MATEMÁTICA

Módulo Educativo

Etapa Presencial

2014

Facultad de Ciencias Bioquímicas y Farmacéuticas

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO

Suipacha 531 – 0341-4804592/93/97

www.fbioyf.unr.edu.ar

Docente Coordinadora: Bioq. y Farm. Marta Marzi

Sumario * Introducción *Unidad 1: Lógica Simbólica. Proposiciones. Conectivos lógicos. Cuantificadores. Valor de Verdad. Ejercicios. *Unidad 2: Los conjuntos numéricos. Operaciones. Correspondencia uno a uno. Operaciones y propiedades. Logaritmos. Propiedades de los logaritmos. Ejercicios *Unidad 3: Ecuaciones. Ecuaciones lineales, cuadráticas, exponenciales y logarítmicas, con una incógnita. Inecuaciones lineal. Valor absoluto. Distancia entre puntos de la recta. Ejercicios. Problemas de aplicación. *Unidad 4: Sistemas de ecuaciones lineales. Conjunto solución. Ecuaciones equivalentes. Resolución de sistemas de ecuaciones. Ejercicios. Problemas. *Unidad 5: Polinomios. Grado de un polinomio. Igualdad, suma, multiplicación, y división de polinomios. Regla de Ruffini. Valor numérico de un polinomio. Ceros o raíces de un polinomio. Teorema del resto. Factorización de polinomios. Ejercicios. *Unidad 6: Sistema Cartesiano Ortogonal. Ángulos orientados. Sistemas de medición de ángulos. Relaciones y funciones trigonométrica. Resolución de triángulos rectángulos. Uso de la calculadora. Identidades trigonométricas. Ejercicios y problemas. *Unidad 7: Funciones: Definición. Clasificación. Inyectividad, suryectividad, biyectividad. Función lineal. Análisis. Función cuadrática. Análisis.

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Unidad 1:

Lógica proposicional

Lucía Caraballo; Marta Marzi

Introducción

La lógica proposicional o lógica simbólica es la más antigua y simple de las formas de lógica.

Utiliza un lenguaje artificial especialmente diseñado para representar y manipular declaraciones

realizadas en lenguaje coloquial, evitado así la ambigüedad de éste. La lógica proposicional

permite el razonamiento a través de un mecanismo que primero evalúa sentencias simples y luego

sentencias compuestas, formadas mediante el uso de conectivos lógicos.

Proposiciones lógicas

Las proposiciones son el lenguaje formal de la lógica simbólica por el cual están regidas todas las

leyes de la matemática que utiliza la simbología como su principal fuente de estudio.

Una proposición es una oración declarativa a la que tiene sentido asignarle un valor de verdad.

Será verdadera (V) o será falsa (F) pero no podrá tener ambos valores de verdad a la vez.

Las proposiciones se denotan con letras minúsculas, tales como p, q, r, etc.

Por ejemplo:

Son proposiciones las siguientes expresiones (pueden ser V o F):

� p: Está lloviendo

� q: 347 ≠−

� r: J.R.R. Tolkien escribió El Señor de los Anillos

Sin embargo, no son proposiciones las siguientes expresiones:

� ¿Qué es la química? (no es proposición por ser una oración interrogativa)

� ¡Qué bonita tarde! (no es proposición por ser una oración exclamativa).

� Vaya ahora mismo (no es proposición por ser una oración imperativa)

� 4-x = 5 (es una oración declarativa pero no puede decirse si es verdadera o falsa porque hay

una letra cuyo significado no puede interpretarse)

Puede decirse entonces que, para que una expresión lingüística sea proposición debe:

1. ser oración

2. ser oración declarativa (aseverativa)

3. ser verdadera o ser falsa

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Conectivos lógicos

Los conectivos lógicos se utilizan para construir nuevas proposiciones a partir de proposiciones ya

conocidas. El valor de verdad de la nueva proposición dependerá del valor de verdad de las

proposiciones que la forman y de los conectivos involucrados.

Se pueden obtener nuevas proposiciones mediante los siguientes conectivos lógicos:

Nombre del

conectivo

Representa-

ción

Ejemplos de expresiones

en las que aparece

Valor de verdad

Negación p

(no p)

p: Está lloviendo

p: No está lloviendo.

Si p es verdadera entonces

p es falsa y, si p es falsa

entonces p es verdadera.

Disyunción

( p ó q)

p: Juan aprueba matemática

q: Juan aprueba lengua

: Juan aprueba

matemática o lengua

es falsa si y sólo si

tanto p como q son falsas; de

otro modo, la disyunción es

verdadera.

Conjunción

(p y q)

p: María hoy entra a las 8 hs

a la escuela

q: María hoy tiene

matemática

: María hoy entra a las

8hs a la escuela y tiene

matemática.

es verdadera si y sólo si

tanto p como q son

verdaderas; de otro modo la

conjunción es falsa.

Condicional

(Implicación)

qp⇒

(Si p entonces

q)

p: llueve

q: voy al cine

qp⇒ : si llueve entonces

voy al cine

qp⇒ es falsa si y sólo si p

es verdadera y q es falsa; en

cualquier otro caso, la

condicional es verdadera

Bicondicional

(Equivalencia)

(p si y sólo si

q)

p: 4 es múltiplo de 2.

q: 2 es divisor de 4.

