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Matemática 2º año - CENS Nº 451 – Anexo Universidad Tecnológica Nacional

Página 99

Decimos que los segmentos a, b, c y d son proporcionales si se puede

establecer una proporción entre sus medidas o sea: d

c

b

a. Se llama razón

entre dos segmentos cualesquiera, al cociente (el resultado de la divisón) entre sus medidas.

1) Determinar si los segmentos m = 10 cm n = 6 cm t = 5 cm y s = 3 cm son proporcionales.

Plantar las razones: 6,13

5

6

10

Son proporcionales, los cocientes son iguales. 2) Determinar si los segmentos m = 18 cm n = 6 cm t = 5 cm y s = 10 cm son proporcionales.

Plantear las razones: 10

5

6

18

No son proporcionales, los cocientes (los resultados de las divisiones) no son iguales.

Ahora la situación planteada es otra: como dato nos dan cuatro segmentos, se sabe que son proporcionales, (m y n son proporcionales a p y q) se conoce la medida de tres de ellos y se pide calcular la medida del cuarto segmento: m = 12, n = 8, p = 10 y q = ? Plantear la razones.

q

10

8

12 entonces

12

810.q entonces 6,6

q

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS


Página 100

1) Si los segmentos m y n son proporcionales a los segmentos p y q, respectivamente. Además se sabe que m = 6 cm, n = 10 cm y que p = 8 cm.

Determina la medida del segmento q.

q

8

10

6 entonces

6

810.q entonces 3,13

q

2) Si los segmentos m y n son proporcionales a los segmentos p y q,

respectivamente. Además se tiene que m = 5 cm, n = ? cm y que p = 8 cm y q = ?. Determina la medida del segmento n.

16

85

n entonces

8

516.n entonces q = 10

3) Si los segmentos m y n son proporcionales a los segmentos p y q,

respectivamente. Además se tiene que m = ? cm, n = 21 cm y que p = 7 cm y q = 14. Determina la medida del segmento m.

14

7

21

m entonces

14

217.n entonces q = 10,5

4) Determina el valor de x en las siguientes proporciones: Completar:

a) 12 : 9 = x : 36 plantear las proporciones 369

12 x

entonces .....

.....x entonces x = 48

b) 5 : x = 0,6 : 3 plantear las proporciones 3

6,05

x

entonces .....

.....x entonces x = 25

c) x

10

9

50

.....

.....x entonces x = 1,8

Juan vive en un pueblito situado a 30 km de Salvador de Jujuy, tiene que recorrer todos los días desde su casa al colegio una distancia de 30 km. Al recorrer la dos terceras partes del camino, para en la casa de un amigo, para tomar un poco de agua. Queremos saber exactamente en que punto

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES


Página 101

del camino se detiene Juan a tomar agua. Para eso tenemos que dividir la totalidad del camino en tres partes iguales.

Tomamos el segmento AB (que es el camino).

NPMNAM

Trazamos por el punto A una semirrecta auxiliar y transportamos sobre ella tres veces un segmento de cualquier medida. (Tres veces el mismo

segmento) _c AM = c NM NP (de una medida arbitraria)

Luego unimos P con B y trazamos las paralelas al segmento PB por N y por M. Así el segmento AB queda dividido en tres partes congruentes

(iguales). Es decir AR =c RS =c SB

Juan se detiene exactamente en el punto S. Otro ejercicio + grande

Dividir el segmento CD en 5 partes iguales cmCD 15

1) Dibujar CD

Llevamos una semirrecta cualquiera, por ejemplo CM y sobre CM llevamos cinco segmentos congruentes (iguales) de cualquier

medida.

Unimos el último punto S con D y trazamos paralelas a SD por los

sucesivos puntos marcados sobre CM. El segmento CD quedó dividido en

cinco partes iguales TDRTQRPQCP CCCC

A

M

N

P

R S B

casa

colegio


Página 102

kDC

CD

CA

AC

CB

BC

BA

AB

Un poco de historia

Thales nació en la ciudad griega de Mileto

(actualmente pertenece a Turquía). Vivió entre

los años 624 A.c. y 548 A.c. fue sobre todo

comerciante, pero también ingeniero,

astrónomo, filósofo y matemático.

Aunque de su vida se sabe muy poco, no hay

dudas acerca de su inteligencia. Fue el primero

de los siete grandes sabios griegos.

