profesor 2do medio 2008

7/28/2019 Profesor 2do Medio 2008

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MATER

IALDELPROFESO

R

APRENDER MATEMTICA

CREANDO SOLUCIONES

MATERIAL DEL PROFESOR


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I.S.B.N.: 956-12-1635-3

2 edicin: Octubre del 2008

2003 por Centro Comenius Universidad de Santiago de Chile

Inscripcin N 138.764 Santiago de Chile

Derechos exclusivos reservados por

Universidad de Santiago de Chile.

Editado por

Empresa Editora Zig-Zag S.A.

Los Conquistadores 1700, Providencia

Telfono 3357477. Fax 3357545

E-mail:[email protected]

Impreso por Maxhuber

General del Canto 276, Providencia

Santiago de Chile

Diseo: Francisca Galilea R.

Gladys Briones T.


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Matemtica Interactiva: Aprender matemtica creando soluciones

Centro Comenius Universidad de Santiago de Chile

El Centro Comenius de la Universidad de Santiago de Chile, desarroll el modelo interactivo

para el aprendizaje matemtico, en el proyecto FONDEF D00I1073 Aprender matemticacreando soluciones entre los aos 2001 y 2004. El modelo cuenta, para su implementacin

en salas de clases, con material para el alumno (actividades, guas, proyectos, etc.), material

del profesor (sugerencias pedaggicas para trabajar los materiales, los contenidos e integrar las

tecnologas), material de referencia (tratamiento ms formal de la matemtica), materiales mani-

pulativos concretos (fichas, dados, juegos, etc.), evaluaciones y recursos tecnolgicos que siguen

los principios de diseo tericos sugeridos en el modelo.

Sobre la base del Modelo Interactivo para Aprender Matemtica, en la actualidad se est desa-

rrollando el proyecto Enlaces Matemtica, con aportes del Centro de Educacin y Tecnologa,ENLACES del Ministerio de Educacin de Chile y del Centro Comenius de la Universidad de

Santiago de Chile, implementndose en siete regiones del pas, con la colaboracin de las uni-

versidades asociadas.


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Profesionales del Proyecto Enlaces Matemtica

Fidel Oteza Morra

Director del Proyecto

Gonzalo Villarreal Farah

Sub Director del Proyecto

Manuel Galaz Prez

Encargado operativo

Hernn Miranda Vera

Roberto Araya Schulz

Lorena Espinoza Salfate

Investigadores asociados

Claudia Matus Ziga

Coordinadora recursos educativos

Osvaldo Baeza Rojas

Macarena Escalante Salamanca

Evelyn Herrera Toro

Claudia Matus Ziga

Mauricio Moya Mrquez

Gustavo Rodrguez Seplveda

Alicia Venegas ThayerMichael Yez Rojas

Lucrecia Zamorano Aravena

Diseo y desarrollo de textos, guas,

material concreto y recursos tecnolgicos

Luis Belmar Rebolledo

Nelly Devia Ormeo

Mara Isabel Escobar Gutirrez

Paula Gaete Oteiza

Marcelo Gonzlez MolinaMara Jos Moreno Silva

Marisol Troncoso Salazar

Mabel Vega Rojas

Colaboradores produccin de materiales

Juan Silva Quiroz

Evelyn Herrera Toro

Encargados de la plataforma virtual

Lucrecia Zamorano Aravena

Instrumentos de evaluacin y

revisin de materiales

Sergio Reyes Gonzlez

Anlisis estadstico

Claudia Matus Correa

Asesora anlisis estadstico

Cristin Reyes Reyes

Rigoberto Becerra Allende

Eugenio Saavedra Gallardo

Gerardo Honorato Gutirrez

Miguel Muoz Jara

Gladys Bobadilla Abarca

Editores matemticos

Guillermo Garrido Acevedo

Coordinador Transferencia

Alicia Venegas Thayer

Responsable rea Educacin de Adultos

Jessica Marinkovic ORyan

Dwight Pennanen Arias

Roxana Donoso Loyola

Apoyo operativo y logstico

Juan Rojas RiveraDiagramacin, diseo y edicin grfica

Mauro Silva Cuevas

Hctor Ros Bolbarn

Ingeniera y soporte tcnico


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RECONOCIMIENTO

Muchas personas e instituciones han hecho posible el proyecto FONDEF Aprender Ma-temtica Creando Soluciones y, como consecuencia directa, la existencia de este materialeducativo, cuyo propsito es proponer caminos alternativos e interesantes para que muchosestudiantes puedan aprender Matemtica y, lo que es ms importante, puedan disfrutar conella y apreciarla como una herramienta poderosa creada por el ser humano, que permiteexplicar y entender muchas cosas del mundo que nos rodea.