: 4 es múltiplo de 2 si

y sólo si 2 es divisor de 4.

es verdadero si y sólo

si ( qp ⇒ ) es verdadero y

( pq⇒ ) es verdadero; o sea

cuando p y q son ambas

verdaderas o son ambas

falsas.

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Cuando combinamos dos o más proposiciones simples mediante los conectivos lógicos, decimos

que la nueva proposición obtenida es compuesta.

Observaciones:

• En la disyunción usamos la palabra “o” en el sentido inclusivo. En consecuencia, p q

es verdadera si una o la otra o ambas proposiciones p, q son verdaderas. La “o”

excluyente significa que una u otra es verdadera pero no ambas. Por ejemplo si

tenemos la proposición: “Juan tiene 21 años o tiene 23 años”, es obvio que no pueden

ser ambas expresiones verdaderas a la vez. En este caso, el “o” sería excluyente. Sin

embargo, de aquí en más sólo usaremos el “o” en su sentido inclusivo.

• Existen otras formas de enunciar la condicional qp ⇒⇒⇒⇒ :

� p implica q

� p es condición suficiente para q

� q es condición necesaria para p

� Si p, q

• Cada condicional “directa” qp ⇒⇒⇒⇒ tiene asociada tres condicionales que llamamos

recíproca, contraria y contrarrecíproca:

� Recíproca:

� Contraria:

� Contrarrecíproca:

Por ejemplo:

qp ⇒⇒⇒⇒ : Si es un cuadrado entonces es un cuadrilátero (directa).

pq ⇒⇒⇒⇒ : Si es un cuadrilátero entonces es un cuadrado (recíproca).

: Si no es un cuadrado entonces no es un cuadrilátero (contraria).

: Si no es un cuadrilátero entonces no es un cuadrado (contrarrecíproca).

¿Cuál es el valor de verdad de cada una de estas proposiciones? Observa aquellas que

tienen el mismo valor de verdad, ¿pasará esto siempre?

Se puede demostrar que la directa y la contrarrecíproca son equivalentes, es decir,

tienen siempre el mismo valor de verdad.

• Existen otras formas de enunciar la bicondicional :

� p es condición necesaria y suficiente para q.

� q es condición necesaria y suficiente para p.

� si p entonces q, y recíprocamente.

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Ejercicios

1. Decide cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones. En caso de serlo, indica si

son simples o compuestas. De ser compuestas, identifica sus componentes y escríbela en

forma simbólica.

a. En 1990, George Bush era el presidente de los Estados Unidos.

b. x + 3 = 5

c. Si todas las mañanas fueran tan soleadas y despejadas como ésta

d. Quince es un número par.

e. Si 7 es un número impar entonces el doble de 7 es un número par

f. ¿Qué hora es?

g. 2 + 4 = 6 y 6 es múltiplo de 3.

h. 27 es un número par ó 27 es múltiplo de 3.

i. Los ingresantes a la facultad están felices de estudiar lógica.

2. Dadas las proposiciones:

p: 12 es divisible por 3

q: 12 es un número primo

a. Indica el valor de verdad de p y q.

b. Traduce las siguientes proposiciones compuestas al lenguaje coloquial y determina su

valor de verdad:

b1.

b2.

b3.

b4.

b5.

3. Vuelve a escribir cada una de las siguientes proposiciones como una implicación de la

forma si-entonces. Determina el valor de verdad de cada una.

a. Que un número termine en 0 es condición necesaria para que sea divisible por 5.

b. x = 3 es condición suficiente para que 92 =x

c. Si un número es menor que dos, es negativo.

d. Si 42 =x , x = 2

e. Que un polígono sea un rectángulo es necesario para que sea un paralelogramo.

f. Que un número sea divisible por 9 es condición suficiente para que sea divisible por 3.

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4. Escribe la recíproca, la contraria y la contrarrecíproca de las siguientes proposiciones

condicionales. En cada caso indica el valor de verdad:

a. Si un número es menor que cero entonces es menor que 4.

b. Si x = 1 entonces 3x-1 = 2

c. Si un número es múltiplo de 4 entonces es par.

Indica cuál de las anteriores puede transformarse en una bicondicional verdadera. Justifica.

5. Asígnale un valor de verdad a las siguientes proposiciones bicondicionales (para hacerlo,

determina primero el valor de verdad de qp⇒ y de pq⇒ ).

a. Un número es par si y sólo si es divisible por 2

b. x = 0 si y sólo si 02 =x

c. Si x = 5 entonces 252 =x y recíprocamente.

d. Que dos números enteros sean positivos es condición necesaria y suficiente para que su

producto sea positivo.

e. x = 2 si y sólo si 2x+4 = 8

f. Si un número es múltiplo de 6 entonces es múltiplo de 3 y recíprocamente.

g. Que un triángulo sea equilátero es condición necesaria y suficiente para que sea

equiángulo.

