fluide radiative
TRANSCRIPT
-
8/18/2019 Fluide Radiative
1/213
Gheorghe PROCOPIUC
FLUIDE
RADIATIVE
IAŞI
2006
-
8/18/2019 Fluide Radiative
2/213
Referenţi ştiinţifici:
Prof. univ. dr. Constantin Fetecău, UniversitateaTehnică “Gh. Asachi, Iaşi
Prof. univ. dr. Valeriu Sava, Universitatea Tehnic̆a
“Gh. Asachi, Iaşi
c Gheorghe Procopiuc, 2006
-
8/18/2019 Fluide Radiative
3/213
Cuprins
Prefaţă 7
Notaţii 9
Introducere 11
1 Concepte fundamentale ı̂n transferul radiativ 19
1.1 Câmpul de radiaţie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2 Interacţiunea radiaţiei cu materia . . . . . . . . . . 22
2 Transferul radiativ 25
2.1 Ecuaţia de transfer radiativ . . . . . . . . . . . . . 252.2 Condiţii iniţiale şi pe frontieră . . . . . . . . . . . 292.3 Ecuaţia de transfer radiativ ı̂n coordonate curbilinii 302.4 Câmpuri de radiaţie cu simetrii . . . . . . . . . . . 40
2.5 Procesele induse şi ETL . . . . . . . . . . . . . . . 432.6 Ecuaţiile câmpului de radiaţie . . . . . . . . . . . . 46
3 Aproximări ale transferului radiativ 47
3.1 Aproximarea dependenţei de direcţie . . . . . . . . 473.1.1 Aproximaţia Eddington . . . . . . . . . . . 473.1.2 Teoria difuziei . . . . . . . . . . . . . . . . 513.1.3 Aproximarea prin funcţii sferice . . . . . . . 55
3.2 Aproximarea dependenţei de frecvenţă . . . . . . . 62
3
-
8/18/2019 Fluide Radiative
4/213
3.2.1 Metoda multigrup . . . . . . . . . . . . . . 623.3 Ecuaţiile câmpului de radiaţie ı̂n aproximaţia Ed-
dington . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4 Ecuaţiile fluidelor radiative 69
4.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.2 Derivata material̆a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.3 Interpretarea fizică a divergenţei vitezei . . . . . . 724.4 Ecuaţia de continuitate . . . . . . . . . . . . . . . 744.5 Ecuaţiile de mişcare . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.5.1 Legi constitutive . . . . . . . . . . . . . . . 824.6 Ecuaţia energiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.7 Termodinamica fluidelor radiative . . . . . . . . . . 88
4.7.1 Termodinamica fluidelor nedisipative . . . . 88
4.7.2 Termodinamica fluidelor radiative . . . . . 93
5 Radiaţia ̂ın relativitatea specială 99
5.1 Principiile teoriei relativităţii . . . . . . . . . . . . 995.2 Transformarea lui Lorentz . . . . . . . . . . . . . . 1035.3 Energia şi impulsul ı̂n mecanica relativistă . . . . . 1055.4 Transformarea Lorentz a transferului radiativ . . . 1095.5 Transformarea câmpului de radiaţie . . . . . . . . 1115.6 Tensorul energie - impuls al câmpului de radiaţie . 1155.7 Efectele mişcării fluidului asupra radiaţiei . . . . . 117
6 Fluide radiative relativiste 1216.1 Densităţi şi fluxuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.2 Ecuaţiile relativiste ale fluidelor radiative . . . . . 126
7 Radiaţia ı̂n relativitatea generală 133
7.1 Câmpuri de gravitaţie ı̂n mecanica relativistă . . . 1337.2 Coordonate curbilinii . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.3 Distanţe şi durate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.4 Derivata covariantă şi derivata materială . . . . . . 144
4
-
8/18/2019 Fluide Radiative
5/213
7.5 Cinematică relativistă . . . . . . . . . . . . . . . . 1497.6 Simbolurile lui Christoffel şi tensorul metric . . . . 1517.7 Mişcarea particulei ı̂n câmpul gravitaţional . . . . 153
7.8 Câmpul gravitaţional constant . . . . . . . . . . . 1567.9 Ecuaţia de continuitate . . . . . . . . . . . . . . . 1587.10 Ecuaţ iile lui Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597.11 Câmpul de radiaţie ı̂n prezenţa gravitaţ iei . . . . . 161
7.11.1 Cazul materie pur̆a — câmp de radiaţie . . . 1647.11.2 Cazul mediu continuu - câmp de radiaţie . 1647.11.3 Termodinamica relativistă a fluidelor . . . . 1667.11.4 Fluidul perfect - câmp de radiaţie . . . . . 169
8 Problema lui Cauchy pentru ecuaţiile hidrodina-
micii relativiste a radiaţiei 171
8.1 Problema lui Cauchy pentru cazul exterior . . . . . 1718.2 Ecuaţiile lui Einstein ı̂n coordonate armonice . . . 1768.3 Problema lui Cauchy ı̂n cazul materie pură - câmp
de radiaţie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1788.4 Existenţa şi unicitatea soluţiei ı̂n cazul neanalitic
materie pură - câmp de radiaţ ie . . . . . . . . . . . 1818.5 Problema lui Cauchy ı̂n cazul fluid perfect - câmp
de radiaţie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1878.6 Existenţa şi unicitatea soluţiei ı̂n cazul neanalitic
fluid perfect - câmp de radiaţie . . . . . . . . . . . 190
Bibliografie 197
5
-
8/18/2019 Fluide Radiative
6/213
6
-
8/18/2019 Fluide Radiative
7/213
Prefaţă
Scopul acestei cărţi este de a descrie fundamentele dinamicii flu-idelor clasice şi relativiste ı̂n prezenţa câmpului de radiaţie. Ter-menul de ”radiaţie” ı̂nseamnă radiaţia electromagnetică a atomi-lor. O astfel de radiaţie este ı̂n general emisă de materia ı̂n starede excitaţie termică, de unde şi denumirea de ”radiaţie termică”.Starea radiaţiei poate fi descrisă printr-o ecuaţie cinetică sau detrasport, istoric numită ecuaţia de transfer radiativ. Pentru ada un model matematic cât mai exact, ı̂n primele trei capitolese introduc conceptele fundamentale ale transferului radiativ, seanalizează interacţiunea radiaţiei cu materia, se deduc ecuaţiilecâmpului de radiaţie şi se dau aproximări ale transferului ra-diativ. Capitolul 4 prezintă ecuaţiile fluidelor radiative şi aletermodinamicii fluidelor radiative.
In următoarele două capitole se analizează radiaţia ı̂n cadrul
relativităţii restrânse. Se analizează transformarea Lorenz a e-cuaţiei de transfer radiativ, transformarea câmpului de radiaţie,se introduce tensorul energie-impuls a câmpului de radiaţie şi sededuc ecuaţiile relativiste ale fluidelor radiative.
In Capitolul 7 se studiază radiaţia ı̂n relativitatea generală.Se reamintesc elementele de bază ale teoriei relativităţii generale,se studiază câmpul de radiaţie ı̂n prezenţa gravitaţiei şi se găsescecuaţiile care guvernează fluidele radiative ı̂ntr-un câmp gravi-taţional. In ultimul capitol este tratată problema lui Cauchy
7
-
8/18/2019 Fluide Radiative
8/213
pentru ecuaţiile relativiste ale radiaţiei ı̂n două cazuri: materiepură - câmp de radiaţie şi fluid perfect - câmp de radiaţie. Se dauteoreme de existenţă şi unicitate a soluţiei problemei lui Cauchy
ı̂n cele două cazuri.Lucrarea nu are pretenţia de a fi analizat toate problemele
mecanicii radiative a fluidelor clasice şi relativiste, ci constituiemai curând o introducere ı̂n acest domeniu. Ea conţine şi o seriede rezultate ale autorului. Multe dintre problemele specifice aces-tei ştiinţe pot fi găsite ı̂n lucrările din bibliografia de la sfârşitulcărţii, care este urmată şi de un index de termeni.
Autorul
8
-
8/18/2019 Fluide Radiative
9/213
Notaţii
Acceleraţia fluidului, a
Cantitatea de căldură volumetrică datorată radiaţiei, QrCoeficientul de absorbţie, σaCoordonatele carteziene ale unui punct, xiCoordonatele curbilinii ale unui punct, q αConstanta lui Boltzmann, k
Constanta lui Planck, h
Constanta radiaţiei, a
Densitatea de energie de radiaţie, E rDensitatea de energie internă, E Densitatea fluidului, ρ
Derivata covariantă a lui Aα, Aα;β Derivata parţială a lui Aα, Aα,β Direcţia de deplasare a fotonului, Ω
Entropia, ηForţa radiativă pe unitatea de volum, f rFrecvenţa unui foton, ν
Funcţia de distribuţie a fotonilor, f
Funcţia lui Planck, B
Intensitatea specifică a câmpului de radiaţie, I
Metrica spaţiului-timp, gαβ Presiunea de radiaţie, prPresiunea termodinamică, p
9
-
8/18/2019 Fluide Radiative
10/213
Potenţialii gravitaţionali, gαβ Produsul diadic, ⊗
Proiectorul spaţial,
⊥
g
αβ
Simbolurile lui Christoffel, Γαβγ Temperatura absolută, T Tensorul energie-impuls, T αβ Tensorul gravitaţional, Gαβ Tensorul lui Ricci, Rαβ Tensorul presiune de radiaţie, PrTensorul tensiunilor, TTimpul propriu, τ Vectorul flux radiativ, FrViteza fluidului, u
Viteza luminii ı̂n vid, c
10
-
8/18/2019 Fluide Radiative
11/213
Introducere
Energia ı̂n univers se prezintă sub diferite forme cum ar fi ener-gia termică, energia electrică sau lucrul mecanic. Ea poate fistocată sub diferite forme cum ar fi energia de deformare dintr-
un arc comprimat, energia internă a unui corp ı̂ncăzit sau ener-gia chimică a combustibilului. Mai mult, Einstein a arătat laı̂nceputul secolului XX că energia este interconvertibilă cu mate-ria. Cu alte cuvinte, ı̂ntreaga lume fizică este ı̂n realitate o ma-nifestare a energiei. Putem identifica caracteristicele diferitelorforme de energie. Putem spune de exemplu că energia termicăse propagă datorită unei diferenţe de temperatură sau putemexprima energia internă a unui material ı̂n funcţie de activitateaatomilor lui. Acceptând conceptul de energie, ştiinţa trateazădiferitele forme ale energiei şi masei ca fiind cadrul universului.Ea nu poate da motivaţii pentru existenţa energiei sau prezenţa
universului fizic.Una dintre multiplele manifestări ale energiei este căldura.
Fenomenul propagării căldurii este numit şi transfer de căldură.Acesta se poate face prin radiaţie, conducţie şi conducţie desuprafaţă sau convecţie. Radiaţia şi conducţia sunt două me-canisme fundamental diferite. Radiaţia implică propagarea e-nergiei prin spaţiu cu viteza luminii şi, ca şi transferul undelorluminoase sau radio, este un fenomen electromagnetic. Situaţiaı̂n care radiaţia este singurul mijloc de transfer de căldură se
11
-
8/18/2019 Fluide Radiative
12/213
ı̂ntâlneşte numai când căldura se propagă prin vid. Pe de altăparte, conducţia necesită totdeauna existenţa materiei şi depindede activitatea moleculară din interiorul acesteia. Convecţia ter-
mică nu este un mecanism fundamental al propagării călduriicum sunt radiaţia şi conducţia şi ı̂n principiu implică conducţiaı̂mpreună cu mişcarea fizică a materiei.
