proste rachunki wykonywane za pomocĄ komputera wprowadzenie do algorytmiki
DESCRIPTION
PROSTE RACHUNKI WYKONYWANE ZA POMOCĄ KOMPUTERA WPROWADZENIE DO ALGORYTMIKI. Maciej M. Sysło Uniwersytet Wrocławski Uniwersytet UMK w Toruniu [email protected]. Algorytm, algorytmika. Algorytm – opis rozwiązania krok po kroku postawionego problemu lub sposobu osiągnięcia jakiegoś celu - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
PROSTE RACHUNKI WYKONYWANE ZA POMOCĄ KOMPUTERA
WPROWADZENIE DO ALGORYTMIKI
Maciej M. SysłoUniwersytet Wrocławski
Uniwersytet UMK w [email protected]
2informatyka +
Algorytm, algorytmika
Algorytm – opis rozwiązania krok po kroku postawionego problemu lub sposobu osiągnięcia jakiegoś celu
Pierwszy algorytm – algorytm Euklidesa 300 p.n.e
algorytm od Muhammad ibn Musa al-Chorezmi IX w.
Algorytmika – dziedzina zajmująca się algorytmami i ich własnościami
informatyka + 3
Algorytmy a informatyka
Informatyka – jedna z definicji: dziedzina wiedzy i działalności zajmująca się algorytmami
Czy zajmuje się też algorytmami kulinarnymi?
Donald E. Knuth: Mówi się często, że człowiek dotąd nie zrozumie czegoś,
zanim nie nauczy tego – kogoś innego.W rzeczywistości,
człowiek nie zrozumie czegoś (algorytmu) naprawdę,zanim nie zdoła nauczyć tego – komputera.
Ralf Gomory (IBM):Najlepszym sposobem przyspieszania komputerów jest obarczanie ich mniejszą liczbą działań (szybszymi algorytmami)
informatyka + 4
Będziemy uczyć komputery, czyli programować je !
Algorytmiczne rozwiązywanie problemu
Dla problemu – chcemy otrzymać rozwiązanie komputerowe, które jest: • zrozumiałe dla każdego, kto zna problemu • poprawne, czyli spełnia specyfikację (opis) problemu• efektywne, czyli nie marnuje czasu i pamięci komputera
Metoda rozwiązywania: • analiza sytuacji problemowej• sporządzenie specyfikacji: wykaz danych, wyników i relacji• projekt rozwiązania• komputerowa realizacja rozwiązania – implementacja• testowanie poprawności rozwiązania• dokumentacja i prezentacja rozwiązania
informatyka + 5
Rozwiązywanie problemów z pomocą komputerów
Objaśnienie dwóch terminów:
Problem:•problem, gdy nie podano nam, jak należy go rozwiązać, ale wiemy wystarczająco, by poradzić sobie z nim•a więc, problem jest dla każdego nie tylko dla orłów
Programowanie: •komputery wykonują tylko programy•cokolwiek uruchamiamy na komputerze: Google, dokument w Word, arkusz w Excel, naciśnięcie klawisza – jest programem•każdy widoczny i niewidoczny efekt działania komputera to wynik działania jakiegoś programu
Konkluzja: powinniśmy lepiej poznać programowanie komputerów
informatyka + 6
Myślenie algorytmiczneMyślenie komputacyjne (ang. computational thinking)
informatyka + 7
Reklama firmy IBM z 1924 roku
Komputer to maszyna do myślenia !!!
Problemy, algorytmy i ich komputerowe realizacje (implementacje)
Plan:• Obliczenia w komputerze – czy komputer może
wszystko policzyć?– trasę dla Premiera
– kryptogram RSA
• Liczby dziesiętne, binarne, … – system pozycyjny, zamiana liczb między systemami
• Obliczanie wartości wielomianu – Schemat Hornera
• Podnoszenie do potęgi – szybko!
