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Elementi di Algebra dal punto di vista superiore

A.A. 2012/13

Orario delle lezioni: lunedì 11-13, mercoledì 11-13, giovedì 9-11 aula Enriques

Programma del corso 2012-13

Algebra di base: Funzioni, biiezioni, composizione, rappresentazioni grafiche e matriciali. Operazioni finitarie, strutture algebriche. Monoidi, monoidi di funzioni e di parole, potenze; gruppi, periodo di un elemento in un gruppo, presentazione finita di un gruppo. Anelli, dominii d’integrità, campi; caratteristica di un anello. Reticoli come strutture algebriche e d’ordine; reticoli completi. Strutture algebriche: sottostrutture, sottostruttura generata da un sottoinsieme; il reticolo delle sottostrutture; sottogruppi e loro laterali; sottoanelli; congruenze e strutture quoziente, il caso dei gruppi e degli anelli; omomorfismi, teorema fondamentale, isomorfismi, il gruppo degli automorfismi; prodotti diretti. Azione di un insieme su un altro, rappresentazione associata; azione di strutture su strutture, condizioni di compatibilità, sottostrutture, omomorfismi; gli A-moduli e gli spazi vettoriali, il concetto di base e di dimensione; l’azione di un gruppo su un insieme, orbite e stabilizzatori; l’azione 1dei gruppi di trasformazioni sul piano, le varie geometrie (cenni). Elementi di teoria dei gruppi: il coniugio; sottogruppi normali, automorfismi interni, il centro, serie abeliane e gruppi risolubili, il derivato, alcune proprietà; gruppi semplici, semplicità dei gruppi alterni e non risolubilità dei gruppi simmetrici su almeno cinque oggetti. Polinomi: le varie definizioni. Polinomi come funzioni sul campo reale, l’anello dei polinomi, il principio d’identità, grado, radici e molteplicità; divisione euclidea, ideali principali, applicazioni dei polinomi all’Analisi ed alla Statistica. Polinomi in più variabili, grado. Polinomi nel campo complesso: radici, fattorizzazione, polinomi irriducibili in C ed in R. Polinomi nel campo razionale, polinomi primitivi, radici, criterio d’irriducibilità. Polinomi come successioni a supporto finito in un anello commutativo e in un dominio d’integrità; alcune successioni, polinomiali o no, nel campo reale. Anello dei polinomi come estensione trascendente di un anello commutativo. Polinomi come parole (o “espressioni letterali”) in un opportuno alfabeto e loro regole di manipolazione. Polinomi monici a radici semplici nel campo complesso: il campo dei coefficienti ed il campo di spezzamento, ampliamenti normali; il gruppo di Galois del polinomio, la sua azione fedele sulle radici; il teorema di Galois sulla risolubilità per radicali (enunciato e qualche dettaglio). Seminario sulle coniche proiettive ed affini. Coordinate omogenee nel piano cartesiano, il piano proiettivo reale; le rette proiettive e le loro proprietà; il gruppo delle collineazioni e le sue proprietà; le coniche nel piano proiettivo e la loro classificazione; il teorema di Pappo-Pascal (en.) e conseguenze su polari e tangenti. Il piano affine, il parallelismo; le coniche affini e la loro classificazione; diametri e centro di una conica affine non degenere. Seminari tenuti insieme con gli allievi su argomenti tratti dai testi scolastici: funzioni e loro rappresentazioni; strutture algebriche; introduzione al calcolo letterale ed ai polinomi; equazioni algebriche; i radicali; rapporti e proporzioni; introduzione alla Geometria Analitica e l’equazione della retta; le coniche come luoghi geometrici; il laboratorio di Matematica e la lavagna interattiva; il software Geogebra nella nuova versione; introduzione alla logica; le trasformazioni geometriche; le funzioni trigonometriche.

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Argomenti delle lezioni

NOTA. Per ragioni di riservatezza i nomi degli allievi che hanno partecipato ai seminari sono omessi. Inoltre, parte delle ore di seminari sono extra-orario ufficiale.