Primele progrese ı̂n ı̂nţelegerea naturii radiaţiei termice s-auconsemnat la ı̂nceputurile secolului XX. Iniţial s-a considerat căenergia termică radiantă se propagă de la o sursă de căldură a̧sacum se propagă undele pe suprafaţa unui lac dintr-un punct deperturbare. S-a presupus că undele de radiaţie transferă ener-gie datorită mişcării lor vibratorii. Această ipoteză vine ı̂nsă ı̂ncontradicţie cu constatarea că radiaţia se propagă şi ı̂n vid. Apli-carea teoriei ondulatorii cere existenţa unei anumite forme dematerie ı̂ntre corpurile care radiază pentru a face posibilă trans-miterea vibraţiilor.
Pentru a depăşi acest paradox, savanţii secolului al XIX aupostulat existenţa unui gaz numit eter care pătrunde ı̂n tot spa-ţiul (făcând astfel posibilă şi radiaţia solar̆a) şi care străbatevasele de vid din laboratoarele lor. Nu era pentru prima dat̆acând, pentru a umple golul dintre teorie şi faptele experimen-tale, se postula existenţa unui fluid invizibil, fără greutate, cuproprietăţi singulare. Cu mai puţin de jumătate de secol ı̂nainte,căldura era considerată ca un fluid numit caloric care curge ı̂ntre
corpuri ı̂n condiţiile ı̂ncălzirii prin foc, frecării etc. Când s-a con-statat posibilitatea convertirii căldurii ı̂n alte forme de energie,conceptul de caloric a fost treptat abandonat. Progresele ulte-rioare ı̂n teoria ondulatorie a radiaţiei au fost sever limitate detrecerea radiaţiei prin vid.
Pe un alt front cercetarea a progresat satisfăcător, cel bazatpe conceptul de radiaţie ca particule atomice. Aceste particuleformează un gaz de radiaţie cu caracteristici şi proprietăţi simi-lare unui gaz perfect. Se cunoştea că radiaţia se propagă ı̂n vid
12
-
8/18/2019 Fluide Radiative
13/213
cu viteza luminii şi, deoarece viteza este finită, trebuie să existeo cantitate finită de energie ı̂n tranzit ı̂n orice moment ı̂n spaţiuı̂ntre două suprafeţe radiante. Cu alte cuvinte trebuie să existe o
densitate de energie radiantă sau un gaz de radiaţie care să ocupespaţiul. Din analiza acestui gaz, folosind teoria cinetică clasică agazelor perfecte, Bolzmann a arătat ı̂n 1884 că energia emisă prinradiaţie de către o suprafaţă este proporţională cu puterea a pa-tra a temperaturii sale absolute, relaţie ce confirmă şi concluziilelui Stefan din 1879. Puterea emisivă a unei suprafeţe depinde deun număr de parametri: materialul, rugozitatea etc.
Radiaţia care cade pe o suprafaţă poate fi absorbită, reflec-tată sau transmisă. In general, solidele nu transmit radiaţie, iarmetalele şi izolatorii electrici absorb radiaţia. Chiar substanţe calichidele şi sticla absorb cea mai mare parte a radiaţiei. Deci, ı̂ngeneral, solidele şi lichidele au o transmisibilitate egală cu zero.Pe de altă parte, cele mai elementare gaze ca hidrogenul, oxigenulsau azotul (şi mixturi ale acestora precum aerul) au o transmisi-bilitate practic egală cu unitatea, iar reflexivitatea şi absorbti-vitatea lor sunt aproape zero. Din acest motiv evaluarea trans-ferului radiativ prin aer se face utilizând ralaţia pentru radiaţiaı̂n vid. Gazele cu o structură mai complexă, cum ar fi aburul saudioxidul de carbon, ı̂n general, absorb, emit şi transmit radiaţie.
Dacă un corp este astfel ı̂ncât nici o parte a radiaţiei incidentenu este relfectată sau transmisă, toată energia radiantă trebuie
să fie absorbită. Un corp de acest tip este numit corp negru .Radiaţia care părăseşte o suprafaţă poate fi reflectată sau
emisă de către suprafaţă datorită temperaturii sale. Un corpnegru este un emiţător perfect.
Să revenim la natura ondulatorie a radiaţiei. Reamintim si-militudinea deja menţionată ı̂ntre radiaţie şi lumină. Observaţiagenerală ne relevă faptul că un corp ı̂ncălzit la temperaturi ı̂nalteı̧̂si schimbă culoarea de la roşu mat la alb. Mai exact, când tem-peratura corpului variază, se modifică nu numai cantitatea de
13
-
8/18/2019 Fluide Radiative
14/213
radiaţie emisă dar şi distribuţia acesteia ı̂n banda de frecvenţe.La sfârşitul secolului XIX, cercetătorii care au studiat experimen-tal acest efect au obţinut curbe de distribuţie a radiaţiei la diferite
temperaturi şi frecvenţe. W. Wien a analizat teoretic distribuţiaspectrală a radiaţiei şi a publicat concluziile sale, care ulteriorau devenit cunoscutele legi ale lui Wien, ı̂n 1893 şi 1896. Prinanaliza gazului de radiaţie ideal, folosind termodinamica clasicăşi statistica, el a dedus o lege de distribuţie a puterii emisivemonocromatice a corpului negru de forma
E (ν ) = C 1ν
5
exp(C 2ν/T ),
unde ν este frecvenţa, T temperatura absolută, iar C 1 şi C 2 sunt
constante. Frecvenţa ν m care dă maximul puterii emisive la otemperatură dată este ν m = C/T şi reprezintă una dintre legilelui Wien.
Distribuţia lui Wien nu dă ı̂ns̆a rezultate satisfăcătoare pentrurelaţia dintre puterea emisivă şi frecvenţă la temperaturi mari. Seobservă că pentru T → ∞, E (ν ) → C 1ν 5, ceea ce nu se ı̂ntâmplăı̂n practică.
La ı̂nceputul secolului XX, Max Planck a studiat aceastădiscrepanţă, ı̂mpreună cu o altă lege nesatisfăcătoare de distri-buţie a radiaţiei dedusă din statistica clasică de Lord Rayleigh şia conchis că există un nea juns ı̂n ı̂nsăşi teoria statistică clasică.
Astfel a fost condus la a dezvolta teoria cuantică, teorie care a ex-plicat cu succes aceste inconsistenţe şi, mai mult, a procurat chiarlegatura dintre natura corpusculară şi ondulatorie a radiaţiei.
Teoria cuantică presupune că energia nu este indefinit divizi-bilă ci constă din părţi discrete sau cuante. Fiecare cuantă are oenergie egală cu produsul dintre frecvenţa ν a undei de energieşi o constantă h, care poartă numele de constanta lui Planck:E = hν . Analizând distribuţia spectrală a cuantelor după legileteoriei probabilităţilor, Planck a obţinut ı̂n 1901 pentru puterea
14
-
8/18/2019 Fluide Radiative
15/213
emisivă monocromatică a unui corp negru ı̂n vid
E (ν ) =
C 1ν 5
exp(C 2ν/T ) − 1 .Este interesant de notat că această expresie diferă de cea pro-pusă de Wien doar prin termenul −1 de la numitor, dar acestpas a cerut aplicarea unui concept complet nou asupra radiaţ iei,concept care a devenit chiar baza fizicii moderne.
Teoria cuantică, deşi propusă iniţial pentru a explica anom-aliile din teoria clasică a radiaţiei, s-a răspândit repede la alteforme de propagare electromagnetică. Veriga finală ı̂n fizica fun-damentală a radiaţiei a fost furnizată ı̂n 1905 de bine-cunoscutarelaţie a lui Einstein dintre energie şi masă
E = mc2.
Putem deci scrie mc2 = hν . Astfel cuanta de energie radiantăde frecvenţă ν poate fi considerată ca o particulă de masă hν/c2.Particulele de acest tip sunt identice cu particulele gazului deradiaţie analizat de Bolzmann care a condus la legea lui Stefan-Bolzmann. Se explică astfel cu succes cum undele se pot propagaı̂n spaţiu vid fără a fi necesar misteriosul eter, deoarece radiaţiaı̂n vid poate fi considerată drept cuante discrete de energie sau
fotoni .
Un alt aspect al radiaţiei elucidat ı̂n cadrul teoriei cuantice afost presiunea de radiaţie. Prin 1865 James Clark Maxwell a de-terminat efectul radiaţiei datorat impactului particulelor gazuluide radiaţie cu o suprafaţă. In termenii teoriei cuantice, aceastăpresiune de radiaţie este egală cu viteza de variaţie a impulsuluipe unitatea de arie, iar impulsul este dat de mc sau hν/c. Re-cent, presiunea radiaţiei solare a devenit importantă ı̂n tehnologiaspaţială ı̂ntrucât are efecte măsurabile asupra navelor spaţiale şiorbitelor sateliţilor.
15
-
8/18/2019 Fluide Radiative
16/213
Importanţa radiaţiei termice ı̂n dinamica fluidelor creşte pemăsură ce creşte temperatura, ı̂n primul rând deoarece putereaemisivă a radiaţiei asociată unei distribuţii Planck variază cu put-
erea a patra a temperaturii. La temperaturi moderate (de miide grade Kelvin), rolul radiaţiei este ı̂n esenţă unul de transportal energiei prin procese radiative. La temperaturi mai mari (demilioane de grade Kelvin), densităţile de energie şi impuls alecâmpului de radiaţie devin comparabile sau chiar depăşesc can-tităţile corespunzătoare ale fluidului. Mecanica fluidelor cu con-siderarea explicită a contribuţiei energiei şi impulsului radiaţieiconstituie mecanica fluidelor radiative . Astfel de consideraţii ı̂şigăsesc aplicaţii practice ı̂n ı̂nţelegerea anumitor fenomene as-trofizice şi ı̂n domeniul fizicii nucleare.
Pentru a deduce condiţiile fizice din stele sau din alte obiecteastrofizice, ne limităm aproape exclusiv la o analiză a fotonilorcare părăsesc mediul. Inainte ca fotonii să ajungă la noi eiinteracţionează cu materia, a.̂ı. informaţia despre condiţiile lo-cale din atmosferă au fost modificate atât ı̂n spaţ iu cât şi ı̂ntimp. Diagnosticul descifrării informaţiei conţinută de radiaţieeste complicat de faptul că cele mai multe fluide emit dar şi ab-sorb fotoni ı̂n acelaşi timp. De aceea este necesar să studiemprecesele de emisie, absorbţie şi transfer radiativ cu scopul de ainterpreta corespunzător radiaţia recepţionată.
Radiaţia joacă un rol important şi ı̂n determinarea structurii
stelelor prin rolul acesteia ı̂n ecuaţia energiei şi, pentru anumiteobiecte, şi ı̂n ecuaţiile de mişcare. Câmpurile de viteze din at-mosferele stelare afectează cuplajul dintre radiaţie şi proprietăţiletermodinamice locale ale fluidului. Exist̆a un cuplaj puternicı̂ntre hidrodinamică şi radiaţie ı̂ntr-o atmosferă dinamică, ceeace face necesar studiul acestui cuplaj pentru a ı̂nţelege mai binefenomenele dinamice din atmosferele stelare.
Teoria relativităţii restrânse a fost creată pentru a rezolvao problemă particulară fundamentală, şi anume, pentru a da o
16
-
8/18/2019 Fluide Radiative
17/213
interpretare fizică transformărilor Lorentz. In concordanţă cuacest fapt, a fost posibilă o tratare foarte compactă a electro-magnetismului.
In evoluţia teoriei relativităţii foarte curând au fost luate ı̂nconsideraţie căldura şi temperatura. Cu toate acestea, pentru operioadă destul de lungă de timp, termodinamica relativistă aavut ı̂n vedere numai procesele adiabatice. Conducţia termicăa fost inclusă ı̂n ecuaţ iile relativiste de conservare a energiei-impulsului de C. Eckart abia ı̂n 1940.
In relativitatea restrânsă, spaţiul-timp V 4 este un spaţiu pse-udo-euclidian şi nu se ţine seama de gravitaţie. In relativatateagenerală, construit̆a pentru a include gravitaţia, V 4 este un spaţiuriemannian a cărui metrică depinde de prezenţa maselor şi devineun spaţiu pseudo-euclidian ı̂n absenţa acestora.