• Algorytm Euklidesa – rekurencja, jako przedsmak informatyki
informatyka + 8
Czy komputer może wszystko obliczyć , 1
Problem: Znajdź najkrótszą trasę dla Premiera przez wszystkie miasta wojewódzkie.
informatyka + 9
Rozwiązanie: Premier zaczyna w Stolicy a inne miasta może odwiedzać w dowolnej kolejności. Tych możliwości jest:
15*14*13*12*11*…*2*1 = 15! (15 silnia)
W 1990 roku było: 48*47*46*…*2*1 = 48! (48 silnia)
Jak szybko można obliczyć 15!, a 48! Mając komputer, który wykonuje 1015 (1 petaflops) operacji na sekundę (superkomputer)?
15! = 1307674368000/1015 sek. = ok. 0.01 sek.
48! = 1,2413915592536072670862289047373*1061/1015 = Ile to jest lat?
25! = 15511210043330985984000000/1015 sek. = 15511210043 sek. = = 179528 dni = 491 lat
Czy komputer może wszystko obliczyć, 2
Kryptografia: Szyfr RSA, jeden z najpopularniejszych obecnie, bazuje na podnoszeniu do dużej potęgi dużych liczb, np.
12345678909876543212345678909876543211234567899876543211234567890123456789098765432112345678909876543211234567890987654321
Jak można szybko obliczać takie potęgi? Demo:
informatyka + 10
System dziesiętny, system pozycyjny
Liczba dziesiętna: 357 ma wartość (dziesiętną):
357 = 3*100 + 5*10 + 7*1 = 3*102 + 5*101 + 7*100
a zatem liczba: dn-1 dn-2 … d1 d0 która ma n cyfr
ma wartość:
dn-1*10n-1 + dn-2*10n-2 + … + d1*101 + d0*100
10 – podstawa systemu {0, 1, 2, 3, …, 8, 9} – cyfry
2, 8, 16 – podstawy systemów używanych w komputerach
podstawa cyfry
2 0, 1 system binarny
8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
60 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, G, …
informatyka + 11
System binarny
Liczba binarna: 10101 = (10101)2 ma wartość (dziesiętną):
1*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 24 + 22 + 1 = 16 + 4 + 1 = 21
a zatem liczba binarna: (bn-1 bn-2 … b1 b0)2 która ma n cyfr
ma wartość:
a = bn-1*2n-1 + bn-2*2n-2 + … + b1*21 + b0*20 (*)
Jak szybko obliczać wartość dziesiętną binarnego rozwinięcia?
We wzorze (*) zastępujemy 2 przez x i otrzymujemy:
a = bn-1*xn-1 + bn-2*xn-2 + … + b1*x1 + b0*x0
Jest to wielomian zmiennej x o współczynnikach 0 lub 1, czyli:
Pytanie: Jak szybko obliczać wartość wielomianu?
informatyka + 12
Binarne rozwinięcie liczby a
Najbardziej znaczący bit
Najmniej znaczący bit
Obliczanie wartości wielomianu
Obliczanie wartości wielomianu jest bardzo ważną operacją w komputerze, bo wartość każdej funkcji jest liczona jako wartość wielomianu, np. cos x = 1 – 0.49670x2 + 0.03705x4.
Wielomian stopnia 2:
w(x) = ax2 + bx + c = a*x*x + b*x + c 3 mnożenia 2 dodawania
w(x) = ax2 + bx + c = (a*x + b)*x + c 2 mnożenia 2 dodawania
Wielomian stopnia 3:
w(x) = ax3 + bx2 + cx + d = ((a*x + b)*x + c)*x + d 3 mnoż. 3 dod.
Wielomian stopnia n:
wn(x) = a0*xn + a1*xn-1 + … + an-1*x + an =
= (a0*xn-1 + a1*xn-2 + … + an-1)*x + an = … =
= ((…((a0*x + a1)*x + a2)*x + … + an-2)*x + an-1)*x + an
informatyka + 13
Obliczanie wartości wielomianu specyfikacja, algorytm
Problem Wielomian – Obliczanie wartości wielomianuDane: n – nieujemna liczba całkowita
a0, a1, a2, ..., an – n + 1 współczynników wielomianu
z – wartość argumentu – obliczamy wn(z).
