11.9.2013.

1

PROJEKTIRANJE DIGITALNIH

FILTERA Digitalni filter je linearan vremenski nepromjenjiv sustav konstruiran za propuštanje pojedinih frekvencija. Idealni filter propušta komponente signala određenih frekvencija bez prigušivanja a komponente na ostalim frekvencijama idealno prigušuje.

SPIE09 Obrada zvučnih signala 01_04. Projektiranje digitalnih FIR i IIR filtera

Ozren Bilan, viši predavač

1. UVOD 1.1. Kontinuirani i diskretni signali i DSP 1.2. Analiza u vremenskom i frekvencijskom području 1.3. DSP transformacije 1.4. Projektiranje digitalnih filtera 2. Zvučni signali visoke razlučivosti HD Audio 3. Digitalna obrada govora 4. Sažimanje zvučnih datoteka 5. Uvod u obradu zvučnih signala umjetnim neuralnim mrežama 6. Uvod u obradu i analizu zvučnih signala va lidem Wavelet

7. Razlike DSP i procesora 30 sati predavanja + 30 sati laboratorijskih vježbi Svi MATLAB kodovi nalaze se u skripti LAB VJEŽBE DOZS

Temelj filtera Opdenito, filter je

linearan vremenski nepromjenjiv sustav konstruiran za propuštanje pojedinih frekvencija

Digitalni filter je

numerički postupak ili algoritam; transformira zadanu sekvencu u drugu koja ima poželjnija svojstva

Ozren Bilan 2

Poželjne karakteristike ovise o primjeni:

Ulazni zvučni signal Izlazni signal

Generiran elektroakustičkim

pretvaračem (mikrofon) ima manje šuma i smetnji

Govor ima manju redundanciju kako bi se učinkovito transmitirao

Idealni filter:

propušta komponente signala određenih frekvencija bez prigušivanja, a

komponente na ostalim frekvencijama idealno prigušuje.

Prema tome:

frekvencijska karakteristika ima vrijednost jednaku jedan ili nula.

Područje frekvencija u kojima frekvencijska karakteristika ima jediničnu vrijednost naziva se propusni pojas, a područje frekvencija gdje je frekvencijska karakteristika jednaka nuli je pojas gušenja.

Ozren Bilan 3

Analiza digitalnih filtera

DSP algoritme filtera analiziramo određivanjem:

njihovih karakteristika u vremenskom području preko

Jednadžbe diferencija

Odziva na jedinični step – impulsnog odziva

njihovih karakteristika u frekvencijskom području preko

Područja z-transformacije

Preko prijenosne funkcije sustava

Dijagrama nula i polova u z-ravnini

Fourierovom transformacijom preko

Frekvencijskog odziva

Ozren Bilan 4

Filtri imaju dvije svrhe: odvajanje i restauriranje signala.

Odvajanje signala koristi se u slučajevima u kojima je signala pomiješan s interferencijama, šumovima ili drugim signalima. Zamislimo uređaj za mjerenje električne aktivnosti srca fetusa (EKG). Taj signal pomiješan je sa signalom disanja i zvuka srca majke. Potrebno je koristiti filtar koji de odvojiti signale kako bi ih mogli analizirati individualno.

Restoracija signala koristi se ako je signal na neki način izobličen. Npr. pri snimanju nesavršenim uređajima mogude je dobiveni signal filtrirati tako da bolje predstavlja zvuk koji je bio pri snimanju.

Probleme možemo rješavati s analognim ili digitalnim filtrima. Koji su bolji? Analogni filtri su jeftini, brzi i imaju vrlo veliko dinamičko područje amplitude i frekvencija. Za usporedbu, digitalni filtri su mnogo bolji po pitanju karakteristika koje je mogude postidi. Niskopropusni digitalni filtar može imati pojačanje 1+/- 0.0002 od 0 do 1000 Hz i pojačanje manje od 0.0002 za frekvencije više od 1001 Hz. Čitav prijelaz javlja se samo unutar frekvencijske širine od 1 Hz. Takvi podaci ne mogu se očekivati od sklopova s operacijskim pojačalima! Digitalni filtri postižu tisude puta bolje karakteristike od analognih filtara. Zbog toga nastaje razlika u pristupu problemima pri filtriranju.

Analognim filtrima težište je na obradi problema ograničenja elektronike te točnosti i stabilnosti otpornika i kondenzatora.

Digitalni filtri toliko su dobri da se karakteristike filtra zanemaruju. Težište se pomiče prema ograničenjima signala i teoretskih pitanja

u smislu obrade. Ozren Bilan 5

Matlab primjeri obrade signala rng default;% rng upravlja generatorom slučajnih brojeva

x=ecg(500)'+0.25*randn(500,1); % ecg valni oblik u šumu

h=fdesign.lowpass('N,F3dB',12,0.15);

d1 = design(h,'butter');

y = filtfilt(d1.sosMatrix,d1.ScaleValues,x);

%filtfilt gleda u bududnost signala kako bi eliminirali fazna izobličenja

plot(x,'b-.'); hold on;

plot(y,'r','linewidth',4); grid;

legend('ECG uronjen u šum','Filtriranje nulte faze','location','NorthEast');

Ozren Bilan 6

QRS kompleks je najvažnija osobina valnog oblika ECG, a na dijagramu, počinje od uzorka 160.

11.9.2013.

2

Ozren Bilan 7

Spektar signala se sastoji od komponenata 60 Hz šum i korisni signal 150Hz i 200Hz. Potrebno je eliminirati komponentu šuma na 60 Hz iz korisnog signala. Koristimo uskopojasno nepropusni (notch) IIR filter točno na frekvenciji smetnje

U DSP uobičajeno govorimo o ulaznim i izlaznim signalima filtra u vremenskom području. Zbog toga što signali najčešde nastaju uzorkovanjem u pravilnim vremenskim intervalima. To nije jedini način nastajanja uzorkovanja. Drugi način je uzorkovanje u jednakim prostornim intervalima. Moguda su i mnoga druga područja; međutim, vrijeme i prostor su najuobičajeniji. Uvijek kad vidimo DSP izraz vremensko područje, ono može stvarno označavati uzorke pribavljene vremenski ali može predstavljati opdenito bilo koje područje u kojem su pribavljeni uzorci.

Svaki linearni filtar određen je impulsnim odzivom, odzivom na step i frekvencijskim odzivom. Svaki odziv sadržava cjelovite informacije o filtru u različitim oblicima. Za bilo koji specificirani odziv, druga dva su zadana i mogu se odrediti. Važna su sva tri jer opisuju kako de se filter odazvati u različitim uvjetima.

Prvi najučinkovitiji način primjene digitalnog filtra je konvoluiranje ulaznog signala s impulsnim odzivom digitalnog filtra.

Ovim načinom mogu se napraviti svi mogudi linearni filtri. Objasnili smo da konvolucija opisuje odnose tri signala: ulaznog signala, izlaznog signala i impulsnog odziva. To je matematička operacija koja svaku vrijednost na izlazu izražava kao sumu vrijednosti ulaza pomnoženu nizom težinskih koeficijenata.

Koristimo li impulsni odziv na opisani način, projektanti filtra nazivaju ga : jezgra ili kernel.

Ozren Bilan 8

Parametri filtera. Svaki linearni filter ima impulsni odziv, odziv na step i frekvencijski odziv. Odziv na step, (b), može se odrediti diskretnom integracijom impulsnog odziva, (a). Frekvencijski odziv može se odrediti iz impulsnog odziva Brzom Furierovom transformacijom (FFT), a može se prikazati na linearnoj skali, (c) ili u decibelima (d). Ozren Bilan 9

Drugi način izrade digitalnih filtra, nazivamo rekurzijski. Ako implementiramo filtre konvolucijom, svaki uzorak izlaznog signala računa se ponderiranjem ulaznih uzoraka i njihovim sumiranjem. Rekurzivni filtri predstavljaju proširenje jer koriste predhodno izračunate vrijednosti izlaznog signala pored vrijednosti ulaznog signala. Umjesto korištenja jezgre filtra, rekurzivni filtri određeni su nizom rekurzijskih koeficijenata, što demo detaljnije opisati. Za sad je najvažnije kako svi linearni filtri posjeduju impulsni odziv, iako ga ne trebamo koristiti kako bi implementirali filter. Za određivanje impulsnog odziva rekurzivnih filtera kroz njih propustimo impuls pa pogledamo oblik signala na izlazu. Impulsni odziv rekurzivnih filtra su sastavljen od sinusoida koje eksponencijalno slabe amplitudu. Zbog toga je njihov izlaz beskonačno dugačak. Međutim, amplituda može oslabiti ispod razine šuma kvantizacije pa preostale uzorke zanemarujemo.

Zbog navedenih karakteristika, rekurzivni filtri se nazivaju filtri beskonačnog impulsnog odziva (IIR).

Filtri izvedeni konvolucijom nazivaju su filtri konačnog impulsnog odziva (FIR).

Impulsni odziv je izlaz sustava ako je na ulazu impuls, a odziv na step je izlaz ako je na ulazu step funkcija.

Bududi da je step integral impulsa, odziv na step je integral impulsnog odziva.

To nam onda omogudava dva načina određivanja odziva na step: (1) propustiti step valni oblik kroz filtar pa pogledati izlaz ili (2) integrirati impulsni odziv. Ozren Bilan 10

Kako bi bili matematički ispravni: integracija se koristi s kontinuiranim signalima, a diskretna integracija, tj., tekuda suma running sum, se koristi s diskretnim signalima. Frekvencijski odziv se određuje DFT (korištenjem FFT algoritma) impulsnog odziva, što demo naknadno pokazati. Frekvencijski odziv može se prikazati s linearnom ordinatom ili na logaritamskoj skali u decibelima. Linearna skala najbolje prikazuje gušenje i valovanje u propusnom području, dok skala u decibelima najbolje pokazuje atenuaciju nepropusnog područja. Bel, po Alexander Graham Bellu, označava deseterostruku promjenu snage. Elektronički sklop s 3 Bela pojačanja dat de izlazni signal koji je 10×10×10=1000 puta vede snage od ulaznog. Decibel (dB) je desetina Bela. Dakle, decibel vrijednosti: -20dB, -10dB, 0dB, 10dB i 20dB, označavaju odnose snaga od: 0.01, 0.1, 1, 10 i 100. Drugim riječima, svakih deset decibela označava da se snaga promjenila deseterostruko. Pri radu koristimo amplitude, a ne snage koje su proporcionalne kvadratu napona. Ako neko pojačalo ima pojačanje 20dB to po definiciji označava da se snaga signala povečala 100 puta. Bududi da je amplituda proporcionalna korijenu snage, amplitude izlaza bit de deseterostruka ulazna amplituda. Dakle, 20dB znači faktor 100 snage ali samo faktor 10 amplitude. Za svakih dvadeset decibela amplituda se promjeni za deset puta.

Ozren Bilan 11

Jednadžbom to označavamo: dB= 10 log (P2/P1) dB= 20 log (A2/A1)

Definicija decibela. Decibel je način izražavanja odnosa dva signala. Odnos

snaga i odnos amplituda koriste različite jednadžbe, jer je snaga proporcionalna

kvadratu napona.

Gornje jednadžbe koriste dekadske logaritme; međutim, mnogi programski jezici omogudavaju samo funkcije prirodnih logaritama po bazi e. Tada modificiramo gornje jednadžbe prema izrazu:

dB =4.342945 loge (P2/P1) dB =8.685890 loge (A2/A1)

Bududi da decibeli predstavljaju način izražavanja odnosa dva signala idealni su za opisivanje pojačanja sustava, tj., odnosa između izlaznog i ulaznog signala. Međutim, decibelima se specificira i amplitude ili snaga jednog signala

korištenjem odnosa prema nekoj normi. Tako izraz: dBV označava amplitudu prema 1 voltu efektivne vrijednosti. Slično tome, dBm pokazuje snagu signala prema 1 mW, a dBu napon signala prema 0,775V. Izražavamo li razinu zvučnog tlaka u decibelima tada je dBspl vrijednost omjera prema pragu osjeta sluha od 2010-6 Pa. Treba zapamtiti: -3dB znači da se amplituda smanjila za 0.707, pa se snaga smanjila na polovinu. Dobro je zapamtiti slijedede odnose između decibela i amplituda:

60dB = 1000 40dB = 100 20dB = 10 0dB = 1 -20dB = 0.1 -40dB = 0.01 -60dB = 0.001

Ozren Bilan 12

11.9.2013.

3

Kako signal prikazuje informaciju ? Najvažniji dio svake DSP zadade je razumijevanje kako je pohranjena informacija u signalu s kojim radimo. Postoje samo dva uobičajena načina kojim predstavljamo informaciju u signalima koji se javljaju u prirodi: • informacija prikazana u vremenskom području i • informacija prikazana u frekvencijskom području. Informacija prikazana u vremenskom području opisuje kada se nešto dogodilo i kolika je amplituda pojave. Zamislimo pokus kojim se analizira svjetlost sunca. Intenzitet svjetlosti se izmjeri i pohrani jednom svake sekendu. Svaki uzorak signala pokazuje što se dogodilo u određenom trenutku kao i razinu pojave. Pri pojavi solarnog toka, signal neposredno omogudava vremensku informaciju o trenutku pojave, trajanju, vremenskoj promjeni, itd. Svaki uzorak sadržava informaciju koja se može interpretirati bez referencijalne vrijednosti prema bilo kojem drugom uzorku. Čak i kada posjedujemo samo jedan uzorak ovog signala, još uvijek znamo nešto o onome što mjerimo. To je najjednostavniji način pohrane informacije u signalu.

Ozren Bilan 13

Za razliku od toga, informacije u frekvencijskom području prikazuju se indirektno. Mnoge pojave svijeta koje nas okružuju imaju periodičnost. npr., kucnemo li noktom čašu ona de zatitrati što de popratiti istitravajudi zvuk; njihalo antiknog sata njiše se lijevi desno; zvijezde i planeti rotiraju oko osi i okredu se jedni oko drugih i tako dalje. Mjerenjem frekvencije, faze i amplitude ovih periodičnih gibanja, najčešde dobvamo informacije o sustavu u gibanju. Pretpostavimo uzorkovanje zvuka kojeg daje čaša. Fundamentalna frekvencija i harmonici periodičkih vibracija povezuju masu i elastičnost materijala. Jedinstveni uzorak, sam po sebi, ne sadržava informacije o periodičnosti gibanja, pa tako ni informacije o čaši. Informacija je pohranjena u odnosima mnogih točaka signala. To nas dovodi do značaja frekvencijskog odziva i odziva na koračnu pobudu. Odziv na step opisuje kako sustav modificira informaciju predstavljenu u vremenskom području. Za razliku od toga, frekvencijski odziv pokazuje kako se mijenja informacija predstavljena u frekvencijskom području. Ta razlika je kritična pri projektiranju filtra jer ih je nemogude optimizirati za obje primjene. Dobre karakteristike u vremenskom području imaju za poslijedicu loše karakteristike u frekvencijskom području i obrnuto. Ako projektiramo filter za eliminiranje šuma iz EKG signala (što je informacija prikazana u vremenskom područje ), odziv na step je vrlo važan parametar, a frekvencijski odziv nije. Ako nam je zadada projektiranje digitalnog filtra aparata za sluh (s informacijom u frekvencijskom području), frekvencijski odziv je vrlo važan, a odziv na step nije.

Upitajmo se: što čini filtre optimalnim za primjene u vremenskom ili frekvencijskom području ?

Ozren Bilan 14

Parametri vremenskog područja Možda odmah nije očito zašto odziv na step ima takav značaj u filtrima vremenskog područja, a impulsni odziv nije tako važan parametar. Odgovor je sadržan u načinu kojim ljudski um poima i obrađuje informacije. Pri tome moramo imati na umu da odziv na step, impulsni odziv i frekvencijski odziv sadrže identične informacije ali na različite načine. Odziv na step je koristan pri analizi u vremenskom području jer je prilagođen načinu kojim ljudi sagledavaju informacije pohranjene u signalu. Pretpostavimo za primjer da vam je zadana analize signala nepoznatog porijekla. Prvo što de te napraviti je da ga podijelite u područja sličnih karakteristika. Jednostavno, to je ono što de vaš um napraviti spontano, automatski bez razmišljanja. Neka područja mogu biti glatka; druga mogu imati vrhove visokih amplituda; treda mogu biti uronjena u šum. Opisanu segmentaciju postižemo identificiranjem točaka koja dijele razna područja. To je upravo način gdje je odlučujudi odziv na step. Step funkcija je najjednostavniji i najočitiji način predstavljanja podjele između dva različita područja. Vrlo lako uočavamo početak i kraj neke pojave. Odziv na step nam pokazuje da je nešto što je nastalo prije (s lijeva) različito od nečega kasnije (s desna). Najopdenitije, kazuje nam da je nešto s lijeva različito od nečega s desna. To je način kojim ljudski um sagledava informacije u vremenskom području: grupe step funkcija dijele informacije u područja sličnih karakteristika. Zbog toga je odziv na step važan jer opisuje kako se linije podijela mijenjaju primjenom filtra.

Ozren Bilan 15

Najvažnije parametre odziva na step pri projektiranju filtra prikazujemo grafički. Kako bi razlikovali događaje unutar signala, trajanje odziva na step mora biti krade nego što je udaljenost događaja. To uvjetuje da odziv na step bude, DSP žargonom, što je mogude brži. Najčešdi način određivanja vremena porasta je specificiranje broja uzoraka između 10% i 90% razine amplitude. Zašto brzo vrijeme porasta nije uvijek mogude? Tome su uzrok mnogi razlozi: redukcija šuma, inherentna ograničenja sustava za akviziciju podataka, spriječavanje aliasa, itd. Idudi važni parametar je prebačaj u odziv na step. Najopdenitije, prebačaj treba u potpunosti eliminirati jer mijenja amplitude uzoraka signala; To je temeljno izobličenje informacija sadržanih u vremenskom području. Najvažnije je znati odgovoriti na pitanje da li je nastali prebačaj posljedica onoga što želimo izmjeriti ili zbog primijenjenog filtra? Konačno, uvijek je poželjno da gornja i donja polovina odziva na step budu simetrične. Simetrija je potrebna kako bi rubovi porasta signala izgledali isto kao rubovi slabljenja. Ovu simetriju nazivamo linearna faza, jer se frekvencijski odziv sastoji od amplitudnog i faznog odziva. Linearni odziv faze predstavljen je ravnom linijom (što smo ved objasnili u prethodnim poglavljima).

