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PSI-2221 – PRÁTICAS DE ELETRICIDADE E ELETRÔNIC A I
Experiência 11 – Conceitos de Impedância e Admitância
Edição 2014
I.S./01 VHN/04/05/06
MTMS/07/09/10 MDM/09/10
DC/09
1 – Objetivos
• Apresentar os conceitos de impedância e admitância.
• Realizar medidas de defasagem.
• Medir a impedância de componentes discretos.
• Verificar a variação da impedância com a frequência.
• Usar essa variação para alterar sinais: filtragem e resposta em frequência.
2 – Definições e Fórmulas
2.1 – Impedância e Admitância Complexas
Em corrente contínua, CC, a resistência de um dispositivo linear de dois terminais é
definida como a relação entre a tensão sobre o dispositivo e a corrente que o atravessa, de
acordo com a lei de Ohm R = V / I. Essa quantidade é chamada de resistência CC, denotada
como RCC. Em corrente alternada (sinais senoidais), CA, a relação entre tensão e corrente
deve ser feita usando fasores e resulta, em geral, um número complexo. O equivalente CA da
lei de Ohm na representação cartesiana é $ $V I Z R jX= = + , sendo que Z é chamada de
impedância do dispositivo e $V e $I são os fasores da tensão e da corrente em seus terminais,
respectivamente. A parte real R é o componente resistivo ou dissipativo da impedância
(algumas vezes escrito como Rca). A parte imaginária X é o componente reativo da
impedância, também chamado de reatância e representa a parte de armazenamento de energia
da impedância. Ambas quantidades R e X são função da frequência. Em CC, X é igual a
zero ou infinito.
A recíproca da resistência em CC é a condutância em CC, e a recíproca da impedância
é chamada admitância, Y. A admitância é também uma grandeza complexa e tem uma parte
real chamada de componente condutivo, G, e uma parte imaginária chamada de componente
2
susceptivo, ou susceptância, B. Note que G e B não são os recíprocos de R e X,
respectivamente, pois:
2 2 2 2
1 1 R XY G jB j .
Z R jX R X R X= + = = = −
+ + + (1)
Como todas as grandezas envolvidas dependem da frequência, um dado valor de
qualquer uma delas não terá sua especificação completa a menos que a frequência da medida
seja conhecida.
2.2 – Forma Polar
A impedância pode ser dada nas formas cartesiana e polar; as relações entre essas
representações são:
θθθ je ) jsen cos ( Z jXRZ Z=+=+= , (2)
em que a magnitude da impedância é dada por Z R X2 2= + e a fase da impedância por
θ = arctan(X,R).
A representação na forma polar será útil para introduzirmos aspectos práticos relativos
às definições apresentadas. A uma dada frequência, suponha que um dado dispositivo
apresente uma impedância genérica Z Z ej= θ . Dessa representação, temos que os fasores
da tensão e da corrente aplicadas ao dispositivo obedecem a $ $V I Z e j= θ . Note que, $V
e $I são grandezas complexas: jˆ ˆV V e α= e $ $I I e j= β . Essas igualdades nos
dizem, em sua representação fasorial [1] que, para sinais senoidais e a uma determinada
frequência f, o sinal de tensão vale ) tf 2cos(V v(t) απ += e o sinal de corrente vale
) t f 2 ( cos I i(t) βπ += . Dessa forma,
ZV
I=
$
$ e θ α β= − . (3)
Isto é, a magnitude da impedância pode ser obtida pela razão entre os valores da amplitude da
tensão e da corrente senoidais sobre o dispositivo, e a fase da impedância é obtida pela
medida de defasagem entre os sinais senoidais de tensão e de corrente no dispositivo. O
Problema 1 a seguir ilustra o que foi dito.
3
Problema 1: Determine o valor da impedância do dispositivo cujas formas de onda de
tensão e de corrente medidas são dadas pela Figura 1.
Figura 1 – Tensão e corrente, em função do tempo, em um dispositivo
Analisando a Figura 1, vemos que os sinais têm período de 1 ms, correspondendo a
uma frequência f = 1 kHz, a frequência de medida. Temos também que:
-j 3ˆv (t) 2 cos (2 f t - /3 ) V 2 e ππ π= ⇒ =
2-j e 0,0015 I ) 2 - t f (2 cos 0,0015 (t) i πππ =⇒=
Portanto, em 1 kHz,
2
Z 13330,0015
= ≅ Ω e 6
2
- - 3
- πππθ =
= rad.