Wynik: wn(z) – czyli wartość wielomianu wn(x) w punkcie x = z
Algorytm do obliczania wartości wielomianu:
wn(z) = ((…((a0*z + a1)*z + a2)*z + … + an-2)*z + an-1)*z + an
Schemat Hornera: y := a0
y := y*z + a1
y := y*z + a2
…..
y := y*z + an-1
y := y*z + an
informatyka + 14
y := a0
y := y*z + ai dla i = 1, 2, …, n
Specyfikacja problemu – dokładny opis problemu
n mnożeń i n dodawańNie ma szybszego algorytmu!!!
Schemat blokowy algorytmu Hornera
informatyka + 15
Instrukcja iteracyjna
Instrukcja warunkowa:rozgałęzienia algorytmu
Ada Augusta, córka Byrona, uznawana powszechnie za pierwszą programistkę komputerów, przełomowe znaczenie maszyny analitycznej Ch. Babbage’a, pierwowzoru dzisiejszych komputerów, upatrywała właśnie „w możliwości wielokrotnego wykonywania przez nią danego ciągu instrukcji, z liczbą powtórzeń z góry zadaną lub zależną od wyników obliczeń”, a więc w iteracji.
i := 0; y := a0
Początkowe wartości
Czy i = nCzyli, czy wyczerpano
wszystkie współczynniki
NieTak
i := i + 1y := y*z + ai
Wyprowadź wartość yKoniec algorytmu
Pełny schemat blokowy algorytmu Hornera
informatyka + 16
Algorytm Hornera w postaci programu (Pascal)
program Horner;
var i,n :integer;
a,y,z :real;
begin
read(n); read(z);
read(a);
y:=a;
for i:=1 to n do begin
read(a);
y:=y*z+a
end;
write(y)
end.
informatyka + 17
nazwa programu
deklaracje, typy zmiennych
blok programu – początek
czytaj n, czytaj z
czytaj pierwszy współczynnik
początkowa wartość wyniku
pętla od 1 do n
czytaj kolejny współczynnik
powiększenie wyniku
iteracja – koniec
pisz wynik
blok programu – koniec
WarsztatyAlgorytm, język programowania, komputer
informatyka + 18
Proces komputerowej realizacji algorytmu:
•Opis algorytmu
•Zapis w języku programowania (Pascal, C++)
•Przetłumaczenie na język zrozumiały przez komputer
•Wykonanie
•Testowanie
Algorytm Hornera – współczynniki w tablicy (Pascal)
Program Horner_tablica; var i,n :integer; y,z:real; a:array[0..100] of real {Co najwyzej 100 wspolczynnikow}begin read(n); for i:=0 to n do read(a[i]); writeln(' z y'); read(z); while z <> 0 do begin y:=a[0]; for i:=1 to n do y:=y*z+a[i]; write(' ',y:2:5); writeln; read(z) endend.
informatyka + 19
Deklaracja tablicy
Czytanie współczynników
Instrukcja iteracyjna z warunkiem:Obliczanie wartości tego samego wielomianu tak długo, jak długo argument jest różny od zera, czyli z <> 0.
Zastosowania Algorytmu Hornera
1. Obliczanie wartości wielomianów.
2. Obliczanie wartości dziesiętnej liczb danych w systemie o podstawie różnej od 10, np. liczb binarnych.
Uwaga: jest to bardzo prosta metoda, np. dla obliczeń na kalkulatorze bez pamięci.
3. Szybkie potęgowanie (w dalszej części)
informatyka + 20
Otrzymywanie postaci binarnej liczb
Szkolna metoda: dzielimy przez dwa tak długo, jak długo iloraz jest większy od zera – słupki:
dzielenie iloraz reszta
187|2 93 1
93|2 46 1
46|2 23 0
23|2 11 1
11|2 5 1
5|2 2 1
2|2 1 0
1|2 0 1
Reprezentacja od końca reszt:
187 = (10111011)2
informatyka + 21
Program Rozwiniecie_binarne; var a:integer;begin read(a); while a <> 0 do begin write(a mod 2,' '); a:=a div 2 endend.
Ciekawe pytanie: jaka jest długość rozwinięcia binarnego liczby n?