Nabrojena tri parametra treba u potpunosti shvatiti jer su ključni za procjenu vremenskog područja filtra

Ozren Bilan 16

Parametri procjene karakteristika u vremenskom području: Odziv na step je mjera ponašanja filtra u vremenskom područje. Važna su tri parametra: • brzina prijelaza

(transition speed - risetime), prikazan na slikama (a) i (b),

• prebačaj, prikazan na

(c) i (d), i

• fazna linearnost (simetrija gornje i donje polovine stepa), pokazuje (e) i (f).

Ozren Bilan 17

Parametri: • Brzina prijelaza

(transition speed - risetime)

• Prebačaj • Fazna linearnost

(simetrija gornje i donje polovine stepa)

prikazani su na primjeru Besselovog, Butterworthovog i Čebiševljevog filtra

Ozren Bilan 18

11.9.2013.

4

Parametri frekvencijskog područja Postoje četiri temeljna frekvencijska odziva. Svrha filtera je dopustiti da neke frekvencije prođu nepromijenjene, a da se istovremeno potpuno blokiraju druge frekvencije. Propusno područje označava propuštene frekvencije, a nepropusno područje sadržava sve blokirane frekvencije. Između njih je prijelazni ili tranzicijski pojas. Brzo odrezivanje (roll-off) označava vrlo uski prijelazni pojas. Podijela između propusnog područja i prijelaznog pojasa nazivamo odrezna frekvencija. Pri projektiranju analognih filtara, odrezna frekvencija se uobičajeno definira prema mjestu na kojem se amplituda smanji za 0.707 (tj., -3dB).

Digitalni filteri nisu normirani !!! Uobičajeno je definiranje odrezne frekvencije pri

99%, 90%, 70.7% i 50% razine amplitude. Ozren Bilan 19

Četiri uobičajena frekvencijska odziva. Filtri frekvencijskog područja koriste se da bi propustili neke frekvencije (propusno područje), a blokirali ostale (nepropusno područje). Najčešda su četiri odziva: niskopropusni, visoki propust, pojasni propust i pojasna brana ili pojasno nepropusni filter – (vrlo uzak naziva se klanac ili notch)

Ozren Bilan 20

Slika pokazuje tri parametra koja pokazuju

karakteristike filtra u frekvencijskom području.

Kako bi odijelili bliske

frekvencije, filter mora imati brzo odrezivanje, što

pokazuju slike (a) i (b). U propusnom području, frekvencije se moraju propuštati kroz filter

potpuno nepromijenjene amplitude, što znači da ne

smije nastajati valovanje u propusnom području, što

prikazuju slike (c) i (d).

Konačno, kako bi se zadovoljavajude blokirale

frekvencije u nepropusnom području, nužno je postidi

dobru atenuaciju nepropusnog područja, što

pokazuju slike (e) i (f). Ozren Bilan 21

Među opisanim parametrima ne spominje se faza? Prvo, faza nema značaj u najvedem broju primjena u frekvencijskom području. Faza audio signala je u potpunosti slučajna i sadržava vrlo malo korisnih informacija. Drugo, kada bi faza bila važna, bilo bi vrlo lako projektirati digitalne filtre s idealnim faznim odzivom, tj., sve frekvencije bi se propuštale kroz filter s nultim pomakom faze. Analogni filtri pokazuju u tom području vrlo loše karakteristike. U prethodnim poglavljima opisali smo kako DFT pretvara impulsni odziv sustava u frekvencijski odziv. Kratko demo ponoviti kako je najbrži način proračuna DFT preko FFT algoritma. Počinje se kernelom filtra dužine N uzoraka, FFT proračunava frekvencijski spektar koji se sastoji od realnog dijela od N točaka i imaginarnog dijela od N točaka. Pri tome samo uzorci od 0 do N/2 realnog i imaginarnog dijela FFT sadržavaju korisne informacije; sve preostale točke su negativne frekvencije i mogu se zanemariti. Bududi da su realni i imaginarni dio ljudima teško shvatljivi, najčešde se pretvaraju u polarni oblik. Tako dobivamo magnitudu i fazu signala, od uzorak 0 do uzoraka N/2 (tj., N/2+1 uzoraka u svakom signalu). Npr., impuls odziv od 256 točaka dat de frekvencijski odziv od točke 0 do 128. Uzorak 0 predstavlja istosmjernu komponentu; tj., nultu frekvenciju. Uzorak 128 predstavlja polovinu frekvencije uzorkovanja. Treba zapamtiti kako se u uzorkovanim podacima ne mogu pojaviti frekvencije više od polovine frekvencije uzorkovanja.

Ozren Bilan 22

Broj uzoraka koji se koristi za prikaz impulsnog odziva može biti po volji velik. Npr., pretpostavimo da želite odrediti frekvencijski odziv kernela filtra koji se sastoji od 80 točaka. Bududi da FFT funkcionira samo sa signalima koji su potencija broja dva, potrebno je dodati 48 nula signalu kako bi imao 128 uzoraka. Ovo dopunjavanje s nulama nede promijeniti impulsni odziv. Kako bi shvatili zašto je to tako, prisjetimo se što de se dogoditi s dodanim nulama ako ulazni signal konvoluiramo s impulsnim odzivom sustava. Dodane nule jednostavno de nestati pri konvoluciji pa nede djelovati na izlazni signal. Očito je da impulsnom odzivu možemo dodati po volji mnogo nula kako bi ga napravili dugačkim 256, 512, ili 1024 točaka. Pri tome je važno uočiti kako duži impulsni odzivi rezultiraju manjom udaljenošdu podatkovnih točaka u frekvencijskom odzivu. Dakle, postoji više uzoraka između nule i polovine frekvencije uzorkovanja. Ako impulsni odziv napunimo s beskonačnim brojem nula, točke podataka u frekvencijskom odzivu bit de infinitezimalno bliske, tj., dobivamo ustaljenu (kontinuiranu) liniju, pa tako u MATLAB-u generiramo pseudoanalogne signale

Drugim riječima, frekvencijski odziv filtera bit de ustaljen (kontinuiran) signal između nule i polovine frekvencije uzorkovanja. Izlaz DFT je uzorkovanje ove kontinuirane linije. Pitanje je onda koju dužinu impulsnog odziva treba koristiti pri proračunu frekvencijskog odziva filtra? Prvo pokušamo s N=1024, ali možemo ga i promijeniti ako je to potrebno (npr. ako je nedovoljna rezolucija ili predugo vrijeme proračuna Ozren Bilan 23

Klasifikacija filtera

Uporaba digitalnih filtra dijeli se u tri kategorije: vremensko područje, frekvencijsko područje i posebni slučajevi. Kako smo pokazali, filtri vremenskog područja koriste se sa signalima kojima je informacija kodirana u valnom obliku. Filtriranje u vremenskom području koristi se za glađenje, eliminiranje istosmjerne komponente, oblikovanje signala, itd. Za razliku od njih, filtri frekvencijskog područja koriste se ako je informacija kodirana u amplitudi, frekvenciji i fazi sinusoidalnih komponenti. Cilj tih filtara je odvajanje jednog pojasa frekvencija od drugog. Posebni filtri se koriste ako filtar treba izvesti posebnu akciju, koja je mnogo složenija od temeljnih odziva filtra.

Digitalni filtri implementiraju se na

dva načina, konvolucijom (što nazivamo konačni

impulsni odziv ili FIR) i rekurzijski (beskonačni

impulsni odziv ili IIR). Filtri koji se izvode

konvolucijom imaju bolje karakteristike od

rekurzijskih, ali se izvode mnogo duže.

Ozren Bilan 24

Čebiševljev, Butterworth,

Eliptički,…

*Napomena: Poglavlja se odnose na staru skriptu

11.9.2013.

5

Signali koje susredemo u praksi mogu biti digitalni ili analogni. Analogni signali su kontinuirani u vremenu i amplitudi, te su za obradu takvog signala potrebni aktivni i pasivni elementi. Pristup takve obrade signala imamo npr. kod televizijske i radijske obrade, koja se naziva analogna obrada signala (ASP). Analogni signal mogude je obraditi i digitalnim sklopom, multiplekserima, logičkim elementima ili programskim procesorima ali je potrebno prilagoditi analogni signal digitalnom sklopu. Takav sustav uzima vrijednost analognog signala u određenim trenucima (vremenskim odsječcima) i prikazuje ih u binarnom brojevnom sustavu. Proces obrade takve vrste signala nazvan je digitalna obrada signala

(DSP).

25 Ozren Bilan

Matematička analiza filtera Mogude je obraditi signal analogno i digitalno. Digitalna obrada signala je na prvi pogled dosta složenija od analogne ali ima mnoge prednosti: • sustav razvijen na digitalnoj obradi mogude je razvijati i testirati za

vrijeme rada u samome sustavu i programski je prenosiv, • signal obrađen na ovakav način stabilniji je od vanjskih utjecaja (npr.

temperature), • omogudava promjene u stvarnom (realnom) vremenu,

jednostavnim programskim promjenama pojedinih parametara unutar programa,

• korištenjem digitalne obrade (DSP) snižava se cijena proizvoda.

Bitne kategorije vezane za digitalnu obradu signala su analiza i filtriranje signala.

26 Ozren Bilan

Analiza signala ima zadadu mjerenja svojstva signala i odvija se u frekvencijskom području. Neke aplikacije su: • frekvencijska ili fazna analiza spektra, • prepoznavanje govora, • analiza govora, • pronalaženje izvora.

Filtriranje signala karakteristično je po odnosu signal ulaza-izlaza. Takav sustav naziva se filter i on je obično u vremenskom području. Neke aplikacije su: • uklanjanje neželjenog šuma, • uklanjanje smetnji, • odvajanje frekvencija, • ograničavanje spektra.

27 Ozren Bilan

Analogni filter

Električni filter je elektronički sklop čija je funkcija da na određeni način promjeni karakteristiku frekvencijskog spektra ulaznog signala. Cilj je umanjiti neželjena svojstva ulaznih veličina i zadržati ili istaknuti željena svojstva. Postoje pasivni filteri koji su sastavljeni samo od pasivnih komponenata (zavojnica, kondenzatora, otpornika) i aktivni filteri koji pored pasivnih sadrže jednu ili više aktivnih komponenata sa svojstvom pojačanja signala (tranzistori, operacijska i druga pojačala). Aktivni filter može biti analogni ili digitalni. Analogni filter obrađuje analogni signal i može se predstaviti linearnim četveropolom. Digitalni filter obrađuje diskretni signal i realizira se pomodu posebnih integriranih krugova ili kao algoritam kojega izvodi procesor digitalnog signala.

28 Ozren Bilan

Njihovom primjenom ulazni digitalni niz se transformira u izlazni tako da sadržava određene željene karakteristike ulaznog signala, a potiskuje i slabi neželjene karakteristike. Primjena digitalnih filtera u odnosu na primjenu analognih filtera ima prednosti koje se uglavnom pripisuju digitalnim sustavima: • karakteristike se mogu programirati, • tolerancije komponenata nisu kritične, • utjecaj okoline i starenja nije značajan, • postiže se visoka pouzdanost i točnost u radu. Osnovni nedostaci digitalnih filtera javljaju se pri nižim brzinama rada i postojanju šuma ali sa razvojem tehnologije ti su nedostaci u značajnom stupnju otklonjeni.

29 Ozren Bilan

Prijenosna funkcija analognog filtera Električki filter je sustav, pa ga je u tom smislu mogude definirati kao skup specifikacija kojima su određeni odnosi između njegovih ulaza i izlaza. Linearnom i vremenski nepromjenjivom sustavu odnos između ulaza i izlaza sustava definiran je konvolucijskim integralom: gdje su : h (t) impulsni odziv sustava, x (t) ulaz, poticaj ili pobuda, y (t) izlaz ili odziv sustava. Sa matematičkog gledišta sustav je mogude shvatiti kao operator koji djeluje na ulaznu veličinu, što se može opisati izrazom:

,)()()(0

dxthty

)()( txFty 30 Ozren Bilan

11.9.2013.

6

Laplace-ovom transformacijom konvolucijskog integrala dobiva se odnos ulaznog i izlaznog signala u frekvencijskoj domeni: gdje je H(s) prijenosna funkcija filtera. Prijenosna funkcija H(s) definirana je kao omjer Laplace-ovih transformacija izlaznog i ulaznog signala, a dana je izrazom: Opdi oblik električkog filtera, koji se razmatra, je električna mreža sastavljena od konačnog broja elemenata koji su: • koncentrirani, • linearni, • vremenski nepromjenjivi. Za takve sustave ulazno-izlazne odnose mogude je definirati diferencijalnom jednadžbom N-tog reda: gdje su bi ( i = 0,N) i aj (j = 0,M) realni koeficijenti.

,)()()( sXsHsY

.)(

)()(

sX

sYsH

,....

....

011

1

1

011

1

1

xadt

dxa

dt

xda

dt

xda

ybdt

dyb

dt

ydb

dt

ydb

M

M

MM

M

M

N

N

NN

N

N

31 Ozren Bilan

Laplace-ovom transformacijom ovoga izraza i izdvajanjem X(s) i Y(s) mogude je prijenosnu funkciju H(s) izraziti kao:

Funkcija H(s) je realna racionalna funkcija kompleksne frekvencije s, koju je mogude prikazati u obliku omjera dvaju polinoma s realnim koeficijentima:

Tu funkciju H(s) je mogude prikazati i u slijededem obliku:

Pošto je kompleksna varijabla s = σ +j Ω , proizlazi da je i funkcija H(s) kompleksna veličina za neki proizvoljni broj σ. U uvjetima stacionarnog stanja sinusne pobude, varijabla s postaje jednaka jΩ, pa i prijenosna funkcija H(s) postaje H(jΩ) koja se naziva kompleksnom frekvencijskom karakteristikom filtera. Osnovna funkcija električnih filtera sadržana je upravo u obliku frekvencijske karakteristike H(j Ω).

....

...

)(

)()(

0

0

01

1

1

01

1

1

N

j

j

j

M

i

i

i

N

N

N

N

M

M

M

M

sb

sa

bsbsbsb

asasasa

sX

sYsH

.)(

)()(

sQ

sPsH

,

...

...)(

1

1

121

121

N

j

pj

M

i

oi

pppNpN

oooMoM

ss

ss

kssssssss

ssssssssksH

,

2

2

)(

1 12

22

1 12

22

t

j

N

tj

pjpjpj

r

i

M

ri

oioioi

sss

sss

ksH

.)(

1 12

22

1 12

22

t

j

N

tj

pjpj

pj

pj

r

i

M

ri

oioi

oi

oi

ssq

s

ssq

s

ksH

. jejHjH

32 Ozren Bilan

Frekvencijska karakteristika analognog filtera

Promjene koje električni filter treba unijeti u spektar ulaznog signala najčešde se svode na prigušenje ili eliminaciju određenih nepoželjnih frekvencijskih komponenti tog signala. Za zadani ulazni signal x(t) s pripadajudim frekvencijskim spektrom X(j Ω),

spektar izlaznog signala određen je izrazom kao umnožak spektra signala i prijenosne funkcije.

Za module i faze vrijede slijededi izrazi:

, xjejXjX

, jXjHejYjY yj

.

,)()()(

XY

jXjHjY

33 Ozren Bilan

Modul prijenosne funkcije električnog filtera često se izražava u logaritamskom mjerilu:

Funkcija aN(Ω) naziva se logaritamskom mjerom pojačanja filtera i izražava u Neperima *N+. Ako se modul logaritmira po dekadskoj bazi dobiva se logaritamska mjera pojačanja izražena u decibelima [dB].

Pored fazno frekvencijske karakteristike Φ(Ω), često se koristi i karakteristika vremena grupnog kašnjenja Tg(Ω) definirana kao:

.lnln jjjHjH N

.686.8log20 NjH

.

d

dTg

34 Ozren Bilan

Primjer analognog filtera

Prijenosna funkcija H(s)=U2(s)/U1(s) mreže je: gdje su : Uvrstimo R=1 kΩ, C1=C2=1 nF i L=0.5 mH, pa je: Polovi prijenosne funkcije H(s) su: Nule prijenosne funkcije H(s) su: Uvrštenjem s = jΩ u prijenosnu funkciju H(s) dobiva se kompleksna frekvencijska karakteristika filtera H(jΩ):

L

U 1 U

2 R

C 1

C 2

,)(22

22

p

p

p

o

sq

s

sksH

,21

1

CC

Ck

,

1

1LCo

i

CCLp

21

1

.21

L

CCRqp

.10105.0

102

2

1)(

1262

122

ss

ssH

.104

1510

4

1 66

2,1 jsp

.102 6

2,1 jso

.)(22

22

p

p

p

o

qj

kjH

35 Ozren Bilan

Amplitudno frekvencijska i fazna karakteristika

Amplitudno frekvencijska karakteristika je modul izraza i prikazana na slici Fazno frekvencijska karakteristika filtera dana je slijededim izrazom a prikazana je na slici: Nule na imaginarnoj osi uzrokuju skok u faznoj karakteristici na frekvenciji Ω = Ωo, što ima za posljedicu promjenu predznaka funkcije H(j Ω) na toj frekvenciji.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

105 10

6 10

7

|H(j Ω )|

Ω

-160

-120

-80

-40

0

4

0

105 10

6 10

7

Ф(Ω) [ ] o

Ω

22

2

0

P

P

P

qarctgS

.)(

2

222

22

p

p

p

o

q

kjH

36 Ozren Bilan

11.9.2013.

7

Karakteristika vremena grupnog kašnjenja

Karakteristika vremena grupnog kašnjenja Tg(Ω), dobiva se derivacijom izraza za fazu po frekvenciji Ω: Dirakov δ-impuls u točki Ω = Ωo, ima za posljedicu skok u fazi, odnosno postojanje nula prijenosne funkcije na imaginarnoj osi.

T ( Ω) [ μs] g

0

2

3

4

105

106 107

Ω

1

222

22

0

/

/

PPP

PPP

g

q

qT

37 Ozren Bilan

Tipovi analognih filtera

Analogne filtere je mogude s obzirom na oblik frekvencijske karakteristike podijeliti u dvije skupine:

• selektivni filteri,

• korektori.