Teorii relativiste care se ocupă cu materiale mai generale,având o bază termodinamică şi incluzând conducţia termică aufost dezvoltate abia după 1960. Unele dintre aceste teorii sebazează pe ecuaţiile de conservare a tensosului energie-impulssau pe ecuaţiile lui Einstein, altele pe principii variaţionale caresunt echivalente cu ecuaţiile lui Einstein.
O comparaţie a teoriilor relativiste cu cele clasice a fost făcutăde Truesdell şi Poupin, care pun legile clasice de conservare a e-nergiei şi impulsului sub o formă integrală invariantă, de unde de-duc ecuaţiile locale invariante de conservare a energiei-impulsului.
O tratare mai recentă a teoriei relativităţii incluzând gravita-ţia, mecanica mediilor continue, electromagnetismul şi termodi-namica, cât şi ecuaţiile constitutive, este datorată lui A. Bressan.
Introducerea efectelor radiaţiei termice ı̂n mecanica fluide-lor, clasice sau relativiste, conduce la sisteme de ecuaţii cuplateintegro-diferenţiale de complexitate considerabilă. Rezolvareaacestor sisteme, cu condiţii iniţiale şi pe frontieră date, este ex-trem de dificilă. Chiar ı̂n cazul când problema se reduce la un sis-tem de ecuaţii diferenţiale neliniare, ecuaţiile fundamentale sunt
17
-
8/18/2019 Fluide Radiative
18/213
ı̂ncă mult mai complicate decât ecuaţiile Navier-Stokes pentru unfluid compresibil. Nu este deci surprinzător că o atenţie deosebităs-a acordat formulării cât mai precise a unor modele aproxima-
tive, care să conducă la un sistem de ecuaţii diferenţiale neliniare.
18
-
8/18/2019 Fluide Radiative
19/213
Capitolul 1
Concepte fundamentale
ı̂n transferul radiativ
1.1 Câmpul de radiaţie
Energia câmpului de radiaţie este transportat̆a de particule punc-tuale, fără masă, numite fotoni . Asociem fiecărui foton o frecven-ţă ν , astfel ı̂ncât energia fotonului este hν , unde h este constantalui Planck. Dacă c este viteza luminii ı̂n vid, impulsul unui fo-ton este hν/c. Presupunem că ı̂ntre două ciocniri, fotonii se de-plasează ı̂n linie dreaptă cu viteza c şi fără modificarea frecvenţei.
Fie x vectorul de poziţie al unui foton, la momentul t şi Ω
direcţia sa de deplasare. Definim funct ̧ia de distribut ̧ie a fotonilorf (t, x, ν, Ω) astfel ı̂ncât
dn = f dV dν dΩ,
ı̂n care dn este numărul de fotoni din elementul de volum dV , cufrecvenţe ı̂n intervalul dν , ce se deplasează ı̂n direcţii conţinute ı̂nelementul de unghi solid dΩ al sferei Ω de rază egală cu unitatea.
Numim intensitate specific˘ a I (t, x, ν, Ω) a câmpului de radi-
19
-
8/18/2019 Fluide Radiative
20/213
aţie cantitatea
I (t, x, ν, Ω) = chν f (t, x, ν, Ω).
Dacă intensitatea specifică este independentă de Ω ı̂ntr-un punct,spunem că ea este izotrop˘ a ı̂n acel punct. Dacă intensitatea spe-cifică este independentă atât de x cât şi de Ω, câmpul de radiaţiese numeşte omogen şi izotrop.
Cel mai important câmp de radiaţie omogen şi izotrop estecel care coexistă cu materia ı̂n echilibru termodinamic completla o temperatură T . In acest caz intensitatea specifică a radiaţieieste dată de funct ̧ia lui Planck ,
B(ν ) = 2hν 3
c2 (ehν/kT − 1)−1,
unde k este constanta lui Boltzmann.In studiul câmpului de radiaţie, trei cantităţi prezintă interes
fizic: densitatea de energie, fluxul radiativ şi tensorul presiune deradiaţie. Aceste cantităţi corespund primelor trei momente aleintensităţii specifice.
Prima, densitatea de energie de radiat ̧ie E r(t, x) se defineşte,ţinând seama de definiţiile lui f şi I , prin
E r(t, x) =
∞0
dν
Ω
(hν ) f dΩ = 1
c
∞0
dν
Ω
I dΩ.
Pentru un câmp de radiaţie omogen şi izotrop, pentru careintensitatea specifică este dată de funcţia lui Planck, densitateade energie corespunzătoare este
E or = 1
c
∞0
dν
Ω
B(ν ) dΩ = 4π
c
∞0
2hν 3
c2 (ehν/kT − 1)−1 dν.
Ultima integrală se poate calcula efectuând schimbarea de vari-abilă x = hν/kT şi dezvoltând ı̂n serie (ex − 1)−1, se obţine
E or = aT 4,
20
-
8/18/2019 Fluide Radiative
21/213
unde a este constanta radiat ̧iei , dată de
a = 8π5k4
15h3
c3
.
A doua cantitate este vectorul flux radiativ Fr(t, x) care sedefinȩste ca viteza de curgere a energiei prin unitatea de arie aunei suprafeţe
Fr(t, x) =
∞0
dν
Ω
(hν ) (cΩ) f dΩ =
∞0
dν
Ω
I Ω dΩ,
sau pe componente
F ir =
∞0
dν
Ω
I Ωi dΩ, i = 1, 2, 3.
Pentru un câmp de radiaţie izotrop fluxul radiativ este nul,ı̂n particular dacă intensitatea specifică este dată de funcţia luiPlanck, avem că For = 0.
In fine, cea de-a treia cantitate este tensorul presiune de radiat ̧ie care se defineşte ca viteza de curgere a impulsului printr-o suprafaţă
Pr(t, x) =
∞0
dν
Ω
(cΩ)⊗(hν Ω/c)f dΩ =
= 1
c
∞0
dν
Ω
I Ω ⊗ Ω dΩ,
sau pe componente
P ijr = 1
c
∞0
dν
Ω
I ΩiΩ j dΩ, i, j = 1, 2, 3.
Se observă că tensorul presiune de radiaţie este simetric, adicăP ijr = P
jir . De asemenea, deoarece Ω21 + Ω
22 + Ω
23 = 1, avem,
pentru orice câmp de radiaţie, relaţia
P 11r + P 22r + P
33r =
1
c
∞0
dν
Ω
I dΩ = E r.
21
-
8/18/2019 Fluide Radiative
22/213
Pentru un câmp de radiaţie izotrop se găseşte că
P 11
r
= P 22
r
= P 33
r
= pr = 1
3 E r, P
r
12
= P r
23
= P r
31
= 0,
unde pr este presiunea de radiat ̧ie .
Notăm ı̂n ı̂ncheiere că E r, Fr şi Pr sunt tensori de ordinele 0,1, 2 ce se obţin din intensitatea specifică prin ı̂nmulţire cu 1, Ω şirespectiv Ω⊗Ω şi integrare pentru toate frecvenţele şi direcţiile.Putem continua acest procedeu şi forma astfel tensori de ordinsuperior, care nu au ı̂nsă interpretări fizice imediate.
1.2 Interacţiunea radiaţiei cu materia
Există trei tipuri de interacţiuni ale fotonilor cu materia: absorb-ţia, dispersia şi emisia. Le vom analiza pe rând.
Când un foton se deplasează prin materie există o anumităprobabilitate ca el să interacţioneze cu materia şi să dispară,adică să fie absorbit. Pentru a descrie cantitativ acest proces,introducem coeficientul de absorbt ̧ie σa(t, x, ν ), definit astfel ı̂ncâtprobabilitatea de absorbţie a fotonului pe distanţa ds să fie
σa(ν ) ds.
Coeficientul de absorbţie depinde, ı̂n general, de frecvenţa ν a
fotonului cât şi de moment şi poziţie, deoarece proprietăţile ma-terialului sunt ı̂n general funcţii de t şi x, dar este indepen-dent de direcţia de deplasare Ω, deoarece materia nu are direcţiipreferenţiale.
Un foton poate suferi şi interacţiuni de dispersie ı̂n materie.Definim coeficientul de dispersie σs(t, x, ν ) asemănător coeficien-tului de absorbţie σs(ν ) ds. Se presupune că şi coeficientul dedispersie este independent de direcţia Ω. In procesul de disper-sie fotonul nu dispare ca la absorbţie, ci continuă să se deplaseze,
22
-
8/18/2019 Fluide Radiative
23/213
ı̂n general, ı̂ntr-o altă direcţie şi având o altă frecvenţă. Deci, dis-persia are ca efect schimbarea caracteristicilor fotonului, trecândde la frecvenţa ν şi direcţia Ω la frecvenţa ν şi direcţia Ω. Pen-
tru a descrie cantitativ procesul de dispersie definim coeficientul diferent ̧ial de dispersie σs(t, x, ν , ν, Ω · Ω) a.̂ı. probabilitatea caun foton să treacă de la frecvenţa ν ∈ (ν, ν + dν ) şi direcţiaΩ ∈ (Ω, Ω + dΩ) la frecvenţa ν şi direcţia Ω la o deplasare ds,să fie
σs(ν , ν, Ω · Ω) dν dΩ ds.
Apariţia produsului scalar Ω · Ω este o consecinţă a faptului căprobabilitatea de dispersie depinde numai de unghiul de disper-sie, ceea ce este ı̂n concordanţă cu independenţa de direcţie acoeficientului de dispersie. Dacă integrăm coeficientul diferenţial
de dispersie pentru toate frecvenţele şi direcţiile, obţinem coefi-cientul de dispersie
σs(ν ) =
∞0
dν
Ω
σs(ν , ν, Ω · Ω) dΩ =
= 2π
∞0
dν
1−1
σs(ν , ν , µ) dµ.
Ultima egalitate rezultă din alegerea lui Ω ca axă z pentru inte-grarea după Ω, punând µ = Ω · Ω.
Dacă dispersia se face fără schimarea direcţiei de deplasarea fotonului ea se numeşte coerent ̆a . Dacă coeficientul diferenţial
de dispersie este independent de unghiul de dispersie, spunem căavem o dispersie omogen˘ a .Pentru a caracteriza interacţiunea radiaţiei cu materia se fo-
loseşte adesea aşa-numitul drum liber mijlociu al unui foton, datde
λ = 1
σ(t, x, ν ),
ı̂n care σ(t, x, ν ) este coeficientul de interact ̧iune total˘ a
σ(t, x, ν ) = σa(t, x, ν ) + σs(t, x, ν ).
23
-
8/18/2019 Fluide Radiative
24/213
Ultimul tip de interacţiune pe care ı̂l vom analiza aici esteemisia fotonilor. O caracteristică a materiei este că toate materi-alele emit spontan fotoni. Cuantificăm această sursă introducând
funcţia q (t, x, ν ) a.̂ı. numărul de fotoni emişi ı̂n unitatea de timpşi volum cu frecvenţa ν din intervalul (ν, ν + dν ), ı̂n direcţia Ωdin (Ω, Ω + dΩ), să fie dat de
q (t, x, ν ) dν dΩ.
Această sursă de fotoni este independentă de Ω, cum rezultă dinaceeaşi ipoteză, că materia nu are direcţii preferenţiale.
24
-
8/18/2019 Fluide Radiative
25/213
Capitolul 2
Transferul radiativ
2.1 Ecuaţia de transfer radiativEcuaţia de transfer radiativ este expresia matematică a legii deconservare a fotonilor. Prin analogie cu terminologia folosită ı̂nmecanica mediilor continue, prezentăm ı̂n cele ce urmează a̧sanumita descrierea spaţială sau euleriană a ecuaţiei de transfer.
Fie x vectorul de poziţie al unui foton de coordonatele carte-ziene xi, i = 1, 2, 3, la momentul t, cu frecvenţa ν şi direcţia dedeplasare Ω de coordonate sferice (1, ϕ , θ). Notăm cu µ = cos θ.