A todos ellos les damos nuestro ms profundo agradecimiento por su trabajo duro y compro-metido, por sus ideas frescas y desafiantes, y por su apoyo constante cuando las encrucijadasde un esfuerzo de esta envergadura, hacan difcil ver el camino por dnde seguir.

En particular, queremos agradecer a las instituciones que han aportado recursos finan-

cieros, profesionales e instalaciones al proyecto: CONICYTde Chile, quienes a travsdelFONDEFaportaron fondos, aliento y apoyo constante;Automind S.A.; Corporacin

Municipal de Servicios Traspasados de Rancagua, a travs delLiceo scar Castro; Cor-poracin Municipal de San Vicente de Tagua-Tagua, a travs delLiceo Ignacio CarreraPinto; Colegio Santa Mara de Santiago;Fundacin Educacional de La Araucana, a travsdel Complejo Educacional Padre scar Moserde Padre Las Casas (IX Regin); Colegio

Alcalde Pedro Urbina Flores de Peumo;DAEM de Las Cabras, a travs delLiceo FranciscoEncina; Colegio Cristbal Coln de Santiago; Corporacin Municipal de San Fernando,a travs delLiceo de Nias Eduardo Charme; SEREMI de Educacin de laSexta Regin;

Proyecto Enlaces del Ministerio de Educacin; Centro Zonal Enlaces Costa-Centro de la

Universidad Catlica de Valparaso.

Tambin queremos agradecer especialmente a los colegios, profesores y estudiantes queparticiparon en las pruebas piloto del material educativo: Colegio Santa Mara de Santiago,a travs de su directorJos Parisi y las profesoras del Departamento de Matemtica,Lorena

Lizana Manrquez,Ilia Maldonado,Luca Jara Bravo yLucrecia Zamorano Aravena;LiceoIgnacio Carrera Pinto de San Vicente de Tagua-Tagua, a travs de su directorEduardoMichel Aedo y los profesores del Departamento de Matemtica, Juan Pablo Cabezas,Gustavo Moreno,Jorge Fuentes,Lilian Miranda,Alfredo Astrain yMarcelo Seplveda.Un especial reconocimiento a los directivos, profesores y estudiantes de todos los esta-

blecimientos que participaron en la experimentacin del material durante el ao escolar2003:Liceo scar Castro de Rancagua;Liceo de Nias Eduardo Charme de San Fernan-do;Liceo Ignacio Carrera Pinto de San Vicente de Tagua-Tagua;Liceo Francisco Encinade Las Cabras; Colegio Alcalde Pedro Urbina Flores de Peumo; Colegio Santa Mara de


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Santiago; Colegio Cristbal Coln; Colegio Santa Cruz; Colegio Marcelino Champaignat;Colegio Franciscano Mara Reina; Complejo Educacional Padre scar Moserde PadreLas Casas. A todos ellos muchas gracias por la paciencia de habernos tenido todo un aovisitando sus salas de clases y por el profesionalismo, dedicacin y esfuerzo puesto en laexperimentacin.

La existencia de este material no habra sido posible sin el trabajo editorial dedicado y alta-mente calificado del personal de la empresa editora Zig-Zag S.A. Nuestros agradecimientos

para todos ellos, a travs deFelipe Morales,Robert Pardo yMara Eugenia Mestre.

Por ltimo, una mencin y reconocimiento particular a todo el equipo de investigadores,profesionales y tcnicos del Centro Comeniusde laUniversidad de Santiago, quieneshicieron un gran esfuerzo por construir este sueo: mejorar las condiciones para que mu-chos jvenes puedan aprender Matemtica y abrir as sus posibilidades de construir unfuturo mejor.


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PRESENTACIN

Este material tiene por objeto acompaar al docente que aplica el Modelo Interactivo parael Aprendizaje Matemtico en el Segundo Ao Medio. Este modelo tiene como propsito

proponer caminos alternativos e interesantes para que muchos estudiantes puedan aprendermatemtica y, lo que es ms importante, puedan disfrutar con ella y apreciarla como unaherramienta poderosa creada por el ser humano, que permite explicar y entender muchascosas del mundo que nos rodea.

La propuesta metodolgica y los materiales educativos que aqu se refieren, fueron puestosa prueba en diversas salas de clase de liceos del sistema educativo chileno. Cada equiporesponsable de una unidad se hizo cargo de su aplicacin en un curso piloto, donde pre-sentaron las ideas acerca de cmo interpretar y cmo tratar lo propuesto por el Ministeriode Educacin en el programa oficial. En una segunda etapa, el conjunto de materiales fue

entregado a profesores de diferentes liceos en tres regiones del pas (Metropolitana, Sex-ta y Novena regin) quienes, a su vez, pusieron a prueba experimentalmente el modelointeractivo para el aprendizaje matemtico.

