proposiciones simples y compuestas - ajustar

PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS

ELEMENTOS DE LGICA SIMBLICA

1. Qu es una proposicin?Es la expresin de un juicio entre dos trminos, que solo puede ser verdadera o falsa, no ambas a la vez

2. Qu es forma proporcional?Expresin que se transforma en verdadera proposicin, al sustituir la variable o el elemento impreciso, por un elemento fijo.

3. Qu es una proposicin simple?Es cuando concierne a un hecho nicoEjemplo: El ao tiene doce mesesEl da tiene 24 horas

4. Qu es una proposicin compuesta?Es la combinacin de enunciados simples, en caso contrario se llama atmica.Ejemplo: Tengo fro y estoy temblando.Tengo una guitarra elctrica y una electroacstica.

5. Qu es un conectivo lgico y sus smbolos para representarlos?Para relacionar las proposiciones simples se hace necesaria la aplicacin de conectivos y as formar una proposicin compuesta.Smbolos: Conectivos:Y = & = ^ ConjuncinO = V Disyuncin inclusivaO = V Disyuncin exclusivaSi entonces = => ImplicacinSi = si y solo s = EquivalenciaNo = = Negacin

6. Qu es la Conjuncin? ^La conjuncin de dos proposiciones es verdadera solo cuando ambas son verdaderas, y falsas, si una de las partes o ambas son falsas.Ejemplo: 9 es mltiplo de 3 y 21 es mltiplo de 7 V9 es mltiplo de 3 y 21 no es mltiplo de 7 F9 no es mltiplo de 3 y 21 es mltiplo de 7 F9 no es mltiplo de 3 y 21 no es mltiplo de 7 F

2+5=7 y 7+7 = 14 V2+5=7 y 7+7 no es = 14 F 2+5 no es = 7 y 7+7 = 14 F2+5 no es = 7 y 7+7 no es = F

7. Qu es la Disyuncin inclusiva? VEs verdadera siempre que al menos una de las proposiciones sea verdadera, o cuando ambas partes sean verdaderas, y es falsa cuando ambas partes sean falsas.Ejemplo: Compro radio o televisor VCompro radio o no compro tv VNo compro radio o compro tv VNo compro radio o no compro tv F

Compro zapatos o pantaln VCompro zapatos o no compro pantaln VNo compro zapatos o compro pantaln VNo compro zapatos o no compro pantaln F8. Qu es la disyuncin exclusiva? VEs verdadera cuando solo una de las componentes es verdadera, y falsa, cuando ambas son verdaderas o ambas son falsas.Ejemplo: Maana a las 5.30 estar en la USAC o en mi casa FMaana a las 5.30 estar en la USAC y no estar en mi casa VMaana a las 5.30 no estar en la USAC y estar en mi casa. VMaana a las 5.30 no estar en la USAC y ni estar en mi casa. F

Hoy realizare mis tareas o ir a ensaar con mi banda FHoy realizare mis tareas y no ir a ensaar con mi banda VHoy no realizare mis tareas y si ir a ensaar con mi banda VHoy no realizare mis tareas y no ir a ensaar con mi banda F9. Qu es la implicacin o condicional? (=>)Esta es verdadera en todos los casos, salvo cuando el antecedente es verdadero y la consecuente falsa.Ejemplo: Si hace calor, entonces se secara la ropa rpido VSi hace calor, entonces no se seca la ropa rpido FSi no hace calor entonces se secara la ropa rpido VSi no hace calor, entonces no se secara la ropa rpido V

Si me pagan hoy, entonces comprare una guitarra VSi me pagan hoy, entonces no comprare una guitarra FSi no me pagan hoy entonces comprare una guitarra VSi no me pagan hoy, entonces no me comprare una guitarra V

10. Qu es la equivalencia, la doble implicacin o incondicional? ()Esta es verdadera cundo ambas proposiciones son verdaderas o son falsas.Cuando una es verdadera y la otra falsa, entonces la equivalencia es falsa.Ejemplo: Comprare casa si el banco me presta el dinero. VComprare casa si el banco no me presta el dinero FNo comprare casa si el banco me presta el dinero FNo comprare casa si el banco no me presta el dinero V

