projet de fin d’etudes · 2013. 6. 12. · ce fluide peut aussi être un gaz compressible, le...

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE

SCIENTIFIQUE

Université Hassiba Benbouali de Chlef

Faculté de Technologie

Département de Génie Mécanique

Projet de fin d’etudes

En vue de l’obtention du diplôme de Master

Filière: Génie Mécanique.

Spécialité: Simulation Mécanique et Energétique.

Thème :

Simulation par optimisation de performance des

caractéristique de la lubrification hydrodynamique du

système piston cylindre de moteur à combustion interne

Présenté par : Dirigé par : Bensehila Fatima Pr: TAHAR ABBES Miloud

Promotion: 2011-2012

Remerciements

Nous formulons notre profonde gratitude à Allah tout Puissant, qui

nous a donné la volonté pour la réalisation de ce modeste travail.

J’exprime mes reconnaissances à mon promoteur Mr : TAHAR

ABBES Miloud pour son aide précieuse qu’il m’a consacrée tout au

long de ce modeste travail et surtout ses encouragements.

Je tiens à remercier l’ensemble des enseignants qui ont contribué à

notre formation

Je tiens à remercier mes parents pour m’avoir encouragé durant

toute ma scolarité

Résumé

L’étude de ce master est la simulation par optimisation des caractéristiques de performance

de la lubrification hydrodynamique du système piston cylindre d’un moteur à combustion

interne.

Une application est faite sur le piston de moteur F8L413 monté actuellement sur les camions

TB230 de la SNVI ROUIBA.

L’étude permet à l’aide du développement d’un code de calcul écrit en FORTRAN, de

calculer les excentricités du piston en mouvement secondaire, la vitesse axiale du piston,

l’angle de basculement, l’épaisseur du film lubrifiant, la pression dans le film d’huile aussi

que les frottements hydrodynamiques entre la jupe et l’huile.

Une analyse spécifique montre l’influence de l’angle de pression (l’angle de zone active) du

piston sur les caractéristiques de performance qui sont le frottement, l’épaisseur minimale et

le mouvement secondaire.

L’étude montre que plus l’angle de pression augmente plus les frottements augmente les

autres paramètres ne sont pas influencés.

Dédicaces

Je dédié ce modeste travail

A mes très chers parents

Pour leur persévérance à m’encourager d’aller toujours de l’avant pour ma

réussite et dont je leur fait cadeau en témoignage de toute mon affection.

A tous mes chers frères et sœurs.

A tous ma famille.

A tous mes amis.

A tous mes enseignants de l’école primaire jusqu’à l’université.

1

TABLE DES MATIERES

REMERCIEMENTS

RESUME

DEDICACES

TABLE DES MATIERES …………………………………………………………………….1

LISTE DES FIGURES……………………………………………………………….………4

NOMENCLATURE..................................................................................................................6

Introduction générale…………………………………………………………….……………8

ChapitreI:Etude bibliographique

I.1 introduction ………………… ………………………………………..……..……………..9

I.2 Le piston à travers l’histoire ……………………………………………………………….9

I.3 Le modèle dynamique simplifié. …………………………………………...…..………...11

I.4 Le modèle hydrodynamique ………………………………………………...……………12

I.5 Définition de la lubrification hydrodynamique……………………………….…..……...15

I.6 Les caractéristique de la performance de la lubrification hydrodynamique …………….. 15

I.6.a.La pression ……………………………………………………………….…….……….15

I.6.b. L’épaisseur du film lubrifiant………………………………………….……....……….15

I.6.b.1 La lubrification limite …………………………………….………..…………15

I.6.b.2 La lubrification mixte ……………………………………………...…………16

I.6.b.3La lubrification hydrodynamique …………………..………..………………..16

I.6.c. Le frottement………………………………………………………...……..…………..17

I.7La lubrification hydrodynamique ……………………………………….……..………....17

2

ChapitreII:Formulations de base

II.1 Introduction………………………………………………………………………….…19

II.2 Equations dynamiques couplées ………………………………………………..……19

II.3 Analyse hydrodynamique…………………………...……………………………......24

II.4 La cavitation...………………………………………………………………………..26

II.5 Modèles de cavitation………………………………………………………………………...26

II.5.1Modèle de SOMMERFELD………………………………………….………………….….26

II.5.2 Modèle de GUMBEL……………………………………………………………….…..….27

II.5 3 Modèle de REYNOLDS (SWIFT-STIEBER)…………………………..………….........27

II.6 Equation de Reynolds……………………………………………………….…........28

Conditions aux limites…………………………………………...…………........29

II.7 Equation du film lubrifiant…………………………………………………....….…30

II.8 Equation du film selon la direction circonférentielle……………………..………….…31

ChapitreIII:Méthode de résolution

III.1 Introduction ………………………………………………………………………34

III.2 Méthode de résolution…………………………………………………….………34

III.3 Transformation du repère cylindrique(r,θ, z) en repère cartésien (x ,y)… ……….35

III.4 Calcul des résidus…………………………………………………………..........37

III.4 .1Le résidu de l’équation de Reynolds……………………………………..........37

III.4.2 Résidu de l’équation de dynamique en eb……………………………….……...39

III.4.3 Résidu de l’équation de dynamique en eh………………………………………39

III.5. Calcul du Jacobéen ……………………………………………………………...40

III.5.1 Calcul les termes du Jacobéen……………………………………………….…41

III.6 La méthode de Newton – Raphson………………………………………………43

3

ChapitreIV : Algorithme de résolution

IV.1 Introduction…………………………………………………………..………….46

IV.2 Programme principal « Piston » …………………………………………………46

IV.2.1 Sous-programme « Défaut données» ………………………………………….46

IV.2.2 Le sous programme « LIRE_DONNEES» ………………………….………..48

IV.2.3 Structures sous-programme « calcul » ……………………………………..…...50

ChapitreV: Résultats et interprétations

V.1Introduction ……………………………………………………………………….52

V.2 Vitesse axiale du piston……………………………………………………………52

V.3 Evolution des excentricités eh et eb ……………………………………………….53

V.4 Variation de la pression maximale au cours d’un cycle moteur………....................54

