programa laburra maiatza-ekaina eta pendienteak · 4.- lor itzazu tg β=1 balioari dagozkion...

PROGRAMA LABURRA (gutxiengoa)

Batxilergo Zientifiko-Teknikoa

MATEMATIKA I

Ignacio Zuloaga BHI (Eibar)

IGNACIO ZULOAGA B.I. (EIBAR) Gutxiengo programa (Zientifiko-Teknikoa 1. maila)

1

Ekuazio esponentzialak Ariketa ebatziak:

27

13)

21 =− xa

27

1 adieraziko dugu 3 oinarriko berretura moduan: 3

33

3

1

27

1 −==

24313327

13 22311 22

±=→=→−=−→=→= −−− xxxxx

15) 652

=+− xxb

1 zenbakia 5 oinarriko berretura moduan adieraziko dugu: 051=

2

2425506555 20652 −±

=→=+−→=+− xxxxx

Soluzioak: 3;2 21 == xx

1222) 1 =+ +xxd

Aldagai aldaketa hau egingo dugu: ax =2

Horrela, axx 22.22 1 ==+ izango da.

Beraz, 2424123122 =→=→=→=→=+ xaaaa x

( )5

5125

1

2 36

x

xx

+

+−=

2

321

5+

−+x

x = )6(35 x− → x + 1 -

2

32 +x = 3( 6 - x)

2x + 2 - 2x - 3 = 36 - 6x → 6x = 37 → soluzioa: x = 6

37

1033 2 =+ − xx

013

293;1aeta9

2

810

2

3610010091010

33

x

22

=→=

=→===

±=−±

=→=+−→=+→=

x

xa

aaaa

aa

x

x


2

Ebatzi ondoko ekuazioak:

162)1

=xa ; 49

17) =xb ; 82.2) 1 =+xxc ; 322) 1 =+ −xxd

233 5,02) += xxe ; 9

13)

24 =− xf ; 2100100.10) =xg

07222) 11 =−++ +− xxxi ; 0813.29) 2 =+− +xxj Logaritmoak

1.- Aurkitu x-ren balioak ondoko ekuazioetan:

x=128log2 ; 481

1log −=x ;

2

1log4 =x

2.- Kalkulagailua erabili barik, lor itzazu ondoko balioak:

3

1log);001,0log);625log) 35 cba

3.- Aurkitu hurrengo logaritmoen balioak kalkulagai luaren laguntzaz.

60log)a ; 1500log) 2a ;

4.- Egia ala gezurra al dira ondoko erlazioak? Arra zoitu.

38log)

77log7loglog)

log5log5log)

310.310loglog)

)12(log1log2log)

2

1 −=

=+→=+

=−

=→=+

+=+

e

xyxd

xxc

xxb

xxa

5.- Har itzazu logaritmo hamartarrak ondoko kasueta n:

3

5

01,0) =Aa

6.80

1000)

5=Bb

6.- Logaritmoen definizioa erabiliz, kalkulatu:

a) ( )0001,0log ; b)log2

8

1 ; c)log

3( )5 3 ; d)

35

5

125log ; e)

2

1ln

e

Soluzioak: a) –4 ; b) –3/2 ; c) 1/5 ; d) 7/6 e) –2


3

Ekuazio logaritmikoak. Ariketa ebatziak:

350loglog =+x

Kontuan izan log A + log B = log (A.B) dela eta 3 = log 1000 dela.

Beraz, 201000501000log)50(log =→=→= xxx

32log)3(log5 22 =+x

Kontuan izango dugu abba loglog = dela.

Beraz, 1232log)3(log 52

52 −=→=+→=+ xxx

( ) 282

1log1log =

−−+

xx

−

+

82

1)1(

log

x

x = log 100

(x + 1) (2x - 8) = 100 → 2x2 - 6x - 8 = 100 → x2 - 3x - 54 = 0 →

x = 2

21693 +± → 6

9

−==

x

x x = - 6 soluzioak ez du balio

Soluzioa: x = 9

Ariketa. Ebatzi ondoko ekuazio logaritmikoak:

;10

log3log2)

