Pruebas de Hipótesis

Tipos de errores

Decisión Población

Ho es verdadera Ho es falsa

No rechazar Ho Decisión correcta. Error tipo II

Rechazar Ho Error tipo I Decisión correcta.

a = Pr(Error Tipo I) = Pr(Rechazar H0 / H0 es verdadera)

b = Pr(Error Tipo II) = Pr(No rechazar H0 / H0 es falsa)

Se pueden cometer dos tipos de errores:

Esquema para realizar una prueba de

hipótesis

Etapas:

1) Enunciado de la hipótesis nula y alternativa

2) Selección del estadístico de prueba (Considerar el parámetro poblacional utilizado en 1) y los datos del problema).

3)Gráfico de la distribución del estadístico de prueba para la determinación de la región crítica con el alfa dado y la búsqueda en tabla del valor crítico.

4) Cálculo del valor observado a partir del estadístico.

5) Comparación de valores.

6) Exposición de las conclusiones

Cuando se plantean hipótesis para la media de la población y la desviación estándar poblacional es desconocida y el tamaño de la muestra es pequeño, el estadístico de prueba está dado por:

el cual se distribuye como una t de Student con n-1 grados de libertad.

Prueba de hipótesis para la media de una población,

desviación estándar desconocida y tamaño muestral pequeño

1

1 n/

ngl

n

tS

xt

Prueba para la media poblacional

con varianza poblacional

desconocida

Ejemplo: Un auditor desea probar el supuesto de que el valor

medio de la totalidad de las cuentas por cobrar de

una empresa dada es de $260.000.

Toma una muestra n = 16 cuentas por cobrar y

obtiene una media muestral de $240.000, con una

dispersión de $43.000. Suponga un nivel de

significación del 5% para concluir si los datos

muestrales dan evidencia suficiente para contradecir

el supuesto del auditor.

Prueba de hipótesis sobre una

proporción

• En muchos problemas de Ingeniería

se debe tomar una decisión con

respecto a una proporción.

• Los supuestos para poder aplicar

este test son los mismos que se

necesitan para construir un intervalo

de confianza para una proporción

Cuando se plantean hipótesis para la proporción de la población, el estadístico de prueba está dado por:

donde

el cual se distribuye como una Normal de media 0 y desvío estándar 1

Prueba de hipótesis para la proporción de una población,

)1,0(Npp

zp

o

n

qp oo

Ejemplo:

El director de la agencia de colocaciones de una universidad sostuvo que al menos

50% de los estudiantes a punto de graduarse habían cerrado un trato de empleo para el 1º

de Marzo. Supongamos que se reúne una muestra aleatoria de estudiantes (n=30) y

solo 10 de ellos indican haber cerrado trato de empleo. ¿Puede rechazarse el argumento

del director de la agencia al nivel de significación del 5%?

Prueba de hipótesis para

una varianza

En este problema debemos probar si la varianza poblacional es un valor

determinado.

Usamos los mismos supuestos que los utilizados para la realización del

intervalo de confianza para la varianza y el mismo estadístico de

prueba.

Prueba de hipótesis para 2

Unilateral

izquierda Bilateral

Unilateral

derecha

H0: 2 ≥ 20 H0: 2 = 20 H0: 2 ≤ 20

H1: 2 < 20 H1: 2 ≠ 20 H1:

2 > 20

Hipótesis:

Estadístico de prueba: 2

2 2

12

0

1~c n

n S

Ejemplo

La dispersión de un producto estándar es 0,1225 pulgadas , este producto es algo antiguo y se está considerando cambiarlo por uno nuevo, siempre y

cuando su variabilidad no sea superior a la del producto anterior. Una muestra de 25 productos

nos dio una varianza de 0,038 pulgadas cuadradas .

Para un nivel de significación de 0,01,¿se puede concluir si se aceptará o no el nuevo producto?

Prueba de hipótesis acerca de dos

parámetros

• Otro problema que se presenta

frecuentemente en el trabajo experimental

es determinar si dos distribuciones de

probabilidad tienen algunos parámetros

que son los mismos, sin especificar los

valores comunes de esos parámetros.

