proyeccion oblicua

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Proyeccion Oblicua

Cam Urquizo Daniel Capa Sixe Jordan Castillo FarfanGeorge

12 de febrero de 2013

Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farfan George Proyeccion Oblicua

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ındice

1 ConceptoClasificacionConceptoEjemploDiferencia con proyeccion paralela con perspectiva

2 TiposCaballera

matriz de proyeccion oblicua Caballeragabinete

matriz de proyeccion oblicua GabineteProyeccion oblicua aerea:

Ejercicios


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ClasificacionConceptoEjemploDiferencia con proyeccion paralela con perspectiva

Clasificacion Proyeccion


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ConceptoLa proyeccion oblicua es un Metodo de proyeccion por el que unobjeto tridimensional se representa mediante la proyeccion de lıneasPARALELAS formando un angulo con el plano del cuadro distintode 90 grados por tener una de sus caras principales paralela alplano del cuadro. Ası, dado un segmento, bastara proyectar lospuntos extremos del segmento mediante lıneas proyectantesauxiliares oblıcuas, para determinar la proyeccion sobre la recta.


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En una proyeccion oblicua, el vector de proyeccion se sueleespecificar a partir de dos angulos, φ y α. Se proyecta elpunto (x, y, z) a la posicion (xp, yp) en el plano de vision.


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Recordemos que el angulo α es dado por el vector que proyecta lalinea desde el objeto original hasta el objeto proyectado en el plano(cuyas medidas pueden ser de 0 a 90 grados), mientras que φ es elangulo formado entre la lınea de proyeccion oblicua y la lıneacontenida en el plano de proyeccion.

xp = x + Lcosφyp = y + Lsenφ

En funcion del valor que tome α y la coordenada z del punto quese va a proyectar, el valor de L se puede calcular como:se tienen las siguientes ecuaciones:

tanα= ZL ⇒ L= Z

tanα


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De luego se reemplaza:

xp = x + Zcos(φ)cotg(α)yp = y + Zsen(φ)cotg(α)

Ası tenemos que cualquier punto (X, Y, Z) en coordenadas devista, se transforma en coordenadas de proyeccion como:

1 0 cos(φ)cotg(α) 00 1 sen(φ)cotg(α) 00 0 0 00 0 0 1

.


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Las proyecciones oblicuas se obtienen para valores de L distintos decero, mientras que las proyecciones ortogonales se generan cuandoL = 0 lo cual queda:

xp= xyp= y


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Cuya matriz es:

V =

1 0 −a 00 1 −b 00 0 0 00 0 0 1

.Cam Urquizo Daniel, Capa Sixe Jordan, Castillo Farfan George Proyeccion Oblicua

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por proyeccion ortogonal tenemos que:

cosα=a/f ⇒ a=fcosαsenα=b/f ⇒ b=fsenα

y la matriz (T) sera:

T =

1 0 −fcosα 00 1 −fsenα 00 0 0 00 0 0 1

.


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Como obtendriamos la matriz de proyeccion a partir deeste problema?

Con los datos:α=26,56o , Yp = Y, Zp=Z/2 ademas:φ=90o porque se forma con el eje X.Se eligio el angulo porque segun la figura es el doble en la parte zque su proyeccion Z ′ por lo cual:

tan(α)=1/2, donde α = 26.56.


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Si aplicamos un ejemplo: tenemos la grafica con los puntos yqueremos imitar el grafico anterior

Su matriz de puntos sera

V =

0 0 06 3 32 2 51 1 1

.


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como se proyectara en solo en Y hacemos Xp=0 y Zp=0, siendoφ= 90 grados y α = 26.56 gradosEntonces en las ecuaciones son:

Xp= x+Lcosφ ⇒ Xp=0

Ademas Yp=y+ Lsenφ y L=1/2 (por ser la mitad proyectada)tendremos que:

T =

0 0 0 00 1 −1/2(sen90) 00 0 0 00 0 0 1


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Multiplicando los puntos:

T ∗ V =

0 0 0 00 1 −1/2 00 0 0 00 0 0 1

∗

0 0 06 3 32 2 51 1 1

=

0 0 05 2 0,50 0 01 1 1


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Los nuevos puntos seran:A′=(0,5,0)B′=(0,2,0)C ′=(0,0.5,0)si lo graficamos:

Pareciera como si lo hubiesemos proyectado en todo el objeto de3D a un objeto lineal


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Ejemplo


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Diferencia con proyeccion paralela con perspectiva


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Diferencia con proyeccion paralela con perspectiva

1 Proyeccion Paralela: Consiste en proyectar puntos del espaciocontra el plano de proyeccion mediante haces de rectassiempre paralelas entre sı.

2 Proyeccion Perspectiva: se denomina al sistema derepresentacion grafico en donde el haz de rayos proyectantesconfluye en un punto (el ojo del observador), proyectandose laimagen en un plano auxiliar situado entre el objeto arepresentar el punto de vista.