11. Qu es la negacin y cul es su smbolo? ( = )La negacin de una preposicin es verdadera y si la proposicin es falsa, la negacin es verdadera.El pizarrn del aula de matemticas 1 es rojo VEl pizarrn del aula de matemticas 1 no es rojo FEl pizarrn del aula de matemticas 1 es morado F El pizarrn del aula de matemticas 1, no es morado V

Mis zapatos son color negro VMis zapatos no son color negro FMis zapatos son color caf FMis zapatos no son color caf V

12. Qu es una forma proposicional?Es la expresin que se transforma en verdadera proposicin, al sustituir la variable o el elemento impreciso, por un elemento fijo.4X=16 4(4) = 16El fue a la USAC Carlos fue a la USAC

13. Qu es una proposicin y cules son sus tipos?Es la expresin de un juicio entre dos trminos puede ser verdadera o falsa.Estn divididas en proposiciones simples y compuestas.Ejemplo:P.Simple: El agua es indispensable para la vidaP. Compuesta: Si tengo dinero hoy, entonces te invito a comer.

14. Cules son los valores de verdad?Los valores de verdad de una proposicin sencilla o simple solo puede tener dos valores de verdad, que ser verdadera o que sea falsa.

15. Tablas de verdad y sus tipos (tautologa, contradiccin y contingencia)La tautologa es una proposicin que siempre es verdadera.La contradiccin es una proposicin que siempre es falsa.La contigencia es una preposicin que tiene valores de verdad falsos y verdaderos.

CLASES DE PROPOSICIONES

Existen dos clases de proposiciones:

PROPOSICIONES SIMPLES: tambien denominadas proposiciones atmicas. Son aquellas proposiciones que no se pueden dividir.

Ejemplos:

El cielo es azul.

PROPOSICIONES COMPUESTAS: tambien denominadas moleculares. Son aquellas que estn formadas por dos o ms proposiciones simples unidas por los operadores lgicos.

Ejemplos:

Fui al banco, pero el banco estaba cerrado.

Los lectores de este libro son jvenes o universitarios.

Si el mircoles prximo me saco la lotera entonces te regalare un auto.

CONECTIVOS (OPERADORES) LOGICOS

Son aquellos que sirven para formar proposiciones ms complejas (compuestas o moleculares).

TIPOS DE CONECTIVOS Y EJEMPLOS

ConectivoProps. Compuesta

NOTNegacin

AND^Conjuncin

ORvDisyuncin inclusiva

OR exclusivovDisyuncin exclusiva

Condicional

Bicondicional

A) NEGACION:

EJEMPLO: Juan conversa.

Juan no conversa.

B) CONJUNCION:

EJEMPLO: P: La casa esta sucia.

Q: La empleada la limpia maana.

PQ: La casa esta sucia y la empleada la limpia maana.

C) DISYUNCION:

D) DISYUNCION EXCLUSIVA:

EJEMPLO: P: Pedro juega bsquet.

Q: Mara juega futbol. PVQ: Pedro juega bsquet o Mara juega futbol.

E) CONDICIONAL:

EJEMPLO: P: Si me saco la lotera.

Q: Te regalare un carro.

PQ: Si me saco la lotera entonces te regalare un carro.

F) BICONDICIONAL:

EJEMPLO: P: Simon bolvar vive.

Q: Montalvo esta muerto.

PQ: Simon bolvar vive si y solo si Montalvo esta muerto.

FORMAS PROPOSICIONALES

Existen tres formas proposicionales:

TAUTOLOGIAS: es aquella forma proposicional que da como resultado verdadero.

CONTRADICCIONES: es aquella forma proposicional que siempre da como resultado falso.

FALACIAS O INDETERMINADA: es aquella forma proposicional que siempre es verdadera y falsa a la vez.

PROPIEDADES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES

A) CONMUTATIVA: B) ASOCIATIVA: C) DISTRIBUTIVA: D) IDENTIDAD: E) ABSORCION: F) LEYES DE MORGAN: G) DOBLE NEGACION: Proposiciones Negativas

Las proposiciones negativas llevan el adverbio de negacin no, o sus expresiones equivalentes como nunca, jams, tampoco, no es verdad que, no es cierto que, es falso que, le falta, carece de, sin, etc.

