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PROYECCION GNOMONICA.

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA. MINISTERIO DE EDUCACIÓN SUPERIOR.

UNIVERSIDAD DEL ZULIA.FACULTAD DE INGENIERÍA.

ESCUELA DE GEODESIA.CÁTEDRA: CARTOGRAFIA.

PROFESOR: GIOVANNI ROYERO.

PROYECCION CARTOGRAFOCA

GNOMONICA.

Realizado por:

Anabel Bastidas.

C.I.: 18.924.541.

Kared Larez.

C.I.: 20.280.677

Carlos Gutiérrez.

C.I.: 18.724.221.

Maracaibo, Septiembre del 2011.


Introducción

El siguiente tema a tratar consiste sobre una de las tantas proyecciones cartográficas que existen, llamada Proyección Gnomónica la cual se basa en proyectar los puntos de la tierra, tomando como foco el centro de la misma, sobre un plano tangente a la esfera terrestre en cualquier punto del Ecuador. En la que la escala aumenta rápidamente del centro al exterior. Dicha proyección presenta varios casos, dependiendo del lugar de tangencia del plano, de los cuales están:

Polar.

Tangente al Polo Sur o al Polo Norte

Ecuatorial.Tangente en cualquier punto del Ecuador

Horizontal.

Tangente en cualquier punto intermedio entre el Ecuador y el Polo.

Primeramente utilizado por Tales de Mileto, aunque no es utilizada para representar mapas de atlas ya que tiene una limitante, que se utiliza por un solo hemisferio debido a las grandes distorsiones q presenta.

Ya q la misma ha presentado grandes distorsiones para una representaciones se ha empleado para esta proyección en cartografía con fines de navegación aérea dado que los aviones siguen a menudo ortodrómicas, y en la determinación de los rumbos verdaderos para la navegación.


Proyecciones de Mapas

PROYECCION GNOMONICA:

CONCEPTO

Gnomónica: se denomina a la ciencia encargada de elaborar teorías y reunir conocimiento sobre la división del arco diurno, o trayectoria del Sol sobre el horizonte mediante el empleo de proyecciones específicas sobre superficies. Esta ciencia es muy útil al diseño y construcción de los relojes de sol así como en cartografía (Proyección gnomónica).

Proyección gnomónica: Proyección acimutal que se obtiene proyectando el globo en un plano tangente mediante un foco que se sitúa en su centro. Se conoce principalmente en su forma polar que es la más fácil de realizar. Sinónimo: Proyección de círculo máximo. Nota: Esta proyección altera mucho los ángulos y las superficies cuando se aleja del centro de proyección y no permite representar en un solo centro ni tan siquiera un hemisferio. Pero resulta que es la única proyección existente que ofrece la característica de representar en forma de línea recta sobre el mapa cualquier arco de circunferencia máxima del globo por lo que es de gran utilidad para la navegación.

HISTORIA

La gnomónica es la proyección en perspectiva del mundo desde el centro en un Plano tangente a la superficie. Fue utilizado por Tales (636-546A.C.) de Mileto de los mapas estelares. Llamado "Horologium" (reloj de sol o un reloj) en los primeros tiempos, se le dio el nombre de "gnomónica" en el siglo XIX. También se ha llamado el gnómico y La proyección central.

El nombre de gnomónica se deriva del hecho de que los meridianos se irradian desde el polo (o están separados, en el aspecto ecuatorial) al igual que las marcas de hora correspondiente en un reloj de sol para la misma latitud central. El gnomon del reloj de sol es la regla elevada apuntando hacia el polo y proyectando su sombra sobre las diferentes marcas de hora a medida que el sol se mueve a través del cielo.

La gnomónica ha estado siempre unida por un lado al concepto de medida del tiempo y por otro lado a la idea de aplicación cartográfica de representación en mapas terrestres, aunque se supone que el primero en emplear este tipo de proyección fue el físico griego Tales de Mileto para construir mapas estelares.

Algunos mapas terrestres del año 1803 emplearon esta proyección sobre los seis planos tangentes a una esfera (Que forman un cubo). Se empleó sobre todo en los siglos XVI y también a mediados del siglo XX en la proyección de la superficie terrestre sobre las caras de diferentes poliedros.