Bardzo prosty program
Podnoszenie do potęgi, 1
Dane: m – liczba naturalna,
x – liczba rzeczywista
Wynik: y = xm
Algorytmy: korzystają ze spostrzeżenia:jeśli m jest parzyste, to xm = (xm/2)2 jeśli m jest nieparzyste, to xm = (xm –1)x (m – 1 staje się parzyste).
Faktycznie, korzysta się z postaci binarnej wykładnika m.
Przykład: m = 22
Sposób 1. Rozłóż m na sumę potęg liczby 2 mamy: 22 = 2 + 4 + 16 A stąd: x22 = x2+4+16 = x2 *x4 *x16 Kolejne mnożenia: x2, x4 = (x2)2, x8 = (x4)2, x16 = (x8)2, y = x2 *x4 = x6,
y = y*x16 6 mnożeń (kwadrat to jedno mnożenie)
informatyka + 22
Znajdź rozwinięcie binarne liczby m; mamy: 22 = (10110)2
Przedstaw wykładnik w postaci schematu Hornera; mamy:
22 = 1*24 + 0*23 + 1*22 + 1*21 + 0*20 = (((2 + 0)2 + 1)2 + 1)2 +0
Z postaci wykładnika określ kolejność mnożeń:
x(((2+0)2+1)2+1)2+0 = x(((2+0)2+1)2+1)2 = (x(((2+0)2+1)2+1)2 = (x(((2+0)2+1)2 x)2 =
= (x(((2+0)2+1)2 x)2 = (x(((2+0)2x)2 x)2 = (x(((2+0)2x)2x)2 = (((x2)2x)2x)2 = x22
Kolejne mnożenia:
x2, x4 = (x2)2, x5 = (x4)x, x10 = (x5)2, x10x = x11, (x11)2 = x22
Ten algorytm również wykonał 6 mnożeń, ale liczy inne iloczyny.
Obie metody są bardzo efektywne i praktyczne – wykonują co najwyżej dwa razy więcej mnożeń niż wynosi długość liczby w
postaci binarnej
informatyka + 23
Podnoszenie do potęgi, 2
Algorytm Euklidesa, 1
Uważany za pierwszy algorytm – powstał 300 p.n.e. Chociaż Chińczycy i Hindusi wcześniej tworzyli przepisy
obliczeniowe. Przez długie lata był synonimem algorytmu i od niego zaczynały
wszystkie książki akademicki. Ma bardzo wiele zastosowań praktycznych i teoretycznych:
arytmetyka, czyli obliczenia na liczbach całkowitych
kryptografia – RSA
łamigłówki
Przykład: Czy za pomocą naczyń 6 i 10 litrowych można napełnić pojemnik 15 litrami wody – wodę można dolewać lub pobierać z pojemnika tylko całymi naczyniami.
informatyka + 24
Algorytm Euklidesa, 2
Problem NWD(m,n) – Największy Wspólny Dzielnik
Dane: m, n – liczby naturalne (można przyjąć, że m ≤ n)
Wynik: NWD(m,n) – Największy wspólny dzielnik liczb m i n.
Przykłady:
NWD(42,14) = 14
NWD(24,16) = 8
NWD(13,21) = 1 13 i 21 są względnie pierwsze
NWD(0,31) = 31 0 jest podzielne przez każdą liczbę
Zasada, wykorzystana w algorytmie – Twierdzenie o ilorazie i reszcie
n = q*m + r, gdzie 0 ≤ r < m
q – iloraz, r – reszta.
informatyka + 25
Algorytm Euklidesa, 3
Wnioski:
1.Jeśli r = 0, to m dzieli n, czyli NWD(m,n) = m
2.Jeśli r ≠ 0, to mamy r = n – qm, czyli każda liczba, która dzieli n oraz m dzieli również r, w szczególności największa taka liczba.