18/2/13 (2 ore 11-13). I. – Presentazione del corso, mediante Power-Point: l’argomento

guida sono i polinomi, nei vari modi di introdurli, le nozioni principali, le applicazioni ad altre parti della Matematica o delle altre Scienze; la struttura del corso, i seminari. II. – Primo argomento preparatorio: le funzioni (lezione dialogata), terminologia, tipi di funzioni, funzioni biiettive, composizione, identità; le funzioni di variabile reale ed i loro grafici cartesiani.

20/02 (2 ore, 11-13). I. - Funzioni tra insiemi finiti, computo col principio di

moltiplicazione, rappresentazione tabulare, matrice (booleana) d’incidenza; casi particolari; la matrice d’incidenza come matrice ad elementi reali, composizione di funzioni e prodotto delle loro matrici (en.); funzioni da un insieme a se stesso: traccia e determinante della sua matrice, il caso biiettivo e le permutazioni pari e dispari. PAUSA: cenni sui grafi come insiemi di punti (o vertici) ed archi che li congiungono (o spigoli): esempi, grafi planari, isomorfismo di grafi. II. – Grafi orientati o digrafi, circuiti, alberi, il digrafo associato ad una funzione da un insieme a se stesso; funzioni a digrafo sconnesso; il digrafo associato ad una biiezione. Operazioni binarie in un insieme (lezione dialogata); computo nel caso finito; proprietà più notevoli delle operazioni. Operazioni finitarie, definizione di struttura algebrica; esempi.

21/2 (2 ore, 9-11). I. – Definizione di monoide, esempi: il monoide delle funzioni da un

insieme a se stesso; il monoide delle parti di un insieme, con l’unione; il monoide additivo dei numeri naturali; il monoide delle parole su un dato alfabeto, con piccola esplorazione delle loro proprietà. PAUSA: anagrammi di una parola, esempi, e formula generale; il caso di due sole lettere distinte e coefficienti binomiali; numero dei sottoinsiemi di un insieme con un numero fissato di elementi. II. – Nozioni sui monoidi: elementi invertibili e loro proprietà; potenze e loro proprietà. Gruppi, proprietà elementari; esempi: il gruppo delle unità di un monoide; spazi metrici e gruppi delle isometrie. Ordine di un elemento e sua caratterizzazione (en.). Gruppi ciclici e gruppi abeliani elementari; gruppi con gli elementi tutti d’ordine 2. Gruppi simmetrici finiti: cicli e scomposizione di una permutazione in prodotto di cicli disgiunti (en.), con esempi. Cenni alle algebre unarie ed ai sistemi di Peano. Distribuzione di argomenti per i seminari tenuti dagli allievi.

27/2 (2 ore, 11-13). I. – La nozione di anello, casi particolari; lo zero e la moltiplicazione,

la regola dei segni, la caratteristica. Legge di cancellazione e di annullamento del prodotto, dominii d’integrità e loro caratteristica; il gruppo delle unità; i corpi ed i campi. II. – Esempi di anelli e campi: le classi di resti mod n, il caso di n primo. Anelli di matrici ad elementi quadrate in un campo e loro non-proprietà. Il corpo dei quaternioni come insieme di matrici complesse d’ordine 2 di tipo particolare. Aneli di funzioni a valoriin un anello e operazioni punto per punto. Anelli di successioni in un anello commutativo, la convoluzione, l’unità (senza dimostrazione). Funzioni da un anello a se stesso con l’addizione punto per punto e la composizione: i quasi-anelli.

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28/2 (2 ore, 9-11). I. – Reticoli come insiemi ordinati con sup ed inf e come strutture algebriche con due operazioni binarie e certe proprietà; equivalenza delle due definizioni (en.). Reticoli con 0 ed 1; reticoli completi; reticoli distributivi; esempi: il reticolo M_5. Diagramma di Hasse di un reticolo (cenni). II. – Sottoinsiemi chiusi rispetto ad una operazione; sottostrutture. Esempi di sottomonoidi. Esempi di sottogruppi: sottogruppi ciclici, il centro di un gruppo, il caso abeliano, il caso dei gruppi simmetrici S_n, il gruppo D_4 del quadrato, il diagramma dei suoi sottogruppi ed il suo centro; il teorema di Lagrange per i sottogruppi (en.). Esempi di sottoanelli: il sottoanello fondamentale. Intersezione di sottostrutture; la sottostruttura generata da un sottoinsieme; il reticolo completo delle sottostrutture di un struttura algebrica. La sottostruttura minima nel caso dei gruppi, degli anelli, dei semigruppi e dei sistemi di Peano, con riformulazione del principio di induzione.

