modelación probabilística del daño en pavimentos

Centro de Convenciones Kualaman Melgar / Tolima Marzo 9 al 13 de 2005

Modelacin probabilstica del dao en pavimentos

Mauricio Snchez-Silva (PhD), Silvia Caro Spinel (MSc) y Bernardo Caicedo (PhD) Departamento de Ingeniera Civil y Ambiental Universidad de Los Andes, Bogot, Colombia [email protected], [email protected], [email protected] Palabras Clave: pavimentos, diseo, dao, confiabilidad, probabilidad. RESUMEN La experiencia en el diseo y construccin de pavimentos ha demostrado que la incertidumbre de las propiedades mecnicas de los materiales, las cargas y los mtodos constructivos son determinantes para su comportamiento. Sin embargo, an los mtodos ms modernos de diseo (e.g., mecanicistas), consideran la incertidumbre de manera marginal manejndola, esencialmente, como una variable determinstica ms. Este artculo presenta una revisin de la aproximacin probabilstica al dao de pavimentos. Se discute la falla desde diferentes perspectivas: (1) la estimacin del dao acumulado por fatiga: (2) la formacin y propagacin de las grietas y (3) la capacidad de las capas de material granular. El problema de la confiabilidad se explica e ilustra mediante un ejemplo ilustrativo del potencial de este tipo de aproximaciones al problema. El diseo y mantenimiento de pavimentos se debe mover en un futuro cercano hacia la optimizacin y requiere modelos de incertidumbre y anlisis de confiabilidad. Introduccin El deterioro de un pavimento resulta de la acumulacin del dao generado por la fluctuacin de los esfuerzos y las deformaciones como consecuencia de cargas externas que varan en el tiempo. En este artculo se discute un modelo discreto para estimar las cargas de trfico de forma probabilstica. Este aspecto es importante puesto que el concepto de ejes equivalentes, utilizado en los mtodos de diseo tradicionales y los mtodos mecanicistas (racionales), es una simplificacin puramente emprica que desconoce que el trfico vara aleatoriamente con el tiempo, tanto en la magnitud de las cargas, como en la frecuencia. En la primera parte, se presenta el problema de la fatiga de los materiales y algunas medidas existentes del dao causado por fatiga. Adems de determinar el dao de los pavimentos como una medida global, se evalu la ocurrencia y propagacin de grietas como resultado de la fatiga. La ocurrencia de fisuras es importante porque es el principal elemento en la reduccin de la vida til de un material sometido a fatiga. Posteriormente, se presentan algunas consideraciones sobre la modelacin del trfico y los modelos probabilsticos de dao. Por ltimo, se combinaron los modelos probabilsticos de carga y resistencia para estimar la vida til de una estructura existente. Los resultados se ilustran con un ejemplo y dejan de manifiesto la importancia y las implicaciones de incluir el anlisis probabilstico como parte del diseo y la evaluacin de estructuras de pavimento.