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Paralela Vs perspectiva

1 La proyeccion perspectiva√El tamano depende de la distancia. Parece real√Las distancias y los angulos no se conservan (en general)√Las lıneas paralelas no se representan como paralelas (en

general)2 La proyeccion paralela√

Es ideal para realizar medidas√Las lıneas paralelas siguen siendo paralelas√Los angulos no tienen que conservarse√No parece real


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Ejemplo diferencia

Proyeccion paralela VS Proyeccion perspectiva


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CaballeragabineteEjercicios

Tipos de proyeccion Oblıcua

1 Caballera2 Gabinete3 oblıcua aerea


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1. Caballera

ConceptoEs cuando se realiza un dibujo oblicuo con el eje inclinadoutilizando angulos de α=45o y φ = 45o o φ = 30o yesta representada por solo dos coordenadas, X e Y. Mediante estemetodo todas las dimensiones sobre el eje oblicuo se representanen su verdadero tamano. En estos dibujos en general dan unaapariencia un poco desproporcionada, y alargada; distinto a comoes en la realidad, es decir el tercer eje (Z) se mantiene a escala.


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El angulo φ suele ser de 30 o de 45 grados, desplegando una vistade combinacion de las partes frontal, lateral y superior (o inferior)de un objeto.


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El angulo α suele tomar aquellos valores para los cuales sutangente vale 1 o 2. Ademas tenemos, α = 45 grados,obteniendose las vistas denominadas proyecciones caballeras, en lascuales todas las lıneas perpendiculares al plano de proyeccion seproyectan sin alterar su longitud. Este efecto puede apreciarse en lasiguiente figura:


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matriz de caballera

Como α= 45o y tomando φ = 45o, entonces:1 0 cos(45o)cotg(45o) 00 1 sen(45o)cotg(45o) 00 0 0 00 0 0 1

tenemos:

=

1 0

√2

2 0

0 1√

22 0

0 0 0 00 0 0 1


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Ejemplo grafico de proyeccion oblicua Caballera


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2. Gabinete

ConceptoLlamado Punto de vista de alto. Es cuando el eje de profundidadse reduce a tres cuadros de su tamano, o a la mitad. Secontrarresta el alargamiento, resultando mas natural, cuando sehan utilizado angulos de α = 63,4o y φ= 30o o 45o.


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Tambien tenemos, α = 63,4o , obteniendose las vistasdenominadas proyecciones de gabinete, en las cuales las lıneasperpendiculares a la superficie de vista se proyectan alterando sulongitud a la mitad. Debido a esta reduccion, este tipo deproyecciones ofrecen un aspecto mas realista que las proyeccionescaballera. Puede observarse este efecto a continuacion:


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como α = 63,4o y φ = 30o

1 0 cos(30o)cotg(63,4o) 00 1 sen(30o)cotg(63,4o) 00 0 0 00 0 0 1

Tenemos:

1 0√

34 0

0 1 1/4 00 0 0 00 0 0 1


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Ejemplo grafico de proyeccion oblicua Gabinete


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3. Proyeccion oblicua aerea:

ConceptoEs una proyeccion oblicua realizada sobre un dibujo en planta deuna edificacion, urbanismo, etc. con la finalidad de apreciar suforma tridimensional. Esta tecnica utilizada para representarcuerpos en el espacio, aunque sin utilizar la deformacion producidapor la lejana de los cuerpos al observador, se le da preferencia a unade las caras del cuerpo la cual aparece horizontal y en verdaderamagnitud, mientras las demas estan deformadas. Generalmente seutilizan angulos de 135o entre los ejes XZ e YZ (90o en XY). Engeneral, el eje Z puede adoptar cualquier angulo respecto de losotros, pero los ejes XY siempre forman 90o y no se les aplicadeformacion. Ası se suele llamar militar, mas propiamente dicha, aaquella cuyo angulo con los ejes XZ es 120o y entre YZ de 150o.


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EjerciciosTenemos los puntos de un cubo

0 1 1 0 0 0 1 10 0 1 1 1 0 0 10 0 0 0 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1

se grafican los puntos en los 3 ejes


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Ejercicios con caballera

Si dibujamos la transformacion del cubo con α=45o y φ=45o

T.V=1 0 cos(45o)cotg(45o) 00 1 sen(45o)cotg(45o) 00 0 0 00 0 0 1

∗

0 1 1 0 0 0 1 10 0 1 1 1 0 0 10 0 0 0 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1


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Obtenemos:0 1 1 0

√2/2

√2/2 1 +

√2/2 1 +

√2/2

0 0 1 1 1 +√

2/2√

2/2√

2/2 1 +√

2/20 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1

Graficando los puntos:


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Ejercicios con Gabinete

Si dibujamos la transformacion del cubo con α=63,4o y φ=30o

T.V=1 0 cos(30o)cotg(63,4o) 00 1 sen(30o)cotg(63,4o) 00 0 0 00 0 0 1

∗

0 1 1 0 0 0 1 10 0 1 1 1 0 0 10 0 0 0 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1


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Obtenemos:0 1 1 0

√3/4

√3/4 1 +

√3/4 1 +

√3/4

0 0 1 1 5/4 1/4 1/4 5/40 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1

Graficando los puntos:

A′ =(0,0,0) E ′=(√

3/4, 5/4, 0)B′ =(1,0,0) F ′=(

√3/4, 1/4, 0)

C ′ =(1,1,0) G ′=(1+√

3/4, 1/4, 0)D′ =(0,1,0) H ′=(1+

√3/4, 5/4, 0)


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