2log3log2)3/(log2log3);2)16(loglog2);2

log32loglog3)

xxd

xxcxxbx

xa

+=

+=−=−−=−

e) xx log)32(log2

1 =+ ; )23(log)6(log)1(log) +=++− xxxf

Soluzioak: e) x=3 ; f) x=2


4

Ekuazio sistemak

Hiru "butaka" eta sei "palko" sarrerengatik 150 euro ordaindu dira . Aztertu honako hauek ordaindu diren kasuak ere : a) Bi butaka eta bi palko sarrerengatik 70 euro b) Butaka sarrera bat eta bi palkogatik 50 euro ordaindu dira c) Bi butaka eta lau palko sarrerengatik 110 euro. Bilatu jarleku bakoitzaren prezioa, posible den kasuetan .

a)

=+=+

7022

15063

yx

yx →

=+=+35

502

yx

yx

b)

=+=+502

15063

yx

yx →

=+=+

502

502

yx

yx → x = 50 - 2y

c)

=+=+

11042

15063

yx

yx →

=+=+

552

502

yx

yx → 0 = 5 ?

Sailkatu eta ebatzi, posible bada, honako sistema h ajek. Erabili Gauss-en metodoa

−=+−

−=+−

=−+

223

32

52

zyx

zyx

zyx

;

=++

=+

=+

83

4

42

zyx

zx

yx

=+−−

=+

−=+−

398

22

332

zyx

yx

zyx

;

=+−

=−+−

−=−+

=+−

223

552

32

02

zyx

zyx

zyx

zyx

;

=+−=−+

=+

4

223

1652

zx

zyx

yx

(Baterag. det: x=-2, y=4, z=6) ;

=−+=++

=++

0

3335

123

zyx

zyx

zyx

(Bateraezina)

=++=−+=++

0236

024

032

zyx

zyx

zyx

(Baterag indet: )0;;2

==−= zyx λλ

x = 20 y = 15 Soluzio bakarra.

Sistema bateragarri determinatua

Infinitu soluzio. Sistema bateragarri indeterminatua

Ez du soluziorik. Sistema bateraezina


5

=+−−=−−

=++

52

10

92

zyx

zyx

zyx

(Baterag. det: x=-1 , y=1 , z=8)

Tarteak

1- Adierazi tarte moduan eta zuzen errealean ondorengo zenbaki multzoak:

a) 3 baino zenbaki handiagoak b) {x 52/ <≤ℜ∈ x } d) {x 73/ ≤≤ℜ∈ x }

2- Idatzi tarte hauetako x zenbakiak egiaztatzen dituen desberdintzak:

a) [-2, 7] b) [13, ∞ ) c) (- ∞ , 0)

3- Adierazi zuzen errealean honako zenbaki multzo hauek:

a) (-3, -1) b) [4, ∞ ) c) {x 52/ <≤−ℜ∈ x }

d) [-2, 5) ∪ (5, 7] e) (- ∞ , 0) ∪ (3, ∞ ) f) (-∞ , 1) ∪ (1, ∞ )

4- Idatzi tarte bidez deberdintza hauek egiaztatzen dituzten zenbakiak: a) x<3 edo x≥ 5 b) x>0 eta x<4

5- Aurkitu x-ren zein baliok beteko duten hau: a) 7≤x ;b) 6≥x ; c) 25 <−x ; d) 21 <+x

Segiden limiteak

Kalkulatu hurrengo limiteak:

)543(lim 3nn +− )543(lim 3nn −+ ; )54(lim 32 nnn +− ; 4

23lim

+n ;

n54

2lim

+ ;

45

23lim

++

n

n ; n52lim ; n52lim − ; n

1

2lim ; 2

2

3

2lim

nn

n

−+

−−++

n

nn

n

nn 4

1

3lim

33

, 63

29lim

−−

n

n ;

13

26lim

2

2

+−+

n

nn ; 3

2

2

63

5lim

++

n

n ;

13

26lim

5

2

+−+

n

nn ; n

n

2

12

6lim+

; 32

1

6lim n

n+

; n

n

2

1

4lim+

−++

1

4.

1

3lim

2

2

n

n

n

nn


6

Trigonometria

Ariketak

1.- Adierazi radianetan:

a) 90º ; b) 60º ; c)270º

d) 45º ; e) 15,65º ; f) 20º 10’ 10’’

2.- Adierazi sistema hirurogeitarrean:

rad6

)π

a ; rad3

5)

πb ; rad43,1)c

Formula trigonometrikoak:

1cossin 22 =+ αα ; ααα

cos

sin=tg ; αα

ααtg

g1

sin

coscot == ;

αα

α 22

2 seccos

11 ==+tg ; α

αα 2

22 cos

sin

1cot1 ecg ==+

Ariketak

3.- Kalkulatu α angeluaren arrazoi trigonometrikoak, 5,0sin =α dela eta α angelua lehenengo koadrantekoa dela jakinik.

