project510

8/7/2019 Project510

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C F D A n a l y s i s o f a 2 - D L i d D r i v e n C a v i t y F l o w

A n i r b a n G u h a

∗

A p r i l 2 8 , 2 0 0 9

A b s t r a c t

T h e p r e s e n t p a p e r d e a l s w i t h t h e m o d e l i n g a n d v a l i d a -

t i o n o f a 2 - D l a m i n a r , i n c o m p r e s s i b l e , v i s c o u s l i d - d r i v e n

c a v i t y o w . P r o p e r c h o i c e s o f a r t i c i a l c o m p r e s s i b i l i t y ,

a r t i c i a l v i s c o s i t y a n d o v e r - r e l a x a t i o n p a r a m e t e r s w e r e

m a d e . B o t h s q u a r e c a v i t y a n d a c a v i t y w i t h a s p e c t r a -

t i o o f 3 : 1 w e r e a n a l y z e d . V o r t e x f o r m a t i o n a n d i t s d e -

p e n d e n c e o n R e y n o l d s n u m b e r a s w e l l a s g e o m e t r y w e r e

s t u d i e d . Q u a n t i t a t i v e e s t i m a t i o n s o f t h e l o c a t i o n o f t h e

e y e o f v o r t e x a n d i t s s t r e n g t h w e r e m a d e .

I n t r o d u c t i o n

L i d d r i v e n c a v i t y o w i s a c l a s s o f i n t e r n a l , b o u n d e d o w

o f a n i n c o m p r e s s i b l e , v i s c o u s , N e w t o n i a n u i d i n w h i c h

t h e m o t i o n i s g e n e r a t e d b y a p o r t i o n o f t h e c o n t a i n i n g

b o u n d a r y . I f L a n d U b e t h e a s s o c i a t e d l e n g t h a n d v e -

l o c i t y s c a l e s r e s p e c t i v e l y , t h e n t h e n o r m a l i z e d c o n t i n u i t y

a n d N a v i e r S t o k e s e q u a t i o n s c a n b e w r i t t e n a s

.u = 0 ( 1 )

∂u

∂t+ (u.)u = − p + Re−12u

( 2 )

w h e r e

Re = UL/ν i s t h e R e y n o l d s n u m b e r . T h e

b o u n d a r i e s h a v e n o - s l i p c o n d i t i o n s a n d t h e i n i t i a l c o n -

d i t i o n c o r r e s p o n d s t o a q u i e s c e n t u i d . T h e u s e f u l n e s s

o f s t u d y i n g d r i v e n c a v i t y o w s i s t h a t t h e y e x h i b i t a l m o s t

a l l p h e n o m e n a t h a t c a n p o s s i b l y o c c u r i n i n c o m p r e s s i b l e

o w s , f o r e x a m p l e e d d i e s , s e c o n d a r y o w s , c o m p l e x p a t -

t e r n s , i n s t a b i l i t i e s , t r a n s i t i o n a n d t u r b u l e n c e . F i g u r e 1

s h o w s t h e s c h e m a t i c d i a g r a m o f a d r i v e n c a v i t y o w . T h e

g u r e s h o w s t h a t i n t h e p l a n e o f s y m m e t r y , t h e r e i s a p r i -

m a r y e d d y a n d a l s o s e c o n d a r y e d d i e s a t t h e c o r n e r s , t w o

a t u p s t r e a m a n d o n e a t d o w n s t r e a m . O u r i n t e r e s t i s t o

d e v e l o p a C F D c o d e w h i c h c a n c o r r e c t l y s i m u l a t e t h e

o w p h y s i c s o f a 2 - D l i d d r i v e n c a v i t y o w .

M o d e l i n g

• G e o m e t r y : W e a r e i n t e r e s t e d i n m o d e l i n g a 2 - D l i d

d r i v e n c a v i t y o w , h e n c e t h e g e o m e t r y c o n s i d e r e d

∗M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g D e p a r t m e n t , U n i v e r s i t y o f B r i t i s h

C o l u m b i a

F i g u r e 1 : S c h e m a t i c o f a 3 - D l i d d r i v e n c a v i t y o w [ 3 ]

h e r e i s 2 - D C a r t e s i a n .

• T i m e D e p e n d e n c e : T h e o w p r o p e r t i e s a r e d e -

p e n d e n t o n t i m e , h e n c e t h e p r o b l e m n e e d s t o b e

m o d e l e d a s a n u n s t e a d y p r o b l e m .

• F l u i d P r o p e r t i e s : T h e u i d i s i n c o m p r e s s i b l e , v i s -

c o u s a n d N e w t o n i a n . T h e u i d p r o p e r t i e s l i k e d e n -

s i t y a n d v i s c o s i t y a r e a s s u m e d t o b e c o n s t a n t .