38 Ozren Bilan

Selektivni filteri

Kod selektivnih filtera oblik |H(jΩ)| je takav da omoguduje jasnu razliku frekvencijskih područja u kojima je ulazni signal prigušen od onih u kojima je on propušten. Područje propuštanja filtera: • predstavlja pojas frekvencija u kojima amplitudno frekvencijska

karakteristika ima vrijednost približno jednaku jedinici, • komponente pobudnog signala čije su frekvencije unutar tog pojasa

pojavljuju se na izlazu filtera s približno istom amplitudom kao i na ulazu. Područje gušenja filtera: • predstavlja pojas frekvencija u kojima amplitudno frekvencijska

karakteristika ima vrijednost približno jednaku nuli, • frekvencijske komponente ulaznog signala koje se nalaze unutar tog pojasa

nisu propuštene na izlaz. Prijelazno područje filtera: • predstavlja područje frekvencija na prijelazu između područja propuštanja i

područja gušenja, • područje je kontinuirano jer amplitudno frekvencijska karakteristika |H(j Ω)|

je funkcija bez diskontinuiteta. S obzirom na položaj svakog od spomenutih područja na frekvencijskoj osi mogude je razlikovati četiri osnovna tipa selektivnih filtera: 39 Ozren Bilan

1. niskopropusni (NP) filter

• područje propuštanja za 0 < Ω < Ω 1 ,

• područje gušenja za Ω 2 < Ω < ∞ ,

• vrijedi da je Ω1 < Ω2.

2. visokopropusni (VP) filter

• područje propuštanja za Ω2 < Ω < ∞,

• područje gušenja za 0 < Ω < Ω1,

• vrijedi da je Ω1 < Ω2.

3. pojasno propusni (PP) filter

• područje propuštanja za Ω2 < Ω < Ω3,

• područja gušenja za 0 < Ω < Ω1 i Ω4 < Ω < ∞,

• vrijedi da je Ω1 < Ω2 < Ω3 < Ω4.

4. pojasna brana (PB)

• područje propuštanja za 0 < Ω < Ω1 i Ω4 < Ω < ∞,

• područja gušenja za Ω2 < Ω < Ω3,

• vrijedi da je Ω1 < Ω2 < Ω3 < Ω4.

3

3

2

2

j

0 1

1

4

4

1

3

3

2

2

j

0 1

1

4

4

1

2

2

1

1

j

0

1

2 1

j

0

1

40 Ozren Bilan

Filterski korektori

Filterski korektori za razliku od selektivnih filtera nemaju jasno definirana područja propuštanja, odnosno područja gušenja. Oni služe za korekciju frekvencijske karakteristike nekog drugog sustava. S obzirom na činjenicu korigiraju li amplitudno-frekvencijsku ili fazno-frekvencijsku karakteristiku sustava dijele se na: • amplitudne korektore i • fazne korektore.

Od faznih korektora najčešde se koriste svepropusni filteri: • amplitudno-frekvencijska karakteristika im je ravna na cijelom

frekvencijskom području, • sve su frekvencijske komponente signala prenesene bez prigušenja

ali su fazno pomaknute prema definiranim filterskim specifikacijama.

0

1

j

41 Ozren Bilan

Analogni filteri u Matlabu

Mogu se projektirati slijededi tipovi filtera Projektirat demo pojasno propusni (BP) Chebyshev tip I filter 10.og reda, s 3 dB valovanja u propusnom pojasu:

[z,p,k] = cheb1ap(5,3); z, p, i k sadrže polove, nule i pojačanje niskopropusnog analognog filtera s odreznom frekvencijom Wc 1 rad/s. Koristimo lp2bp funkciju za transformaciju LP prototipa u pojasno propusni filter s pojasnim rubovima W1 = p/5 i W2 = p.

42 Ozren Bilan

11.9.2013.

8

[z,p,k] = cheb1ap(5,3); [A,B,C,D] = zp2ss(z,p,k); % konvertira u state–space oblik prostora stanja u1 = 0.1*2*pi; u2 = 0.5*2*pi; % u radijanima u sekundi Bw = u2-u1; Wo = sqrt(u1*u2); [At,Bt,Ct,Dt] = lp2bp(A,B,C,D,Wo,Bw);

[b,a] = ss2tf(At,Bt,Ct,Dt); % konverzija u TF oblik w = linspace(.01,1,500)*2*pi; % generira frekvencijski vektor h = freqs(b,a,w); % računa frekvencijski odziv semilogy(w/2/pi,abs(h)), grid % crta log. magnitudu u ovisnosti f.

43 Ozren Bilan

Digitalni filter Digitalni filter je linearan vremenski nepromjenjiv sustav konstruiran

za propuštanje pojedinih frekvencija. Idealni filter propušta komponente signala određenih frekvencija bez prigušivanja a komponente na ostalim frekvencijama idealno prigušuje. Prema tome frekvencijska karakteristika ima vrijednost jednaku jedan ili nula. Područje frekvencija u kojima frekvencijska karakteristika ima vrijednost jedan naziva se propusni pojas ωp a područje frekvencija gdje je frekvencijska karakteristika jednaka nuli je pojas gušenja ωs.

Osnovni tipovi digitalnih filtera su niskopropusni visokopropusni pojasno propusni pojasno blokirni 44 Ozren Bilan

Ozren Bilan 45

Propusni pojas dan je izrazom:

Pojas gušenja digitalnog filtera:

Često se prijenosna karakteristika filtera zadaje u logaritamskom mjerilu:

tada je: valovitost u propusnom pojasu:

minimalno gušenje u pojasu gušenja:

Granične frekvencije područja propuštanja i područja gušenja računaju se na slijededi način

gdje je fT frekvencija uzorkovanja, a fp i fs su granične frekvencije pojasa propuštanja i pojasa gušenja u Hz.

Maksimalna vrijednost amplitudne karakteristike je jedan. Maksimalna devijacija u propusnom pojasu je:

maksimalno gušenje u propusnom pojasu iznosi

Maksimum amplitudne karakteristike u pojasu gušenja je 1/A.

PP

j

P zaeH 11

SS

j zaeH

jeHH 10log20

dBPP 1log20 10

dBSS 10log20

T

PP

f

f

2

T

SS

f

f

2

21/1

dB2

10max 1log20

46 Ozren Bilan

Podjela digitalnih filtera Za razliku od analognih filtera gdje je karakteristika dana ovisnošdu napona i struje kod digitalnih filtera karakteristika je dana ovisnošdu između ulaza i izlaza. Ulazni niz x(n) i izlazni niz y(n) digitalnog filtera povezani su jednadžbom diferencija sa konstantnim koeficijentima. Jednadžba u opdem obliku: Nizovi aK i bK karakteriziraju dani filter i nazivaju se koeficijentima filtera. U daljem razmatranju bez značajnog utjecaja izjednačit demo M i N, te za daljnju analizu potrebno je definirati početne uvjete i odrediti y(n) za n≥0. Ako su poznati koeficijenti filtera aK i bK, ulazni niz x(n) za n≥-N, početni uvjeti y(-1), Y(-2),…, y(-N), korištenjem relacije može se odrediti vrijednost y(n) za bilo koje n≥0.

N

k

k

M

k

k knybknxany10

x2(n)

x1(n)+x2(n)

x2(n)

x1(n)

x1(n)+x2(n)

x1(n) x(n) ax(n)

a

x(n) ax(n) a

x(n-1)

x(n)

z - 1

x(n-1)

x(n) z - 1

a) sumiranje b) množenje c) kašnjenje

Analizirajudi jednadžbu vidimo da je za realizaciju digitalnih filtera potrebno izvršiti operacije sumiranja, množenja i kašnjenja (prikazan je način njihovog označavanja): 47 Ozren Bilan

Primijenimo z-transformaciju na lijevu i desnu stranu relacije: Dobivamo prijenosnu funkciju H(z):

Prijenosnu funkciju H(z) često nazivamo i funkcijom sustava. To je racionalna funkcija od z čiji su koeficijenti ak i bk identični koeficijentima jednadžbe diferencija. Digitalne filtere dijelimo u dvije grupe: • rekurzivne IIR-filtere, • nerekurzivne FIR-filtere.

,10

10

10

M

k

k

k

M

k

k

k

M

n

n

n

k

M

n

n

n

k

n

n

M

k

k

n

n

M

k

k

zbzyzazx

zknybzknxa

zknybzknxazY

.

10

0

M

k

k

k

M

k

k

k

zb

za

zX

zYzH

48 Ozren Bilan

11.9.2013.

9

Diferencijalna jednadžba za bk =0, k=1,…,N svodi se na: a prijenosna funkcija na: Iz relacije slijedi da izlazni uzorak ovisi od ulaznoga signala koji su prethodili promatranom trenutku a ne ovisi od uzorka izlaznoga signala. Takvi filteri nazivaju se nerekurzivni digitalni filteri. Ako je x(n) = δ(n), tada je y(n) = h(n), a kako je zδ(n) = 1, tada je: Očigledno na osnovi relacije ovakvi filteri imaju konačan impulsni odziv dužine M. Zbog toga se ovi filteri nazivaju i digitalnim filterima konačnog impulsnog odziva, FIR. Rekurzivni filteri su definirani diferencijalnom jednadžbom i prijenosnom funkcijom. Izlazni uzorak ovisi i od prethodnih ulaznih i od prethodnih izlaznih uzoraka. Odziv na niz δ(n) ima beskonačno trajanje, pa se ovi filteri nazivaju i digitalni filteri beskonačnog impulsnog odziva, IIR.

.0

M

n

nznhzHnhZ

.0

M

k

k

k zazH

,0

M

k

k knxany

49 Ozren Bilan

Stabilnost digitalnih filtera Digitalni filter je stabilan ako njegov impulsni odziv zadovoljava slijededi uvjet: Ako razmotrimo uvjete stabilnosti u z-domeni, brojnik i nazivnik prijenosne funkcije zadane relacijom su polinomi kompleksne promjenjive z-1 ravnine sa realnim koeficijentima, pa se prijenosna funkcija može napisati: gdje su zi i pi, za i = 1,…,M, nule odnosno polovi H(z), dok je a realna konstanta. Rastavljanjem desne strane na parcijalne razlomke dobivamo slijededi izraz: gdje su ai ostaci u polovima pi, za i = 1,…,M i određuju se relacijom:

.

k

khE

,

1

1

111

111

1

1

1

1

11

2

1

1

11

2

1

1

M

k

k

M

i

i

M

M

zp

zza

zzzpzp

zzzzzzazH

K

K

,111 11

2

2

1

1

1

zp

a

zp

a

zp

aazH

M

M

.lim),(Re zXazazXsaz

50 Ozren Bilan

Primjenom inverzne z-transformacije nad relacijom dobivamo:

Potreban i dovoljan uvjet da impulsni odziv zadovoljava uvjet stabilnosti slijedi iz relacije:

Iz ove relacije proizlazi da se svi polovi H(z) trebaju nalaziti unutar jediničnog kruga u z-domeni. Kako prijenosna funkcija nerekurzivnih digitalnih filtera, relacije nema konačnih polova zbog toga je ovaj tip filtera uvijek stabilan. Provjera stabilnosti rekurzivnih digitalnih filtera svodi se na neposredno određivanje položaja polova u z-domeni. Ova metoda je jednostavna jer postoje efikasne numeričke metode za pronalaženje korijena polinoma.

....2211 nanupapapanh n

MM

nn

.1ip

51 Ozren Bilan

Strukture rekurzivnih digitalnih filtera Direktna struktura rekurzivnog digitalnog filtera dobivena direktno iz jednadžbe diferencija prikazana je na slici. Za realizaciju je potrebno 2M jediničnih kašnjenja, 2M množača i jedan sumator sa 2M ulaza jer se koriste posebni množači i elementi kašnjenja za brojnik i nazivnik prijenosne funkcije. Ta struktura ima više teoretski nego praktični značaj jer je jako osjetljiva i na male promjene vrijednosti koeficjenata. Direktna struktura I kreirana je tako da je svaka racionalna funkcija od H(z) kaskadno odvojena sa vezom između njih (brojnik je u jednome smjeru, a nazivnik u drugome). Pošto postoje dvije kaskade i veza između njih ova struktura se može reducirati eliminiranjem veze te dobivamo direktnu strukturu II. S ulazno-izlazne točke ove dvije strukture su jednake ali je unutarnja struktura različita kao i unutarnji signali.

x(n) y(n)

z -1

z -1

z -1

a0

a1

a2

aM -bM

-b2

-b1 z -1

z -1

z -1

52 Ozren Bilan

Direktna struktura II Direktna struktura I kreirana je tako da je svaka racionalan funkcija od H(z) kaskadno odvojena sa vezom između njih (brojnik je u jednome smjeru, a nazivnik u drugome). Pošto postoje dvije kaskade i veza između njih ova struktura se može reducirati eliminiranjem veze te dobivamo direktnu strukturu II. Gledano sa ulazno-izlazne točke ove dvije strukture su jednake ali je unutarnja struktura različita kao i unutarnji signali. Postoje i druge direktne strukture kod kojih je mogude smanjiti broj memorijskih elemenata ali tada prijenosnu funkciju H(z) treba razložiti na faktore manjeg stupnja: • Kanonična struktura • Transponirana kanonična struktura • Kaskadna struktura • Paralelna struktura

53 Ozren Bilan

b0

-a4

-a3

-a2

-a1

x(n) y(n)

z -1

z -1

z -1

z -1 b1

b2

b3

b4

Direktna struktura II za M=4

Implementacija linearnih digitalnih filtera u Matlabu

realizira se naredbom filter. Funkcija filter filtrira realnu ili kompleksnu ulaznu sekvencu digitalnim filterom. Filter predstavlja direktni oblik II transponirane implementacije standardne jednadžbe diferencija.

Format je:

y = filter( b, a, x);

gdje su:

b = [b0, b1, b2, ... bM ];

a = [ 1, a1, a2, a3, ... aN ];

Za proračun prvih P+1 uzoraka impulsnog odziva filtera koristi se naredba:

y = filter( b, a, [1 zeros(1,P)]);

Odziv na step računa se naredbom:

y = filter( b, a, [ones(1,P)]);

Ozren Bilan 54

11.9.2013.

10

Strukture nerekurzivnih digitalnih filtera Kod nerekurzivnih digitalnih filtera najčešde se koristi direktna struktura u obliku takozvanog transverzalnog filtera

Izraz za izlazni signal y(n) vidljiv je sa slike :

Primjenom z-transformacije na lijevu i desnu stranu izraza dobivamo prijenosnu funkciju sustava:

Relacija identična je relaciji što znači da promatrana struktura realizira nerekurzivni digitalni filter. Nerekurzivni digitalni filter može se realizirati i u kaskadnom obliku

ili se H(z) može rastaviti na polinome prvoga i drugoga reda:

gdje je:

.110 Mnxanxanxany M

.1 2

2

1

1

M

M zazazazH

,21 zHzHzHi

i

i

i

,1

101

zaazH iii

.2

2

1

102

zazaazH iiii

.0

M

k

k

k zazH

55 Ozren Bilan

Sinteza digitalnih filtera

Kao i kod analognih filtera projektiranje digitalnih filtera sastoji se iz postupka aproksimacije željene frekvencijske karakteristike i postupka sinteze. Aproksimacija se sastoji iz postupka kojim se željena karakteristika zamjenjuje onom koja još uvijek zadovoljava postavljene uvjete a može se relativno lako realizirati. Na primjer, pri projektiranju niskofrekventnog filtera idealna pravokutna amplitudna karakteristika, koja se ne može realizirati, aproksimira se onom koja se najjednostavnije može realizirati. Kod digitalnih filtera kada se odrede polovi i nule realizacija para kompleksnih nula i polova lako se izvodi, za razliku od analognih filtera, spajajudi kaskadno ili paralelno odgovarajude rezonantne krugove.

56 Ozren Bilan

Sinteza nerekurzivnih digitalnih filtera

Nerekurzivni digitalni filteri (FIR), odnosno filteri s konačnim impulsnim odzivom, imaju linearnu fazu. Simetrija impulsnog odziva je nužan preduvjet za linearnu fazu. Vrijedi slijededi teorem: ako impulsni odziv nerekurzivnog digitalnog filtera zadovoljava relaciju za n = 0,1,…M/2-1 ako je M parno, i za n=0,1,…,(M-1)/2 ako je M neparno, tada nerekurzivni digitalni filter ima linearnu karakteristiku

,1 nMhnh

57 Ozren Bilan

Ovisno o tipu simetrije impulsnog odziva definiramo 4 tipa nerekurzivnih digitalnih filtera:

Nerekurzivni digitalni filter tipa I prikazan je na slici • simetričan impulsni odziv, • neparan broj uzoraka impulsnog odziva. Nerekurzivni digitalni filter tipa II prikazan je na slici • simetričan impulsni odziv, • paran broj uzoraka impulsnog odziva. Nerekurzivni digitalni filter tipa III prikazan je na slici • asimetričan impulsni odziv, • neparan broj uzoraka impulsnog odziva. Nerekurzivni digitalni filter tipa IV prikazan je na slici • asimetričan impulsni odziv • paran broj uzoraka impulsnog odziva.

58 Ozren Bilan

Filtri pomične srednje vrijednosti Moving average

Filter pomične srednje vrijednosti (moving average) je najčešdi filtar u DSP. Razlog tome je što je on najlakši digitalni filter za shvadanje i primjenu.

Pored svoje jednostavnosti filtar pomične srednje vrijednosti optimalan je za opdu namjenu: reduciranje slučajnog šuma uz istovremeno zadržavanje oštrog odziva na step.

To ga čini prvim izborom za signale kodirane u vremenskom području. Međutim, filtar pomične srednje vrijednosti je i prvi izbor za signale kodirane u frekvencijskom području, ali uz malu sposobnost odvajanja frekvencijskih pojaseva.

Možemo ga implementirati konvolucijom i rekurzijom.

Primjena konvolucijom Kao što im ime govori, filter pomične srednje vrijednosti funkcionira usrednjavanjem točaka ulaznog signala kako bi proizveo svaku točku izlaznog signala. U obliku jednadžbe to pišemo:

Gdje je x[ ] ulazni signal, y[ ] izlazni signal, a M broj usrednjenih točaka.

Tako je filtru pomične srednje vrijednosti u 5 točaka, točka 80 u izlaznom signalu određena je izrazom:

Alternativno, mogude je odabrati simetrično oko izlazne točke grupu točaka ulaznog signala:

Ozren Bilan 60

11.9.2013.

11

To odgovara promjeni sume u jednadžbi od: j=0 do M-1, do: j=-(M-1)/2 do (M-1)/2. Filtru pomične srednje vrijednosti u 10 točka, indeks, j, je od 0 do 11 (jednostrano usrednjavanje) ili -5 to 5 (simetrično usrednjavanje). Simetrično usrednjavanje zahtijeva da M bude neparan broj. Programiranje je nešto lakše s točkama na samo jednoj strani; međutim, tako dolazi do relativne translacije između ulaznog i izlaznog signala.

