Distribución Normal

La distribución normal o gaussiana es la distribución de probabilidad más importante de la estadística y corresponde a una variable aleatoria continua.

Propiedades de la distribución Normal

Hay cuatro propiedades importantes que están asociados con la distribución normal:

1. Tiene forma de campana, por lo tanto es simétrica.

2. Todas sus medidas de tendencia central son idénticas.

3. La variable aleatoria asociada tiene un intervalo infinito

4. Es unimodal

5. El área bajo la curva normal (área que está entre la curva y la línea base) y que contiene el 100%, o todos los casos en una distribución normal dada.

X

99.7%

95.4% 68.2%

Localización de lasobservacionesalrededor de lamedia en una distribución defrecuencia en forma de campana.

2 3 2 3

Distribución Normal estandarizada (Puntajes Z)

Cualquiera variable aleatoria normal X se puede convertir en una variable aleatoria normal estándar Z mediante una fórmula de transformación.

En tanto que los datos originales de la variable aleatoria X tienen media y desviación estándar , la variable aleatoria estandarizada Z siempre tiene media de cero y desviación estándar de uno.

Ejemplo:

El coeficiente intelectual de un grupo de estudiantes se distribuye en forma normal con un promedio de 100 y una desviación estándar de 5.

¿Qué porcentaje de los estudintes tienen un coeficiente intelectual mayor de 110?

Dos desviaciones estándar corresponden a 47.72% por arriba de la media, lo que quiere decir que 50%-47.72%=2.28% de los estudiantes tienen un coeficiente intelectual mayor de 110.

s

XXZ i

0.25

100110

z

- En la siguiente figura se muestra la curva estandarizada, con una media de cero y desviación estándar de 1.

f (Z)

0.4 0.3 0

0.2 1

0.1

-3 -2 -1 0 +1 +2 +3

Distribución normal estandarizada, en la que 0 y 1.

Z

En el ejemplo anterior, ¿Qué porcentaje de los alumnos tiene un coeficiente intelectual menor de 95?

Una desviación estándar de “-1” corresponde a 34.13% de la cola izquierda, por lo tanto el porcentaje de los estudiantes con un coeficiente menor de 95 puntos es equivalente a:

0.50 – 0.3413=0.1587, o sea 15.87%.

15

10095

Z

En el ejemplo anterior, ¿Qué porcentaje de los estudiantes tienen un CI entre 90 y 105 puntos?

o sea 47.72% a la izquierda de la media

o sea 34.13% a la derecha de la media

Por lo tanto, 0.4772+0.3413= 0.8185 que es equivalente a 81.85%de los estudiantes.

25

100901

Z

15

1001052

Z

-Ejemplo:El peso medio de las cajas de cereal durante un periodo de un año fue 297 grs, con una desviación estándar de 24 grs., calcular la probabilidad de cajas que tienen un peso por debajo del límite de especificación inferior (274 grs).

Usando la fórmula de:

-El área correspondiente a Z= -0.96 en la tabla de la distribución estándar es 0.1685, la que significa que el 16.85% de las cajas que tienen un peso por debajo del límite de especificación inferior 274 grs.

Xi

Z 96.024

297274

Z

-Usando los datos anteriores, calcule la probabilidad de cajas que tengan un peso mayor de 347 grs.

- Este valor de Z corresponde a 0.9812 del área bajo la curva, por tanto, la diferencia entre el área total bajo la curva (1.00) y este valor pertenece al porcentaje de las cajas con el peso que supera a 347 grs.

08.224

297347

Z

0188.09812.000.1)347( XP

- La meida de ingresos mensuales con distribución normal para un grupo grande de empleados de una organización es de $10000.00. La desviación estándar es de $1000.00.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el ingreso de un empleado está entre $7900.00 y $11000.00

b) ¿ Cuál es l probabilidad de que el ingreso sea mayor de $12000.00?c) ¿ Cuál es la probabilidad que el ingreso sea mayor de 8500.00?

Solución: a.

< >

b.

>

c. <

iXZ 10.21000

100007900

IZ 4821.01 Z

%828234.03413.04821.0)(

3413.011000

1000011000

21

22

ZXZP

ZZ

%3.20228.04772.05000.0)(

4772.000.21000

1000012000

ZXP

ZZX

Z i

4332.050.11000

100008500

ZZX

Z i

%7.60668.04332.05000.0)( ZXP

Distribuciones Muestrales

Una meta importante del análisis de datos es usar estadísticos como la media muestral y la proporción muestral para estimar los parámetros poblacionales. Por ejemplo un encuestador político se interesa en los resultados de la muestra sólo como medio para estimar la proporción real de votos que cada candidato recibirá de la población de electores.