• T u r b u l e n c e : T h e o w c a n b e c o m e t r a n s i t i o n a l o r

t u r b u l e n t d e p e n d i n g o n t h e R e y n o l d s n u m b e r . S i n c e

w e a r e i n t e r e s t e d i n t h e l a m i n a r c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e

o w , w e w o r k a t a m u c h l o w e r R e y n o l d s n u m b e r s o

t h a t l a m i n a r o w c a n b e s a f e l y a s s u m e d .

• E n e r g y : T h e u i d i s t r e a t e d a s a n i s o t h e r m a l u i d

a n d t h e r e a r e n o s o u r c e s o r s i n k s i n v o l v e d . H e n c e

e n e r g y e q u a t i o n c a n b e s a f e l y n e g l e c t e d .

• B o d y F o r c e s : B o d y f o r c e s l i k e g r a v i t y a r e n o t i m -

p o r t a n t i n u n d e r s t a n d i n g t h e o w p h y s i c s , h e n c e i t

c a n b e s a f e l y n e g l e c t e d .

C o d e V e r i c a t i o n a n d V a l i d a t i o n

1 . G e n e r a l V a l i d a t i o n

1 . 1 C o r r e c t n e s s o f t h e r e s i d u a l

A s q u a r e g e o m e t r y o f [ 0 , 1 ] ×[ 0 , 1 ] w i t h n o s l i p b o u n d a r y

c o n d i t i o n s w a s c o n s i d e r e d . T h e o w v a r i a b l e s ( P , u , v )

1

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N o . o f m e s h e s m e s h s i z e c o n t i n u i t y u - v e l o c i t y v - v e l o c i t y

1 0 X 1 0 0 . 1 0 0 0 0 0 0 0 . 0 4 7 9 4 7 0 0 . 1 9 5 0 5 8 0 0 . 1 9 5 0 5 8 0

2 0 X 2 0 0 . 0 5 0 0 0 0 0 0 . 0 1 1 9 8 3 0 0 . 0 5 0 0 2 6 0 0 . 0 5 0 0 2 6 0

4 0 X 4 0 0 . 0 2 5 0 0 0 0 0 . 0 0 2 9 9 6 0 0 . 0 1 2 5 8 6 0 0 . 0 1 2 5 8 6 0

8 0 X 8 0 0 . 0 1 2 5 0 0 0 0 . 0 0 0 7 4 9 0 0 . 0 0 3 1 5 1 0 0 . 0 0 3 1 5 1 0

( a ) L 2 n o r m o f e r r o r

c o n t i n u i t y u , v v e l o c i t i e s

2 . 0 0 1 . 9 8

( b ) O r d e r o f A c c u r a c y

T a b l e 1 : F l u x I n t e g r a l v e r i c a t i o n

P r e s s u r e u - V e l o c i t y v - V e l o c i t y

8.174e− 20 4.999e− 12 4.999e− 12

T a b l e 2 : E r r o r i n I m p l i c i t F l u x I n t e g r a l

w e r e i n i t i a l i z e d t o s o m e k n o w n s m o o t h f u n c t i o n s o f x

a n d y w h i c h s a t i s e d t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a n d t h i s

e n a b l e d u s t o c a l c u l a t e t h e u x i n t e g r a l s e x a c t l y . T h e

f u n c t i o n s w e r e

P uv

=

P 0 cos(πx)cos(πy)u0 sin(πx)sin(2πy)v0 sin(2πx)sin(πy)

( 3 )

S i n c e t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n f o r i n c o m p r e s s i b l e u i d

( E q u a t i o n 1 ) d o e s n ' t h a v e p r e s s u r e t e r m ( s ) i n i t , t h e r e i s

n o c o u p l i n g b e t w e e n p r e s s u r e a n d v e l o c i t y b e t w e e n t h e

m o m e n t u m a n d c o n t i n u i t y e q u a t i o n s . T h i s p r o b l e m w a s

t a c k e d b y i n t r o d u c i n g a n a r t i c i a l c o m p r e s s i b i l i t y f a c t o r

( β ) i n t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n .

∂P

∂t+

1

β .u = 0 ( 4 )

T h e c o r r e c t n e s s o f t h e r e s i d u a l s , i . e L 2 n o r m o f u x

i n t e g r a l s w a s c a l c u l a t e d u s i n g a s e c o n d o r d e r a c c u r a t e

c e n t e r e d u x e v a l u a t i o n s c h e m e f o r R e = 1 0 a n d P 0 =u0 = v0 = β = 1 . B e c a u s e o f g e o m e t r i c s y m m e t r y , t h e u

a n d v v e l o c i t i e s h a d s a m e r e s i d u a l s . A l s o f r o m T a b l e 1 b ,

i t i s e v i d e n t t h a t F l u x I n t e g r a l e v a l u a t i o n i s s e c o n d o r d e r

a c c u r a t e a s e x p e c t e d f o r a s e c o n d o r d e r s c h e m e .