V.5 Comparaison pour les angles fluide θ = 30°et θ = 50°…………………………....56

V.6 Conclusion…………………………………………………………………………..58

Conclusion générale…………………………………………………………….………59

Références bibliographiques…………………………………………………………….60

Liste des figures

4

LISTE DES FIGURES

N. figure Figures Titre Page

1 I .1 La lubrification limite 16

2 I.2 La lubrification mixte 16

3 I.3 La lubrification hydrodynamique 17

4 II.1 Géométrie du système piston 20

6 II.2 Forces et moments agissant sur le piston 21

7 II.3 Condition de pression dans la zone inactive 25

8 II .4 La zone de cavitation dans un film d’huile 26

9 II .5 Modèle de Sommerfeld 27

10 II .6 Modèle de Gumbel 27

11 II .7 Modèle de Reynolds 28

12 II.8 Condition de pression dans la zone inactive 29

13 II.9 Géométrie du film lubrifiant 31

14 II.10 Géométrie du film dans la section du haut de la jupe 31

15 III .1 Géométrie du système piston 35

16 III.2.a Géométrie du film lubrifiant 35

17 III.2.b Maillage 2D du Film lubrifiant développé 36

18 III.3 Discrétisation de jiE , sur le maillage de différence finie 38

19 IV.1 Organigramme principal de résolution 46

20 IV.2 Algorithme du sous programme LIRE_DONNEES. 49

21 V.1 Vitesse axiale du piston en fonction de la rotation du

vilebrequin au cours d’un cycle moteur 52

22 V.2 Excentricités du piston en fonction de la rotation du


23 V.3 Angle de rotation ou basculement sur un cycle moteur 54

24 V.4 Pression maximale de l’huile lubrifiante 54

Liste des figures

5

25 V.5 Epaisseur minimale du film 55

26 V.6 Frottement hydrodynamique du piston 55

27 V.7 Vitesse axiale du piston en fonction de la rotation du


28 V.8 Les excentricités 𝑒ℎ et 𝑒𝑏 56

29 V.9 Angle de basculement sur un cycle moteur 57

30 V.10 Epaisseur minimale de film lubrifiant 57

31 V.11 La variation de la pression 57

32 V.12 Frottement hydrodynamique du piston 57

Nomenclature

6

Nomenclature

A Aire du fond de piston m²

a Distance Verticale entre le sommet de la jupe et l’axe de piston m

b Distance verticale entre le sommet de la jupe et le centre de masse m

c Jeu radial entre le piston et le cylindre à température ambiante m

gC Désaxage du centre de gravité m

PC Désaxage piston – axe m

d Hauteur de la dénivellation à la moitié de la jupe du piston m

he , be Excentricités du haut et du bas de la jupe m

F Portance du film hydrodynamique N

F̂ Force de connexion agissant le long de la bielle

gF Force des gaz de combustion N

𝐹𝑖𝑐 Force d’inertie due à la masse de l’axe du piston N

𝐹𝑖𝑝 Force d’inertie due à la masse de l’axe du piston N

h Epaisseur de film lubrifiant m

pistI Moment d’inertie du piston par rapport à l’axe Kg.m²

L Longueur de la jupe du piston m

Longueur de la bielle m

f Force de frottement N

M Moment hydrodynamique par rapport à l’axe N.m

ICM Moment d’inertie du piston N.m

axem Masse de l’axe kg

pistm Masse de piston kg

P Pression hydrodynamique Pa

gP Pression des gaz de combustion Pa

Nomenclature

7

LP Perte de puissance instantanée W

R Rayon du piston m

r Rayon du vilebrequin m

t Temps s

U Vitesse axiale du piston m/s

y Coordonnée mesurée à partir du haut de la jupe du piston m

Angle de basculement du piston rad

Connexion de la bielle rad

Viscosité dynamique de l’huile Pa.s

Vitesse de translation due au mouvement secondaire

1 , 2 Angle fluide assumé degré

Angle de vilebrequin Degré

Vitesse de rotation du moteur s-1

P Axe de piston

C Axe de cylindre

a Accélération axiale m/s2

𝐹𝑠 ,𝑀𝑠 Forces latérales des parois

r

UU

c

ehh

c

ebb

Rr6

pcp

2

c

hh

Introduction générale

8

Introduction générale

Le but de ce projet est d’étudier la simulation par optimisation des caractéristique de

performance la lubrification hydrodynamique du système piston cylindre du moteur à

combustion interne.

Une application est faite sur le moteur F8L413 de la SNVI Rouïba.

Les principales caractéristiques de performance sont le frottement hydrodynamique entre

l’huile lubrifiante et la paroi du piston, la pression dans le film lubrifiant, l’épaisseur

minimale du film d’huile et l’angle fluide de pression active.

Un code de calcul est développé pour le calcul hydrodynamique du modèle de piston.Isl est

tenu compte de la cavitation dans le film d’huile

Tous les résultats montrent la performance du code de calcul qui peut être utilisé par d’autres

types de moteur comme le moteur à essence.

Chapitre I Etude bibliographique

9

Chapitre I

Etude bibliographique

I.1 Introduction

La lubrification hydrodynamique est un chapitre de la tribologie qui concerne les

contacts pour lesquels un fluide visqueux est intercalé entre les surfaces en présence. Ce

fluide peut être un liquide, pratiquement incompressible, tel que de l’huile, de l’eau ou même

un métal fondu : c’est le cas des paliers et des butées hydrodynamiques.

Ce fluide peut aussi être un gaz compressible, le plus souvent de l’air. En lubrification

hydrodynamique, le film de fluide sépare totalement les surfaces en présence, ce qui suppose

que les aspérités et les défauts de forme des surfaces ont des dimensions inférieures à

l’épaisseur du film. Dans le cas contraire, il y aurait contact en différents points des deux

surfaces ; on parlera alors soit de lubrification mixte, soit de lubrification limite.

La formation et le maintien d’un film de fluide imposent l’existence d’une pression

dans ce film afin d’équilibrer la charge appliquée entre les deux surfaces du mécanisme. Cette

pression qui, en lubrification hydrostatique, est engendrée par un système extérieur au contact

(pompe ou compresseur), est dans le cas hydrodynamique, créée par le déplacement relatif des

surfaces. Le calcul de cette pression permet de déterminer la charge que peut supporter le

contact, le couple ou la force de frottement et le débit de fluide dans le mécanisme.

Ainsi, pour déterminer les caractéristiques de fonctionnement d’un palier ou d’une

butée, il faudra tout d’abord calculer la pression dans le film. Cette pression est obtenue par la

résolution de l’équation de Reynolds qui, sous une forme simplifiée, a été démontrée par ce

dernier en 1886 [1] dans le but d’expliquer les résultats expérimentaux donnés, dans le cas

d’un palier, par Beauchamp Tower en 1885 [2].

I.2 Le piston à travers l’histoire

L'historique bibliographique du piston débuta bien avant la révolution industrielle,

les problèmes de mouvement de piston dans un cylindre étant connus depuis l'époque des

ingénieurs Grecs et Romains.

Cependant,de progrès substantiels dans la technologie du piston ne furent entrepris que

jusqu’au 17 ème et 18 ème siècle et c'est au temps des machines à vapeur que fut élaborée la

forme appropriée de pistons de moteurs à combustion interne.

L'invention du piston moderne, avec segments, est généralement attribuée à John

Ramsbottom vers la moitié du 19ème siècle; il est important de noter que les découvertes


10

faites sur les pistons émergèrent au temps des machines à vapeur plutôt qu'au temps des

moteurs à combustion interne

Le problème du piston intéressa les anciens ingénieurs et inventeurs depuis que celui-

ci effectua son premier déplacement à l'intérieur d'un cylindre pour produire du travail.

L'imagination des civilisations à travers l'histoire a été fascinée par le feu et ses effets sur

l'eau, et il est connu que les Chinois aussi bien que les Romains ont utilisé intelligemment la

vapeur quoique le succès fût moindre. Les Grecs connurent plus de succès dans leur tentative

de créer des mécanismes aussi, un grec d'Alexandrie nommé Ktésibios (285-247 AJ) fut

l'inventeur d'une pompe pour élever de l'eau à un niveau supérieur. Il conçut sa machine avec

des cylindres identiques et traita finement les pistons employés avec de l'huile.

Pendant que de tels développements furent inconnus en Europe durant le moyen âge,

des ingénieurs musulmans traitaient de problèmes similaires et sont amenés à développer

plusieurs machines y compris les pompes à eau dont les pistons conçus étaient fabriqués de

disques en cuivre parallèles auxquels est monté une bielle en fer et sont placés dans un

cylindre. L'espace entre les disques étant rempli de chanvre et tenu hermétiquement ainsi

conçu le piston se place avec un bon ajustement dans un cylindre en cuivre.

Un grand nombre de ces machines connues a été utilisé avec succès au cours du 13ème

siècle. Ce n'est que vers la moitié du 17ème siècle que le premier mécanisme d'entraînement

fut conçu en Europe par Ottonis de Guerricke de Magdeburgh qui inventa en 1654 la pompe à

air qu'il exposa au parlement de Ratisbon. Robert Boyle, intéressé par la pompe à air de

Guericke construit, sa propre pompe à pistons en 1667. C'est en ce temps là en Europe, que le

moteur à combustion interne fut inventé et ce en 1661, Sir Samuel Morland breveta une

machine qui par la force de l'air et de la poudre permit de pomper de l'eau. En 1678 Jean

Hautefeuille d'Orléans reprit l'idée de la poudre et suggéra que la poudre à canon peut

exploser dans un cylindre scellé d'un côté avec un piston et utilisant l'aspiration produite par

la condensation des gaz, l'eau peut être soulevée à une hauteur appréciée. Christian

Huygghens de Zuylichen construisit en 1680 une machine conçue d'après l'idée de Jean

Hautefeuille sur le principe de combustion d'une petite quantité de poudre à canon qui amena

le piston en se déplaçant dans un cylindre vertical muni de valves, très poli, à produire du

travail. Enfin en cette période de la renaissance, Denis Papin de Blois de France, marqua la fin

de cette époque. Il adopta l'arrangement de son maître Huyggens pour inventer une pompe à

air en 1675 où les pistons sont déplacés avec de l'eau mais sa machine ne connu pas de grands

succès avec les risques d'explosion qui l'accompagnaient.


11

Durant la révolution industrielle, c'est le temps d'invention des machines à vapeur

utilisant l'ensemble piston-cylindre produisant un travail durable dans le temps, Thomas

Newcomen et John Cawley en 1705 construisent une machine à vapeur utilisant un principe

similaire à celui de Papin.Il obtient un grand succès. C'est à partir de ce système de

Newcomen que naît la célèbre machine à vapeur de James Watt qu'il développa à partir de

1765 où il utilisa pour la première fois des segments enveloppés de tissu ..." qui ont la grande

aptitude de s'adapter sur de mauvais profils,"... qu'il développa plusieurs fois puis la breveta

en 1769 ..."comme une méthode d'improvisation de consommation de la vapeur et du fuel

dans les moteurs thermiques"... Il étudia pour la première fois le matériau et la lubrification du

piston. Ses recherches aboutirent à la découverte de l'oakum comme matériau et les graisses

animales comme lubrifiant puis il développa en 1779 un piston constitué principalement d'un

ensemble de segments pressés par des ressorts. Ces pistons étaient gigantesques avec des

sections qui dépassaient le mètre. Durant cette période, Edward Cartwright proposa en 1797

un piston avec des segments métalliques pour la première fois. Il étudia puis construisit une

machine avec un piston muni de segments en laiton ou cuivre qui sont pressés contre le

cylindre par des ressorts en acier. Il développa selon le même principe avec Barton un piston

de 1.73 m de section destiné pour le moteur vertical de bateau. Ce type de piston décrit ci-

dessus est en général utilisé jusqu'au début du 20ème siècle. C'est John Ramsbottom qui

utilisa ce piston avec un ensemble de segments connu actuellement. Il utilisa un ensemble de

trois segments sur les pistons moteurs de locomotives en 1854.

