lezioni del corso di elementi di meccanica strutturale
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Lezioni del corso di
Elementi di Meccanica Strutturale
Università del Salento
Corso di Laurea in Ingegneria Industriale
prof. ing. Riccardo Nobile
1
Lezione 1 - Analisi cinematica delle strutture
Un corpo rigido è costituito da punti materiali che mantengono inalterata la
loro posizione relativa qualunque siano i carichi applicati
L’ipotesi di corpo rigido permette di semplificare notevolmente lo studio
del comportamento meccanico dei componenti.
Poiché un corpo rigido ha una geometria immutabile, esso può essere
schematizzato con elementi geometrici più semplici, come ad esempio delle
aste
Se si suppone valida l’ipotesi di corpo rigido, un sistema meccanico, anche
complesso, potrà essere schematizzato con entità geometriche semplici,
come ad esempio delle aste
Equilibrio statico delle strutture
Corpo rigido
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R. N
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Ele
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i ci
nem
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str
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ure
Un
ivers
ità d
el
Sale
nto
Dalla Meccanica Razionale è noto che un
corpo rigido nello spazio è dotato di 6
gradi libertà (3 nel piano). La conoscenza
del valore assunto da tali parametri
consente di definire univocamente la
posizione e l’orientazione nello spazio
(nel piano) del corpo
La posizione nello spazio della trottola in
figura, supposta rigida, sarà
completamente definita una volta che
saranno noti le coordinate del punto P0 e
i tre angoli indicati in figura.
Equilibrio statico delle strutture
Analisi cinematica del corpo rigido
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Un
ivers
ità d
el
Sale
nto
Gradi di
Libertà
u0
v0
w0
y
j
a
Dalla Meccanica Razionale è noto che un
corpo rigido nello spazio è dotato di 6
gradi libertà (3 nel piano). La conoscenza
del valore assunto da tali parametri
consente di definire univocamente la
posizione e l’orientazione nello spazio
(nel piano) del corpo
La posizione su un piano
dell’imbarcazione in figura, supposta
rigida, sarà completamente definita una
volta che saranno noti le coordinate del
punto P0 e l’angolo di inclinazione del
suo asse longitudinale rispetto all’asse x.
Equilibrio statico delle strutture
Analisi cinematica del corpo rigido
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R. N
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Sale
nto
Gradi di
Libertà
u0
v0
q
Un corpo non completamente libero di muoversi è detto vincolato.
In generale il vincolo impone delle limitazioni agli spostamenti e/o rotazioni di un
punto del corpo.
Analiticamente un vincolo è espresso da una equazione le cui variabili sono costituite
dai gradi di libertà del corpo.
Si indicherà con Ve il numero di equazioni caratteristiche del vincolo
Limitando la trattazione al caso piano, le tipologie di vincolo possono essere
ricondotte ai seguenti casi:
- Appoggio semplice o scorrevole
- Appoggio fisso
- Doppio pendolo
- Incastro
Equilibrio statico delle strutture
Vincoli nel piano
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Esempi fisici di appoggi semplici
Equilibrio statico delle strutture
Vincoli nel piano – Appoggio semplice
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nto
Schematizzazione Equazione di vincolo
𝑣𝐴 = 0
𝑉𝑒 = 1
Esempi fisici di appoggi fissi
Equilibrio statico delle strutture
Vincoli nel piano – Appoggio fisso
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R. N
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Un
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nto
Schematizzazione Equazione di vincolo
𝑢𝐴 = 0
𝑣𝐴 = 0
𝑉𝑒 = 2
Esempi fisici di doppio pendolo
Equilibrio statico delle strutture
Vincoli nel piano – Doppio pendolo o pattino
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Ele
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nto
Schematizzazione Equazione di vincolo
𝑣𝐴 = 0
𝜃 = 0
𝑉𝑒 = 2
Esempi fisici di incastro
Equilibrio statico delle strutture
Vincoli nel piano – Incastro
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Sale
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Schematizzazione Equazione di vincolo
𝑢𝐵 = 0
𝑣𝐵 = 0
𝜃 = 0
𝑉𝑒 = 3
Quando un sistema strutturale è costituito da più corpi rigidi, nasce l’esigenza di
individuare le possibilità di moto relativo dei corpi.
