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Profs.: Bruno Correia da Nóbrega Queiroz
José Eustáquio Rangel de Queiroz
Marcelo Alves de Barros
ErrosErros
Cálculo NuméricoCálculo NuméricoMódulo IIIMódulo III
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2
Erros - Roteiro
Existência
Tipos
Propagação
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3
Erros - Existência I
Erro InerenteErro Inerente
Erro Erro semsempprere presente nas soluções presente nas soluções numéricas devido à incerteza sobre o numéricas devido à incerteza sobre o valor realvalor real
Ex. 01: Representação intervalar de dados
(50,3 ± 0,2) cm
(1,57 ± 0,003) ml(110,276 ± 1,04) Kg
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4
Erro de TruncamentoErro de Truncamento
Erro proveniente da limitação do Erro proveniente da limitação do número de iterações dos métodos número de iterações dos métodos numéricos durante a determinação de numéricos durante a determinação de um valor de interesseum valor de interesse Número de iteraçõesNúmero de iterações
TeóricoTeórico Infinito ou muito Infinito ou muito grandegrande
PráticoPrático Limitado por Limitado por restrições associadas à capacidade de restrições associadas à capacidade de processamento/ armazenamento do processamento/ armazenamento do sistemasistema
Erros - Existência II
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5
Erro de RepresentaçãoErro de Representação
Aproximação do valor de um número real para sua representação com um número finito de dígitos.
Erros - Existência III
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6
Erros - Existência III
Erro de RepresentaçãoErro de Representação x Erro de Erro de truncamentotruncamento
Erro de RepresentaçãoErro de Representação Associada à conversão numérica entre
bases (representação humana e de máquina) ou à realização de operações aritméticas
Erro de TruncamentoErro de Truncamento Associada à quantidade de informação que
a máquina pode conter sob a forma de um número
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7
Representação dos números reais com um número finito de dígitos (aproximação)
Ex. 02: Cálculo da área de uma circunferência de raio 100 m
Possíveis resultados:
(1) A = 31400 m2
(2) A = 31416 m2
(3) A = 31414,92654 m2
Erro de Representaç
ão
Erro de Representaç
ão não tem representação finita - não tem representação finita - 3,14 3,14 (1), (1), 3,14163,1416 (2) e (2) e 3,1415926543,141592654 (3) (3)
não tem representação finita - não tem representação finita - 3,14 3,14 (1), (1), 3,14163,1416 (2) e (2) e 3,1415926543,141592654 (3) (3)
Erros - Existência IV
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8
Representação dos números reais com um número finito de dígitos (aproximação)
Dependência da representação numérica da máquina utilizada
Um número pode ter Um número pode ter representação finita em representação finita em uma base e não finita em uma base e não finita em outraoutra
Um número pode ter Um número pode ter representação finita em representação finita em uma base e não finita em uma base e não finita em outraoutra
Erros - Existência V
Erro de Representaçã
o
Erro de Representaçã
o
Operações com dados Operações com dados imprecisos ou incertos imprecisos ou incertos acarretam a acarretam a propagação do propagação do erroerro..
Operações com dados Operações com dados imprecisos ou incertos imprecisos ou incertos acarretam a acarretam a propagação do propagação do erroerro..
(0,1)10 = (0,00011001100110011...)2
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9
Erros - Existência VI
Ex. 03: Cálculo de
usando uma calculadora e um computador, para xi = 0,5 e xi = 0,1
3000
1i
ixS
xiCalculador
aComputador
0,5 S= 1500 S= 1500
0,1 S= 300S=300,00909424 (precisão simplessimples)
S=299,999999999999720 (precisão dupladupla)
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10
Erros - Existência VII
Ex. 04: Fazer a conversão de O,1 de base 10 para a base 2
(0,1)10 = (0,00011001100110011...)2
(0,1) 10 não tem representação exataexata na base 2
A representação de um número A representação de um número depende da depende da basebase em uso e do em uso e do número máximo de dígitosnúmero máximo de dígitos usados usados em sua representação.em sua representação.