4.- Lor itzazu 1=βtg balioari dagozkion arrazoi

trigonometrikoak, β angelua hirugarren koadrantekoa dela jakinik. 5.- Froga itzazu ondoko berdintzak:

ααα ecga cossec.cot) = ; αααα sin.cossec) tgb =−

6.- Kalkulatu αsin eta αtg , baldin 2

3cos =α bada eta α angelua

laugarren koadrantekoa dela jakinik.

7.- 2cos −=αec bada, eta α angelua hirugarren koadrantekoa dela

jakinik, kalkula itzazu αcos eta αgcot


7

8.- Badakigu 3

1cot −=αg eta 0cos ≥α direla.Zein koadrantekoa

da α angelua? Lor itzazu gainontzeko arrazoi trigonomet rikoak.

9.- Sinplifika ezazu ααα gcot.sec.sin

10.- Lehenengo koadranteko angelu bat erabiliz, kal kulatu 120º, 225º eta 330º-ko angeluen arrazoi trigonometrikoak.

11.- Bigarren koadranteko zein angeluren sinuak bal io du 0,5?

12.- Kalkulatu 1590º-ko angeluaren arrazoi trigonom etrikoak

13.- Lehenengo koadranteko angelu bat erabiliz, kal kula itzazu ondoko angeluen arrazoi trigonometrikoak: 135º, 210 º, 300º, 315º, -30º, 1230º, 1575º.

14. Aldatu formaz ondoko angeluak :

''21'43º15) =αa ; ''25'34º36) =αb ; º1646,25) =αc ; º5216,42) =αd Em.: a) 15,7225º ; b) 36,5736º ; c) 25º 9’ 53’’ ; d) 46º 31’ 18’’

15.- Adieraz itzazu radianetan. a) 60º 12’ 45’’ ; b) 126º 12’ 54’’

Em.: a) 1,05 rad ; b) 2,20 rad

16.- Adieraz itzazu sistema hirurogeitarrean.

rad12

7)

πa ; b) 0,75 rad Em.: a) 105º ; b) 43º

17.-Lortu α angelu zorrotzari dagozkion gainerako arrazoi trigonometrikoak, 5,1=αtg dela jakinik.

Em.: 83,0sin =α ; 55,0cos =α ; 80,1sec =α ; 20,1cos =αec ; 67,0cot =αg

18.-Adierazi lehen koadranteko angelu baten arrazoi baten funtziopean:

a)cos 135º ; b)tg 210º ; c)sin 150º ; d)sin 315º ; e)cos 300º


8

Triangelu zuzenen ebazpena. Ariketa ebatziak:

1.- Ebatzi triangelu zuzen bat, kateto bat 4 cm-koa eta angelu bat 50º-koa direla kontuan hartuta.

Datuak: b = 4 cm eta º50ˆ =B

C = 90º – B = 90º - 50º = 40º

cm22,5º50sin

44º50sin ==→= a

a

cm36,3º50

44º50 ==→=

tgc

ctg

2.- Antena baten punturik altuenaren gorapen-angelua 30º-koa da, lurrean antenaren oinetik 50 m-ra begiratuz gero. Kalkulatu antenaren altuera.

Irudiaren arabera, honako hau dugu:

m87,283

3.50º30.50

50º30 ===→= tgh

htg

3.- Mendi baten gailurreko puntuaren gorapen-angelua 32º-koa da puntubatetik begiratuz gero. Mendirantz 1000 m hurbilduz gero, gorapen-angelua 41º-koa da. Zein da mendiaren altuera, puntu biak itsas mailan daudela kontuan hartuta?

OAM triangeluan hauxe betetzen da:

1000º32

+=

x

htg

BAM triangeluan hauxe betetzen da:

x

htg =º41

Bi ekuazioek osaturiko sistema ebatziz,

mendiaren altuera lortuko dugu, baita gailurraren oinetik zein distantziatara gauden ere.

m2213,29h ; m94,2546

º41º41

º32)1000(1000

º32==⇒

=⇒=

+=⇒+

=x

tgxhx

htg

tgxhx

htg


9

4.- Kalkula ezazu pentagono erregular baten azalera, aldeek 6 cm-ko luzera dutela kontuan izanik

Pentagonoaren azalera: 2

(a)apotema.perimetroa=A

Pentagonoa bost triangelu isoszeletan zatitu ahal da, eta triangelu horien altuerak poligonoaren apotema da. Kontsidera dezagun lorturiko triangeluetako bat.