Considerăm un paralelipiped de dimensiuni ∆x1, ∆x2, ∆x3,∆ν , ∆µ, ∆ϕ, fix ı̂n spaţiu. Fie ∆V = ∆x1∆x2∆x3∆ν ∆µ∆ϕ
volumul său. Numărul de fotoni din acest paralelipiped la mo-mentul t este dat de
f (t, x, ν, Ω) ∆V,
unde f (t, x, ν, Ω) este funcţia de distribuţie introdusă ı̂n capi-tolul precedent. Variaţia ı̂n timp a numărului de fotoni din acestparalelipiped este atunci
∂
∂t[f (t, x, ν, Ω)∆V ] =
∂f
∂t(t, x, ν, Ω)∆V.
25
-
8/18/2019 Fluide Radiative
26/213
deoarece paralelipipedul este fix ı̂n spaţiu şi deci nu depinde det. Această variaţie a numărul de fotoni este cauzată de cinci pro-cese separate: curgerea fotonilor din paralelipiped prin frontiera
sa şi alte patru procese ce au loc ı̂n interiorul paralelipipedu-lui: absorbţia, dispersia de la ν , Ω la toate celelelte frecvenţe şidirecţii, dispersia la ν , Ω de la toate celelelte frecvenţe şi direcţiişi emisia. Vom analiza pe rând fiecare dintre aceste contribuţii.
Variaţia datorată curgerii fotonilor din paralelipiped prin fe-ţele perpendiculare pe axa x1 este dată de
ẋ1f (t, x, ν, Ω)x1+∆x1x1 ∆x2∆x3∆ν ∆µ∆ϕ, (2.1)
unde ∆x2∆x3∆ν ∆µ∆ϕ este aria unei astfel de feţe şi ẋ1 estecomponenta după axa x1 a vitezei fotonului. Aplicând teorema
lui Lagrange, (2.1) se mai poate scrie şi sub forma∂ (ẋ1f )
∂x (t, x∗1, x2, x3, ν, Ω)∆V,
cu x∗1 → x1 când ∆x1 → 0. Expresii asemănătoare se pot deduceşi pentru celelalte cinci perechi de feţe perpendiculare pe axelex2, x3, ν , µ, ϕ, ı̂ncât variaţia totală datorată curgerii fotonilorprin frontiera paralelipipedului va fi dată de
3i=1
∂ ( ẋif )
∂xi+
∂ (ν̇f )
∂ν +
∂ (µ̇f )
∂µ +
∂ ( ϕ̇f )
∂ϕ
(t, x∗, ν ∗, Ω∗)∆V,
(2.2)cu (t, x∗, ν ∗, Ω∗) → (t, x, ν, Ω) când (∆x, ∆ν, ∆Ω) → (0, 0, 0).Variaţia datorată absorbţiei ı̂n interiorul paralelipipedului es-
te produsul dintre numărul de fotoni din paralelipiped şi probabi-litatea de absorbţie a unui foton ı̂n unitatea de timp, cσa(t, x, ν ),adică
cσa(t, x, ν )f (t, x, ν, Ω)∆V. (2.3)
In mod asemănător se obţin contribuţiile datorate dispersieide la ν , Ω la toate celelelte frecvenţe şi direcţii ν , Ω şi la ν ,
26
-
8/18/2019 Fluide Radiative
27/213
Ω de la toate celelelte frecvenţe şi direcţii ν , Ω ı̂n interiorulparalelipipedului de volum ∆V
c∆V ∞0
dν Ω
σs(t, x, ν , ν , Ω · Ω)f (t, x, ν, Ω) dΩ, (2.4)
c∆V
∞0
dν Ω
σs(t, x, ν , ν, Ω · Ω)f (t, x, ν , Ω) dΩ, (2.5)
unde σs(t, x, ν , ν, Ω ·Ω) este coeficientul diferenţial de dispersie.
Integralele din (2.4) pot fi calculate deoarece funcţ ia de dis-tribuţie nu depinde de variabilele de integrare. Se obţine
cσs(t, x, ν )f (t, x, ν, Ω)∆V, (2.6)
unde σs(t, x, ν ) este coeficientul total de dispersie.In ceea ce priveşte emisia, ţinând seama de definiţia funcţiei
q (t, x, ν ), producţia de fotoni ı̂n interiorul paralelipipedului devolum ∆V este
q (t, x, ν )∆V (2.7)
şi este independentă de Ω.Ecuaţia de transfer radiativ se obţine egalând variaţia ı̂n timp
a numărului de fotoni din acest paralelipiped cu suma variaţiilor(2.2)-(2.7), luate cu semnul + sau −, după cum au ca efectcreşterea sau micşorarea numărului de fotoni din paralelipiped.Impărţind apoi prin ∆V pentru (∆x, ∆ν, ∆Ω)
→(0, 0, 0), obţi-
nem
∂f
∂t +
∂ (ẋ1f )
∂x1+
∂ (ẋ2f )
∂x2+
∂ ( ẋ3f )
∂x3+
∂ (ν̇f )
∂ν +
∂ (µ̇f )
∂µ +
∂ ( ϕ̇f )
∂ϕ =
= q (ν ) − cσa(ν )f + c ∞0
dν Ω
σs(ν , ν, Ω · Ω)f (ν , Ω) dΩ−
−c ∞0
dν Ω
σs(ν, ν , Ω · Ω)f (ν, Ω) dΩ. (2.8)
27
-
8/18/2019 Fluide Radiative
28/213
Deoarece fotonii se deplasează ı̂n linie dreaptă ı̂ntre ciocniriı̂n direcţia Ω, cu viteza c, rezultă că ẋ = cΩ. In plus, deoarecedeplasarea fotonilor se face fără modificarea frecvenţei, ν̇ = 0.
Cu acestea, ecuaţia (2.8) devine,
∂f
∂t + cΩ · ∇f + ∂ (µ̇f )
∂µ +
∂ ( ϕ̇f )
∂ϕ = q (ν ) − cσa(ν )f (ν, Ω)+
+c
∞0
dν Ω
[σs(ν , ν, Ω·Ω)f (ν , Ω)−σs(ν, ν , Ω·Ω)f ] dΩ. (2.9)
Dacă introducem intensitatea specifică a radiaţiei, I = chνf ,din (2.9) obţinem pentru I (ν, Ω) ecuaţia,
1c ∂I ∂t + Ω · ∇I + 1c ∂ (µ̇I )∂µ + 1c ∂ ( ϕ̇I )∂ϕ = S (ν ) − σa(ν )I +
+
∞0
dν Ω
ν ν
σs(ν , ν, Ω · Ω)I (ν , Ω) − σs(ν, ν , Ω · Ω)I
dΩ,
(2.10)ı̂n care S (t, x, ν ) reprezintă energia emisă prin procese spontane,
S (t, x, ν ) = hνq (t, x, ν ).
Deoarece ı̂n ultimul termen I nu depinde de variabilele de
integrare, din (2.10) obţinem forma integro-diferenţială a ecuat ̧i-ei de transfer sau transport radiativ ,
1
c
∂I
∂t + Ω · ∇I + 1
c
∂ (µ̇I )
∂µ +
1
c
∂ ( ϕ̇I )
∂ϕ = S (ν ) − σ(ν )I +
+
∞0
dν Ω
ν
ν σs(ν
, ν, Ω · Ω)I (ν , Ω) dΩ,
unde σ(t, x, ν ) este coeficientul de interacţiune totală.
28
-
8/18/2019 Fluide Radiative
29/213
Intr-un reper cartezian ı̂n care unghiurile ϕ şi θ sunt măsurateı̂n raport cu axe fixe ı̂n spaţiu, deci ϕ̇ = θ̇ = 0, ecuaţia de trans-port radiativ ia forma,
1
c
∂I (ν, Ω)
∂t + Ω · ∇I (ν, Ω) = S (ν ) − σ(ν )I (ν, Ω)+
+
∞0
dν Ω
ν
ν σs(ν
, ν, Ω · Ω)I (ν , Ω) dΩ, (2.11)
sau1
c
∂I
∂t + Ω1
∂I
∂x1+ Ω2
∂I
∂x2+ Ω3
∂I
∂x3+ σ(ν )I =
= S (ν ) + ∞
0
dν Ων
ν σs(ν
, ν, Ω
·Ω)I (ν , Ω) dΩ, (2.12)
unde I = I (t, x1, x2, x3, ν , θ , ϕ). Aici Ω1, Ω2, Ω3 sunt cosinusuriledirectoare ale direcţiei Ω ı̂n raport cu axele x1, x2, x3:
Ω1 = sin θ cos ϕ, Ω2 = sin θ sin ϕ, Ω3 = cos θ.
2.2 Condiţii iniţiale şi pe frontieră
Deoarece ecuaţia de transfer este o ecuaţie integro-diferenţială deordinul ı̂ntâi ı̂n timp şi spaţiu, sunt necesare atât condiţii iniţiale
cât şi pe frontieră.Presupunem că sistemul analizat este o mulţime convexă, de
formă şi structură arbitrare, caracterizată printr-un volum V şio suprafaţă Σ.
Din considerente fizice se ştie că este suficient să precizămvalorile intensităţii specifice ı̂n toate punctele feţei interioare asuprafeţei Σ, ceea ce implică condit ̧ia pe frontier˘ a
I (t, xs, ν, Ω) = Γ(t, xs, ν, Ω), n · Ω
-
8/18/2019 Fluide Radiative
30/213
unde Γ este o funcţie dată, xs este vectorul de poziţie al unuipunct de pe suprafaţă, iar n este versorul normalei la faţa exte-rioară a suprafeţei. Un caz particular de condiţie pe frontieră ı̂l
constituie aşa-numita suprafat ̧̆ a liber˘ a
I (t, xs, ν, Ω) = 0, n · Ω
-
8/18/2019 Fluide Radiative
31/213
Deci transformarea (2.15) este inversabilă şi inversa sa este
q α = q α(x1, x2, x3), α = 1, 2, 3. (2.16)
Versorii reperului curbiliniu sunt daţi de
iα = 1
hα∇q α = 1
hα
∂q α∂xi
ei, α = 1, 2, 3,
unde am introdus parametrii diferenţiali de ordinul ı̂ntâi ai luiLamé
hα = |∇q α| =
∂q α∂xi
∂q α∂xi
, i = 1, 2, 3.
Dacă coordonatele curbilinii sunt ortogonale, avem
iα·
iβ = δ αβ , α, β = 1, 2, 3,
de unde, cu (2.16), deducem
∂q α∂xi
∂q β ∂xi
= hαhβ δ αβ , α, β = 1, 2, 3, (2.17)
care reprezintă condiţiile necesare şi suficiente ca transformarea(2.15) să fie ortogonală.
Să observăm că
∂q α∂xi
∂xi∂q β
= δ αβ , α, β = 1, 2, 3,
care este un sistem de nouă ecuaţii liniare ı̂n necunoscutele ∂xi∂q β .
Pentru rezolvarea acestui sistem admitem că
∂xi∂q β
= cβ ∂q β ∂xi
.
Introducând ı̂n sistem, găsim
cβ ∂q α∂xi
∂q β ∂xi
= δ αβ ,
31
-
8/18/2019 Fluide Radiative
32/213
sau, cu (2.17), cβ hαhβ = δ αβ , de unde, pentru α = β , găsimcβ = 1/h
2β . Prin urmare,
∂xi∂q α
= 1h2α
∂q α∂xi
, α, i = 1, 2, 3. (2.18)
Inlocuind ı̂n (2.17), rezultă
∂xi∂q α
∂xi∂q β
= 1
hαhβ δ αβ , α, β = 1, 2, 3,
care reprezintă condiţiile necesare şi suficiente ca transformarea(2.15) să fie ortogonală.