• Tenemos pruebas para la igualdad de dos

medias y para la igualdad de dos

varianzas

Prueba de hipótesis para dos medias

desviación estándar poblacional conocida o muestras grandes

Muestras independientes

• Cuando se plantean hipótesis para la diferencia de

medias de dos poblaciones y las desviaciones

estándar poblacionales son conocidas o el tamaño

de la muestra es grande, el estadístico de prueba

está dado por:

el cual se distribuye como una Normal de media 0

y desvío estándar 1.

)1,0(()(

2

2

2

1

2

1

)2121N

nn

xxz

Prueba para la comparación de

Medias (varianzas poblacionales

conocidas)

• Ejemplo: Se hace un test de eficiencia a 50 ingenieros industriales y 60 ingenieros civiles, obteniéndose los siguientes resultados:

a) Verificar con un nivel de significación del 5% si la diferencia se puede atribuir a la casualidad o no.

b) Ïdem a) pero suponiendo varianzas poblacionales desconocidas e iguales, sabiendo que se obtuvo una

dispersión muestral de 6 y 5,5 respectivamente.

5 87

7 89

22

11

X

X

F DE FISHER Fórmulas

La función acumulada está tabulada.

0

1**2

*2

**2

)(

2

2

121

12

2

2

121

21

1

1

x

xv

vvv

xv

vvv

xf

densidadFunción

vv

vv

Forma de la curva de esta distribución según v1 y v2

La comparación de medias para

muestras independientes requiere

igualdad de varianzas poblacionales

Debe hacerse un pre-test para comparar varianzas.

2 2

0 1 2

2 2

1 1 2

:

:

H

H

1) Plantear las hipótesis 2) Establecer el estadístico de prueba.

2

1

2

2

ob

SF

S

3) Definir el nivel de significación y la zona de rechazo de Ho, en el gráfico de la distribución del estadístico. Hallar los valores críticos. Si

1 2

2 1

1, 1,12

1, 1,2

1

n n

n n

FF

a

a

1 2

1 2

4,4;0,011, 1;

2

1, 1,14,4;0,012

15,977

1 10,0625

15,977

n n

n n

F F

FF

a

a

No siempre es el inverso

0,02a

Uso de la tabla

Prueba de hipótesis para comparar

medias con varianzas poblacionales

desconocidas

Se espera que dos operadores produzcan, en promedio, el mismo

número de unidades terminadas en el mismo tiempo . Los datos son los

números de unidades terminadas para ambos en una semana de

trabajo:

Operador 1 Operador 2

12 14

11 18

18 18

16 17

13 16

Si se supone que el número de unidades terminadas diariamente por los

dos trabajadores son variables aleatorias independientes distribuidas

normalmente. ¿Se puede establecer diferencia entre las medias a un

nivel de significación del 0,1 ?

Continuación

4) Calcular el valor observado a partir del estadístico de prueba.

2

2

2,915 8,4973,03

1,673 2,7989obF

5) Comparar el valor observado con el valor crítico.

6) Conclusiones: Luego las varianzas son iguales.

0 3,03 0,0625;15,977bF

Pertenece a la zona de aceptación de Ho.

Comparación de medias para

muestras independientes

0 1 2 1 2

1 1 2 1 2

: 0

: 0

H ó

H ó

Se plantea una prueba para medias, para varianzas

desconocidas pero iguales, de los datos se obtiene

1 214 16,6x x

1) Plantear las hipótesis

2) Establecer el estadístico de prueba.

1 2 1 2

2 2

1 1 2 2

1 2 1 2

1 1 1 1

2

ob

x xt

n S n S

n n n n

Continuación

3) Definir el nivel de significación y la zona de rechazo de Ho, en el gráfico de la distribución del estadístico.

4) Calcular el valor observado a partir del estadístico de prueba.

1 2

8;0,012;

2

1.3968n n

t ta

5) Comparar el valor observado con el valor crítico.

2 2

14 16,6 0 2,60,728

3,5724.2,915 4.1,673 1 1

5 5 2 5 5

obt

1,396;1,396obt Se acepta Ho

Conclusiones

Al aceptar Ho, la diferencia de medias muestrales no es significativa, se debe al

azar.

Luego las medias poblacionales son iguales, lo que se traduce en que los dos

operadores producen, en promedio, el mismo número de unidades terminadas en

el mismo tiempo