Tali spostamenti possono essere limitati introducendo il concetto di vincoli interni o
alternativamente di sconnessioni
Una sconnessione può essere pensata come l’introduzione di una o più possibilità di
spostamento aggiuntivi rispetto a quelle proprie di un corpo rigido
Il grado della sconnessione S indica il numero di spostamenti aggiuntivi introdotti
Equilibrio statico delle strutture
Vincoli interni e sconnessioni
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str
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Un
ivers
ità d
el
Sale
nto
Un vincolo interno rappresenta un concetto complementare a quello di sconnessione
e rappresenta una o più limitazioni di spostamento relativo di due corpi.
Anche i vincoli interni sono espressi attraverso equazioni caratteristiche del vincolo.
A differenza dei vincoli esterni queste equazioni impongono l’uguaglianza tra più
spostamenti
Si indicherà con Vi il numero di equazioni caratteristiche del vincolo
La complementarietà dei concetti di sconnessione e vincolo interni fa sì che:
nel piano:
nello spazio:
Equilibrio statico delle strutture
Vincoli interni e sconnessioni
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nto
𝑆 + 𝑉𝑖 = 3
𝑆 + 𝑉𝑖 = 6
Limitando la trattazione al caso piano, le tipologie di vincolo interno/sconnessioni
possono essere ricondotte ai seguenti casi:
- Cerniera interna con n aste
- Doppio pendolo interno
- Pendolo interno
Si definiscono inoltre delle sconnessioni speciali che vengono introdotte per facilitare
lo studio cinematico delle strutture:
- Sconnessione tripla
- Incastro interno
Equilibrio statico delle strutture
Vincoli interni e sconnessioni
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Esempi fisici di cerniera con n aste
Equilibrio statico delle strutture
Vincoli interni – Cerniera con n aste
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nto
Schematizzazione Equazione di vincolo
𝑢𝐵1 = 𝑢𝐵2 𝑢𝐵2 = 𝑢𝐵3
𝑣𝐵1 = 𝑣𝐵2 𝑣𝐵2 = 𝑣𝐵3
𝑉𝑖 = 2(n − 1)
Schematizzazione sconnessioni semplici
Equilibrio statico delle strutture
Sconnessioni semplici
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Equazioni di vincolo
𝑢𝐴1 = 𝑢𝐴2 𝑣𝐴1 = 𝑣𝐴2 𝑉𝑖 = 2
(𝑆 = 1) x
y
x
y
x
y
A
A
A
𝑢𝐴1 = 𝑢𝐴2 𝜃𝐴1 = 𝜃𝐴2 𝑉𝑖 = 2
(𝑆 = 1)
𝑣𝐴1 = 𝑣𝐴2 𝜃𝐴1 = 𝜃𝐴2 𝑉𝑖 = 2
(𝑆 = 1)
Schematizzazione sconnessioni doppie
Equilibrio statico delle strutture
Sconnessioni doppie
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nto
Equazioni di vincolo
𝑢𝐴1 = 𝑢𝐴2 𝑉𝑖 = 1
(𝑆 = 2)
𝑣𝐴1 = 𝑣𝐴2 𝑉𝑖 = 1
(𝑆 = 2)
x
y
x
y
A
A
Schematizzazione sconnessione tripla
Equilibrio statico delle strutture
Sconnessioni speciali
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Equazioni di vincolo
− 𝑉𝑖 = 0
(𝑆 = 3)
𝑢𝐴1 = 𝑢𝐴2
𝑣𝐴1 = 𝑣𝐴2
𝜃𝐴1 = 𝜃𝐴2
𝑉𝑖 = 3
(𝑆 = 0)
x
y
x
y
Schematizzazione sconnessione nulla (incastro interno)
I sistemi meccanici reali sono costituiti da uno o più corpi vincolati tra loro e
vincolati esternamente
L’analisi cinematica di una struttura consente di stabilire il numero di gradi di
libertà del sistema nel suo complesso. Il risultato di tale analisi permette di stabilire
se il sistema è labile, isostatico o iperstatico
Tale analisi si basa sul confronto tra i gradi di libertà complessivi del sistema e i
gradi di vincolo imposti
Equilibrio statico delle strutture
Analisi cinematica delle strutture
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Dato un sistema costituito da n corpi rigidi nel piano (per cui il sistema nel suo
complesso sarà caratterizzato da 3n gradi di libertà) e indicato con v il numero di
equazioni di vincolo si indicherà con grado di labilità o di iperstaticità la quantità:
o in maniera del tutto equivalente:
Equilibrio statico delle strutture
Analisi cinematica delle strutture
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𝐿 = 3𝑛 − 𝑉𝑒 − 𝑉𝑖
𝐿 = 3 + 𝑆 − 𝑉𝑒
- Se L > 0 il sistema si dirà labile e L costituirà il grado di labilità ossia il numero
minimo di parametri indipendenti atti ad individuare univocamente la geometria del
sistema.