Vivió muchos años en Egipto, donde recogió

todos los conocimientos geométricos de la

época. Fue el primer matemático en utilizar el método educativo para probar

propiedades. Según la leyenda, utilizó el teorema que lleva su nombre para

medir la altura de una pirámide utilizando su propia altura, la medida de su

sombra y de la sombra de la pirámide.

También causó gran asombro cuando pronosticó, mediante cálculos

matemáticos, un eclipse total de sol en el año 585 A.c.

TEOREMA DE THALES

a

b

c

d

A

B

C

D

A'

B'

C'

D'

r t

Si tres o más paralelas (a // b // c) son cortadas por dos

rectas transversales (t y t'), dos segmentos cualesquiera

sobre una de ellas y sus correspondientes en la otra

forman una proporción. Siendo a//b//c//d

ENUNCIADO DEL TEOREMA DE THALES


Página 103

Algunas proporciones entre los segmentos son:

OTRO EJERCICIO (aplicamos el teorema de Thales) Hallar x en cada una de las siguientes situaciones, sabiendo que a//b. Planteamos la proporción y decimos: 3 es a 2 como x+3 es a x

6

623

623

323

3

2

3

x

xx

xx

xx

x

x

Otro más: 4 es a x-1 como 5 es a x

a

b

c

d

A

B

C

D

A'

B'

C'

D'

t t'

CB

BA

BC

AB

DC

CA

CD

AC

DC

CB

CD

BC

3

x + 3

x b

2 a

a

4 b

5

x

x-1

x

xx

xx

xx

xx

5

455

454

154

5

1

4


Página 104

¿Qué hubiera pasado si decíamos: 4 es a 5 como x-1 es a x?

x

xx

xx

xx

x

x

5

455

554

154

1

5

4

Juan tenía que hacer un trabajo para actividades prácticas y dibujó dos triángulos “uno más grande y otro mas chico”, porque los tenía que recortar y pintar. Una vez que los dibujó los observó y dijo “son parecidos”. Y tenía razón los triángulos se parecían pero no eran iguales. Anímese a buscar un transportador y medir los ángulos del triángulo más chico (el ABC) ¿Cuánto miden?

El A

mide ......................

El B

mide ......................

El C

mide ......................

Ahora medimos los del triángulo grande el ABC A'B'C'

Acuérdese de apoyar bien el transportador

El ángulo A

mide .......................

El ángulo B

mide ........................

El ángulo C

mide ........................

¿Qué se observa? Que los ángulos del “triángulo chico” y del “triángulo grande” son iguales. Fantástico! Continuemos – Ahora con una regla midan los lados de los dos triángulos.

Ya está! El cmAC 4 ; cmAB 5 ; cmBC 5 ; cmCA 8 ;

cmBA 1 ; cmCB 10 .

TRIÁNGULOS SEMEJANTES

A

B

C A'

B'

C'


Página 105

Muy bien ¿Pueden sacar alguna conclusión?

¿Qué relación se observa entre el lado AC y CA ?

AC mide 4 cm y CA mide 8 cm.

CA mide el doble de AC y con los otros dos pares de lados pasa lo mismo,

los del “triángulo chico”. Esto podemos expresarlo en lenguaje matemático, diciendo que las razones entre las longitudes de los lados que se corresponden (homólogos) en los dos triángulos, es igual a 2.

O sea: AC

CA

BC

CB

AB

BA

24

8

5

10

5

10

cm

cm

cm

cm

cm

cm

En lenguaje simbólico CBA

~ CBA

Por suerte los matemáticos encontraron criterios para determinar cuándo dos triángulos son semejantes sin necesidad de tener que medir 6 ángulos, 6 lados y hallar sus razones.

Primer Criterio D o s t r i á n g u l o s s o n s e m e j a n t e s s i t i e n e n u n p a r d e l a d o s h o m ó l o g o s p r o p o r c i o n a l e s y e l á n g u l o c o m p r e n d i d o e n t r e e l l o s c o n g r u e n t e . ¿Qué quiere decir homólogos?.... Lenguaje gráfico:

CRITERIOS DE SENEJANZA DE TRIÁNGULOS

Definición:

Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos que se

corresponden congruentes y los lados que se corresponden

proporcionales.

El triángulo ABC es semejante al triángulo A'B'C' y su razón de semejanza es 2.