Causas del deterioro en pavimentos La optimizacin del diseo y el mantenimiento de pavimentos requieren una prediccin del proceso de deterioro. Este proceso est influenciado por: (1) la incertidumbre en las cargas de trfico (e.g. nmero y localizacin de ejes, tipo de suspensin y llantas) y las condiciones ambientales (i.e., clima); (2) la dificultad de encontrar una medida fsica de deterioracin (i.e., dao); y (3) los parmetros y los modelos de incertidumbre asociados a todas las propiedades mecnicas de los materiales y su comportamiento estructural [Caro y Snchez, 2003]. El dao en las estructuras de pavimento est dominado por dos tipos de falla: fatiga y deformacin permanente (i.e., ahuellamiento). El dao que se genera por fatiga depende de las propiedades mecnicas de los materiales y las relaciones entre la carga mxima por eje y el espesor del pavimento. En particular, este dao est controlado por los ejes ms cargados y de mayor repeticin, tal como lo expresa la ley de fatiga (i.e., ley S N). Adicionalmente, la rugosidad en la superficie de la carretera excita las cargas dinmicas en los ejes del camin incrementando el dao por fatiga. Por ejemplo, algunos estudios han demostrado que para la carga tpica de un camin, los pavimentos rugosos experimentan el dao a una razn de, aproximadamente, 50% ms que la que se produce en carreteras con superficies suaves, [Guillespie et al. 1993]. A su vez, la temperatura promueve la fatiga al generar esfuerzos trmicos en las capas de la estructura. Por ejemplo, con un gradiente de un grado Fahrenheit por pulgada en una losa de concreto, el dao por fatiga producido por la mayora de los camiones se incrementa en un factor de 10 por encima de una condicin de gradiente nulo. Por otra parte, el ahuellamiento es un fenmeno que afecta los pavimentos flexibles y que depende principalmente del peso y de la distribucin de ejes en el vehculo. Este fenmeno se acelera por la presencia de elevadas temperaturas y baja frecuencia de aplicacin de cargas, lo cual afecta las propiedades reolgicas de los materiales contribuyendo significativamente a la deformacin permanente. Por ejemplo, se ha observado que a temperaturas mayores a un rango de 77 grados a 120 grados Fahrenheit (25C a 45C), el dao por ahuellamiento se incrementa en un factor de 16 [Guillespie et al. 1993]. A pesar de la importancia de todos los modos de falla mencionados anteriormente, este artculo se concentrar nicamente en los procesos de fatiga bajo condiciones de temperatura y clima constantes. La fatiga est caracterizada por una incertidumbre significativa, la cual es resultado de (1) la dispersin en el laboratorio de la informacin de la ley de fatiga (S N) (Figura 1); (2) la definicin de cargas con los esfuerzos correspondientes; y (3) las propiedades mecnicas de los materiales. El dao por fatiga ocurre usualmente en las capas ms superficiales o en aquellas fabricadas por materiales asflticos mezclados en caliente u otro tipo de materiales que soportan esfuerzos de tensin. La aproximacin probabilstica ser usada como un marco lgico para analizar incertidumbres del diseo y las bases cuantitativas para determinar la integridad estructural en la forma del riesgo o la probabilidad de funcionamiento inapropiado [ASCE, 1982].


Figura 1. Descripcin de la fatiga en materiales asflticos. MODELACIN DE LA FATIGA Modelo S-N La fatiga estructural es el resultado de la repeticin de ciclos de esfuerzo que causa un decaimiento en la resistencia de un material y, en ltima instancia, la falla estructural (i.e. fractura). Una falla por fatiga es siempre frgil, aun para materiales que son usualmente dctiles. Es importante hacer nfasis en que para materiales bituminosos, este lmite es difcil de identificar de forma experimental debido a que se requiere un nmero muy elevado de ciclos de carga para alcanzar la falla. La fatiga se evala usualmente en trminos de amplitudes de esfuerzo o rangos de esfuerzo de un ciclo. La amplitud del esfuerzo es la diferencia entre el pico y la media, mientras que el rango es la diferencia algebraica entre el esfuerzo mximo y mnimo. Aunque para el caso de pavimentos las mediciones se realizan comnmente en trminos de deformaciones, en este artculo se trabajar nicamente en funcin del esfuerzo. El comportamiento de la fatiga se describe mediante un diagrama S N (Figura 1). La variable N describe el nmero de ciclos de amplitud de carga constante hasta la falla y S la amplitud de los ciclos de esfuerzo. A menudo, los valores de N se dibujan en escala logartmica. Varios modelos se han propuesto para describir la relacin S N; sin embargo, uno de los ms utilizados es la Ecuacin de Basquin, la cual es vlida solo para un alto rango de ciclos (i.e. N> 104, que es el caso comn para pavimentos):