A representação de um número A representação de um número depende da depende da basebase em uso e do em uso e do número máximo de dígitosnúmero máximo de dígitos usados usados em sua representação.em sua representação.
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11
Erros - Existência VIII
ExatidãoExatidão (AcuráciaAcurácia) x Precisão Precisão II Uso incorreto como sinônimos na
linguagem cotidiana (e mesmo em linguagem técnica) ExatidãoExatidão Grau de concordância
entre o resultado de uma medição e um valor verdadeiro do mensurando Exatidão é um conceito qualitativo
PrecisãoPrecisão Grau de concordância entre resultados de medição obtidos sob as mesmas condições (repetitividade) Exatidão é um conceito qualitativo
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12
Erros - Existência VIII
ExatidãoExatidão (AcuráciaAcurácia) x Precisão Precisão IIII
PrecisãoPrecisão
Exati
dão (
Acu
rácia
)Exati
dão (
Acu
rácia
)
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Erros - Tipos I
AbsolutoAbsoluto Diferença entre o valor exato de um Diferença entre o valor exato de um
númeronúmero e o seu valor aproximadoe o seu valor aproximado
xxEAx
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Erros - Tipos II
RelativoRelativo Razão entre o erro absoluto e o valor Razão entre o erro absoluto e o valor
aproximadoaproximado
x)x(x
ERx
Erro PercentualErro Percentualxx = ER = ERxx x x
100%100%Erro PercentualErro Percentualxx = ER = ERxx x x
100%100%
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Erros - Tipos III
Erro Absoluto - Erro Absoluto - Considerações IConsiderações I
EAEAxx só poderá ser determinado se só poderá ser determinado se xx for conhecido com exatidãofor conhecido com exatidão
Na prática, costuma-se trabalhar com Na prática, costuma-se trabalhar com um limitante superior para o erro, ao um limitante superior para o erro, ao invés do próprio erro (invés do próprio erro (||E E | < | < εε, onde , onde εε é o limitante)é o limitante)
Ex. 05: Para (3,14, 3,15)01,0EA
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Erros - Tipos III
Erro Absoluto - Erro Absoluto - Considerações IIConsiderações II
Ex. 05: Sejam a = 3876,373 a = 3876,373 e b = 1,373b = 1,373
Considerando-se a parte inteira de Considerando-se a parte inteira de a a ((a’a’) ) o o erro absolutoerro absoluto será: será:
EAa = |a - a'|= 0,373
e a parte inteira de e a parte inteira de bb, , b’b’, o , o erro erro absolutoabsoluto será: será:
EAb = |b - b'|= 0,373
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Erros - Tipos III
Erro Absoluto -Erro Absoluto - Considerações III Considerações III
Obviamente, o resultado do erro Obviamente, o resultado do erro absoluto é o mesmo nos dois casosabsoluto é o mesmo nos dois casos
Entretanto, o peso da aproximação Entretanto, o peso da aproximação em em bb é maior do que em é maior do que em aa
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Erros - Tipos IV
Erro Relativo -Erro Relativo - Consideração Consideração
O erro relativo, entretanto, pode traduzir perfeitamente este fato, pois:
4a 100,000096
38760,373
ER
0b 1050,373
10,373
ER
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Ex. 06: Cálculo do erro relativo considerando-se os números ā = 2112,9, ē = 5,3 e |EA| < 0,1
|ERa| = |a - ā|/|ā| = 0,1/2112,9 4,7 x 10-5
|ERe| = |e - ē|/|ē| = 0,1/5,3 0,02
Conclusão: a é representado com maior precisão do que e
Erros - Tipos V
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20
Arredondamento
Truncamento
Quanto Quanto menormenor for o for o erroerro, , maior será a maior será a precisãoprecisão do do resultado da operação.resultado da operação.