Reemplazamos el valor de

los lados

“~” semejante


Página 106

Lenguaje simbólico: CBA

~ CBA

Segundo Criterio

S i d o s á n g u l o s d e u n t r i á n g u l o CBA

s o n c o n g r u e n t e s a d o s

á n g u l o s d e u n t r i á n g u l o CBA

, e n t o n c e s l o s t r i á n g u l o s

s o n s e m e j a n t e s . Lenguaje Gráfico

Lenguaje Simbólico

CBA

~ CBA

Tercer Criterio S i d o s t r i á n g u l o s t i e n e n s u s t r e s l a d o s h o m ó l o g o s p r o p o r c i o n a l e s , e n t o n c e s s o n s e m e j a n t e s . Lenguaje Gráfico

A'

B'

C'

A

B

C A'

B'

C'

AA

CA

AC

BA

AB

C

A

B

C

BB

CC

C

C


Página 107

Lenguaje Simbólico

CA

AC

CB

BC

BA

AB

Indicar si los siguientes triángulos son semejantes y establecer cuáles son los lados que son proporcionales.

El triángulo ABC es semejante al MNP. ¿Por qué?

70º

60º

30º

80º

50º

40º

70º

70º

60º

80º

A

B

C

F

D

E

O

R

S

G

H

I

M

N

P

A'

C'

B' A

C

B

∆ ∆


Página 108

Recordemos los criterios de semejanza, el segundo criterio nos dice que dos

triángulos son semejantes si tienen dos ángulos congruentes. (igual medida)

Claro pero el ABC tiene un ángulo de 60º y otro de 70º y el MNP tiene uno de

60º y el otro de 50º entonces…….

Recordemos la propiedad de la suma de los ángulos interiores

de un triángulo. “La suma de los ángulos interiores de un

triángulo es igual a 180º”

En el triángulo ABC ¿Cuánto mide el ángulo Â?

B

mide 70º y C

mide 60º, quiere decir que entre los dos suman 130º,

entonces para llegar a 180º el ángulo Â mide 50º.

Correcto, lo mismo deberá pensar para el triángulo MNP. El ángulo N

mide

70º.

Vamos a dibujar

nuevamente los

dos triángulos con

los ángulos

encontrados.

Como pueden

observar estos

dos triángulos

tienen 2 ángulos

congruentes (por lo tanto el tercer ángulo también será congruente). Como

se verifica en el 2do criterio de semejanza, los dos triángulos son semejantes,

si son semejantes sus lados son proporcionales, pero como establecemos la

proporcionalidad entre sus lados, es decir ¿qué lados del triángulo ABC son

proporcionales al otro triángulo?

Bueno en realidad no sé… ¿Qué tengo que tener en cuenta?

Te acordás que hablamos de lados homólogos, bueno los lados

homólogos son aquellos que se oponen a ángulos congruentes

(de igual medida), es decir en el triángulo ABC el ángulo de 70º

∆ ∆

∆

∆

70

50 6

A

B

C

70

50

6

M

C

N

∆

∆

∆


Página 109

se opone al lado AC y en el triángulo MNP el ángulo de 70º se opone al lado

MP , entonces AC y MP son lados homólogos y por lo tanto proporcionales.

Es decir que para establecer la proporcionalidad entre

los lados, tengo que mirar los ángulos a qué lados se

oponen en cada triángulo.

Exactamente: Vamos a escribir la proporcionalidad entre los lados

de ambos triángulos.

Fijate que AB se opone al ángulo de 60º y MN se

opone en el otro triángulo al ángulo de 60º.

Analicemos los triángulos DEF y QRS:

Son Semejantes

El ángulo F

mide 80º y el ángulo S

mide 30º por lo tanto DEF ~ QRS,

establecemos entonces la proporcionalidad entre sus lados:

QR

FE

RS

DE

QS

DF

30º

70º

80º

70º

30º 80º

F

D

E

Q

R

S

NP

BC

MN

AB

MP

AC

∆ ∆

∆ ∆


Página 110


Página 111

Ejercicio 1:

Dadas las siguientes figuras, hallar X sabiendo que m//n.

a)

............................................................................

............................................................................

............................................................................

............................................................................

............................................................................

............................................................................

............................................................................

.........................................................

b)

.........................................................

.........................................................

.........................................................

.........................................................

.........................................................