Potrebno je prepoznati da je filter pomične srednje vrijednosti (moving average) konvolucija koja koristi vrlo jednostavnu jezgru filtra. Filter s 5 točaka ima jezgru: 0, 0, 1/5, 1/5, 1/5, 1/5, 1/5, 0, 0 . .

Filter pomične srednje vrijednosti je konvolucija ulaznog signala s kvadratnim impulsom jedinične površine.

Ozren Bilan 61

Redukcija šuma i odziv na step Filter pomične srednje vrijednosti je krajnje jednostavan pa je zbog toga prvi izbor pri rješavanju problema. Čak i ako se problem u potpunosti riješi oni koji ga primjenjuju još uvijek misle da se moglo nešto bolje napraviti. Situacija je ironična. Ne samo da je filtar pomične srednje vrijednosti vrlo dobar za mnoge primjene, optimalan je za opdi problem, redukcije slučajnog bijelog šum uz zadržavanje najoštrijeg odziva na step. Pokazat demo princip rada.

Ozren Bilan 62

Signal na slici (a) predstavlja impuls. Na slici (b) uronjen je u slučajan šum. Na slikama (c) i (d), prikazano je glađenje signala filtrom pomične srednje vrijednosti s 11 i 501 točaka. Kako broj točaka filtra postaje vedi, šum se snižava (jer je slučajan); međutim, rubovi gube oštrinu.

Filtar snižava amplitude slučajnog šuma (što je dobro) ali istovremeno smanjuje oštrinu bridova (što je loše).

Od svih mogudih linearnih filtara koje možemo primijeniti, filter pomične srednje vrijednosti (moving average) rezultira najnižim šumom za zadanu oštrinu rubova. Iznos redukcije šuma jednak je kvadratnom korijenu broja točaka u prosjeku.

Tako filtar pomične srednje vrijednosti u 100 točka smanjuje šum za faktor 10.

Ozren Bilan 63

Frekvencijski odziv Slika pokazuje frekvencijski odziv filtra pomične srednje vrijednosti. Matematički ga opisujemo Fourierovom transformacijom kvadratnog impulsa, kako smo pokazali:

Gušenje mu je vrlo sporo, a atenuacija nepropusnog područja vrlo loša. Potpuno je jasno da filter pomične srednje vrijednosti ne može odvajati frekvencijske pojaseve. Zapamtimo, dobre karakteristike u vremenskom području daju loše karakteristike u frekvencijskom području i obrnuto. Najkrade, filter pomične srednje vrijednosti je izuzetno dobar za glađenje (djelovanje u vremenskom području) ali je izuzetno loš nisko propusni filter (djelovanje u frekvencijskom području ).

Frekvencijski odziv filtra M točaka pomične

srednje vrijednosti. Frekvencija, f, između 0

i 0.5. za f=0. H[f]=1

Ozren Bilan 64

Filter pomične srednje vrijednosti i njegovi srodnici su podjednaki pri reduciranju slučajnog šuma uz zadržavanje oštrog odziva na step. Razlika leži u načinu kojim se mjeri vrijeme porasta odziva na step. Ako vrijeme porasta mjerimo od 0% do 100% stepa, kako smo pokazali, filter pomične srednje vrijednosti je najbolje što možemo napraviti. Za usporedbu, mjerimo li vrijeme porasta od 10% do 90% Blackmanov otvor postaje bolji od filtra pomične srednje vrijednosti. Smisao je u tome da je riječ o teoretskom nadmudrivanju, pa filtre trebamo shvatiti jednakim po pitanju ovog parametra. Najveda razlika između filtera je brzina izvođenja. Primjenom rekurzivnog algoritma (kojeg demo opisati), filtar pomične srednje vrijednosti je nevjerojatno brz. To je najbrži digitalni filter. Višestruki propusti filtra pomične srednje vrijednosti bit de proporcionalno sporiji ali još uvijek vrlo brz. Za usporedbu, Gaussov i Blackman filtri su vrlo spori jer koriste konvoluciju. Približni faktor je jednak desetorostrukom broju točaka jezgre filtra (temeljem da je množenje oko 10 puta sporije od zbrajanja). Tako možemo očekivati da de Gaussov filtar od 100 točka biti 1000 puta sporiji od filtra pomične srednje vrijednosti korištenjem rekurzije.

Ozren Bilan 65

Rekurzivna implementacija Najveda prednost filtra pomične srednje vrijednosti: može se implementirati s algoritmom, dakle izvedba je vrlo brza. Kako bi razumjeli taj alogritam, zamislimo propust ulaznog signala, x[ ] , kroz filtar pomične srednje vrijednosti s ciljem dobivanja izlaznog signala, y[ ]. Pogledamo li kako se računaju dvije susjedne izlazne točke, y[50] i y[51]:

y [50] =x [47] + x[48] + x [49] + x[50] + x [51] + x[52] + x [53] y [51] =x [48] + x[49] + x [50] + x[51] + x [52] + x[53] + x [54]

vidimo da je riječ o skoro istom proračunu; točke x[48] do x[53] moraju se zbrojiti za y[50], i ponovno za y[51]. Ako je y[50] ved izračunato, najučinkovitiji način proračuna y[51] je:

y[51] =y[50] + x [54] - x[47] Nakon što y[51] odredimo korištenjem y[50], tada y[52] možemo izračunati iz uzorka y[51], itd. Nakon što izračunamo prvu točku u y[ ], sve ostale točke možemo odrediti samo s jednim sumiranjem i oduzimanjem po točki. To izražavamo jednadžbom:

y[i]=y[i-1]+x[i+p]-x[i-q] gdje je p=(M-1)/2 q=p+1

Ozren Bilan 66

11.9.2013.

12

Uočite kako ova jednadžba koristi dva izvora podataka za proračun svake točke izlaza: točke ulaznog i prethodno izračunate točke izlaznog signala. To nazivamo rekurzijska jednadžba, s značenjem da se rezultat jednog proračuna koristi kasnije za druge proračune. (Izraz rekurzivni također ima druga značenje, posebno u računalstvu). Naknadno demo obraditi niz različitih rekurzivnih filtara detaljnije. Moramo biti svjesni da su rekurzivni filtri pomične srednje vrijednosti znatno različiti od ostalih rekurzivnih filtara. Posebno treba naglasiti kako najvedi broj rekurzivnih filtara ima beskonačno dug impulsni odziv (IIR), sastavljen od sinusoida i eksponencijalnih funkcija. Impulsni odziv filtra pomične srednje vrijednosti je kvadratni impuls (konačni impulsni odziv ili FIR). Ovaj algoritam je brži od drugih digitalnih filtra zbog četiri razloga: 1. postoje samo dva proračuna za svaki uzorak, bez obzira na dužinu jezgre filtra. 2. sumiranje i oduzimanje su jedine dvije potrebne matematičke operacije, dok ostali

tipovi filtra zahtijevaju dužu operaciju množenja. 3. shema indeksiranja je vrlo jednostavna. Svaki indeks jednadžbe rekurzije određuje se

sumiranjem ili oduzimanjem cjelobrojnih konstanti, koje se mogu izračunati prije nego počne postupak filtriranja (tj., p i q).

4. cjelokupni algoritam izvodi se cjelobrojnim vrijednostima. S obzirom na primijenjeno sklopovlje, proračuni cjelobrojnim vrijednostima uvijek su za red veličine brži od proračuna s realnim vrijednostima. Iznenađujude je što proračun ovog algoritma cjelobrojnim vrijednostima radi mnogo bolje nego proračun realnim, pored toga što je brži. Greška zaokruživanja aritmetike s realnim brojevima daje neočekivane rezultate.

Zamislimo filtriranje 10000 uzoraka signal opisanim postupkom. Posljednji uzorak filtriranog signala sadržava akumuliranu grešku 10000 sumiranja i 10000 oduzimanja. Greška de se pojaviti u izlaznom signalu kao promjenjiva istosmjerna vrijednost (drifting offset). Cjelobrojne vrijednosti nemaju takav problem jer ne postoji aritmetička greška zaokruživanja.

Ozren Bilan 67

Sinteza uzorkovanjem u frekvencijskoj domeni

Prijenosne karakteristike nerekurzivnih digitalnih filtera mogu se predstaviti pomodu Fourier-ove transformacije (DFT) kao:

pri čemu predstavlja M uniformirano raspoređenih uzoraka frekvencijskog odziva nerekurzivnih filtera.

Impulsni odziv h(n) može se izraziti kao:

pa je:

.

1

11 1

02

1

M

k M

kj

M

ez

kHM

zzH

,1 1

0

2

M

k

M

nkj

ekHM

nh

,1

0

2

2

M

n

nkM

j

ez

enhzHkHk

Mj

68 Ozren Bilan

Relacija predstavlja osnovu za realizaciju nerekurzivnih digitalnih filtera uzorkovanjem u frekvencijskoj domeni i pruža mogudnost rekurzivne sinteza FIR-filtera. Naime, navedena relacija odgovara kaskadnoj vezi nerekurzivnih filtera sa prijenosnom funkcijom: i filtera koji sačinjava paralelna veza M rekurzivnih filtera prvoga reda: Da bi se izvršila sinteza filtera, polazi se od , koja je poznata i definirana. Prvo se određuje kao niz od M uniformiranih uzoraka: a zatim H(z) pomodu relacije: Ovaj postupak omogudava da se dobiveni frekvencijski odziv preklapa sa željenim u točkama: za k = 0,1,…,M-1.

,1

M

zzH

M

NR

.

1

12

1 M

kj

R

ez

kHzH

jeH

kH

,2

M

k

jehkH

.

1

11 1

02

1

M

k M

kj

M

ez

kHM

zzH

M

k

2

69 Ozren Bilan

Primjer:

Za dane uzorke amplitudne karakteristike

niskofrekventnog filtera na slici odrediti

odgovarajudu prijenosnu funkciju H(z).

U ovom slučaju je:

M=15.

Primjenom izraza dobivamo:

Prijenosne funkcije se realiziraju kaskadnom vezom nerekurzivnog filtera H1(z) sa paralelnom vezom rekurzivnih filtera H2(z), H3(z) i H4(z) gdje je:

0 5 10 15

k

ω

2π

H(ejω) H(k)

,16

1 16

1

zzH

,1

112

z

zH

,8/sin8/cos1

1

1

118/13

jzezzH

j

.8/sin8/cos1

1

1

118/1514

jzezzH

j

,11510 HHH

0kH ;14,...,4,3,2k

.

1

1

1

1

1

1

16

1

116

1

4321

8/1518/14/01

16

15

0 16

2

1

16

zHzHzHzH

ezezez

z

ez

kHzzH

jjj

kk

j

70 Ozren Bilan

Sinteza primjenom prozora i apodizacija

Slika ilustrira ideju filtra vremenskog otvora. Slika pokazuje frekvencijski odziv idealnog nisko propusnog filtra. Sve frekvencije ispod odrezne frekvencija, fc , propuštaju se s jediničnom amplitudom, a sve više frekvencije se ne propuštaju. Propusno područje je idealno ravno, atenuacija u nepropusnom područje je beskonačna, a tranzicija među njima je infinitezimalno mala.

71 Ozren Bilan

Idealni frekvencijski odziv (brick wall)

Strategija filtra vremenskog

otvora (prozora)

Izračunamo li Inverznu Fourierovu Transformaciju ovog idealnog frekvencijskog odziva dobit demo idealnu jezgru filtra (impulsni odziv, kernel) prikazan na slici (b). Kako smo ved pokazali dobivena krivulja ima opdi oblik: sin(x)/x, određena izrazom:

IFT IFT

FT

POMNOŽIMO sinc sa Blackman

Dobije se glatka jezgra nakon propusta kroz vremenski otvor

FT

X

=

Ozren Bilan 72

11.9.2013.

13

Konvolucijom ulaznog signala s jezgrom filtra dobije se idealan nisko propusni filter. Tada nastaje problem: sinc funkcija se nastavlja u negativnu i pozitivnu beskonačnost bez slabljenja na nulu. U matematici, ovo protezanje u beskonačnost ne predstavlja problem, ali u praksi zaustavlja rad računala. Kako bi smo riješili problem, uvest demo dvije modifikacije sinc funkcije na slici (b), što rezultira valnim oblikom na slici (c). Prvo, funkcija je skradena na M+1 točku, koje su odabrane simetrično oko glavnog loba, a M je paran broj. Svi ostali uzorci, izvan ovih M+1 točaka, postavljaju se na nulu. Drugo, čitava sekvenca translatirana je na desno, tako da počinje u 0, a završava u M. Tako jezgru filtra prikazujemo korištenjem samo pozitivnih indeksa. Iako mnogi programski jezici dopuštaju korištenje negativnih indeksa, pri radu mogu nastati problemi. Jedini učinak translacije jezgre (impulsnog odziva) filtra za M/2 je translacija izlaznog signal za isti iznos. Bududi da je modificirana jezgra (impulsnog odziva) filtra samo aproksimacija idealne jezgre (impulsnog odziva), očito je da nede imati idealni frekvencijski odziv. Kako bi odredili frekvencijski odziv koji smo postigli možemo izvršiti Fourierovu transformaciju signal na slici (c), pa dobijemo krivulja na slici (d). Valovanje je prenaglašeno u propusnom području, a loše je i slabljenje u nepropusnom području (prisjetimo se Gibbsovog učinka). Problemi nastaju zbog naglih diskontinuiteta na rubovima skradene sinc funkcije. Problemi se ne može riješiti produžimo li dužinu jezgre filtra; utjecaj diskontinuitet ostaje značajan bez obzira na dužinu M.

Ozren Bilan 73

Jednostavni postupak može bitno popraviti situaciju. Slika (e) pokazuje glatko zakrivljenu krivulju nazvanu Blackmanov otvor. Pomnožimo li skradenu sinc, (c), s Blackmanovim otvorom (e), rezultat jezgre (impulsnog odziva) filtra pokazuje (f). Ideja je ublažiti strmine skradenih krajeva što poboljšava frekvencijski odziv. Slika (g) pokazuje ovo poboljšanje. Propusno područje je sada ravno, a atenuacija nepropusnog područje je tako dobra da se na ovom grafu ne može vidjeti.

Postoji vedi broj vremenskih otvora, a dobili su imena po autorima u 1950-im godinama. Vrijedi spomenuti Hammingov i Blackmanov vremenski otvor. Definirani su jednadžbama:

Hammingov otvor. Mijenja se od i=0 do M, za ukupno M+1

Blackman otvor

Ozren Bilan 74

Slika pokazuje oblik ova dva otvora za M=64 (tj., ukupno 64 točke na krivuljama). Kada demo i koji demo vremenski otvor upotrijebiti? To ovisi o parametrima. Prema slici, Hamming ima 20% brže gušenje od Blackmana. Međutim, pokazuje da Blackman pokazuje bolje gušenje. Blackman u području gušenja je -74dB (-0.02%), dok je Hamming -53dB (-0.2%). Iako se to na grafovima ne vidi, Blackman pokazuje valovanje od 0.02%, a Hamming 0.2%.

Blackman je prvi izbor jer je sporije gušenje manje nepovoljno od lošijeg slabljenja u propusnom dijelu karakteristike.

Ozren Bilan 75

0 10 20 30 40 50 60 700

0.2

0.4

0.6

0.8

1Hamming Window

Vrijeme (uzorak)

Am

plitu

da

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-100

-80

-60

-40

-20

0

Normalizirana frekvencija (perioda/uzorku))

Mag

nitu

de (

dB)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-100

-80

-60

-40

-20

0

Normalizirana frekvencija (perioda/uzorku)

Mag

nitu

da (

dB)

0 10 20 30 40 50 60 700

0.2

0.4

0.6

0.8

1Blackman Window

Vrijeme (uzorak)

Am

plitu

da

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-100

-80

-60

-40

-20

0

Normalizirana frekvencija (perioda/uzorku))

Magnitude (

dB

)

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-100

-80

-60

-40

-20

0

Normalizirana frekvencija (perioda/uzorku)

Magnituda (

dB

)

Projektiranje filtra vremenskog otvora

Pri projektiranju filtra vremenskog otvora potrebno je odrediti dva parametra: odreznu frekvenciju, fC i dužinu jezgre filtra (impulsnog odziva), M. Odrezna frekvencija se izražava kao dio frekvencije uzorkovanja pa treba biti između 0 i 0.5. Vrijednost M gušenje prema aproksimaciji:

M4/BW Dužina filtra u ovisnosti o slabljenju. Dužina jezgre filtra, M, određuje

prijelazna širina pojasa filtera, BW. To je samo aproksimacija bududi da gušenje ovisi o karakteristikama vremenskog otvora koji se koristi.

BW je širina prijelaznog frekvencijskog područja u Hz. Mjeri se od točke u kojoj je krivulja skoro jednaka jediničnoj vrijednosti do mjesta gdje skoro poprima nultu vrijednost (recimo od 99% do 1%). Prijelazna širina pojasa također se izražava dijelom frekvencije uzorkovanja i mora biti između 0 i 0.5. Oblik frekvencijskog odziva ne ovisi o izabranoj odreznoj frekvenciji.

Ozren Bilan 76

Nakon što smo odabrali fC i M, jezgra filtra proračunava se relacijom: Identificiramo tri komponente: sinc funkciju, translaciju M/2 i Blackmanov vremenski otvor. Filtru koji mora imati istosmjerno jedinično pojačanje, konstanta K mora se odabrati tako da suma svih uzoraka bude jednaka jedan. U praksi, K se ignorira za vrijeme proračuna jezgre (impulsnog odziva) filtra, a nakon toga normaliziraju se svi uzorci na potrebnu vrijednost. Potrebno je obratiti pozornost i na način proračuna u centru sinc, i=M/2, gdje dolazi do dijeljenja s nulom. Ova jednadžba je složena ali koristi se s lakodom; jednostavno se upiše u program i računalo obavi proračun. Nije preporučljivo ručno rješavanje. Pokušat demo biti određeniji gdje se jezgra filtra opisanog jednadžbom nalazi u postavi računala. Za primjer demo izabrati M=100. Pri tome M mora biti paran broj. Prva točka u jezgri filtra je lokaciji 0, a posljednja točka u lokaciji 100. To znači da je čitav signal dug 101 točku. Centar simetrije je u točki 50, tj., M/2. 50 točaka na lijevo od točke 50 su simetričnih 50 točaka na desno. Točka 0 ima istu vrijednost kao točka 100, a točka 49 je ista kao točka 51. Ako postoji specifičan broj uzoraka jezgre (impulsnog odziva) filtra, kao pri uporabi FFT, jednostavno dodamo nule na jednu ili drugu stranu. npr., s M =100, možemo pridijeliti uzorcima od 101 do 127 nultu vrijednost, kako bi smo postigli jezgre (impulsnog odziva) filtra dužine 128 točaka.