Ejemplos:

a) Nunca he odo esa msica.

b) Jams he visto al vecino.

c) Es imposible que el tomo sea molcula.

d) Es falso que el juez sea fiscal.

e) Al pap de Nelly le falta carcter.

ANEXO (RAZONAMIENTO)

Las formas proposicionales que estn constituidas por una o ms hiptesis o premisas por una conclusin.Estructura

Conjunto de premisas conclusin.

Un razonamiento es valido si y solo si el condicional formado es tautolgico.

EJEMPLO: Si hay lluvias, hay cosechas; si hay enfermedades, no hay cosechas; hay heladas o hay enfermedades; no hay enfermedades. Por lo tanto, hay lluvias.

1.- Identificamos las hiptesis y la conclusin, que en este caso son separadas por ;.

H1.- Si hay lluvias, hay cosechas.

H2.- Si hay enfermedades, no hay cosechas.

H3.- Hay heladas o hay enfermedades.

H4.- No hay enfermedades.

C.- Hay lluvias.

2.- Determinamos las proposiciones simples:

p: Hay lluvias

q: Hay cosechas

r: Hay enfermedades

S: Hay heladas

3.- Traducimos al lenguaje formal.

H1:H2:H3: H4:C: 4.- Entonces estructuramos el razonamiento.

PREGUNTAS GENERADORAS

De que manera podemos aplicar la lgica proposicional a la ingeniera de sistemas?

a travs de las proposiciones lgicas en que modelo la carrera podemos aplicar razonamientos lgicos? Qu mtodos se utilizan para saber si algo es verdadero o es falso, y que tanto aportan las proposiciones a la ingeniera de sistemas?

Los mapas conceptuales solo enlazan conceptos Ajustar mapas conceptuales

MAPAS CONCEPTUALES

1)

2)

3)

VOCABULARIOMONTALVO: Juan Montalvo (1832-1889), escritor ecuatoriano, nacido en Ambato y fallecido en Pars.

Su obra, personal y fuerte, es de difcil clasificacin, aunque le corresponde el amplio y abierto campo del ensayo, basado en el gran ejemplo fundacional del escritor francs Miguel de Montaigne. Se le considera uno de los mayores prosistas hispanoamericanos del siglo XIX, pues su lxico, giros y cadencias, as como la desenfadada agudeza de su pensamiento, apelan a fuentes diversas: los clsicos latinos, el siglo de oro espaol, los romnticos franceses. Frente a la opcin de Domingo Faustino Sarmiento, o sea la constante reinvencin latinoamericana del idioma, Montalvo trabaja por recuperar olvidadas fuentes de la literatura espaola, empleadas con extrema libertad.

CONCLUSIONES Buscar que el tema halla sido entendido y aplicar esto a nuestra carrera.

Encontramos el significado de las proposiciones y logramos adquirir un nuevo conocimiento que aportara a nuestra carrera.

Queremos con este trabajo encontrar los errores antes de presentar a nuestros compaeros una informacin que ellos tomaran como aporte tambien para la carrera.

CONECTIVOS LOGIOS:

Enlgica, unaconectiva lgica, o simplementeconectiva, es un smbolo que se utiliza para conectar dosfrmulas, de modo que elvalor de verdadde la frmula compuesta dependa del valor de verdad de las frmulas componentes.

Enprogramacinse utilizan para combinar valores de verdad y obtener nuevos valores que determinen el flujo de control de unalgoritmooprograma.

Las conectivas lgicas son, junto con loscuantificadores, las principalesconstantes lgicasde muchossistemas lgicos, principalmente lalgica proposicionaly lalgica de predicados.

Las conectivas sonfunciones de verdad. Quiere decir que son funciones que toman uno o dos valores de verdad, y devuelven un nico valor de verdad. En consecuencia, cada conectiva lgica puede ser definida mediante unatabla de valores de verdadque indique qu valor devuelve la conectiva para cada combinacin de valores de verdad. A continuacin hay una tabla con las conectivas ms usuales y su definicin mediante tablas de verdad:

ConectivaNotacinEjemplode usoAnlogonaturalEjemplo de uso enel lenguaje naturalTabla de verdad

NegacinnoNoest lloviendo.

ConjuncinyEst lloviendoyes de noche.

DisyuncinoEst lloviendooes de noche.