.........................................................

.........................................................

.........................................................

c)

.........................................................

.........................................................

.........................................................

.........................................................

.........................................................

.........................................................

m

2x

3x

n

x

6

X+1

5

4 n

X m

X+1

7

9

n

X+2 m

8


Página 112

.........................................................

d)

.........................................................

.........................................................

.........................................................

.........................................................

.........................................................

.........................................................

.........................................................

.........................................................

.........................................................

Ejercicio 2:

Dividir los siguientes segmentos en:

a) Tres partes iguales.

b) Cinco partes iguales.

c) Siete partes iguales.

m m

6

15

n

24 2x p

a

b

c


Página 113


Página 114

Dibujar tres segmentos:

a) de 16 cm y dividirlo en tres partes iguales. b) De 14,5 cm y dividirlo en cinco partes iguales. c) De 7,50 cm y dividirlo en cuatro partes iguales.

Ejercicio 3: Hallar en cada caso el valor de x:

a)x

5

7

2 b)

7

129

x c)

8

3

5

1x d)

6

5

4

3 x


Página 115

Dados los siguientes triángulos determinar cuáles son semejantes. Justificar la respuesta e indicar cuáles son los lados proporcionales.

Realizar una breve reseña bibliográfica (no menos de 15 renglones y no más de 25) de Pitágoras y Euclides.

75º

80º

35º

80º

50º

40º

75º

60º

60º

80º

A

B

C

F

D

E

O

R

S

G

H

I

M

N

P

9


Página 116


Página 117

Figuras, polígonos.

Cuadriláteros.

Clasificación y propiedades.

Simetría.

Figuras Circulares.

Antes de entrar específicamente en el tema de cuadriláteros, abordaremos algunos conceptos básicos que nos permitirán seguir desarrollando los sucesivos temas de geometría que vamos a tratar. Vamos a repasar los elementos fundamentales de una figura plana. Observemos por ejemplo la siguiente figura:

Los lados de la figura son los bordes de la misma, es decir, DACDBCAB ,,, .

Los vértices son los puntos que unen dos lados consecutivos, es decir los puntos A, B, C y D son los vértices de la figura. Los vértices A y C; B y D se llaman vértices opuestos. Las diagonales son los segmentos que unen vértices opuestos, entonces deducimos que AC y BD son las diagonales.

A B

C D

Lados y Vértices

ELEMENTOS DE UNA FIGURA

Vamos a repasar


Página 118

Llamamos bisectriz de un ángulo a la semirrecta que divide al ángulo en dos partes congruentes. En la figura la apreciamos en forma simbólica del siguiente modo:

CODDOA C

La semirrecta OD divide al ángulo COA

en dos partes congruentes, es decir

que COA

es congruente con COD

.

Conceptualmente podemos decir que el perímetro de una figura es el contorno de la misma, si queremos averiguar el perímetro de una figura debemos sumar todos los lados de la misma. En los problemas donde nos piden calcular los lados de una figura o el perímetro de la misma, debemos antes que nada saber las propiedades de los lados según la figura de que se trate. Por ejemplo, si nos piden calcular el perímetro de un rectángulo, sabemos que tiene dos pares de lados paralelos

PERÍMETRO DE UNA FIGURA

O

A

C

D

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

A B

C D

Diagonales


Página 119

e iguales. En algunos casos en los datos figuran incógnitas, tendremos que plantear una ecuación y resolverla.

Rectángulo (ángulos rectos)

Rombo (lados iguales)

Paralelogramo

CUADRILÁTEROS Clasificación de los distintos tipos:

(lados opuestos paralelos)


Página 120

OTROS CUADRILÁTEROS

Trapecio Escaleno

Trapecio Isósceles

Trapecio Rectángulo

Romboide


Página 121

Observando el cuadro anterior vemos que hay tres grupos de cuadriláteros. Aquellos que tienen dos pares de lados opuestos paralelos llamados paralelogramos. Otros que tienen un par de lados opuestos paralelos llamados trapecios y aquellos que no tienen ningún par de lados opuestos paralelos llamados trapezoides. Si dibujamos un cuadrado en un papel cualquiera y lo recortamos para poder plegarlo sobre sí mismo de modo que las dos partes en las que efectuamos los dobleces quedan superpuestas coincidiendo de manera exacta ¿De cuántas maneras podríamos doblarlo? Fíjese por ejemplo si la plegamos siguiendo la línea punteada, las partes superpuestas coinciden.