Stąd mamy:
NWD(m,n) = NWD(r,m)
Przykład: NWD(25,70) = NWD(20,25) = NWD(5,20) = NWD(0,5) = 5
NWD(25,70): 70 = 2*25 + 20
NWD(20,25) 25 = 1*20 + 5
NWD(5,20) 20 = 4*5 + 0 r = 0, więc NWD( , ) = 5
Generowane liczby maleją: 70, 25, 20, 5, 0 więc algorytm jest skończony
informatyka + 26
Algorytm Euklidesa, 4 – dwie realizacje
program Euklides;
var m,n,r:integer;
begin
read(m,n);
while m>0 do begin
r:=n mod m;
n:=m;
m:=r
end;
write(n)
end.
informatyka + 27
Realizacja z funkcją:
program Euklides_funkcja; var m,n:integer;
function NWD(m,n:integer):integer; var r:integer; begin while m>0 do begin r:=n mod m; n:=m; m:=r end; NWD:=n end;
begin read(m,n); writeln(NWD(m,n))end.
Funkcja
Wywołanie funkcja
Algorytm Euklidesa, 5 – realizacja rekurencyjna
program Euklides_rekurencja;
var m,n:integer;
function NWD_rek(m,n:integer):integer;
begin
if m>n then NWD_rek:=NWD_rek(n,m)
else if m = 0 then NWD_rek:=n
else NWD_rek:=NWD_rek(n mod m,m)
end;
begin
read(m,n);
writeln(NWD_rek(m,n))
End.
informatyka + 28
Funkcja rekurencyjna
Wywołania rekurencyjne
Algorytm Euklidesa, 6 – zagadki
Przykład 1. Czy za pomocą naczyń 6 i 10 litrowych można napełnić pojemnik 15 litrami wody – wodę można dolewać lub pobierać z pojemnika tylko całymi naczyniami.
Jeśli istnieje rozwiązanie, to istnieją takie x i y, że
6x + 10y = 15
Czy istnieją? Uzasadnij odpowiedź.
Rozwiązanie 1. W tym przypadku nie istnieje rozwiązanie. Istnieje, gdy prawa strona jest wielokrotnością NWD(6,10).
Przykład 2. W jednym pojemniku są klocki o wysokości p, a w drugim – o wysokości q. Czy zawsze można zbudować wieże z każdego rodzaju klocków, które mają tę samą wysokość? Jeśli jest to możliwe, to jaka jest najmniejsza wysokość takich wież?
Rozwiązanie 2. Zawsze możliwe. Najmniejsza wysokość NWW(p,q).
Pytanie 3. Jaki zachodzi związek między NWD(m,n) i NWW(m,n)?
Mamy NWW(m,n) = (m*n)/NWD(m,n)
informatyka + 29
Pokrewne zajęcia w Projekcie Informatyka +
Wykład+Warsztaty (Wszechnica Poranna):• Wprowadzenie do algorytmiki i programowania – wyszukiwanie i
porządkowanie informacji • Proste rachunki wykonywane za pomocą komputera.• Techniki algorytmiczne – przybliżone (heurystyczne) i dokładne.
Wykłady (Wszechnica Popołudniowa): • Czy wszystko można policzyć na komputerze? • Porządek wśród informacji kluczem do szybkiego wyszukiwania. • Dlaczego możemy się czuć bezpieczni w sieci, czyli o szyfrowaniu
informacji. • Znajdowanie najkrótszych dróg, najniższych drzew, najlepszych
małżeństw
informatyka + 30
Pokrewne zajęcia w Projekcie Informatyka +
Kursy (24 godz.) – Wszechnica na Kołach:• Algorytmy poszukiwania i porządkowania. Elementy języka
programowania• Różnorodne algorytmy obliczeń i ich komputerowe realizacje• Grafy, algorytmy grafowe i ich komputerowe realizacje
Kursy (24 godz.) – Kuźnia Informatycznych Talentów – KIT dla Orłów:• Przegląd podstawowych algorytmów• Struktury danych i ich wykorzystanie• Zaawansowane algorytmy
Tendencje – Wykłady • Algorytmy w Internecie, K. Diks • Czy P = NP, czyli jak wygrać milion dolarów w Sudoku, J. Grytczuk• Między przeszłością a przyszłość informatyki, M.M Sysło
informatyka + 31