4/3 (2 ore 11-13). I. – Isomorfismo tra strutture con una operazione binaria ed in

generale. Qualche esempio (funzioni esponenziali tra i gruppi additivo reale e moltiplicativo reale dei numeri positivi). Alcuni sottoanelli di R^R, le funzioni di classe C infinito; il sottoanello R[x] delle funzioni polinomiali, coefficienti, il principio d’identità, il grado. II. – Il teorema dei gradi; R[x] è un dominio d’integrità; il sottoanello delle funzioni costanti isomorfo al campo R. La divisione euclidea; l’algoritmo di Ruffini-Horner ed il teorema del resto.

6/3 (2 ore 11-13). I. – Seminario sulle funzioni nei testi della scuola superiore:

terminologia, esempi, commenti e breve discussione sulla difficoltà degli allievi nel sostituire un numero ad una variabile. II. – Compatibilità tra una relazione d’equivalenza ed una operazione; il caso generale e la struttura quoziente. Strutture semplici. Il caso dei gruppi: congruenze e sottogruppi normali. Gruppi semplici: i gruppi di ordine primo, il teorema di Galois sui gruppi alterni (en.). Il caso degli anelli: congruenze ed ideali. Ideali principali in un anello commutativo. Anelli commutativi semplici: i campi; gli anelli di matrici quadrate su un campo come esempi di anelli semplici (en.).

7/3 (2 ore, 9-11). I. – Esempi di relazioni d’equivalenza non compatibili con una

operazione: il coniugio in un gruppo; caratterizzazione dei sottogruppi normali; il centro come sottogruppo normale. La relazione “divide” in un anello commutativo, la relazione “associato” e la sua compatibilità col prodotto e non con l’addizione; compatibilità con “divide”; il caso dei dominii d’integrità. II. – Il massimo comune divisore in un anello commutativo; compatibilità con la relazione “associato”. Il caso di R[x] e l’algoritmo euclideo. L’identità di Bézout per il MCD di due polinomi.

11/3 (2 ore 11-13). I. – Il mcm di due polinomi e modo di calcolarlo noto il MCD; il

reticolo quoziente di R[x] rispetto alla relazione “associato” ed alla divisibilità come relazione d’ordine. Polinomi coprimi ed identità di Bézout. Polinomi irriducibili, caratterizzazione col lemma di Euclide, il controesempio di Z[√-5] (en.). Il teorema di fattorizzazione in R[x] (en.). Polinomi irriducibili e radici. II. – Polinomi a coefficienti razionali, polinomi primitivi e loro radici razionali. Polinomi irriducibili di secondo grado in R[x]. Richiami di algebra: ideali massimali in un anello commutativo e campo quoziente; ideali generati da un elemento irriducibile in un dominio ad ideali principali. Il polinomio x^2+1 in R[x], l’ideale generato, il campo quoziente C, il sottocampo isomorfo ad R, l’elemento i e la

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scrittura canonica a+bi dei numeri complessi. Altre costruzioni del campo complesso (cenni).

13/3 (2 ore 11-13). I. – Seminario sulle strutture algebriche nei testi della scuola media

inferiore e superiore. Breve discussione sul ruolo di questo argomento nei programmi e sull’opportunità di trattarlo. II. – L’anello delle funzioni sul campo complesso, il sottoanello delle funzioni olomorfe e quello delle funzioni polinomiali, il principio d’identità (en.). Il teorema fondamentale dell’algebra come conseguenza del teorema di Liouville sulle funzioni olomorfe (en.) Polinomi irriducibili in C[x] e fattorizzazione. Automorfismi di una struttura algebrica; automorfismi interni in un gruppo; automorfismi potenza in un gruppo abeliano finito; il caso del gruppo (Z,+), dell’anello Z, dei campi Q, R , C. Il coniugio come automorfismo in C.