Note que nesse problema o sinal de tensão v (t) cruza o zero antes do sinal de corrente
i(t) e portanto, a tensão está adiantada em relação à corrente. Essa informação é importante e
nos diz que o dispositivo apresenta características indutivas. Sabemos que um indutor ideal
com indutância L possui impedância ( reatância ) Z j f L f LeLj o
= =2 2 90π π .
Caso v (t) estivesse atrasado em relação a i (t) o dispositivo teria características
capacitivas. Sabemos também que um capacitor ideal, com capacitância C, apresenta
impedância ( reatância ) o-j90 -1-1
C e ) C f 2 ( ) C f 2 (j Z ππ == . Quando v (t) está em fase
com i (t) o dispositivo é resistivo.
4
O Problema 1 sugere que com um voltímetro, um amperímetro e um osciloscópio
(para medir a defasagem entre os sinais de tensão e de corrente) poderemos determinar a
impedância de um dado dispositivo. Existem várias técnicas de medição de impedâncias que
prescindem do uso de um osciloscópio, como por exemplo [ 3, 4, 5 ]:
• método dos três voltímetros,
• método do wattímetro,
• pontes de impedância ( Wheatstone, Maxwell, Hay, Wien, Schering, etc. ).
2.3 – Resposta em frequência
Se um circuito linear for alimentado com um sinal senoidal, em regime permanente,
sua saída também será um sinal senoidal com a mesma frequência da entrada, mas poderá ter
a amplitude e a fase alteradas. O efeito que um circuito tem sobre a amplitude e a fase do sinal
senoidal de entrada para cada frequência é denominado resposta em frequência. Ela é definida
como a razão entre o fasor do sinal senoidal de saída e o fasor do sinal senoidal de entrada em
função da frequência ω. Por exemplo, considere o circuito da Figura 2.
Figura 2 – Uso da variação de uma impedância para alterar sinais.
Se a tensão de entrada eg(t) for senoidal, a tensão de saída v1(t) em regime permanente
também será senoidal, e seu fasor será dado por
A resposta em frequência desse circuito será
sendo seu módulo dado por
1 ( )
( ) . (5)ˆ ( )
g
V Z jG j
R Z jE
ωω
ω= =
+
v1(t)
A
eg(t)
R
B
i(t)
Impedância Z(jω)
~
^
1 ( )( ) = , (4)
ˆ ( )g
V Z jG j
R Z jE
ωωω
=+
1
( )ˆ ˆ .( ) g
Z jV E
R Z j
ωω
=+
5
É importante observar que como a entrada e a saída desse circuito são tensões, o
módulo da resposta em frequência é adimensional. Caso a entrada fosse uma corrente e a
saída fosse uma tensão, o módulo teria dimensão de impedância (Ω , no Sistema Internacional
de Unidades). É comum representar a resposta em frequência de um circuito graficamente,
exibindo separadamente os gráficos do módulo e da fase de ( )G jω em função da frequência.
Note que como ( )Z jω depende da frequência, tanto a amplitude quanto a fase de 1V
irão variar se a frequência do sinal de entrada eg(t) variar, mesmo que o fasor Êg permaneça
constante. Essa dependência pode ser usada para alterar sinais de maneira controlada. O
interesse dessa observação aparece quando a tensão eg(t) deixa de ser uma simples senóide
como é ilustrado no Problema 2 a seguir.
Problema 2: Suponha que você precise construir um oscilador senoidal, ou seja, um
circuito que tenha como saída uma tensão senoidal de uma certa frequência. É fácil
construir um oscilador que gere uma onda quadrada usando poucos circuitos integrados
de baixo custo. Mas como obter uma onda senoidal a partir de uma onda quadrada?
Para resolver esse problema, deve-se notar que um sinal periódico s(t) qualquer, com
período T, é igual a uma soma de senóides, ou seja,
0 1 1 2 2 3 3
2 2 2( ) cos cos 2 cos 3 (6)s t A A t A t A t
T T T
π π πϕ ϕ ϕ = + + + + + + +
L
Cada função periódica terá seus próprios valores para An, ϕn e T. Conhecendo esses valores,
pode-se descobrir informações que não são aparentes no gráfico de s(t). Essa representação de
um sinal periódico como uma somatória de co-senos é chamada Série de Fourier.