CNS m = (1) en donde S es la amplitud del esfuerzo (o rango de esfuerzo) y m y C son constantes empricas. Wirsching [Wirsching 1979] reporta que esta expresin es vlida para un proceso de carga estacionario o no estacionario. Si se toma logaritmo (log) a ambos lados de la ecuacin 1, esta se convierte es:

SmCN logloglog += (2)

Numero de ciclos (N)

Esfu

erzo

(S)

Funcin de densidad del nmero de ciclos dado SfN(n,s)

Func

in

de d

ensid

ad d

e la

am

plitu

d de

l esfu

erzo

dad

o N

f S(s)

Lmite de fatiga - Endurance

104

High cycle

Tiempo (t)

Esfuerzo S(t)

SRSmax

1Valor caracterstico

FN(1)=1/n


Esfu

erzo

(S)


Func

in

de d

ensid

ad d

e la

am

plitu

d de

l esfu

erzo

dad

o N

f S(s)


104

High cycle

Tiempo (t)

Esfuerzo S(t)

SRSmax


Esfu

erzo

(S)


Func

in

de d

ensid

ad d

e la

am

plitu

d de

l esfu

erzo

dad

o N

f S(s)


104

High cycle


Esfu

erzo

(S)


Func

in

de d

ensid

ad d

e la

am

plitu

d de

l esfu

erzo

dad

o N

f S(s)


104

High cycle

Tiempo (t)

Esfuerzo S(t)

SRSmax

1Valor caracterstico

FN(1)=1/n


Por lo tanto, si Y = log N, X = log S, a = log C y b = -m, la ecuacin 1 se convierte: Y = a + bX. Este resultado es til ya que con un anlisis de regresin lineal estndar se pueden encontrar los estimativos de a y b. Para las capas de asfalto, se ha observado que m vara de 2 a 5. La prediccin del nmero de ciclos de falla, N, para un rango de esfuerzos dado, tiene dos fuentes de incertidumbre: (1) la incertidumbre inherente a la dispersin de la informacin; y (2) la incertidumbre en la regresin lineal y en la estimacin de la media del log N dado el log S. Para hacer el modelo probabilstico ms sencillo, Wirsching [Wirsching, 1979] sugiere tratar m como una constante y transferir toda la variabilidad a a = log C, que usualmente se considera como una distribucin normal. Dao por fatiga en materiales asflticos Una medida global del dao por fatiga es importante como una alternativa para definir el estado del pavimento y las necesidades de intervencin. Si una estructura se somete a cargas con amplitud y frecuencia de esfuerzo constante, el nivel de dao por fatiga se calcula comparando el nmero de ciclos de carga con los requeridos para alcanzar la falla. Sin embargo, en la realidad la carga externa actuante sobre los elementos estructurales vara en el tiempo; por lo tanto, es necesario cuantificar el dao en cada ciclo de carga y el dao acumulado para la historia de carga. El efecto de las cargas cclicas en cualquier estructura se considera usualmente mediante reglas de dao acumulado. Estas reglas tratan de relacionar el comportamiento de la fatiga cuando la historia de carga es compleja (i.e., no es constante). La hiptesis Palmaren-Miner es la regla lineal de acumulacin de dao ms comn (Figura 2). Bajo amplitudes variables de carga, la regla de Palmaren-Miner [Miner 1945] permite predecir el dao como,

)(

...)()()( 3

3

2

2

1

1

k

k

SNn

SNn

SNn

SNnD ++++= b (8)

=

=k

i i

i

SNnD

1 )( (9)

Figura 2. Descripcin del factor de acumulacin de dao.