Tot din (2.18) rezultă că putem exprima parametrii diferen-ţiali de ordinul ı̂ntâi şi sub forma
hα =∂xi
∂q α
∂xi∂q α
− 12, α = 1, 2, 3.
Deoarece dxi = ∂xi∂q α
dq α, i = 1, 2, 3, elementul de arc ı̂n coor-donate curbilinii ortogonale va fi dat de
ds2 = dxi dxi = 1
h2αdq 2α = dsα dsα,
unde dsα este elementul de arc ı̂n lungul liniei de coordonate q α,
dsα = 1
hα
dq α, α = 1, 2, 3.
Cu ajutorul formulei (2.18), versorii iα ai reperului curbiliniuse pot scrie şi sub forma
iα = hα∂xi∂q α
ei, α = 1, 2, 3. (2.19)
Elementul de volum , adică volumul paralelipipedului constru-it pe vectorii iαdsα, α = 1, 2, 3, este dat de dV = ds1ds2ds3, undes-a admis că reperul este drept.
32
-
8/18/2019 Fluide Radiative
33/213
Gradientul câmpului scalar I (q 1, q 2, q 3) se poate scrie, ţinândseama de (2.16),
∇I = ∂I ∂xi
ei = ∂I ∂q α
∇q α = hα ∂I ∂q α
iα.
Dacă Ω = Ωiei = Ωαiα, derivata ı̂n direcţia Ω a câmpului scalarI se scrie
Ω · ∇I = hαΩα ∂I ∂q α
.
Ecuat ̧ia de transfer radiativ ı̂n coordonate curbilinii ortogo-nale se scrie
1
c
∂I
∂t + hαΩα
∂I
∂q α+
1
c
∂ (µ̇I )
∂µ +
1
c
∂ ( ϕ̇I )
∂ϕ = S (ν ) − σ(ν )I +
+
∞0
dν Ω
ν
ν σs(ν
, ν, Ω · Ω)I (ν , Ω) dΩ,
ı̂n care intensitatea specific˘ a se defineşte prin I = chνf , cu
dn = f dq 1 dq 2 dq 3 dν dΩ.
In cele ce urmează ne vor interesa ı̂n special două tipuri decoordonate curbilinii ortogonale: coordonatele cilindrice şi coor-donatele sferice.
Trecerea de la coordonatele carteziene la coordonatele cilin-
drice este dată de transformarea
x1 = r cosΘ, x2 = r sinΘ, x3 = z,
cu r ∈ [0, ∞), Θ ∈ [0, 2π), z ∈ R.Vom nota cu ir, iΘ, iz versorii reperului. Parametrii diferen-
ţiali de ordinul ı̂ntâi vor fi
hr = 1, hΘ = 1
r, hz = 1.
33
-
8/18/2019 Fluide Radiative
34/213
x2
x3
x1
O
P
Θ
P
r
z
ir
iΘ
iz
ϕ
θ
Ω
Figura 2.1: Coordonate cilindrice
Elementul de arc va fi dat de
ds2 = dr2 + r2 dΘ2 + dz2,
iar de-a lungul celor trei linii de coordonate vom aveadsr = dr, dsΘ = r dΘ, dsz = dz.
Elementul de volum se exprimă sub forma
dV = dsr dsΘ dsz = r dr dΘ dz. (2.20)
Gradientul câmpului I devine
∇I = ∂I ∂r
ir + 1
r
∂I
∂ ΘiΘ +
∂ I
∂ziz.
34
-
8/18/2019 Fluide Radiative
35/213
Dacă (1, θ , ϕ) sunt coordonatele sferice ale vectorului Ω ı̂n
reperul polar cu polul ı̂n P , ı̂n care θ = ( iz, Ω), ϕ = ( ir, Ω),atunci
Ω = Ωrir + ΩΘiΘ + Ωziz,
cu
Ωr = sin θ cos ϕ, ΩΘ = sin θ sin ϕ, Ωz = cos θ. (2.21)
Derivata ı̂n direcţia Ω a câmpului scalar I are expresia
Ω · ∇I = Ωr ∂I ∂r
+ ΩΘ
r
∂I
∂ Θ + Ωz
∂I
∂z.
Pentru a scrie ecuaţia de transfer radiativ ı̂n coordonate cilin-
drice trebuie să găsim ı̂ncă variaţiile unghiurilor θ şi ϕ ca efectal modificării ı̂n timp a direcţiilor axelor ı̂n raport cu care suntmăsurate aceste unghiuri. Deoarece ẋ = cΩ şi ds = c dt, avem
dx
ds = Ω. (2.22)
Cum x = rir + ziz, derivând ı̂n raport cu s, găsim
dx
ds =
dr
dsir + r
dirds
+ dz
dsiz + z
dizds
.
Dar, cu (2.19),
ir = e1 cos Θ + e2 sinΘ, iΘ = −e1 sin Θ + e2 cosΘ, iz = e3,
de undedirds
= dΘ
ds iΘ,
dizds
= 0
şi decidx
ds =
dr
dsir + r
dΘ
ds iΘ +
dz
dsiz.
35
-
8/18/2019 Fluide Radiative
36/213
Cu aceasta, (2.22) revine la
dr
ds = Ωr,
dΘ
ds =
ΩΘ
r ,
dz
ds = Ωz.
Pe de altă parte, derivând ı̂n raport cu s relaţiile
Ωr = Ω1 cos Θ + Ω2 sinΘ, ΩΘ = −Ω1 sin Θ + Ω2 cos Θ, Ωz = Ω3,
cu Ωr, ΩΘ, Ωz daţi de (2.21), pentru Ω1, Ω2, Ω3 constante şirezolvând sistemul astfel obţinut, găsim
dθ
ds = 0,
dϕ
ds = −ΩΘ
r .
Ţinând seama de aceste rezultate, ecuaţia de transfer radiativ
ı̂n coordonate cilindrice devine
1
c
∂I c
∂t + Ωr
∂I c
∂r +
ΩΘr
∂I c
∂ Θ + Ωz
∂I c
∂z − 1
r
∂ (ΩΘI c)
∂ϕ =
= S c(ν ) − σ(ν )I c + ∞0
dν Ω
ν
ν σs(ν
, ν, Ω · Ω)I c(ν , Ω) dΩ,(2.23)
ı̂n care intensitatea specifică se defineşte prin I c = chνf c, cu
dn = f c drdθdϕdνdΩ = f dV dν dΩ.
Având ı̂n vedere expresia (2.20) a elementului de volum ı̂n coor-donate cilindrice, găsim f c = f ·r şi deci I c = I ·r, S c = S ·r, careı̂nlocuite ı̂n (2.23), dau ecuat ̧ia de transfer radiativ ı̂n coordonate cilindrice
1
c
∂I
∂t + Ωr
∂I
∂r +
ΩΘr
∂I
∂ Θ + Ωz
∂I
∂z − ΩΘ
r
∂I
∂ϕ =
= S (ν ) − σ(ν )I + ∞0
dν Ω
ν
ν σs(ν
, ν, Ω · Ω)I (ν , Ω) dΩ, (2.24)
36
-
8/18/2019 Fluide Radiative
37/213
unde I = I (t,r, Θ,z,ν ,θ,ϕ).Trecerea de la coordonatele carteziene la coordonatele sferice
este dată de transformarea
x1 = r sinΘcosΦ, x2 = r sinΘsinΦ, x3 = r cosΘ,
cu r ∈ [0, ∞), Θ ∈ [0, π], Φ ∈ [0, 2π).
x2
x3
x1
O
P
P Φ
Θr
iΘ
iΦ
ir
ϕ
θ
Ω
Figura 2.2: Coordonate sferice
Vom nota cu ir, iΘ, iΦ versorii reperului. Parametrii diferen-ţiali de ordinul ı̂ntâi vor fi
hr = 1, hΦ = 1
r, hΘ =
1
r sinΘ.
Elementul de arc va fi dat de
ds2 = dr2 + r2 dΘ2 + r2 sin2 Θ dΦ2,
37
-
8/18/2019 Fluide Radiative
38/213
iar de-a lungul celor trei linii de coordonate vom avea
dsr = dr, dsΘ = r dΘ, dsΦ = r sinΘ dΦ.
Elementul de volum se exprimă sub forma
dV = dsr dsΘ dsΦ = r2 sinΘ dr dΘ dΦ. (2.25)
Gradientul câmpului I devine
∇I = ∂I ∂r
ir + 1
r
∂I
∂ ΘiΘ +
1
r sinΘ
∂I
∂ ΦiΦ.
Dacă (1, θ , ϕ) sunt coordonatele sferice ale vectorului Ω ı̂n
reperul polar cu polul ı̂n P , ı̂n care θ = ( ir, Ω), ϕ = ( iΦ, Ω),atunci
Ω = Ωrir + ΩΘiΘ + ΩΦiΦ,cu
Ωr = cos θ, ΩΘ = sin θ cos ϕ, ΩΦ = sin θ sin ϕ. (2.26)
Derivata ı̂n direcţia Ω a câmpului scalar I are expresia
Ω · ∇I = Ωr ∂I ∂r
+ ΩΘ
r
∂I
∂ Θ +
ΩΦr sinΘ
∂I
∂ Φ.
Pentru a scrie ecuaţia de transfer radiativ ı̂n coordonate sfe-rice vom cerceta şi ı̂n acest caz variaţiile unghiurilor θ şi ϕ caefect al modificării ı̂n timp a direcţiilor axelor ı̂n raport cu care
sunt măsurate aceste unghiuri. Cum x = rir, derivând ı̂n raportcu s, găsim
dx
ds =
dr
dsir + r
dirds
.
Dar, cu (2.19),
ir = (e1 cos Φ + e2 sin Φ)sinΘ + e3 cosΘ,
iΘ = (e1 cos Φ + e2 sinΦ)cosΘ − e3 sinΘ,iΦ = −e1 sin Φ + e2 cosΦ,
38
-
8/18/2019 Fluide Radiative
39/213
de undedirds
= dΘ
ds iΘ +
dΦ
ds iΦ sinΘ
şi decidx
ds =
dr
dsir + r
dΘ
ds iΘ + r
dΦ
ds iΦ sinΘ.
Cu aceasta, (2.22) revine la
dr
ds = Ωr,
dΘ
ds =
ΩΘr
, dΦ
ds =
1
r sinΘΩΦ.
Pe de altă parte, derivând ı̂n raport cu s relaţiile
Ωr = (Ω1 cos Φ + Ω2 sin Φ) sin Θ + Ω3 cosΘ,
ΩΘ = (Ω1 cos Φ + Ω2 sinΦ)cosΘ − Ω3 sinΘ,ΩΦ = −Ω1 sin Φ + Ω2 cosΦ,
cu Ωr, ΩΘ, ΩΦ daţi de (2.26), pentru Ω1, Ω2, Ω3 constante şirezolvând sistemul astfel obţinut, găsim
dµ
ds =
1 − µ2r
, dϕ
ds = −ΩΦ
r ctgΘ,
unde µ = cos θ.Ţinând seama de aceste rezultate, ecuaţia de transfer radiativ
ı̂n coordonate sferice devine
1
c
∂I s
∂t + Ωr
∂I s
∂r +
ΩΘr
∂I s
∂ Θ +
ΩΦr sinΘ
∂I s
∂ Φ−
− ∂ ∂µ
1 − µ2
r I s
− 1
r
∂
∂ϕ (ΩΦI
sctgΦ) =
= S s(ν ) − σ(ν )I s + ∞0
dν Ω
ν
ν σs(ν
, ν, Ω · Ω)I s(ν , Ω) dΩ,(2.27)
39
-
8/18/2019 Fluide Radiative
40/213
ı̂n care intensitatea specifică se defineşte prin I s = chνf s, cu
dn = f s drdθdϕdνdΩ = f dV dν dΩ.