A somatória que descreve ( )s t é composta de parcelas com frequências angulares
iguais a 0, 2π/T, 4π/T, 6π/T, ... Cada parcela é uma harmônica do sinal ( )s t . A parcela
constante A0 é denominada componente contínua, a parcela com frequência igual à do sinal
(ou seja,
+ 11
2cos ϕπ
T
tA ) é chamada componente fundamental ou primeira harmônica de
s(t), a parcela correspondente ao dobro da frequência é a segunda harmônica, e assim por
diante. A frequência do sinal é f0=1/T em hertz ou ω0=2π/T em radianos/segundo.
A série de Fourier mostra que uma tensão ( )qe t em forma de onda quadrada com
amplitude A (valor pico-a-pico) como a da Figura 3 (a) é composta pela soma de infinitas
senóides, como mostra a expressão seguinte
6
1
2 2 2 2 2 2( ) sen sen 3 sen 5
3 5
2 1 2 (2 1) sen . (7)
2 1
q
k
A A Ae t t t t
T T T
A kt
k T
π π ππ π π
ππ
∞
=
= + + +
− = − ∑
L
Na expressão (7), o número da harmônica é n = 2k – 1. Para a onda quadrada, todas as
harmônicas pares (frequências 2f0, 4f0, 6f0, ...) são nulas. Por isso, a somatória contém só as
harmônicas ímpares.
Construindo um circuito cuja resposta em frequência tenha ganho muito pequeno para
todas as harmônicas, exceto para a fundamental e colocando uma onda quadrada eq(t) em sua
entrada, você terá uma onda senoidal ( )se t na saída1! Isso será verificado na parte prática, no
item 3.3.1.
Cabe observar que uma onda senoidal na saída do circuito também pode ser obtida
quando ele é alimentado com uma onda triangular. Isso acontece pois a série de Fourier da
onda triangular é similar à da onda quadrada. Uma onda triangular ( )te t com amplitude A
(valor pico-a-pico) como a da Figura 3 (b) tem série de Fourier dada por
2 2
1
2 21
4 2 (2 1) 4 2( ) sen sen 3
9
4 ( 1) 2 (2 1) sen . (8)
(2 1)
t
k
k
A k Ae t t t
T T
A kt
k T
π ππ π
ππ
−∞
=
− = − +
− − = − ∑
L
Note que como acontece com a onda quadrada, todas as harmônicas pares da onda triangular
(frequências 2f0, 4f0, 6f0, ...) são nulas.
As Figuras 4 e 5 mostram a soma dos 2, 3 e 10 primeiros termos das expressões (7) e
(8) para a onda quadrada e a onda triangular, respectivamente.
Figura 3 – Ondas quadrada (a) e triangular (b).
1 Note que essa não é a maneira mais eficiente de se gerar uma onda senoidal e foi usada aqui para efeitos didáticos.
a) b)
A / 2 A / 2
− A / 2 − A / 2
7
Figura 4 – Formação de uma onda quadrada a partir de suas harmônicas com 2A = .
Somando as senóides indicadas nos gráficos à esquerda, obtêm-se os gráficos à direita. Note
que todas as harmônicas pares são nulas neste caso.
8
Figura 5 – Formação de uma onda triangular a partir de suas harmônicas com 2A = .
Somando as senóides indicadas nos gráficos à esquerda, obtêm-se os gráficos à direita. Note
que também para a onda triangular, todas as harmônicas pares são nulas.
9
Como explicado anteriormente, o fato da impedância ser em geral dependente da
frequência (senoidal) pode ser usado para alterar sinais de maneira controlada. Essa alteração
é chamada de filtragem. Para ilustrar isso, suponha que um circuito ressonante com frequência
de ressonância 0 0f 1/ / 2T ω π= = seja alimentado por um gerador de corrente que fornece
uma onda quadrada ( )qi t com valor de pico-a-pico A e frequência f0, como mostrado na
Figura 6. Como o circuito ressonante “responde” bem para sinais senoidais de frequências
próximas a f0 e atenua sinais senoidais de frequências diferentes de f0, o sinal de saída será
aproximadamente um sinal senoidal de frequência f0. Esse fato pode ser entendido, ao se
considerar a série de Fourier da onda quadrada dada pela expressão (7), como ilustra a Figura
7. A resposta em frequência do circuito na frequência f0 é maior que nas demais frequências, o
que faz com que o componente da série de Fourier da onda quadrada na frequência
fundamental f0 se sobressaia em relação aos demais. Dessa forma, a série de Fourier do sinal
de saída do circuito é aproximadamente composta pelo componente da fundamental da onda
quadrada multiplicado pelo ganho da resposta em frequência do circuito em ω0, ou seja,
( )1 1 0v (t) sen tB ω≈ , (9)
sendo ( ) ( )1 0 1 0
2.