Quanto Quanto menormenor for o for o erroerro, , maior será a maior será a precisãoprecisão do do resultado da operação.resultado da operação.
Erros - Tipos VIII
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21
Erros - Tipos VI
Arredondamento
Ex. 07: Cálculo de utilizando uma calculadora digital
Valor apresentado: 1,4142136Valor real: 1,41421356...
Inexistência de forma de representação de números irracionais com uma quantidade finita de algarismos
Apresentação de uma aproximação do número pela calculadora Erro de arredondamento
2
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22
Erros - Tipos VII
Truncamento Associação ao método de aproximação
empregado para o cálculo de uma função exata, a partir do uso de fórmulas aproximadas
Ex. 08: Cálculo do valor de ex e partir da série
Impossibilidade de determinação do valor exato da função
...4!x
3!x
2!x
x1e432
x
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23
x = 0,2345 x 103 + 0,7 x 10-1
fx = 0,2345
gx = 0,7
Erros de Truncamento e Arredondamento - Demonstração Em um sistema que opera em ponto
flutuante de t dígitos na base 10, e seja x:
x = fxx10e + gxx10e-t (0,1 fx 1 e 0,1 gx 1)
Para t = 4 e x = 234,57, então:
Arredondamento e Truncamento
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24
Erros - Truncamento
No truncamento, gxx10e-t é desprezado e
visto que gx <1
,
pois 0,1 é o menor valor possível para fx
tetexx 1010gxxEA
ex 10fx
1te
te
ex
texx
x 10100,1
10
10f
10g
x
EAER
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25
No arredondamento simétrico (forma mais utilizada):
, se (gx é desprezado)
, se (soma “1” ao último dígito de fx)
Erros – Arredondamento I
teex
ex
1010f
10f
x21
gx
21
gx
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26
Erros - Arredondamento II
Se :
21
gx
1te
te
ex
texx
x 1021
100,1
105,0
10f
10g
x
EAER
tetexx 10
21
10gxxEA
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27
Erros – Arredondamento III
Se
e
21
gx
tee
xte
xe
xx 1010f10g10fxxEA
1te
te
ex
te
teex
tex
x 1021
100,1
101/2
10f
101/2
1010f
101/2
x
EAER
tetex
tetexx 10
21
101g1010gEA
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28
Erros de Truncamento e Arredondamento
Sistema operando em ponto flutuante - Base 10 Erro de Truncamento
e
Erro de Arredondamento
e
tex 10EA 1t
x 10ER
1tx 10
21
ER tex 10
21
EA
Arredondamento e Truncamento
ee - n - nºº de dígitos inteiros de dígitos inteirostt - n - nºº de dígitos de dígitosee - n - nºº de dígitos inteiros de dígitos inteirostt - n - nºº de dígitos de dígitos
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29
Arredondamento e Truncamento
Sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, precisão dupla
Ex. 09: Seja x = 0,937 x 104 e y = 0,1272 x 102. Calcular x + y
Alinhamento dos pontos decimais antes da soma
x = 0,937 x 104 e y = 0,001272 x 104,
x+y = 0,938272 x 104
Resultado com 4 dígitos
Arredondamento : x+y = 0,9383 x 104
Truncamento: x+y = 0,9382 x 104
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30
Arredondamento e Truncamento
Ex. 10: Seja x = 0,937 x 104 e y = 0,1272 x 102. Calcular x.y.
x.y = (0,937 x 104) x (0,1272 x 102)x.y = (0,937 x 0,1272) x 106
x.y = 0,1191864 x 106
Resultado com 4 dígitos
Arredondamento: x.y = 0,1192 x106
Truncamento: x.y = 0,1191 x106
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Considerações Ainda que as parcelas ou fatores de
uma operação possam ser representados exatamente no sistema, não se pode esperar que o resultado armazenado seja exato.
x e y tinham representação exata, mas os resultados x+y e x.y tiveram representação aproximada.