Condicional materialsi... entoncesSiest lloviendo,entonceses de noche.

Bicondicionalsi y slo siEst lloviendosi y slo sies de noche.

Negacinconjuntani... niNiest lloviendonies de noche.

Disyuncinexcluyenteo bien... o bienO bienest lloviendo,o bienes de noche.

TABLAS DE VERDADEstas tablas pueden construirse haciendo una interpretacin de los signos lgicos,como: no, o, y, sientonces, s y slo si, respectivamente. La interpretacin corresponde al sentido que estas operaciones tienen dentro del razonamiento.Puede establecerse una correspondencia entre los resultados de estas tablas y la deduccin lgico matemtica. En consecuencia, las tablas de verdad constituyen unmtodo de decisinpara chequear si una proposicin es o no un teorema.Para la construccin de la tabla se asignar el valor 1(uno) a una proposicin cierta y 0 (cero) a una proposicin falsa.Negacin:El valor de verdad de la negacin es el contrario de la proposicin negada.PP

10

01

Disyuncin:La disyuncin solamente es falsa si lo son sus dos componentes.PQPQ

111

101

011

000

Conjuncin:Solamente si las componentes de la conjuncin son ciertas, la conjuncin es cierta.PQPQ

111

100

010

000

Condicional: El condicional solamente es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. De la verdad no se puede seguir la falsedad.PQPQ

111

100

011

001

Bicondicional:El bicondicional solamente es cierto si sus componentes tienen el mismo valor de verdad.PQPQ

111

100

010

001

Se denominatautologauna proposicin que es cierta para cualquier valor de verdad de sus componentes. Por tanto, laltima columnade su tabla de verdad estar formada nicamente por unos.Contradiccines la negacin de una tautologa, luego es una proposicin falsa cualesquiera sea el valor de verdad de sus componentes. Laltima columnade la tabla de verdad de una contradiccin estar formada nicamente por ceros.TEORIA DE CONJUNTOS:

Por Extensin y por ComprensinUn conjunto queda perfectamente definido si se conocen con exactitud los elementos que lo integran o que pertenecen a l; es decir, si se nombran todos sus elementos o bien si se usa un enunciado o propiedad que lo identifique. Independientemente de la forma en que se lo represente, siempre se usa unaletra maysculaque lo define. Esta letra mayscula representa a un conjunto especfico de elementos.

Existen dos maneras de definir un conjunto dado:

a) Por extensin o enumeracin:se define nombrando a cada elemento del conjunto.

b) Por comprensin:se define mediante un enunciado o atributo que representa al conjunto (se busca una frase que represente a la totalidad de elementos sin nombrar a ninguno en particular).

Por comprensinPor extensin

A = {Nmeros dgitos}A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

B = {Nmeros pares]B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...}

C = {Mltiplos de 5}C = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35...}

FORMAS DE REPRESENTAR UN CONJUNTO:

Diagrama de Venn y entre llaves.Es habitual representar los conjuntos en forma grfica mediante losDiagramas de Venn.

En estos diagramas el conjuntose representamediante una superficie limitada por una lnea. En su interior se colocan los elementos del conjunto. Cada porcin del plano limitada se nombra con una letra mayscula.

Elconjunto Aest formado por los elementos1, 2, 3.Elconjunto Best formado por los elementosa, b, c, d.Existe, adems, otra forma de representarlos que esentre llaves.En estos ejemplos se escribe:

A = {1, 2, 3}

B = {a, b, c, d}

Otro ejemplo:

Por diagramaEntre llaves

S = {a, e, i, o, u}

Se escribe una coma para separar los elementos.

TIPOS DE CONJUNTOS:

Conjunto Disjunto, Conjunto Subconjunto1)Conjuntos disjuntos: Son aquellos conjuntos quenotienen elementos en comn.

Por ejemplo:El conjunto A tiene como elementos a los nmeros 1, 2 y 3. El conjunto B tiene como elementos a las letras a, b, c y d.No hay elementos comunes entre los conjuntos A y B.En otras palabras, ningn elemento del conjunto A pertenece al conjunto B; a su vez, ningn elemento de B pertenece al conjunto A.

En consecuencia, los conjuntos A y B son disjuntos.