AB G j A G jω ω
π= =
Observe que a frequência da onda quadrada poderá ser diferente da frequência de
ressonância f0 do circuito. Neste caso, o circuito ressonante “filtrará”, isto é, deixará passar
apenas a(s) harmônica(s) do sinal de entrada que estiver(em) próxima(s) a f0 e a forma de
onda da saída continuará sendo aproximadamente uma senóide.
Figura 6 – Circuito ressonante alimentado com uma onda quadrada com frequência igual à
frequência de ressonância ω0.
T
qi (t)
t / 2A
/ 2A−
1v (t)
T
1v (t)
t
1B−
1B
0ω
|G(j )|ω
ω
Circuito ressonante
10
Figura 7 – Circuito ressonante alimentado com uma onda quadrada com frequência igual à
frequência de ressonância ω0; representação das séries de Fourier (SF) da entrada e da saída.
3 – Parte Prática
Toda a parte prática da experiência será baseada no esquema elétrico da Figura 8 e o
procedimento experimental para a determinação do valor da impedância será fundamentado
na solução do Problema 1 da página 3. O dispositivo para o qual desejamos determinar o
valor da impedância aparece com a denominação “Carga” e poderá ser apenas um resistor ou
uma combinação de componentes passivos ( resistores, indutores, e/ou capacitores ).
A frequência da medida será definida pelo gerador de sinais senoidais, Eca (que possui
resistência interna de 50Ω). A função da resistência Rs é de fornecer ao canal 2 do
osciloscópio um sinal proporcional e em fase com a corrente elétrica i(t) que atravessa a
carga, desde que o canal 2 do osciloscópio esteja invertido, já que 2 sv R = - i(t) devido à
convenção do gerador.
Usaremos nesta experiência um gerador de funções, cuja saída tem normalmente um
terminal aterrado através da tomada. Esse gerador será conectado então à rede através de um
transformador de isolação que tem relação de espiras 1:1. O primário é ligado à rede de
alimentação e o secundário tem os dois terminais flutuando, isto é, nenhum está aterrado. Ao
se conectar a tomada do gerador ao secundário do transformador, sua saída estará flutuante.
Dessa forma, o sinal de saída do gerador não estará aterrado. O ponto de terra do circuito será
definido pelo terminal de terra da ponta de prova do osciloscópio (que poderá ser qualquer
ponto de conexão da placa didática, e não necessariamente os pontos “GND” e “ T1” ).
O canal 1 do osciloscópio apresenta a forma de onda da tensão v1(t) sobre a carga.
Portanto, da tela do osciloscópio poderemos obter os valores desejados: valor pico-a-pico da
0ω
|G(j )|ω
ω
Circuito ressonante
0/ω ω
2A
π
1 3 5 7
SF de qi (t)
qi (t)
1 3 5 7
SF de 1v (t)
0/ω ω
1v (t)
1B
11
tensão, V1pp , amplitude pico-a-pico da corrente, Ipp, (vamos usar valores pico-a-pico, que são
mais fáceis de serem medidos no osciloscópio), e a defasagem entre tensão e corrente θ,
permitindo o cálculo da impedância na frequência da medida.
Sabendo que um um sinal senoidal de amplitude A tem valor eficaz A / 2 (veja
experiência 5), o valor fornecido pelo amperímetro “A” na Figura 8 corresponde ao valor
eficaz da corrente elétrica através da carga, que é dado por $I 2 . Esse valor também
pode ser obtido através de manipulação matemática com o valor pico-a-pico do sinal no canal
2 do osciloscópio, V2pp , e o valor de Rs, ou seja,
s
2ppmax R 2
V I I == ⇒ Leitura do amperímetro = 2ppmax
s
VI
2 2 2 R= .
Figura 8 – Esquema elétrico do circuito básico
Nas seções seguintes estudaremos o comportamento do circuito elétrico da Figura 8
para carga resistiva e carga ressonante. A carga ressonante será constituída por um indutor e
um capacitor em paralelo. Atente que os valores dos componentes a serem utilizados
encontram-se definidos na Seção 4.