Pero también se cumple lo pedido si plegamos por cualquiera de las otras líneas punteadas que se indican en los dibujos que se dan a continuación. A estas líneas “punteadas” se las denomina Ejes de Simetría. Doblando el cuadrado por sus distintos ejes de simetría podemos decir que sus lados son todos congruentes y sus ángulos también. Es decir:

Y que sus diagonales son congruentes, es decir que las medidas de las diagonales son iguales.

CUADRADO

A B

D C

º90DCBA

ADCDBCAB

CCC

CCC


Página 122

BDAC C

Y además que la medida de AO es la misma que la de OC y que la medida de

BO es la misma que la de OD . Decimos entonces que las diagonales se

cortan mutuamente en segmentos congruentes y el punto donde se cortan es el punto medio de cada una de ellas.

Es decir OCAO C y OBDO C .

Todas las propiedades de los cuadriláteros podemos deducirlas a partir de sus ejes de simetría.

Vamos a resumir las propiedades de los cuadriláteros:

Lados: (1) Todos los lados son congruentes. (2) Los lados

opuestos son paralelos.

Lenguaje Simbólico: (1)

ADCDBCAB CCC

ADBC // y CDAB //

Diagonales: (1) Las diagonales son congruentes y se

cortan perpendicularmente en el punto medio. (2) Además

son bisectrices de los ángulos cuyos vértices unen (3).

A B

D C

O

Lenguaje Simbólico: 1BDAC C

3º45

º45

2

CBDDBA

DACCAB

BDACOCAO

ODBO

C

C

C

C

Ángulos: Tienen cuatro ángulos rectos (todos miden 90º).

Lenguaje Simbólico: º90DCBA CCC

CUADRADO

A B

D C

O


Página 123

Lados: Todos los lados son congruentes.

Lenguaje Simbólico: AB CD BC AD

Diagonales: Las diagonales se cortan

perpendicularmente (1) en su punto medio (2) y

además son bisectrices de los ángulos cuyos vértices

unen (3).

Lenguaje Simbólico:

1ACBD

OCAO C 2ODBO C

21

C 343

C

ROMBO

O

2 1

3

4

A C

D

B

Ángulos: Los ángulos opuestos son congruentes.

Lenguaje Simbólico: CA C

y DB C

Lados: (1) Los lados opuestos son congruentes y

paralelos (2).


CDAB C y ADBC C

ADBC // y CDAB //

Diagonales: Las diagonales son congruentes (1)

y se cortan mutuamente en el punto medio (2).

A

B C

D


2

1

ODBO

OCAO

BDAC

C

C

C

Ángulos: Tiene cuatro ángulos rectos (todos miden 90º)

Lenguaje Simbólico: º90DCBA CCC

RECTÁNGULO


Página 124

Lados: Los lados opuestos son

congruentes (1) y paralelos (2).


ADBC C y CDAB C (1)

ADBC // y CDAB // (2)

Diagonales: Las diagonales no son

iguales pero se cortan mutuamente por su

punto medio.

PARALELOGRAM

O

O

B C

A D

Lenguaje Simbólico: OCAO C y ODBO C

Ángulo: Los ángulos opuestos son congruentes (1) y los ángulos que están del mismo

lado son conjugados internos entre paralelas (2), es decir que suman 180º.


(1) CA C

y DB C

(2) º180BA

y º180DC

Lados: Tienen dos pares de lados consecutivos congruentes.

Lenguaje Simbólico: AB BC

CDAD C

Diagonales: Las diagonales son perpendiculares (1). La diagonal principal es la

que es eje de simetría de la figura (en este caso BD es la diagonal principal) (2). La

diagonal principal corta a la otra en su punto medio y es bisectriz de los ángulos

cuyos vértices unen (3).


BDAC (1)

OCAO C (2)

21

C (3)

Ángulos: Los ángulos que unen la diagonal no

principal son congruentes.

Lenguaje Simbólico: CA C

DB

(ya que la diagonal AC no es eje de simetría

de la figura, fíjese que si doblamos el romboide por

la diagonal AC el ángulo B y el ángulo D no coinciden,

por lo tanto no son congruentes)

ROMBOIDE

A

B

C

D

O 1

2


Página 125

Lados: Tiene un par de lados

paralelos que son las bases

ADBC// . Los lados no paralelos

son congruentes.