Ozren Bilan 77

Sinteza primjenom prozora – analitičko rješenje

Kako je frekvencijski odziv periodična funkcija od ω, može se rastaviti u Fourier-ov red kao: gdje je: Fourier-ovi koeficijenti u izrazu predstavljaju impulsni odziv digitalnog filtera. Kako Fourier-ov red po pravilu ima beskonačan broj koeficijenata, da bi smo dobili FIR filter, potrebno ga je svesti na konačan niz. Svođenje beskonačnog na konačni niz pravokutnim prozorom je uzimanje konačnog broja elemenata niza. Takvo svođenje izaziva Gibbs-ov efekt koji se ogleda u pojavi pulsiranja i prebačaja prije i poslije točke diskontinuiteta na amplitudnoj karakteristici. Slika a. Ovo pulsiranje se ne smanjuje s povedanjem dužine niza pod uvjetom da je niz konačan, Slika b.

jeH

,

n

njj enheH

,2

1

deeHnh njj

78 Ozren Bilan

11.9.2013.

14

Takvo ograničenje Fourier-ovog reda može se predstaviti kao njegovo množenje sa težinskom funkcijom, tj. pravokutnim prozorskim oblikom: čiji je modul Fourier-ove transformacije, odnosno spektar, dan izrazom: Množenju dva niza u vremenskoj domeni odgovara konvolucija u frekvencijskoj domeni.

,0

101

nostaleza

MnnnP MM

.sin

2sin

M

WP MM

79 Ozren Bilan

U blizini točke diskontinuiteta konvolucija dovodi do pojave dva efekta: • javlja se greška u rezonantnoj amplitudnoj karakteristici, • javlja se konačna strmina između propusnog i nepropusnog pojasa. Prelazna strmina između propusnog i nepropusnog pojasa ovisi od širine glavne arkade spektra prozora. Ukoliko je širina arkade manja, to je strmina prijelaza veda, odnosno bolje je razdvajanje propusnog od nepropusnog pojasa. Pulsiranje ovisi od amplituda bočnih arkada. Ukoliko su ove arkade više potisnute, to je i pulsiranje manje. Optimalni prozor bi trebao imati maksimalnu širinu glavne arkade i minimalnu površinu pod bočnim arkadama. Ova dva zahtjeva su proturječna i potrebno je nadi odgovarajudi kompromis. Zbog toga je predloženo više tipova prozora. 80 Ozren Bilan

Pravokutni prozor

Barlettov prozor

Hammov prozor

,101

2cos1

2

1

Mn

M

nnna HnHn

,12

1,

1

22

2

10

1

2

MnM

M

n

Mn

M

n

naB

10,1 MnnaP

81 Ozren Bilan

Hamming-ov prozor:

Blackman-ov prozor:

.101

4cos08,0

1

2cos5,042,0

Mn

M

n

M

nnna BlBl

,101

2cos46,054,0

Mn

M

nnna HH

82 Ozren Bilan

Usporedba svih prozora

Grafički prikaz prozora i amplitudno-frekvencijske karakteristike prozora

83 Ozren Bilan Ozren Bilan 84

Primjer analize spektra signala u programu SpectraLAB

11.9.2013.

15

Apodizacija - poboljšanje zvuka 1. Uzimamo impulsni odziv brickwall filtera odrezne frekvencije

fc = 20 kHz i frekvencije sempliranja fs:

2. Biramo prozor w(t,β) vrlo niskih bočnih lobova.

3. Računamo b(t) = w(t,β) g(t) i pripadni spektar.

4. Ponavljamo korake 1 do 3 podešavajudi β i fc dok ne dobijemo željeno slabljenje nepropusnog područja.

5. Lagano mijenjamo fc kako bi maksimizirali slabljenje u okolišu fs.

6. Primjenjujemo apodizaciju koristedi drugi prozor kojim oblikujemo prijelazno područje.

Objasnit demo na primjerima dužine 4T i 10T s T = 1/fs i fs = 48 kHz primjenom Kaiser prozora.

Ozren Bilan 85

PCM signali koriste idealne niskopropusne (brickwall) filtre koji generiraju čujne učinke. Zbog toga ih moramo obraditi posebnim algoritmima. DSD signali ne generiraju ove učinke jer ih pro korisnici ne filtriraju, a u potrošačkim uređajima koristi se vrlo blagi nagib filtera. Pretpostavimo Dirac delta impuls (vidi slajd 75.) sa linearnim spektrom do beskonačnosti. Propustimo li ga kroz filter s određenim frekvencijskim odzivom, izlazni spektar impulsa bit de jednak odzivu filtra. Na izlazu de se pojaviti pojasno ograničeni impuls b(t). Bududi da je izvedba algoritama temeljenih na b(t) proporcionalna intervalu sempliranja T, moraju biti što brži. Teoretski se koriste brickwall filtri beskonačnog slabljenja izvan audio pojasa, međutim tada na izlazu dobivamo impuls oblika sinc funkcije koja sporo slabi. U praksi rješenje je vremensko ograničenje impulsa filtriranjem s prozorskom funkcijom konačne dužine. Npr. postupak :

Pojasno ograničeni impuls dužine = 4T, fs = 48 kHz, fc = 15 kHz, normaliziran Glavni prozor Kaiser (β = 8.3), prozor apodizicije 1- 0.5·Kaiser (β = 0.5)

Funkcija sinc x= (sin x)/x

preringing

Signal prikazan na slici prikladan je ako nam je bitna kompaktnost valnog oblika. Pri tome moramo imati na umu da se ne koristi impuls nego integral impulsa nakon filtriranja u kojem je mnogo manja količina visokofrekvencijskog sadržaja. Dakle, zahtjevi za slabljenjem u nepropusnom području su daleko manji. Moramo ekvalizirati zaobljene rubove propusnog područja kako bi poboljšali zvuk. Mogude ih je je primijeniti kao postfilter ili prefilter pod uvjetom da slabljenje ne prelazi određeni broj dB na 20 kHz. Isto tako možemo sniziti fc impulsa od 4-uzorka kako bi smanjili osjetljivost na alias i izveli intenzivnije filtriranje. Nastali fazni pomak i malo ranije filtriranje signala dobro zvuči velikom broju ljudi, a neki govore da je rezultirajudi zvuk premekan. Digitalni filter kojim se izvodi apodizacija je besplatni algoritam koji se može izvesti odgovarajudim čipovima. Sa stručnog stajališta rješenje je vrlo povoljno jer nije skupo, dok ga proizvođači skupo napladuju.

Ozren Bilan 86

Pojasno ograničen impuls (dužina = 10T, fs = 48 kHz, fc = 20 kHz, normaliziran)

Glavni prozor Kaiser (β = 9), bez apodizacije

cilj apodizacije – dobar zvuk

početno rješenje – zvuči loše

međukorak

MATLAB vidi skriptu vježbe

Apodizacija pojasno ograničenog impulsa

MATLAB kod apodizacija pojasno ograničenog impulsa

fs = 48000; % frekvencija sempliranja

fc = 19000; % odrezna frekvencija brick wall filtera

rlen = 10; % dužina impulsa u intervalu sempliranja

ppiv = 100; % broj uzoraka po intervalu sempliranja

beta = 9.0; % parameter glavnog prozora

apof = 0.9; % faktor apodizacije (0 = bez apodizacije, 1 = max)

apobeta = 0.7; % parametar apodizacije prozora

% generiranje pojasno ograničenog impulsa

pts = ppiv*rlen+1; % dužina impulsa uzoraka

x1 = 0:1:pts-1; % dodajemo jedan za simetrični impuls

x2 = rlen*2*(x1 - (pts-1)/2 + 0.00001)/(pts-1);

x3 = pi*fc/fs*x2;

h = sin(x3)./x3; % impulsni odziv brickwall filtera

w = kaiser(pts,beta); % kaiser prozor

g = w.*h'; % impulsu ograničavamo spektar primjenom prozora

aw = 1 - apof*kaiser(pts,apobeta); % apodizacija i normalizacija

g = aw.*g;g = g/max(g);

figure(1);subplot(1,2,1); %crtanje pojasno ograničenog impulsa

plot(x2/2,g);axis([-rlen/2 rlen/2 -0.2 1.0001]);

xlabel('Vrijeme u intervalima sempliranja');title('Pojasno ograničeni impuls');

subplot(1,2,2); % nacrtaj spektar

zpad = 20; % faktor umetanja nula

g2 = [g ; zeros((zpad-1)*pts,1)+; % umetanje nula povedava rezoluciju

wspec = abs(fft(g2));

wspec = max(wspec/max(wspec), 0.00001);

fmax = 60000; % maksimalno prikazana frekvencija

rng = round(rlen*zpad*fmax/fs); xidx = 0:1:rng;

semilogy(fmax/1000*xidx/rng,wspec(1:(rng+1)));

xlabel('Frekvencija u kHz');title('Amplitudni spektar');% markeri

hold;

plot([20 20], [0.00001 1], 'g');

plot([fs/1000-20 fs/1000-20], [0.00001 1], 'r');

plot([fs/1000 fs/1000], [0.00001 1], 'r'); hold off;

Ozren Bilan 87

Pojasno ograničen impuls (dužina = 10T, fs = 48 kHz, fc = 19 kHz, normaliziran) Glavni prozor Kaiser ( β= 9), prozor apodizacije : 1- 0.9·Kaiser (β = 0.7)

Mnogi DAC imaju ugrađene FIR filtre kojima korisnik može djelovati na oblik impulsa opisanim djelovanjem objašnjenim u MATLAB simulaciji

Optimalna sinteza (Remez II) Svodi se na određivanje koeficijenata nerekurzivnih digitalnih filtera pri određenim kriterijima optimalnosti. Razvijeno je više klasa optimalnih filtera koji se međusobno razlikuju po izboru promjenjivih parametara i kriteriju optimalnosti. Prva klasa optimalnih filtera svodi se na minimiziranje veličine: gdje je: - granica intervala aproksimacije, - željena spektralna karakteristika, - aproksimirana funkcija čije koeficijente određujemo u procesu minimiziranja. Za p = 2, problem se svodi na minimiziranje po metodi najmanjih kvadrata i znatno pojednostavljuje jer se optimizacija svodi na sintezu linearnih jednadžbi. Ako je p > 2, problem je nelinearan, te su ove metode optimizacije računski znatno složeniji od linearnih, pa se zbog toga i rijetko koriste. Drugi pristup, koji je također u literaturi široko razvijen, temeljena je na Chebyshevljevoj aproksimaciji. Greška aproksimacije pri optimalnom rješenju ima M+1 linearnih jednadžbi sa M+1 nepoznanica. Za sintezu filtera sa takvom karakteristikom razvijeno je više pristupa i metoda, od kojih je najprihvatljivija metoda, koju nazivamo: tzv. drugi algoritam Remez ili Remez II

,1

0

s

deHeDLPjj

s

P

s

jeD

jeH

88 Ozren Bilan

Sinteza rekurzivnih (IIR) digitalnih filtera Razvoj sinteze rekurzivnih digitalnih filtera bio je omoguden brzim razvojem teorije i metoda projektiranja analognih filtera. Prvi uspjesi su bili ostvareni transformacijom prijenosne funkcije analognog filtera u prijenosnu funkciju odgovarajudeg digitalnog filtera. Kod projektiranja rekurzivnih (IIR) digitalnih filtera imamo dva pristupa:

• projektira se analogni niskopropusni prototip, zatim se izvrši frekvencijska transformacija s → s, pa nakon toga izvrši transformacija iz analognog u digitalni filter s → z.

• projektira se analogni niskopropusni prototip, zatim se izvrši transformacija iz analognog u digitalni filter s → z, pa nakon toga izvrši frekvencijska transformacija z → z.

Prvo demo u opdim crtama iznijeti osnovne osobine najviše korištenog analognog niskofrekventnog filtera. Frekvencijski odziv analognog niskofrekventnog filtera dan je izrazom: ,1

1

1 2

2 pa zajH

,1

02

2 sa za

AjH

89 Ozren Bilan

gdje su: • ε konstanta koja određuje valovitost, • Ωp frekvencija propuštanje *rad/s+, • Ωs frekvencija gušenje *rad/s+. Frekvencijska karakteristika analognog niskopropusnog filtera dana je na slijededoj slici. Iz karakteristike je vidljivo da je:

pzajH

2

2

1

1

szaA

jH 2

2 1

90 Ozren Bilan

11.9.2013.

16

Parametri ε i A na skali u dB ovisni su o parametrima Rp i As koji se mogu izračunati preko izraza: i Ovi parametri na apsolutnoj skali ovisni su o parametrima δ1 i δ2 koji se mogu izračunati preko izraza: i Prijenosnu funkciju analognog filtera dobivamo pomodu izraza: ili preko:

jsaaa jHsHsH /

2

jsaaaaaaa sHsHjHjHjHjHjH *2

2

1

1

2 11

1

A

A

1

1

2

2

1

1

2

1

1

1

1

20/

210 101

log10 SA

s AA

A

1101

1log10

10/

210

pR

pR

91 Ozren Bilan

Butterworth-ov filter Filteri realizirani ovom aproksimacijom su monotoni u području propuštanja i području gušenja. Kvadrat modula prijenosne funkcije, odnosno kvadratna amplituda karakteristika Butterworth-ovog niskofrekventnog filtera dana je izrazom: gdje je granična frekvencija filtera. Na slici je prikazana ovisnost modula prijenosne funkcije o frekvenciji za razne vrijednosti N. Dijagram pokazuje da je amplitudna karakteristika ravna i monotona i u propusnom i u nepropusnom pojasu. Sa porastom N prijelaz između propusnog i nepropusnog pojasa je sve strmiji s tim što je na graničnoj frekvenciji vrijednost amplitude uvijek jednaka . Na osnovi relacije dobivamo da je:

N

C

N

N

N

c

jsaaajs

j

j

sjHsHsH

22

2

2/

2

1

1

N

cjj

jH2

2

1

1

2/1

LHPpolovi

k

N

c

aps

sH

odnosno:

92 Ozren Bilan

pa su polovi kvadratne amplitudne karakteristike određeni izrazom: Svi 2N polovi nalaze se na radijusu kružnice u s-domeni i uniformirano su raspoređeni simetrično u odnosu na imaginarnu os. Kut između susjednih polova iznosi π/N. Polovi se ne mogu nalaziti na imaginarnoj osi. a za neparno N polovi se nalaze i na realnoj osi. Za N parno prvi pol ima fazu od π/2N. Kako je prvih 2N-1 izvoda amplitudne karakteristike jednako nuli za ω=0, Butterworth-ovi filteri se nazivaju filteri s maksimalnom ravnom amplitudnom karakteristikom. Prikazani je raspored polova za red N=3 i N=4 Butterworth-ovog filtera.

12,....,1,0,112

22

1

NkejpNk

Nj

ccN

k

93 Ozren Bilan

Red Butterworth-ovog filtera određujemo preko izraza:

parametar Ωc možemo izračunati preko izraza:

Ili

N R

p

cp2 10/

110

N A

s

cs2 10/

110

sp

ARsp

N/log2

110/110log

10

10/10/

10

94 Ozren Bilan

Čebiševljev filter Za razliku od Butterworth-ovih filtera, Chebyshevi filteri imaju amplitudnu karakteristiku koja oscilira između dvije dane vrijednosti u cijelom propusnom pojasu. Iz toga razloga imamo dvije vrste ovih filtera, Chebyshev tip I i Chebyshev tip II. Chebyshev tip I ima monotonu karakteristiku u području gušenja a valovitu u području propuštanja, dok Chebyshev tip II ima upravo obrnute karakteristike. Kvadratna amplitudna karakteristika dana je izrazom: gdje je TN - Chebyshev polinom N–tog reda kojeg možemo odrediti pomodu slijededeg izraza: sa početnim uvjetima: ili pomodu ekvivalentne relacije: gdje je:

c

NT

jH22

2

1

1

02 11 xTxxTxT NNN

00 xT xxT 1 12 2

2 xxT

1,

1,arccoscos

xarchxNch

xxNxTN

c

x

95 Ozren Bilan

Kvadratna amplitudna karakteristika u propusnom pojasu oscilira između 1 i .Za ω=0 i za N neparno jednaka je jedinici. Za N parno jednaka je Ukoliko je kvadratna amplitudna karakteristika ima vrijednost

Kvadratna amplitudna karakteristika Chebyshev-og filtera za N = neparno

Kvadratna amplitudna karakteristika Chebyshev-og filtera za N = parno

21/1 21/1

C 21/1

96 Ozren Bilan

11.9.2013.

17

Polovi filtera su na elipsi u s-domeni čiji centar leži u koordinatnom ishodištu. Dužina velike osi je , a male osi , gdje su b i a određeni izrazom: Polovi su simetrični u odnosu na imaginarnu os. Za N neparno nalaze se i na realnoj osi, dok za N parno ne leže na realnoj osi. Polove Chebyshev-og filtera izračunavamo prema slijededem izrazu: k=0,…,N-1 , gdje su: k=0,…,N-1 , i k=0,…,N-1 .

MM

ab/1

12/1

12 112

1,

Cb2 Ca2

kkk jp

N

ka ck

2

12

2cos

N

kb ck

2

12

2sin

97 Ozren Bilan

Pomodne varijable računaju se preko slijededih izraza:

Uvrste li se polovi iz lijeve poluravnine u izraz za prijenosnu funkciju slijedi:

gdje je K dan izrazom:

Red filtera određujemo preko izraza:

gdje je:

NNa 12

1 NNb 1

2

1 2

11

1

n

k

k

a

ps

KsH

1

parnoN

neparnoN

jH a ,1

1

,1

02

1log

1log

2

10

2

10

rr

ggN

p

s

r

22 /1 Ag

98 Ozren Bilan

Eliptički ili Cauerov filter

Imaju uniformnu karakteristiku u propusnom i u nepropusnom pojasu čime se za isti red i pri istoj grešci postiže najmanja širina prelaznog područja između propusnog i nepropusnog pojasa, tj. imaju najvedu strminu. Kvadratna amplitudna karakteristika eliptičkog filtera ima oblik: gdje su: • Un - Jacobi-jeva eliptička funkcija, • ε - parametar koji određuje grešku u propusnom

pojasu. Za greška je jednaka , gdje je Δ maksimalna vrijednost .

c

nU

jH22

2

1

1

p 21/1 ns

99 Ozren Bilan

Tipični odzivi prikazani su na slijededim slikama Kvadratna amplitudna karakteristika Eliptičkog filtera za N = neparno Kvadratna amplitudna karakteristika Eliptičkog filtera za N = parno

100 Ozren Bilan

Analiza izraza je teška pa za lakšu analizu koristimo slijededi izraz: gdje su: i Parametar k1 određuje grešku u nepropusnom pojasu. za Ω ≥ Ωs ta greška je jednaka 1/A2.

c

nU

jH22

2

1

1

2

1

2

1

1

1

kKkK

kKkKN

s

pk

121

Ak

101 Ozren Bilan

Butterworth filtar je najbolji izbor ako želimo postidi najbrže slabljenje bez valovanja u propusnom području. Obično se naziva maksimalno linearan filtar, a identičan je Čebiševljevom projektiranom bez valovanja u propusnom području.