Durant cette époque ,apparaissent les moteurs à combustion interne actuels avec les

machines de Lenior en 1860 et Otto en 1876 qui utilisent le principe.

I.3 Le modèle dynamique simplifiée

Ce modèle est analysé sans prendre en considération l’effet de la lubrification sur le

mouvement dynamique. Il a été développé dans le but de déterminer le frottement et le bruit

du moteur puis de réduire leur portée.

A l’origine, puisqu’il est difficile de mesurer la translation du piston, les méthodes

numériques n’ayant pas fait leur apparition, des méthodes analytiques sont utilisées pour la

prédiction du bruit provoqué par les pistons. En 1953, Burreli G et F.G Butler présentent une

méthode analytique sur la dynamique du piston et détermine la position de l’axe du piston qui

peut réduire l’impact du piston contre la paroi du cylindre. Ils concluent qu’avec la longueur

de bielle et la position de l’axe du position prédéterminée, la seule variable par laquelle le


12

clappement du piston est affecté est le désaxage (offset du piston) de l’axe du piston par

rapport à la ligne médiane du piston.

En 1972-73, A, M Laws et al. présentent une analyse expérimentale combinée avec

une analyse par ordinateur du mouvement latéral (transversal) et de rotation du piston. Les

résultats obtenus sont représentés par les vibrations du bloc moteur et le jeu piston-cylindre.

Ces vibrations causées, d’après l’auteur, par l’impact de la force latérale, sont analysées dans

le but d’atténuer le clappement du piston.

La deuxième partie concerne la réduction du frottement mécanique car le piston est

connu comme étant une source importante génératrice de frottement. Ces frottements se

niveau des segments. Des modèles de frottement firent au point. Ces modèles s’appuient

principalement sur des procédures expérimentales. L’analyse du mouvement du piston est

ignorée dans ces travaux.

Les premières mesures se frottement de piston de moteur à combustion interne sont

réalisés par Forbès et Taylor et datent de 1943 S. Furuhama et al. T agiguchi et al. Surmontent

les difficultés expérimentales et réussissent à mesurer les forces de frottement piston-cylindre

dans les conditions de fonctionnement du moteur. Uras et Paterson utilisent la méthode

‘IMIEP’ (méthode qui utilise l’équilibre des forces appliquées sur le corps isolé du piston)

pour déterminer des frottements instantanés. Hoshi et Baba présentent une méthode théorique

pour déterminer les pertes par frottement hydrodynamique de l’ensemble piston-segment.

L’équipement conçu ‘motoring method’ permet le fonctionnement de l’ensemble bielle-

manivelle-piston d’être entraîne par un moteur électrique sans moteur thermique. Ils montrent

que la moitié des pertes par frottement dans un moteur à combustion interne le sont par le

système piston dont 70 à 80 pour cent sont les segments de piston et le reste par la jupe. Il est

en général difficile de savoir à quelle partie de l’ensemble piston-cylindre, les frottements

sont attribués aux segments à la jupe.

I.4 Le Modèle hydrodynamique

Les équations de base de la lubrification hydrodynamique des paliers ont été établies

pour les systèmes de paliers par Osborn Rynolds en 1886 et constituent la base de la

lubrification hydrodynamique. L’analyse hydrodynamique de définit par le fait que la

pression développée dans le film d’huile n’a pas d’effet sur les surfaces en contact

contrairement à l’analyse élastohydrodynamique.


13

Les études sur la lubrification hydrodynamique du piston de moteur à combustion

interne, dont la majorité a trait à la lubrification des segments, débutent avec l’analyse de la

lubrification de la jupe, par des procédés expérimentaux employant des méthodes de

visualisation. Ainsi, l’analyse expérimentale de piston dans des cylindres transparents permet

de visualiser le comportement du piston sous l’effet du lubrifiant. Il est montré, à l’aide de

traces lésées par le film d’huile, l’existence de la force d’impact. Il est montré [LI CH] que

l’injection de lubrification sous pression vers la jupe, réduit substantiellement le bruit émis

dans le moteur Diesel. Il est connu que la jupe a une double fonction : guidage du piston dans

le cylindre et supporter l’impact de la force de poussée dynamique latérale (de l’anglais ‘thust

side’) due au mouvement secondaire. Il est montré que le film d’huile amort le clappement du

piston donc réduit le bruit moteur. En plus, le film d’huile assure une fonction de protection

des surfaces de contact contre le grippage. Ainsi, il est montre que le mouvement du piston et

le clappement qui en résulte sont donc liés directement à la lubrification de la jupe. Dans ces

analyses, les auteurs tenant de prédire l’impact du piston entre la paroi du cylindre, basé sur

les équations d’équilibre ; cependant de bons accords avec les mesures ne sont pas achevés à

cause du manque de consécrations propres sur la lubrification hydrodynamique.

Les études qui prenant en considération l’effet de la lubrification du piston ne prennent

de l’ampleur qu’au début des années 80. Knoll et Peeken [5] développent un modèle de

lubrification hydrodynamique basé sur l’équation de Reynolds couplée avec les équations de

mouvement du piston. Dans ce modèle les forces hydrodynamiques dues au film d’huile entre

la jupe et la paroi du cylindre pour une position et une vitesse donnée du piston, sont

calculées. Cette étude fournit une base pour l’inclusion de l’effet des forces de lubrification

hydrodynamique sur le mouvement primaire et secondaire des pistons.

Li et al performent une analyse dynamique du piston dans laquelle ils incorporent un

modèle de la lubrification hydrodynamique de la jupe. La trajectoire complète du piston et les

forces de frottement en fonction des conditions de fonctionnement du moteur sont ainsi

calculées. Les résultats de cette étude indiquent que l’inclinaison dynamique d’un piston de

moteur à combustion interne influence le comportement au frottement de la jupe de piston.

Cette étude constitue notre référence de base pour l’analyse hydrodynamique du piston.

Mourelatos présente un modèle théorique simplifiée de piston, sans segment, de

moteur LHR’Low-Heat Rejection (à ‘faible rejet de couleur’) à combustion interne type.


14

La particularité de ce moteur, dont la lubrification se fait au moyen de gaz de combustion est

que les frottements inter paroi sont très faibles. L’auteur résout l’équation de Reynolds

compressible à deux dimensions par la méthode des éléments finis. Le modèle ainsi construit

est résolu en le smillant par des forces dynamiques latérales données. La trajectoire du piston

est obtenue à partir d’une solution qausi-statique qui ne prend pas en considération les

équations de mouvement du piston. Il conclut que le piston sans segment ne peut supporter

que de petites charges latérales et que le profil à côtés doubles est plus performant que le

profil à côté unique.

Gommed et Etsion développent un modèle mathématique pour l’analyse dynamique de

piston, sans segment, de moteur de type LHR identique à celui présenté par Mourelatos,

lubrifié par gaz. Le système d’équation complète de mouvement du piston et de la bielle est

formulé simultanément avec l’équation de Reynolds pour les gaz et les équations d’énergie.

Ils montrent que l’incorporation de la dynamique de la bielle joue un rôle important dans le

mouvement du piston. Ils trouvent que la stabilité du mouvement du piston dépend fortement

des conditions thermodynamiques de fonctionnement.

Plus récemment, Li et al présentent un modèle de lubrification mixte hydrodynamique

basé sur l’équation de Reynolds à deux dimensions couplées avec les équations de

mouvement secondaire du piston. Cette étude, basée sur le modèle de Li, tient compte de

l’effet de la rugosité des surfaces en contact. Les résultats obtenus montrent que le profile de

la jupe, la vitesse du moteur, le désaxage (offset) de l’axe du piston ainsi que le jeu radial

piston-cylindre jouent un rôle important dans la détermination du mouvement secondaire du

piston. Ils conclurent aussi que pour des vitesses élevées et un faible jeu, le mouvement

secondaire tend à s’atténuer.

La complexité du modèle de lubrification de la jupe du piston fait que ce sujet

continue d’être traité. Siyoul présente une étude du mouvement dynamique secondaire avec

incorporation de la lubrification. La procédure de construction et de résolution du modèle se

base essentiellement sur l’analyse de Li. Il axe son étude sur les paramètres qui influencent le

mouvement secondaire et principalement le profil de la jupe. Les résultats trouvés montrent

que le profil en tenu de la jupe est le profil qui donne la force d’impact la plus faible.[3]


15

I.5 Définition de la lubrification hydrodynamique

La lubrification hydrodynamique est un domaine important de la tribologie, c’est

l’étude des contacts dans lesquels un film de fluide sépare les surfaces en présence. Dans le

cas où le film de fluide sépare totalement les surfaces, les aspérités et les défauts de forme ont

des dimensions inférieures à l’épaisseur du film.

I.6 Les caractéristique de la performance de la lubrification hydrodynamique

I.6.a. la pression

Un corps liquide ou gazeux enfermé dans un récipient et qu'il remplit entièrement, exerce sur

toutes les parois de celui-ci une force dite de pression. La pression est une grandeur dérivée

du système international. Elle est définie comme le quotient d’une force par une surface.

