Programacin Dinmica Probabilstica (PDP).

Programacin Dinmica Probabilstica (PDP). La PDP Se caracteriza porque el valor asociado a los arcos es un valor probable, y por lo tanto el valor de las rutas posibles desde el estado inicial hasta el estado final tiene un valor asociado a la probabilidad de ocurrencia de ella. Estando en un estado s cualquiera en cualquiera de las etapas del problema, los arcos que de ese estado s salen tienen una probabilidad de ocurrencia, que puede ser igual para todos o tener valores diferentes.

En este tipo de problemas de la PDP se distinguen: -estados, -etapas, -estado inicial, -estado final -valor al horizonte, -funcin objetivo, -poltica ptima, -arcos, -valor asociado a los arcos (estos son probables y no determinsticos), -ptimo, -solucin ptima, -ruta ptima. Presentemos otros conceptos asociados a estos problemas de PDP mediante un ejemplo y su solucin asociada.

Ejemplo 1. (PDP) Una empresa ha recibido el encargo de construir un artculo, que, por las caractersticas exigidas por el cliente deber pasar controles de calidad altos. Esto hace que la empresa estime que la probabilidad de que un artculo producido salga bueno es 2/3 (66,6667%) y de 1/3 (33,3333%) que salga malo sin posibilidad de recuperarlo o arreglarlo. El plazo que tiene la empresa para obtener al menos un artculo bueno es de 3 das, y la produccin del artculo implica ocupar el da en hacer andar la lnea de produccin, fabricarlos y finalmente ver si salieron buenos; por lo que la empresa tiene 3 intentos de fabricacin para obtener el artculo bueno.

Por contrato con el cliente se acuerda que si la empresa no obtiene el artculo bueno en los 3 das, en los 3 intentos, la empresa deber pagar una multa de $200 al cliente por indemnizacin o perdida de tiempo. Tambin la empresa sabe que cada da que decide elaborar ese producto incurre en un costo fijo de $20 por iniciar toda la lnea de produccin ese da , y tiene un costo de $5 por cada unidad que decida fabricar. Se pide encontrar la poltica ptima a seguir por la empresa en cuanto a la produccin de este artculo, para hacer mnimo el costo total de produccin y obtener al menos un artculo de buena calidad, segn lo exigido.

El Modelo y sus partes Las etapas. En este problema estarn asociadas a los dias de produccin. Por lo que el problema tiene 3 etapas. La Etapa 1 es el proceso de decidir si produce o no produce el da 1; y si decide producir, cuntas unidades producir. De manera similar se entienden las etapas 2 y 3. Los estados: En este problema se pueden distinguir 2 estados posibles dentro de cada etapa, y son: "la cantidad de artculos buenos que se tiene la obligacin de obtener en esa etapa". Se indicarn por 0 y 1. Por lo que el estado inicial es 1 y los estados finales posibles son 0 y 1.

Es decir, el estado: 0 : indica que en esa etapa no se tiene la necesidad obligada de obtener un artculo bueno. 1 : indica que en esta etapa s se tiene la necesidad obligada de obtener un artculo bueno.

Las variables de decisin : Son las decisiones que cada da deber tomarse, y son: la cantidad de artculos que se deber fabricar ese da. Por lo que son 3 variables de decisin: x1, x2, x3, donde: x1 es la cantidad de artculos a fabricar el da 1, x2 es la cantidad de artculos a fabricar el da 2, y x3 es la cantidad de artculos a fabricar el da 3. Es claro que si un da tiene el estado 0, fabricar 0 artculos, y ese da tendr un costo de $0. Si un da tiene el estado 1, deber fabricar algunos artculos (si es lo ms conveniente), e incurrir en un costo de $5 por unidad ms $200 fijos.