As tabelas 2 e 7 do relatório deverão ser preenchidas com valores medidos e
calculados, em que
f : frequência do sinal senoidal,
V1pp : tensão pico-a-pico no canal 1,
V2pp : tensão pico-a-pico no canal 2,
A : corrente lida no amperímetro,
$ maxV V= 1 : amplitude da tensão na carga,
$ maxI V R s= 2 : amplitude da corrente na carga,
Z = $ $V I : magnitude da impedância da carga,
θ : defasagem entre sinal de tensão e corrente na carga.
50Ω v1(t)
A
A
Eca
Rs
B
i(t)
carga
Osciloscópio
1 2
v2(t) ~
Resistência interna do gerador
12
A frequência f pode ser obtida do osciloscópio ou lida no painel do amperímetro.
V1pp e V2pp podem ser medidos diretamente no osciloscópio. O parâmetro θ, como visto no
Problema 1, é a fase da impedância da carga e corresponde à defasagem entre os sinais de
tensão e de corrente na carga. Esse parâmetro pode ser facilmente obtido da representação
desses sinais na tela do osciloscópio por
o360 T
t )( ∆±=θ , em graus (10)
ou πθ 2 T
t )( ∆±= , em radianos (11)
sendo que T = 1/f é o período dos sinais em segundos e ∆t é o atraso, em segundos, entre
os sinais ( 0 ≤ ∆t ≤ T/2 ). Se o sinal de tensão estiver adiantado em relação ao sinal de
corrente, a carga será indutiva e θ > 0. Em contrapatida, se o sinal de tensão estiver atrasado
em relação ao sinal de corrente, a carga será capacitiva e θ < 0. Na Figura 9, o sinal v(t)
está adiantado de ∆t = 83,3 µs em relação ao sinal i(t). Como ambos os sinais têm T = 1
ms, utilizando as expressões (10) e (11) resulta θ = + 30o ou π /6 rad.
Figura 9 - Diferença ∆t entre dois sinais de período T
13
3.1 – Procedimento para carga resistiva
Antes de montar o circuito da Figura 10, meça com o multímetro o valor da
resistência da carga R e da resistência Rs1 e preencha a Tabela 1 do relatório.
Agora, monte o circuito esquematizado na Figura 10 (lembre-se de inverter o canal 2
para fazer corretamente as medidas de fase). Ajuste o gerador de sinais para fornecer entre
os nós A e B uma tensão senoidal de 4 V pico-a-pico (com a carga já conectada ao
circuito) com frequência f = 1 kHz. Para fazer essa medida, troque momentaneamente o
terra do osciloscópio para o ponto A e faça a medida com o canal 1. Não se esqueça de voltar
a(s) garra(s) de terra para o ponto indicado na Figura 10. Obtenha os sinais na tela do
osciloscópio, os quais deverão estar estáveis. Para diminuir a influência de ruídos, recomenda-
se que o recurso de cálculo de médias dos sinais mostrados na tela do osciloscópio seja
ativado. Faz-se isso através da tecla “ACQUIRE” e da escolha dos menus “Média” e
“Médias = 128”. Utilize acoplamento CA. Nota: Ao se usar o recurso “AUTOSET ” do
osciloscópio, o equipamento desabilita a inversão do canal 2.
Figura 10 – Circuito com carga resistiva
Preencha a Tabela 2 do relatório com os valores medidos e calculados para os valores
de frequência já indicados na tabela e interprete os resultados.
3.2 – Procedimento para carga ressonante
A carga ressonante será composta pela associação em paralelo de uma bobina e um
capacitor. Antes de montar o circuito da Figura 11, meça com o multímetro o valor da
resistência Rs2, o valor da capaciância C e preencha a Tabela 5 do relatório. O indutor tem
valor nominal de L = 600 µH e pode ser medido com um medidor de impedâncias, com o
professor.
50Ω
A
A
Eca
Rs1=47Ω
B Osciloscópio
1 2
~ R
Resistência interna do gerador
v1(t)
v2(t)
14
Agora, monte o circuito esquematizado na Figura 11. Ajuste o gerador de sinais para
fornecer uma tensão senoidal com aproximadamente 15V pico-a-pico, com frequência
-10 ) C L 2 ( f π= . Como você já pôde comparar as medidas do amperímetro com as do
osciloscópio no item 3.1, não usaremos mais o amperímetro. Use agora um resistor
Rs2 =10kΩ para medir a corrente. Nesse item, use o canal 2 para controlar o disparo do
osciloscópio (botão TRIGGER, opção – à esquerda – Origem: CH2).