Lenguaje Simbólico: CDAB C

Diagonales: Las diagonales son

congruentes pero no se cortan en el

punto medio.

Lenguaje Simbólico: CDAC C

OCAO y ODBO

Ángulos: Los ángulos adyacentes a

las son congruentes.

Lenguaje Simbólico: DA C

A

B C

D

O

TRAPECIO ISÓSCELES

Lados: Tiene un par de lados paralelos

(que se llaman bases) en este caso BC y

AD ADBC // . Los cuatro lados son

distintos.

Diagonales: son distintas y no se cortan

en su punto medio.

Ángulos: los cuatro ángulos son

distintos pero los ángulos del mismo

lado son conjugados internos entre

paralelas, es decir que suman 180º.

Lenguaje Simbólico: º180BA

y

º180DC

A

C

B

D

TRAPECIO ESCALENO


Página 126

Cualquier cuadrilátero puede ser dividido en dos triángulos, si se traza una de sus diagonales.

A

B

C D

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º, entonces la suma de los ángulos interiores de un

cuadrilátero es de 180º . 2 =360º

(ya que quedan determinados dos triángulos). Podemos decir entonces que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360º.

ÁNGULOS INTERIORES DE UN CUADRILÁTERO

Lados: Tiene un par de lados

opuestos y paralelos (bases).

Lenguaje Simbólico: ADBC //

Diagonales: No son congruentes.

Lenguaje Simbólico: BDAC

Ángulos: Tiene dos ángulos rectos

º90BA C

A

B C

D

TRAPECIO RECTÁNGULO


Página 127

1ª) Dado el siguiente paralelogramo ABCD, si el ángulo º58A

. Calcular los

restantes ángulos del paralelogramo.

Para poder resolver este problema, debemos tener en cuenta las propiedades del paralelogramo. Se sabe que los ángulos opuestos de

cualquier paralelogramo son congruentes, por lo tanto CA C

y DB C

Es decir:

º58A

entonces º58C

º244

º58º58º360

DB

DB

Pero con B = D entonces 2 B = 244º B = 244º y D = 244º

O sea que: CA

y º58CDB

y º122D

La suma de los 4 ángulos tiene que dar 360º, esta sería una forma de verificar el ejercicio. 2ª) Cuando en un problema de geometría los datos vienen dados por ecuaciones, primero debemos establecer las relaciones geométricas, es decir, debemos pensar en las propiedades de la figura que estamos analizando. Veamos el siguiente ejemplo, dado un Trapecio Isósceles:

M

N P

Q

º202

º40

XQ

XM

A

B C

D


Página 128

Como se trata de un trapecio isósceles los ángulos de la base son congruentes, es decir:

QM C

A partir de esta relación geométrica (que M

y Q

son congruentes),

reemplazo los datos dados: º202º40 xx

Me quedó planteada una ecuación, entonces tengo que resolverla, para eso despejamos x.

xx2º20º40

xº60

Si x=60 reemplazo ahora este valor en cada uno de los ángulos.

º100º40º60º40xM

Para calcular el ángulo N

, sabemos que MQNP // , por lo tanto M

y N

son

ángulos conjugados internos entre paralelas y suman 180º.

º80º100º180

º180

º180

N

MN

NM

El ángulo P

mide también 80º (entre los 4 ángulos deben sumar 360º).

Dado el siguiente paralelogramo:

Se pide calcular el perímetro.

Pensemos en los datos que nos dieron. AB y CD , son dos lados del

paralelogramo. ¿Cómo son esos lados? Recordemos las propiedades del paralelogramo, respecto a los lados: “Los lados opuestos en un paralelogramo son iguales y paralelos”.

A

B C

D

cmBC

cmxCD

cmxAB

7

12

62


Página 129

Por lo tanto cmxcmx

CDAB

1262

Resolvemos la ecuación:

mx

cmcmxx

6

6122

Reemplazamos la x en los lados dados:

cmcmcmCD

cmcmcmcmcmAB

18126

18612662

Como tenemos que averiguar el perímetro del paralelogramo, sabemos que el mismo es la suma de todos los lados. O sea:

Perímetro ADCDBCAB cmcmcmcmcm 50771818

Observe que el lado cmAD 7 , porque es igual a su opuesto BC, que bien

sabemos que es de 7cm.