Bessel filtar nema valovanje u propusnom području, ali mu je gušenje mnogo lošije od Butterworthovog filtra.

Potrebno je još procijeniti karakteristiku odziv na step, koja nam pokazuje kako se filter ponaša u odzivu kada se izlaz brzo promijeni s jedne vrijednosti na drugu. Slika pokazuje odziv na step svakog filtra.

Vodoravna os pokazuje karakteristike filter s odreznom frekvencijom od 1 Hz. Odziv je mogude skalirati za bilo koju višu odreznu frekvenciju. Npr., odrezna frekvencija 1000 Hz pokazuje odziv na step u milisekundama umjesto sekundama.

Butterworth i Čebiševljev filtar pokazuje prebačaj i istitravanje (ringing - titranje sa sporim slabljenjem amplitude). Za usporedbu, Bessel filtar ne pokazuje nijedan od spomenutih problema.

USPOREDBA TRI FILTERA

Ozren Bilan 102

11.9.2013.

18

Odziv na step tri filtra

Vrijeme prikazano na vodoravnoj osi odgovara odreznoj frekvenciji od 1 Hz.

Bessel je optimalni filter ako treba minimizirati prebačaj i istitravanje.

Ozren Bilan 103

Slika ilustrira ovu povoljnu karakteristiku Bessel filtra.

(a) pokazuje impulsni valni oblik, koju je mogude promatrati kao korak porasta kojeg prati korak pada. (b) i (c) pokazuju kako se ovaj valni oblik pojavljuje nakon filtriranja Besselovim i Čebiševljevim filtrima.

Pretpostavimo da je riječ o video signalu. Izobličenje koje nastaje nakon Čebiševljevog filtra bilo bi :

Prebačaj valnog oblika promijenio bi svjetlinu rubova svih objekata prema centru slike. Nadalje, lijeva strana svih objekata bila bi vrlo svjetla, a desna strana bila bi vrlo tamna.

Mnoge primjene ne podnose loše karakteristike odziva na step funkciju. Tu su najbolji Besselovi filtri jer je oblik simetričan bez prebačaja.

Ozren Bilan 104

Transformacija analognih u digitalne filtere

Prilikom transformacije analognih filtera u digitalne moramo biti sigurni da digitalni IIR-filteri zadržavaju željene osobine analognih filtera kao što su na primjer amplitudna i fazna karakteristika. Uvjet koji se mora ispuniti da bi dobiveni digitalni filter bio stabilan svodi se na preslikavanje lijeve s-poluravnine u unutrašnjost jediničnog kruga u z-domeni. Taj uvjet se može napisati: Drugi uvjet koji nije obavezan ali je najčešde ispunjen svodi se na to da se imaginarna os s-domene preslikava u z-domenu na rub jediničnog kruga: Oba uvjeta prikazana su na slici Metode koje se najčešde koriste su: • bilinearna transformacija, • jednakog impulsnog odziva i • prilagođena z-transformacija.

10 zzsRs e

Re(s)

jedinični krug

Re(z)

Im(s)

s-domena z-domena

Im(z)

0jezjs

105 Ozren Bilan

Bilinearna transformacija Ova metoda daje najefikasnije rješenje od svih navedenih. Ona se definira relacijom: a inverzan transformacija dana je izrazom: gdje je k konstanta. Iz relacije slijedi da je za , pa zaključujemo da se imaginarna os preslikava na rub jediničnog kruga čime je ispunjen uvjet. Ako izraz ima slijededi oblik: Kako modul od z ima slijededi oblik: slijedi da je za a za čime je ispunjen uvjet da se lijeva s-poluravnina preslikava u unutrašnjost jediničnog kruga pa je dobiveni digitalni filter stabilan. To grafički prikazujemo:

1

1

1

1

z

zks

sk

skz

jk

jkz

1 zjs

22

22

k

kz

10 z 10 z

106 Ozren Bilan

Relacija između frekvencija analognog i digitalnog filtera dobiva se iz relacije ako se uvrsti i (T-period uzorkovanja) te: odnosno, ova ovisnost je nelinearna a za k = 1 prikazana je na idudoj slici. Za male vrijednosti ovisnost je uglavnom linearna, dok je za vedi dio frekvencijske skale preslikavanje nelinearno.

Tj

Tj

e

ekj

1

1

2

Tktg

js Tjez

107 Ozren Bilan

Konstanta k određuje se iz relacije: gdje su i granične frekvencije analognog odnosno digitalnog filtera. Međutim češde se uzima da je k jednako 2/T ili 1, te se bilinearna transformacija može zapisati slijededim izrazom: Polazedi od analognog filtera linearne faze ovom metodom se ne može ostvariti digitalni filter s linearnom fazom jer frekvencijska izobličenja izazivaju fazna izobličenja.

2/1

2/1

1

121

1

sT

sTz

z

z

Ts

2

T

C

C

tg

k

108 Ozren Bilan

11.9.2013.

19

Grafički prikaz bilinearne transformacije

109 Ozren Bilan

Metoda jednakog impulsnog odziva

Ova metoda preslikava odziv analognog filtera u odziv digitalnog filtera tako da su oni međusobno jednaki za t=kT . Osnovna ideja je nadi prijenosnu funkciju čiji je impulsni odziv jednak jednoliko otipkanom impulsnom odzivu prototipnog analognog filtera. Dobivena frekvencijska karakteristika IIR-filtera znatno odstupa od polaznog analognog filtera i javlja se pojava preklapanja spektra, pa se ta transformacija može primijeniti jedino pri projektiranju niskofrekventnih filtera i filtera propusnika pojasa.

nk ,...,2,1,0

110 Ozren Bilan

Prilagođena z-transformacija

Ova metoda je eksponencijalna transformacija polova i nula H(s) analognog filtera u odgovarajude polove i nule H(z). Realni polovi i nule preslikavaju se pomodu zamjene: a kompleksni polovi ili nule preslikavaju se transformacijom: Dobivena prijenosna funkcija H(z) je u obliku parcijalnih razlomaka prvoga ili drugoga reda. Oni se mogu lako realizirati, npr. u direktnom ili transponiranom kanoničnom obliku. Ova transformacija daje istu konfiguraciju polova kao i standardna z-transformacija. Međutim konfiguracija nula zahtjeva neke modifikacije da bi se dobili zadovoljavajudi rezultati. Ova metoda ne daje zadovoljavajude rezultate za širokopojasne filtere.

11 zas

aTezbTzbas 21122cos21

111 Ozren Bilan

REKAPITULACIJA SINTEZE U MATLABU

112

IIR FIR

Ozren Bilan

Projektiranje FIR i IIR filtera u MATLAB-u

FIR filteri

Finite Impulse Response Filter

Ozren Bilan 113

CILJ • Opisati opdi pristup projektiranja FIR filtra pomodu matematičkog modela. • Definirati izobličenja faze signala i pokazati djelovanje na izlazni signal. • Pokazati kako odzivom linearne faze eliminiramo fazna izobličenja. • Pokazati uvjet simetrije impulsnog odziva FIR filtra koji kao posljedicu imaju linearni

fazni odziv. • Izvesti impulsni odziv idealnog niskopropusnog i visokopropusnog filtra linearne faze. • Opisati i pokazati postupke projektiranja primjenom filtera vremenskog otvora kojim

se dobivaju fazno linearni FIR filtri. • Pokazati projektiranje nisko-propusnog, visoko-propusnog, pojasno-propusnog i

pojasno-nepropusnog FIR filtra. • Opisati i pokazati projektiranje fazno linearnog FIR filtra postupkom sampliranja. • Pokazati MATLAB alate za optimalno projektiranje FIR filtera postupkom Parks-

McClellan algoritma.

Projektiranje frekvencijski selektivnih FIR filtera

Problem pri projektiranju frekvencijski selektivnih filtera je određivanje impulsnog odziva h[n] željenog frekvencijskog odziva H(Ω)

Opdenito se rješava primjenom inverzne diskretne Fourierove transformacije (DTFT):

1[ ] ( ) for -

2

j nh n H e d n

( ) [ ] jn

n

H h n e

Ozren Bilan 114

11.9.2013.

20

Fazna izobličenja Fazna izobličenja su posljedica promjenjivog (vremenskog ili faznog) kašnjenja za različite frekvencijske komponente signala.

Ako je fazni odziv filtera linearna funkcija frekvencije, tada je fazno kašnjenje konstantno za sve frekvencije pa nema faznih izobličenja.

Ozren Bilan 115

Linearna faza: Ulazni signal plava sinusoida obrađena digitalnim filtriranjem (pojasni propust) pokazat de se na izlazu kao izlazni signal (crvena sinusoida). Pri tome de opdenito pretrpjeti promjenu faze (ϴ1 u ϴ2) i vremensko zatezanje ili kašnjenje (t1 u t2).

sin (ωt1+θ1) sin (ωt2+θ2)

t1 t2

Linearna faza analogni filter digitalni filter

1 1 2 2ω θ ω θt t

2 1 2 1

2 1

2 1

0ω( ) (θ θ )

( ) Phase delay

(θ θ ) θ Phase change

t t

t t t

0ω θt

2

θ θ

ω πt

f

θ kf

Uvjet promjene faze pri konstantnom grupnom kašnjenju neovisnom o frekvenciji:

promjena faze je linearna funkcija frekvencije

Izlazna amplituda jednaka je ulaznoj amplitudi u propusnom području

Ozren Bilan 116

kašnjenje faze

promjena faze sample delay

s

s

s

t nT

tn tf

T

0θn

n

n k

k

Δn je konstantno ako je Δt konstantno

Izlazna amplituda jednaka je ulaznoj amplitudi u propusnom području

θGroup delay

d

d

Konstantno grupno kašnjenje je znak linearne faze

kašnjenje uzorka

grupno kašnjenje

Konstantna faza i linearna faza t=0:.04/1000:.04; f0=50; % vrlo mali prirast t aproksimira analogni signal izraz1=(2/pi)*sin(2*pi*(f0)*t); izraz2=(2/(3*pi))*sin(2*pi*(3*f0)*t); izraz3=(2/(5*pi))*sin(2*pi*(5*f0)*t); izraz4=(2/(7*pi))*sin(2*pi*(7*f0)*t); s= izraz1+ izraz2+ izraz3+ izraz4; plot(t*1000,s);grid title(‘Sintetiziran kvadratni valni oblik s 4 komponente'); xlabel('ms');

Nulta promjena faze svake komponente kvadratnog valnog oblika = generirani valni oblik nalikuje na kvadratni

Ozren Bilan 117

t=0:.04/1000:.04; f0=50; % vrlo mali prirast t aproksimira analogni signal izraz1=(2/pi)*sin(2*pi*(f0)*t); izraz2=(2/(3*pi))*sin(2*pi*(3*f0)*t); izraz3=(2/(5*pi))*sin(2*pi*(5*f0)*t); izraz4=(2/(7*pi))*sin(2*pi*(7*f0)*t); izraz5=(2/(9*pi))*sin(2*pi*(9*f0)*t); s= izraz1+ izraz2+ izraz3+ izraz4+izraz5; plot(t*1000,s);grid title('Kvadratni valni oblik s 5 komponenti'); xlabel('ms');

Konstantna faza i linearna faza

t=0:.04/1000:.04; f0=50;

komp1=(2/pi)*sin(2*pi*(f0)*t+pi/6);

komp2=(2/(3*pi))*sin(2*pi*(3*f0)*t+pi/6);

komp3=(2/(5*pi))*sin(2*pi*(5*f0)*t+pi/6);

komp4=(2/(7*pi))*sin(2*pi*(7*f0)*t+pi/6);

komp5=(2/(9*pi))*sin(2*pi*(9*f0)*t+pi/6);

s=komp1+komp2+komp3+komp4+komp5;

plot(t*1000,s);

grid

title('Kvadratni valni oblik od 5 komponenti s konstantnim faznim pomakom od 30 stupnjeva ');

xlabel('ms');

Konstantna promjene faze od +30 stupnjeva za svaku

sinusoidu daje fazno izobličenje.

Ozren Bilan 118

Razlika konstantne i linearne faze

komp1=(2/pi)*sin(2*pi*(f0)*t-.01*pi*(f0));

komp2=(2/(3*pi))*sin(2*pi*(3*f0)*t-.01*pi*(3*f0));

komp3=(2/(5*pi))*sin(2*pi*(5*f0)*t-.01*pi*(5*f0));

komp4=(2/(7*pi))*sin(2*pi*(7*f0)*t-.01*pi*(7*f0));

s=komp1+komp2+komp3+komp4;

plot(t*1000,s);

grid;

title('Kvadratni val od 4 komponente s 5ms faznog kašnjena');

xlabel('ms')

0052 2 2

θ.

π π π

kf kt

f f

Proračun s konstantnim faznim (vremenskim) kašnjenjem 5 ms i

linearnom fazom. Linearna faza nema faznog izobličenja.

01. πk

01θ . πf

Ozren Bilan 119

Dovoljan uvjet linearne faze Ako se FIR filter sastoji od neparnog broja koeficijenata, M + 1, gdje je M paran i simetričan s obzirom na izraz M/2, filter de imati linearni fazni odziv Δθ = −(M/2)Ω. Grupno kašnjenje filtera de

biti M/2.

Takav filter nazivamo filter tip I (neparne dužine i pozitivne simetrije). Drugi tipovi filtera imaju različite permutacije dužine i simetrije. Filter tip I je najčešdi i najlakši za projektiranje.

Ozren Bilan 120

2

1. Neparni broj točaka impulsnog odziva

2. Točka simetrije n=2

3. Jednake vrijednosti impulsnog odziva s obje strane centra simetrije

4. Grupno kašnjenje = 2

Translatirani impulsni odziv

Translacija

centar simetrije

11.9.2013.

21

Dovoljan uvjet linearne faze

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

0.9

1.8

2.7

3.6

4.5

Normalized Frequency ( rad/sample)

Mag

nitud

e

Magnitude and Phase Responses

-300

-240

-180

-120

-60

0

Phas

e (d

egre

es)

h=[-1,1,2,1,-1];

fvtool(h,1)

Ozren Bilan 121

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

-53.3257

-40.2955

-27.2654

-14.2352

-1.205

11.8252

Normalized Frequency ( rad/sample)

Magnitu

de (

dB

)

Magnitude (dB) and Phase Responses

-5

-4

-3

-2

-1

0

Phase (

radia

ns)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

4

Real Part

Imagin

ary

Part

Pole/Zero Plot

Idealni niskopropusni filter

Ω0-Ω0

H(Ω)

1

π-π

Ozren Bilan 122

0

0

0

0

0 0

0 0

0

1[ ] ( )

2

1 - H( ) =

0 otherwise

1[ ]

2

1

2

1 1

2

1[ ] sin( )

j n

j n

j n

jn jn

h n H e d

h n e d

ejn

e en j

or

h n nn

0 0

0 0

0

00 0 0

1 1[0]

2 2

1 1( ) (2 )

2 2

jh e d d

0

0

0

[ ] 1

sin( ) 0

n

h n

n nn

x

xx

)sin()(sinc

0 0 0

00

1 1[ ] sin( ) sin c( )

[ ] sinc( ) -

h n n n nn n

or

h n n n

Impulsni odziv

inače

ili ili

Impulsni odziv idealnog niskopropusnog filtera

• Impulsni odziv idealnog niskopropusnog filtera:

• Impulsni odziv ima linearnu fazu zbog svojstva simetrije h[-n] = h[n]

• Impulsni odziv ne može se izračunati jer je beskonačan i antikauzalan

• Za proračun moramo konačni skup vrijednosti M+1 h[n] kasniti za M/2 uzoraka kako bi h[n] postao konačan i kauzalan

• Napravimo li impulsni odziv konačnim, djelovat demo na svojstva filtera ali ne i na linearni odziv faze

00[ ] sinc( ) - h n n n

Ozren Bilan 123

Primjer: niskopropusni filter s 21 koeficijentom gdje je Ω0 = π/4

n=0:20; % broj uzoraka 21

omega=pi/4; % odrezna frekvencija

h=(omega/pi)*sinc(omega*(n-10)/pi);

% translacija centra simetrije za 10 uzoraka na desno

stem(n,h)

title('Translatirani niskopropusni impulsni odziv')

xlabel('n')

ylabel('h[n]')

fvtool(h,1)

Uočavamo svojstvo linearne faze impulsnog odziva

Ozren Bilan 124

10 translacija

0 2 4 6 8 10-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3Translatirani niskopropusni impulsni odziv

n

h[n

]

0 0.2 0.4 0.6 0.8

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Normalized Frequency ( rad/sample)

Magnitude (

dB

)

Magnitude Response Estimate

niskopropusni filter s 11 koeficijenata gdje je Ω0 = π/4

Primjer: niskopropusni filter s 201 koeficijentom gdje je Ω0 = π/4

n=0:200;

% postavljamo red filtera dužine (n)=201 uzorak

omega=pi/4;

h=(omega/pi)*sinc((n-100)*omega/pi);

% pomak na desno za 100 uzoraka

fvtool(h,1)

Viši red filtera ima strmiji prijelaz

Valovanje Gibbsovog učinka nastaje zbog naglog odrezivanja impulsnog odziva

Ozren Bilan 125

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Normalized Frequency ( rad/sample)

Magnitu

de (

dB

)

Magnitude Response (dB)

niskopropusni filter s 501 koeficijentom gdje je Ω0 = π/4

Učinak Hamming vremenskog otvora

n=0:20;

omega=pi/4;

h=(omega/pi)*sinc((n-10)*omega/pi);

w=0.54+0.46*cos(2*pi*(n-10)/20);

% Hamming prozor kojemu je N-1=20

hw=h.*w;

% koristimo “ .* “ za množenje h i w uzorak po uzorak

stem(n,w)

title('Hamming prozor')

figure,stem(n,h,'ro')

hold

stem(n,hw,'bd')

title('Usporedba impulsnog odziva pravokutnog i Hammingovog prozora ')

legend('pravokutni','Hamming')

fvtool(hw,1)

Ozren Bilan 126

254 46

1

π[ ] . . cos

nw n

N[ ] [ ] [ ]Wh n w n h n

Ublažuju naglo odrezivanje impulsnog odziva prema nuli primjer: Hamming vremenski otvor ili prozor filter

11.9.2013.