CARACTERISTICAS

La notable (y sólo es útil) característica de los resultados de proyección gnomónica es el hecho de que cada arco de círculo máximo es la distancia más corta entre dos puntos en la superficie de una esfera, se encuentra en un plano que pasa por el centro de el mundo.

Por lo tanto, todos los arcos de círculo máximo, son proyectados como líneas rectas en esta proyección. La escala es muy distorsionada a lo largo de un gran círculo trazado.

Debido a que la proyección es desde el centro del mundo, es imposible mostrar incluso un hemisferio completo con la gnomónica. Por lo tanto, si cualquiera de los polos es el punto de tangencia y el centro (el aspecto polar), el Ecuador no se puede demostrar. Excepto en el centro, la distorsión de la forma, la superficie, y la escala en la proyección gnomónica es tan grande que pocas veces se ha utilizado para los mapas de atlas. Excepciones históricas de varios conjuntos de mapas de estrella de finales del siglo 18 y los mapas terrestres de 1803. Estos mapas fueron trazados con la esfera proyectada en las seis caras de un cubo tangente. El mundo también se ha proyectado a partir de mediados de los 16S hasta mediados del siglo 20, usando la proyección gnomónica, así como otras, en las caras de otros poliedros. En general, la proyección es utilizada para trazar caminos de gran círculo, aunque el USGS no ha utilizado la proyección de los mapas publicados. Los meridianos de la proyección gnomónica polar son rectos, como en otras proyecciones acimutales polares, y los paralelos de latitud son círculos centrados en torno al polo. Los paralelismos son más cercanos cerca del polo, y sus espacios aumentan lejos desde el polo mucho más rápido de lo que lo hacen en la estereográfica polar. Los radios son proporcionales a la tangente trigonométrica de la distancia de arco desde el polo.

En el aspecto ecuatorial, los meridianos son líneas rectas paralelas perpendiculares a la línea del Ecuador, que también es recta. Los meridianos son los más cercanos cerca del meridiano central, y el espacio está aumentado rápidamente fuera de ella, la distancia del centro ES de forma proporcional a la tangente de la diferencia de longitud. Los paralelos que no sea el del Ecuador son todos los arcos hiperbólicos, simétrico respecto al ecuador. Puesto que los meridianos son los caminos de gran círculo, también se trazan directamente en el aspecto oblicuo de la gnomónica, pero ellos se interceptan en el polo. Ellos no están separados en ángulos iguales. El ecuador es una línea recta perpendicular al meridiano central. Si la latitud central está al norte del Ecuador, su colatitud (90 ° menos la latitud) se muestra como un arco parabólico, latitudes más septentrionales son elipses, y las latitudes más al sur, son hipérbolas. Si la latitud central está al sur del ecuador, signos opuestos se aplican.

Diversas construcciones gráficas han sido publicados, pero no se describen aquí debido a la facilidad de planear o el calcular coordenadas por computadora, y porque no agrega mucho a la comprensión de esta proyección.


En resumen:

Azimutal y perspectiva Todos los meridianos y el Ecuador son líneas rectas Todos los paralelos, excepto el ecuador y los polos son elipses, hipérbolas Ni conforme ni de áreas iguales Todos los círculos MAXIMOS se muestran como líneas rectas Menos de un hemisferio, puede ser mostrado en torno a un centro determinado No hay distorsión SOLO en el centro La distorsión y la escala aumentan rápidamente del centro Direcciones desde el centro son verdaderas Sólo se utiliza en la forma esférica Conocida por los griegos hace 2.000 años

FÓRMULAS PARA LA ESFERA

Un punto a una determinada distancia angular desde el punto de centro elegido en la esfera se representa en la proyección gnomónica, a una distancia desde el centro proporcional a la tangente trigonométrica de la distancia angular, y en su azimut verdadero, o