Averiguar la medida de los ángulos que faltan en cada cuadrilátero.

Si el ángulo A

vale 52º el ángulo B

vale 180º-52º=128º, ya que como A

y B

son ángulos conjugados internos entre paralelas, la suma de ambos es igual a

180º. El ángulo C

es congruente con el A por lo tanto º52C

y D

es

congruente con B

o sea es igual 52º.

b) En el siguiente trapecio isósceles el ángulo A

vale 74º, como se trata de un trapecio isósceles los ángulos de las bases son congruentes es decir el

ángulo º74D

.

A

B C

D

52º


Página 130

Recordar que AD C

y que CB C

.

Hallar el valor de x en cada figura y los ángulos interiores de cada cuadrilátero. .

Como el ángulo A

es congruente con el ángulo C

porque son ángulos

opuestos en paralelogramos.

Nos queda una ecuación con una sola incógnita: X

Como ya calculamos el valor de x podemos determinar ahora el ángulo

º102xA

reemplazando ahora el valor de x.

º60º15º75º153

º60

º60

º60º10º50º10º252

xC

AC

A

A

DB entonces

2

............

................º60º60º360

B

DB

A D

B C

2x+10

3x+15

Podemos igualarlos

º25

º10º1532

º153º102

º153

º102

x

xx

xx

CA

xC

xA

C

º25x


Página 131

Si tomamos una soga y la colocamos alrededor de un aro o de cualquier objeto circular, observaremos que la cantidad de soga necesaria para bordear dicho objeto es aproximadamente tres veces y un poco más la longitud del diámetro. Entendemos por diámetro a cualquier segmento que pase por el centro de la circunferencia.

Esta relación que existe entre la longitud de la circunferencia y su diámetro

es un número irracional conocido con el nombre griego de Pi (π).

Nota: Se llama Nº irracional porque contiene infinitas cifras decimales no periódicas, hasta el día de hoy la computadoras siguen buscando más cifras del número Pi. Podemos entonces calcular la longitud de una circunferencia con la fórmula. Long C (O;d) = π.d Se lee longitud de la circunferencia de centro O y diámetro d.

M

C B

N

D A

o

AB ; CD y MN son diámetros.

O d

También podemos expresar la longitud de una circunferencia en función de su radio. Long C (O; r) = 2 π r

FIGURAS CIRCULARES


Página 132

Definición de Radio

r1

R2

Llamamos radio al segmento comprendido entre el centro de la circunferencia y su perímetro. Por ejemplo: r1 y r2 son radios.

Ejemplos:

a) Calcular la longitud de una circunferencia cuyo radio es r = 5cm

Longitud = 2 π r = 2 . 3,14 . 5cm = 10cm . 3,14 = 31,4cm

b) Calcular el diámetro de una circunferencia cuyo perímetro es igual a 400m.

rm

rm

rm

rP

14,3

200

2

004

2400

2

1

200

mr 6,63


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1) En un rectángulo abcd sus diagonales son cmxac 104 y

cmxbd 23 . Calcula la medida de sus diagonales. GRAFICAR ....................................................................................................................

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2) En un rombo abcd, a = 18º. Calcula b

, c

y d

. GRAFICAR

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3) En un trapecio isósceles abcd, bc//ad ¿Cuánto miden cada uno de sus

lados no paralelos, si cmxab 204 y cmxcd 362 ? GRAFICAR

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10


Página 134

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4) En el trapecio abcd: .............................................................................................

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Calcular c

y d

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5) En abcd paralelogramo: Hallar los 4 ángulos interiores.

º125

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6) En el rombo: Hallar los 4 ángulos interiores.

º113

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4x

x

b

a

c

d

a

b

c

d


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7) abcd trapecio rectángulo. GRAFICAR º114

Hallar los ángulos interiores. ...................................................................................................................

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8) abcd trapecio isósceles

cmxcd

cmxab

22

73

Hallar los lados congruentes. ...................................................................................................................

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a

b c

d

a

c b

d


Página 136

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9) abcd trapecio rectángulo

º59

. Los ángulos de la base del abcd son congruentes.

Hallar b

y c

.

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a b

d

c

proporcionalidad de segmentosextension.frvm.utn.edu.ar/documentos/s.e.u/procedimientos/secun... ·...

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