1 . 2 C o r r e c t n e s s o f t h e F l u x J a c o b i a n

T h e f u n c t i o n w h i c h e v a l u a t e d t h e F l u x J a c o b i a n w a s

t e s t e d b y i n c o r p o r a t i n g a s m a l l p e r t u r b a t i o n a t t h e c e n -

t e r o f t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n . T h e m a x i m u m e r r o r

o b t a i n e d f o r R e = 1 0 a n d P 0 = u0 = v0 = β = 1 a n d a

20×20 m e s h i s g i v e n i n T a b l e 3 a . A s e x p e c t e d , t h e e r r o r s

a r e l e s s t h a n 10−10 . T h e c o d e w a s r u n f o r 40× 40 m e s h

s i z e a n d t h e e r r o r s w e r e f o u n d t o i n c r e a s e s l i g h t l y . T h i s

m a y b e b e c a u s e o f t h e f a c t t h a t t h e e r r o r s w e r e c l o s e t o

m a c h i n e r o u n d - o e r r o r s , h e n c e p h y s i c a l j u s t i c a t i o n o f

t h i s b e h a v i o r m i g h t b e i n c o r r e c t .

F i g u r e 2 : C o n v e r g e n c e h i s t o r y f o r t h e r s t 2 0 0 t i m e s t e p s

1 . 3 B l o c k T h o m a s A l g o r i t h m

T h e B l o c k T h o m a s A l g o r i t h m w a s s u p p l i e d i n U B C

V i s t a . A f t e r i n c o r p o r a t i n g i t i n t h e c o d e a n d v e r i f y i n g

t h e r e s u l t s w i t h t h a t p o s t e d i n V i s t a , i t w a s o b s e r v e d

t h a t t h e r e s u l t o f r s t p a s s o f a p p r o x i m a t e f a c t o r i z a t i o n

w a s d i e r e n t . T h i s i s b e c a u s e o f t h e r e a s o n t h a t t h e d a t a

p o s t e d i n V i s t a d i d n ' t i n c l u d e t h e f a c t o r o f t i m e s t e p

w h i c h n e e d s t o b e m u l t i p l i e d w i t h t h e F l u x I n t e g r a l s t o

g e t a c c u r a t e r e s u l t s .

2 . L i d D r i v e n C a v i t y F l o w - L i d V e l o c -

i t y = 0

2 . 1 V a l i d a t i o n C a s e : S t a b i l i t y

T h e o w v a r i a b l e s ( P , u , v ) w e r e i n i t i a l i z e d a c c o r d i n g t o

E q u a t i o n 3 . T h e l i d w a s s e t t o z e r o v e l o c i t y . T h e p a -

r a m e t e r s c h o s e n w e r e

P 0 = u0 = v0 = β = 1 , R e = 1 0 0

, t = 0.05 a n d 20× 20 m e s h . S i n c e t h e v e l o c i t i e s a t a l l

t h e b o u n d a r i e s w e r e z e r o , t h e i n i t i a l c o n d i t i o n w a s m u c h

l i k e a d i s t u r b a n c e i n a c o n n e d u i d w h i c h e v e n t u a l l y

d e c a y e d w i t h t i m e t o z e r o v e l o c i t y e v e r y w h e r e i n t h e d o -

m a i n . F i g u r e 2 s h o w s t h e c o n v e r g e n c e h i s t o r y f o r t h e r s t

2 0 0 t i m e s t e p s ( n u m b e r o f t i m e - s t e p s f o r c o n v e r g e n c e

w a s 5 2 0 w i t h c o n v e r g e n c e c r i t e r i a o f 10−9 ) . T h e o s c i l l a -

t i o n s i n p r e s s u r e ( v i s i b l e i n F i g u r e 3 a ) i s a c o m m o n i s -

s u e w i t h c o l l o c a t e d g r i d s b e c a u s e o f d e - c o u p l i n g b e t w e e n

p r e s s u r e i n t h e a l t e r n a t e l i n e s o f t h e m e s h . T h e c o d e w a s

a b l e t o t a k e t i m e - s t e p s m u c h l a r g e r t h a n 0 . 0 5 a n d f o r

t h e s a m e c o n d i t i o n s t h e b i g g e s t t i m e - s t e p w a s t = 1.

T h e p r e s s u r e o s c i l l a t i o n s , i . e d e c o u p l i n g o f t h e o d d a n d

e v e n c e l l s o f t h e s o l u t i o n d o m a i n c o u l d b e h a n d l e d b y

i n t r o d u c i n g a n a r t i c i a l v i s c o s i t y t e r m i n t h e f o r m o f t h e

L a p l a c i a n o f p r e s s u r e , m u l t i p l i e d b y a s m o o t h i n g f a c t o r

i n t o t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n .