Antes de mais nada, meça o valor pico-a-pico VBA da tensão do gerador VBA(t),
mudando a posição do terra, como feito no item 3.1. Cuidado para não deixar os terras das
pontas de prova em lugares diferentes do circuito (se fizer isto, você vai estar curto-
circuitando o trecho do circuito entre as duas garras de terra).
Figura 11 – Circuito para carga ressonante
Preencha a Tabela 6 do relatório com os valores de f0, f1 e f2, sendo f1 a frequência
para a qual a defasagem entre os sinais de tensão e de corrente na carga é nula e f2 a
frequência em que a amplitude V1pp é máxima. Em f1, meça também os valores da tensão
pico-a-pico dos canais 1 e 2 do osciloscópio e calcule a relação $V / $I . Em seguida,
preencha a Tabela 7 do relatório com os valores medidos e calculados para as frequências já
indicadas na tabela e interprete os resultados.
Depois de feitas as medidas e os cálculos, trace na grade milimetrada do Gráfico 1 a
curva de Z = $V / $I em função da frequência, obtida da Tabela 7. No mesmo gráfico,
desenhe também a curva do módulo da impedância de um circuito LC (com os valores de L e
C do circuito da Figura 11). Ainda no mesmo gráfico, desenhe a curva do módulo da
L 50Ω
A
VBA(t) ≈ eg(t)
Rs2=10kΩ
B Osciloscópio
1 2
~ L C
eg(t)
v1(t)
v2(t)
15
impedância de um circuito RLC paralelo (valores de L e C do circuito da Figura 11, mas
calculando o valor de R pela relação $V / $I , na frequência f1).
3.3 - Resposta em frequência
No circuito da Figura 11, considere agora que a tensão fornecida pelo gerador de sinais
é a entrada e a tensão v1(t) é a saída. Como Rs2 é muito maior que a resistência interna de 50Ω
do gerador, a tensão entre os pontos B e A, VBA(t) é aproximadamente igual a eg(t). Dessa
forma, a resposta em frequência do circuito pode ser estimada como
^
1 1^
ˆ( ) ,
BAg
V VG j
VEω = ≈ (12)
sendo o seu módulo dado por
1 1ˆ ˆ
( ) . ˆ ˆ
g BA
V VG j
E Vω = ≈ (13)
Preencha a Tabela 8 do relatório com os valores de |G(jω)|, usando os valores já
medidos de f e V1pp, registrados na Tabela 7. Note que VBA é o valor da amplitude da tensão
VBA(t) medido no item 3.2 e pode ser considerado constante com a variação da frequência.
Trace na grade milimetrada do Gráfico 2 a curva de |G(jω)| em função da frequência.
3.3.1 Efeito do circuito ressonante sobre uma onda quadrada Vamos ver o efeito do circuito da Figura 11 sobre uma onda quadrada. Para isso, a
série de Fourier do sinal de saída v1(t) será estimada em três situações distintas,
correspondentes a três frequências da onda quadrada: f2, f2/3 e f2/5.
Você pode observar da Tabela 8 que o maior ganho do circuito é para f = f2, e que o
ganho diminui à medida que a frequência de entrada se afasta do valor f2. Isto significa que o
circuito da Figura 11 com a carga LC ressonante “responde” bem para sinais senoidais de
frequências próximas a f2 e atenua sinais senoidais de frequências diferentes de f2.
Nesse item, use o canal 2 para controlar o disparo do osciloscópio (botão TRIGGER,
opção – à esquerda – Origem: CH2). Meça também as frequências dos sinais do canal 1 e do
canal 2 (use o botão MEASURE).
16
Situação 1
Ajuste o gerador de sinais para fornecer uma onda quadrada de aproximadamente 15V
pico-a-pico e ajuste sua frequência para f2. Meça o valor pico-a-pico da tensão VBA(t), como
explicado anteriormente (item 3.1). Desenhe na grade milimetrada do Gráfico 3 a forma de
onda observada da tensão v1(t). Explique o que está acontecendo.
Calcule teoricamente a componente fundamental da série de Fourier do sinal v1(t).
