psico 14ava. probabilidades y distribución binomial

Dr. Mayhuasca Salgado Ronald Docente

Probabilidad y

distribución binomial

ESTADÍSTICA

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD – ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE PSICOLOGÍA

• Conocer las bases de la teoría de la probabilidad y del teorema

de distribución binomial

• Conocer y calcular los niveles de sensibilidad y especificidad de

algún indicador poblacional

Objetivos

Probabilidades

Matemáticamente se define la probabilidad de un suceso P (A) como el límite hacia el que tiende su frecuencia relativa (simple o acumulada) cuando el número de observaciones tiende al infinito.

Recordemos que tanto a frecuencia relativa como la proporción son medidas de probabilidad.

Sucesos

COMPLEMENTARIO

Grupo sanguíneo

Se cumple que dos sucesos complementarios son excluyentes mutuamente y su suma resulta 1 (probabilidad del espacio muestral, suceso seguro).

INCOMPATIBLE

Color de ojos

De realización simultánea imposible. Pero no son complementarios

INDEPENDIENTES

Antivirales y marcapasos

Cuando la probabilidad que ocurra un hecho no depende de la probabilidad que ocurra el otro

DEPENDIENTES

OPERACIONES BÁSICAS

INTERSECCIÓN DE SUCESOS (A∩B): A y B

La probabilidad que ocurran ambos sucesos A y B se calcula como el producto de sus probabilidades, siempre que A y B sean independientes. Ejemplo: Si la probabilidad de que ocurra A es 0,3 y de B es 0,5; entonces la probabilidad de que sucedan ambos en 0,15.


UNIÓN DE SUCESOS (AUB) : A ó B

Dado dos sucesos A y B, la probabilidad de que ocurra al menos 1 (A o B) se puede calcular como la suma de las probabilidades de ambos, siempre que sean incompatibles (no se puede dar ala vez) En caso de ser compatibles, la probabilidad de que al menos 1 ocurra (A, B o los dos) será la suma de sus probabilidades, restando la probabilidad de su intersección: P(A) + P(B) – P(A∩B) Ahora, siendo compatibles y en caso de requerir calcular la probabilidad de A o B, pero no de ambas, es igual a P(A) + P(B) – 2P(A∩B)


PROBABILIDAD CONDICIONADA (teorema de Bayes)

Si dos sucesos no son independientes y la probabilidad de B no es 0, la probabilidad de A condicionada a B, será igual al cociente entre la probabilidad de su intersección y la probabilidad de B P (A/B)= P(A∩B)/ P(B)

Lluvia y acidente

Algo para reforzar

Asociación entre hábito tabáquico y el desarrollo de una enfermedad.

Enfermos (E) No enfermos (/E) Total

Fumador (F) 60 10 70

No Fumador (/F) 20 90 110

Total 80 100 180

Responda:

Sucesos condicionados y procedimientos de detección

Suponiendo que se debe realizar el proceso diagnóstico de una sola enfermedad con dos únicos posibles estados, enfermo (E) y sano (S) y que se dispone de un indicador con dos posibles valores, positivo (+) y negativo (-). De allí tenemos:

Sensibilidad (Sens): tendencia o propensión de los enfermos a dar positivo

Especificidad (Esp): tendencia o propensión de los sanos a dar negativos

Valor predictivo positivo (VP+): confianza o credibilidad de un resultado positivo

Valor predictivo negativo (VP-): confianza o credibilidad de un resultado negativo


En otras palabras:

Sensibilidad (Sens): Es la capacidad el método para detectar a los enfermos; mide el porcentaje de enfermos que el método es capaz de detectar

Especificidad (Esp): Es la capacidad del método para identificar a los que no tienen la enfermedad. Mide el porcentaje de sanos que dan negativo a la prueba

Valor predictivo positivo (VP+): Mide la probabilidad de que una persona que resultó positiva a la prueba realmente tenga la enfermedad

Valor predictivo negativo (VP-): Mide la probabilidad de que una persona que resultó negativa a la prueba realmente esté sana.