En este libro se explica con detalles la metodologa sugerida y la forma de abordar el trabajodurante el ao. Est organizado en cinco partes, las que se corresponden con las unidadesque conforman el programa oficial de matemtica para este nivel. Cada parte tiene la mismaestructura, con el objeto de facilitar su uso como material de consulta rpida. Se comienza

por presentar la unidad, sealando los objetivos y los contenidos que propone el programaoficial. Luego, se describe laPropuesta metodolgica, donde se muestra en forma sint-

tica la estrategia general con que se interpret el programa. Sigue la Organizacin de launidadcon la descripcin de la secuencia de acciones que se propone para el tratamientode los contenidos. Luego, se presenta unaDescripcin sinttica de las actividades, dondese muestra una tabla con toda las actividades las que se clasifican como Nucleares (N)o Complementarias (C), segn si pertenece o no al ncleo mnimo indispensable deaprendizajes propuestos para la unidad, las guas correspondientes y el nmero de horasestimado. En esta misma seccin se describe en una ficha breve cada actividad, expresadaen pocos prrafos para que sirva como un organizador rpido. A continuacin se proponenSugerencias didcticas especficas, donde se describe el modo de actuar en la sala declases propuesto por los autores y se sealan las principales barreras encontradas al aplicarel modelo en situaciones de clases reales. Se finaliza cada parte sealando el Materialde apoyo complementario y las Referencias bibliogrficas utilizadas.

El material fue pensado para ser consultado desde diferentes puntos de vista, con dife-rentes niveles de agregacin de informacin, al estilo de un hipertexto, como los que seencuentran en las pginas web de Internet, de modo que, por momentos, puede conteneralguna informacin redundante pero til al momento de hacer consultas rpidas.


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Es importante tener en cuenta que este material es un componente ms del modelo interac-tivo y que, por lo tanto, para su aplicacin en una situacin de aula, requiere del material

para el alumno, del referencia, del digital (software, applets, presentaciones, planillas,etc.) y de los diversos apoyos que acompaan la implementacin del modelo interactivoen la sala de clases.

Esperamos que esta propuesta sea una contribucin y una ayuda concreta a su trabajocomo educador o educadora. Detrs de ella est el pensamiento, la inspiracin y el trabajode muchas personas, realizada con el mayor cario y con la intencin de complementar yapoyar su accin en la sala de clases, entendiendo y teniendo en consideracin que ustedes el o la profesional responsable de los aprendizajes de sus estudiantes.


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LGEBRA

EL PODER GENERALIZADOR DE LOS SMBOLOS

UNIDAD

LGEB

RA

MATERIAL DEL PROFESOR

Hernn Miranda VeraMauricio Moya Mrquez


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CONTENIDO

11Presentacin de la unidad

12Propuesta metodolgica

15Descripcin sinttica de las actividades

Actividades, recursos y tiempos 16

Organizacin semanal de las actividades 17Expresiones algebraicas, frmulas y simplificacin 20

Simplificacin y aplicaciones de las expresiones algebraicas 24Operatoria de expresiones (potencias y cuocientes) 27

30Sugerencias didcticas especficas

Actividad 1: Evaluacin diagnstica 30

Actividad 2: Qu es una expresin algebraica y para qu sirve? 30Actividad 3: Recordando la factorizacin con el juego de los factores 32Actividad 4: Explorando la idea de simplificacin de expresiones algebraicas 34

Actividad 5: Simplificacin de expresiones algebraicas sencillas 35Actividad 6: Ensayo para la primera evaluacin 37Actividad 7: Primera evaluacin sumativa de lgebra 37

Actividad 8: Simplificacin de expresiones algebraicas complejas 37Actividad 9: Resolucin de problemas aplicados 38

Actividad 10: Ensayo para la segunda prueba de lgebra 41Actividad 11: Segunda evaluacin sumativa de lgebra 42

Actividad 12: Relacin entre aritmtica y lgebra 42Actividad 13: Aplicacin de la operatoria algebraica 42Actividad 14: Operatoria de expresiones algebraicas 43

Actividad 15: Operatoria con potencias de exponente entero 43Actividad 16: Tercera evaluacin sumativa de lgebra 44


