
DDii
DDii
Di
![Page 16: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/16.jpg)
Matriks 21. Menentukan invers suatu matriks brordo 2x2
Jika matriks A = dengan det A = ad-bc
, maka invers dari matris A ditentukan oleh
A-1 =
Dengan syarat bahwa det A= ad-bc ≠ 0
dcba
ac
bdbcad1
![Page 17: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/17.jpg)
Langkah Penyelesaian
1. Elemen-elemen pada diagonal utama dipertukarkan2. Tanda elemen-elemen pada diagonal samping diubah. Jika elemen itu (+) diubah menjadi (-) dan jika elemen itu (-) diganti (+)3. Matriks yang diperoleh pada langkah 1 dan 2 di atas kemudian dibagi dengan determinan matriks persegi awal.
![Page 18: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/18.jpg)
Tentukanlah invers matriks berikut ini.
Jawab:
Det A =
Karena det A≠ 0 maka matriks A mempunyai invers. Invers dari A adalah
2435
A
212104).3()2.(52435
25
24
23
22
1
5432
21A
![Page 19: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/19.jpg)
1. Menentukan invers suatu matriks berordo 3x3a. Pengertian Minor Misalkan A adalah matriks persegi berordo
tiga yang disajikan dalam bentuk:
Jika elemen-elemen yang terletak pada baris ke –i dan kolom ke-j dari matriks A itu dihapuskan, maka diperoleh matriks berordo 2 x 2.
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
![Page 20: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/20.jpg)
Determinan dari matriks persegi berordo 2 x 2 yang diperoleh itu dinamakan minor dari matriks A, dilambangkan dengan |Mij|
Minor dari determinan matriks A disebut sebagai minor aij.
Contoh:
Diketahui matriks A =
Tentukanlah minor-minor dari matriks A.
341431321
![Page 21: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/21.jpg)
Jawab:
63.43.23432
13.14.14131
14.13.13141
74.43.33443
2121
1313
1212
1111
MadalahaMinor
MadalahaMinor
MadalahaMinor
MadalahaMinor
![Page 22: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/22.jpg)
12.13.13121
13.14.14131
13.34.24332
22.14.14121
03.13.13131
3333
3232
3131
2323
2222
MadalahaMinor
MadalahaMinor
MadalahaMinor
MadalahaMinor
MadalahaMinor
![Page 23: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/23.jpg)
b. Pengertian Kofaktor
Jika |Mij| adalah minor dari aij dari matriks A,
maka bentuk (-1)i+j |Mij| disebut kofaktor dari aij.
Kofaktor dari aij dilambangkan dengan α ij.
Jadi kofaktor aij dapat ditentukan dengan rumus αij = (-1)i+j |Mij|
![Page 24: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/24.jpg)
Contoh: Kofaktor dari a11 adalah α11= (-1)1+1 |M11|= + |M11| Kofaktor dari a12 adalah α12= (-1)1+2 |M12|= - |M12| Kofaktor dari a13 adalah α13= (-1)1+3 |M13|= + |M13| Kofaktor dari a21 adalah α21= (-1)2+1 |M21|= - |M21| Kofaktor dari a22 adalah α22= (-1)2+2 |M22|= + |M22| Kofaktor dari a23 adalah α23= (-1)2+3 |M23|= - |M23| Kofaktor dari a31 adalah α31= (-1)3+1 |M31|= + |M31| Kofaktor dari a32 adalah α32= (-1)3+2 |M32|= - |M32| Kofaktor dari a33 adalah α33= (-1)3+3 |M33|= + |M33|
![Page 25: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/25.jpg)
Matriks A adalah matriks persegi berordo 3 x 3 dalam bentuk:
Yang dimaksud dengan adjoin matriks A (disingkat: adj A) adalah juga suatu matriks yang ditentukan dalam bentuk:
adj A =
Dengan αij adalah kofaktor dari aij
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
332313
322212
312111
c. Pengertian Adjoin Matriks berordo 3 x3
![Page 26: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/26.jpg)
d. Invers matriks berorodo 3 x 3
Misalkan matriks A adalah matriks
berorodo 3 x 3. Invers dari matriks A
dirumuskan dengan aturan:
0detdet11 AuntukAadjA
A
![Page 27: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/27.jpg)
Contoh: Tentukanlah invers matriks berikut.
Jawab:
Jadi matriks A mempunyai invers
021130121
A
1)023()020(232
101
021130121
det
A
![Page 28: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/28.jpg)
Kofaktor-kofaktor dari matriks A adalah:
20212
32130
10110
20213
21
13
12
11
![Page 29: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/29.jpg)
33021
11011
11312
42121
10111
33
32
31
23
22
![Page 30: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/30.jpg)
Matriks adjoinnya:
Adj A= =
A-1 = 1/det A. adj A = 1/-1 =
332313
322212
312111
343111122
343111122
343111122
![Page 31: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/31.jpg)
Penyelesaian persamaan matriks.Misalkan A, B, dan X adalah matriks-matriks persegi berordo 2 x 2 atau 3 x 3, dan A adalah matriks yang tak singular yang mempunyai invers, yaitu A-1, maka:
Penyelesaian persamaan matriks A.X = B ditentukan oleh X = A-1. B
Penyelesaian persamaan matriks X.A = B, ditentukan oleh: X = B.A-1
![Page 32: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/32.jpg)
Contoh 1: Tentukanlah penyelesaian SPLDV dibawah ini dengan menggunakan metode invers matriks.
4x + 5y = 172x + 3y = 11
Jawab:Langka awal untuk menyelesaikan bentuk persamaan diatas dengan metode invers matriks adalah dengan mengubah persamaan dalam bentuk persamaan matriks.
1117
3254yx
![Page 33: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/33.jpg)
Langkah 2:
Langkah 3:
Langkah 4:
X = -2 dan y = 5
25.23.43254
det,3254
AmakaA
4253
211A
52
1117
4253
21
yx
![Page 34: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/34.jpg)
Contoh 2: Tiga arus i1, i2, i3 dalam suatu jaringan berhubungan melalui persamaan berikut:
2 i1 + i2 – i3 = 13 - i1 + 2 i2 + 3i3 = -94 i1 - i2 + 2i3 = 8
Dengan menggunakan metode invers matriks tentukanlah penyelesaian persamaan diatas.
![Page 35: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/35.jpg)
Jawab:Langkah 1:Mengubah persamaan dalam bentuk matriks
BIA
iii
.
8913
.214321112
3
2
1
35)268()1128(121
412
214321112
det
A
![Page 36: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/36.jpg)
Kofaktor- kofaktor dari matriks A
52112
53112
53211
61412
33
32
31
23
82412
12111
71421
142431
72132
22
21
13
12
11
![Page 37: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/37.jpg)
Matriks adjoin :
5675814517
AAdj
I = A-1 . B
I = 1/det A . Adj A . B
![Page 38: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/38.jpg)
3;2;4
324
8913
5675814517
351
321
3
2
1
3
2
1
iii
iii
iii
![Page 39: Pt 2 matriks1-rev](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062302/5875ebce1a28ab7d5a8b73b3/html5/thumbnails/39.jpg)
TERIMA KASIHSelamat Belajar
http://polmansem3.esy.es/