probabilidades
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PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
PROBABILIDADES
La probabilidad es la posibilidad numérica, medida entre 0 y 1, de que ocurra un evento.
A pesar de la difundida aplicación de los principios de la probabilidad, existe dos perspectivas para
asignar probabilidades: Los enfoques objetivo y subjetivo. La probabilidad objetiva se subdivide en:
a) Probabilidad clásica
b) Probabilidad empírica
PROBABILIDAD CLASICA
La probabilidad clásica parte del supuesto de que los resultados de un experimento son igualmente
posibles. El muslo clásico es el que se relaciona con mayor frecuencia con las apuestas y juegos de
azar. La probabilidad clásica de un evento E se determina mediante:
La probabilidad clásica implica la determinación de la probabilidad de algún evento a priori(antes
de hecho). Por tanto, antes de sacar una carta de una baraja de 52 cartas, se puede determinar que la
probabilidad de sacar una carta cualquiera es:
Al tirar un dado “equilibrado”, la probabilidad de obtener a) un dos y b) un tres, es:
El espacio muestral de tirar una moneda presenta dos resultados: caras y cruces. De ahí que, si los
dos resultados son igualmente probables( es decir, la moneda está “equilibrada” ), la probabilidad
de que caiga cara es
Y la probabilidad de que caiga cruz es
Si se saca una canica de una urna en la que haya 321, la probabilidad de obtener una cualquiera es
El enfoque clásico también se puede aplicar a eventos que comprenden dos o mas resultados. Por
ejemplo, se puede querer determinar la probabilidad de sacar una de las cuatro reinas de una mazo
de 52 cartas. En este y en casos semejantes es necesario identificar primeramente el número de
resultados “favorables”, y después dividir ese número entre el número total de resultados del
espacio muestral.
Si un evento es imposible, tiene una probabilidad O. en cambio, si un evento es cierto o seguro de
ocurrir, debe tener una probabilidad de 1, o bien, del 100%.
o
La interpretación de una probabilidad clásica, como 0.25 , es que si el experimento se repitiera un
gran numero de veces un evento que presenta una probabilidad de 0.25 ocurrirá casi el 25% de las
veces.
PROBABILIDADEMPIRICA
La probabilidad empírica o frecuencia relativa se basa en el número de veces que ocurre el evento
como proporción del número de intentos conocidos.
El modelo de frecuencia relativa utiliza datos que se han observado empíricamente, registra la
frecuencia con que ha ocurrido algún evento en el pasado y estima la probabilidad de que el evento
ocurra nuevamente con base en estos datos históricos.
Frecuencia Relativa
El enfoque empírico de la probabilidad se basa en la llamada ley de los grandes números. La clave
para determinar probabilidades de forma empírica consiste en que una mayor cantidad de
observaciones proporcionaran un cálculomás preciso de la probabilidad.
Ley de los grandes números: En una gran cantidad de intentos, la probabilidad empírica de un
evento se aproximara a su probabilidad real.
Un problema común con el modelo de frecuencia relativa resulta cuando se hacen estimaciones con
unos números insuficientes de observaciones.
La probabilidad empírica implica la determinación de la probabilidad de algún evento o posterior
(después del hecho).
Cuando se emplea el enfoque empírico, es importante tomar en cuenta los siguientes puntos:
1) La probabilidad obtenida de esa maneraa es unicamente una estimacion del valor real.
El solo hehco de tirar una moneda 10 veces y obtener cuatro caras no es garantia de que caeran
cuatro caras cada vez que se hagan 10 tiradas. De ahí que la prueba empirica generalmente no
nos proporciona una probabilidad exacta.
2) Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, tanto mejor sera la estimacion de la
probabilidad.
3) La probabilidad es propia de solo un conjunto de condiciones identicas a aquellas en las que
se obtuvieron los datos.
La validez de emplear el enfoque de frecuencia relativa depende de la “igualacion” de dos
conjuntos de condiciones.
EJEMPLO:
Un jugador de básquet, de 100 lanzamientos logro encestar 90. Si queremos saber la probabilidad
de que el jugador en el próximo lanzamiento logre encestar, entonces el modelo de frecuencia
relativa sirve para estimar dicha probabilidad.
Pasado
(Datos históricos)
EVENTO FRECUENCIA
Encestar(E) 90
Fallar(F) 100
n 100lanzamientos
FUTURO
No sabemos si el próximo lanzamiento el jugador encestara o fallara. Solo sabemos que hay dos
posibles resultados: encestar o fallar.
