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Projet d’Algorithme et Complexité
Couplage optimal
1ère année de Master InformatiqueUFR Sciences et Techniques Dijon
Année 2010-2011Harbelot-Chabot
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1) Présentation du problème de couplage optimal
2) Solution n°1: Méthode Hongroise
3) Solution n°2: Algorithme de Ford-Fulkerson
4) Analyse comparative
Plan
6) Conclusion
5) Choix techniques
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Problème de couplage optimal
Associer des objets d'un problème deux par deux en minimisant le coût des associations entre les objets
Couplage: Etant donné un graphe non orienté G=(S,A), un couplage est un sous-ensemble d’arête M appartenant à A tel que, pour tous les sommets v appartenant à S, au plus une arête de M est incidente à V
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Solution n°1: Méthode Hongroise
La méthode hongroise en 5 étapes:
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Solution n°1: Méthode Hongroise
Exemple de couplage optimal à l’aide de la méthode Hongroise:
1 2 3
3 1 2
1 3 2
Matrice initiale:
0 1 2
2 0 1
0 2 1
Réduction des lignes:
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Solution n°1: Méthode Hongroise
0 1 1
2 0 0
0 2 0
Réduction des colonnes:
0 1 1
2 0 0
0 2 0
Traçage des traits:
Etudiant Projet Coût
1 1 1
2 2 1
3 3 2
Solution optimale:
Coût de la solution:
1 + 1 + 2 = 4
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Solution n°2: Algorithme de Ford-Fulkerson
Conversion du problème de couplage optimal en problème de maximisation de flot
Utilisation de l’algorithme de Ford-Fulkerson
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Solution n°2: Algorithme de Ford-Fulkerson
Etape 1
•Création du graphe d’écart
Etape 2
•Recherche d’un chemin de coût minimal
Etape 3
•Amélioration du flot
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Solution n°2: Algorithme de Ford-Fulkerson
Exemple de couplage optimal à l’aide de l’algorithme de Ford-Fulkerson:
Phase 1 – Etape 1:
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Solution n°2: Algorithme de Ford-Fulkerson
Phase 1 – Etape 2:
Chemin de coût minimal: 1, 2, 5, 8
Phase 1 – Etape 3:
Amélioration du flot = 1 Flot=1
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Solution n°2: Algorithme de Ford-Fulkerson
Phase 2 – Etape 1:
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Solution n°2: Algorithme de Ford-Fulkerson
Phase 2 – Etape 2:
Phase 2 – Etape 3:
Chemin de coût minimal: 1, 3, 6, 8
Amélioration du flot = 1 Flot=2
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Solution n°2: Algorithme de Ford-Fulkerson
Phase 3 – Etape 1:
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Solution n°2: Algorithme de Ford-Fulkerson
Phase 3 – Etape 2:
Phase 3 – Etape 3:
Chemin de coût minimal: 1, 4, 7, 8
Amélioration du flot = 1 Flot=3
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Analyse comparative
Complexité de la méthode Hongroise: O(n²*n)
Complexité de l’algorithme de Ford-Fulkerson = O(n²*M)
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Analyse comparative
Langage concis = Programme court
LANGAGE DE PROGRAMMATION
PARADIGMES DE PROGRAMMATION
Performances correctes
Utilisation de plusieurs paradigmes possibles
Paradigme Objet = Représentation du graphe et de ses composantes
Paradigme Impératif = Manipulation de matrices pour la méthode Hongroise
Paradigme Fonctionnel = Parcours de listes et recherche dans le graphe
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Conclusion
Apports
Renforcement des connaissances relatives
au langage OCaml
Etude approfondie d’un problème et de ses solutions possibles
Mise en place des connaissances
acquises en matière de complexité
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Oui
Avez-vous des questions ?
NonFulkerson…quoi?C’est déjà le matin??