Para isso, use a série de Fourier da onda quadrada, os valores pico-a-pico de VBA(t) medidos,
os valores do módulo da resposta em frequência da Tabela 8 e a expressão (13), como
ilustrado nas Figuras 6 e 7 e na expressão (9). Observe que os valores calculados com a série
de Fourier correspondem aos valores de pico das harmônicas do sinal. Portanto, você
deverá multiplicar por 2 os valores teóricos calculados, para obter os valores pico-a-pico.
Meça o valor pico-a-pico do sinal v1(t) e compare com o valor calculado teoricamente.
Para fazer esta medida use cursores e não o botão MEASURE do osciloscópio, pois o sinal
pode conter spikes que produzem erros nas medidas do valor pico-a-pico. Utilize a opção
AMOSTRA do menu ACQUIRE.
Situação 2
Considerando agora a frequência da onda quadrada igual a f2/3, calcule teoricamente o
valor da terceira harmônica do sinal v1(t).
Baixe a frequência do gerador para f2/3 e meça o valor pico-a-pico de v1(t), usando o
mesmo procedimento de medida da Situação 1. Compare com o valor pico-a-pico obtido
teoricamente.
Situação 3
Repita o procedimento descrito acima, ajustando a frequência do gerador para f2/5 e
calcule o valor da quinta harmônica do sinal v1(t).
Preencha a Tabela 9 com os valores medidos e calculados para f2, f2/3 e f2/5 e interprete os
resultados.
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4 –Lista de Material
• Resistores:
– Rs1 = 47 Ω – Rs2 = 10 kΩ – R = 47 Ω
• Capacitor: C = 100 nF / 250V, 5%
• Indutor: L = 600 µH
• Osciloscópio: Tektronix TDS220, two channel, digital real-time Oscilloscope, 100 MHz, 1GS/s
• Multímetro: Tektronix TX3 true RMS multimeter
• Gerador de sinais: Tektronix CFG253, 3 MHz
• Placa didática
• Cabo BNC/BNC
• Cabo Banana/ Bergstick
• Cabos de ligação
• Transformador de isolação 1:1
• Programa em LabVIEW: Sintese – pode ser obtido em www.lps.usp.br Graduação,
PSI2316, Download, Síntese de Fourier.
• Medidor RLC
5 – Referências
[1] – L.Q. Orsini e D. Consonni, Curso de Circuitos Elétricos. Editora Edgard Blücher Ltda, Volume 1, 2002.
[2] – L.Q. Orsini e D. Consonni, Curso de Circuitos Elétricos. Editora Edgard Blücher Ltda, Volume 2, 2004.
[3] – Hai Hung Chiang, Electrical and Electronic Instrumentation. John Wiley & Sons, 1984
[4] – Solon de Medeiros Filho, Fundamentos de Medidas Elétricas. Editora Universitária, Universidade Federal de Pernambuco, 1979
[5] – Bernard M. Oliver e John M. Cage, editores, Electronic Measurements and Instrumenta- tion, McGraw-Hill, 1971
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PSI-2221 Práticas de Eletricidade e Eletrônica I
Roteiro de Relatório Experiência 11 – Conceitos de Impedância e Admitância
Nomes:____________________________________________No USP:________________ ____________________________________________ ________________ Turma: Observação: Na tabela seguinte estão listados os ítens e as tabelas que devem ser obrigató-riamente preenchidos no laboratório. Os demais ítens podem ser feitos fora do laboratório a partir das medidas realizadas.
Ítens Tabelas
a), b) e c) do 3.2
a) e b) do 3.3.1
1, 2,5,6,7, 9 (coluna
das medidas)
3.1 Carga Resistiva Tabela 1 – Valores das resistências Rs1 e R medidos com o multímetro
Rs1 R
Valor medido Ω Ω
Valor nominal 47 Ω 47 Ω
Tolerância % %
Tabela 2 – Valores para Carga Resistiva
f, Hz V1pp , V V2pp , V A, A $V , V $I , A Z , Ω θ , graus
100
1 k
5 k
4a feira manhã 4a feira tarde 5a feira manhã 6a feira manhã
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a) Relacione a coluna Z com os valores medido e nominal de R, justificando eventuais
diferenças. b) Os valores obtidos para θ eram esperados? (foram nulos? explique discrepâncias entre o
que você observa e o que você esperaria observar.)
c) Compare a coluna $I da Tabela 2 com A 2 , preenchendo a Tabela 3.