∂P

∂t+

1

β .u = Axy2P ( 5 )

2

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( a ) P r e s s u r e

( b ) u - V e l o c i t y

( c ) v - V e l o c i t y

F i g u r e 3 : C o n t o u r s o f d i e r e n t o w p r o p e r t i e s w i t h

U top = 0

A # o f T i m e S t e p s

0 . 0 6 1 4

0 . 5 5 2 0

1 . 0 5 2 0

4 . 0 5 1 9

4 0 . 0 5 1 2

( a ) C h o i c e o f A

# T i m e S t e p s

β A = 1 A = 4

0 . 1 6 5 9 6 5 9

0 . 5 5 3 9 5 3 9

1 . 0 5 2 0 5 1 9

1 . 5 5 3 8 5 2 3

2 . 0 6 0 0 5 8 0

2 . 5 6 5 1 6 2 7

3 . 0 6 9 0 6 6 4

5 . 0 8 0 0 7 6 5

1 0 . 0 9 5 5 9 0 5

( b ) C h o i c e o f β

T a b l e 3 : C o n v e r g e n c e h i s t o r y u n d e r d i e r e n t c o n d i t i o n s

2 . 2 C h o i c e o f P r e s s u r e S m o o t h i n g F a c t o r ( A)

T h e v a l u e o f A s h o u l d n o t b e v e r y h i g h s i n c e i t i n c o r p o -

r a t e s a s e c o n d o r d e r e r r o r i n t h e s y s t e m . F o r A = 4, s i g -

n i c a n t c o u p l i n g w a s a c h i e v e d a n d t h e o s c i l l a t i o n s w e r e

e s s e n t i a l l y d a m p e d o u t . I t w a s o b s e r v e d t h a t i n c r e a s i n g

A i n c r e a s e s t h e c o n v e r g e n c e r a t e t o o , s i n c e t h e o s c i l l a -

t i o n s a r e d a m p e d r e s u l t i n g i n t o f a s t e r c o n v e r g e n c e . F o r

e x a m p l e , f o r a 40× 40 m e s h w i t h

P 0 = u0 = v0 = β = 1, R e = 1 0 0 , t = 0.05, t h e c o n v e r g e n c e w i t h c o n v e r g e n c e

c r i t e r i a o f 10−9 i s s h o w n i n T a b l e 3 a . F o r r e s t o f t h e c o d e

A = 4 w a s c h o s e n a s t h e o p t i m a l v a l u e .

2 . 3 C h o i c e o f A r t i c i a l C o m p r e s s i b i l i t y F a c t o r ( β )

I n S u b - s e c t i o n 1 . 1 , t h e r e a s o n o f i n t r o d u c i n g t h e a r t i -

c i a l c o m p r e s s i b i l i t y f a c t o r w a s s t a t e d . S i n c e c o u p l i n g i s

v e r y i m p o r t a n t f o r n u m e r i c a l s t a b i l i t y , i t i s o b v i o u s t h a t

h i g h e r v a l u e s o f β p r o v i d e s a d d i t i o n a l s t a b i l i t y w h i l e l o w -

e r i n g i t i n c r e a s e s t h e i n c o m p r e s s i b i l i t y a n d t h e r e b y a c -

c e l e r a t e c o n v e r g e n c e . β → 0 g i v e s a s i n g u l a r c o n t i n u i t y

e q u a t i o n ( E q u a t i o n 4 ) a n d t h e c o u p l i n g i s b r o k e n g i v i n g

r i s e t o i n s t a b i l i t y . A l s o i t w a s f o u n d t h a t a t h i g h e r v a l u e s

o f β , t h e c o d e c o n v e r g e s t o a w r o n g s o l u t i o n . F i n d i n g t h e

o p t i m a l v a l u e o f

β i s c r i t i c a l . F r o m F i g u r e 5 a i t w a s f o u n d

t h a t f o r a m e s h o f 40× 40 a n d

A = 1 t h e o p t i m a l v a l u e

o f

β s h i f t s t o t h e r i g h t w i t h i n c r e a s i n g t

. I n t u i t i v e l y

t h i s s e e m s r i g h t a n d s i m i l a r l y , i n c r e a s i n g t h e n u m b e r o f

m e s h e s w i l l m a k e t h e o p t i m a l v a l u e o f β t o s h i f t t o t h e

l e f t . F o r A = 1 a n d 4, t h e d e p e n d e n c e o f c o n v e r g e n c e

r a t e o n β w a s e v a l u a t e d . T h e v a l u e s a r e t a b u l a t e d i n

T a b l e 3 b a n d F i g u r e 5 b g i v e s t h e d i a g r a m a t i c r e p r e s e n -

t i o n o f t h e s a m e . F r o m t h e r e s u l t s o b t a i n e d , i t c a n b e

c o n c l u d e d t h a t β = 1 i s a r e a s o n a b l e c h o i c e f o r t = 0 . 0 5 .