Nmero de ciclos a la falla (N)

Ampl

itud

o ra

ngo

de e

sfue

rzo

(S)

S1

S2

Si

N1 N2 Ni

S1

S2

Tiempo

Tiempo

Curva S-N

n1

n2

1

11 N

nD =

2

22 N

nD =

Nmero de ciclos a la falla (N)

Ampl

itud

o ra

ngo

de e

sfue

rzo

(S)

S1

S2

Si

N1 N2 Ni

S1

S2

Tiempo

Tiempo

Curva S-N

n1

n2

1

11 N

nD =

2

22 N

nD =


donde ni es el nmero de ciclos armnicos de esfuerzo, a una amplitud Si, en otras palabras, este es el incremento de dao debido al bloque i-simo del rango de esfuerzos constantes Si; N(Si) es el nmero de ciclos para alcanzar la falla por efecto del esfuerzo Si y k el nmero total de grupos de esfuerzo. A pesar de que existen algunas crticas sobre la validez de este ndice, se reconoce ampliamente que es una medida razonable y conveniente del dao global por fatiga. El dao total de la estructura se alcanza para valores de D = 1. Resultados estadsticos han mostrado que la incertidumbre del dao se puede modelar de forma lognormal con media unitaria y coeficiente de variacin entre 0.4 y 0.7 [ASCE, 1982] y [Melchers, 1999]. El proceso de dao acumulado (i.e., deterioro) puede modelarse de muchas otras formas, dentro de las que se encuentra el Riding Comfort Index (RCI) alrededor del cual existe mucha informacin ([Paramapathy y Pandey, 2000] y [Hong y Somo, 2001]). A pesar de que el RCI es una idea atractiva, este ndice es muy subjetivo y difcil de cuantificar. Sin embargo, durante la ltima dcada muchas tcnicas y equipos han sido desarrollados para determinar el perfil longitudinal, la deflexin y la textura de la superficie de rodadura. El RCI no ser tratado en este artculo. Propagacin de grietas por Fatiga Como se describi en la seccin anterior, la fatiga depende del nmero de ciclos de carga que producen la falla. Sin embargo, las grietas se propagan desde fallas o defectos preexistentes, los cuales ocurren a valores de esfuerzos que se encuentran por debajo de la dureza (toughness) cuasi-esttica de la fractura [Suresh, 1998]. Para materiales asflticos, la iniciacin de grietas y su propagacin es un factor crtico que define su comportamiento durante la vida til. En general, el parmetro de control para el diseo bajo estas especificaciones es la longitud de la grieta o su tasa de cambio, la cual debe estar por debajo de un valor crtico durante su vida til. Es importante resaltar que para estructuras de pavimento existentes, el parmetro de control no debe ser solamente el tamao de la grieta, sino tambin su velocidad de propagacin. De acuerdo con Paris y Erdogan [1963], la propagacin de la grieta bajo cargas cclicas est gobernada por la siguiente ley emprica:

mKZdNda = (3)

Donde da/dn representa el cambio en la longitud en la grieta de fatiga por ciclo de carga (a es la longitud de la grieta) y K el factor de intensidad del esfuerzo definido y minmax KKK = . El factor de intensidad de esfuerzo depende del esfuerzo, del tipo de problema, de la geometra del espcimen y de la geometra de la grieta [Suresh 1998]:

( )qafsK r,= (4) donde qres un vector que considera las caractersticas geomtricas del espcimen y s es el esfuerzo. si K se describe, por ejemplo, como: asaYK )(= , entonces, [ ]minmax)( ssaaYK = y por lo tanto,


[ ][ ][ ]mmm

m

SaaZYdNda

ssaaYZdNda

=

=

)(

)( minmax (5 y 6)