- Se L = 0 il sistema si dirà isostatico (a patto che la struttura non sia a vincoli
inefficaci), ossia la struttura sarà dotata esattamente del numero di vincoli
sufficienti a garantire l’equilibrio statico del sistema.
- Se L < 0 il sistema sarà iperstatico (a patto che la struttura non sia a vincoli
inefficaci), ossia il numero di vincoli è sovrabbondante rispetto ai gradi di libertà
del sistema.
Equilibrio statico delle strutture
Analisi cinematica delle strutture
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nto
𝐿 = 3𝑛 − 𝑉𝑒 − 𝑉𝑖 𝐿 = 3 + 𝑆 − 𝑉𝑒
L’efficacia dei vincoli di una struttura può essere valutata matematicamente o
fisicamente
Matematicamente se indichiamo con qi i 3n gradi di libertà complessivi del sistema
e con Fi(q1, q2,…qn) le m = (Ve+Vi) equazioni vincolo del sistema, il sistema si
dirà a vincoli efficaci se lo Jacobiano delle funzioni Fi è massimo
Equilibrio statico delle strutture
Analisi cinematica delle strutture
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𝐽 =
𝜕𝐹1
𝜕𝑞1
𝜕𝐹1
𝜕𝑞2
𝜕𝐹1
𝜕𝑞3𝑛
𝜕𝐹2
𝜕𝑞1
𝜕𝐹2
𝜕𝑞2
𝜕𝐹2
𝜕𝑞3𝑛
𝜕𝐹𝑚
𝜕𝑞1
𝜕𝐹𝑚
𝜕𝑞2
𝜕𝐹𝑚
𝜕𝑞3𝑛
Se J ha rango max
il sistema si dirà a vincoli efficaci
L’efficacia dei vincoli di una struttura può essere valutata matematicamente o
fisicamente
Fisicamente si richiede che nessuna parte della struttura sia dotata di spostamenti
rigidi elementari
I moti di corpo rigido sono caratterizzati da una funzione matematica del tipo:
Equilibrio statico delle strutture
Analisi cinematica delle strutture
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Un
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nto
𝑢(𝑄) = 𝑢 𝑃 + 𝜔 𝑥 (𝑄 − 𝑃)
Graficamente, sfruttando il teorema di Chasles secondo cui il centro di istantanea
rotazione appartiene sempre alla retta ortogonale alla traiettoria o velocità di un
punto, si può provare a determinare il centro C per ogni corpo costituente la
struttura. Se non è possibile farlo, vorrà dire che lo Jacobiano ha rango max e che il
sistema è a vincoli efficaci. Per i sistemi costituiti da più corpi occorre verificare
che i centri assoluti non siano allineati ai centri relativi
𝑢(𝑄) = 𝜔 𝑥 (𝑄 − 𝐶)
Sistema isostatico
Equilibrio statico delle strutture
Esempi di analisi cinematica delle strutture
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el
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nto
𝑛 = 1
𝑉𝑒 = 3 𝐿 = 3𝑛 − 𝑉𝑒 − 𝑉𝑖 = 0
A B
A B
AB
Sistema isostatico
𝑛 = 1
𝑉𝑒 = 3 𝐿 = 3𝑛 − 𝑉𝑒 − 𝑉𝑖 = 0
Labile a vincoli inefficaci
𝑛 = 1
𝑉𝑒 = 3 𝐿 = 3𝑛 − 𝑉𝑒 − 𝑉𝑖 = 0
Sistema iperstatico
Equilibrio statico delle strutture
Esempi di analisi cinematica delle strutture
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R. N
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nto
𝑛 = 1
𝑉𝑒 = 4 𝐿 = 3𝑛 − 𝑉𝑒 − 𝑉𝑖 = −1
Sistema iperstatico
𝑛 = 1
𝑉𝑒 = 4 𝐿 = 3𝑛 − 𝑉𝑒 − 𝑉𝑖 = −1
Labile a vincoli inefficaci
𝑛 = 1
𝑉𝑒 = 3 𝐿 = 3𝑛 − 𝑉𝑒 − 𝑉𝑖 = 0
A B
A B
A B
C
C
Sistema iperstatico
Equilibrio statico delle strutture
Esempi di analisi cinematica delle strutture
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nto