Arredondamento e Truncamento
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32
Erros – Propagação
Propagação dos Erros:
Durante as operações aritméticas de um método, os erros dos operandos produzem um erro no resultado da operação
Propagação ao longo do processo
Determinação do erro no resultado final obtido
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33
Erros – Propagação
Ex. 11: Suponha-se que as operações a seguir sejam processadas em uma máquina com 4 dígitos significativos e fazendo-se: x1 = 0,3491x104 e x2 = 0,2345x100, tem-se:
(x2 + x1) − x1 == (0,2345x100 + 0,3491x104) − 0,3491x104
= 0,3491x104 − 0,3491x104 = 0,0000
x2 + (x1 − x1) == 0,2345x100 + (0,3491x104 − 0,3491x104)= 0,2345 + 0,0000 = 0,2345
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34
Erros – Propagação
Os dois resultados são diferentes, quando não deveriam ser, pois a adição é uma operação distributiva.
(x2 + x1) − x1 = 0,0000 ex2 + (x1 − x1) = 0,2345
Causa da diferença arredondamento feito na adição (x2 + x1), cujo resultado tem 8 dígitos
A máquina só armazena 4 dígitos (desprezando os menos significativos)
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35
Erros – Propagação
Resolução numérica de um problema
Importância do conhecimento dos efeitos da propagação de erros
Determinação do erro final de uma operação numérica
Conhecimento da sensibilidade de um determinado problema ou método numérico
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36
Erros – Propagação
Ex. 12: Calcular o valor de √2 - e3 .
√2 (erro de arredondamento)
e3 (erro de truncamento)
Propagação dos erros nos valores de √2 e e3 para o resultado de √2 - e3
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37
Erros – Propagação
Ex. 13: Dados a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1, calcular a + b
Variação de a 47 a 53 Variação de b 20 a 22
Menor valor da soma 47 + 20 = 67 Maior valor da soma 53 + 22 = 75
a + b = (50 + 21) ± 4 = 71 ± 4 67 a 75
![Page 38: Profs.: Bruno Correia da Nóbrega Queiroz José Eustáquio Rangel de Queiroz Marcelo Alves de Barros Erros Cálculo Numérico Módulo III](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012400/552fc145497959413d8e082f/html5/thumbnails/38.jpg)
38
Erros – Propagação
Ex. 14: Dados a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1, calcular a – b Variação de a 47 a 53 Variação de b 20 a 22 Menor valor da diferença 47 - 22 =
25 Maior valor da diferença 53 - 20 = 33
a – b = (50 – 21) ± 4 = 29 ± 4 25 a 33Na subtração, os erros absolutos Na subtração, os erros absolutos se somamse somam, , pois sempre se admite o pior caso; pois sempre se admite o pior caso; nuncanunca se se subtraem erros, contando com a sorte; prevê-subtraem erros, contando com a sorte; prevê-se, sempre, o caso se, sempre, o caso mais desfavorávelmais desfavorável..
Na subtração, os erros absolutos Na subtração, os erros absolutos se somamse somam, , pois sempre se admite o pior caso; pois sempre se admite o pior caso; nuncanunca se se subtraem erros, contando com a sorte; prevê-subtraem erros, contando com a sorte; prevê-se, sempre, o caso se, sempre, o caso mais desfavorávelmais desfavorável..