Tomando otro ejemplo:

Si E = { pizarrn, tiza, borrador} (Conjunto E formado por pizarrn, tiza, borrador)

F = { tiza, profesor, regla} (Conjunto F formado por tiza, profesor, regla)

G = { nio, cuaderno, sala, lpiz } (Conjunto G formado por nio, cuaderno, sala, lpiz)

E y G sonconjuntos disjuntosporque: pizarrn, tiza, borrador no pertenecen al conjunto G.

E y Fnoson disjuntos ya que tiza pertenece a E y tambin a F.

F y G sonconjuntos disjuntosporque: tiza, profesor, regla no pertenecen a G, y nio, cuaderno, sala, lpiz no pertenecen a F.

2)Conjunto Subconjunto:Un conjunto es subconjunto de otro si todos los elementos de un conjunto tambin pertenecen al otro.

Si se tienen los siguientes conjuntos:

P = { a, e, i, o, u } y R = { a, i }

R es subconjunto de P porque todos los elementos de R estn en P.

En general, para expresar que un conjunto es subconjunto de otro conjunto se pone entre ellos el smbolo. En este ejemplo se escribe:

RP

Se lee R es subconjunto de P

no es subconjunto de otro cuando al menos un elemento del primero no pertenece al segundo conjunto. El smbolo que representa la frase no es subconjunto de es.Si se tienen los siguientes conjuntos:

C = { 3, 5, 7, 9 } y H = { 3, 5, 8 }

Hnoes subconjunto de C porque el elemento 8 no pertenece al conjunto C. Se escribe:

HC

Se lee H no es subconjunto de C

Tambin los subconjuntos pueden representarse mediante Diagramas de Venn.

Ejemplo:

SC

Propiedades de la relacin subconjunto1.- Todo conjunto es subconjunto de s mismo.

Si T = { x, z, y, z }, se tiene que TT

2.- Elconjunto vacoes subconjunto de cualquier conjunto (el conjunto vaco es aquel que no tiene elementos; se representa por: { } o bien por

Si se tiene el conjunto B se puede establecer que T

SUBCONJUNTO:Es parte del conjunto que tiene las mismas caractersticas.

Xej: B= {A, E, I, O, U}

B= {VOCALES}

Conjunto Potencia

"El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto"

Ejemplo: Si tenemos un conjunto {a,b,c}:

* Entonces un subconjunto podra ser {a} o {b}, o {a,c}, y as sucesivamente,* y {a,b,c} es tambin un subconjunto {a,b,c}* y y el conjunto vaco {} es tambin un subconjunto de {a,b,c}

Entonces todos los subconjuntos juntos haran el Conjunto Potencia:

P(S) = { {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }

FAMILIA DE CONJUNTOS:

Enmatemticas, principalmente enteora de conjuntosylgica de clasesunafamilia de conjuntoso unacoleccin de conjuntoses unconjuntocuyos elementos son a su vez conjuntos. El nombre "familia" o "coleccin" se utiliza para enfatizar la naturaleza conjuntista de sus elementos y suele venir acompaado de una notacin distinta.

Conjunto Universo (U)

En el Diagrama de Venn de la izquierda se puede observar que el conjunto U contiene a los conjuntos M y N. U es el conjunto universo porque es un conjunto quecontiene a todos los conjuntos.Otro ejemplo:Sea Y = { enero, febrero } ; = { marzo, junio, agosto }El conjunto universo ser: U = { meses del ao }PROPIEDADES DE LOSCONJUNTOS

PROPIEDADES DE LA INTERSECCIN DE CONJUNTOS (B C) = ( B) C

2.- Popiedad Idempotente =

3.- Propiedad Conmutativa. B = B

4.- Interseccin con el Vaco = PROPIEDADES DE LA UNIN DE CONJUNTOS1.- Propiedad Asociativa U (B U C) = ( U B) U C

2.- Propiedad Idempotente5.- PROPIEDAD DE ABSORCINSiB A U B entonces U B = B

PROPIEDADES COMBINADA1.- Propiedad Distributibaa)A U (B C) = (A U B) (A U C)

b) A (B U C) = (A B) U (A C)

2.- Propiedad Simplificativaa)A U B (B A) = Ab) A (B U A) = A

Operaciones

Unaoperacines un conjunto de reglas que permiten obtener otras cantidades o expresiones.