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10 Unidad de lgebra

45Referencias bibliogrficas

46

Material de apoyo complementario

47Anexo 1: Nmeros Reales

51Anexo 2: Instructivo para el uso de

65Anexo 3: Pautas para la evaluacin de problemas


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PRESENTACIN DE LA UNIDAD

De acuerdo a las orientaciones didcticas que aparecen en el programa oficial de Segundo Ao

Medio, la unidad 3, llamada Las fracciones en lenguaje algebraico, aparece como continuacin

directa de las unidades relativas a lenguaje algebraico de Primer Ao Medio y focaliza el aprendizajeen la relacin entre la aritmtica y el lgebra, en especial en el mbito de las fracciones; en el uso

y la interpretacin de la sintaxis del lenguaje algebraico, enfatizando el concepto de potencia con

exponente entero y la operatoria con expresiones fraccionarias. (MINEDUC, 1999, p. 58).

A continuacin, en el mismo texto, se abordan algunos de los problemas que suelen presentar losalumnos en este tema y se sugiere que, para lograr un aprendizaje ms profundo, se invite a losestudiantes a verbalizar el significado de las operaciones y establecer la relacin existente con laaritmtica. Lo que se pretende, en definitiva, es que los estudiantes no slo aprendan procedimientosalgortmicos relativos a la operatoria algebraica en situaciones donde aparezcan fracciones, sinoque, fundamentalmente, para que alumnas y alumnos valoren el lenguaje algebraico como unaherramienta generalizadora y continen sus procesos personales de desarrollo del pensamientomatemtico, las utilicen para modelar situaciones y recurran a ellas para resolver problemas.(MINEDUC, 1999, p. 58).

Los contenidos considerados para esta unidad, son las fracciones algebraicas simples (con binomioso productos notables en el numerador y en el denominador) y las potencias con exponente entero.Adems, se considera como contenido la aplicacin, tanto de las expresiones algebraicas comode las potencias, a la resolucin de desafos y problemas no rutinarios que involucren sustitucinde variables por dgitos y/o nmeros.

En relacin con los aprendizajes de los alumnos y alumnas, el MINEDUC espera que ellos:

1. Expresen en forma algebraica categoras de nmeros enteros y fraccionarios, valorando elnivel de generalizacin que permite el lenguaje algebraico y su poder de sntesis.

2. Expliquen y expresen algebraicamente relaciones cuantitativas incluidas en problemas ydesafos. Resuelvan esos problemas y analicen las soluciones.

3. Apliquen sus conocimientos sobre fracciones algebraicas para el anlisis y resolucin deproblemas, en especial en el mbito de las ciencias naturales, valorando el aporte generalizadordel lgebra.

4. Analicen frmulas e interpreten las variaciones que se producen por cambios en lasvariables.

5. Utilicen procedimientos convencionales para el clculo y divisin de potencias con exponenteentero.

El tiempo estimado para que los estudiantes logren alcanzar los aprendizajes propuestos es de 30a 35 horas de trabajo. Traducido a tiempo escolar (considerando que son horas pedaggicas y quese realizan 4 horas semanales de matemtica en un liceo normal), se tienen aproximadamente 2meses de trabajo.

Presentacin de la unidad


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12 Unidad de lgebra

PROPUESTA METODOLGICA

Para abordar la unidad, se propone focalizar el trabajo en una comprensin ms profunda sobrela relacin que existe entre la representacin algebraica y los nmeros, intentando darle unsentido numrico a las expresiones representadas a travs de letras y smbolos. Esto, debidoa que una de las dificultades que tiene la comprensin del lgebra por parte de los estudianteses que no logran ver qu es lo que hay realmente detrs de esos smbolos, lo que produce,entre otros efectos, que no logren visualizar las transformaciones posibles, que son muyimportantes al momento de aplicar la operatoria.

Otra de las dificultades frecuentes son los vacos de conocimientos anteriores, especialmente enla operatoria de nmeros enteros, la operatoria de fracciones y la operatoria algebraica bsica(factorizacin y reduccin de trminos semejantes, especialmente). Esta situacin impide el avance

de muchos estudiantes quienes, si bien logran comprender el concepto de simplificacin algebraica,no pueden resolver los ejercicios, pues no logran ver las transformaciones necesarias en lasexpresiones algebraicas involucradas, que hacen posible aplicar las propiedades que permiten lasimplificacin. Por ello, se propone un trabajo previo para retomar estos temas y darles un sentidoy una comprensin ms profunda por parte de los estudiantes.