Tabela 3 – Comparação de $I com A 2
f, Hz A 2 , A $I , A Erro relativo (%)
100
1 k
5 k
d) Determine a admitância (condutância, neste caso) da carga, preenchendo a Tabela 4
Tabela 4 – Admitância da carga em função da frequência
f, Hz |Z|1/G = , mS
100
1 k
5 k
20
3.2 Carga Ressonante Tabela 5 – Valores das resistências Rs2 e C medidos com o multímetro
Rs2 C
Valor medido kΩ nF
Valor nominal 10 kΩ 100 nF
Tolerância % 5 %
Valor nominal de L = 600 µH
Caso tenha medido o valor L com o medidor RLC, anote aqui: L =___________ µH
a) Anote a tensão VBA= V
b) Calcule o valor de ( )-1
0f 2 L Cπ= , meça os valores de 1f e 2f e preencha a Tabela 6.
Tabela 6 – Frequências de ressonância
1f : frequência para a qual a defasagem entre tensão e corrente na carga é nula
2f : frequência em que a amplitude V1pp é máxima
c) Em 1f , meça os valores de V1pp e de V2pp:
V1pp = _______________V V2pp = _______________V
Calcule a relação ˆ| V | | I |= _______________Ω
d) Compare os valores de f0 , f1 e f2 (calcule a diferença percentual entre os três valores).
0f (kHz) 1f (kHz) 2f (kHz)
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Tabela 7 – Valores para Carga Ressonante
f f, kHz V1pp, V V2pp, V $V , V $I , mA Z , Ω ∆t (µs) θ , graus
f2/5
f2/3
0,75 f2
f2
1,25 f2
3 f2
5 f2
e) Qual é o comportamento de Z (indutivo, resistivo ou capacitivo) para cada valor de
frequência na Tabela 7?
f) Comente sobre as características predominantes da impedância antes e depois de f1 (a
impedância é predominantemente indutiva ou capacitiva? E exatamente na frequência f1, a
carga tem que característica?)
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g) Obtenha a expressão teórica da impedância da associação em paralelo de um indutor ideal,
L, com um capacitor ideal, C
h) Obtenha a expressão teórica da impedância de um circuito RLC paralelo
i) Trace na grade milimetrada (Gráfico 1) as três curvas seguintes:
1. curva de Z = $V / $I em função da frequência;
2. curva do módulo da impedância de um circuito LC (L e C: valores medidos)
3. curva do módulo da impedância de um circuito RLC paralelo (L e C: valores
medidos; use para R o valor de $V / $I , na frequência f1).
Qual das curvas obtidas a partir das expressões teóricas está mais próxima da curva medida?
Qual modelo representa melhor a associação paralela da bobina com o capacitor? Justifique.
Como deveria então ser modificada a representação da carga na Figura 11?
23
Gráfico 1 – | Z | x f
3.3 Resposta em Frequência
Tabela 8 – Resposta em frequência
f f, kHz V1pp, V VBApp, V |G(jω)|
f2/5
f2/3
0,75 f2
f2
1,25 f2
3 f2
5 f2
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Desenhe o gráfico de |G(jω)| em função da frequência na grade milimetrada (Gráfico 2).
Gráfico 2 - |G(jω)| x f
3.3.1 Efeito do circuito ressonante sobre uma onda quadrada
a) Na frequência f2, meça os valores pico-a-pico da tensão VBA(t) para uma onda quadrada
VBA,quadr = V
b) Desenhe na grade milimetrada (Gráfico 3) a forma de onda observada da tensão v1(t) e
explique o que está acontecendo.
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Gráfico 3 - v1(t) x t
Tabela 9 – Série de Fourier da onda quadrada
f f, kHz Harmônica V1pp, V (medido) V1teo, V (calculado)
f2 1a
f2/3 3a
f2/5 5a
Cálculos:
26
3.4 Questões a) Qual deve ser a defasagem entre tensão e corrente em um resistor ideal? b) Em um capacitor, a tensão está adiantada ou atrasada em relação à corrente? c) Como se comporta, em função da frequência, o módulo da impedância da associação em paralelo de um resistor, um capacitor e um indutor? d) Esboce na grade milimetrada abaixo (Gráfico 4) as formas de onda de tensão e corrente sobre uma carga cuja impedância vale ( 2 + j 2 ) Ω com a aplicação de um sinal de tensão, em volts, igual a 4sen(2π 60 t + π/6), com t em segundos.
Gráfico 4 – v(t), i(t) x t