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39
Erros – Propagação
Ex. 15: Dados a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1, calcular a . b
Variação de a 47 a 53 Variação de b 20 a 22
Menor valor do produto 47 . 20 = 940
Maior valor do produto 53 . 22 = 1166
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40
Erros – Propagação
Ex. 15: Dados a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1, calcular a . B
a . b = (50 ± 3) x (21 ± 1) 1050 ± (3 x 21 + 50 x 1) 1050 ± 113 937 a 1163
Despreza-se o produto 3 x 1, por ser muito pequeno diante de (3 x 21 + 50 x 1 ) = 113
Ligeiramente diferente do verdadeiro intervalo, exatamente pelo abandono do produto 1 x 3, considerado desprezível
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41
Erros – Propagação
Análise dos Erros Absoluto e Relativo:
Fórmulas para os erros nas operações aritméticas
Erros presentes nas parcelas ou fatores e no resultado da operação
Supondo um erro final arredondado, sendo x e y, tais que:
yx EAy yEAxx e
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42
Erros – Propagação
Adição
Erro Absoluto
Erro Relativo
yx
yER
yxx
ERyx
EAER yx
yxyx
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43
Erros – Propagação
Subtração
Erro Absoluto
Erro Relativo
yxy
ERyx
xER
yx
EAEAER yx
yxyx
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44
Erros – Propagação
Multiplicação
Erro Absoluto
Erro Relativo
yxyxyx .EAEAEAx.EAyy.xEAy.EAxx.y
muito pequeno
yxy.x ERERER
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45
Erros – Propagação
Divisão Erro Absoluto
Erro Relativo
y
EA1
1.
yEAx
EAyEAx
yx
y
x
y
x
Simplificação:
...y
EA
y
EA
y
EA1
y
EA1
13
y
2
yy
y
(desprezam-se os termos de potência >1)
2yx
2x
y
EAx.EAy
yEAyx
yEA
yx
yx
yxx/y ERERER
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46
Erros – Análise
RAER
RAyx
EAER
yx
yxyx
EAx=EAy= 0, EAx+y=0
1tyx 10
21
RAER
Ex. 16: Cálculo de ER(x+y)
Como Como xx e e yy são representados exatamente, são representados exatamente, ERERx+yx+y se resume ao se resume ao Erro Relativo de Erro Relativo de
ArredondamentoArredondamento ( (RARA) no resultado da soma.) no resultado da soma.
Como Como xx e e yy são representados exatamente, são representados exatamente, ERERx+yx+y se resume ao se resume ao Erro Relativo de Erro Relativo de
ArredondamentoArredondamento ( (RARA) no resultado da soma.) no resultado da soma.
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47
Erros – Análise
Sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, precisão dupla. Ex. 17: Seja x = 0,937x104,
y = 0,1272x102 e z = 0,231x101, calcular x+y+z e ER(x+y+z), sabendo que x, y e z estão exatamente representados. Solução:
Alinhando as vírgulas decimais
x = 0,937x104
y = 0,001272x104 ez = 0,000231x104
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48
Erros – Análise
Ex. 17: Solução:
A soma é feita por partes: (x+y)+z
x+y = 0.9383 x 104
x+y+z = 0,9383 x 104 + 0,000231 x 104
x+y+z = 0,938531x 104
x+y+z = 0,9385x 104 (após o arredondamento)
x+y+z= 0,9385 x 104
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49
Erros – Análise
Ex. 17:
Solução:
EAz=0, ERz=0
1zyx
yxRARA
zyx
yxRAER
RAzyx
yxERER
RAzyx
yxER
zyx
yxERER
szyx
szyx
zszyx
1tzyx 10
21
1zyx
yxER
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50
Erros – Análise
Ex. 17:
Solução:
1tzyx 10
21
1zyx
yxER
34
4
zyx 1021
1100,9385
100,9383ER
3zyx 100,9998ER
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51
Erros – Análise
Ex. 18: Supondo que x é representado num computador por x, que é obtido por arredondamento. Obter os limites superiores para os erros relativos de
ex2u xxw
![Page 52: Profs.: Bruno Correia da Nóbrega Queiroz José Eustáquio Rangel de Queiroz Marcelo Alves de Barros Erros Cálculo Numérico Módulo III](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012400/552fc145497959413d8e082f/html5/thumbnails/52.jpg)
52
Erros – Análise
Ex. 18:
Solução:
1tu 10ER
1tx2.
x2x2.