Existe un problema de lenguaje matemtico en los planes cuando se refieren a fracciones enlenguaje algebraico, pues esto implica restringir el uso del lgebra a las fracciones y restarlefuerza como herramienta generalizadora del concepto de nmero y de otros objetos matemticosms abstractos como funciones, conjuntos, transformaciones, matrices, vectores, etc. Por esta

razn, desde un punto de vista estrictamente matemtico, es importante ampliar el mbito deaplicacin del lgebra para representar tambin nmeros reales y, por lo tanto, por la definicinmatemtica de las fracciones, el trabajo ya no puede quedar restringido slo a la operatoria defracciones algebraicas.

Esta distincin no es menor, puesto que implicara volver sobre el conjunto de los nmeros reales,el cual, si bien se aborda en Primero Medio, no se lo presenta formalmente para aprovechar deintroducirlos de una manera un poco ms profunda y sistemtica. Es importante considerar,

particularmente para aquellos estudiantes orientados hacia la matemtica, que los nmerosreales seguirn apareciendo de aqu en adelante de manera permanente siendo fundamentales

en la construccin de conceptos claves, como el de funcin; y en la generalizacin de algunosresultados, como, el teorema de Thales.


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Acorde con lo anterior, la unidad se llama El poder generalizador de los smbolos y en ellase aborda como ncleo fundamental, la operatoria de expresiones algebraicas fraccionarias,enfatizando la comprensin y aplicacin a la resolucin de problemas. Como un material anexose propone un taller para tratar con ms profundidad los nmeros reales, dadas las consideracionesmatemticas expuestas anteriormente. Sin embargo, por el tiempo existente para tratar los temasfundamentales, no se propone como parte de las actividades de la unidad, sino como una alternativadigna de considerar en cursos que tengan un grado de avance mayor en los temas correspondientesal programa o bien en cursos avanzados de Matemtica.

Los temas que se tratarn se han dividido en tres partes principales que cubren los contenidoscentrales de esta unidad:

Expresiones algebraicas, frmulas y simplificacin.

Simplificacin y aplicaciones de las expresiones algebraicas.

Operatoria de expresiones algebraicas (potencias y cuocientes).

Para cada tema se ha generado un conjunto de actividades, trabajos y ejercicios para que losestudiantes desarrollen en la clase, en donde tengan que experimentar situaciones y responder

preguntas acerca de lo que han estado haciendo y cmo lo han estado haciendo. Estas preguntastienen un doble propsito: por una parte, plantear un desafo al estudiante al invitarlo a pensar ya buscar explicaciones y, por otra, orientar al profesor o profesora para constatar, por medio delas respuestas dadas, el grado de comprensin de los temas tratados.

Las actividades planteadas consideran tanto un trabajo individual en clase como fuera de ella,ejercicios de apoyo complementarios para nivelar conocimientos anteriores que no estn bienafianzados, discusiones y trabajos grupales, resolucin de problemas abiertos (que admiten msde una respuesta correcta), fundamentacin, elaboracin de argumentos y conjeturas, trabajo conel computador (o con calculadora) y manipulacin de objetos concretos.

En general, se han buscado el mximo de situaciones dinmicas donde los estudiantes tengan queinvolucrarse en un trabajo activo y no slo deban limitarse a escuchar explicaciones y resolverejercicios. Se trata de que encuentren las explicaciones y las expresen, aunque sabemos que nosiempre eso es posible, en cuyo caso se proveen herramientas de apoyo, tales como presentaciones,material de referencia, material manipulativo y sugerencias didcticas especficas acerca de cmoabordar y qu enfatizar en ciertas actividades.

Para realizar el cierre de la unidad, se propone un trabajo donde los estudiantes deben investigarsituaciones contextualizadas y trabajar sobre problemas abiertos, esto es, que admiten ms de unarespuesta correcta, dependiendo de los supuestos iniciales. La idea es que en su solucin, apliquenconocimientos adquiridos en la unidad y anteriormente y que la presentacin de los resultados deeste trabajo le sirva al profesor como un referente fundamental para la evaluacin formativa dela unidad, previo a la aplicacin del instrumento de evaluacin final.

Propuesta metodolgica


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14 Unidad de lgebra

La evaluacin propuesta ha sido cuidadosamente abordada y se han planificado mltiples instanciaspara que ella est presente, tanto en forma explcita, como implcita a lo largo de todo el proceso.Tambin se ha buscado hacerla operativa en el marco de una sala de clases normal, con todaslas restricciones que, muchas veces, limitan drsticamente el tiempo para hacer un trabajo mscuidadoso respecto a la evaluacin.

Al inicio se considera una evaluacin diagnstica, que permite hacer una planificacin mscuidadosa del trabajo individual, especficamente, decidir qu guas de apoyo complementariasdebern realizar aquellos estudiantes que presenten deficiencias serias en conocimientos de entradafundamentales (operatoria en ZZ, operatoria en IQ).