Mediante la separacin de variables e integrando se obtiene que,

[ ] =caa mmm SNZuuY du0 )()( (7) donde a0 es la longitud inicial de la grieta y ac el tamao lmite de la grieta (ac> a0). Algunas veces, la constante Z se reemplaza por Z=Z1/Z2(a); donde Z1 es una variable aleatoria que describe la variacin entre los valores medios en diferentes especmenes (Z11/C) y Z2(a) es un proceso aleatorio que describe la variacin desde el valor medio a lo largo de la trayectoria de la grieta dentro de cada espcimen. Z2(a) se supone usualmente como estacionaria y lognormal. MODELACIN DE LA DEMANDA A partir de la discusin anterior se puede evidenciar la importancia de la modelacin de las cargas sobre el pavimento. Esta seccin est dedicada a este problema. La experiencia ha mostrado que la incertidumbre en las cargas de trfico participa significativamente en la confiabilidad de pavimentos. Adems, Croney y Croney [1998] indican que comparativamente se han realizado pocos esfuerzos, dentro de organizaciones de investigacin y universidades, para establecer el volumen del trfico en diferentes tipos de carreteras y el espectro de carga asociado por diferentes tipos de ejes. El problema de la modelacin de la carga requiere contar con informacin confiable del trfico y desarrollar un modelo de carga. La informacin del trfico es generalmente usada para (1) determinar la capacidad de carga para distintos tipos de vas; (2) examinar la distribucin entre los carrilles de la va; (3) establecer los programas de mantenimiento y rehabilitacin; y (4) diagnosticar el trfico esperado de diseo para las nuevas vas. Un buen modelo de trfico debe necesariamente determinar el espectro de carga y sus proyecciones en el tiempo [Caro y Snchez, 2003]. En este artculo se supone que la carga est descrita mediante el espectro de carga que relaciona cargas con frecuencia. Todas las consideraciones acerca del nmero de ejes y la distribucin del trfico por carriles estn incluidas all. Es importante resaltar que las cargas de trfico estn relacionadas con los esfuerzos de tensin que se producen en las capas del pavimento mediante modelos mecnicos basados en la propagacin de ondas en estructuras multicapa (Figura 3). Varios modelos para este propsito se pueden encontrar en la literatura; en este artculo, no se tratar la transformacin de cargas a esfuerzos.


Figura 3. Transformacin del espectro de carga en un espectro de esfuerzos (i.e., tensin o compresin)

Las cargas sobre el pavimento se modelan como un proceso estocstico donde el esfuerzo S(t) a cualquier instante de tiempo t se comporta como una variable aleatoria (Figura 4). Es importante mencionar que la variable t se puede reemplazar por una variable discreta, por ejemplo, por el nmero n de aplicaciones de carga realizadas [Melchers, 1999]. La nocin central involucrada en el concepto de un proceso aleatorio de esfuerzo S(t) es que no describe solamente un instante de tiempo, sino el resultado del experimento en todos los posibles instantes de tiempo [ASCE, 1982].

Figura 4. Proceso estocstico no estacionario que describe la carga sobre el pavimento

Para el caso particular del la infraestructura de transporte, un modelo realista de la demanda se puede modelar como una secuencia de cargas discretas descritas mediante un histograma como el que se muestra en la Figura 5. Dentro de las alternativas para modelar el problema existe la posibilidad de convertir la historia de cargas discretas en un rango de amplitudes de esfuerzo constante equivalente mediante:

B [ ] ( )=i

mii

me SkSE max (10)

en donde ki es la frecuencia de ocurrencia del esfuerzo Si y i el radio entre el rango de esfuerzos individuales (carga) y el mximo rango de esfuerzos (carga) Smax. Se corresponde al rango de esfuerzos equivalente de amplitud constante que produce el mismo grado de dao por fatiga que el rango de esfuerzos histricos de amplitud variable.

Carga (KN)

Frec

uenc

ia

Esfuerzo (MPa)

Frec

uenc

ia

Modelo Mecnico

Tiempo

Esfu

erzo

/ de

form

aci

n

Esfu

erzo

/ de

form

aci

n

Funcin de densidad

Realizacin del proceso

Tiempo

Esfu

erzo

/ de

form

aci

n

Esfu

erzo

/ de

form

aci

n

Funcin de densidad

Realizacin del proceso


Figura 5. Evaluacin de esfuerzos bajo cargas discretas Una aproximacin alternativa consiste en dividir las amplitudes de esfuerzo en l grupos de esfuerzos de amplitud constante y tomar como incierto el nmero de ciclos en cada grupo, N. En este caso,