Si hacemos E: evento “jugador enceste”
y F: evento “jugador falle”
si las condiciones que se dieron en el pasado se mantuvieron en el futuro, entonces la frecuencia
relativa de algún evento, como el evento E, puede utilizarse como la probabilidad de que dicho
evento pueda ocurrir.
Si la frecuencia relativa se hubiese calculado en base a pocos lanzamientos, seria un riesgo aceptarla
como la probabilidad empírica de que el jugador enceste.
EJEMPLO
Si se tira la moneda, digamos 100 veces y cae cara 60, puede ser “razonable” estimar la
probabilidad de caras para futuros lanzamientos.
El enfoque empírico da una probabilidad aceptable cercana al valor real cuando se realiza un gran
número de ensayos. Generalmente no nos proporciona una probabilidad exacta.
EJEMPLO:
Se ha registro en el siguiente cuadro la venta diaria en un local comercial durante 100 días,
calificándonosle como buena, regular y mala de acuerdo al ingreso diario.
VENTA DIAIRIA
CLASIFICACION NUMERO DIAS FREC.RELATIVA
BUENA 65 65/100 =0.65
RGULAR 28 28/100 =0.28
MALA 7 7/100 = 0.07
100 1.00
¿Cuál será la probabilidad de que la venta en un día cualquiera sea buena?
P(Buena) = 0.65
Probabilidad Subjetiva
La probabilidad subjetiva es una evaluación personal de la posibilidad de q ocurra un evento son el
resultado de un esfuerzo por cuantificar nuestros sentimientos o creencias respecto a algo
Segunda extracción
Si la primaria es dietética si la primera bebida es normal
N=9 latas N=9 latas
B BB BBB
B BB P(A2/A1)= 2/9 A B A P(A2/B1) = 3/9
A B A B A B
1º Probabilidad conjunta P(A y B) Probabilidad de q A y B ocurran
P(A y B) = P(A) P(B) probabilidad conjunta para 2 intentos
Si los eventos A y B son independientes la probabilidad de q ambos ocurran es igual al producto de
sus probabilidades individuales o “marginales”
EJEMPLO. En el lanzamiento de dos dados la probabilidad de q ambos sean 3 es:
P(A y B) = P(A) P(B)
P(3 y 3) = p(3) P(3)
P(ambos ) = 1/6 * 1/6 = 1/36 1
1
2 2
A 3 P(A)=1/6 3 B P(B)=1/6
4 4
5 5
6 6
Ejemplo: una ánfora contiene 5 esferas amarillas y 3 esferas blancas. Se extrae una esfera del ánfora
y se repone. Otra esfera es extraída posteriormente. Encontrando las probabilidades de que
a) Ambas sean amarillas
b) La primera sea amarilla y la segunda blanca
c) La primera sea blanca y la segunda amarilla
d) Ambas sean blancas
Sea A; evento “obtener una esfera amarilla”
y B: evento “obtener una esfera blanca”
1º extracción 2º extracción
N=8 N=8
B A A ¿A o B ? B A B ¿A o B ?
B A AP(A1)=5/8 B A A P(A2)=5/8
B A
P(B1)=3/8 A A P(B2)=3/8
El resultado que ocurre en la primera extracción no tiene ningún efecto en la segunda por lo tanto
las respectivas probabilidades son:
a) P( A1 y A2 )= P(A1) * P(A2)= 5/8 * 5/8 = 25/64
b) P(A1 y B2 ) = P(A1) * P(B2)= 5/8 * 3/8 = 15/64
c) P(B1 y A2 ) = P(B1) * P(A2)= 3/8 * 5/8 = 15/64
d) P(B1 y B2 ) = P(B1) * P(B2)= 3/8 * 3/8 = 9/64
Asi mismo la probabilidad de q ocurran sucesivamente n eventos en n intentos independientes
P(A1 y A2 y…..An) = P(A1 A2 ……. An)
P(A1 y A2 y….An) = P(A1) P(A2) …..P(An)
2º Caso: eventos dependientes
P(A1 y B2) = P(A1) * P(B2/A1)
La probabilidad de dos eventos dependientes es igual a la probabilidad de un evento multiplicador
por la probabilidad condicional del otro.
EJERCICIOS DE PROBABILIDADES
Si se extrae al azar 2 cartas de una baraja ordinaria una a la vez con reemplazo. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener por lo menos un As?
EVENTO A: no obtener un As en la primera extracción
EVENTO B: no obtener un as en la segunda extracción
Si yo saco una carta de un mazo de carta. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 cartas en la que la
una muestre un As y la otro un rojo?