𝑛 = 1
𝑉𝑒 = 4
𝐿 = 3𝑛 − 𝑉𝑒 − 𝑉𝑖 = −1
𝑛 = 1
𝑉𝑒 = 3 Labile a vincoli inefficaci
𝐿 = 3𝑛 − 𝑉𝑒 − 𝑉𝑖 = 0 A
B
AB
A C
B
1 2
C1 C2
C12
1 2
Sistema isostatico
Equilibrio statico delle strutture
Esempi di analisi cinematica delle strutture
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Un
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ità d
el
Sale
nto
𝑛 = 2
𝑉𝑒 = 4
𝑉𝑖 = 2 n − 1 = 2
𝐿 = 3𝑛 − 𝑉𝑒 − 𝑉𝑖
𝐿 = 3 ∙ 2 − 4 − 2 = 0
Vincoli efficaci
C12 non allineato
con C1, C2
Sistema labile a
vincoli inefficaci
Equilibrio statico delle strutture
Esempi di analisi cinematica delle strutture
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Sale
nto
𝑛 = 2
𝑉𝑒 = 4
𝑉𝑖 = 2 n − 1 = 2
𝐿 = 3𝑛 − 𝑉𝑒 − 𝑉𝑖
𝐿 = 3 ∙ 2 − 4 − 2 = 0
Vincoli inefficaci
C12 allineato con C1, C2
A C C1 C2C C121 2 1 2
Sistema labile a
vincoli inefficaci
Equilibrio statico delle strutture
Esempi di analisi cinematica delle strutture
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Un
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Sale
nto
𝑛 = 2
𝑉𝑒 = 4
𝑉𝑖 = 2
𝐿 = 3𝑛 − 𝑉𝑒 − 𝑉𝑖
𝐿 = 3 ∙ 2 − 4 − 2 = 0
Vincoli inefficaci
C12 allineato con C1, C2
A CC1 C2
B
C128
Sistema isostatico
Equilibrio statico delle strutture
Esempi di analisi cinematica delle strutture
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ità d
el
Sale
nto
𝑛 = 2
𝑉𝑒 = 4
𝑉𝑖 = 2
𝐿 = 3𝑛 − 𝑉𝑒 − 𝑉𝑖
𝐿 = 3 ∙ 2 − 4 − 2 = 0
Vincoli efficaci
C12 non allineato
con C1, C2
A CC1 C2
B
C12
8
Sistema isostatico
Equilibrio statico delle strutture
Esempi di analisi cinematica delle strutture
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nto
𝑛 = 6
𝑉𝑒 = 6
𝑉𝑖 = 6 + 4 + 2 = 12
𝐿 = 3𝑛 − 𝑉𝑒 − 𝑉𝑖
𝐿 = 3 ∙ 6 − 6 − 12 = 0
Sistema labile a
vincoli inefficaci
Equilibrio statico delle strutture
Esempi di analisi cinematica delle strutture
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Sale
nto
𝑛 = 4
𝑉𝑒 = 8
𝑉𝑖 = 2 + 2 = 4
𝐿 = 3𝑛 − 𝑉𝑒 − 𝑉𝑖
𝐿 = 3 ∙ 4 − 8 − 4 = 0
Sistema iperstatico
Equilibrio statico delle strutture
Esempi di analisi cinematica delle strutture
31
R. N
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𝑛 = 3
𝑉𝑒 = 4
𝑉𝑖 = 2 + 2 + 2 = 6
𝐿 = 3𝑛 − 𝑉𝑒 − 𝑉𝑖
𝐿 = 3 ∙ 3 − 4 − 6 = −1
Sistema isostatico esternamente
Sistema iperstatico internamente
Equilibrio statico delle strutture
Esempi di analisi cinematica delle strutture
32
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ob
ile –
Ele
men
ti d
i M
ecca
nic
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le
An
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i ci
nem
atic
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elle
str
utt
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Un
ivers
ità d
el
Sale
nto
𝑛 = 2
𝑉𝑒 = 3
𝑉𝑖 = 6
𝐿 = 3𝑛 − 𝑉𝑒 − 𝑉𝑖
𝐿 = 3 ∙ 2 − 3 − 6 = −3
Vincoli efficaci
C12 non allineato
con C1, C2
Equilibrio statico delle strutture
Esempi di analisi cinematica delle strutture
33
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ile –
Ele
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i ci
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str