Lassiete operaciones bsicasde laAritmticason:

Suma

La operacin suma consiste en obtener el nmero total de elementos a partir dos o ms cantidades.

a + b = cLos trminos de la suma,ayb, se llamansumandosy el resultado,c,suma.

Propiedades de la suma

1.Asociativa:

El modo de agrupar los sumandos no vara el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c)2.Conmutativa:

El orden de los sumandos no vara la suma.

a + b = b + a3.Elemento neutro:

El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo nmero sumado con l da el mismo nmero.

a + 0 = a4.Elemento opuestoDos nmeros son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.a a = 0El opuesto del opuesto de un nmero es igual al mismo nmero.La suma de nmeros naturales no cumple esta propiedad.

Resta

Laresta o sustraccines la operacin inversa a la suma.

a - b=cLos trminos que intervienen en unarestase llaman:a,minuendoyb,sustraendo. Al resultado,c, lo llamamosdiferencia.

Propiedades de la resta

No es Conmutativa:

a b b aMultiplicacin

Multiplicar dos nmeros consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor.

a b =cLos trminosaybse llamanfactoresy el resultado,c,producto.Propiedades de la multiplicacin

1.Asociativa:

El modo de agrupar los factores no vara el resultado

(a b) c = a (b c)2.Conmutativa:

El orden de los factores no vara el producto.

a b = b a3.Elemento neutro:

El 1 es el elemento neutro de la multiplicacin porque todo nmero multiplicado por l da el mismo nmero.

a 1 = a4.Elemento inverso:

Un nmero es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

La suma de nmeros naturales y de enteros no cumple esta propiedad.

5.Distributiva:

El producto de un nmero por una suma es igual a la suma de los productos de dicho nmero por cada uno de los sumandos.

a (b + c) = a b + a c6.Sacar factor comn:

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor comn, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

a b + a c = a (b + c)Divisin

Ladivisin o cocientees una operacin aritmtica que consiste en averiguar cuntas veces un nmero est contenido en otro nmero.

D :d=cLos trminos que intervienen en un cociente se llaman,D,dividendoyddivisor. Al resultado,c, lo llamamoscociente.

Tipos de divisiones

1.Divisin exacta:

Cuando el resto es cero.

D = d c2.Divisin entera:

Cuando el resto es distinto de cero.

D = d c + rPropiedades de la divisin

1.No es Conmutativo:

a : b b : a2.Cero dividido entre cualquier nmero da cero.0 : a = 03.No se puede dividir por 0.Potenciacin

Lapotenciacines una multiplicacin de varios factores iguales.

a a a ... =anBase

Es el nmero que multiplicamos por s mismo.

Exponente

Indica el nmero de veces que multiplicamos la base.

Radicacin

Es laoperacin inversa a la potenciacin. Y consiste en que dados dos nmeros, llamadosradicandoendice, hallar un tercero, llamadoraz, tal que, elevado al ndice, sea igual al radicando.

En laraz cuadradaelndicees2, aunque en este caso no se pondra. Consistira en hallar un nmero conocido su cuadrado.

Laraz cuadradade un nmero,a, esexactacuando encontramosun nmero, b, queelevado al cuadradoesigual al radicando:b2= a.OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS:

Conocida tambien conAlgebra de conjuntos, las operaciones entre conjuntos son: unin, interseccin, diferencia, diferencia simtrica y complemento.

Unin de conjuntos:Al realizar esta operacin estamos conformando un nuevo conjunto, que se llamaconjunto solucin, que contiene todos los elementos o miembros de los conjuntos que se estn uniendo, sin que ninguno de sus miembros se repita en el conjunto solucin. Por ejemplo:

Dados:A = {-1, 1, 2, 3} B = {2, 4, 6} C= {4, 5, 7, 8}A u B = {-1, 1, 2, 3, 4, 6}

Observe que el resultadoA u Bno contiene elementos repetidos

A u B u C = {-1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}Interseccin de conjuntos:Esta operacin entre conjuntos conforma un nuevo conjunto que contenga los elementos o miembroscomunesa los conjuntos que hagan parte de esta operacin. Por ejemplo si consideramos los conjuntosA, B y Carriba mencionados, al operar; se obtiene:

A n B = {2}

B n C = {4}A n B n C = { }Puesto queno hay ningn elementoque est en los tres conjuntos.