[ ] =

=l

i

miii

m SNpSE1

(11)

donde pi es la probabilidad de que el esfuerzo Si ocurra y se obtiene del espectro de carga; Ni es el nmero de ciclos de carga para un esfuerzo i, y Si el esfuerzo causado por la carga de trfico de tipo i. Si el trfico aumenta con el tiempo a una tasa de crecimiento , la ecuacin 11 se puede modificar para incluir el periodo tiempo considerado para el estudio,

[ ] ==

=l

i

miiii

T

t

m StNtpSE11

),()( (12) donde T es el nmero de aos en consideracin dentro del anlisis; Ni(t, ) el nmero de ciclos de esfuerzo i en el ao t. CONFIABILIDAD DEL PAVIMENTO El diseo de pavimentos considera dos estados lmites principales: (1) el dao acumulado por fatiga en las capas de material asfltico; y (2) la resistencia a compresin del material granular en la base de cada capa. A continuacin se presenta una descripcin del problema de confiabilidad asociado a cada uno de estos casos. Adicionalmente, se presenta el caso de la propagacin de la grieta, que, como se discuti anteriormente, juega un papel fundamental en la determinacin del estado del pavimento. Estimacin del dao acumulado Uno de los principales objetivos en la confiabilidad de pavimentos es la medicin del dao esperado. De acuerdo con la regla de Palmgren-Miner, si todas las amplitudes de esfuerzo son diferentes, el dao se puede estimar como:

Nmero de ciclos, N

Esfu

erzo

/ de

form

aci

n

Realizacin del proceso discreto

Si

Smax

Se


= =

==N

i

N

i

mi

i

SCN

D1 1

11 (13)

donde Ni, es el nmero de amplitudes de esfuerzo Si y C es la constante definida por la ecuacin 1. En combinacin con la ecuacin 11, el dao total en el pavimento al final de su vida til se puede calcular como:

=

=l

i

miii SNpC

D1

1 (14)

donde l es el nmero de grupos de amplitud de esfuerzo constante (Tabla 1). Si el anlisis tiene en cuenta la evolucin del dao en el tiempo y el estudio se enfoca en la evaluacin del dao a un tiempo t, la ecuacin 14 se puede modificar de la siguiente forma:

===

l

i

miiii

t

tStNtp

CD

11

)()(1 (15)

Si el problema de la confiabilidad se expresa en trminos del dao, la probabilidad de falla se puede calcular como:

[ ] )01()0( == mf SECDpgpp (16) El mtodo de solucin de este problema depende de la complejidad del modelo E[Sm]. Cuando existe una solucin analtica, se pueden implementar mtodos aproximados como FORM/SORM para encontrar la solucin. Sin embargo, dada la complejidad de la mayora de expresiones, una solucin sencilla se obtiene mediante la utilizacin de Simulaciones de Monte Carlo. En general, la Simulacin de Monte Carlo consiste en seleccionar valores aleatorios para las variables y resolver la ecuacin 18, para cada juego de variables. Si esta actividad (simulacin) se realiza N veces, la probabilidad de falla se determina como,

)0(1


donde ac es la grieta crtica seleccionada con base en las condiciones de servicio. El criterio de la propagacin de la gritas por fatiga hasta la falla se puede expresar a su vez en trminos del factor de intensidad de esfuerzo K, i.e., g(K)=KIC-K


Figura 6. Proceso de Poisson Spike. EJEMPLO ILUSTRATIVO Esta seccin ilustrar los conceptos descritos en las secciones anteriores mediante un ejemplo. Considere una estructura de pavimento como la mostrada en la Figura 7 con una capa asfltica y dos capas de material granular. El espectro de carga para la va est definido por la informacin presentada en la Tabla 1. La segunda columna es el esfuerzo Si, la tercera columna corresponde al nmero de ciclos de carga al ao t = t0, i.e. N0, generando el esfuerzo Si, y la ltima columna la probabilidad de cada nivel de esfuerzo. La historia de carga esperada se supone como un proceso estocstico discreto. Adems, la informacin experimental de un ensayo de fatiga sobre materiales bituminosos sigue la siguiente regla:

NS3.226=C=8.163106 Anlisis del dao acumulado El nmero esperado de ciclos de carga para alcanzar la falla se puede calcular dividiendo el rango de esfuerzos en intervalos de igual esfuerzo. Para este caso, se consideraron seis intervalos de esfuerzo, l = 1,2,,6 y la probabilidad de cada caso de carga fue calculada suponiendo una distribucin de Poisson con una tasa promedio de ocurrencia de 0.9 (Tabla 1).

Figura 7. Descripcin de la estructura de pavimento considerada en el ejemplo

Ciclo, n

Car

ga (K

N)

Ciclo, n

Car

ga (K

N)

h1

h2

h3

Acumulacin de dao

Dao compresin/def. vertical

Dao compresin/def. vertical

Nmero de ciclos, N

Esfu

erzo

/ de

form

aci

n

ResistenciaR(t)

Spike Poisson ProcessPuntos de falla


Tabla 1. Datos del espectro de carga definido para el pavimento

l S(MPa) N0 pi 1 0.5 3.02410 0.4072 1.0 1.36110 0.3663 1.5 7.56110 0.1654 2.0 4.83910 0.0495 2.5 3.3610 0.0116 3.0 4.5410 0.002

Por consiguiente, el nmero esperado de ciclos para que se presente la falla se calcula como:

[ ] [ ] 61

10.641.4====

l

i

mii

m

Sp

CSECNE

Con base en la informacin de la Tabla 1, el dao estimado para un perodo de, por ejemplo, 15 aos ser:

= =

==15

1

6

1238.0)(1

t i

miiii StNpC

D

Para este caso particular, N(t)=tj=1N0(1+ )j; y la tasa anual de crecimiento de trfico se supuso como = 5%. Es claro que el dao esperado crece en la medida en que el periodo de observacin aumenta. Esta aproximacin se puede usar para definir el mantenimiento y los programas de intervencin, por ejemplo, definiendo un umbral de nivel de dao despus del cual el pavimento debe ser reemplazado. Para el ejemplo se supuso que la probabilidad de cada nivel de esfuerzo no cambia con el tiempo, condicin que puede ser fcilmente implementada. Propagacin de la grieta La probabilidad de falla se puede calcular a su vez en trminos de propagacin de grieta. En este caso, la funcin de estado lmite se define por,

[ ]

== caa mmmc NSZzzY dzZpaappf 0 12 0)()()0(

La solucin requiere encontrar el factor de intensidad de esfuerzo para lo cual se hizo una aproximacin a la solucin reemplazando S = S. El factor para este caso particular vara entre 0.1 y 0.5, y en este artculo se tom como = 0.5. Entonces,

[ ]

=

= =ca

a

t

t i

miiiimmcf

StNpZMzzY

dzZptap 01

6

11

2 0')()()(

),(

donde Z1 y Z2 son variables aleatorias seleccionadas para este ejemplo como lognormales con Z1 = 1.225 * 10-6 y Z1 = 1.225 * 10-7; Z2 = 1 y Z2 = 0.1; M es una variable aleatoria que


describe la incertidumbre del modelo y est definida como lognormal con media M = 1 y desviacin estndar M = 0.05. El tamao de la grieta inicial se supuso igual a 1mm y

=

2

20exp)( aaY

La probabilidad de que la grieta alcance una longitud de 10 mm en un periodo de 20 aos sera pf(10,20) = 0.155. La Figura 9 describe la probabilidad de formacin de varias longitudes de grietas para diferentes periodos de tiempo. Se observa que la probabilidad de que una grieta de pequea longitud ocurra es mayor que la probabilidad que ocurra una de mayor tamao bajo la misma solicitacin. Por ejemplo, basados en la informacin mostrada en la tabla No. 1, para una operacin de 20 aos, la probabilidad de tener una grieta con una longitud mayor a 20 mm es muy pequea. Adicionalmente, se observa que todas las curvas de probabilidad mostradas en la Figura 9 corresponden a un nivel de dao dado. Por ejemplo, el ndice de dao definido por la regla Palmergren-Miner para cada periodo considerado es D15 =0.238, D20 =0.5 y D25 =0.854. Estos datos muestran que el dao del pavimento aumenta en un factor de 3,5 veces cuando se incrementa en 10 aos la vida til del pavimento.