EVENTO A: Obtener un As
EVENTO B: Obtener una carta roja
Suponga que va a elegir de manera aleatoria un individuo entre una población de 130 personas en
esa población hay 40 niños menores de 12 años, 60 adolescentes y 30 adultos. ¿Cuál es las
probabilidades de que el individuo sea un adolescente o un adulto?
A: adolescentes=60
B: adulto=30
C: niños=40
P(A o B)= P(A)+P(B)
Son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos
Suponga que lanzamos una sola vez un par de dados no cargado. ¿Cuál es la probabilidad de
obtener 2 en el primer dado y cuatro en el segundo.
A: Obtener un dos en el primer dado
B: Obtener un cuatro en el segundo dado
Son independientes
Suponga que usted extrae una muestra aleatoria de una bolsa de fruta. La bolsa contiene 4
manzanas, 6 naranjas y 5 duraznos. Si seleccionamos2 frutas una vez con reemplazo. ¿Cuál es
la probabilidad de obtener una naranja y una manzana en ese orden?
P(A)= Obtener naranja
P(B)= Obtener manzana
DIAGRAMA DE ARBOL
Cada vendedor de PROMOVIX las etapas del problema como “abajo promedio”, “promedio” o
“arriba del promedio” con respecto a su actitud para las ventas, además cada uno se clasifica
respecto a su posibilidad de promoción en regular, buena o excelente. En la tabla se presenta las
clasificaciones de estos conceptos para 500 vendedores
Habilidad en Ventas
D
(Regular)
E
(Buena)
F
(Excelente)
Total
A Debajo del promedio 16 12 22 50
B Promedio 45 60 45 150
C Por arriba del promedio 93 72 135 300
Total 154 144 202 500
COMBINATORIA La combinatoria analiza todo tipo de posibilidades al momento de considerar la cantidad de
opciones posibles en un conjunto finito de objetos. Tiene en cuenta la repetición posible de los
mismos, y la no repetición, al igual que los intercambios de posiciones de los elementos con
respecto a su ubicación y orden específicos. Estos tipos de operaciones se denominan Variaciones,
combinaciones y permutaciones
Resuelve problemas que aparecen al estudiar y cuantificar las diferentes agrupaciones
(ordenaciones, colecciones,...) que podemos formar con los elementos de un conjunto.
Analicemos entre 1, 2, 3, 4 determinar el número de dígitos posibles.
2 12 3 13 4 14
1
1 21 3 23 4 24 1 31
2 32 4 34
2
3
PRINCIPIO DE CONTEO
4 x 3 = 12
Un edificio tiene 7 puertas de acceso. De cuantas formas puede ingresar una persona al edificio
y salir de el por una puerta distinta a la que ingreso.
7 x 6 =42
Determinar de cuantas maneras distintas se puede ordenar 3 libros de matemática y 3 de física
en un anaquel que tiene espacio para 6 libros. a.) si los libros de la misma asignatura deben
quedar juntos. b.)los de matemáticas deben quedar juntos pero los de física puede colocarse en
cualquier lugar.
3 .2 .1 .3 .2 .1
3 .2 .1 .3 .2 .1
Cuantas distribuciones distintas , cada una consistentes en 4 letras
se pueden formar con la letra de la palabra “personal” para que cada distribución empiece y termine
con una vocal
“PERSONAL”
3 .6 .5 .2 = 180
FACTORIAL
PERMUTACIONES
El caso particular de variaciones de n elementos tomados en grupos de r, en el que n = r se
denomina permutación. Cada agrupación difiere de las restantes sólo en el orden de colocación de
los elementos, y en cada grupo intervienen todos los elementos del conjunto
M
M
M
F
F
F
F
F
F
M
M
M
1 41 2 42 3 43
4
COMBINACION
Las agrupaciones combinatorias denominadas combinaciones son las que se obtienen al seleccionar
de un conjunto de n elementos grupos de r, de tal forma que cada grupo es diferente de los demás si,
y sólo si, contiene algún elemento diferente, sea cual sea su orden de colocación en el grupo.