Ce quotient est indépendant de l'orientation de la surface. La pression s’exerce

perpendiculairement à la surface [4]

I.6.b. L’épaisseur du film lubrifiant

I.6.b.1 La lubrification limite

L'épaisseur du film lubrifiant est insuffisante pour isoler complètement les solides en

contact, si la charge devient trop forte, alors les solides ne sont séparés que d’une couche

quasi mono moléculaire. C'est la solidité de cette dernière qui empêche les contacts métal

métal. L'aptitude du lubrifiant à former une couche adhérente, appelée onctuosité, est ici une

qualité primordiale.

Il concerne les surfaces se déplaçant à faible vitesse pour lesquelles un film d’huile

visqueux continu ne peut se former en raison de pressions de contact trop fortes. Dans les

véhicules, ce régime est prépondérant durant le démarrage ou l’arrêt des mécanismes et au

cours de certaine phase transitoire de fonctionnement comme, par exemple, les contacts

segment-piston-cylindre aux points morts. Est la zone de lubrification qui fait appel à la

physicochimie des surfaces du piston et du cylindre. Molécules d'huile adsorbées (physico-

chimie des surfaces et des lubrifiants).


16

Fig.I.1 : La lubrification limite

I.6.b.2 La lubrification mixte

Le fluide supporte une partie importante des charges mais des contacts subsistent entre les

aspérités. Le frottement est minimal mais ce régime est très instable et il vaut mieux l'éviter.

C’est une séparation progressive des surfaces par un film de lubrifiant fluide, souvent

rencontré dans la pratique, il est intermédiaire entre le régime limite et les régimes de

lubrifiant fluide: hydrodynamique ou élastohydrodynamique.Il existe chaque fois qu’un film

visqueux mince s’établit entre les surfaces dont l’épaisseur est insuffisante pour séparer

totalement les aspérités les plus proéminentes, un certain nombre de contacts directs métal-

métal se produisent alors, ce qui entraine une augmentation du frottement, des températures

de contact et de l’usure adhésive.

Fig. I.2 : La lubrification mixte

I.6.b.3 La lubrification hydrodynamique

Le lubrifiant liquide est entraîné et mis sous pression par le mouvement relatif des surfaces.

Il sépare totalement ces dernières et supporte l'intégralité des charges, grâce à sa viscosité, qui

correspond à sa résistance à l'écoulement. Dans ce cas, les vitesses relatives ne sont pas

faibles mais les pressions restent modérées, de sorte que l'on peut négliger les déformations

des pièces et la compressibilité du lubrifiant.Est un chapitre de la tribologie qui concerne les

contacts pour lesquels un fluide visqueux est intercalé entre les surfaces en présence et exerce

une action sur l'ensemble Piston-cylindre. En lubrification hydrodynamique, le film de fluide

sépare totalement les surfaces en présence, ce qui suppose que les aspérités et les défauts de


17

forme des surfaces aient des dimensions inférieures à l’épaisseur du film.Dans tous les

mécanismes étudiés, le problème peut se schématiser de la façon suivante.

Fig. I.3 : La lubrification hydrodynamique

Un film de fluide visqueux sépare les deux surfaces du mécanisme, il s’agit de calculer :

la charge W que peut supporter le contact.

la force F ou le couple de frottement.

le débit Q du fluide dans le mécanisme.

la puissance P dissipée dans le contact.

I.6 .c. Le frottement

Les frottements ont un effet dominant sur la performance du moteur. Un faible

niveau de frottement permet d'une part des puissances nominales élevées, grâce à

l'augmentation du couple effectif, d'autre part la vitesse maximale à laquelle peut tourner

le moteur d'une manière économique est souvent limitée par une augmentation de la

consommation du carburant causée par une augmentation du frottement. Donc un faible

niveau de frottement donne la possibilité de tourner à haute vitesse et avec une grande

puissance développée.

I.7 La lubrification hydrodynamique

La lubrification est un élément essentiel des sciences technologiques et des

applications mécaniques. Elle joue un rôle important partout où des surfaces sont en

mouvement relatif les unes par rapport aux autres. Tous les systèmes mécaniques comportent,

plus ou moins, des éléments lubrifiés. On peut dire, sans exagération, que bien peu de sujets

ont une incidence aussi importante sur les travaux des ingénieurs… ceci implique des

recherches plus poussées dans le domaine de la lubrification elle-même, une formation plus

répandue et plus approfondie en matière de lubrification… et une prise de conscience plus


18

générale du potentiel important que présente ce problème, dans tous les domaines de

l'industrie [6].

Le principal objectif de la lubrification hydrodynamique est de réduire au maximum le

frottement et l’usure du mécanisme, il s’agit donc de minimiser les résistances passives et les

frottements parasites qui se manifestent dans les organes de liaison, de façon à limiter les

pertes d’énergie et les élévations de températures. A ce rôle essentiel, s’ajoute celui de

l’évacuation de la chaleur produite dans le contact en limitant l’action des différents

mécanismes d’usure décrits précédemment. Pour atteindre ces objectifs, on sépare les surfaces

en mouvement relatif par un lubrifiant. Ce dernier peut être liquide, solide, pâteux ou gazeux.

Les caractéristiques de ce film lubrifiant (température, pression, épaisseur) sont dépendantes

des conditions de fonctionnement telles que la charge appliquée, la vitesse de rotation et la

température d’alimentation du fluide. En particulier, la viscosité du lubrifiant est dépendante

de la température et il conviendra donc de tenir compte des effets thermiques locaux

(dissipation visqueuse et transfert thermique).

Les équations de base de la lubrification hydrodynamique des paliers ont été établies

pour les systèmes de paliers par Osborn Reynolds en 1886 et constituent la base de la

lubrification hydrodynamique.

Les études sur la lubrification hydrodynamique du piston de moteur à combustion

interne, dont la majorité a trait à la lubrification des segments [6], débutent avec l'analyse de

la lubrification de la jupe, par des procédés expérimentale de pistons dans des cylindres

transparents permet de visualiser le comportement du piston sous effet du lubrifiant. Il est

montré, à l'aide de traces laissées par le film d'huile, l'existence de la force d'impact. Il est

montré que l'injection de lubrifiant sous pressions vers la jupe réduit substantiellement le bruit

émis par le moteur diesel. Il est connu que la jupe a une double fonction : guidage du piston

dans le cylindre et supporter l'impact de la force de poussée dynamique latérale (de l'anglais '

thrust side') due au mouvement secondaire. Il est montré que le film d'huile amortie le

claquement du piston donc réduit le bruit moteur. En plus le film d'huile assure une fonction

de protection des surfaces de contact contre le grippage. Ainsi il est montré que le mouvement

du piston et le clappement qui en résulte sont donc liés directement à la lubrification de la

jupe.

Chapitre II Formulations de base

19

Chapitre II

Formulation de base

II.1 Introduction

Le mouvement du piston est décrit par un mouvement oscillatoire axial, un ou mouvement

primaire et un mouvement latéral ou un mouvement secondaire. Le mouvement secondaire,

de faible amplitude ne dépassant pas le jeu radial piston- cylindre, a une grande influence sur

la performance du piston. . Le mouvement secondaire se compose d’un mouvement de

rotation (ou de basculement) du piston autour de son axe et d’un mouvement de translation,

perpendiculaire à l’axe du cylindre

En effet ce mouvement est la source de bruit audible (clappement du piston) qui provoque une

augmentation de frottement, une production de cavitation par érosion dans le film lubrifiant et

un grippage possible des parois du piston et du cylindre. Dans le but de réduire la portée des

phénomènes suscités, la dynamique du piston a fait l’objet d’intenses investigations.

C’est au début des années 40 que furent connus les premiers travaux sur la dynamique du

piston. Les modèles d’analyse sont des modèles simplifiés. L’effet de l’hydrodynamique entre

le piston et le cylindre ne fut pas pris en considération.

Les travaux sur des modèles qui prennent en considération l’effet de la lubrification sur le

mouvement dynamique ont eu lieu début des années 80. Knoll et Peeken [5] développent un

modèle hydrodynamique basé sur les forces de portance du film lubrifiant mais sans prendre

en considération la dynamique du piston. Li et al [7] développent une analyse dynamique qui

prend en considération les forces hydrodynamiques développées dans le film lubrifiant et

déterminent la trajectoire entière du piston sous l’influence des paramètres de design tel le

désaxage et la position de l’axe du piston. Cette analyse constitue la base de référence dont

s’inspire la majorité des auteurs pour le développement de modèles de lubrification

hydrodynamique de la jupe de piston [8, 9].

Cet article présente une analyse du comportement dynamique du piston. L’analyse incorpore

un modèle de lubrification hydrodynamique de la jupe du piston en vue de prédire le

mouvement secondaire. Une application est faite sur le moteur ‘Deutz’ V8 de type F8L413.