E+/Et x 100

S-/St x 100

P(E+/+) x 100

P(S-/-) x 100


En la sensibilidad y especificidad el condicionante es la realidad (enfermo o sano), mientras que el condicionado es el indicador, o sea van de la causa a la consecuencia; los valores predictivos van al revés, van del indicador hacia la realidad: Ejemplo

Prueba aceptada

+ - TOTAL

Enfermos 94 38 132

sanos 215 653 868

TOTAL 309 691 1000

Probabilidades diagnósticas en una muestra con 13,2% de enfermos


Prueba aceptada

+ - TOTAL

Enfermos 94 38 132

sanos 215 653 868

TOTAL 309 691 1000

Sens= P(+/E) .... 94/132= 0,712.. = 71,2%

Esp = P(-/S) .... 653/868= 0,752.. = 75,2%

VP+ = P(E/+) .... 94/309= 0,304.. = 30,4%

VP- = P(S/-) .... 653/691= 0,945.. = 94,5%

La sensibilidad y especificidad pueden ser universales (se pueden extrapolar de una población a otra), pero los valores predictivos dependen de la frecuencia de la enfermedad en la población de estudio


Ejemplo: Se estima que el 1% de la gente de cierto vecindario tiene TBC; una placa de rayos X de tórax es usada con la gente para prevenirla de la enfermedad. De experiencias anteriores se sabe que los rayos X tienen una sensibilidad de 99% y especificidad de 90%. a. Si la prueba a una persona resulta positiva, ¿cuál es la probabilidad de que

no tenga tuberculosis? b. Si la prueba resulta negativa , ¿Cuál es la probabilidad de que esté

enferma?

Distribución binomial

Marque la alternativa correcta. 1. Las variables cualitativas indican cualidades no medibles en números…( ) 2. Las variables continuas permiten datos en decimales… ( )

Si te proyectas en el acto de «champear» (adivinar) las respuestas a dos preguntas , tendrías las siguientes alternativas:

a. VV b. FF c. VF d. FV

La distribución binomial da las probabilidades de diferentes resultados de una serie de sucesos aleatorios, cada uno de los cuales puede tomar solamente uno de los dos valores.

Distribución binomial

La distribución binomial da las probabilidades de diferentes resultados de una serie de sucesos aleatorios, cada uno de los cuales puede tomar solamente uno o dos valores.

La distribución binomial nos permite describir y darnos las posibilidades de sucesos dicotómicos

Del ejemplo anterior, si tuviéramos 15 preguntas, las probabilidades de acertar a la respuesta correcta en forma ordenada de V o F llegan a 215 formas distintas

Sin embargo existe un método fácil llamado desarrollo binomial para calcular esto

Desarrollo binomial

Definamos términos:

En base a un planteamiento: Pueden existir hernias en columna lumbar por cada paciente que revisamos mediante resonancia magnética, ¿Cuál es la probabilidad de hallar 7 HNP en 10 evaluaciones con RMN?

n: es el número de intentos (10 en nuestro ejemplo) r: es el número de resultados favorables (7 en este caso) p: es la probabilidad de que tenga lugar el suceso que nos interesa en cada intento (en nuestro caso 0,5) q: es (1-p)

𝑛!

𝑟! 𝑛−𝑟 !pr.qn-r

Siendo n!: factorial de n

Es decir n!= n x (n-1)x (n-2)x…x 1

Desarrollo binomial

¿Cuál es la probabilidad de hallar 7 hernias lumbares en 10 pacientes?

𝑛!


10!

7! 10−7 !0,57.0,510-7

La probabilidad de hallar exactamente 7 HNP en 10 pacientes esta por debajo del 12% si escogemos los pacientes al azar.

= 0,1172

¿Y la probabilidad de hallar por lo menos 7 hernias lumbares en 10 pacientes?

8 de 10 = 0,0439 9 de 10 = 0,0098 10 de 10 = 0,0010

Si decimos «por lo menos 7», entonces quiere decir que es válido 8, 9, 10 hernias en las 10 resonancias de pacientes… necesitamos hallar la probabilidad acumulada de 7,8,9,10

Sumando los resultados obtenemos 17,09% Respuestas: Existe 11,72% de posibilidades de hallar 7 hernias por cada 10 paciente que evaluamos, y la posibilidad de 17% de hallar por lo menos 7 hernias en la misma cantidad de pacientes.

7 de 10= 0,1172 8 de 10= 0,0439 9 de 10= 0,0098 10 de 10= 0,0010

Desarrollo binomial ¿Y la probabilidad de hallar por lo menos 7 hernias en 10 pacientes?