Având ı̂n vedere expresia (2.25) a elementului de volum ı̂n co-ordonate sferice, găsim f s = f · r2 sin Θ şi deci I s = I · r2 sinΘ,S s = S · r2 sin Θ, care ı̂nlocuite ı̂n (2.27), dau ecuat ̧ia de transfer radiativ ı̂n coordonate sferice
1
c
∂I
∂t + Ωr
∂I
∂r +
ΩΘr
∂I
∂ Θ +
ΩΦr sinΘ
∂I
∂ Φ − sin θ
r
∂I
∂θ − ΩΦ
r ctgΘ
∂I
∂ϕ =
= S (ν ) − σ(ν )I + ∞0
dν Ω
ν
ν σs(ν
, ν, Ω · Ω)I (ν , Ω) dΩ, (2.28)
unde I = I (t,r, Θ, Φ, ν , θ , ϕ).
2.4 Câmpuri de radiaţie cu simetrii
Considerăm pentru ̂ınceput cazul cel mai simplu, cel al unui sis-tem plan care este infinit ı̂n direcţiile axelor x1 şi x2. In acestcaz intensitatea specifică depinde de o singură variabilă spaţială,x3, şi de o singură coordonată unghiulară, θ, unghiul dintre Ω şiaxa x3. Deci I = I (t,z,ν,µ), cu z = x3 şi µ = cos θ, iar ecuaţiade transfer radiativ (2.12) devine
1
c
∂I (ν, µ)
∂t
+ µ∂I (ν, µ)
∂z
+ σ(ν )I (ν, µ) =
= S (ν ) + ∞0
dν Ω
ν
ν σs(ν
, ν, Ω · Ω)I (ν , µ) dΩ. (2.29)
In geometria plană, termenul datorat dispersiei poate fi adusla o formă mai simplă. In acest scop, dezvoltăm coeficientuldiferenţial de dispersie ı̂n serie după polinoamele lui Legendre
σs(ν , ν, Ω · Ω) =
∞n=0
2n + 1
4π σsn(ν
, ν )P n(Ω · Ω),
40
-
8/18/2019 Fluide Radiative
41/213
ı̂n care P n(x), n = 0, 1, . . ., sunt polinoamele lui Legendre
P n(x) = 1
n! 2n
dn
dxn[(x2
−1)n],
iar σsn(ν , ν ) sunt coeficienţii dezvoltării care, ţinând seama de
ortogonalitatea polinoamelor Legendre, au expresiile
σsn(ν , ν ) = 2π
1−1
σs(ν , ν , µ0)P n(µ0) dµ0.
Folosim apoi formula de adunare a polinoamelor Legendre
P n(Ω · Ω) =
= P n(µ)P n(µ) + 2
nm=1
(n − m)!(n + m)!
P mn (µ)P mn (µ)cos(ϕ − ϕ).
Aici Ω(1, µ , ϕ) şi Ω(1, µ, ϕ), iar P mn (x) se exprimă ı̂n funcţie depolinoamele lui Legendre prin
P mn (x) = (1 − x2)m2
dmP n(x)
dxm .
Putem deci scrie
Ωσs(ν
, ν, Ω · Ω)I (ν , µ) dΩ =
=
2π0
dϕ 1−1
σs(ν , ν, Ω · Ω)I (ν , µ) dµ =
=∞n=0
2n + 1
4π σsn(ν
, ν )
1−1
dµI (ν , µ)
2π0
[P n(µ)P n(µ)+
+2n
m=1
(n − m)!(n + m)!
P mn (µ)P mn (µ
)cos m(ϕ − ϕ)] dϕ. (2.30)
41
-
8/18/2019 Fluide Radiative
42/213
Dată fiind periodicitatea funcţiei cosinus
2π
0
cos m(ϕ−
ϕ) dϕ = 0, m = 1, 2, . . .
şi expresia (2.30) ia forma Ω
σs(ν , ν, Ω · Ω)I (ν , µ) dΩ =
=∞n=0
2n + 1
2 σsn(ν
, ν )P n(µ)
1−1
P n(µ)I (ν , µ) dµ. (2.31)
Inlocuind (2.31) in (2.29) obţinem forma finală a ecuat ̧iei de transfer ı̂n geometria plan˘ a ,
1c
∂I (ν, µ)∂t
+ µ∂I (ν, µ)∂z
+ σ(ν )I (ν, µ) = S (ν )+
+∞n=0
2n + 1
2 P n(µ)
∞0
dν ν
ν σsn(ν
, ν )
1−1
P n(µ)I (ν , µ) dµ.
(2.32)In practică, seria din ecuaţia (2.32) se poate trunchia numai lacâţiva termeni.
Un al doilea caz pe care ı̂l vom prezenta este cel al unuicâmp cu simetrie sferică. Şi de data aceasta intensitatea spe-cifică depinde numai de o variabilă spaţială, distanţa de la origi-
ne r, şi de o variabilă unghiulară θ, unghiul dintre x şi Ω. DeciI = I (t,r,ν,µ), cu µ = cos θ, iar ecuaţia de transfer radiativ(2.28) devine
1
c
∂I
∂t + µ
∂I
∂r +
(1 − µ2)r
∂I
∂µ + σ(ν )I = S (ν )+
+∞n=0
2n + 1
2 P n(µ)
∞0
dν ν
ν σsn(ν
, ν )
1−1
P n(µ)I (ν , µ) dµ.
42
-
8/18/2019 Fluide Radiative
43/213
Ca şi ı̂n cazul plan, termenul datorat dispersiei a fost dezvoltatı̂n serie de polinoame Legendre.
In fine, pentru un câmp cu simetrie cilindrică, dacă sistemul
este infinit ı̂n direcţia axei x3, intensitatea specifică depinde dinnou numai de o variabilă spaţială r, distanţa de la axa x3. DeciI = I (t,r,ν,θ,ϕ), iar ecuaţia de transfer radiativ (2.24) devine
1
c
∂I
∂t + sin θ
cos ϕ
∂I
∂r − 1
r sin ϕ
∂I
∂ϕ
+ σ(ν )I =
= S (ν ) +
∞0
dν Ω
dΩ ν
ν σs(ν
, ν, Ω · Ω)I (ν , θ, ϕ) dΩ.
Nu este posibilă simplificarea termenului datorat dispersiei deoa-rece, ı̂n acest caz, I depinde atât de θ cât şi de ϕ.
2.5 Procesele induse şi ETL
Ecuaţia de transfer analizată până aici este numită şi ecuaţiaclasică de transfer deoarece ı̂n deducerea ei ne-am bazat numaipe concepte ale fizicii clasice. Ea este folosită ı̂n descrierea trans-portului de energie ı̂n marea majoritate a problemelor de hidrodi-namica radiaţiei. Totuşi ea neglijează unele aspecte fizice, dintrecare unul ı̂l vom analiza ı̂n cele ce urmează.
Conform statisticii cuantice, procesele de emisie şi dispersiesunt accelerate de aşa-numitele procese induse . Cantitativ aceste
procese se exprimă astfel: dacă P este probabilitatea de bază aunui eveniment (de emisie sau dispersie), atunci, datorită proce-selor induse, probabilitatea reală P este dată de
P = P (1 + n),
unde n este numărul de fotoni din starea finală de tranziţie,
n = c2
2hν 3I (t,r,ν, Ω),
43
-
8/18/2019 Fluide Radiative
44/213
şi astfelP = P [1 + c2I/2hν 3].
In consecinţă, coeficienţii de emisie şi dispersie din ecuaţia detransfer trebuie ı̂nmulţiţi cu factorul 1 + c2I/2hν 3, ı̂ncât ecuaţiade transfer (2.11) ia forma
1
c
∂I
∂t + Ω · ∇I = S (ν )[1 + c2I/2hν 3] − σa(ν )I +
+
∞0
dν Ω
ν
ν σs(ν
, ν, Ω · Ω)I (ν , Ω)[1 + c2I/2hν 3] dΩ−
− ∞0
dν Ω
σs(ν, ν , Ω · Ω)I [1 + c2I (ν , Ω)/2hν 3] dΩ. (2.33)
Forma (2.33) a ecuaţiei de transfer ı̂n care s-au inclus şi efecteleproceselor induse este evident mai complicată decât forma (2.11)deoarece ea implică termeni neliniari ı̂n intensitatea specifică.
O altă problemă pe care o vom analiza aici este conceptul deechilibru termodinamic local (ETL). In ecuaţia (2.33), termenulsursă S caracterizează emisia spontană de fotoni din atomi, iarσa şi σs măsoară interacţiunea fotonilor cu materia. In general,aceste trei cantităţi depind de structura microscopică a materieişi nu există o relaţie simplă ı̂ntre aceste trei cantităţi. O ipotezăsimplificatoare din acest punct de vedere folosită adesea ı̂n pro-blemele de transfer radiativ este cea a echilibrului termodinamic
local. Se presupune că proprietăţile materiei sunt dominate deciocniri atomice care stabilesc local un echilibru termodinamic ı̂npunctul x, la momentul t, iar câmpul de radiaţie, deşi deviazăsubstanţial de la distribuţia Planck, nu afectează acest echili-bru. Prin urmare, la un moment dat ı̂ntr-un punct din spaţiueste suficient să precizăm, ı̂n afară de compoziţia atomică, doardouă variabile termodinamice, cum ar fi temperatura şi densi-tatea, pentru a putea exprima termenul sursă S , coeficientul deabsorbţie σa şi coeficientul de dispersie σs.
44
-
8/18/2019 Fluide Radiative
45/213
Valabilitatea ecuaţiei (2.33) nu se rezumă numai la cazul ETLci ea descrie o clasă mai generală de probleme. Pentru a vedeaefectul ipotezei ETL asupra ecuaţiei de transfer este convenabil
să ı̂nlocuim S şi σa din ecuaţia (2.33) prin B şi σ a, definite prinrelaţiile
S = σaB, (2.34)
σa = σa(1 + c
2B/2hν 3). (2.35)
In urma acestei ı̂nlocuiri, ecuaţia de transfer ia forma
1
c
∂I (ν, Ω)
∂t + Ω · ∇I = σa(ν )[B(ν ) − I (ν, Ω)]+ (2.36)
+
∞0
dν Ω
ν
ν σs(ν
, ν, Ω · Ω)I (ν , Ω)[1+ c2I (ν, Ω)/2hν 3] dΩ−
− ∞0
dν Ω
σs(ν, ν , Ω · Ω)I (ν, Ω)[1 + c2I (ν , Ω)/2hν 3] dΩ.Deoarece, ı̂n cazul echilibrului termodinamic complet, câmpulde radiaţie este independent de spaţiu şi timp, neglijând disper-sia, ecuaţia de transfer se reduce la σa(ν )[B(ν ) − I (ν, Ω)] = 0.Rezultă că B din (2.34)-(2.35) este tocmai funcţia lui Planck. Inconcluzie, ı̂n ipoteza ETL avem
B(ν ) = 2hν 3
c2 (ehν/kT − 1)−1, (2.37)
unde T este temperatura locală a materiei. Mai mult, ı̂nlocuind
(2.37) in (2.35) găsim că σ a este dat in cazul ETL de
σa(ν ) = σa(ν )(1 − e−hν/kT ).Forma (2.36) este forma convenţională de scriere a ecuaţiei de
transport ı̂n transferul radiativ, chiar dacă nu se adoptă ipotezaETL (̂ın care caz B nu mai este funcţia lui Planck). Totuşi, ı̂ncele mai multe probleme de hidrodinamica radiaţiei ipoteza ETLeste adoptată, deoarece ı̂n acest caz putem utiliza termodinamicaı̂n descrierea materiei.