Cuantificadores

Anteriormente, se dijo que la expresión “4 - x = 5” no es una proposición ya que no puede decirse

si es verdadera o falsa porque se desconoce el significado de la letra “x”. A expresiones de este

tipo las denominamos “abiertas” ya que con sólo definir “x” puede transformarse en una

proposición.

Por ejemplo:

p: para todo 54, =−ℜ∈ xx

Ahora sí podemos asignarle un valor de verdad, hemos obtenido una proposición falta puesto que

para x = 7, por ejemplo, la igualdad no se cumple.

Observemos que también podríamos obtener la proposición:

q: existe ℜ∈x tal que 54 =− x

En este caso q es verdadera ya que si x = -1 se cumple la igualdad.

Estas palabras “para todo” y “existe” que se anteponen a expresiones “abiertas” para convertirlas

en proposiciones se denominan cuantificadores.

● Cuantificador universal:

Se representa:∀

Se lee: “para todo”, “para cada” o “para cualquier”.

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Si a la expresión abierta la simbolizamos ( )xp , siendo x la variable a definir y U el

conjunto de elementos posibles para x, la proposición se escribirá: ( )xpUx ,∈∀

● Cuantificador existencial:

Se representa: ∃

Se lee “existe”, “para algún” o “para al menos un”.

Y la proposición se simbolizará: ( )xpUx /∈∃

Observación:

Al conjunto U se lo llama conjunto universal. Si el valor de verdad depende del conjunto

universal que se considere, es imprescindible escribirlo claramente justo después de la variable

cuantificada.

Por ejemplo la proposición 15/ =+ℜ∈∃ xx , es verdadera pues x = - 4 es un número real que

verifica la igualdad. En cambio la proposición 15/ =+∈∃ xNx , es falsa porque ningún número

natural satisface la igualdad ( N∉− 4 ).

Valor de verdad de las proposiciones cuantificadas

Proposición ¿Cuándo es verdadera? ¿Cuándo es falsa?

( )xpUx ,∈∀ Si para cada ( )xpUx ,∈ es falsa.

Si existe al menos un Ux∈ para el cual

( )xp es falsa.

Basta un contraejemplo para demostrarlo.

( )xpUx /∈∃ Si para al menos un ( )xpUx ,∈ es

verdadera.

Basta un ejemplo para demostrarlo.

Si para cada ( )xpUx ,∈ es falsa.

Ejemplos:

1. Dada la proposición p: 2, nNn∈∀ es par

¿Es verdadera o falsa?

Probando con varios valores, parecería que es verdadera:

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n

2 es par 4 es par

4 es par 16 es par

6 es par 36 es par

8 es par 64 es par

10 es par 100 es par

Pero no basta con esos pocos valores para demostrar que es verdadera, debemos probarlo

para cada número par.

A un número natural par lo representamos: kn .2= , con Nk ∈ .

Luego: ( ) ( )2222 2.2.4.2 kkkn === y puesto que 2.2 k es también un número natural al

que podemos simbolizar K, hemos demostrado que Kn .22 = , con NK ∈∈∈∈ , o sea que 2n es

par.

2. Sea p: xZx .7,∈∀ es impar

¿Cuál es su valor de verdad?

Probando por ejemplo con x = 2 resulta que 7.x = 7.2 = 14 que es par. Entonces p resulta

falsa.

Hemos demostrado que existe al menos un número entero (x = 2) para el cual la

proposición es falsa. El ejemplo que muestra la falsedad de una proposición recibe el

nombre de contraejemplo.

3. La proposición p: 0/ >−ℜ∈∃ xx

¿Es verdadera o falsa?

Vemos que si 8−=x , su opuesto: ( ) 088 >=−−=− x . Hemos encontrado al menos un

número real para el cual la proposición es verdadera. Con este ejemplo ( 8−=x ) basta para

mostrar que una proposición con cuantificador existencial es verdadera.

4. Sea p: 122/ +=∈∃ xxZx

¿Cuál es su valor de verdad?

Dado que 122 += xx es equivalente a 1.0 =x y puesto que cualquier número entero,

multiplicado por 0 da por resultado 0 y no 1, puede afirmarse que la proposición es falsa.

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Ejercicios:

1. Asigna un valor de verdad a las siguientes proposiciones y justifica tu elección.

a. xxx =−ℜ∈∀ ,

b. 625/ +=∈∃ xxZx

c. Todo número par multiplicado por un número impar, da como resultado un número

par.

d. 0/ <∈∃ xNx

e. Todos los cuadrados son rectángulos.

f. Todos los rectángulos son cuadrados.

2. Dadas las siguientes expresiones abiertas:

p(x): x>0

q(x): x es par

r(x): x es divisible por 5

a. Escribe las siguientes proposiciones en forma simbólica:

i. Al menos un entero es par.

ii. Existe al menos un entero positivo que es par.

iii. Si x es un entero par, entonces no es divisible por 5.

iv. Ningún entero par es divisible por 5.

v. Existe al menos un entero par divisible por 5.

b. Determina si las proposiciones son verdaderas o falsas, justificando en cada caso.