(A u B) n CObserve que en este ejemplo se est aplicando la propiedad asociativa para la operacin de unin entreAyBy a su resultado hacer la interseccin conC.(A u B) n C = {4}Diferencia de conjuntos:Cuando se analiza la diferencia entreAyB, se obtiene como respuestaexclusivamentelos elementos del conjuntoA.Por ejemplo si consideramos los conjuntosA, B, Cque aparecen arriba:

A - B = {1, 1, 3}B - C ={2, 6}B - A = {4, 6}C - B = {5, 7, 8}Diferencia simtrica de conjuntos:Se presenta cuando se consideran todos los elementos queslo pertenecen los conjuntos,sin tener en cuenta lo que tienen en comn. En otras palabras, en la diferencia simtrica no se tiene en cuentaningn elemento de la interseccinentre los conjuntos, los demss.Por ejemplo, dados los conjuntos

A = {-1, 1, 2, 3,} B = {2, 4, 6} C = {4, 5, 7, 8}y U = {-1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}(Conjunto Universal o referencial)

Complemento de un conjunto:Se buscan todos lo elementos que le hagan falta a un conjunto para convertirse o ser elconjunto universal o referencial.Por ejemplo:

A= {4, 5, 6, 7}B= {-1, 1, 3, 5, 7, 8}C= {-1, 1, 2, 3, 6,}(A u B)={5, 7, 8}DIAGRAMA DE VENH:

Losdiagramas de Vennson ilustraciones usadas en la rama de laMatemticayLgica de clasesconocida comoteora de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar grficamente la agrupacin de cosaselementosenconjuntos, representando cada conjunto mediante un crculo o un valo. La posicin relativa en el plano de tales crculos muestra la relacin entre los conjuntos. Por ejemplo, si los crculos de los conjuntos A y B se solapan, se muestra un rea comn a ambos conjuntos que contiene todos los elementos contenidos a la vez en A y en B. Si el crculo del conjunto A aparece dentro del crculo de otro B, es que todos los elementos de A tambin estn contenidos en B.

Numeros naturales:

Que son los Numeros Naturales?

Nmero natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.

Los nmeros naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:

N = {0, 1, 2, 3, 4,, 10, 11, 12,}

El cero, a veces, se excluye del conjunto de los nmeros naturales.

Adems de cardinales (para contar), los nmeros naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:

1 (primero), 2 (segundo),, 16 (decimosexto),

Los nmeros naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las ms elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.

Entre los nmeros naturales estn definidas las operaciones adicin y multiplicacin. Adems, el resultado de sumar o de multiplicar dos nmeros naturales es tambin un nmero natural, por lo que se dice que son operaciones internas.

La sustraccin, sin embargo, no es una operacin interna en N, pues la diferencia de dos nmeros naturales puede no ser un nmero natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los nmeros enteros, en el que se puede restar un nmero de otro, cualesquiera que sean stos.

La divisin tampoco es una operacin interna en N, pues el cociente de dos nmeros naturales puede no ser un nmero natural (no lo es cuando el dividendo no es mltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los nmeros racionales, en el que se puede dividir cualquier nmero por otro (salvo por el cero). La divisin entera es un tipo de divisin peculiar de los nmeros naturales en la que adems de un cociente se obtiene un resto

Propiedades de la adicion de Numeros NaturalesLa adicin de nmeros naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.

1.- Asociativa:

Si a, b, c son nmeros naturales cualesquiera se cumple que:

(a + b) + c = a + (b + c)

Por ejemplo:

(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16

7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16

Los resultados coinciden, es decir,

(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)

2.-Conmutativa

Si a, b son nmeros naturales cualesquiera se cumple que:

a + b = b + a

En particular, para los nmeros 7 y 4, se verifica que:

7 + 4 = 4 + 7

Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adicin se pueden efectuar largas sumas de nmeros naturales sin utilizar parntesis y sin tener en cuenta el orden.

3.- Elemento neutro

El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el nmero natural a, se cumple que:

a + 0 = a

Propiedades de la Multiplicacion de Numeros NaturalesLa multiplicacin de nmeros naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.