45
-
8/18/2019 Fluide Radiative
46/213
2.6 Ecuaţiile câmpului de radiaţie
Contribuţia câmpului de radiaţie la ecuaţiile hidrodinamicii se
exprimă cu ajutorul mărimilor globale, ca densitatea de energiede radiaţie, fluxul radiativ, tensorul presiunii de radiaţie, definiteı̂n Cap. 1, ce caracterizeaz̆a radiaţia corespunzătoare ı̂ntreguluispectru de frecvenţe şi tuturor direcţiilor Ω. Pentru a găsi ecua-ţiile pe care aceste mărimi globale le satisfac, să integr̆am ecuaţia(2.36) ı̂n raport cu ν şi Ω şi apoi făcând produsul diadic cu Ω/csă efectuăm o nouă integrare. Obţinem astfel
∂E r∂t
+ ∇ · Fr + Qr = 0, ∂ ∂t
Fr
c2
+ ∇ · Pr + f r = 0,
ı̂n care Qr
este cantitatea de c˘ aldur˘ a pe unitatea de volum da-torat˘ a absorbt ̧iei , emisiei şi dispersiei, iar f r este fort ̧a radiativ˘ a pe unitatea de volum datorată aceloraşi procese şi sunt date de
Qr =
∞0
dν
Ω{σa(ν )[I (ν, Ω) − B(ν )]+
+
∞0
dν Ω
ν
ν σs(ν
, ν, Ω · Ω)I (ν , Ω)[1 + c2I/2hν 3] dΩ−
− ∞0
dν Ω
σs(ν, ν , Ω · Ω)I [1 + c2I (ν , Ω)/2hν 3] dΩ}dΩ.
f r = 1c ∞0
dν Ω{σa(ν )[I (ν, Ω) − B(ν )]+
+
∞0
dν Ω
ν
ν σs(ν
, ν, Ω · Ω)I (ν , Ω)[1 + c2I/2hν 3] dΩ−
− ∞0
dν Ω
σs(ν, ν , Ω · Ω)I [1 + c2I (ν , Ω)/2hν 3] dΩ}Ω dΩ.
46
-
8/18/2019 Fluide Radiative
47/213
Capitolul 3
Aproximări ale
transferului radiativ
3.1 Aproximarea dependenţei de direcţie
3.1.1 Aproximaţia Eddington
Ecuaţia de transfer radiativ dedusă ı̂n ultimul capitol este evi-dent foarte complicată. Intensitatea specifică, adică variabila de-pendentă ı̂n această ecuaţie, depinde ı̂n general, de şapte vari-abile independente (t, x, ν, Ω). Chiar ı̂n cea mai simplă situaţie atransporului independent de timp şi frecvenţă ı̂n cazul geometriei
plane, se pot obţine soluţii analitice numai ı̂ntr-un număr mic decazuri limită. Deci ı̂n general trebuie să lucrăm cu forme aprox-imative ale ecuaţiei de transfer pentru a obţine soluţii analiticesau numerice.
Cele mai multe descrieri aproximative ale transferului radia-tiv se bazează pe o ecuaţie integro-diferenţială. Dependenţa defrecvenţă şi direcţie a intensităţii specifice, din termenii ce conţinintegrale din această ecuaţie, se aproximează ı̂n general analitic.Aceasta conduce la un număr de ecuaţii diferenţiale cuplate ı̂n
47
-
8/18/2019 Fluide Radiative
48/213
variabilele spaţiale şi timp. In mod convenţional, aceste ecuaţiise rezolvă prin metode numerice.
In aproximaţia Eddington a transferului radiativ se presupune
că dependenţa de direcţie a intensităţii specifice poate fi expri-mată prin primii doi termeni din dezvoltarea ı̂n armonice sfericea acesteia, adică
I (t, x, ν, Ω) = 1
4πI 0(t, x, ν ) +
3
4πΩ · I1(t, x, ν ), (3.1)
unde I 0 şi I1 sunt coeficienţii dezvoltării, funcţii ce trebuie de-terminate. Termenul ı̂n I1 reprezintă o corecţie de ordinul ı̂ntâia termenului ı̂n I 0 presupus a fi dominant, ı̂ncât ne aşteptămca această reprezentare să fie suficient de precisă ı̂n situaţiile ı̂ncare intensitatea specifică este aproape izotropă. Coeficienţii I 0
şi I1 au interpretări fizice. Integrarea relaţiei (3.1) pentru toateunghiurile solide, dă
I 0(t, x, ν ) =
Ω
I (t, x, ν, Ω) dΩ,
iar prin ı̂nmulţirea relaţiei (3.1) cu Ω şi o integrare similară prece-dentei, obţinem
I1(t, x, ν ) =
Ω
ΩI (t, x, ν, Ω) dΩ.
Deci, I 0/c este tocmai densitatea de energie pe unitatea de frec-
venţă, iar I1 este fluxul radiativ pe unitatea de frecvenţă.Pentru a găsi ecuaţiile pe care trebuie să le verifice I 0 şi I1,ı̂nlocuim I dat de reprezentarea (3.1) ı̂n forma integro-diferenţialăa ecuaţiei de transfer dedusă ı̂n capitolul precedent şi formămprimele două momente unghiulare ale acesteia. Prin integrareaacestei ecuaţii pentru toate unghiurile solide, cu I (t, x, ν, Ω) datde (3.1), obţinem
1
c
∂I 0(ν )
∂t + ∇ · I1(ν ) = σa(ν )[4πB(ν ) − I 0(ν )] − σs(ν )I 0(ν )+
48
-
8/18/2019 Fluide Radiative
49/213
+
∞0
ν
ν σs0(ν
, ν )I 0(ν ) dν +
+ c2
8πh I 0(ν ) ∞0 1ν 2ν σs0(ν , ν ) − 1ν 3σs0(ν, ν ) I 0(ν ) dν ++
3c2
8πhI1(ν ) ·
∞0
1
ν 2ν σs1(ν
, ν ) − 1ν 3
σs1(ν, ν )
I1(ν
) dν .
(3.2)In mod asemănător, prin ı̂nmulţire cu Ω şi integrare pentru
toate unghiurile solide, găsim
1
c
∂ I1(ν )
∂t +
1
3∇I 0(ν ) =
= −[σ
a(ν ) + σs(ν )]I1(ν ) + ∞0 ν ν σs1(ν , ν )I1(ν ) dν ++
c2
8πhI 0(ν )
∞0
1
ν 2ν σs1(ν
, ν ) − 1ν 3
σs1(ν, ν )
I1(ν
) dν +
+ c2
8πhI1(ν )
∞0
1
ν 2ν σs0(ν
, ν ) − 1ν 3
σs0(ν, ν )
I 0(ν
) dν .
(3.3)Aici am definit
σsn(ν , ν ) = 2π
1−1
σs(ν , ν , µ)P n(µ) dµ,
unde P n(µ) este polinomul Legendre de gradul n, iar σs(ν ) estecoeficientul total de dispersie,
σs(ν ) =
∞0
σs0(ν, ν ) dν .
Ecuaţiile (3.2) şi (3.3) constituie un sistem complet de ecuaţiiintegro-diferenţiale pentru I 0(t, x, ν ) şi I1(t, x, ν ). Condiţiile ini-ţiale pentru acest sistem urmează direct din cele pentru forma
49
-
8/18/2019 Fluide Radiative
50/213
integro-diferenţială a ecuaţiei de transport. Avem astfel
I 0(0, x, ν, Ω) = Ω Λ(x, ν, Ω) dΩ, (3.4)I1(0, x, ν, Ω) =
Ω
ΩΛ(x, ν, Ω) dΩ,
unde Λ(x, ν, Ω) este o funcţie dată.Condiţiile pe frontieră pentru ecuaţiile (3.2) şi (3.3) nu se
scriu tot aşa de simplu. Structura acestor ecuaţii cere o singurăcondiţie ı̂ntre I 0(t, x, ν ) şi I1(t, x, ν ) ı̂n fiecare punct. Deoareceı̂n reprezentarea Eddington (3.1), intensitatea specifică depindeliniar de Ω, condiţia pe frontieră nu poate fi satisfăcută de ofuncţie Γ(t, xs, ν, Ω) arbitrară. Putem cere ı̂nsă ca ea să fie satis-
făcută ı̂n sens integral. Mai precis, ı̂nlocuim I (t, x, ν, Ω) dat de(3.1) ı̂n condiţia pe frontieră, ı̂nmulţim rezultatul cu o funcţie depondere w(Ω) şi integrăm pe faţa interioară a suprafeţei Σ, ceeace ne dă
n·Ω
-
8/18/2019 Fluide Radiative
51/213
In hidrodinamica radiaţiei cantităţile care descriu câmpul deradiaţie sunt energia radiativă, fluxul de radiaţie şi tensorul pre-siune de radiaţie. In aproximat ̧ia Eddington aceste cantităţi sunt
date de
E r(t, x) = 1
c
∞0
I 0(t, x, ν ) dν, (3.6)
Fr(t, x) =
∞0
I1(t, x, ν ) dν, (3.7)
Pr(t, x) = 1
3cI
∞0
I 0(t, x, ν ) dν = 1
3I E r(t, x), (3.8)
unde I este tensorul unitate. Deşi descrierea câmpului de radiaţieprin aproximaţia Eddington este mult mai simplă decât descrie-rea generală, procesele radiative astfel descrise sunt exacte numai
dacă intensitatea specifică a radiaţiei este aproape izotropă.
3.1.2 Teoria difuziei
Ecuaţia difuziei
Pentru ca ecuaţiile (3.2) şi (3.3) să se reducă la o descrierea transferului radiativ de tip difuzie , trebuie să cerem ca, ı̂nconcordanţă cu teoria difuziei, ecuaţia (3.3) să se reducă la legeade difuzie a lui Fick, adică, I1 = −D∇I 0, unde D(t, x, ν ) este co-eficientul local de difuzie la frecvenţa ν . Aceasta cere să eliminămtermenul (1/c) ∂ I1/∂t din ecuaţia (3.3) a cărui prezenţă dă mai
degrabă un caracter de undă decât de difuzie pură. De aseme-nea, trebuie să presupunem, numai ı̂n ecuaţia (3.3), că nucleulde dispersie este diagonal
σsn(ν, ν ) = An(ν ) δ (ν, ν
), n = 0, 1, (3.9)
unde δ este funcţia delta a lui Dirac. In acest caz termenii ı̂ndispersie se anulează identic şi ecuaţia (3.3) se scrie
I1(t, x, ν ) = − 13σtr
∇I 0(t, x, ν ), (3.10)
51
-
8/18/2019 Fluide Radiative
52/213
unde σtr este coeficient de transport , dat de σtr = σa + σs − A1.
Coeficientul A1 se determină din (3.9) pentru n = 1 prin integraredupă ν , adică
A1(ν ) = ∞0
σs1(ν, ν ) dν .
In ce priveşte legea de difuzie a lui Fick, termenii neliniaridatoraţi dispersiei induse nu au nici un efect. Totuşi aceşti ter-meni sunt prezenţi ı̂n ecuaţia (3.2), deşi ei pot fi simplificaţi, dupăcum urmează. Deoarece reprezentarea prin armonice sferice (3.1)este valabilă numai pentru |I1| I 0, putem neglija termenul ı̂nI1(ν )·I1(ν ) din ecuaţia (3.2). După simplificare, ı̂nlocuind (3.10)ı̂n (3.2), obţinem ecuat ̧ia difuziei
1
c
∂I 0(ν )
∂t − ∇ · D(ν )I 0(ν ) = σ
a(ν )[4πB(ν ) − I 0(ν )] − σs(ν )I 0(ν )+
+
∞0
ν
ν σs0(ν
, ν )I 0(ν ) dν +
+ c2
8πhI 0(ν )
∞0
1
ν 2ν σs0(ν
, ν ) − 1ν 3
σs0(ν, ν )
I 0(ν
) dν ,
(3.11)unde D(t, x, ν ) = 1/3σtr este coeficientul de difuzie. Condiţiainiţială pentru ecuaţia (3.11) rămâne tot (3.4).
Ecuaţia (3.11) cu condiţia iniţială (3.4) reprezintă forma cla-sică a aproximat ̧iei difuziei sau aproximat ̧ia Eddington pentru un
proces de dispersie arbitrar.