M delakoa AB aldeko erdiko puntua da eta α angelua poligonoaren AOB angelu zentralaren erdia da.

º362

º72º72

5

º360 ==⇒== αAOB

OMB triangeluan cm13,43

º36 =⇒= aa

tg

Beraz, pentagonoaren azalera honako hau da: 2cm95,612

13,4.5.6 ==A

Ariketak

19.- Ebatz ezazu ABC triangelua honako kasu hauetan:

a) a = 5 ; b = 2

b) b = 5 ; C = 30º

20.- Kalkula ezazu eraikin baten altuera, bere oine tik 20 m-ra dagoen puntu batetik begiratuta eraikinaren punturi k altuenaren gorapen-angelua 50º-koa dela kontuan izanik.

21.- 20m-ko distantziara dauden bi radarren bidez, radarren plano bertikalean higitzen ari den hegazkin bat behatzen ari dira, 36º eta 52º-ko angeluez, hurrenez hurren. Zein altueratan doa hegazkina?

22.- Kalkula ezazu 5 cm-ko aldeak dituen exagono er regular baten azalera.


10

23.- Triangelu isoszele baten alde desberdina 8 cm luze da, eta horren aurrez aurreko angelua 24º-koa da. Lor itzaz u triangeluaren perimetroa eta azalera.

Em.: P = 46,48 cm ; A = 75,27 cm 2

24.- Kalkula ezazu trapezio isoszele baten azalera, oinarriak 24 cm eta 8 cm-koak direla eta barne-angeluetako bat 1 20º-koa dela jakinik.

Em.: 221,70 cm 2

25.- Aldiune batean, elkarrengandik 500 m-ra dauden bi behatzailek arrano bat ikusten dute beren gaineko plano bertikalean 36º eta 52º-ko angeluez. Zein altueratan zebilen arranoa?

Em.: 231,81 m

26.- Kalkula ezazu irudiko eraikinaren altuera, º20,º15 == βα eta d = 10 m izanik. Em.: 10,16 m

Formulak:

βαβαβα sin.coscos.sin)(sin +=+

βαβαβα sin.coscos.sin)(sin −=−

βαβαβα sin.sincos.cos)(cos −=+

βαβαβα sin.sincos.cos)(cos +=−

ααα cos.sin22sin = ; ααα 22 sincos2cos −=

1. adibidea

4

26

2

1.

2

2

2

3.

2

2º30sin.º45cosº30cos.º45sin)º30º45(sin

+=+=+=+

2. adibidea

4

26

2

1.

2

2

2

3.

2

2º30sin.º45sinº30cos.º45cos)º30º45(cos

−=−=−=+


11

4. adibidea

4

26

2

1.

2

2

2

3.

2

2º30sin.º45cosº30cos.º45sin)º30º45(sin

−=−=−=−

5. adibidea

4

26

2

1.

2

2

2

3.

2

2º30sin.º45sinº30cos.º45cos)º30º45(cos

+=+=+=−

6. adibidea . Kalkulatu sin 40º eta cos 40º arrazoien balioak, sin 20º = 0,34 eta cos 20º =0,94 direla jakinik.

sin 40º = sin 2 . 20º = 2 sin20º . cos20º = 2 . 0,34 . 0,94 = 0,64

cos 40º = cos 2 . 20º = cos2 20º - sin2 20º = (0,94)2 – (0,34)2 = 0,77

Ariketak

27.- Kalkula ezazu cos 105º arrazoiaren balio zehat za. Kontuan izan 105º=60º+45º dela.

28.- Kalkula itzazu ondoko arrazoien balio zehatza. Horretarako, adieraz ezazu angeluek ezagunak dituzun bi angelure n batura modura.

a) sin 75º ; b) cos 135º ; d)sin 120º

29.-Kalkulatu sin 40º eta cos 40º arrazoien balioak , sin 20º = 0,34 eta cos 20º =0,94 direla jakinik.