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ure
Un
ivers
ità d
el
Sale
nto
𝑛 = 2
𝑉𝑒 = 3
𝑉𝑖 = 5
𝐿 = 3𝑛 − 𝑉𝑒 − 𝑉𝑖
𝐿 = 3 ∙ 2 − 3 − 5 = −2
Vincoli efficaci
C12 non allineato
con C1, C2
Sistema isostatico esternamente
Sistema iperstatico internamente
Equilibrio statico delle strutture
Esempi di analisi cinematica delle strutture
34
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ob
ile –
Ele
men
ti d
i M
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a Str
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ura
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An
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i ci
nem
atic
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elle
str
utt
ure
Un
ivers
ità d
el
Sale
nto
𝑛 = 3
𝑉𝑒 = 3
𝑉𝑖 = 6
𝐿 = 3𝑛 − 𝑉𝑒 − 𝑉𝑖
𝐿 = 3 ∙ 3 − 3 − 6 = 0
Vincoli efficaci
C12 non allineato
con C1, C2
Sistema isostatico
Equilibrio statico delle strutture
Esempi di analisi cinematica delle strutture
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Ele
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nem
atic
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str
utt
ure
Un
ivers
ità d
el
Sale
nto
𝑛 = 3
𝑉𝑒 = 3
𝑉𝑖 = 6
𝐿 = 3𝑛 − 𝑉𝑒 − 𝑉𝑖
𝐿 = 3 ∙ 3 − 3 − 6 = 0
Vincoli inefficaci
C12 allineato con C1, C2
Sistema labile a v.i. esternamente
Sistema iperstatico internamente
Equilibrio statico delle strutture
Esempi di analisi cinematica delle strutture
36
R. N
ob
ile –
Ele
men
ti d
i M
ecca
nic
a Str
utt
ura
le
An
alis
i ci
nem
atic
a d
elle
str
utt
ure
Un
ivers
ità d
el
Sale
nto
𝑛 = 3
𝑉𝑒 = 6
𝑉𝑖 = 4
𝐿 = 3𝑛 − 𝑉𝑒 − 𝑉𝑖
𝐿 = 3 ∙ 3 − 6 − 4 = 0
Vincoli efficaci
C12 non allineato con C1, C2
Sistema isostatico esternamente
Sistema iperstatico internamente
Sistema labile a 1
grado di libertà
Equilibrio statico delle strutture
Esempi di schematizzazione di strutture reali
37
R. N
ob
ile –
Ele
men
ti d
i M
ecca
nic
a Str
utt
ura
le
An
alis
i ci
nem
atic
a d
elle
str
utt
ure
Un
ivers
ità d
el
Sale
nto
𝑛 = 2
𝑉𝑒 = 3
𝑉𝑖 = 2 n − 1 = 2
𝐿 = 3𝑛 − 𝑉𝑒 − 𝑉𝑖
𝐿 = 3 ∙ 2 − 3 − 2 = 1
Sistema labile a 1
grado di libertà
Equilibrio statico delle strutture
Esempi di schematizzazione di sistemi reali
38
R. N
ob
ile –
Ele
men
ti d
i M
ecca
nic
a Str
utt
ura
le
An
alis
i ci
nem
atic
a d
elle
str
utt
ure
Un
ivers
ità d
el
Sale
nto
𝑛 = 2
𝑉𝑒 = 4
𝑉𝑖 = 1
𝐿 = 3𝑛 − 𝑉𝑒 − 𝑉𝑖
𝐿 = 3 ∙ 2 − 4 − 1 = 1
Innesto a frizione
Sistema isostatico
Equilibrio statico delle strutture
Esempi di schematizzazione di sistemi reali
39
R. N
ob
ile –
Ele
men
ti d
i M
ecca
nic
a Str
utt
ura
le
An
alis
i ci
nem
atic
a d
elle
str
utt
ure
Un
ivers
ità d
el
Sale
nto
𝑛 = 4
𝑉𝑒 = 6
𝑉𝑖 = 2 + 2 + 1 + 1 = 6
𝐿 = 3𝑛 − 𝑉𝑒 − 𝑉𝑖
𝐿 = 3 ∙ 4 − 6 − 6 = 0
Elevatore a pinza
Sistema isostatico
Equilibrio statico delle strutture
Esempi di schematizzazione di sistemi reali
40
R. N
ob
ile –
Ele
men
ti d
i M
ecca
nic
a Str
utt
ura
le
An
alis
i ci
nem
atic
a d
elle
str
utt
ure
Un
ivers
ità d
el
Sale
nto
𝑛 = 5
𝑉𝑒 = 5
𝑉𝑖 = 4 + 4 + 2 = 10
𝐿 = 3𝑛 − 𝑉𝑒 − 𝑉𝑖
𝐿 = 3 ∙ 5 − 5 − 10 = 0
Gru a bandiera