Todas las actividades propuestas presentadas como trabajo sirven de evaluacin formativa.Adems, para enfatizar esta evaluacin, se consideran ciertos hitos especficos (actividades decierre), donde se hace un alto en el camino para poner en comn lo aprendido y asegurarse deque todo el curso va avanzando a paso firme en el logro del conocimiento deseado. Adems, se

proponen tres evaluaciones sumativas: dos pruebas de seleccin mltiple para medir los logros

(estndares) alcanzados en el desarrollo de la operatoria algebraica (factorizacin y simplificacinde expresiones algebraicas simples), y otra prueba de desarrollo para medir la aplicacin de laoperatoria en expresiones con potencias de exponente entero (sumas, restas, multiplicaciones ydivisiones).

Por ltimo, para la evaluacin final de la unidad, se propone un procedimiento mixto basado en losestndares de conocimiento logrado (si los alumnos alcanzaron y en qu grado los aprendizajes

propuestos por el MINEDUC) y en el avance que alcanz cada estudiante a partir del diagnsticoinicial. La idea es equilibrar en parte el hecho de que si basamos la medicin slo en estndares,muchos estudiantes se vern perjudicados por su historia de fracasos anteriores reiterados en

Matemtica, lo que genera una crculo vicioso que es necesario romper. En este sentido, elmedir el avance hace posible tambin apreciar, premiar y valorar el esfuerzo individual. Muchosestudiantes que se autoperciben como malos para la Matemtica, en realidad no lo son, puesrealizan avances significativos, aunque no alcanzan plenamente los estndares propuestos.


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1 Experiencia piloto realizada en el Liceo Santa Mara de Santiago en el ao 2002, con dos Segundos Medios.2 Validacin experimental del Modelo Interactivo en las regiones Metropolitana, Rancagua y Valparaso desde el ao 2003.

DESCRIPCIN SINTTICA DE LAS ACTIVIDADES

Las actividades centrales propuestas para que los estudiantes desarrollen un trabajo sistemtico queles permita alcanzar los aprendizajes esperados en esta unidad, consideran dos tipos de situaciones:actividades nucleares y actividades complementarias o de profundizacin.

Las actividades nucleares, corresponden a lo que se ha establecido como el trabajo mnimo arealizar para alcanzar un manejo razonable del conocimiento esperado en los planes y programasdel MINEDUC para esta unidad. Las actividades complementarias, en cambio, permiten unaampliacin y profundizacin del conocimiento, a la vez que brindan ms oportunidades paraaprender. Sin embargo, si no se alcanzan a realizar, en funcin del tiempo y del avance mostrado

por el grupo curso bsicamente, no se lesiona en mayor medida el foco de lo que se pretendecomunicar. Esta observacin es particularmente relevante en el trabajo planteado para abordarlos nmeros reales.

La distribucin de los contenidos sugerida para organizar las clases, se presenta en el siguientecuadro. Los contenidos que consideran actividades nucleares estn sealados en gris:

Contenidos N de horas

Evaluacin diagnstica 2

Expresiones algebraicas, frmulas y simplificacin 22

Evaluacin 1 2

Simplificacin y aplicaciones de las expresiones algebraicas 9

Evaluacin 2 2

Operatoria de expresiones algebraicas (potencias y cuocientes) 21

Evaluacin 3 2

Total de contenidos nucleares 35

Es importante destacar que las actividades nucleares han sido definidas de acuerdo a la experienciapiloto1 que han tenido los investigadores y a los resultados de la experimentacin del proyecto enlos aos siguientes2. Esta experiencia muestra que los tiempos necesarios para cubrir de buena

forma los contenidos, especialmente considerando los vacos de conocimientos previos, no sonsuficiente para abarcar todo. Por ello, se ha focalizado el trabajo en la idea y el manejo de lasimplificacin, dada la importancia que esta tiene en el trabajo algebraico y su potencial comoherramienta matemtica para abordar problemas nuevos. En la

Descripcin sinttica de las actividades


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16 Unidad de lgebra

siguiente tabla se hace una descripcin ms detallada de las actividades nucleares (en gris)ycomplementarias o de profundizacin (en blanco), propuestas para la unidad, considerando losrecursos necesarios y la duracin en horas pedaggicas y clases. Un uso posible de las actividadescomplementarias, es asignar trabajo para que puedan reforzar en sus casas. Otro uso posible esapoyar la ejercitacin de aquellos estudiantes que terminan antes las actividades planificadas parala clase.