II.2 Equations dynamiques couplées

Soit à considérer le mouvement du mécanisme bielle manivelle piston montré dans la figure

(II.1)


20

Fig. II.1: Géométrie du système piston

Les excentricités he et be du haut et du bas de la jupe, respectivement, sont définies par

rapport à l’axe du cylindre comme le montre la figure ci-dessus. Les excentricités positives

sont dirigées vers le côté de poussée minimale, les excentricités négatives sont dirigées vers le

côté de poussée maximale .L’axe donnant la course du piston, orienté positivement vers le

bas, a son origine confondue avec le Point Mort Haut du piston. La position du piston, la


21

vitesse de glissement (ou vitesse axiale) et l’accélération le long du cylindre, sont fonction de

l’angle du vilebrequin . L’axe y est introduit pour le calcul hydrodynamique du piston. Il

représente la coordonnée axiale du film lubrifiant. Puisque le film lubrifiant suit à chaque

instant le piston, l’axe y est fixé avec le piston et se déplace en même temps que le piston.

Dans un plan normal à l’axe du piston , contenant les côtés de poussée maximale et minimale,

existe un déséquilibre (contre balancement) des forces et des moments agissant sur le piston.

Comme résultat, le piston exécute de petites oscillations latérales dans le confinement du jeu

piston cylindre. Ces oscillations, dont l’intensité est égale ou inférieure au jeu radial piston-

cylindre, sont représentées par les excentricités )t(eh et )t(eb . La rotation du piston autour

de son axe, est définie par l’angle de basculement . Les angles 1 et 2 sont les angles

fluides de pression de la jupe lorsque le piston bascule du côté de la poussée maximale et du

côté de la poussée minimale respectivement. Dans notre étude les angles 1 et 2 sont égaux

et ont pour valeur empirique 15° [10, 11].

Soit à isoler le corps de piston comme le montre schématiquement la fig. II .2 et à

représenter les différentes forces qui le maintiennent en équilibre avec son entourage à chaque

instant de son mouvement.

Fig. II.2: Forces et moments agissant sur le piston


22

Les forces et moments agissant sur le piston sont :

-Fg Force due à la combustion des gaz

- F̂ Force de connexion agissant constamment le long de la bielle

-F, M Force et moment résultant de la pression hydrodynamique développée dans le

film d’huile

- ICF , MIC Forces et moments résultant de l’inertie du piston lors de son mouvement

secondaire

-FIP Force résultant de l’inertie de l’axe du piston lors de son mouvement

secondaire. Il est supposé que l’axe du piston ne tourne pas, par conséquent son inertie de

rotation n’est pas considérée( )0MIP .

- ICF , IPF Forces dues à l’inertie du piston et de son axe respectivement lors du

mouvement axial du piston.

L’équilibre des forces et des moments calculées par rapport à l’axe du piston dans le

repère (x, y) se mouvant avec le piston requiert que :

0cosFFFFF ICIPgy

(II.1)

0sinFFFFF ICIPx

(II.2)

0CFCFM)ba(FMM pggICICICaxe (II.3)

L’élimination de F

des équations (II.1) et (II.2) donne l’équation des forces

SICIP FFFF (II.4)

Où SF est la force latérale de paroi, définie comme suit :

𝐹𝑠 = (𝐹𝑔 + 𝐹𝑖𝑝 + 𝐹𝑖𝑐) tan (II.5)

De manière similaire ,on obtient l’équation des moments


23

SICIC MM)ba(FM (II.6)

où SM est le moment de basculement du piston selon l’angle est défini par

gICpgS CFCFM (II.7)

SF et SM dépendent de l’accélération axiale, la pression des gaz de combustion et de l’angle

.

Pour un moteur tournant à vitesse de rotation stationnaire du vilebrequin, les forces

d’inertie sont ;

aaxeIP .mF (II.8)

apistIC .mF (II.9)

où l’accélération axiale est donnée par[14]

2/122

22

2/322

22

a)B(

sinrBw)coswr(

)B(

)cosBwr(cosrw

(II.10)

dans laquelle

sinrCB p (II.11)

l’angle de connexion de la bielle est donné par :

2/122 )B(

Barctg

(II.12)

Sachant que la force des gaz de combustion est connue ( APF gg , A aire du fond du piston

gP pression des gaz) SF et SM peuvent être aisément déterminées à partir des équations (II.7)

à (II.5).

Les forces et moments d'inertie transversaux dépendent de l’accélération du mouvement

secondaire du piston. Ils sont donnés par:

hbhaxeIP ee

L

ae.mF (II.13)


24

hbhpistIC ee

L

be.mF (II.14)

L

ee.IM

bhpistIC

(II.15)

Finalement, une substitution des équations ci-dessus dans les équations (II.4) et (II.6) donne

les équations de mouvement

S

S

b

h

pistpist

pistpist

axepistaxepist

MM

FF

e

e

L

b)ba(m

L

I

L

b1)ba(m

L

IL

am

L

bm

L

a1m

L

b1m

(II.16)

Les équations (II.16) constituent les équations de base du mouvement dynamique

secondaire du piston. Ces équations sont couplées simultanément avec l’effet

hydrodynamique décrit par les charges de portance F et M du film fluide.

II.3 Analyse hydrodynamique

La lubrification des parois du système piston cylindre peut être décrite comme un

ensemble de surfaces lubrifiées. Les charges hydrodynamiques équilibrons les charges

dynamiques latérales résultent de l’intégration du champ de pression né dans les zones actives

du film d’huile.

Dans notre cas les forces et moments F et M, sont dues à la pression hydrodynamique

développée dans le film d’huile dans les portions de surfaces limitées par les arcs 1 , 1 et

2 , 22 (fig. II.1). La pression hydrodynamique est régie par l’équation de Reynolds, qui

s’écrit avec les hypothèse d’un film mince incompressible et d’un écoulement laminaire :

cosL

ycos

y

f

L

cosU

y

ph

y

ph

hbh

hb33

(II.17)

h , p , U , h , b , h et b représentent les variables adimensionnelles définies dans la

nomenclature. La condition de pression dans les zones inactives (pas de pression dans ces

zones) est donnée par :


25

0,yp * 2*

1 (zone inactive) (II.18)

p

1 2

p=0-

-

Fig. II.3 : Condition de pression dans la zone inactive

Aux points 0 et , la pression est maximale et s’exprime par un gradient de pression

nul

0pp

0

(II.19)

La condition de symétrie de pression dans le film est donnée par

),y(p),y(p (II.20)

La pression est nulle sur le haut et le bas de la jupe

0),L(p),0(p , (II.21)

Puisque he et be sont très petits devant L, l'épaisseur dimensionnée du film d'huile est

approchée par [14]:

),y(fcos)y(e)y(eL

ycos)t(ech hbh (II.22)


26

II.4 La cavitation

La cavitation est la formation de cavités et de bulles de vapeur au sein d'un milieu

liquide initialement homogène à cause des forces hydrodynamiques, phénomène qui est

engendré par le comportement dynamique du fluide. Elle prend des formes très différentes

selon la configuration de l'écoulement, la forme et le mouvement des parois et les propriétés

physiques du fluide.

Fig. II.4: La zone de cavitation dans un film d’huile

II.5 Modèles de cavitation

L'étude et la modélisation des phénomènes de cavitation a fait l'objet de nombreux

travaux. Nous allons tenter de rappeler ici les grandes étapes qui ont permis de progresser dans

la compréhension de ce phénomène. Ces modèles peuvent se diviser en deux catégories selon

qu'ils assurent ou non la conservation du débit massique dans les zones inactives et au passage

des frontières de rupture et de reformation du film.

II.5.1Modèle de SOMMERFELD

Les conditions de Sommerfeld (1904) sont les plus simples qui soient puisqu'elles

conservent intégralement la solution de l'équation de Reynolds (Fig. II.5) sans tenir compte

de la cavitation. Les pressions négatives, du même ordre de grandeur que les pressions

positives, peuvent être considérées comme une impossibilité physique. Ces conditions ne sont

réalistes que pour des paliers fortement pressurisés et/ou très faiblement chargés.


27

−𝜋 +𝜋

Fig. II.5 : Modèle de Sommerfeld

II.5.2 Modèle de GUMBEL

Les conditions de Gumbel (1914), appelées aussi conditions de demi-Sommer,

considèrent qu'il y a rupture du film dès que la pression au sein du fluide devient négative

(Fig. II.6). Dans le cas d'un palier non pressurisé cela revient à ne considérer comme active

que la partie convergente du palier. Ces conditions ne respectent évidemment p continuité

du débit. De mise en œuvre facile, puisque conservant à l'équation de Reynolds son

caractère linéaire, elles ont été et sont encore très largement utilisées dans

l’algorithmes de résolution.