El número de combinaciones ordinarias (sin repetición) que se pueden formar con n elementos
tomados de r en r se calcula a partir de la siguiente fórmula:
EJEMPLOS
En cuantas formas puede un jurado otorgar el primero, segundo, tercero entre 12 concursantes. b.)en
cuantas formas se puede seleccionar los puestos de presidente, secretaria, tesorero de un club de 12
miembros de manera que ninguno de ellos sea elegido para más de un puesto.
n=12
r=3
Se va a seleccionar un comité senatorio formado por 7 miembros conservadores y 4 liberales en
cuantas diferentes formas se puede formar un comité que tenga 3 observadores y 2 liberales.
n=7 n=4
r=3 r=2
DISTRIBUCION PROBABILISTICAS
Cuando se analiza un experimento aleatorio, se descubren factores de comportamiento de la
probabilidad que siguen modelos propios y distintivos. Por ello, es frecuente asociar a estos
experimentos una «función de probabilidad», que puede adoptar diversas formas y regirse por
principios diferentes y cuyo estudio arroja luz sobre la naturaleza y las características del fenómeno
físico o social ligado al experimento
Ejemplo
x 1 2 3
0
1
1
2
1
2
2
3
S
S
S
S
C
C
C
C
S
S
C
C
S
S
C
C
S
C
S
C
S
C
S
C
Variables aleatorias
En un experimento aleatorio cabe definir una aplicación que asigne a cada suceso
estocástico del espacio muestral un cierto número. Esta aplicación recibe el nombre de variable
aleatoria, y el conjunto de valores que puede asumir una variable aleatoria es su recorrido. Según el
número de elementos del recorrido, se distinguen dos tipos de variables aleatorias:
Variable aleatoria continua, de recorrido infinito, donde el número al que se hace
corresponder la aplicación pertenece al conjunto de los números reales R.
Variable aleatoria discreta, que produce como resultado un número finito de valores
predeterminados, por lo que su recorrido es finito
MEDIA ARITMETICA DE UNA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
La media aritmética se define como la suma del producto de cada valor de la variable aleatoria
considerada por su probabilidad.
MEDIA ARITMETICA
VARIANZA
DESVIACION ESTANDAR
Ejemplo:
Se seleccionó al azar un grupo de 3 personas de una muestra de 10 que incluye a 4 menores de
edad. Interesa conocer de estos últimos en el grupo.
a) Cuáles son los valores posibles de esta variable aleatoria
b) Determine la distribución probabilísticas de esta variable
c) Cuál es la probabilidad de que haya: exactamente un menor de edad, por lo menos uno, 2 o
más.
x: número de menores de edad
6 mayores de edad
4 menores de edad
(x) frecuencia P(x)
0 1 0.125
1 3 0.375
2 3 0.375
3 1 0.125
8 1
6C3*4C0=20
6C2*4C1=60
6C1*4C2=36
6C0*4C3=4
10C3=
DISTRIBUCION PROBABILISTICA BINOMIAL
Una forma corriente de descripción de los experimentos aleatorios equiprobables con variable
discreta es la distribución binomial. En este tipo de distribución se estudia la probabilidad de que se
produzca un cierto resultado, que se describe por medio de dos parámetros: el número de
repeticiones realizadas del experimento y la probabilidad individual del suceso aleatorio que se
persigue como resultado.
Condiciones para una distribución binomial
Una distribución se denomina binomial cuando se cumplen las condiciones siguientes:
El experimento aleatorio de base se repite n veces, y todos los resultados obtenidos son
mutuamente independientes.
En cada prueba se tiene una misma probabilidad de éxito (suceso A), expresada por p.
Asimismo, existe en cada prueba una misma probabilidad de fracaso (suceso ), que es igual a q =
1 - p.
El objetivo de la distribución binomial es conocer la probabilidad de que se produzca un cierto
número de éxitos. La variable aleatoria X, que indica el número de veces que aparece el suceso A
(éxito), es discreta, y su recorrido es el conjunto {0, 1, 2, 3)
n=número total de los elementos de la población
x=número de éxitos
π=es la probabilidad de un éxito
EJERCICIOS
Un estudio reciente de los vigilantes de la comisión de tránsito de una ciudad revelo que el 60%
de los conductores en esa ciudad se coloca el cinturón de seguridad al manejar. Se selecciona
una muestra de 10 conductores en una carretera de esa ciudad.
a. Cuál es la probabilidad de que exactamente 7 conductores lleven puesto el cinturón de
seguridad.
b. Cuál es la probabilidad de que 7 o menos de los conductores lo lleven puestos
n=10 π=0.6
a.) x=7
x Probabilidad
0 0.167
1 0.5
2 0.3
3 0.033
1
Un 10% de los empleados de producción de una fábrica de cemento están ausentes de trabajo en
u n determinado día. Suponga que se selecciona al azar 10 trabajadores de producción para un
estudio riguroso de ausentismo.
a. ¿Cuál es la variable aleatoria?
b. Tal variable es discreta o continua
c. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los 10 empleados seleccionado esté
ausente?