30.- sin 14º = 0,24 dela jakinik, lor ezazu 28º ang eluaren arrazoi trigonometrikoak.

31.- 6,0cos −=α eta α angelua bigarren koadrantekoa izanik, kalkula itzazu angelu bikoitzaren sinua eta kosinua .

Em.: 28,02cos;96,02sin −=−= αα

32.- Kalkula ezazu cos 46º, jakinik sin 23º = 0,39 dela.

Em.: 0,6958


12

Zenbaki konplexuak

Ariketak.

1.- Kalkulatu bigarren mailako ekuazio hauen soluzi oak: a) x 2 – 4x + 13 = 0 ; b) x 2 – x + 5 = 0

2.- Kalkula itzazu

a) (3 – 2i) + ( 2 +4i)

b) –3 – (2 – 4i) + (2 – 7i)

c) (5 – i) . (3 + 2i)

d) (2 + i) . (2 – i)

3.- Kalkula itzazu

i

id

i

ic

i

ib

i

ia

2

5);

42

3);

34);

51

2)

−−

+−−

4.- Kalkula ezazu z = -1+2i zenbaki konplexuaren al derantzizkoa.

5.- Kalkula itzazu i 76 , i 175 ,(2i) 10 , (1-2i).(2+i).3i


13

Planoko geometria

1.- Adierazi alboko irudiko bektoreen osagaiak, u

r eta v

r

bektoreek eraturiko oinarrian.

2.- Adieraz itzazu irudiko r

r, s

r

eta tr

bektoreen osagaiak

{ , }B i j=r r

oinarrian.

3.- Oinarri jakin batean ur

eta vr

bektoreen osagaiak ur

=(2,-5) eta vr

=(-3,2) dira.

Kalkulatu: a) , ) 3 c) 4u v b u eta u v+ −uur uur uur uur uur

4.- A = (7 , 5) eta B = (-2 , 4) puntuak emanda:

• Kalkulatu ABuuur

bektorearen koordenatuak • Lor itzazu M, N eta P puntuen koordenatuak, hiru

puntu horiek AB segmentua lau parte berdinetan zatitzen dutela jakinik.

5.- Froga ezazu A=(1,2), B=(-2,3) eta C=(0,5) puntu ak alineaturik dauden ala ez.

uØ

vØ

aØ

bØ

cØ

dØ

eØ

iØ

jØ

rØ

sØ

tØ


14

6.- Idatz ezazu (0 , -3) puntutik pasatu eta

)4,2(−=v bektore zuzentzailea duen zuzenaren ekuazioaren formak. 7.- 3x – 2y +1 = 0 ekuazioko zuzena emanda, zein da bektore zuzentzailea? Eta malda? Eman zuzeneko punt u bat. Ondoren, adierazi zuzena era parametrikoan.

8.- Aurkitu P=(2 , 1) puntutik pasatu eta malda –3 duen zuzenaren ekuazioa.

9.- Zein dira bi ardatz cartesiarren (OX eta OY) ekuazioak?

10.- A eta B puntuak emanda, lor ezazu A=(2 , 1) et a B=(3, -1) puntuetatik pasatzen den zuzenaren ekuazi oa.

11.- Esan zein diren r eta s zuzenen arteko posizio erlatiboak.

a) r: 5x – 3y + 2 = 0 ; s: -5x+3y – 2 = 0 b) r: 2x – 3y + 1 = 0 ; s: -3x + 2y – 2 = 0 c) r: -3x + 5y – 4 = 0 ; s: 6x – 10y + 7 = 0

12.- Idatzi r: x – 2y + 3 = 0 zuzenarekiko paralelo a izan eta (-1,3) puntutik pasatzen den zuzenaren ekuazio a.

13.- Idatz ezazu (2 , 3) puntutik pasatu eta ondoko zuzenen paraleloak diren zuzenak:

a) r: y = -3x +2

b) 3

1

1

2

−−=+− yx

c) -3x + y = -5

14.- Oinarri ortonormal batean )2,2(v eta 2)- , (1 −==u bektoreak emanda, kalkulatu:

vua .) ; vub .2) ; vvuc .)() +


15

15.- Aurkitu k-ren balioa, ondoko bektoreak ortogonalak (perpendikularrak) izan daitezen:

(1,3) ; ( , 2)a b k= = −r r

16.- Oinarri ortonormal batean )2,3()1,2( −== vetau bektoreak emanik, kalkula itzazu:

vu . ; u

; v

; ),(cos vu 17.- Kalkula ezazu zein den A = (-1 , 4) eta B = (4 , 2) puntuen arteko distantzia 18.- Kalkula ezazu zein den P = (-2 , 3) eta Q = (3 , -4) puntuen arteko distantzia

19.- Lor ezazu, kasu bakoitzean, A=(2 , 0) puntutik pasatu eta r-ren perpendikularra den zuzena:

r: y = 3x – 6 r: 3x + 2y +1 = 0

24

1: −=+

yx

r

20.- Lor ezazu, kasu bakoitzean, A = (1 , -1) puntu tik pasatu eta s-ren perpendikularra den zuzena:

a) s: x – 4y + 1 = 0 ; b) y = -2x +5 ; c)

+=−=

ty

tx

22

3

21.- P = (1,2) puntua eta r: x + 3y = 0 zuzena eman da, aurkitu ondoko hauek:

a) P-tik pasatu eta r-ren paraleloa den zuzenaren ekuazioa.

b) P-tik pasatu eta r-ren perpendikularra den zuzenaren ekuazioa.

22.- Kalkulatu P(-3 , 1) puntutik x – y + 2 = 0 zuz enera dagoen distantzia.


16

23.- A=(-4,1) eta B=(9,4) puntuen arteko segmentua kontsideraturik, lor itzazu segmentu hori hiru parte berdinetan zatitzen duten M eta N puntuen koordenatuak.

direla.AN etaAM izan Kontuan : ABABOharra32

31 ========

)3,3

14(,)2,

31

( ======== NM :Em.

24.- (3, 5) eta b (k ,2) a = − =ur ur

bektoreen biderkadura eskalarra 7 bada, aurkitu k-ren balioa.

25.- Kalkula ezazu a-ren balioa, r: 2x+ay=3 eta s: 3x+5y=1 zuzenak elkar paraleloak izan daitezen .

Em.: a = 10/3 26.- Kalkula itzazu r eta s zuzenen ebaki puntuaren koordenatuak ondoko kasuetan :

a) r: 2x-4y=5 ; s: 3x-6y=-2 Em.: a) Ez du

b) 123:;41

32: =+

+−=+=

yxsky

kxr )

17

29,

17

25() −b

27.- Erpinak A=(1,1), B(-3,5) eta C(-1,-2) puntueta n dituen triangelua emanik, kalkula itzazu ondoko zuz enen ekuazioak:

a) A puntutik pasatu eta BC aldearen paraleloa den zuzena. Em.: a) 7x+2y=9

b) B puntutik irteten den erdibidekoa. Em.: b) 11x+6y+3=0 c) C puntutik irteten den altuera. Em.: c) x-y-1=0

28.- Aurkitu A(-3,4) eta B(1,0) segmentuaren zuzen erdibitzailearen ekuazioa. Em.: y=x+3 29.-Kalkula ezazu P = (2 , -5) puntuaren eta 3x+2y+ 1= 0 ekuazioko zuzenaren arteko distantzia.

A

B

M

N


17

Funtzioen limiteak Aurki itzazu ondoko funtzioen existentzia-eremua:

x

yxy1

;4;1- xy 2 =−+==

2.- Demagun

>−≤<−+

≤

=2;8

21;2

1;4

)( 2

xx

xx

x

xf funtzioa .

Kalkulatu )(lim eta )(lim21

xfxfxx →−→

3.- Demagun ondoko grafikoa. Kalkula itzazu:

)(lim xfx −∞→

)(lim xfx +∞→

)(lim0

xfx→

)(lim6

xfx→

)(lim3

xfx→

4.- Zenbat da x

x

x

xxx −− +− →→ 2lim eta

2lim

22 ?