El costo de produccin de cada da esta dado por: 200 ; si xi > 0 Costo por dia: = ; Donde 5xi + K(xi) K(xi) = < 0 ; si xi = 0

Para cada artculo que se produzca la probabilidad de que salga bueno es 2/3, y que salga malo es 1/3 (datos del problema). Por lo que, si produce 2 artculos la probabilidad de que los 2 salgan malos es: (1/3)*(1/3) = (1/3)2. Si decide producir 3 artculos, la probabilidad de que los 3 salgan malos es de (1/3)3 , asi tambin se tendr que si fabrica 4 es (1/3)4 = 0,0123 la probabilidad de que los 4 salgan malos. Generalizando, si se decide fabricar xi artculos, entonces la probabilidad de que todos salgan malos es: (1/3) xi.

Probabilidades de cada uno de los casos finales, si se decide producir 3 artculos. Los 3 malos tiene probabilidad de ocurrencia de: (1/3)3. y para xi artculos a fabricar la Probab. ser de: (1/3)xi de que todos salgan malos.

La funcin objetivo, para cualquiera de las etapas contendr lo que representa el costo de esa etapa ms el costo probable de la etapa siguiente si todos hubiesen salido malos, y ms el costo probable de la etapa siguiente si no todos hubiesen salidos malos (al menos uno sali bueno). Y en la etapa nsima tendremos el estado 0 y el estado 1. Tomenos el estado 1 para f.

donde: K(xn ) es el costo de produccin fijo de $0 o de $200, segn ese da produzca artculos o no. 5*xn : representa el costo de $5 por unidad que se decida producir. (1/3)xn : representa la probabilidad de que los xn artculos salgan malos. fn+1(1) : es el costo que se tendr en la etapa siguiente, si se llega a ella con la obligacin de obtener un artculo bueno. Este valor es: f *n+1(1). (1/3)xnfn+1(1) : es el costo probable desde la etapa siguiente en adelante, si todos los de esta etapa salen malos.

(1- (1/3)xn) : es la probabilidad de que no todos los xn artculos salgan malos; alguno sale bueno. fn+1(0) : es el costo en que se incurrir desde la etapa siguiente, si se llega a ella al estado 0, es decir sin la necesidad de producir un artculo bueno, porque ya se obtuvo. Es f *n+1(0) (1-(1/3)xn)fn+1(0) : es el costo probable desde la etapa siguiente, si en esta etapa sale alguno de los artculos bueno. En el problema aqu dado, se tiene que f *n+1( 0 ) es cero, porque es cero el costo ms bajo si no se tiene la obligacin de producir un artculo bueno, en cualquiera de las etapas. La etapa 1 tiene como estado inicial: 1; es decir, en la etapa 1 se tiene la obligatoriedad de obtener un artculo bueno.

Los clculos: n=3, f3(1,0) = 0 + 5*0 + (1/3)0*200 = 200 f3(1,1) = 20 + 5*1 + (1/3)1*200 = 91.666 f3(1,2) = 20 + 5*2 + (1/3)2*200 = 52.222 f3(1,3) = 20 + 5*1 + (1/3)3*200 = 42.407 f3(1,4) = 20 + 5*1 + (1/3)4*200 = 42.469 f3(1,5) = 20 + 5*1 + (1/3)5*200 = 45.82

(Se calcula hasta que, para valores de x3, la f.o. empiece a aumentar de valor, luego de haber ido descendiendo. En este caso nos interesa el menor valor de la f.o.).s \ x3 0 1 0 0 =200 1 -= 91.666 2 -3 -4 -5 -f *3 0 x*3 0 3