14/3 (2 ore, 9-11). Radici complesse coniugate di un polinomio in R[x]; polinomi

irriducibili e fattorizzazione in R[x]. La situazione in Q[x]. Omomorfismi tra strutture; terminologia, esempi, il teorema fondamentale. Casi particolari per i gruppi e gli anelli, il nucleo e la condizione di iniettività. II. – Omomorfismi uscenti da un campo. Rappresentazione fedele di un monoide come monoide di funzioni; il teorema di Cayley per i gruppi. I monoidi come quozienti dei monoidi di parole.

18/3 (2 ore 11-13). I. – (Con l’ausilio di lucidi e di Excel). Il diagramma dei sottogruppi del

gruppo D_4 del quadrato. Costruzione e proprietà del gruppo Q_8 dei quaternioni come gruppo di matrici d’ordine 2 sul campo Z_3, non abeliano ma coi sottogruppi tutti normali. Gioco e Matematica, per presentare nozioni “superiori” in modo elementare: le stringhe di “stuzzicadenti” ed il monoide libero con un generatore; la lunghezza delle parole come isomorfismo col monoide additivo di N. l’introduzione di regole di sostituzione, la costruzione dei gruppi ciclici finiti. II. – Stringhe di “stuzzicadenti” a due colori e monoide libero 2-generato; l’aggiunta della regola di commutazione e il monoide abeliano libero 2-generato. Regole varie di sostituzione e costruzione di (Z,+), di gruppi abeliani finiti, dei gruppi diedrali finiti con le loro tavole di moltiplicazione. Dai colori alle loro iniziali, dalle stringhe alle “parole”. La presentazione finita di un gruppo e il problema dell’identità e dell’isomorfismo (cenni). I cinque gruppi di ordine 8.

20/3 (2 ore). I. – Prodotto diretto di strutture algebriche. Il caso dei gruppi:

monomorfismo dai fattori al prodotto diretto, ed epimorfismi da quest’ultimo ai fattori; prodotto diretto interno; prodotto diretto di gruppi ciclici. Il gruppo moltiplicativo reale come prodotto diretto interno del gruppo moltiplicativo dei reali positivi col gruppo {1, -1}, le funzioni valore assoluto e segno come epimorfismi. Modulo ed argomento di un numero complesso non nullo come epimorfismi sui reali positivi e sul gruppo degli angoli mod 2π; la struttura del gruppo moltiplicativo del campo complesso. Gruppi abeliani divisibili e non isomorfismo tra (Q,+) e il gruppo moltiplicativo dei razionali positivi. II. – Prodotto diretto di anelli, ideali e quozienti, non conservazione della legge d’annullamento del prodotto. Polinomi come estensioni trascendenti di un anello commutativo A: il sottoanello generato da A e da un elemento x in un sovraanello B, l’assioma di identità e la definizione di elemento x trascendente rispetto ad A, isomorfismo delle estensioni trascendenti (en.); l’anello dei polinomi come classe d’isomorfismo di estensioni trascendenti di A. Esempi. Il problema dell’esistenza.

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21/3 (2 ore 9-11). I. – Seminario sui polinomi nella scuola media inferiore e superiore: lettere e numeri, espressioni letterali, monomi e loro operazioni; polinomi come somme di monomi; il grado; operazioni tra polinomi, la divisibilità, radici e fattorizzazione, nei due livelli scolastici; breve discussione sulle difficoltà incontrate dagli allievi. II. – Dimostrazione del teorema di isomorfismo delle estensioni trascendenti di un anello. Polinomi in R come estensioni trascendenti mediante l’identità. Polinomi come successioni in un anello commutativo: l’anello delle successioni, il sottoanello isomorfo ad A, la successione x come elemento trascendente, la scrittura consueta dei polinomi.