Ariketa ebatziak:

∞+=−∞=−==−

==+

+−=+

+−=+−=+

∞→→

→−→

5

2)(

5

2lim;0

5

0

5lim

14

4

22

222

2

2lim;62)2()2(lim

22

0

22

2

22

2

x

x

x

x

xxx

xx

xx

3111)1(lim)1(

)1(.)1(lim

1

1lim 22

1

2

1

3

1=++=++=

−++−=

−−

→→→xx

x

xxx

x

xxxx

xxyx

xy

x

xyxy

xx

xyxxyxxyxy

xyx

yx

yx

y

4;3

2;

1

2;2

56

1;23;32;9

9;100

5;

5

100;

100

5

32

2222

22

2

2

−=+−=

−+=−=

+−−=−−=−+=−=

−=+

=−=−

=


18

32

33

2

3lim

)3(2

)3(.)3(lim

62

9lim

11

2

3=+=+=

−−+=

−−

→→→

x

x

xx

x

xxxx

+∞===−

++∞→∞→∞→ 2

lim2

lim2

12lim

2

3

2

3 x

x

x

xx

xxxxx

−∞=−=−=+−+

∞→∞→∞→ 5lim

5lim

15

21lim

2

3

2

3 x

x

x

x

xxxxx

02

5

2lim

5

2lim

15

32lim

22=

∞===

++

∞→∞→∞→ xx

x

x

xxxx

5

4

5

4lim

15

124lim

3

3

3

3

==−

++∞→∞→ x

x

x

xxxx

Ariketak

5.- Kalkulatu 1

1lim

3

1 −−

→ x

xx

eta 62

9lim

2

3 −−

→ x

xx

6.- Kalkulatu: x

xxx −

+−→ 5

2510lim

2

5 ;

103

65lim

2

2

2 −++−

→ xx

xxx

7.- Kalkula itzazu:

22

2

2232

12

32

3

32

3

32

02

32

0

32

0

3lim)

9

3lim)

15lim)

1

5lim)

7

5lim)

7

5lim)

7

5lim)

7

5lim)

7

5lim)

7

5lim)

x

xj

x

xi

x

xh

x

xg

x

xxf

x

xxe

x

xxd

x

xxc

x

xxb

x

xxa

xx

x

x

x

xxx

xxxx

++

+

+−−

−−−−

∞→∞→

∞→∞→→∞→

∞→→→→

8.-

>+≤≤

<−=

3;1

31;2

1;3

)(

xx

x

xx

xf funtzioa emanda, kalkula itzazu )(lim1

xfx→

eta )(lim3

xfx→


19

9.- Demagun f(x) funtzioaren grafikoa. Kalkulatu:

10.- Demagun g(x) funtzioaren grafikoa. Kalkula itz azu:

11.- Kalkulatu:

x

xxm

x

xk

x

xj

xh

xx

xg

x

xxe

xd

x

xcxxbxxa

xxx

xxx

xxxx

4

2lim)

)1(

1lim)

1

15lim)

3

2lim)

44

42lim)

1

65lim)

1lim)

1

3lim))21(lim))21(lim)

2

02

2

12

322

2

3

20

33

−−−

+−

−+−−

++−

−−

−++−

→→∞→

→→→

→∞→∞→∞→

−

15

2lim;

1

4lim;2lim;

3

131lim

21

5lim;

12lim;

7

4lim

2

222

2

22

2

3

++

+−−

+

−++

∞→∞→−∞→∞→

∞→

+

∞→∞→

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

xx

x

xx

x

x

xx

)6(;)4(

)0(;)(lim

)(lim;)(lim

)(lim;)(lim

)(lim;)(lim

0

24

46

−−+∞→

−∞→→

−→−→

−→−→

+

−

gg

gxg

xgxf

xgxg

xgxg

x

xx

xx

xx

)3(;)2(;)0(

)(lim;)(lim;)(lim

)(lim;)(lim;)(lim

3

002

fff

xfxfxf

xfxfxf

xxx

xxx

−+∞→−∞→→

→→−→

+

+−−


20

12.- Aztertu ondoko funtzioen jarraitutasuna:

;

≥+<<−

−≤+=

0;1

01;1

1;1 2

xx

x

xx

y ; 3

2

−=

xy

>−≤

=1;3

1;2

xx

xxy ;

>≤≤+

<−=

3;4

31;1

1;32

x

xx

xx

y

13.- Demagun 4

)(2x

xf = funtzioa. Kalkulatu:

- Batez besteko aldaketa-tasa [1 , 4] tartean.

- x = 1 eta x = 4 abzisa puntuetatik pasatzen den zuzen ebakitzailearen malda.

14.- Demagun 4

)(2x

xf = funtzioa. Kalkulatu:

- Aldiuneko aldaketa-tasa x = 1balioko abzisa puntuan.

- x = 1 abzisa puntutik pasatzen den zuzen ukitzailearen malda.