Actividades, recursos y tiempos

N Actividades Horaspedaggicas

Recursos

1 Diagnstico de conocimientos Prueba diagnstica C 2previos

2 Qu es una expresin algebraica y Guas 1 y 2 N 4para qu sirve

3 Recordando la factorizacin con el Gua 3 y 4 N 6juego de los factores

Gua 5 C

4 Explorando la idea de simplificacin Guas 6 y 7 N 4de expresiones algebraicas

5 Simplificacin de expresiones Guas 8, 9, 10 y 12 N 6algebraicas sencillas

Gua 11 C

6 Ensayo para la primera evaluacin Gua 13 N 2

7 Primera evaluacin sumativa Prueba 1 de lgebra (formas A y B) N 2Segunda Parte: Simplificacin y aplicaciones de las expresiones algebraicas

8 Simplificacin de expresiones Gua 14 N 2algebraicas complejas

9 Resolucin de problemas aplicados Guas 15 y 16 N 5

Proyectos 1 y 2 C

10 Ensayo para la segunda evaluacin Gua 17 N 2

11 Segunda evaluacin sumativa Prueba 2 de lgebra (formas A y B) N 2

Primera parte: Expresiones Algebraicas frmulas y simplificacin


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Semana 1

Qu es una

expresinalgebraica ypara qu sirve?

Expresionesalgebraicas consentido

Expresionesalgebraicas en

la Ciencia

Semana 2

Recordando la

factorizacincon el juego delos factores

Factorizacinde expresionesalgebraicas deltipo x2 + bx+ cy x2 + bx

Semana 3

Simplificacin

de expresionesalgebraicas

Exploracin dela idea intuitivade simplifica-cin

Formalizacindel concepto

de simplifica-cin

Semana 4

Ejercitando la

factorizacin ysimplificacin

Factorizacinde expresionesusando distin-tos mtodos ytcnicas

Simplificacinde expresiones

sencillas

Semana 5

Primera eva-

luacin ysimplificacinde expresiones

ms complejas

Repaso yensayo para laprimera evalua-cin

Primera

evaluacin

Ampliacin delas tcnicas de

simplificacin

Semana 6

Resolucin

de problemasaplicados

Expresionesalgebraicasaplicadas endistintas reasde la Ciencia

Semana 7

Segunda eva-

luacin

Repaso generaly ensayo parala segundaevaluacin

Segunda

evaluacin

Las actividades que aparecen sealadas con este smbolo, consideran el uso de latecnologa informtica y de comunicaciones para apoyar el aprendizaje.

Organizacin semanal de las actividades

Tercera parte: Operatoria de expresiones algebraicas (potencias y cuocientes)

12 Relacin entre la aritmtica y el Gua 18 C 2lgebra

13 Aplicacin de la operatoria Gua 19 C 2

algebraica14 Operatoria de expresiones Guas 20 - 26 C 11algebraicas

15 Operatoria de expresiones con Guas 27 y 28 C 4potencias de exponente entero

16 Tercera evaluacin sumativa Prueba 3 de lgebra (formas A y B) C 2

Tiempo total de actividades nucleares 35


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18 Unidad de lgebra

Para que los estudiantes alcancen en buena forma los aprendizajes propuestos en esta unidad ytambin facilitar el trabajo en la clase, es deseable que los alumnos y alumnas cuenten con lossiguientes conocimientos previos:

Conceptos Operatoria

Nmero real Operatoria en ZZ con uso de parntesis

Expresin algebraica Operatoria en IQ

Trminos semejantes Factorizacin de expresiones algebraicas (factor comn, trinomios y productos notables)

Propiedad distributiva Operatoria bsica con expresiones algebraicas (suma y resta)

Producto notable Operatoria con productos y productos notables (cuadrado del binomio, suma por diferencia)

Factorizacin Operatoria con potencias

Potencia

Para la operatoria algebraica se propone una cuidadosa evaluacin diagnstica, ya que la experienciamuestra que los logros que alcancen los estudiantes, dependen crticamente de la forma en quellegan preparados para abordar este trabajo. En general, los grupos tienden a ser muy heterogneosy por ello se propone una manera de trabajar en forma ms personalizada y hacerse cargo de losvacos de aprendizajes anteriores. Dependiendo del anlisis de los resultados obtenidos en estaevaluacin, se deciden los caminos a seguir para el refuerzo de estas materias, en especial conaquellos alumnos(as) en desventaja.

Acorde con lo anterior, se han desarrollado guas de ejercicios de refuerzo para cubrir los vacosms comunes detectados, las cuales estn en formato digital y son imprimibles de acuerdo a las

necesidades particulares de cada grupo.