Donde c es la distancia angular de un punto determinado del centro de proyección. Az es el acimut al este del norte, y 0 es la polar de coordenadas al este del sur. El término k 'es el factor de escala en una dirección perpendicular a el radio desde el centro del mapa, no a lo largo del paralelo, excepto en el aspecto polar. El factor de escala h 'se mide en la dirección de el radio. La combinación de las ecuaciones estándar, las fórmulas para las coordenadas rectangulares de la proyección gnomónica oblicua es la siguiente, dado R, (bl, o, b, y), para encontrar X e Y:


y ((bl, ko) son la latitud y longitud del centro de proyección y de origen. El eje Y coincide con el meridiano central, O, Y el aumento del norte. Los meridianos son líneas rectas, pero los paralelos son secciones cónicas para que la excentricidad = (cos l / pecado 4) (Si la excentricidad es cero, por 1 = + - 90 °, son círculos. Si la excentricidad es menor que 1, son elipses, y si es igual a 1, una parábola, si es mayor 1, un arco hiperbólico.) Para la gnomónica polar norte, dejando 1 = 90 °, Y en coordenadas polares,

En forma automática el cálculo de un conjunto general de las coordenadas de un mapa gnomónica, la ecuación anterior debe ser utilizada para rechazar los puntos de igual o superior a 90 º desde el centro. Es decir, si Cos c es cero o negativo, el punto debe ser rechazado. Si Cos c es positivo, puede o no puede ser trazado en función de los límites deseados en el mapa. Para las fórmulas inversas para la esfera, para encontrar y k, dado R,, ko, x, y y:


PROPIEDADES IMPORTANTES

Cualquier geodésica de la superficie de referencia (círculo máximo) se transforma en una línea recta.

Las líneas geodésicas sobre una superficie de referencia esférica se conocen como ortodrómicas y materializan la curva de menor distancia por geodésicas.

Esta propiedad ha hecho que se utilice esta proyección para cartografía con fines de navegación aérea dado que los aviones siguen a menudo ortodrómicas.

USOS

Rutas de navegación marítimas y aéreas

Caso polar, mapas de navegación de regiones polares

Caso ecuatorial, mapas de navegación de África, regiones tropicales y Sur América


TIPOS

PROYECCIÓN GNOMÓNICA POLAR.

Consiste en proyectar los puntos de la superficie terrestre sobre un plano tangente a la tierra en el polo, tomando como foco de proyección el centro de la tierra (centro-gráfica).

Los paralelos se proyectan como círculos concéntricos con el punto de tangencia que aumentan de separación conforme disminuye la latitud.

El Ecuador no tiene representación.

Los paralelos se proyectan como superficies cónicas que al cortar con el plano de proyección dan círculos concéntricos.

En la figura de abajo vemos:


PA´= cotglA

PB´= cotglB

Luego D L = f(cotgl)

Si l=0 (ecuador): cotg0 =B y, por tanto, el ecuador no tiene representación.

La ortodrómica entre dos puntos queda representada por la recta que une ambos puntos una vez situados en la carta.

Es característica común de todas las proyecciones gnomónicas que los círculos máximos (meridianos, ortodrómicas) queden representados por rectas.

La perpendicular trazada desde el polo a la derrota, nos da el vértice de la ortodrómica.

Es una proyección para altas latitudes (60° o más).

PROYECCIÓN GNOMÓNICA ECUATORIAL

Se trata de proyectar los puntos de la tierra, tomando como foco el centro de la misma, sobre un plano tangente a la esfera terrestre en cualquier punto del Ecuador.

Normalmente se debe usar como punto de tangencia el punto central de la zona que se quiera tratar. Mientras más cerca de nuestra situación tomemos el punto de tangencia menos deformación habrá.

Estudiemos la figura siguiente:


Los meridianos se proyectan como rectas por tratarse de una proyección gnomónica.

Razón de separación de los meridianos:

TA´= OT.tgD L

OT = radio = 1

TA´= razón de separación = tgD L

El Ecuador, al ser un círculo máximo también se proyecta como una recta.

Los paralelos se proyectan como hipérbolas. Razón de separación de los paralelos:

B´A´= OA´. tgl

En el triángulo (OTA´): OT = OA´. cosD L

Luego B´A´= tgl.secD L

La ortodrómica queda representada por una recta.

Esta proyección se utiliza entre 40° N y 40° S aproximadamente.

Para altas latitudes no se utiliza por existir mucha deformación.