2 . 4 C h o i c e o f O v e r - R e l a x a t i o n F a c t o r (

ω)

I t i s w e l l k n o w n t h a t o v e r - r e l a x a t i o n a c c e l a r a t e s c o n v e r -

g e n c e u p t o a n o p t i m a l v a l u e . I t i s n u m e r i c a l l y i m p l e -

m e n t e d a s Qn+1 = Qn + ωδQ , w h e r e Q i s t h e s o l u t i o n ,

3

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( a ) A = 0 . 5

( b ) A = 1 . 0

( c ) A = 4 . 0

( d ) A = 4 0 . 0

F i g u r e 4 : P r e s s u r e C o n t o u r s f o r d i e r e n t v a l u e s o f A

( a ) β f o r d i e r e n t

t

( b ) β f o r d i e r e n t A

F i g u r e 5 : C h o i c e o f β f r o m c o n v e r g e n c e h i s t o r y

4

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( a ) R e = 1 0 0

( b ) R e = 1 0 0 0

F i g u r e 6 : C h o i c e o f

ωf r o m c o n v e r g e n c e h i s t o r y

n i s t h e t i m e - s t e p n u m b e r a n d δQ i s t h e c h a n g e i n s o -

l u t i o n . T h u s a v a l u e o f

ω > 1h e l p s a f a s t e r u p d a t e o f

t h e s o l u t i o n . T h e o r i t i c a l l y , t h e s o l u t i o n w i l l b e c o m e u n -

s t a b l e f o r

ω > 2 . T h e o p t i m a l v a l u e o f

ωw a s e x p l o r e d

f o r t w o d i e r e n t R e y n o l d s n u m b e r , 1 0 0 a n d 1 0 0 0 . T h e

p a r a m e t e r s w h i c h w e r e k e p t c o n s t a n t w e r e β = 1 , A = 4, m e s h s i z e o f 20 × 20 a n d t = 0.1. F o r R e = 1 0 0 0 , t h e

s o l u t i o n d i v e r e g e s a t ω = 1.3 w h i l e a t R e = 1 0 0 , t h e d i v e r -

g e n c e w a s d e t e c t e d f o r ω > 2 . T h e r e s u l t s w e r e c h e c k e d

f o r m e s h s i z e o f 40× 40 a n d n o s i g n i c a n t c h a n g e i n t h e

c o n v e r g e n c e c h a r a c t e r i s t i c s w a s o b s e r v e d . T h e o p t i m u m

c h o i c e o f ω b e i n g d e p e n d e n t o n R e , ω = 1.5 w a s u s e d f o r

R e = 1 0 0 a n d

ω = 1.1 w a s u s e d f o r R e = 1 0 0 0 .

3 . L i d D r i v e n C a v i t y F l o w - L i d V e l o c -

i t y = 1 . 0

3 . 1 S o l u t i o n

F o r β = 1 , A = 4 , R e = 1 0 0 , ω = 1.5, t = 0 . 0 5 a n d m e s h

s i z e o f 20 × 20, t h e d i e r e n t o w p r o p e r t i e s a n d t h e

c o n v e r g e n c e h i s t o r y i s p l o t t e d i n F i g u r e 7 . C o n v e r g e n c e

c r i t e r i a w a s s e t t o 10−9 .

( a ) u - V e l o c i t y

( b ) v - V e l o c i t y

( c ) P r e s s u r e w i t h v e l o c i t y v e c t o r s

F i g u r e 7 : C o n t o u r s o f o w v a r i a b l e s f o r

U top = 1 a n d

20× 20 m e s h

5

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( a ) C o n v e r g e n c e h i s t o r y u p t o 10−6

( b ) u - v e l o c i t y a l o n g m i d - p l a n e f o r 20 × 20 m e s h

( c ) g r i d c o n v e r g e n c e s t u d y

F i g u r e 8 : D i e r e n t s t u d i e s f o r U top = 1

M e s h S i z e V a l u e E r r o r ( % )

10× 10 - 0 . 1 4 8 5 0 0 3 3 0 . 0 8

20× 20 - 0 . 1 8 3 5 6 2 0 1 3 . 5 7

40× 40 - 0 . 2 0 3 2 1 7 5 4 . 3 2

80× 80 - 0 . 2 0 9 2 9 1 0 1 . 4 6

160× 160 - 0 . 2 1 2 3 8 9 5 -

T a b l e 4 : G r i d c o n v e r g e n c e s t u d y

F i g u r e 9 : S a n i t y C h e c k - S y m m e t r y

3 . 2 G r i d C o n v e r g e n c e S t u d y

T h e g r i d i n d e p e n d e n c e s t u d y i s s h o w n i n F i g u r e 8 c . A s -

s u m i n g t h a t 160 × 160 h a s n o e r r o r , t h e v e l o c i t y a t t h e

p o i n t y = 0.45 i s e v a l u a t e d f o r d i e r e n t m e s h s i z e s . A t

t h a t p o i n t , t h e c u r v a t u r e i s m a x i m u m a n d i t c a n b e a t e s t

f o r d i e r e n t m e s h e s t o c a p t u r e t h a t c u r v a t u r e p r o p e r l y .

T h e d i e r e n t v a l u e s o f u - v e l o c i t i e s f o r d i e r e n t m e s h e s

a t

y = 0.45 i s p r e s e n t e d i n T a b l e 4 . I t i s c l e a r l y v i s i b l e

t h a t f o r 80× 80 m e s h , t h e e r r o r i s 1 . 4 6 % a n d t h u s t h i s

m e s h s i z e i s s u c i e n t f o r g r i d c o n v e r g e n c e .