22

Idealni visokopropusni filter

-π π-Ω0 Ω0

1

H(Ω)

Ozren Bilan 127

0

0

0

0

0 0

0 0

1

2

1 1

2 2

1 1 1 1

2 2

1 1 1 1

2 2

1 1 1 1

2 2

π

π

π

π

π

π π

π π

[ ] ( ) π

π π

π π

π π

π π

j n

j n j n

j n j n

j n j n j n j n

j n j n j n j n

h n H e d

e d e d

e ejn jn

e e e en j n j

e e e en j n j

0

1 1 sin(π ) sin( )

π πn n

n n

00[ ] sinc(π ) sinc( )

πh n n n n

Primjer: Idealni visokopropusni filter s 201 koeficijentom gdje je Ω0 = 3π/4

>> n=0:200;

>> omega=3*pi/4;

>> h=sinc(n-100)-(omega/pi)*sinc(omega*(n-100)/pi);

% Both terms shifted by 100 samples

>> hw=h.*blackman(201)';

>> fvtool(hw,1)

Blackman prozor više potiskuje bočne lobove

nepropusnog područja

Ozren Bilan 128

Pojasno-nepropusni i pojasno-propusni filter

0 πΩL ΩH

1HBR = HLP + HHP

HLPHHP

HLPLHLPH

ΩL ΩH π0

HLPH - HLPL

1

hbr = hLP + hHP

hbp = hLPH - hLPL

Ozren Bilan 129

pojasno-nepropusni

pojasno-propusni filter

Nastaje sumiranjem niskopropusnog i visokopropusnog filtera

Nastaje oduzimanjem niskopropusnog s višom odreznom frekvencijom i niskopropusnog filtera s nižom odreznom frekvencijom

Primjer pojasno-nepropusni i pojasno-propusni >> n=0:200; >> fs=2000; >> omegaL=2*pi*400/fs; >> omegaH=2*pi*600/fs; >> hLPL=(omegaL/pi)*sinc(omegaL*(n-100)/pi).*hamming(201)'; >> hLPH=(omegaH/pi)*sinc(omegaH*(n-100)/pi).*hamming(201)'; >> hHP=(sinc(n-100)-(omegaH/pi)*sinc(omegaH*(n-100)/pi)).*hamming(201)'; >> h_bandpass=hLPH-hLPL; >> h_bandreject=hLPL+hHP; >> fvtool(h_bandpass,1) >> fvtool(h_bandreject,1)

Ozren Bilan 130

Učinak grupnog kašnjenja filtra 200. reda

m=1:250;

% sinusoida dužine 250 uzoraka

fs=2000;

f=2*pi*100/fs;

x=sin(f*m);

y=filter(hLPL,1,x);

% Naredba filter izvršava filtriranje signala x

subplot(2,1,1),

plot(x),

title('Sinusoida frekvencije 100 Hz na ulazu'),

axis([0,250,-2,2]);

grid;

subplot(2,1,2),

plot(y),

title('Izlaz niskopropusnog filtra'),axis([0,250,-2,2]);

grid;

Ozren Bilan 131

Izlazni signal kasni 100 uzoraka

Projektiranje FIR filtera postupkom sempliranja

Temelj postupka sempliranja je svojstvo po kojem DFT predstavlja uzorak DTFT Kako bi se u to uvjerili napravit demo DFT frekvencijskog odziva filtera:

n=0:10; % Projektiramo niskopropusni %filter postupkom prozora

omega=pi/4; h1=(omega/pi)*sinc(omega*(n-5)/pi); dtft_demo(h1,0,2*pi,512); % Prikaz DTFT filtera

hold [H1,f]=dft_demo(h1); % Računamo DFT filtera stem(f/pi,abs(H1), 'r‘, ‘filled');

legend('DTFT od h1','DFT od h1') title('Fourierova transformacija impulsnog odziva h1') hold off

Ozren Bilan 132

DFT i DTFT filtera

11.9.2013.

23

Projektiranje FIR filtera postupkom sempliranja

Jednoliko udaljeni uzorci frekvencijskog odziva u frekvencijskom području Ω = 0 do 2π predstavljaju diskretnu Fourierovu transformaciju (DFT) konačnog impulsnog odziva iste dužine:

Ako je zadan frekvencijski odziv, impulsni odziv računamo inverznom DFT frekvencijskog odziva

1 2

0

[ ] [ ]

0,1,2,... 1

kN j nN

n

H k h n e

k N

1 2

0

1[ ] [ ]

0,1,... 1

kN j nN

k

h n H k eN

n N

Ozren Bilan 133

Projektiranje FIR filtera postupkom sempliranja

1: Određujemo kritičnu frekvenciju Ω0

2: Određujemo red filtera M, koji mora biti paran

3: Konstruiramo vektor sastavljen od M+1 realnih vrijednosti frekvencijskog odziva jednoliko udaljenih od Ω = 0 do 2π. Za lakši rad koristimo gotove funkcije.

[H,omega]=selectH_lp(Ω0,M+1) ili

[H,omega]=selectH_hp(Ω0,M+1)

4: Kreiramo kauzalni frekvencijski odziv tako da kasnimo odziv za M/2.

H_delay=exp(-j*omega*M/2).*H

5: Računamo impulsni odziv filtera s frekvencijskim odzivom koji kasni za M/2 primjenom inverzne diskretne Fourierove transformacije:

h=inv_dft_demo(H_delay)

6: Impulsni odziv propuštamo kroz funkciju prozora: npr. hamming:

hw=h.*hamming(length(h))'

Ozren Bilan 134

Primjer : projektiranje FIR filtera postupkom sempliranja

Specifikacija filtera.

• Niskopropusni 100. reda

• Odrezna frekvencija 500 Hz

• Frekvencija sempliranja 3000 Hz

• Hammingov prozor

Ozren Bilan 135

n=0:100; fs=3000; fc=500; omega_cutoff=2*pi*fc/fs; [x,f]=selectH_lp(omega_cutoff,length(n)); % kreiramo uzorke odziva M=length(x)-1; H=exp(-j*f*M/2).*x; % računamo frekvencijski odziv kauzalnog filtera h=inv_dft_demo(H); % računamo impulsni odziv h_hamming=h.*hamming(length(n))'; % Hamming prozor subplot(2,1,1),dtft_demof(h,0,1500,512,3000);grid; % crtanje magnitudnog odziva title('Projektiranje sempliranjem – pravokutni prozor') subplot(2,1,2), dtft_demof(h_hamming,0,1500,512,3000);grid; title('Projektiranje sempliranjem - Hamming prozor')

Projektiranje sempliranjem FIR2

B=fir2(N,F,A)

• N = red filtera

• F = Odrezna frekvencija Ω izražena pomodu π

• A = Amplituda koja odgovara odreznoj frekvenciji F

0 0.3π π

F = [0, 0.3, 0.3, 1]

A = [1, 1, 0, 0]

Ozren Bilan 136

Projektiranje sempliranjem FIR2 filter

N=100;

% red filtera

fs = 3000;

% frekvencija sempliranja

fc=500;

% odrezna frekvencija

F=[0,2*fc/fs,2*fc/fs,1];

% vektor frekvencijskih točaka

A=[1,1,0,0];

% Amplitude koje odgovaraju F

B=fir2(N,F,A);

%računamo impulsni odziv

dtft_demof(B,0,1500,512,3000);grid;

title('Projektiranje sempliranjem FIR2 filtera')

MATLAB pri proračunu FIR2 koristi Hamming

Ozren Bilan 137

Optimalni projekt filtera

Red filtera, širinu prijelaznog područja i valovanje su relacijski međusobno povezani pa ih nije mogude specificirati neovisno. Zadaju se dva parametra, a vrijednost tredeg određuju zadani.

Za unaprijed određeno valovanje i širinu prijelaznog području, proračun daje optimalni red filtera Parks-McClellan postupkom projektiranja.

Ozren Bilan 138

11.9.2013.

24

Projektiranje Parks-McClellan niskopropusnog filtera

Specifikacija: • Niskopropusni 20. reda • Kritična frekvencija π/4

• Širina prijelaznog područja 0.2π • Specificiranjem reda i prijelazne širine

proračunava se valovanje u propusnom i nepropusnom području

f=[0 .15 .35 1]; % određujemo rubove pojasa normaliziranom

frekvencijom % prijelazno područje je između 0.15 i 0.35 tj. = 0.20 a=[1 1 0 0]; % željeni amplitudni odziv u propusnom i

nepropusnom području dobiva se određenjem amplitude na rubovima područja

N=20; % red filtera % dužina filtera je onda N + 1. h=firpm(N,f,a); grid; fvtool(h,1)

Ozren Bilan 139

Kako bi popravili valovanje potrebno je povisiti red ili proširiti prijelazno područje

Usporedba postupaka % Projekt pomodu prozora n=0:20; omega=pi/4; hwin=(omega/pi)*sinc(omega*(n-

10)/pi).*blackman(21)'; % Projekt sempliranjem [H,f]=selectH_lp(pi/4,21); %funkcija koja generira uzorke odziva % i frekvencije niskopropusnog filtera M=20; Hk=exp(-j*f*M/2).*H; hs=inv_dft_demo(Hk); hsamp=hs.*blackman(21)'; % propušteno kroz Blackman prozor % Optimalni projekt f=[0,.15,.35,1]; a=[1,1,0,0]; w=[1,1]; N=20; hopt=firpm(N,f,a,w); fvtool(hwin,1) %Filter Visualization Tool

fvtool(hsamp,1) fvtool(hopt,1)

Ozren Bilan 140

Najbolje prijelazno područje za zadani red filtera

fvtool(hwin,1,hsamp,1,hopt,1)

Primjena antikauzalnog filtra nulte faze FIR filterima mogude je projektirati filter linearne faze koji u primjeni kasne izlaz za nepromjenjivi broj uzoraka. IIR filteri su po pitanju faznih izobličenja vrlo nelinearni. filtfilt funkcija koristi informaciju u signalu u točkama prije i nakon trenutne točke. U biti gledaju u budućnost signala kako bi eliminirali fazna izobličenja. Kako bi se uvjerili u takvo ponašanje filtera projektiranog funkcijom filtfilt, prisjetimo se: ako je z-transformacija realne sekvence x(n) -> X(z), z-transformacija vremenski obrnute sekvence x(n) je X(1/z). Tako signal trajanja 2 sekunde sampliran sa 200 Hz, a sastavljen od dvije sinusoidalne komponente na 3 Hz i 25 Hz bit de u Matlabu:

Fs = 200; t = 0:1/Fs:1; x = sin(2*pi*t*3)+.25*sin(2*pi*t*40);

Kreiramo usrednjavajudi averaging FIR filter u 10 točaka kako bi filtrirali x. Za usporedbu demo primjenit funkcije filter i filtfilt :

b = ones(1,10)/10; % usrednjavajuci filter u 10 tocaka y = filtfilt(b,1,x); % nekauzalno filtriranje yy = filter(b,1,x); % normalno filtriranje plot(t,x,t,y,'--',t,yy,':')

141 Ozren Bilan 142

Obje verzije filtera očito eliminiraju sinusoidu od 25 Hz vidljivu u izvornom signalu (plava puna linija). Vidimo i razliku filter i filtfilt; isprekidana zelena linija (filtfilt) u fazi je s izvornom sinusoidom od 3 Hz. Točkasta crvena linije (filter) kasni za 5 uzoraka i vidljivo je nepravilnog oblika. Amplituda isprekidane linije je manja zbog učinka filtfilt. Nadalje filtfilt, smanjuje učinke tranzijenata pri uključivanju pažljivim izborom početnih uvjeta i dodavanja na izlaznu sekvencu kratkog reflektiranog dijela ulazne sekvence. Najbolji rezultati se postižu ako je sekvenca koju filtriramo bar tri puta duža od reda filtera i podešena na nulu na oba kraja signala. Više na vježbama.

filter filtfilt x(t)

Ozren Bilan

Zaključak: FIR filteri

• Prikazali smo tri postupka projektiranja fazno linearnog FIR filtera:

Postupak idealnog prozora

Postupak sempliranja

Optimalni Parks-McClellan postupak

• FIR filterima se lako projektiraju fazno linearni filteri koji nemaju fazna izobličenja signala.

• IIR filteri su fazno nelinearni

Ozren Bilan 143

IIR filteri Infinite Impulse Response Filter

CILJ Opis opdeg koncepta i pristupa pri projektiranju IIR filtera. Pokazati projekt digitalnog oscilatora lokacijom polova. Pokazati projekt uskopojasnog pojasno nepropusnog filtera

lokacijom polova i nula. Opisat karakteristike četiri klasična prototipa analognih filtera Prikazati projekt prototipnog analognog filtera MATLABom. Izvod i opis bilinearne transformacije. Pokazati postupak projekta IIR filtera bilinearnom

transformacijom Prikazati primjenu MATLAB funkcija za projektiranje IIR filtera s

odzivima klasičnih analognih filtera. Prikazati učinak kvantizacije koeficijenata na karakteristike IIR

filtera.

11.9.2013.

25

Temeljni koncept projektiranja IIR filtera

• Frekvencijski odziv DSP filtera je vrijednost prijenosne funkcije na jediničnoj kružnici u z-području.

• Položaj polova i nula određuje oblik prijenosne funkcije u kompleksnoj ravnini.

• Stabilnom sustavu polovi moraju biti unutar jedinične kružnice

2 3

0 1 2 3

2 3

0 1 2 3

...( )

...

j j j j M

M

j j j j N

N

b b e b e b e b eH

a a e a e a e a e

Ozren Bilan 145

Tipična primjena IIR Filtera

• Digitalni oscilatori

• Uskopojasni nepropusni notch filteri

• Digitalni ekvivalenti analognih prototipova:

– Butterworthovog

– Čebiševljevog I

– Čebiševljevog II

– Eliptičkog ili Cauerovog filtera

Ozren Bilan 146

Digitalni oscilator

1 1

0

1

0 00 2 1 2

0 0

( ) ( ) ( )

( ) [ ] 1

( ) ( )

( ) ( ) sin( ) [ ]

sin( ) sin( )sin( ) [ ] ( )

2cos( ) 1 1 2cos( )

Y z H z X z

X z Z n

so

Y z H z

Z Y z Z H z A n u n

A z A zZ A n u n H z

z z z z

onda je

• Ω0 predstavlja digitalnu frekvenciju oscilatora u radijanima

• A je amplituda dobivene sinusoide

• Ponekad se naziva dvopolni rezonator jer prijenosna funkcija ima 2 pola na +/- Ω0 točno

na jediničnoj kružnici pa je stabilan

• Frekvencija u Hz Ω = 2πf/fs

1

0

1 2

0

sin( )( )

1 2cos( )

A zH z

z z

Zadatak:

Projektiraj oscilator frekvencije 200 Hz u sustavu kojemu je frekvencija sempliranja 8 kHz.

f=200;

fs=8000;

omega=2*pi*f/fs;

b=[0,sin(omega)];

a=[1,-2*cos(omega),1];

fvtool(b,a)

% Pomodu fvtool prikazujemo različite podatke Prijenosna funkcija digitalnog oscilatora

Ozren Bilan 147

Rezultati projektiranja digitalnog oscilatora

Pri frekvenciji sempliranja 8 kHz trajanje uzorka je 0.125 ms. 40 uzoraka = 5 ms = period sinusne funkcije 200 Hz.

x su lokacije polova = ±Ω0 = ±2π (200/8000) = ±0.1571 radijana

Ozren Bilan 148

Uskopojasno nepropusni notch filteri

• Projektiraju se položajem polova i nula

• Nule su locirane na frekvenciji klanca Ω

• Polovi su u blizini nula, unutar jedinične kružnice, a upravljaju širinom klanca.

• Na svim ostalim frekvencijama je jedinični faktor pojačanja

• Na višestrukim frekvencijama projektira se pomodu kaskade ili konvolucije a i b vektora koeficijenata individualnih filtera.

0.64 0.66 0.68 0.7 0.72 0.74 0.76

0.62

0.64

0.66

0.68

0.7

0.72

0.74

0.76

Real Part

Imagin

ary

Part

Pole/Zero Plot

Ozren Bilan 149

Prijenosna funkcija uskopojasno nepropusnog filtera

1 2

0 0

1 2 2

0

[1 2cos( ) ]( )

1 2 cos( )

g z zH z

r z r z

2

00

0

|1 2 cos( ) |

2 |1 cos( ) |

r rg

1 2

r

• Prijenosna funkcija uskopojasno nepropusnog filtera s frekvencijom klanca Ω0

• ΔΩ je širina s odzivom -3 dB, što još nazivamo faktor dobrote.

• parameter r je polumjer pola

• Faktor pojačanja g0.

• Projektiranje usklađuje polumjer pola i širinu klanca.

0Q

Ozren Bilan 150

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Normalized Frequency ( rad/sample)

Magnitude

Magnitude Response

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real Part

Imagin

ary

Part

Pole/Zero Plot

11.9.2013.