Ahora, si tomamos en cuenta los antecedentes en revisiones literarias sobre las hernias en la población, alcanzan el 20%, ¿Cuál es la probabilidad de hallar 5 hernias en 15 pacientes?

n: 15 pacientes r: 5 pacientes p: 0,20 (prevalencia) q: es (1-p) = 0,80

𝑛!


= 0,1032

Desarrollo binomial

Ejemplo 02 ¿Cuál es la probabilidad de hallar 5 hernias en 15 pacientes? Considere los datos de prevalencia anterior

n: 15 pacientes r: 5 pacientes p: 0,20 (prevalencia) q: es (1-p) = 0,80

= 0,1032

Rpta: la probabilidad de hallar 5 hernias en 15 pacientes es del 10,32%

𝑛!


Propiedades de la distribución binomial

Las propiedades de una distribución binomial dependen de n y p (también de q). Entonces: Media= n.p Varianza= n.p.q D.E= 𝑛. 𝑝. 𝑞

Cuando aumentamos el valor de n (muestra ) manteniendo el valor de p, una gráfica puede parecerse más a una distribución normal. Para n=30, una figura (o curva) es idéntica a la normal

Propiedades de la distribución binomial

Si trabajamos con distribuciones binomiales con n igual o mayor que 30, podemos aproximar a una curva normal. Cuando p=0,5, podemos usar la curva normal a partir de n=10, pero cuando p se aleja de 0,5 se parece menos a la curva normal, por lo que debemos usar la curva normal sólo cuando n es por lo menos 30. En distribución normal se trabajan con variables continuas En distribución binomial se trabajan con variables discretas

De esto de deduce: Que en realidad el valor discreto 5, abarca los extremos continuos 4,5 -5,5

Teaching point

Aproximación de la distribución binomial a la normal

Representación de la distribución Binomial de parámetros: B (n;p) Representación de la distribución Normal de parámetros: N (𝜇; 𝜎)

Cuando “n” es grande, la distribución Binomial resulta laboriosa…Abraham de Moivre (1664-1754) demostró que bajo ciertas condiciones una distribución Binomial se puede aproximar a una distribución Normal de media: 𝜇 = n.p y desviación estándar (típica): 𝜎= 𝑛. 𝑝. 𝑞

𝑛!


B(n,p) ≅ N(n.p, 𝒏. 𝒑. 𝒒)


Al observar las gráficas de varias distribuciones binomiales se evidencia que a medida que aumenta el parámetro “n” , su gráfica se asemeja más a la gráfica de una distribución normal:

Una diferencia entre los gráficos normal y binomial es que la distribución binomial se va desplazando a la derecha a medida que aumenta “n”.


Para evitar esta desviación se corrige o ajustan ambas distribuciones restando a la variable la media y dividiéndola por la desviación estándar de la distribución binomial con la que trabaja:

La bondad de aproximación es mejor a medida que aumenta “n” (de preferencia mayor a 30)

y cuando p sea más próximo a 0,5

Si, n. p. ≥ 5 𝑦 𝑛. 𝑞 ≥ 5, entonces la aproximación es adecuada permitiéndonos calcular probabilidades con facilidad

𝑋 = 𝑥 − (𝑛. 𝑝)

𝑛. 𝑝. 𝑞 Z=

𝑿 − 𝑿

𝑺


Aplicando a nuestro ejemplo ¿Cuál es la probabilidad de hallar 5 hernias en 15 pacientes? Considerando una prevalencia de 20%.

Z=𝑿 − 𝑿

𝑺

Recordemos que 5 es discreto, pero de modo continuo sería representado por sus extremos: de 4,5 a 5.5 Debemos tipificar cada extremo de acuerdo a la fórmula

Media= n.p = 15x 0.20= 3 D.E= 𝑛. 𝑝. 𝑞= 15𝑥0.20𝑥0.80

Z0,45= 1,61 Z5,5= 0,97

Se calcula (tipifica) para X=4,5 y X=5,5

De acuerdo a la tabla Z, la diferencia entre ellos es 0,1123, que indica que la probabilidad de hallar 5 hernias en 15 pacientes es 11% aproximadamente. Considerando el p=20 y que n era menor a 30, la cifra es cercana a la calculada con la distribución binomial: 0,1032.


Conclusiones

- La probabilidad se puede determinar a través del método empírico o teórico

- La distribución binomial permite determinar probabilidades de variables que son dicotómicas

- Para muestras: n ≥ 30 , la curva de distribución binomial y normal expresan propiedades equivalentes

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