1.-Asociativa


(a b) c = a (b c)

Por ejemplo:

(3 5) 2 = 15 2 = 30

3 (5 2) = 3 10 = 30


(3 5) 2 = 3 (5 2)

2.- Conmutativa

Si a, b son nmeros naturales cualesquiera se cumple que:

a b = b a

Por ejemplo:

5 8 = 8 5 = 40

3.-Elemento neutro

El 1 es el elemento neutro de la multiplicacin porque, cualquiera que sea el nmero natural a, se cumple que:

a 1 = a

4.- Distributiva del producto respecto de la suma


a (b + c) = a b + a c

Por ejemplo:

5 (3 + 8) = 5 11 = 55

5 3 + 5 8 = 15 + 40 = 55


5 (3 + 8) = 5 3 + 5 8

Que son los Numeros Enteros?

Nmero entero, cualquier elemento del conjunto formado por los nmeros naturales y sus opuestos. El conjunto de los nmeros enteros se designa por Z:

Z = {, -11, -10,, -2, -1, -0, 1, 2,, 10, 11,}

Los nmeros negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo).

Se llama valor absoluto de un nmero entero a, a un nmero natural que se designa |a| y que es igual al propio a si es positivo o cero, y a -a si es negativo. Es decir:

si a > 0, |a| = a ; por ejemplo, |5| = 5; si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5.El valor absoluto de un nmero es, pues, siempre positivo.

Las operaciones suma, resta y multiplicacin de nmeros enteros son operaciones internas porque su resultado es tambin un nmero entero. Sin embargo, dos nmeros enteros slo se pueden dividir si el dividendo es mltiplo del divisor.

Propiedades de los nmeros enterosOrden numrico.Es el que da la idea de que un nmero es mayor o menor que otro nmero, o que hay diferencia real entre dos nmeros. Ejemplo: el orden de los cursos dela educacinprimaria es (1 primero, 2 segundo, 3 tercero, 4 cuarto, 5 quinto)

Nmero mayor:Que supera en cantidad a otro.

Nmero menor:Que es inferior en cantidad a otro.

El nmero siguientea otro, es el nmero considerado ms una unidad , por ejemplo 6 = 5 + 1.

El nmero anteriora otro, es el nmero considerado menos una unidad, por ejemplo 4 = 5 1.

Recta numrica.es la que esta dividida en intervalos iguales de distancia. La diferencia entre una divisin y la siguiente es siempre la unidad (1).

-Ley cancelativa: Es recproca de la uniforme. Si tenemos una igualdad, esta ley nos permite cancelar dos miembros iguales que se encuentren realizando la misma operacin a ambos lados de la igualdad.

(-3) + (+5) + (-6) = (+2) + (-6)

Cancelamos el "+(-6)" y esto no afecta a la igualdad:

(-3) + (+5 ) = (+2)BICONDICIONAL

Simon bolvar vive si y solo si Montalvo esta muerto.

Se divide en:

DISYUNCION EXCLUSIVA

Pedro juega bsquet o Mara juega futbol.

PROPOSICIONES COMPUESTAS

Tambien llamadas moleculares y son aquellas que estn formadas por 2 o mas proposiciones simples. Eje: fui al banco pero estaba cerrado.

PROPOSICIONES SIMPLES

O tambien llamadas proposiciones atmicas que son aquellas que no se pueden dividir. Eje: el cielo es azul.

PROPOSICIONES

Es cualquier agrupacin de palabras o smbolos que en un momento dado se puede afirmar si es verdadera o falsa.

CONJUNCION

EJEMPLO: - la casa esta sucia y la empleada maana la limpia.

CONECTIVOS

OPERADORES

LOGICOS

NEGACION

EJEMPLO:

-Juan conversa

-Juan no conversa

DISYUNCION

, o... o... pero no ambas.

CONDICIONAL

Si me saco la lotera entonces te regalare un carro.

FORMAS

PROPOSICIONALES

TAUTOLOGIAS

Es aquella forma proposicional que siempre da como resultado verdadero.

CONTRADICCIONES

Es aquella forma proposicional que siempre da como resultado falso.

FALACIAS

Es aquella forma proposicional que siempre da como resultado verdadero y falso a la vez.

proposiciones simples y compuestas - ajustar

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