−𝜋 +𝜋

Fig. II.6 : Modèle de Gumbel

II.5 3 Modèle de REYNOLDS (SWIFT-STIEBER)


28

Bien quelles aient été établies par SWIFT (1931) puis par STIEBER (1933) qui

arrivèrent à des résultats identiques de façon indépendante, ces conditions sont plus

connues se nom de conditions aux limites de Reynolds .Elles consistent à appliquer

dp/d∆𝑛 =0 on sur la frontière de rupture et P = Pc sur Ω − Ω + Et 0 où n est la direction

normale aux frontières et Pc la pression de cavitation. Notons que ces conditions traduisent

la conservation des débits à travers la frontière de rupture.

- +

Fig. II.7 : Modèle de Reynolds

II.6 Equation de Reynolds

La lubrification des parois du système piston cylindre peut être décrite comme un

ensemble de surfaces lubrifiées. Les charges hydrodynamiques supportant les charges

dynamiques latérales résultent de l’intégration du champ de pression né dans les zones actives

du film d’huile. La pression hydrodynamique est régie par l’équation de Reynolds.

Issue des équations de Navier-Stockes pour les écoulements dans les films minces,

l’équation de Reynolds s’écrit [12] :

𝜕

𝜕𝑥 𝑕3 𝑥 ,𝑦 ,𝑡

ɳ

𝜕𝑝 𝑥 ,𝑦

𝜕𝑥 +

𝜕

𝜕𝑦 𝑕3 𝑥 ,𝑦 ,𝑡

ɳ

𝜕𝑝 𝑥 ,𝑦

𝜕𝑦 = 6𝑈

𝜕𝑕 𝑥 ,𝑦 ,𝑡

𝜕𝑦 + 12

𝜕𝑕 𝑥 ,𝑦 ,𝑡

𝜕𝑡 (II. 23)

La géométrie cylindrique du piston fait qu’il est plus intéressant d’utiliser une forme polaire

plutôt qu’une cordonnée curviligne :

pRx

(II. 24)


29

L’utilisation des valeurs adimensionnelles de la pression de l’épaisseur du film d’huile

et pour les cordonnées spatiales, se fait en introduisant une forme paramétrée au sens

de Sommerfeld définie comme[14] :

c

e

R

yy

c

hh

Rwr

cpp

Pp

,,,...6

2

(II. 25)

Il est aisé de montrer que l’utilisation des variables adimensionnelles permet d’aboutir à une

forme beaucoup plus compacte pour l’équation de Reynolds :

t

D

y

DUF

t

h

y

hU

D

µ

h

RF

y

D

µ

h

yF 212

6

1

6

3

2

3

(II. 26)

Conditions aux limites

Les conditions aux limites utilisées pour la résolution de l’équation de Reynolds sont

basées sur la séparation des zones actives et inactives. C’est dans la zone active que

la pression monte et que l’équilibre avec la charge appliquée se réalise. La zone inactive

est caractérisée par une pression nulle. En conséquence, les conditions aux limites sur la

valeur de la pression sont [13] :

• p<=0 dans la zone inactive,

• p>0 dans la zone active,

p

1 2

p=0-

-

Fig. II.3 : Condition de pression dans la zone inactive


30

0*, yp 21 * (Zone inactive) (II.27)

La condition de Reynolds sur la dérivée de la pression à la frontière de rupture du film

complet s’énonce comme suit :

00

pp (II.28 )

La condition de symétrie de pression dans le film est donnée par :

),(),( ypyp (II.29)

La pression est nulle sur le haut et le bas de la jupe :

0),(),0( Lpp (II.28)

Puisque he et be sont très petits devant L, l’épaisseur dimensionnée du film d’huile est

approchée:

),(cos)()(cos)(),( yfyeyeL

ytecyh hbh (II.29)

Où c est le jeu radial entre le piston et le cylindre, ),( yf est le profil de la surface de la jupe

du piston. Ce profil est mesuré à partir de la surface d’un cylindre de base de rayon R

représentant le piston. Le profil de la jupe ),( yf est construit dans le but d’obtenir une

lubrification performante de la jupe durant le mouvement alternatif du piston. Ce profil tient

sous forme adimensionnelle l’équation de la surface (II.24) s’écrit :

𝑕 = 1 + 𝜀𝑕 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜃 +𝑦

𝐿 𝜀𝑏 𝑡 − 𝜀𝑕 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑓 (𝑦 ,𝜃) (II.30)

II.7 Equation du film lubrifiant

Le film d’huile séparant les surfaces du piston et du cylindre est montré sur la figure II.1. Les

excentricités du haut et du bas de la jupe étant différentes à chaque instant, nous permet

d’obtenir un mésalignement du piston dans le cylindre. L’équation du film lubrifiant donnant

l’épaisseur du film est obtenue dans le repère cylindrique (r, 𝜃 , y), r étant compris entre le

rayon du piston R et le rayon du cylindre.


31

Fig. II.9: Géométrie du film lubrifiant

II.8 Equation du film selon la direction circonférentielle

Considérons la section droite du haut de la jupe (fig.II.10). Pour une configuration donnée,

définie par une excentricité eh dans cette section, correspond un film dont l’épaisseur h varie

d’un point circonférentiel à un autre. Ce point peut être repéré par la coordonnée angulaire

𝜃.En ce point l'épaisseur est donnée par

'MOMO)(h cc (II.31)

Fig. II.10: Géométrie du film dans la section du haut de la jupe


32

Le premier terme du second membre est donné par

cRMOc (II.32)

Où c est le jeu radial

Appliquons la règle des sinus dans le triangle 'MOO pc , et on détermine le second terme du

second membre

sin

R

sin

e

sin

'MO hc (II.33)

Les différents angles apparaissant dans cette expression, peuvent être facilement déterminés

La propriété des angles alterne externe donne

Soit

(II.34)

d’où sinsin

L’équation (II.33) donne

sinR

esin h

Soit

sin

R

earcsin h

L’équation (II.34) s’écrit

sin

R

earcsin h

D’où :


33

sin

R

earcsinsin

sin

R'MO h

c

En développant le sinus ,on obtient

cosesin

R

e1R'MO h

2h

c

Soit

coseR'MO hc

D’où

coseRcR)(h h

cosec)(h h

Sachant que

ceh

On obtient alors l’épaisseur du film dans la section transversale

cos1c)(h h (II.35)

Ou sous forme adimensionnelle

cos1)(h h (II.36)

Chapitre. III Méthode de résolution

34

Chapitre III

Méthode de résolution

III.1 Introduction

Dans ce chapitre, on va déterminer les charges de pression hydrodynamique crées aux

différentes nœuds de la paroi.

Le problème hydrodynamique du piston est régi parles équations non linaires suivant :

t

D

y

DUF

t

h

y

hU

D

µ

h

RF

y

D

µ

h

yF 212

6

1

6

3

2

3

tan.)(.)1()1(....

fsbaphap FFFeL

am

L

bme

L

am

L

bm

(III.1)

fsbp

php

pMMMe

L

I

L

bbame

L

bbam

L

I

....

.)(.)1)((

La résolution de ce système permet de déterminer trois variables, la pression p et les

deux excentricitéshe et

be nécessaires pour déterminer l’épaisseur h.

III.2 Méthode de résolution

On obtient un système de trois équations non linéaires à des inconnues qui sont :

he : Excentricités du haut du piston

be : Excentricités du bas du piston

p : La pression représente par pij

Où : (III) est respectivement l’équation de Reynolds et les équations dynamiques du

mouvement secondaire du piston en excentricités he et be .


35

Fig. III.1: Géométrie du système piston

III.3 Transformation du repère cylindrique(r, , z) en repère cartésien (x ,y)

Fig. III.2.a: Géométrie du film lubrifiant


36

Fig. III.2.b: Maillage 2D du Film lubrifiant développé

La méthode de résolution du système (III.1) est donne par la méthode de Newton-

Raphson à l’itération k.

he )1( k

he )(k

be

be

1p = 1p -

k

k

J

R

(III.2)

nmp nmp


37

R est le résidu du système (III.1)

* + {

} (III.3)

, - est la matrice

Jacobéenne

(III.4)

III.4 Calcul des résidus

L’équation de Reynolds s’écrit comme :

jit

D

y

DUF

t

h

y

hU

Dh

RF

y

Dh

yF ,

3

2

3

)2)(1(26

1

6

(III.5)

Si : 0F

III.4 .1 Le résidu de l’équation de Reynolds

1E

Équation de Reynolds du film lubrifiant mince se trouvant entre le piston et le cylindre.