25/3 (2 ore, 11-13). I. - Polinomi a coefficienti in un anello A e relazione con le funzioni

polinomiali di A; l’algoritmo di Ruffini-Hörner come metodo di sostituzione; radici e molteplicità, il caso dei dominii d’integrità; l’ideale dei polinomi identicamente nulli su A, il caso dei dominii d’integrità infiniti ed il teorema d’identità. Il caso di un campo finito K, il generatore dell’ideale, ogni funzione da K a K è polinomiale. I dominii d’integrità finiti sono campi; il teorema di Wedderburn (en.). II. – Anello dei polinomi a coefficienti reali in più variabili come sottoanello generato dalle costanti e dalle proiezioni; monomi, grado, monomi simili, polinomi come somme di monomi in forma normale e loro grado. La definizione ricorsiva di R[x1, …, xn]. La fattorizzazione unica, ma non gli ideali principali (en.). L’analisi Matematica e la geometria Algebrica e proiettiva come metodi di studio dei grafici e degli zeri di questi polinomi.

27/3 (2 ore, 11-13). I. - Polinomi in più indeterminate definiti con uno degli altri metodi:

la definizione ricorsiva, la commutatività delle indeterminate, e altri problemi. Polinomi come espressioni o parole in un alfabeto costituito da numeri, lettere e segni: i monomi, scrittura in forma normale, grado, monomio nullo, monomi simili. I monomi e i segni come nuovo alfabeto per scrivere i polinomi come parole: regole di formazione, equivalenza, la ricerca di una forma normale per avere una unicità di scrittura, la difficoltà legata alla presenza di convenzioni tacite, la pluralità di usi dei segni + e -. Le frazioni algebriche e le funzioni razionali fratte come momento di passaggio dall’approccio simbolico (lettere come indeterminate) a quello funzionale (lettere come variabili). II. – Alcune applicazioni dei polinomi in altri settori della matematica: i polinomi di Taylor per l’approssimazione locale di una funzione sufficientemente regolare; polinomi di grado al più 2 per formule d’integrazione approssimata.

3/4 (2 ore 11-13) I. - Seminario sulle equazioni nei testi della scuola media e superiore:

definizione, equivalenza e criteri, insieme di riferimento; equazioni numeriche e letterali; equazioni fratte. Equazioni particolari di grado superiore al secondo; breve discussione sulla equivalenza delle equazioni a prescindere dal grado. II. – Lucidi con applicazioni dei polinomi alle tabelle di dati: il polinomio interpolatore, esistenza, unicità, grado (cenni); polinomi di regressione; la retta di regressione ed il coefficiente di correlazione (formule), con esempi riportati; regressione di secondo grado (un esempio); diagrammi semilogaritmici e retta di regressione (un paio di esempi).

8/4 (2 ore 11-13) I. – (Con l’ausilio di Excel): alcune istruzioni sull’uso di Excel;

costruzione di una progressione aritmetica come funzione o mediante definizione ricorsiva; uso di parametri contenuti in caselle bloccate; il grafico cartesiano di tipo xy a punti o a spezzate. La successione di Fibonacci ed i suoi quozienti; il numero aureo. La successione n^n/n! ed il numero e di Nepero.

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II. – Costruzione del triangolo di Tartaglia con Excel: la formattazione condizionata per nascondere le caselle nulle; la somma delle varie righe. Rappresentazione di una sua riga mediante un diagramma a canne d’organo. La rappresentazione di dati mediante le “torte”: confronto con i diagrammi di altro tipo e condizioni restrittive sui dati. Un primo approccio a Geogebra: coordinate o no, conica per 5 punti (perché non si ottengono mai circonferenze o parabole?); gli sliders e la costruzione di una famiglia di rette.

10/4 (2 ore 11-13) I. – Operazioni esterne o azioni: azione sinistra di un insieme Ω su un