26

Primjer 1: uskopojasno nepropusnog filtera Projektiraj uskopojasno nepropusni filtera s frekvencijom

Ω0 = π/4 i

Q faktorom 20

omega=pi/4;

Q=20;

delta_omega=omega/Q;

r=1-delta_omega/2;

g=abs(1-2*r*cos(omega)+r^2)/(2*abs(1-cos(omega)));

% g0 faktor pojačanja

bn=g*[1,-2*cos(omega),1];

% b koeficijenti filter

an=[1,-2*r*cos(omega),r^2];

%The a coefficients of the notch filter

fvtool(bn,an) Uočavamo nule na jediničnoj kružnici s pripadajudim

polovima unutar jedinične kružnice u kompleksnoj

ravnini na Ω0 = π/4

0.64 0.66 0.68 0.7 0.72 0.74 0.76

0.62

0.64

0.66

0.68

0.7

0.72

0.74

0.76

Real Part

Imagin

ary

Part

Pole/Zero Plot

Ozren Bilan 151

Primjer 2: uskopojasno nepropusnog filtera

Pretpostavimo da je zadan uskopojasno nepropusni (notch) filter s impulsnim odzivom (jezgrom ili kernelom) filtra H(z): Primijenimo na ulaz sinusnu funkciju:

x(n)= sin((2pi f1 n)/fs) + sin((2pi f2 n)/fs) + sin((2pi f3 n)/fs) gdje je

f1=150 Hz , f2=60 Hz, f3=200 Hz i fs, frekvencija sampliranja 1000Hz. Primjenom programa nacrtajmo: Ulazni spektar, Magnitudni odziv filtera, Izlazni spektar

Ozren Bilan 152

PROGRAM: clear; N=4096; % ukupni broj uzoraka fs=1000; % frekvencija sampliranja f1=150; % prva frekvencijska komponenta f3=200; % treda frekvencijska komponenta f2=60; % druga frekvencijska komponenta n=0:N-1; x=sin(2*pi*(f1/fs)*n)+sin(2*pi*(f2/fs)*n)+sin(2*pi*(f3/fs)*n); [pxx,fx]=psd(x,2*N,fs); plot(fx,20*log10(pxx)); grid; title('Magnitudni spektar x(n)'); xlabel('Frekvencija (Hz)'); ylabel('Magnituda (dB)'); sin(2*pi*(f2/fs)*n); b=[1 -1.8596 1]; a=[1 -1.8537 0.9937]; k=0.9969; b=k*b; figure(1);

subplot(1,3,1); [pxx,fx]=psd(x,2*N,fs); plot(fx,20*log10(pxx)); grid; title('Magnitudni spektar signala x(n) s tri komponente'); xlabel('Frekvencija Hz'); ylabel('Magnituda dB'); *h,f+=freqz(b,a,1024,fs); % određuje frekvencijski odziv % filtera s koeficijentima 'b' i 'a' % korišenjem 4096 točie oko % jedinične kružnice uz frekvenciju % sampliranja fs. Funkcija % vrada vrijednost prijenosne % funkcije h, za svaku frekvenciju f u Hz. magH=abs(h); % određuje magnitudu filtera phaseH=angle(h); % određuje fazni kut filtera subplot(1,3,2); % dijeli sliku u dva retka i % jedan stupac i aktivira prvi red plot( f, 20*log10(magH)); % crta

magnitudu u dB u % ovisnosti o frekvenciji grid; % dodaje mrežu na slici title('Magnitudni odziv filtera koji eliminira 60Hz'); xlabel('Frekvencija'); ylabel('Magnituda dB'); y=filter(b,a,x); *pyy,fy+=psd(y,2*N,fs); % određuje spektar subplot(1,3,3); % bira tredi stupac slike plot(fy,20*log10(pyy)); % crta izlazni spektar u dB grid; % dodaje mrežu title('Magnitudni spektar y(n) filtriranog signala'); xlabel('Frekvencija Hz'); ylabel('Magnituda dB');

Ozren Bilan 153

0 100 200 300 400 500-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60Magnitudni spektar signala x(n) s tri komponente

Frekvencija Hz

Magnituda d

B

0 100 200 300 400 500-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2Magnitudni odziv filtera koji eliminira 60Hz

Frekvencija

Magnituda d

B

0 100 200 300 400 500-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60Magnitudni spektar y(n) filtriranog signala

Frekvencija Hz

Magnituda d

B

Spektar signala sastoji od tri sinusne komponente na 60Hz, 150Hz i 200Hz.

Iz magnitudnog odziva filtera vidljivo je da filter atenuira

komponentu na frekvenciji od 60 Hz.

guše

nje

Izlazni spektar sastoji od signala na 150 i 200 Hz te

prigušenog signala na 60Hz.

Ozren Bilan 154

Prototipni analogni filteri i specifikacije Analogni tip Valovanje

propusnog područja Valovanje

nepropusnog područja

Prijelazno područje

Butterworth monotono ili maksimalno ravno

monotono široko

Čebiševljev-I jednoliko monotono usko

Čebiševljev-II monotono jednoliko usko

Eliptički (Cauerov) jednoliko jednoliko vrlo usko

Razlika tipa I i II

Ozren Bilan 155

Prijenosne funkcije

1 2

0 1 2

1 2

1 2

...( )( )

( ) ...

m m m

m

n n n

n

b s b s b s bY sH s

X s s a s a s a

1 2

0 1 2

1 2

0 1 2

...( )( )

( ) ...

M

M

N

N

b b z b z b zY zH z

X z a a z a z a z

Analogni filter:

Digitalni filter:

Ozren Bilan 156

11.9.2013.

27

MATLAB naredbe za projektiranje prototipova filtera

[B,A] = BUTTER(N,Wn) [B,A] = CHEBY1(N,R,Wn) [B,A] = CHEBY2(N,R,Wn)

[B,A] = ELLIP(N,Rp,Rs,Wn)

• N = red filtera

• R = valovanje u dB, propusnog područja (cheby1)

• R = valovanje u dB, nepropusnog područja (cheby2)

• Rp i Rs označuju isto za eliptični filter.

• Wn = odrezna frekvencija u rad/s za analogni filter ili normalizirana digitalna

frekvencija izraženi u pi za digitalni filter

• [B,A] = koeficijenti analognog filtera u s-području ili digitalnog u z-području

Ozren Bilan 157

Primjer analognog filtera

Projektiramo Eliptički analogni filter 4. reda s odreznom frekvencijom 10 Hz, maksimalnim valovanjem propusnog pojasa 1 dB i minimalnim slabljenjem nepropusnog pojasa -20 dB.

cutoff=2*pi*10; % odrezna frekvencija 2 pi f % parametri filtera order=4;% 4. red Rp=1; % valovanje u propusnom pojasu Rs=20; % valovanje u nepropusnom pojasu [b,a]=ellip(order,Rp,Rs,cutoff,'s'); % s opcija za analogni filter označava s-područje W=linspace(0,2*pi*20); % kreiramo linearni frekvencijski vektor od 100 točaka 0

do 20 Hz [H,f]=freqs(b,a,W); % Naredba freqs vrada kompleksnu vrijednost

prijenosne funkcije frekvencijskog vektora W kopiranog u vektor f

plot(f/(2*pi),abs(H)); grid; % crtamo magnitudu H u ovisnosti frekvencije u Hz title('Eliptički filter 4. reda s odreznom frekvencijom 10

Hz') xlabel('Frekvencija Hz') ylabel('Magnitudni odziv')

Ozren Bilan 158

Digitalni projekt analognog prototipa Bilinearna transformacija

Bilinearna transformacija mapira kompleksnu varijablu s u analognoj prijenosnoj funkciji u kompleksnu varijablu z u digitalnoj prijenosnoj funkciji

2 1

1

2

2

zs

T z

or

sTz

sT

ili

/ 2 / 2 / 2

/ 2 / 2 / 2

-1

2 1 2 1

1 1

2 [ ]

[ ]

2 sin2 2

2cos2

2tan

2

2tan

2

or

T2tan

2

j

j

j j j

j j j

z es j

T z T e

e e e

T e e e

j

T

j

T

or

T

Bilinearno mapiranje

Kompleksna varijabla s preslikava se u analognu prijenosnu funkciju kompleksne varijable z digitalne prijenosne funkcije

ili

ili

Ozren Bilan 159

Z ravnina S ravnina

Postupak projektiranja filtera DSP implementacijom

• Odredi željenu odreznu frekvenciju za digitalni filter, Ω0

• Izračunaj ekvivalentnu odreznu frekvenciju analognog filtera ω0, primjenom jednadžbe (str. 158.)

• Projektiraj analogni filter određenjem koeficijenata vektora a i b.

• Bilinearnom transformacijom s→z odredi koeficijente digitalnog filtera

MATLAB IIR Design Tools opdi pristup projektiranju

MATLAB postupak projektiranja IIR filtera sastoji se od dvije naredbe za:

1) određivanje reda filtera i kritične frekvencije, 2) proračuna koeficijenata filtera. Primjer: Butterworth

[N, Wn] = BUTTORD(Wp, Ws, Rp, Rs) [B,A] = BUTTER(N,Wn,'tip') gdje je tip high (visokopropusni) ili stop, ako je određeno.

Parametri naredbe su: Wp = Ω rubovi propusnog pojasa izraženi pomodu π

Ws = Ω rubovi nepropusnog pojasa izraženi pomodu π Rp = valovanje propusnog pojasa u dB Rs = valovanje nepropusnog pojasa u dB

Ozren Bilan 160

Primjer Butterworth Specifikacija željenog filtera:

• Butterworth odziv

• Rub propusnog pojasa= 400 Hz i 600 Hz

• Rub nepropusnog pojasa = 300 Hz i 700 Hz

• Valovanje propusnog pojasa = 1 dB

• Slabljenje nepropusnog pojasa = -20 dB

• Frekvencija sempliranja = 2000 Hz

fs=2000;

Wp=[2*400/fs,2*600/fs];

% Normalizirana digitalna frekvencija rubova propusnog pojasa

Ws=[2*300/fs,2*700/fs];

% Normalizirana digitalna frekvencija rubova nepropusnog pojasa

[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,1,20);

% naredba reda

[B,A]=butter(N,Wn);

% naredba projekta filtera

fvtool(B,A) %prikazuje sve parametre

Rub propusnog i nepropusnog pojasa

-1dB i

-20 dB

Ozren Bilan 161

Primjer: Čebiševljev visokopropusni filter II-tipa Specifikacija filtera:

• Odziv Čebiševljev tip-II valovanje u nepropusnom pojasu

• Granica propusnog pojasa = 1000 Hz

• Granica nepropusnog pojasa = 900 Hz

• Valovanje u propusnom pojasu = 1 dB

• Slabljenje u nepropusnom pojasu= -40 dB

• Frekvencija sempliranja= 8 kHz

fs=8000;

Wp=[2*1000/fs];

% normalizirana digitalna frekvencija granice propusnog pojasa

Ws=[2*900/fs];

% normalizirana digitalna frekvencija granice nepropusnog pojasa

[N,Wn]=cheb2ord(Wp,Ws,1,40);

% red filtera

[B,A]=cheby2(N,40,Wn,'high');

% naredba projektiranja filtera koja zahtjeva slabljenje nepropusnog pojasa kao parametar

fvtool(B,A)

Ozren Bilan 162

11.9.2013.

28

Usporedba eliptičkog filtra s Parks-McClellan

Specifikacija filtera:

• niskopropusni

• Širina propusnog pojasa = 475 Hz

• Širina nepropusnog pojasa= 525 Hz t.j. prijelazno područje širine 50 Hz

• Valovanje u propusnom pojasu manje od 0.01 u apsolutnom iznosu ili 20log(1-0.01) = 0.0873 dB

• Slabljenje u nepropusnom pojasu vede od -40 dB t.j. 0.01 valovanje u apsolutnom iznosu

• Frekvencija sempliranja 2000 Hz

Određivanje reda Parks-McClellan filtera

[N,Fo,Ao,W] = FIRPMORD(F,A,DEV,Fs) B = FIRPM(N,Fo,Ao,W)

N = red filtera F = opseg, Ω izražen pomodu π ili u Hz ako je zadana Fs A = amplituda unutar opsega određenim rubovima u F *dužina (F) jednaka je 2*length(A)-2] DEV = devijacija ili valovanje u svakom području određen F u apsolutnim jedinicama, a ne u dB

Fs = frekvencija sempliranja u Hz

Ozren Bilan 163

Parks-McClellan projekt prema specifikaciji

F = [475,525]; A = [1,0]; DEV = [.01,.01];

Fs = 2000; [N,Fo,Ao,W] = firpmord(F,A,DEV,Fs); B = firpm(N,Fo,Ao,W);

fvtool(B,1) >> N N = 78 red filtera

Ozren Bilan 164

Projekt eliptičkog filtera prema specifikaciji

fs=2000; fpass=475; fstop=525;

Wp=2*fpass/fs; Ws=2*fstop/fs; Rp=0.0873;

Rs=40; [N,Wn]=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs); [Be,Ae]=ellip(N,Rp,Rs,Wn); fvtool(Be,Ae)

N N = 7

Ozren Bilan 165

Koeficijenti brojnika i nazivnika filtera

Utjecaj kvantizacije koeficijenata Čebiševljevog visoko propusnog

filtera tipa II dvostrukom preciznosti i 16 bitnom točnosti

fs=8000; Wp=[2*1000/fs]; % normalizirana digitalna frekvencija ruba propusnog pojasa Ws=[2*900/fs]; % normalizirana digitalna frekvencija ruba nepropusnog pojasa [N,Wn]=cheb2ord(Wp,Ws,1,40); % red filtera [B,A]=cheby2(N,40,Wn,'high'); % Odznači A i B da vidiš učinak proračuna % 16 bitne točnosti na IIR filter % A=quantize(A,16); % B=quantize(B,16); % cheby2 je naredba filter pa sintaksa zahtjeva % drugi parametar slabljenje nepropusnog pojasa % Naredbom fvtool prikazujemo karakteristike fvtool(B,A)

Polovi x stabilnog IIR filtera moraju biti unutar jedinične kružnice u

kompleksnoj ravnini

Kvantizacija i greške zaokruživanja mogu uzrokovati pomak polova što daje nestabilni IIR filter

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

-54.988

-46.4436

-37.8992

-29.3547

-20.8103

-12.2659

-3.7215

4.8229

13.3673

21.9117

Normalized Frequency ( rad/sample)

Magnitude (

dB

)

Magnitude Response (dB)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Normalized Frequency ( rad/sample)

Magnitude (

dB

)

Magnitude Response (dB)

nestabilni filter

MATLAB HELP help quantize Y=quantize(X,BITS) This function takes the numbers in x and quantizes the range of x with the number of BITS. For example, if BITS=3, the function rounds the values of x to he nearest

of 8 equally spaced levels between the maximum and minimum of x.

Isti filter s različitom preciznosti koeficijenata

stabilni filter

Ozren Bilan 166

Zaključak: IIR filteri

• IIR filteri mogu se projektirati lokacijama nula i polova na jediničnoj kružnici • Digitalni oscilatori imaju polove na jediničnoj kružnici • Uskopojasni nepropusni Notch filteri: nule na jediničnoj kružnici sa

bliskim polovima koji upravljaju širinom filtera

• Klasični analogni filteri projektiraju se bilinearnom transformacijom

• IIR filteri imaju prednost nižeg reda za zadani frekvencijski odziv.

• IIR filteri imaju nedostatak mogude nestabilnosti zbog učinka kvantizacije koeficijenata i nelinearnog odziva faze.

Ozren Bilan 167

Primjer usporedbe dva niskopropusna filtera

Zadana su dva niskopropusna filtera sustav br. 1 i br. 2. s različitom atenuacijom u propusnom području. Razlika je posebno izražena na frekvencijama ulaznog signala. Interesira nas koji filter ima bolju karakteristiku potiskivanja visoko-frekvencijske komponente ulaznog signala x[n]? Vremenski diskretni sustavi karakterizirani su jednadžbama diferencije: Sustav br. 1 y[n] = 0.5 x[n] + 0.27 x[n − 1] + 0.77 x[n − 2], Sustav br. 2 y[n] = 0.45 x[n] + 0.5 x[n − 1] + 0.45 x[n − 2] + 0.53 y[n − 1] − 0.46 y[n − 2]. MATLAB Program računa izlaz oba sustava ako je zadan ulaz:

168

% Generiraj ulaznu sekvencu clf; n = 0:299; x1 = cos(2*pi*10*n/256); x2 = cos(2*pi*100*n/256); x = x1+x2; % Izracunaj izlazne sekvence num1 = [0.5 0.27 0.77]; y1 = filter(num1,1,x); % Izlaz sustava br. 1 den2 = [1 -0.53 0.46]; num2 = [0.45 0.5 0.45]; y2 = filter(num2,den2,x); % Izlaz sustav br. 2 % Nacrtaj izlazne sekvence subplot(2,1,1); plot(n,y1);axis([0 300 -2 2]); ylabel('Amplituda'); title('Izlaz sustava br. 1');grid; subplot(2,1,2); plot(n,y2);axis([0 300 -2 2]); xlabel('vremenski indeks n'); ylabel('Amplituda'); title('Izlaz sustava br. 2');grid;

Ozren Bilan

11.9.2013.

29

169 Ozren Bilan

Usporedba rekurzivnih i nerekurzivnih digitalnih filtera

Ni jedan postupak sinteze FIR i IIR filtera nije najbolja za sve primjene.

Izbor između FIR i IIR-filtera ovisi od parametara koji imaju najvedu težinu pri projektiranju i primjeni zadanog filtera.

IIR-filter ima prednost ako se zahtjeva brzo projektiranje jer se čitave familije frekvencijsko selektivnih filtera mogu projektirati direktnom zamjenom koeficijenata (polova i nula) u sustavu jednadžbi analognih filtera.

Kod FIR-filtera ta mogudnost ne postoji, a vedina metoda sinteze je invertirana, zahtjeva više vremena i složena je za realizaciju.

IIR-filter možemo proračunati ručnim kalkulatorom i tablicama analognih filtera pod uvjetom da se ne razmatra fazna karakteristika. Cijena brzog projektiranja je i smanjena fleksibilnost amplitudne karakteristike IIR-filtera.

Brzim proračunom IIR-eliptičnog niskofrekvencijskog filtera sa odličnom amplitudnom karakteristikom dobiti demo jako nelinearnu faznu karakteristiku na granicama propusta. Uz to, filter može oscilirati.

FIR možemo lako postidi linearnu fazu i stabilnost.

170 Ozren Bilan

FIR-filteri imaju linearnu faznu karakteristiku ali su proračuni za dobivanje aproksimacijske amplitudne karakteristike vrlo složeni. FIR-filteri nemaju povratnu spregu pa su uvijek stabilni.

Bitan parametar je i sklopovska složenost i vrijeme potrebno za izvršavanje funkcije filtera. Ovi faktori su direktno povezana sa redom filtera koji je neophodan da bi se ostvarila željena amplitudna karakteristika.

• Ako zanemarimo faznu karakteristiku, mnogo vedu selektivnost i oštriju amplitudnu karakteristiku možemo ostvariti sa IIR-filterom.

• Ako je značajna linearnost fazne karakteristike FIR-filteri su nezamjenjivi.

U pogledu utjecaja konačne dužine riječi, a posebno utjecanja kvantizacije koeficijenata, FIR-filteri su znatno pogodniji za primjenu. Drugim riječima izbor IIR ili FIR-filter ovisi o više faktora.

Bessel je optimalni filter ako treba minimizirati prebačaj i istitravanje.

Konačna odluka ovisi od inženjerske intuicije, proračuna, realizacije, a naročito primjene filtera.

171/171 Ozren Bilan