3 . 3 S a n i t y C h e c k - S y m m e t r y

B e c a u s e o f s y m m e t r y i n t h e g e o m e t r y , t h e v a l u e o f t h e e x -

p r e s s i o n uU top=1(x, y)+ uU top=−1(1−x, y) = 0 . T h i s w a s

c h e c k e d n u m e r i c a l l y a n d t h e r e s u l t i s s h o w n i n F i g u r e 9 .

A s e x p e c t e d , t h e w h o l e e l d i s z e r o f o r a c a l c u l a t i o n u p

t o 1 0 p l a c e s o f d e c i m a l .

3 . 4 R e s u l t s f o r 8 0 x 8 0 m e s h

F o r β = 1, A = 4 , R e = 1 0 0 , ω = 1.5, t= 0 . 0 5 a n d m e s h

s i z e o f 80×80, t h e d i e r e n t o w p r o p e r t i e s a r e s h o w n i n

F i g u r e 1 0 . C o n v e r g e n c e c r i t e r i a w a s s e t t o 10−9 . C o m -

p a r i n g F i g u r e 1 0 w i t h F i g u r e 7 , t h e d i e r e n c e s i n s o l u t i o n

w i t h m e s h r e n e m e n t i s c l e a r l y v i s i b l e .

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( a ) u - V e l o c i t y

( b ) v - V e l o c i t y

( c ) P r e s s u r e w i t h v e l o c i t y v e c t o r s

F i g u r e 1 0 : C o n t o u r s o f o w v a r i a b l e s f o r

U top = 1a n d 80× 80 m e s h

( a ) R e s u l t s o f G h i a e t a l . [ 2 ] f o r R e = 1 0 0 a n d 1 0 0 0

( b ) R e = 1 0 0 ( c ) R e = 1 0 0 0

F i g u r e 1 1 : C o m p a r i s o n o f s t r e a m - l i n e s w i t h p u b l i s h e d

r e s u l t s

3 . 5 I d e n t i c a t i o n o f V o r t i c e s f o r d i e r e n t

R e y n o l d s N u m b e r

F i g u r e 1 1 c o m p a r e s t h e s t r e a m l i n e s o f G h i a e t a l . [ 2 ]

a n d t h a t o b t a i n e d f r o m t h e s o l v e r . T h e r e s u l t s a r e v e r y

s i m i l a r . I t w a s o b s e r v e d t h a t i n c r e a s i n g t h e R e y n o l d s

n u m b e r c a u s e s t h e p r i m a r y v o r t e x t o m o v e t o w a r d s t h e

c e n t e r o f t h e d o m a i n w h i c h i s w e l l i n a g r e e m e n t w i t h

t h e t h e o r e t i c a l r e s u l t s o f B a t c h e l o r [ 1 ] . I n c r e a s i n g t h e

R e y n o l d s n u m b e r c a u s e s i n c r e a s e i n m o m e n t u m t r a n s f e r

f r o m t h e p r i m a r y v o r t e x t o t h e s e c o n d a r y v o r t i c e s a n d

t h u s t h e l a t t e r g r o w s i n s i z e . I t c a n b e c o n c l u d e d t h a t

t h e p h y s i c s i s w e l l c a p t u r e d b y t h e c o d e .

4 . E x p l o r a t o r y C a s e : E e c t o f h e i g h t

W i t h a n i n c r e a s e i n t h e c a v i t y h e i g h t , t h e p r i m a r y v o r t e x

b e c o m e s u n s t a b l e a n d g i v e s r i s e t o a s e r i e s o f v o r t i c e s

b e l o w i t . W i t h a h e i g h t t o w i d t h r a t i o o f 3 : 1 , s i m u l a t i o n s

w e r e p e r f o r m e d f o r d i e r e n t R e y n o l d s n u m b e r .

4 . 1 G r i d C o n v e r g e n c e S t u d y

T h e g r i d i n d e p e n d e n c e s t u d y i s s h o w n i n F i g u r e 1 2 f o r

R e = 1 0 0 . A s s u m i n g t h a t 160 × 480 h a s n o e r r o r , t h e

v e l o c i t y a t t h e p o i n t y = 2.45 w a s e v a l u a t e d f o r d i e r e n t

m e s h s i z e s . A t t h a t p o i n t , t h e c u r v a t u r e i s m a x i m u m

a n d i t c a n b e a t e s t f o r d i e r e n t m e s h e s t o c a p t u r e t h a t

7

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M e s h S i z e V a l u e E r r o r ( % )