Figura 9. Probabilidad de desarrollo de la grieta para diferentes ventanas de tiempo Clculo de la confiabilidad de las capas granulares no tratadas Un aspecto fundamental para el diseo es la determinacin del tiempo, o nmero de ciclos requerido para que la demanda sobrepase la resistencia del material granular. Este anlisis incluye lo que en la literatura se conoce como first pasage probability (primer cruce) y que se describi con anterioridad. Con el propsito de simplificar el problema, se puede tomar el valor mximo de carga observado cada ao, por ejemplo, despus de una simulacin de Monte Carlo. Entonces, si el anlisis se hace ao a ao, la tasa de ocurrencia es constante, = 1. Por otro lado, varios estudios muestran que la resistencia de las capas granulares se reduce cuando estn sometidas a cargas cclicas debido a fenmenos como la abrasin y el crushing (Caicedo et. al., 2005). Para este ejemplo se puede suponer que la reduccin de la resistencia est definida por R(t) = + exp(-t).

0 10 20 30 40 50 60 700

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Longitud crtica de la grieta ac (mm)

Prob

abili

dad

de q

ue se

des

arro

lle la

grie

ta

T = 25 aos

T = 20 aos

T = 15 aos


Utilizando la ecuacin 22 se obtiene la curva mostrada en la Figura 8 que presenta la probabilidad de que los esfuerzos a los que est sometido el pavimento sobrepasen los admisibles en las capas granulares. Se puede observar que la probabilidad se incrementa con el tiempo y en consecuencia, con el nmero de ciclos de carga. Indudablemente este anlisis se debe complementar con una cuidadosa revisin del cambio en las propiedades mecnicas de los materiales, una evaluacin cuidadosa de los parmetros que definen la distribucin de probabilidad de la carga y un modelo estocstico de elementos finitos (Haldar y Mahadaven, 2001).

Figura 8. First pasage probability para las capas granulares. RESUMEN Y CONCLUSIONES Este artculo presenta una revisin de la aproximacin probabilstica al dao de pavimentos. Aunque algunos conceptos se han usado extensamente en otros campos, su aplicacin en los pavimentos es relativamente nueva y tiene implicaciones muy importantes. La definicin de estados limites probabilsticos permite considerar explcitamente la incertidumbre que afecta el comportamiento del pavimento y a su vez permite incluirla racionalmente dentro de los programas de diseo y mantenimiento. Este artculo discute la falla desde diferentes perspectivas: (1) la estimacin del dao acumulado por fatiga: (2) la formacin y propagacin de las grietas y (3) la capacidad de las capas de material granular, El problema de la confiabilidad fue explicado e ilustrado mediante un ejemplo ilustrativo del potencial de este tipo de aproximaciones al problema. El diseo y mantenimiento de pavimentos se debe mover en un futuro cercano hacia la optimizacin y requiere de modelos de incertidumbre y anlisis de confiabilidad. REFERENCIAS Ang A. H-S. Tang W.H. Probability concepts in Engineering planning and design: volume 1 basic principles. John Wiley and Sons, New York, 1975. Ang A. H-S. tang W.H. Reliability concepts in Engineering planning and design. John Wiley and Sons, New York, 1984.

0 6 12 18 24 300

0.25

0.5

0.75

1

Tiempo (aos)

Prob

abili

dad


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modelación probabilística del daño en pavimentos

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