Variable aleatoria: número de empleados ausentes
Variable discreta
n=10 π=0.1 x=0
En un estudio reciente se halló que el 90 por ciento de los casos de una ciudad tienen problemas
estructurales. En una muestra de 9 viviendas cual es la probabilidad de que:
a) Las 9 tengan defecto en su estructura, b) Menos de 5 posean dicho problemas, c) Mas de 5
tengan problemas en su estructura, d) Por lo menos 7 en las casas tengan problemas
n=9
π=0.9
a) 0.387
b) P(x≤5‖ n=9^π=0.9)=0.001
c) 0.045+0.172+0.387+0.387=0.991
d) P(x≥7‖ n=9^π=0.9)=0.946
DISTRIBUCION PROBABILISTICAS HIPERGEOMETRICA
Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes características:
a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados.
b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.
c) Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás.
d) El número de repeticiones del experimento (n) es constante
N=representa el tamaño de la población
S=es la cantidad de éxitos en la misma
x= representa el número de éxitos que interesa
n=representa el tamaño de la muestra
C= es el símbolo de la combinación
EJEMPLOS
Una población costa de 10 artículos 6 d4 los cuales están defectuosos, se seleccionan una muestra
de 3.¿cuál es la probabilidad de que exactamente 2 tengan defectos ?
N=10
S=6 P(2)=
N=3
X=2
DISTRIBUCIÓN PROBABILÍSTICA DE POISSON
La distribución de probabilidad de Poisson es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta.
La distribución de Poissonparte de la distribución binomial. Cuando en una distribución binomial se
realiza el experimento muchas veces, la muestra n es grande y la probabilidad de éxito p en cada
ensayo es baja, es aquí donde aplica el modelo de distribución de Poisson.
P(x)= º
En esta distribucion π es muy pequeña aproximación y n es muy grande
e =2.7182
EJEMPLOS
la gerente de un banco está encargada de los préstamos con bases en sus añosa de experiencia que
estima que la probabilidad de un solicitante no sea capaz de pagar con préstamos es de 0.025 es
más pesado realizo 40 préstamo a) Cuál es la probabilidad que 3 préstamos no sean pagados
oportunamente b) cual es la probabilidad de que por lo menos 3 préstamos no se liquiden a tiempo.
n= 40
π=0.025
a)
u=nπ=40x0.025=1
p(x=3)= =0.0613
b)
P(x≥3)=1- P(x≥3)=1-[P(X=0)]+P(X=1)+P(X=2)
P(X=0)=
P(X=1)=
P(X=2)=
P(X 3)=1-0.3679-0.3679-0.1839=0.0803
Se estima que el 0.5% de las llamadas telefónicas a un departamento de facturación reciben la
señal de ocupado ¿Cuál es la probabilidad de que las 1200 llamadas del día de hoy 5 hayan
recibido dicha señal.
n=1200
π=0.5%=0.005
u=n.π=1200X0.005=6
P(X≥5^U=6)=1-P(X<5)= 1-[P(X=0)]+P(X=1)+P(X=2)+ P(X=3)+ P(X=4)
=1-0.0025-0.0149-0.0446-0.0892-0.1339=0.7149
El gerente de personal de una empresa estudia el número de accidentes en el trabajo ocurra en 1 mes
elaborado la siguiente distribución probabilística
Determinar la media aritmética, la varianza y la desviación estándar en dicho periodo
µ=∑
[ .P(X)]-
=3.5x-( =1.81
= = 1.345
Se elabora una pasta dental con un nuevo sabor y se le dio a probar a un grupo de10 personas, 6 de
ellas afirman que les gusta el nuevo sabor y los 4 restantes opinan que no les gusta el nuevo sabor,
se seleccionan4 de las 10 personas para que participen en una nueva entrevista prolongada.¿cuál es
la probabilidad de que los mismos seleccionen para la entrevista a 2 que les guste el nuevo sabor o
no
N=10
s=6
n=4
x=2
X
Nº de accidentes
P(X)
Probabilidad
X.P(X) P(X)
0 0.40 0 0
1 0.20 0.20 0.20
2 0.20 0.40 0.8
3 0.10 0.3 0.9
4 0.10 0.4 1.6
∑=1.3 ∑=3.5
Las ventas de automóviles LEXUS en un área de EE.UU sigue la distribución de POISSON con una
media de 3 x día. a.) cual esla probabilidad de que ninguno se venda en un día especifico. b.) cual
es la probabilidad de que durante 5 días consecutivos se venda al menos 1 auto de esa marca.
U=3
X=0
b.)
u=3
P(x=1)=1-0.0498=0.9502