Distribución muestral de la media (Propiedades de la media)

a) Es no sesgado, esta propiedad implica que el promedio de todas las medias muestrales posibles será igual a la media poblacional.

b) Es eficiente, esta propiedad se refiere a la precisión del estadístico muestral como estimador del parámetro de la población.

c) Es consistente, se refiere al efecto del tamaño de la muestra en la utilidad de un estimador. Conforme aumenta el tamaño de la muestra, la variación de la media de la muestra con relación a la media de la población se disminuye (Teorema de límite Central).

La distribución muestral de medias muestrales se vuelve normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra.

x

Error estándar de la media

El error estándar de la media es igual a la desviación estándar de la población dividido entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra “n”.

Ejercicio: Si una población de datos crudos posee una distribución normal, con una media =80 y una desviación estándar =8, determine los parámetros de la distribución muestral de la media para los siguientes tamaños de la muestra: n = 36 y n = 50Solución:

x

nX

=

13.1=50

8=)

33.1=36

8==)

80==

x

x

x

b

na

xx y

Determinar Z para la distribución muestral de la media

Suponga que el promedio de la calificación de la materia de estadística de varios grupos de una universidad es 8.0 con una desviación estándar de 1.0. ¿ cómo puede determinarse la probabilidad de que una muestra de 36 alumnos tenga un promedio menor de 7.70?

n

XXZ

x

=0.17-0.3

=

36

17.7

= -1.768.0-

z

Al buscar Z= -1.76, se encuentra un área de 0.4608. Por lo tanto, 3.92% de todas las muestras posibles de tamaño 36 tenderán una media menor que 7.70.

Estimación del intervalo de confianza para la media

Un intervalo de confianza es un rango de valores que probablemente contiene al valor poblacional. Por ejemplo, el intervalo de confianza del 95% es aquel en el que la probabilidad de que dicho intervalo contenga al valor poblacional es de 95%. Los intervalos más utilizados en la práctica son de 95 y de 99 por ciento.

Estimación del intervalo de confianza para la media ( conocida)

Una muestra de 36 observaciones se selecciona a partir de una población normal para la cual se conoce que la desviación estándar de la muestra es 9 y la media muestral es 20.

a) Determine el error estándar de la media. b) Obtenga el intervalo de confianza de 95%.

xzX

5.136

9

nx

94.2206.175.196.1202

aZX x

Distribución “t student”

Cuando se desconoce la desviación estándar de la población y el

tamaño de la muestra es pequeña n<30, suponiendo que la población tiene aproximadamente la forma de una distribución normal, se puede

aplicar la estadística “t” que es simétrica, en forma de campana y con media cero, o sea muy semejante a la distribución normal estándar.

La forma de la distribución “t” depende de un parámetro llamado grados de libertad que está dado por n-1que es el tamaño de la muestra menos uno. Para la distribución t se define en la misma forma que se definió .

Utilizando el hecho de que la distribución t es simétrica con respecto a t = 0, (1- ) es la probabilidad de que una variable aleatoria que tiene la distribución t tome un valor entre .

La distribución t estandarizada se calcula a partir de

2

t

2

z

22

tyt

nsx

t

Ejemplo: Para determinar el coeficiente de inteligencia promedio de los profesores que trabajan en una universidad, se extrae una muestra aleatoria de 20 profesores de toda la población. Los resultados proporcionan una media de 135 y una desviación estándar de 8. Construya un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional.

GL=20-1 =19 y t=2.093

135 – (2.093)(1.789)=131.26 135 + (2.093)(1.789)=138.74

Así, el intervalo de confianza del 95% es: 131.26 – 138.74

025.0

2

=,8=,135= ttsX

±

2n

stX

20

8)093.2(±135

025.02

Para calcular z (el número de desviaciones estandarizadas), a partir del nivel de confianza deseado, se define la probabilidad correspondiente. primero se divide entre 2 el nivel de confianza y el cociente resultante se ubica en las cifras de la cuadrícula de la tabla. El valor correspondiente de z se encuentra en la columna de la izquierda, además del segundo decimal que resulte en la primera fila. Por ejemplo para un nivel de confianza de 98%, 0.98/2= 0.49, este valor le buscamos en la tabla e identificamos en la columna izquierda 2.3 y en la fila superior 0.03, al sumar nos da Z=2.33.

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