1021
2.ER
RA2.RARARAERERER
x2u
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53
Erros – Análise
Ex. 18: Solução:
xxw
RAxx
xER
xx
xERER xxw
RA2.RAxx
xRA2.ERw
1t1tw 1010
21
2.RA2.ER
1tuw 10ERER
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54
Erros – Sumário I
1. Erro relativo da soma Soma dos erros relativos de cada parcela, ponderados pela participação de cada parcela no total da soma.
2. Erro relativo da subtração Soma dos erros relativos do minuendo e do subtraendo, ponderados pela participação de cada parcela no resultado da subtração.
![Page 55: Profs.: Bruno Correia da Nóbrega Queiroz José Eustáquio Rangel de Queiroz Marcelo Alves de Barros Erros Cálculo Numérico Módulo III](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012400/552fc145497959413d8e082f/html5/thumbnails/55.jpg)
55
Erros – Sumário II
1. Erro relativo do produto Soma dos erros relativos dos fatores.
2. Erro relativo da divisão Soma dos erros relativos do dividendo e do divisor.
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56
Erros – Exercícios
1. Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, base decimal e com acumulador de precisão dupla. Dados os números x = 0,7237x104, y = 0,2145x10-3 e z = 0,2585x101, efetuar as seguintes operações e obter o erro relativo nos resultados, supondo que x, y, e z estão exatamente representados.
a) x+y+z b) x-y-z c) x/y
d) (x.y)/z e) x.(y/z) f) (x+y).z
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57
2. Supondo que x é representado num computador por x, onde este é obtido por arredondamento, obter os limites superiores para os erros relativos de
a) b)
c) d)
Erros – Exercícios
x3u xxxw x4u xxxxw
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58
3. Sejam x e y as representações de x e y obtidas em um computador por arredondamento. Deduzir expressões de limitante de erro, a fim de mostrar que o limitante de erro relativo de é
Erros – Exercícios
yx3u
yxxxv
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59
Erros – Exercícios
4. Um computador armazena números reais utilizando 1 bit para o sinal do número, 7 bits para o expoente e 8 bits para a mantissa. Admitindo que haja truncamento, como ficariam armazenados os seguintes números decimais?
a) n1 = 25,5 b) n2 = 120,25 c) n3 = 2,5
d) n4 = 460,25 e) n5 = 24,005
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60
Erros - Bibliografia
Ruggiero, M. A. Gomes & Lopes, V. L. da R. Ruggiero, M. A. Gomes & Lopes, V. L. da R. Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e computacionaiscomputacionais. MAKRON Books, 1996, 2. MAKRON Books, 1996, 2ªª ed. ed.
Asano, C. H. & Colli, E. Asano, C. H. & Colli, E. Cálculo Numérico: Cálculo Numérico: Fundamentos e AplicaçõesFundamentos e Aplicações. Departamento de . Departamento de
Matemática Aplicada – IME/USP, 2007.Matemática Aplicada – IME/USP, 2007. Sanches, I. J. & Furlan, D. C. Sanches, I. J. & Furlan, D. C. Métodos Métodos
NuméricosNuméricos. DI/UFPR, 2006.. DI/UFPR, 2006. Paulino, C. D. & Soares, C. Erros e Paulino, C. D. & Soares, C. Erros e
Propagação de Erros, Propagação de Erros, Notas de aulaNotas de aula, SE/ DM/ , SE/ DM/ IST IST [Online] [Online] http://www.math.ist.utl.pt/stat/pe/qeb/semeshttp://www.math.ist.utl.pt/stat/pe/qeb/semestre_1_2004-2005/PE_erros.pdftre_1_2004-2005/PE_erros.pdf [Último acesso [Último acesso 07 de Junho de 2007].07 de Junho de 2007].