insieme X; le funzioni associate da X ad X e la rappresentazione associata all’azione. L’azione associata ad una rappresentazione di un insieme Ω su un insieme X. La struttura Ω-insieme X. Gli Ω-sottoinsiemi, la loro intersezione, Ω−sottoinsieme generato da un sottoinsieme, il reticolo degli Ω-sottoinsiemi. Relazioni dequivalenza compatibili con l’azione, Ω−insieme quoziente. Ω−funzioni (o Ω−-morfismi) tra Ω−insiemi, il teorema di Ω−omomorfismo (enunciato e dimostrazione lasciati per esercizio); Ω−endomorfismi ed Ω−automorfismi di un Ω−insieme. Prodotto diretto di Ω−insiemi. II. – Azione di strutture su strutture e condizioni di compatibilità: azione di un insieme su una struttura, di una struttura su un insieme; azione di una struttura su un’altra. Il caso più complicato: l’azione di un campo K su un gruppo abeliano (V,+): l’anello degli endomorfismi di un gruppo abeliano (con dim.), le condizioni di compatibilità, la definizione classica di spazio vettoriale; la legge d’annullamento del prodotto. L’equipotenza delle basi (en.). L’azione di un anello A su un gruppo abeliano: gli A-moduli. Il caso A = Z, i gruppi abeliani come Z-moduli, la mancanza della legge d’annullamento del prodotto e dell’equipotenza delle basi. I p-gruppi abeliani elementari come Z_p-spazi vettoriali; il loro ordine nel caso finito; il gruppo additivo di un campo finito K come p-gruppo abeliano elementare e ordine di K. Un campo come spazio vettoriale su un suo sottocampo, e conseguenze.

11/4 (2 ore, 9-11). I. – Seminario sui radicali: definizioni, manipolazioni e

semplificazioni, razionalizzazioni, operazioni, radicali numerici e letterali, radicali aritmetici ed algebrici; breve discussione sui radicali algebrici, sulle dimostrazioni, sull’ordine di esposizione degli argomenti. II. – Cambiare il punto di vista: un anello commutativo A come A-modulo su se stesso; gli ideali come unici A-sottomoduli. Azione di un gruppo G su un gruppo H, condizioni di compatibilità (le funzioni associate agli elementi di G sono automorfismi di H e la rappresentazione associata è un omomorfismo da G ad Aut(H)). L’esemio del coniugio come azione di un gruppo G su se stesso: automorfismi interni, il centro Z(G) come nucleo della rappresentazione associata, l’isomorfismo tra G/Z(G) e il gruppo Inn(G) degli automorfismi interni; i sottogruppi normali come unici G-sottogruppi.

15/4 (2 ore, 11-13). I. – Seminario su rapporti e proporzioni nella scuola media.

Curiosità: il gruppo del quadrato e le proporzioni; (costruzione dei gruppi diedrali D_n come gruppi di permutazioni con una pseudo regola di Sarrus dei determinanti.) Breve discussione. II. – Il reticolo dei sottogruppi normali ed il reticolo degli ideali come reticoli di sottostrutture rispetto ad operazioni interne ed esterne. Azione di un gruppo su un insieme, rappresentazione associata, condizioni di compatibilità. Orbite e stabilizzatori. Azioni transitive. Esempio: l’azione del gruppo delle isometrie piane sui punti del piano euclideo: orbita e stabilizzatore di un punto.

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17/4 (2 ore, 11-13). I. - Azione indotta sui sottoinsiemi, equipotenza di sottoinsiemi in una stessa orbita. Esercizio proposto: l’orbita e lo stabilizzatore di una retta e di un quadrato nel piano euclideo. Il teorema fondamentale sulle orbite e gli stabilizzatori. Stabilizzatori degli oggetti di una stessa orbita. L’azione per coniugio di un gruppo su se stesso: le classi di coniugio formano una partizione di G, hanno lunghezza che divide l’ordine di G e gli stabilizzatori, detti centralizzanti, hanno per intersezione il centro di G. II. – L’invertibilità del teorema di Lagrange: i gruppi ciclici; i p-gruppi (centro non banale, esistenza di sottogruppi di ogni ordine). Sottogruppi di Sylow di un gruppo finito; enunciato del teorema di Sylow. Conseguenze: esistenza di sottogruppi d’ordine potenza di un primo; il teorema di Cauchy. Esercizio: i gruppi d’ordine 15.

18/4 (2 ore, 9-11). I. – Seminario sull’introduzione alla Geometria Analitica nei testi di

suola superiore: segmenti orientati sulla retta, identità di Chasles, sistema di riferimento, ascissa di un punto, distanza e punto medio di un segmento. Coordinate cartesiane ortogonali monometriche nel piano. Distanza di due punti; punto medio. Curve ed equazioni. Equazioni di primo grado e rette; intersezione di due rette, parallelismo, perpendicolarità, distanza di un punto da una retta. Breve discussione sulla nozione di luogo geometrico. II. – Dimostrazione dell’esistenza dei p-sottogruppi di Sylow di un gruppo finito. Sottogruppi normali e sottogruppi di Sylow; il gruppo alterno A_4 non ha sottogruppi d’ordine 6.