,....),( ,,,1 jijiji phEE

jip , Pression du film d’huile

jih , Epaisseur du film d’huile

Le résidu jiE , s’écrit :

bh

bh

bhKI

e

E

e

E

P

E

e

E

e

E

p

E

e

E

e

E

p

E

J

333

222

111


38

Discrétisation jiE , projection de

jiE , sur le maillage de différence finie

Fig.III.3 : Discrétisation de jiE , sur le maillage de différence finie

)(2

1,1,yo

y

pp

y

p jhjh

(III.6)

)(2

2

2

1,,1,

2

2

yoy

ppp

y

p jhjhjh

(III.7)

)(2

,1,1

o

ppp jhjh

(III.8)

)(2

2

2

,1,,1

2

2

o

pppp jhjhjh

(III.9)

)(2

1,1,yo

y

hh

y

h jhjh

(III.10)

Avec :

ehbh yfyeyeL

ytech ),(cos)()(cos)(

t

h

y

hU

phphh

Ry

ph

y

p

y

hhE ji

2

66

31

66

32

232

22

232

,


39

Où :

),( yf : est le profile de la jupe

fCe .

t

tthth

y

hhU

phhhhhR

phhhhhR

py

h

phhhhhy

phhhhhy

E

jhjhjijh

jhjhjhjhjhjh

jhjhjhjhjhjh

jhjh

jhjhjhjhjhjh

jhjhjhjhjhjh

)()(2

2

)2

1

2

1

3

2(

)(4

1

)2

1

2

1

3

2(

)(4

1

))(

1

)(

1(

3

1

)2

1

2

1

3

2(

)(4

1

)2

1

2

1

3

2(

)(4

1

,,1,1,

,1,1

2

,,1

2

,

3

,22

,1,1

2

,,1

2

,

3

,22

,22

3

,

1,1,

2

,1,

2

,

3

,2

1,1,

2

,1,

2

,

3

,21

(III.11)

III.4.2 Résidu de l’équation de dynamique en be

mjni

jjji

ji

mjni

sjijiji

bbb

ap

hhhap

tagm

R

n

L

y

pph

h

UR

Fm

R

n

Lpcp

t

ttettete

L

am

L

bm

t

ttettete

L

am

L

bmE

)2

)22

(2(

2cos)(

)(2)2()(

)(2)2()()1()1(

11,

,

2

,,,

2

22

(III.12)

III.4.3 Résidu de l’équation de dynamique en he


40

)2

)cos)(22

(2(

2cos))((

)(2)2()()(

)(2)2()()1)((

11,

,

2

,,,

2

23

mjni

p

jjji

ji

mjni

sjijiji

bbbp

p

hhhp

p

m

R

n

LCR

y

pph

h

UR

Mm

R

n

Lyapcp

t

ttettete

L

bbam

L

I

t

ttettete

L

bbam

L

IE

(III.13)

III.5. Calcul du Jacobéen

Le Jacobéen est donnée par :

(III.14)

Avec : kl

nn

n

p

p

p

p

p

p

p

:

:

:

:

:

1

13

12

11

D’où :zouyselonml

selonnk

,1

,1

)2)(2dim(

.................

................

...............

...............

...............

333

12

3

11

3

222

12

2

11

2

1211

121212

12

12

11

12

111111

12

11

11

11

nmnm

e

E

e

E

p

E

p

E

p

E

e

E

e

E

p

E

p

E

p

E

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p

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E

e

E

p

E

p

E

p

E

J

bhnm

bhnm

b

nm

h

nm

nm

nmnnnn

bhnm

bhnm


41

nn

TPPPpp .............1211

(III.15)

III.5.1 Calcul les termes du Jacobéen

On va calculer les termes de Jacobéen comme suite :

Le terme 11J :

kl

jikl

ji

kl

ji

jijijijiji

ji

kl

ji

jiji

kl

ji

ji

kl

ji

jiji

kl

ji

ji

kl

ji

ji

jijijijiji

ji

kl

ji

jiji

kl

ji

ji

kl

ji

jiji

kl

ji

ji

kl

ji

ji

jiji

kl

ji

ji

jijijijiji

ji

kl

ji

jiji

kl

ji

ji

kl

ji

jiji

kl

ji

ji

kl

ji

ji

jijhjijiji

ji

kl

ji

jiji

kl

ji

ji

kl

ji

jhji

kl

ji

ji

kl

ji

ji

kl

p

h

y

p

h

p

h

U

Coefhhhhh

pp

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p

hh

p

hhh

p

hh

p

hh

R

Coefhhhhh

pp

hhh

p

hh

p

hhh

p

hh

p

hh

R

Coefhpp

hh

y

Coefhhhhh

pp

hhh

p

hh

p

hhh

p

hh

p

hh

y

Coefhhhhh

pp

hhh

p

hh

p

hhh

p

hh

p

hh

yP

E

,

1,1,

,1

2

,,1

2

,

3

,

,1

,12

,,1

,

,

,12

,,1

,

,

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2

,,1

2

,

3

,

,1

,12

,,1

,

,

,12

,,1

,

,

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,22

3

,,

,2

,22

1,

2

,1,

2

,

3

,

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1,2

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,

,

1,2

,1,

,

,

,2

,2

1,

2

,1,

2

,

3

,

1,

1,2

,1,

,

,

1,2

,1,

,

,

,2

,2

1

22

5)2

1

2

1

3

2(

)2

1

2

12(

1

)(4

1

4)2

1

2

1

3

2(

)2

1

2

12(

1

)(4

1

)33)()(

1

)(

1(

3

1

2)2

1

2

1

3

2(

)2

1

2

12(

1

)(4

1

1)2

1

2

1

3

2(

)2

1

2

12(

1

)(4

1

Le terme 12J :

ll

kl

yRP

E

cos22


42

Le terme 13J :

llk

kl

yyaRP

E

cos)(23

Le terme 21J :

tL

y

yL

yyU

phhhhhhhL

y

R

phhhhhhhL

y

R

pyL

yh

pL

yh

hL

yh

L

yhh

L

yh

L

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hL

yh

L

yhh

L

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L

yh

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E

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jhijhjhijhijhjhijhijh

j


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j

jh

jh

j

jh

j

jhjh

j

jh

j

jhi

h

cos)1(2

2cos

)cos2

1coscos

2

1coscos2()1(

1

)(4

1

)cos2

1coscos

2

1coscos2()1(

1

)(4

1

cos))(

1

)(

1)(1(

1

)1(2

1

)1()1(2

1)1()1(2(cos

1

)(4

1

)1(2

1

)1()1(2

1)1()1(2(cos

1

)(4

1

11

,11

2

,,1,1

2

,,1,

2

,22

,11

2

,,1,1

2

,,1,

2

,22

,22

2

,

1,

12

,

1,,

12

,1,,

2

,2

1,

12

,

1,,

12

,1,,

2

,2

1

Le terme 22J :

2

2

)(

)1()1(

t

L

am

L

bm

e

Eap

h

Le terme 23J :

2

3

)(

)1)((

t

L

bbam

L

I

e

Ep

p

h


43

Le 31J terme :

tL

y

yL

yyU

phhhhhhhL

y

R

phhhhhhhL

y

R

pyL

yh

pL

yhh

L

yh

L

yhh

L

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L

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L

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L

yhh

L

yh

L

yh

ye

E

ijjj

i


j


j

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jh

j

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j

jh

j

jhjh

j

jh

j

jhi

jh

j

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jh

j

jhjh

j

jh

j

jhi

b

cos2

2cos

)cos2

1coscos

2

1coscos2(

1

)(4

1

)cos2

1coscos

2

1coscos2(

1

)(4

1

cos))(

1

)(

1(

1

2

1

2

12(cos

1

)(4

1

2

1

2

12(cos

1

)(4

1

11

,11

2

,,1,1

2

,,1,

2

,22

,11

2

,,1,1

2

,,1,

2

,22

,22

2

,

1,

12

,1,,

12

,1,,

2

,2

1,

12

,1,,

12

,1,,

2

,2

1

Le terme 32J :

2

2

)( t

L

am

L

bm

e

Eap

b

Le terme 33J :

2

3

)(

)(

t

L

bbam

L

I

e

Ep

p

b

III.6 La méthode de Newton – Raphson

La méthode de résolution de système discret non linéaire (III.1) est donnée par la

méthode de Newton-Raphson qui consiste à trouver la solution après convergence de telle

sorte que la valeur du pas encours soit égale à la valeur du pas précédent avec une certaine

précision.


44

La méthode de Newton-Raphson est une méthode de point fixe. Le schéma numérique

de la méthode de Newton est :

( )

( )

Où : n est nombre total d’itération

Une fois les systèmes d’équations régissent notre problème résolu, on présente les étapes

de calcul suivies qu’on résume comme suite :

En partant de t=0 à t=T avec un pas de temps ou encore de à

(cycle moteur) avec

En introduit les données :

- Pression des gaz à l'instant t

- Le résultat du pas précédent de ),( jip de h

e et de b

e

On calcule les résidus 1E , 2E et 3E

On calcule du Jacobien J

On résout le système ),( jip ,h

e et b

e pour l'itération en cours en utilisant la méthode

numérique de résolution des systèmes linéaires à plusieurs inconnus (Choleski, Gausse,

SOR,…).

On vérifie le critère de convergence

3

1

2

1

1

1

b

k

b

k

b

h

k

h

k

h

kk

eee

eee

ppp

Où : est la tolérance

Si ce critère est vérifié alors la solution est trouvée.

Pour ce même pas de temps le calcul est refait jusqu'à la convergence. Le résultat est

ensuite stocké dans un fichier de résultat.


45

On passe ensuite au pas suivant avec une incrémentation de 5° et les mêmes étapes sont

réalisées pour ce nouveau pas.