20× 60 - 0 . 1 6 8 7 4 5 6 8 1 5 . 1 6

40× 120 - 0 . 1 8 9 1 5 1 7 7 4 . 9 0

80× 240 - 0 . 1 9 6 4 2 8 4 6 1 . 2 4

160× 480 - 0 . 1 9 8 8 9 8 5 7 -

T a b l e 5 : G r i d c o n v e r g e n c e s t u d y

F i g u r e 1 2 : G r i d C o n v e r g e n c e S t u d y

c u r v a t u r e p r o p e r l y . T h e d i e r e n t v a l u e s o f u - v e l o c i t i e s a t

y = 2.45 i s t a b u l a t e d f o r d i e r e n t m e s h e s i n T a b l e 5 . I t i s

c l e a r l y v i s i b l e t h a t f o r 80×240 m e s h , t h e e r r o r i s 1 . 2 4 %

a n d w h i c h m a k e s i t s u c i e n t f o r g r i d c o n v e r g e n c e . T h e

F i g u r e 1 3 s h o w s t h e s t r e a m l i n e s a t d i e r e n t m e s h s i z e s .

F r o m t h e r e s u l t s i t i s o b v i o u s t h a t t h e r e i s a l m o s t n o

d i e r e n c e b e t w e e n 80 × 240 a n d 160 × 480 m e s h s i z e s .

H e n c e t h e s u b s e q u e n t a n a l y s i s i s p e r f o r m e d o n 80× 240m e s h .

4 . 2 E e c t o f R e y n o l d s N u m b e r o n V o r t e x F o r m a -

t i o n

V o r t i c i t y i s t h e t e n d e n c y o f u i d t o s p i n a n d i s m a t h e -

m a t i c a l l y d e n e d a s

Γ = × V =∂v

∂x−

∂u

∂y( 6 )

U s i n g a s e c o n d o r d e r c e n t r a l d i e r e n c e s c h e m e , v o r -

t i c i t y w a s e v a l u a t e d . T h e e e c t o f R e y n o l d s n u m b e r o n

V o r t e x f o r m a t i o n i s i n t e r e s t i n g . F i g u r e 1 4 s h o w s t h a t

a t R e = 1 0 , t h e r e e x i s t s t w o b i g p r i m a r y v o r t i c e s a n d t w o

s e c o n d a r y o n e s a t t h e l o w e r c o r n e r s . T h e v o r t i c e s w e r e

f o u n d t o b e v e r y s y m m e t r i c . I n c r e a s i n g R e t o 1 0 0 s h o w e d

t h e t e n d e n c y o f t h e t w o s e c o n d a r y v o r t i c e s t o m e r g e t o -

g e t h e r . A l s o t w o m o r e v e r y s m a l l v o r t i c e s w e r e f o u n d a t

t h e l o w e r c o r n e r s . I n c r e a s i n g R e t o 1 0 0 0 s h o w e d t h a t t h e

l o w e r t w o v o r t i c e s m e r g e d t o g e t h e r t o p r o d u c e a b i g p r i -

m a r y v o r t e x . T w o s e c o n d a r y v o r t i c e s w e r e f o u n d a t t h e

F i g u r e 1 3 : S t r e a m l i n e s a t d i e r e n t m e s h - s i z e s ( R e = 1 0 0 )

F i g u r e 1 4 : E e c t o f R e y n o l d s n u m b e r o n V o r t e x f o r m a -

t i o n

c o r n e r s . I t w a s o b s e r v e d t h a t i n c r e a s i n g t h e R e y n o l d s

n u m b e r f r o m 1 0 t o 1 0 0 c a u s e d t h e p r i m a r y e d d i e s t o d e -

c r e a s e i n s i z e w h i l e t h e c o r n e r e d d i e s m e r g e d a n d g r o w e d .

T h u s i n c r e a s i n g t h e R e y n o l d s n u m b e r i n c r e a s e s m o m e n -

t u m t r a n s f e r f r o m t h e p r i m a r y t o t h e s e c o n d a r y e d d i e s .

T h e U p p e r U p s t r e a m E d d y ( U U E ) w a s n o t v i s i b l e i n a n y

o f t h e s e R e y n o l d s n u m b e r b e c a u s e i t i s v i s i b l e a t h i g h e r

v a l u e s ( R e > 3 2 0 0 ) [ 3 ] . A c a s e s t u d y w a s p e r f o r m e d w i t h

R e = 5 0 0 0 a n d t h a t v o r t e x w a s i d e n t i e d . A l t h o u g h a t

R e = 5 0 0 0 , t h e o w i s t u r b u l e n t a n d p e r f o r m i n g l a m i n a r

a n a l y s i s w a s n o t a t r u e d e p i c t i o n o f t h e o w p h y s i c s , y e t

t h e s t u d y w a s d o n e t o s e e w h e t h e r t h e c o d e w a s a b l e t o

i d e n t i f y U U E .