15.- Lortu 4

)(2x

xf = funtzioaren grafikoak x = 1 abzisako puntuan duen zuzen

ukitzailearen ekuazioa.

16.- Eman dezagun y = x 3 funtzioa.

a) Lortu batez besteko aldaketa-tasaren balioa [1,2] t artean. Zein da bere esangura geometrikoa?

b) Lortu aldiuneko aldaketa-tasa x = 1 puntuan. Zein d a bere esangura geometrikoa?

c) Lortu x = 1 eta x = 2 abzisa-puntuetatik pasatzen d en zuzen ebakitzailearen malda

d) Lortu x = 1 puntutik pasatzen den zuzen ukitzailear en malda. Idatz ezazu zuzen horren ekuazioa.

17.- Zein da f(x) = x 3 – x –2 ekuazioko kurbak x = -2 abzisako puntuan duen zuzen ukitzailearen malda? Idatz ezazu zuzen horren ekuazioa

≥−<

=2;2

2;3

xx

xy


21

18.- Kalkula ezazu ondoko funtzioen grafikoei aipat uriko puntuetan zuzen ukitzaileen ekuazioak.

a) x

y1= , x = 2 abzisako puntuan

b) y = x 3+2x+10 , x = -1 abzisako puntuan

19.- Kalkula ezazu 1

)(2

2

+=

x

xxf funtzioaren grafikoaren zuzen

ukitzailea x = 1 abzisako puntuan.

20.- Konparatu f(x) = x 3 eta g(x) = 3 x funtzioen batezbesteko aldaketa-tasak [1,2] tartean eta esan bietatik zein hazten den gehiago tarte horretan. Egizu grafikoak.

21.- Lor ezazu f(x) = 2x 5 +6 ekuazioko kurbaren zuzen ukitzailearen ekuazioa x = -1 abzisako puntuan.

23.-Kalkulatu ondoko funtzioen deribatuak:

a)y = 3x 3 – 2x + 4 b) x

y1= c) 3 2xy = d)

24

1

x

xy

−−=

)7(.)35()2

).4)2

) 426

7 5

5 4 xxxxyhx

ygxyfx

ye −−====

xxyyx

xy

xyeydcxbxaxy

xyxyxyx

xy

xxx

x

6ln.6.;3;ln

5.

)3ln(5;;

;124;ln;ln;)32(

7

62

2223

32

===

−==+++=

+===−

=

( )221 xxy ++= ; 21 xxy ++= ;

2)32(

7

x

xy

−= ; 3 124 += xy

4

)3ln( 2xy

−= ; x

xy

x

ln

2.= ; ( )

2

2

)2(

2

+−=

x

xy ;

1

2

−=

x

xy


22

Estatistika

1. Ondoko koadroan 50 familien seme-alaba kopurua adierazten da:

2 1 0 3 0 1 1 2 2 0

1 1 3 2 2 4 1 0 5 2

3 2 1 0 1 2 2 1 1 0

4 2 2 3 3 1 0 1 2 2

5 4 3 2 2 3 2 1 0 1

Bildu datuak taula batean

Adierazi maiztasun absolutuak eta metatuak.

Egin adierazpen grafikoa

2. 40 lagunen pisuak honako hauek dira:

62 64 60 56 55 70 48 46 62 76

40 44 48 50 68 48 60 69 78 46

76 72 65 49 50 52 54 65 68 62

43 64 60 60 54 75 70 55 58 60

Bildu datuak taula batean

Adierazi maiztasun absolutuak eta metatuak.

Egin adierazpen grafikoa

3. Batxilergoko lehen mailan matrikulatutako ikasleek lau aukera hautatu dituzte:

Egizu bi grafiko hauek:

a) Barra-diagrama

b) Sektore-diagrama

4. Institutu batean matrikulatutako lehen mailako 100 ikasleei 100 galderen test bat banandu zaie, eta hona hemen ateratako puntuazioak:

Puntuazioak [20 , 30) [30 , 40) [40 , 50) [50 , 60) [60 , 70) [70 , 80) [80 , 90) [90 , 100)

Ikasle kopurua 8 8 12 20 18 14 12 8

a) Egizu maiztasun taula

b) Adierazi grafikoki banaketa

Aukerak A B C D

Ikasle kopurua 72 54 42 30

programa laburra maiatza-ekaina eta pendienteak · 4.- lor itzazu tg β=1 balioari dagozkion...

Documents