PROYECCIÓN GNOMÓNICA HORIZONTAL

Se trata de proyectar los puntos de la tierra, tomando como foco el centro de la misma (centro-gráfica), sobre un plano tangente a la esfera terrestre en cualquier punto que no pertenezca al Ecuador ni sea un polo.

Los meridianos se proyectan como rectas concurrentes en la proyección del polo

TP´= OT*tg(90-lT) = cotglT

Casos que se pueden dar:

l > 90-lT : Los paralelos se proyectan como ELIPSES.

l = 90-lT : Los paralelos se proyectan como PARÁBOLAS.

l < 90-lT : Los paralelos se proyectan como HIPÉRBOLAS.

Las ortodrómicas se proyectan como rectas.

La proyección gnomónica horizontal es la proyección gnomónica más utilizada.


Se establece con el centro de proyección en el centro de la Tierra. Son polares cuando el plano de proyección es tangente al polo. Todas las proyecciones polares se llaman ecuatoriales por ser su plano paralelo al del ecuador. A las meridianas también se las llama transversas, denominando acimutales a estas y a las polares

La proyección gnomónica se forma proyectando todos los puntos desde el centro de la tierra a un plano tangente a la esfera:

Esta proyección tiene la útil propiedad de que todos los grandes círculos aparecen como líneas rectas e, inversamente, todas las líneas rectas dibujadas sobre él son grandes círculos. Un marinero que tome la ruta más corta entre dos puntos (siempre segmentos de un gran círculo), puede graficar su curso sobre una proyección gnomónica simplemente dibujando una recta entre dos puntos. En esta proyección cada punto de la superficie del plano (plano inversivo) corresponde a dos puntos sobre la esfera: los puntos antípodas. Cada línea en el plano corresponderá a un plano hacia el centro de la esfera. Este plano diametral corta a la esfera en un gran círculo. Inversamente, cada gran círculo de la esfera, excepto el ecuador, cuyo plano es paralelo al plano inversivo, corresponde a una línea sobre el plano. Se puede añadir al plano euclidiano una línea en el infinito para representar el ecuador con todos sus puntos; los "puntos en el infinito" representan los pares de puntos antípodas sobre el ecuador.


Un ejemplo del aspecto polar se muestra en esta figura:


Y para el polo sur:


Como era de esperarse, la distorsión del factor de escala se hace extrema al alejarse del centro de la proyección, alcanzando el valor de 2 a lo largo del meridiano donde la latitud es 45° y un valor de 4 a una latitud de 30°. Claramente no es posible mostrar un hemisferio completo con esta proyección. La ventaja de esta proyección es que es la única donde todos los grandes círculos (la ruta más corta entre dos puntos sobre la esfera) se muestran como líneas rectas sobre la proyección y viceversa. Este rasgo significa que se puede usar para planear la ruta más corta entre dos puntos aún cuando este papel se ha superado, con mucho, por técnicas computacionales.


Conclusión

La proyección gnomónica puede que no tenga gran relevancia en la cartografía del siglo XXI, pero es una proyección cartográfica que para su época genero grandes avances y que aun así con sus distorsiones elevadas permitió ser aplicada en diferentes áreas así como: navegación y vuelos aéreos. Y que ha sido parte de la historia de la representación del mundo.

Esta proyección tiene la útil propiedad de que todos los grandes círculos aparecen como líneas rectas e, inversamente, todas las líneas rectas dibujadas sobre él son grandes círculos. Un marinero que tome la ruta más corta entre dos puntos (siempre segmentos de un gran círculo), puede graficar su curso sobre una proyección gnomónica simplemente dibujando una recta entre dos puntos. En esta proyección cada punto de la superficie del plano (plano inversivo) corresponde a dos puntos sobre la esfera: los puntos antípodas. Cada línea en el plano corresponderá a un plano hacia el centro de la esfera.


Bibliografía

http://es.wikipedia.org/wiki/Gnom%C3%B3nica http://members.fortunecity.es/cursosdenavegacion/proyeccion.htm Map-projection--Handbooks, manuals, etc. I. Title. II. Series: Geological Survey professional paper; 1395. 87-600250

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