4 . 3 L o c a t i o n o f V o r t e x C e n t e r a n d i t s s t r e n g t h

F o r R e = 1 0 0 , 6 v o r t i c e s w e r e o b s e r v e d . F i g u r e 1 6 s h o w s

t h e v o r t i c e s w i t h s u b s e q u e n t n u m b e r i n g . T h e r e s u l t s

w e r e o b t a i n e d f r o m T e c p l o t . T h e l o c a t i o n a n d s t r e n g t h

8

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F i g u r e 1 5 : U p p e r U p s t r e a m E d d y a t R e = 5 0 0 0

F i g u r e 1 6 : L o c a t i o n o f V o r t i c e s a t R e = 1 0 0

V o r t e x x y Γ Γrel

1 0 . 6 1 4 8 0 2 . 7 3 2 9 7

−2.451 −0.583 × 107

2 0 . 5 3 0 1 5 1 . 5 7 7 6 4 2.516 × 10−2

0.599 × 105

3 0 . 4 0 2 7 5 0 . 2 3 1 5 4

−7.060 × 10−5 −1.680 × 10

2

4 0 . 5 9 5 0 1 0 . 2 3 1 3 3

−7.116 × 10−5 −1.693 × 10

2

5 0 . 0 1 8 6 9 0 . 0 1 7 0 5 5.652 × 10−7

1 . 3 4 5

6 0 . 9 8 3 5 4 0 . 0 1 9 2 1 4.203 × 10−7

1 . 0 0 0

T a b l e 6 : L o c a t i o n a n d s t r e n g t h o f v o r t i c e s

V o r t e x N o .

|Γmax| |Γmin|

1 2 . 6 8 3 1 . 9 2 4

2 0 . 0 2 5 7 0 . 0 2 0

3 8.388 × 10−5

6.821 × 10−5

4 7.122 × 10−5

6.623 × 10−5

5 6.724 × 10−7

0

6 5.260 × 10−7

0

T a b l e 7 : V o r t e x E s t i m a t i o n E r r o r B a n d

o f e a c h o f t h e s e a r e t a b u l a t e d i n T a b l e 6 . T h e l o c a t i o n o f

a v o r t e x i s t h e p o i n t w h e r e t h e v e l o c i t y e l d h a s a l o c a l

m i n i m u m . T h e r a t i o o f s t r e n g t h o f t h e t w o p r i m a r y v o r -

t i c e s , i . e V o r t e x - 1 : V o r t e x - 2 i s 9 7 . 4 1 7 , c o n s i d e r i n g t h e

a b s o l u t e v a l u e .

4 . 4 E r r o r B a n d

I n o r d e r t o n d t h e v o r t e x c e n t e r , i t w a s n e e d e d t o p r o b e

a t a s u b - g r i d s c a l e r e s o l u t i o n . S i n c e t h e d a t a w a s o n l y

a t t h e c e l l c e n t e r s , t h e a c c u r a c y o f d e t e r m i n i n g t h e e x -

a c t l o c a t i o n s h o u l d b e w i t h i n ±∆x i n x d i r e c t i o n a n d

±∆y i n y d i r e c t i o n . I n o u r c a s e , t h e u n c e r t a i n t y i n v o r -

t e x l o c a t i o n i s ±0.00625 i n b o t h d i r e c t i o n s ( ∆x = ∆y) . T h e w a y T e c p l o t c a l c u l a t e s t h e V o r t i c i t y a t t h e e y e

i s p r o b a b l y b y i n t e r p o l a t i n g t h e n e i g h b o r i n g c e l l - c e n t e r

v a l u e s . T h u s t h e e r r o r b a n d i n c a l c u l a t i n g v o r t i c i t y c a n

b e w r i t t e n a s Γmax ≥ Γ ≥ Γmin , w h e r e Γmax a n d Γmin

a r e t h e m a x i m u m a n d m i n i m u m v o r t i c i t i e s i n t h e n e i g h -

b o r h o o d r e s p e c t i v e l y . T a b l e 7 s h o w s t h e e r r o r b a n d i n

V o r t e x s t r e n g t h e s t i m a t i o n .

R e f e r e n c e s

[ 1 ] G . K . B a t c h e l o r . O n s t e a d y l a m i n a r o w w i t h

c l o s e d s t r e a m l i n e s a t l a r g e r e y n o l d s n u m b e r . J o u r n a l

o f F l u i d M e c h a n i c s D i g i t a l A r c h i v e , 1 ( 0 2 ) : 1 7 7 1 9 0 ,

1 9 5 6 .

[ 2 ] U . G h i a , K . N . G h i a , a n d C . T . S h i n . H i g h - r e s o l u -

t i o n s f o r i n c o m p r e s s i b l e o w u s i n g t h e n a v i e r - s t o k e s

e q u a t i o n s a n d a m u l t i g r i d m e t h o d . J o u r n a l o f C o m -

p u t a t i o n a l P h y s i c s , 4 8 : 3 8 7 4 1 1 , D e c e m b e r 1 9 8 2 .

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[ 3 ] P . N . S h a n k a r a n d M . D . D e s h p a n d e . F l u i d m e c h a n i c s

i n t h e d r i v e n c a v i t y . A n n u a l R e v i e w o f F l u i d M e c h a n -

i c s , 3 2 ( 1 ) : 9 3 1 3 6 , 2 0 0 0 .

1 0

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