=52.222 =42.40 =42.46 =45.82 42.407 7 9

n=2, f2(1,0) = 0 + 5*0 + (1/3)0*42.407 = 42.407 f2(1,1) = 20 + 5*1 + (1/3)1*42.407 = 39.1356 f2(1,2) = 20 + 5*2 + (1/3)2*42.407 = 34.7119 f2(1,3) = 20 + 5*3 + (1/3)3*42.407 = 36.5706 f2(1,4) = 20 + 5*4 + (1/3)4*42.407 = 40.5235

s x2 0 1

\

0

1

2

3

4

f *2

x*2

0

--

-34.71

--

--

0

0 2

42.40 39.14 7

36.57 40.52 34.711 9

n=1, f1(1,0) = 0 + 5*0 + (1/3)0*34.7119 = 34.7119 f1(1,1) = 20 + 5*1 + (1/3)1*34.7119 = 36.5706 f1(1,2) = 20 + 5*2 + (1/3)2*34.7119 = 33.8568 f1(1,3) = 20 + 5*3 + (1/3)3*34.7119 = 36.2856 f1(1,4) = 20 + 5*4 + (1/3)4*34.7119 = 40.4285

s x2 1

\

0

1

2

3

4

f *1

x*1

34.71 36.57 33.857 36.29 40.43

33. 857

2

Respuesta: Costo Mnimo Probable: 33. 857 Solucin ptima: x1 = 2 , x2 = 2 , x3 = 3 El costo mnimo probable para obtener al menos un producto bueno es de $ 33. 857; y el da 1 se debe producir 2, y si los 2 salen malos el da 2 se deben producir 2, y si salen malos el da 3 se deben producir 3.

Con ms detalles, la poltica ptima, y costos, en cuanto al lote de produccin es: - Que el da 1 fabrique 2 artculos, y si al menos uno de ellos sale bueno, el da 2 y da 3 no fabrica, y tiene un costo total de $20 + $5*2 = $30. - Si todos los artculos del da 1 salen malos, entonces el da 2 se deben fabricar 2 nuevos arculos. Si al menos uno de ellos sale bueno, el da 3 no fabricar, y tiene un costo total de $60. ($30 el dia 1 ms $30 el da 2). - Si todos los artculos del da 2 salen malos, entonces el da 3 se deben fabricar 3 artculos ms. Si todos los del da 3 salen malos, tendr un costo total de $295. ($30 el dia 1 + $30 el da 2 + $35 el dia 3 + $200 de multa). Si al menos uno del da 3 sale bueno, tendr un costo total de $95, dado por $30 el da 1 + $30 el da 2 + $35 el da 3.

Otras preguntas:*) Cul es el costo total en los 3 das?. No se sabe de ese costo a priori, y no se sabe cual ser en cada ocasin que se deba fabricar uno de estos artculos, porque no se sabe si se obtendr el da 1 con un costo de $30, o el da 2 con un costo de $60, o el da 3 con un costo de $95, o bien deber pagar la multa de $200 con un costo de $295. El costo del da 1 es seguro, los dems son costos probables. *) De que modo se puede obtener un costo total mnimo de $33. 857 ?. En este caso, de ninguna manera se tendr en alguna ocasin un costo de $33. 857. Segn lo ya indicado, el dia 1 hay un costo de $30, si debe fabricar el da 2 el costo es de $60, y si fabrica el da 3, el costo es de $95, y si todos salen malos, tiene un costo total con multa de $295.

*)Tomando en cuenta los resultados y valores de los costos ya indicados, cul debiese ser el mnimo valor al que convendra vender ese artculo de calidad exigente?. El costo mnimo probable de $33. 857 es aquel costo al que se tender, si se tiene muchos pedidos de este artculos, y cada vez se toma la poltica de produccin que ya se indic (x1=2, x2=2, x3=3). Como el da 1 tiene un costo de $30, (cerca de $33.857), se puede concluir que casi siempre, (en el 88,89% porque: 1 - (1/3)*(1/3) = 0,888 ) el artculo bueno se obtiene el primer da, logrndolo con un costo de $30. En muy pocas ocasiones pasa al da 2 con un costo de $60. (11,11%), y casi nunca pasar al da 3. ( (1/3)^4 = 0,0123; el 1,2 % ). Muy rara vez pagar la multa y tendr un costo de $295, ( (1/3)^7 = 0,00045724737082 ; un 0,045% ). Por lo que el piso para el precio de venta que se debe considerar es de $ 33.857, que es el costo al que tender si se tiene muchos pedidos de este tipo.