Une fois le cycle thermodynamique est fini 12 tours de vilebrequin équivaut 720° (ou

encore 144 pas de 5°), tout ces calculs seront refaits pour un certain nombre de cycles

moteur en initialisant, au départ le champ de pression ),( jip , les excentricités h

e et b

e à zéro.

Chapitre. IV Algorithme de résolution

46

Chapitre IV

Algorithme de résolution

IV.1 Introduction

On donne dans ce chapitre la méthode de calcul représentée par la structure du code de

calcul écrit en Fortran utilisé pour résoudre le problème hydrodynamique de la lubrification

du piston de moteur à combustion interne. Le code de calcul se compose d’un programme

principal et des sous programmes.

IV.2 Programme principal « Piston »

Fig. IV.1 : Organigramme principal de résolution

IV.2.1 Sous-programme « Défaut données»

Dans ce sous programme, on va donner les valeurs des variables suivants par défaut :

Debut

diametre_piston = 0.11989 m

rayon_vilebrequin = 0.06200

longueur_bielle = 0.23800

Début

Défaut-données

Lire-Données

Calcul

Fin


47

masse_piston = 1.90000

masse_axe = 0.90000

moment d’inertie piston =0 .00060

jeu_radial_haut jupe = 0.000035

jeu_radial_bas jupe = 0.000030

jeu_radial_central = 0.000025

position_du point centrale = 0.035000

longueur jupe =0.09000

longueur chemise = 0.22000

desaxage piston-axe 0.00150

desaxage piston-graruité 0.00000

distance haut jupe-axe 0.03700

distance haut jupe-Graruité 0.02000

vitesse de rotation2000.00

viscosité dynamique 0.00690

nombre interv circonf 5

nombre de cycles 3

angle 1 fluide 50.00203

angle 2 fluide 50.00203

module young jupe 200.00

module young chemise 200.00

longueur_onde ondul = 0.000250

amplitude ondulations = 0.0000035


48

fin

IV.2.2 Le sous programme «LIRE_DONNEES»

Début

Module MDONNEES

Ovrire (1,FILE='res\donnees.dat')

lire (DIAMETRE_PISTON)

lire(RAYON_IVLEBREQUIN)

lire (LONGUEUR_BIELLE)

lire (MASSE_PISTON)

lire (MASSE_AXE)

lire(DESAXCP)

lire (DESAXCG)

lire (JEU_RADIAL_HAUT)

lire (JEU_RADIAL_BAS)

lire (JEU_RADIAL_CENTRAL)

lire (POSITION_CENTRALE)

lire (MINERTIE_PISTON)

lire (A)

lire (B)

lire ( IVSCOSITE)

lire (IVTESSE_ROTATION)


49

lire ( L_JUPE)

lire (L_CHEMISE)

lire ( n_circ)

lire ( n_axi)

lire ( n_cycle)

lire (tet1a)

lire (tet2a)

lire ( ICHEC_ELAS_JUPE)

lire( ICHEC_ELAS_CHEMISE)

lire ( ICHEC_CAIVTATION)

lire ( YOUNG_JUPE)

lire (YOUNG_CHEMISE)

lire (LONGUEUR_ONDE)

lire ( AMPLITUDE)

ouvrir (1,FILE='res\pression1.dat')

Faire pour I = 1, 144

lire (Pas, ALPHA(Pas), P_GAZ(Pas))

ALPHA(pas) = ALPHA(pas)*PI/180.0

Fin pour

Fin

Fig IV.2 : Algorithme du sous programme LIRE_DONNEES.


50

IV.2.3 Structures sous-programme « calcul »

Ce sous-programme est le plus important car il permet de faire la principale étape de

l’hydrodynamique du piston

Début

Lecture des données : géométrie, maillage, vitesse,…

Initialisation du problème : calcule de ℎ (𝑦,𝜃) et du premier champ de pression

Pour chaque cycle

Pour chaque pas de temps

Tant que partition (Ω), épaisseur h, pression p non stables

Tant que partition (Ω) est non stable

Problème de type 1 :

Calcul de D (équation de Reynolds modifiée)

Mise à jour de la partition

Si D<0 le nœud est éventuellement passé à l’état inactif

Si D≥0 le nœud est éventuellement passé à l’état actif

Fin

Tant que les résidus (p,eh,eb)>(𝜀1,𝜀2, 𝜀3) (méthode de Newton-Raphson)

Calcul des forces et des moments hydrodynamiques

Calcul des résidus des équations (Reynolds et d’équilibre)

Calcul des éléments du Jacobien

Résolution du système 𝑅 + [𝐽].∆= 0 (Méthode numérique de Choleski)

Correction de la pression Ph et des excentricités eh, eb

5 4 3 2 1 Calcul du champ d’épaisseur


51

5 4 3 2 1

Fin

Fin

Fin

Ecriture des résultats : pression, épaisseur du film, excentricités, remplissage,…

Fin

Fin de l’algorithme

Chapitre V Résultats et interprétation

52

Chapitre V

Résultats et interprétations

V.1Introduction

Dans le chapitre III, on a fait un calcul hydrodynamique où on a cherché une solution du

système d’équation constitué de l’équation de Reynolds et des deux équations de la

dynamique du piston pour déterminer les deux degrés de libertés h

e et

be , la pression

hydrodynamique et l’épaisseur du film lubrifie.

On applique le programme du chapitre précédent sur le modèle du piston de moteur à

combustion interne. Les résultats sont obtenus sur un cycle moteur soit une rotation de 720°

du vilebrequin.

Dans ce chapitre on va expliciter les calculs par les résultats obtenus après l’exécution du

code de calcul du programme hydrodynamique.

V.2 Vitesse axiale du piston

Fig. V.1: Vitesse axiale du piston en fonction de la rotation du vilebrequin au cours d’un

cycle moteur


53

La vitesse du piston est sinusoïdale et atteint sa valeur maximale de 14 m/s au milieu du

parcours.

V.3 Evolution des excentricité eh et eb

Fig. V. 2: Excentricités du piston en fonction de la rotation du vilebrequin au cours d’un

cycle moteur

L’excentricité 𝑒𝑏 atteint sa valeur maximale au cours de l’explosion des gaz durant la détente

Tandis que 𝑒ℎ est constante


54

Fig. V. 3: Angle de rotation ou basculement sur un cycle moteur

Le piston subit un basculement (rotation) maximal au cours de la détente.

V.4 Variation de la pression maximale au cours d’un cycle moteur

Fig. V.4 : Pression maximale de l’huile lubrifiante


55

La pression est maximale en fin de compression et début élevé.

Fig. V.5 : Epaisseur minimale du film

Fig. V.6:Frottement hydrodynamique du piston


56

Les frottements piston huile sont sinusoïdaux et égaux (piston-cylindre).

V.5 Comparaison pour les angles fluide 𝜽 = 𝟑𝟎° et 𝜽 = 𝟓𝟎°

Fig. V.7: Vitesse axiale du piston en fonction de la rotation du vilebrequin au cours

d’un cycle moteur

Les vitesses sont identique pour l’angle fluide 30° et 50


57

Fig. V.8:excentricité 𝑒ℎ et 𝑒𝑏

Les excentricités ont même tendance mais sont différentes pour les angles fluides 30° et 50°

On remarque que les excentricités sont cependant plus grands pour l’angle fluide 30°.

Fig. V.9:Angle de basculement sur un cycle moteur


58

L’angle est plus grand dans le cas de l’angle fluide 30°que pour l’angle fluide 50°

Fig. V.10:Epaisseur minimale de film lubrifiant Fig. V.11:La variation de la pression

La pression et l’épaisseur est nettement plus grand dans le cas de l’angle fluide 30° que pour

l’angle fluide 50°.


59

Fig. V.12: Frottement hydrodynamique du piston

Cependant les frottements sont plus faibles pour l’angle fluide 30° que pour l’angle fluide 50°

V.6 conclusion

Les résultats montrent également que plus l’angle de pression est faible plus les frottements

piston cylindre sont faible et inversement.les autres paramètres de performance ont peut

d’influence sur l’angle de pression.

Conclusion générale

59

Conclusion générale

On a développé dans ce mémoire de master un modèle hydrodynamique de piston de

combustion interne se basant sur une simulation numérique obtenu par la résolution de

l’équation de la dynamique du piston couplée avec l’équation de Reynolds universelle.

Les principales performances de la lubrification hydrodynamique du piston sont simulées sur

un cycle moteur.

On a simulé principalement le frottement piston _ huile_ cylindre, l’angle de pression et la

pression dans le film lubrifiant.

On a également simulé le mouvement secondaire du piston en fonction de la rotation du

vilebrequin sur un cycle moteur.

Pour tous ces calcules ,il est tenu compte de la cavitation dans le film lubrifiant.

Les résultats montrent également que plus l’angle de pression est faible plus les frottements

piston cylindre sont faible et inversement.les autres paramètres de performances ont peut

d’influence sur l’angle de pression.

Référence bibliographique

60


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Tower’s experiments. Phil. Trans. Roy. Soc. (London), A 117, p. 157-234 (1886).

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