22/4 (2 ore, 11-13). I. – Seminario sulle coniche nei testi di scuola media e superiore:

definizioni, costruzioni, proprietà. II. – Polinomi nel campo complesso e loro radici: riduzione al caso di un polinomio monico f a radici distinte; il campo K generato dai coefficienti ed il campo F generato dalle sue radici; K è sottocampo di F. Il gruppo di Galois G di f come gruppo d’automorfismi di F che inducono l’identità su K. L’azione fedele di G sull’insieme X delle radici di f, e finitezza di G. L’ordine di G e la dimensione di F rispetto a K (en.)

24/4 (2 ore, 11-13). I. – Seminario sul laboratorio di Matematica nei testi di scuola media

e superiore: software usati, contenuti ed esercitazioni. II. – Seminario di Gardenghi sul software Geogebra: indicazioni di base sul suo uso, la pagina grafica, il CAS, la geometria analitica: esempi di costruzioni e di calcoli.

29/4 (2 ore, 11-13). I. - Seminario sulla logica nei testi di scuola media e superiore:

proposizioni, connettivi, tavole di verità, quantificatori, predicati. II. – Serie subnormali in un gruppo, termini, fattori, lunghezza, raffinamento, serie di composizione; l’esempio di S_4. Serie abeliane e gruppi risolubili, esempi. Risolubilità per radicali di una equazione algebrica e risolubilità del gruppo di Galois del polinomio interessato (en.); enunciato dei teoremi sulla semplicità di A_n e della non risolubilità di S_n per n > 4.

2/5 (2 ore, 9-11). I. – Commutatori e derivato di un gruppo, proprietà; la serie derivata e

la risolubilità. Risolubilità e sottogruppi. Dimostrazione della semplicità di A_n per n > 4 (prima parte): A_n è generato dai 3-cicli; i 3-cicli sono coniugati in A_n. II. – Dimostrazione della semplicità di A_n per n > 4 (seconda parte): ogni sottogruppo normale non banale contiene almeno un 3-ciclo e quindi li contiene tutti e coincide con A_n. La non risolubilità di S_n per n > 4. Esempi di tre equazioni a coefficienti razionali, con campi di spezzamento di dimensioni 1, 2 e 6 su Q. Ampliamenti normali di un campo.

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6/5 (2 ore, 11-13). I. – Seminario sulle trasformazioni geometriche nei testi di scuola superiore: definizione di isometrie, elementi uniti, le traslazioni, le rotazioni, le simmetrie assiali, composizione di isometrie; omotetie e similitudini; affinità. II. – Introduzione alle coniche: coordinate omogenee in R^2, il piano proiettivo P^2(R); equazioni di I grado e rette proiettive; punti e rette proiettive come clessi di terne non nulle proporzionali; appartenenza di un punto ad una retta; retta per due punti e punto comune a due rette.

8/5 (2 ore, 11-13). I. – Seminario sulle funzioni circolari: definizione, grafico, proprietà,

esercizi ed applicazioni. II. – (Su lucidi) Collineazioni del piano proiettivo e transitività su punti, rette e quadrilateri. Equazioni di II grado e coniche; matrice associata, scrittura matriciale di una conica; autovalori, forma canonica e classificazione proiettiva delle coniche reali.

8 9/5 (2 ore, 9-11). I. – (Su lucidi) Il piano affine dedotto dal piano proiettivo; le affinità;

proprietà affini. Parallelismo, punto medio. Classificazione delle coniche nel piano affine. Diametri e centro di una conica reale non degenere. II. – (Con Geogebra) costruzioni sulle coniche: la conica costruita come luogo col teorema di Pappo-Pascal; polari e tangenti. Proprietà affini delle coniche: diametri e centro. Costruzione degli assi di simmetria, dei fuochi e delle direttrici di un’ellisse. La parabola come luogo, il vertice, le proprietà ottiche, FINE DEL CORSO.