Difuzia de echilibru
Difuzia de echilibru este un caz particular al aproximaţiei Edding-ton şi furnizează o soluţie aproximativă a ecuaţiei difuziei. Datădistribuţia temperaturii ı̂ntr-un sistem precizat, aproximaţia di-fuziei de echilibru dă o expresie explicită a intensităţii specifice cafuncţie de toate variabilele sale: timp, punct, frecvenţă şi direcţie.
52
-
8/18/2019 Fluide Radiative
53/213
In particular, ea dă densitatea de energie, fluxul radiativ şi ten-sorul presiune de radiaţie ca funcţii de timp şi punct, cum o cerecuaţiile hidrodinamicii ı̂n prezenţa unui câmp de radiaţie. Deşi
teoria difuziei de echilibru corespunde unei aproximaţ ii de ordinfoarte scăzut atât ı̂n frecvenţă şi direcţie, cât şi ı̂n timp şi spaţiu,este, dată fiind simplitatea ei, aproximaţia cea mai des utilizatăı̂n probleme de hidrodinamica radiaţiei. In mod surprinzător, ı̂nciuda tuturor aproximărilor făcute, ea rămâne o descriere destulde rezonabilă, redând corect caracteristicele câmpului de radiaţie.
Plecăm de la ecuaţia (3.11) a difuziei. Ipoteza principală ı̂ndeducerea acestei ecuaţii este că intensitatea specifică a radiaţieieste aproape izotropă, fiind exprimată cantitativ prin (3.1). Pre-supunem că dependenţa de timp şi punct a lui I 0 este suficient deslabă ı̂ncât membrul stâng al ecuaţiei (3.11) poate fi considerat
egal cu zero. Atunci, ecuaţia devine
σa(ν )[4πB(ν ) − I 0(ν )] − σs(ν )I 0(ν ) + ∞0
ν
ν σs0(ν
, ν )I 0(ν ) dν +
+ c2
8πhI 0(ν )
∞0
1
ν 2ν σs0(ν
, ν ) − 1ν 3
σs0(ν, ν )
I 0(ν
) dν = 0.
(3.12)Dacă ı̂n plus considerăm coeficientul de absorbţie σa(t, x, ν ) şinucleul de dispersie σs0(t, x, ν , ν ) ca fiind cei corespunzători ETLla o anumită temperatură T , atunci ecuaţia (3.12) este identică cuecuaţia pe care o satisface momentul de ordinul zero al c âmpuluide radiaţie ı̂n echilibru termodinamic complet la temperatura T .In acest caz din (3.1) găsim
I 0(t, x, ν ) = 4πB(ν, T ) = 8πhν 3
c2 (ehν/kT − 1)−1, (3.13)
unde T = T (t, x). Inlocuind această expresie a lui I 0 ı̂n (3.10),găsim
I1(t, x, ν ) = − 4π3σtr
∇B(ν, T ). (3.14)
53
-
8/18/2019 Fluide Radiative
54/213
Deoarece gradientul acţionează asupra funţiei B prin intermediullui T , putem scrie (3.14) sub forma
I1(t, x, ν ) = − 4π3σtr
∂B(ν, T )∂T
∇T (t, x). (3.15)
Introducând (3.13) şi (3.15) ı̂n (3.1), obţinem pentru reprezenta-rea Eddington a intensităţii specifice
I (t, x, ν, Ω) = B(ν, T ) − 1σtr(t, x, ν )
∂B(ν, T )
∂T Ω · ∇T (t, x),
care este aproximaţia difuziei de echilibru şi care ne permite săcalculăm intensitatea specifică de ı̂ndată ce se cunoaşte distribu-ţia temperaturii.
In teoria difuziei de echilibru, cantităţile care prezintă interespentru problemele hidrodinamicii radiaţiei: densitatea de energiede radiaţie, fluxul radiativ şi tensorul presiunii de radiaţie suntdate de
E or (t, x) = 4π
c
∞0
B(ν, T ) dν = aT 4(t, x),
For(t, x) = −4π
3 ∇T (t, x)
∞0
1
σtr(t, x, ν )
∂B(ν, T )
∂T dν, (3.16)
Por(t, x) = 4π
3cI
∞
0B(ν, T ) dν =
1
3I aT 4(t, x),
unde a este constanta radiaţiei.Expresia (3.16) a fluxului de radiaţie se scrie adesea sub o
formă puţin diferită. Dacă definim coeficientul mediu de trans-port σR(t, x) prin relaţia
1
σR=
∞0
1
σtr
∂B(ν, T )
∂T dν ∞
0
∂B(ν, T )
∂T dν
, (3.17)
54
-
8/18/2019 Fluide Radiative
55/213
observând că
∞
0
∂B(ν, T )
∂T dν =
ac
π T 3,
expresia (3.16) a fluxului radiativ se mai scrie
For(t, x) = − ac
3σR(t, x)∇T 4(t, x).
Coeficientul mediu de transport σR(t, x) este numit şi media Rosseland şi este adesea utilizat ı̂n problemele de transfer ra-diativ.
3.1.3 Aproximarea prin funcţii sferice
Să analizăm acum cazul general, când intensitatea specifică a
radiaţiei se aproximează prin suma primilor n + 1 termeni dindezvoltarea sa după funcţii sferice. Vom neglija termenii neliniaridatoraţi dispersiei induse.
Pentru ı̂nceput considerăm sisteme cu simetrie plană. Dacăpunem
S = σa B,
deoareceσ = σs + σ
a,
ecuaţia de transfer corespunzătoare este
1
c
∂I (ν, µ)
∂t + µ
∂I (ν, µ)
∂z + σ(ν )I (ν, µ) = σ
a(ν )B(ν )+
+∞k=0
2k + 1
2 P k(µ)
∞0
dν ν
ν σsn(ν
, ν )
1−1
P k(µ)Iν , µ) dµ.
(3.18)Dezvoltăm intensitatea specifică după polinoamele lui Legendre
I (t,z,ν,µ) =∞k=0
2k + 1
4π I k(t,z,ν ) P k(µ), (3.19)
55
-
8/18/2019 Fluide Radiative
56/213
unde, datorită ortogonalităţii polinoamelor lui Legendre P k(µ),coeficienţii dezvoltării sunt daţi de
I k(t,z,ν ) = 2π 1−1
P k(µ) I (t,z,ν,µ) dµ.
Inlocuind I dată de (3.19) ı̂n ecuaţia (3.18), egalând coeficienţiilui P k(µ), obţinem un şir infinit de ecuaţii pentru coeficienţiidezvoltării
1
c
∂I 0(ν )
∂t +
∂ I 1(ν )
∂z + σ(ν )I 0(ν ) =
= 4πσa(ν )B(ν ) +
∞0
ν
ν σs0(ν
, ν )I 0(ν ) dν , (3.20)
2k + 1
c
∂I k(ν )
∂t +k∂I k−1(ν )
∂z +(2k+1)σ(ν )I k(ν )+(k+1)∂I k+1(ν )
∂z =
= (2k + 1)
∞0
ν
ν σsk(ν
, ν )I k(ν ) dν , k ≥ 1. (3.21)
Ecuaţia (3.20) şi primele n ecuaţii (3.21) formează un sistem den + 1 ecuaţii cu n + 2 necunoscute: I 0, I 1, ..., I n+1. Trebuie săreducem deci numărul necunoscutelor la n +1. Dacă seria (3.19)este convergentă, şirul (I n) trebuie să tindă la zero când n tindela infinit, şi deci cel mai simplu mod de trunchiere constă ı̂n alua I n+1(t,z,ν ) = 0. In acest caz ultima ecuaţie (3.21) devine
2n + 1c
∂I n(ν )∂t
+ n ∂I n−1(ν )∂z
+ (2n + 1)σ(ν )I n(ν ) =
= (2n + 1)
∞0
ν
ν σsn(ν
, ν )I n(ν ) dν . (3.22)
Ecuaţiile (3.20), (3.21) pentru k = 1, n − 1 şi (3.22) constituieun sistem de n + 1 ecuaţii cu n + 1 necunoscute: I 0, I 1, ..., I nnumit aproximaţia de ordinul n ı̂n geometria plană. Seria (3.19)este convergentă la soluţia exactă a ecuaţiei de transfer. Totuşi
56
-
8/18/2019 Fluide Radiative
57/213
experienţa arată că chiar o aproximaţie de ordin foarte mic estesuficient de precisă. De exemplu, pentru n = 1 obţinem ecuaţiile
1c ∂I 0(ν )∂t + ∂ I
1(ν )∂z + σ(ν )I 0(ν ) =
= 4πσa(ν )B(ν ) +
∞0
ν
ν σs0(ν
, ν )I 0(ν ) dν ,
1
c
∂I 1(ν )
∂t +
1
3
∂I 0(ν )
∂z + σ(ν )I 1(ν ) =
∞0
ν
ν σs1(ν
, ν )I 1(ν ) dν ,
care sunt foarte asemănătoare ecuaţiilor din aproximaţia Edding-ton. S-a demonstrat că ı̂n abordarea aproximărilor de ordinpar (n = 2, 4, . . .) se ı̂ntâlnesc dificultăţi care nu se ı̂ntâlnesc ı̂naproximările de ordin impar, şi că o aproximare de ordin par 2 peste mai puţin exactă decât aproximarea de ordin impar 2 p
−1.
In cele ce urmează vom presupune că n este impar.Condiţiile iniţiale pentru aproximarea de ordinul n urmează
din condiţia iniţială pentru ecuaţia de transfer. Avem
I k(0, z , ν ) = 2π
1−1
P k(µ)Λ(z,νµ) dµ), k = 0, n.
In ceea ce priveşte condiţiile pe frontieră, sunt necesare (n + 1)/2condiţii pe fiecare faţă a sistemului planar. De exemplu pe faţastângă, de ecuaţie z = zl, putem lua aceste condiţii ca (n + 1)/2medii ponderate ale condiţiei pe frontieră exacte
2π 10
wm(µ)[I (t, zl, ν , µ) − Γ(t, zl, ν , µ)] dµ, m = 1, (n + 1)/2,(3.23)
unde wm(µ) sunt funcţii liniar independente arbitrare, numitefuncţii de pondere. Inlocuind (3.19) cu I k(t,z,ν ) = 0 pentruk > n ı̂n (3.23), obţinem
nk=0
2k + 1
2 I k(t, zl, ν )
10
wm(µ)P k(µ) dµ =
57
-
8/18/2019 Fluide Radiative
58/213
= 2π
10
wm(µ)Γ(t, zl, ν , µ) dµ, (3.24)
pentru m = 1, (n + 1)/2. Odată wm(µ) precizate, (3.24) consti-tuie un set de condiţii pentru funcţiile I n(t,z,ν ) pentru z = zl.Condiţiile Marshak constau ı̂n a alege
wm(µ) = P 2m−1(µ), m = 1, (n + 1)/2,
sau echivalent
wm(µ) = µ2m−1(µ), m = 1, (n + 1)/2.
Densitatea de energie de radiaţie, fluxul radiativ şi tensorulpresiune de radiaţie au, ı̂n acest caz expresiile
E r(t, z) = 1
c
∞0
I 0(t,z,ν ) dν,
F 1r (t, z) = 0, F 2r (t, z) = 0, F
3r (t, z) =
∞0
I 1(t,z,ν ) dν,
P 11r = P 22r =
1
c
∞0
1
3I 0(t,z,ν ) − 1
3I 2(t,z,ν )
dν,
P 33r = 1
c ∞
0 1
3I 0(t,z,ν ) +
2
3I 2(t,z,ν )
] dν,
P ijr = 0, i = j.De notat că
P 11r + P 22r + P
33r = E r.
Să generalizăm acum rezultatele precedente la cazul tridimen-sional. Presupunem că dispersia este izotropă. Ecuaţia de trans-fer corespunzătoare, cu
S = σaB
58
-
8/18/2019 Fluide Radiative
59/213
şiσ = σs + σ
a,
este1
c
∂I (ν, Ω)
∂t + Ω · ∇I (ν, Ω) + σ(ν )I (ν, Ω) = σa(ν )B(