Estas guas tienen una secuencia de a lo ms 20 ejercicios graduados, los cuales van de lo mssimple a lo ms complejo y se utilizan en forma diferenciada con cada estudiante, segn lasnecesidades detectadas en la evaluacin diagnstica. Para los alumnos(as) que presenten vacossignificativos en el diagnstico, se propone que, antes de abordar los temas de la unidad, entreguencompletamente desarrollada la gua correspondiente y que esto tenga consecuencias explcitasen la evaluacin final de la unidad (puntos para la prueba, nota adicional por trabajos entregados,etc.). La idea es apoyarlos, incentivarlos y empujarlos para que cubran efectivamente los vacosde conocimientos anteriores y puedan abordar de buena manera los nuevos aprendizajes.

Las guas propuestas para cubrir los vacos de conocimientos son las siguientes:

Gua 1: Suma y resta en ZZGua 2: Multiplicacin y divisin en ZZGua 3: Operatoria combinada en ZZ con uso de parntesis


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Gua 4: Suma y resta en IQGua 5: Multiplicacin y divisin en IQGua 6: Operatoria combinada en IQ con uso de parntesisGua 7: Productos notables

Gua 8: Operatoria con potencias de exponente naturalGua 9: ValoracionesLas evaluacionespropuestas para la unidad se detallan en la siguiente tabla:

Tipo de evaluacin Descripcin

Diagnstica Prueba para determinar los conocimientos de entrada de los estudiantes

Formativa Controles, tareas y actividades en clase

Sumativa 1 Prueba sobre expresiones algebraicas, factorizacin y simplificacin

Sumativa 2 Prueba sobre simplificacin y resolucin de problemas

Sumativa 3 Prueba sobre operatoria de expresiones, potencias de exponente entero y desafos

A continuacin se entrega una descripcin sinttica de todas las actividades propuestas, incluidaslas actividades nucleares y las complementarias o de profundizacin, las cuales se sealanexplcitamente como tales.


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20 Unidad de lgebra

Primera parte: Expresiones algebraicas, frmulas y simplificacin

Actividad 1: Evaluacin diagnstica (complementaria)

Esta actividad tiene como propsito evaluar los conocimientos previos que los alumnos(as)deberan dominar y que son necesarios para desarrollar la unidad de lgebra en este nivel.A partir de los resultados, se debe hacer un trabajo individual con los estudiantes, de modoque puedan reforzar aquellos temas en los cuales estn dbiles, utilizando para ello las guasde refuerzo. Cada estudiante recibe slo las guas para reforzar los temas que no domina ydebe desarrollarlas en forma paralela al trabajo de clases y entregarla dentro de los plazosdefinidos por el profesor(a).

La prueba se realiza en forma individual en un tiempo no superior a 90 minutos.

Recursos

Prueba de diagnstico

Tiempo estimado: 2 horas

Actividad 2: Qu es una expresin algebraica y para qu sirve (nuclear)?

En esta actividad el propsito es que los alumnos(as) recuerden y logren una comprensinms profunda de las expresiones algebraicas que aprendieron en Primero Medio. En la guaRecordando expresiones algebraicas los estudiantes tendrn la oportunidad de construirexpresiones algebraicas con sentido, a partir de un conjunto de variables definidas por su

simbologa, significado y valor numrico. Por su parte, en la gua Expresiones algebraicas enla Ciencia podrn trabajar con frmulas que se utilizan en diferentes reas del conocimientoy que son expresiones algebraicas aplicadas. Se trata que los estudiantes comprendan que,esencialmente, en este nivel las expresiones algebraicas son representaciones generales yabstractas de cantidades numricas. Por lo tanto, le son aplicables todas las propiedades quecumplen los nmeros que ellas representan, en particular las de los nmeros reales, y quees aqu donde radica el poder generalizador de los smbolos del lgebra.

Esta actividad est diseada para que se desarrolle en la sala de clases. Sin embargo, a modode complemento se puede trabajar ambas guas en el laboratorio de computacin usando la

planilla electrnica Excel y los archivos especialmente diseados para ello.

Recursos

Guas 1 y 2ArchivosExcelExpresiones con sentido y Frmulas en la Ciencia



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Actividad 3: Recordando la factorizacin con el juego de los factores (nuclear)

El propsito de esta actividad es que los estudiantes refuercen el concepto de factorizacinde expresiones algebraicas, utilizando representaciones geomtricas y material manipulativo.El juego de los factores consiste en un puzzle con piezas que permiten formar rectngulos,

cuyas reas corresponden a expresiones cuadrticas de la forma x2

+ bx + c, mientrasque los lados representan a factores de la forma x + d y x + e, de modo que. En la Gua 4 se trabajan tambin expresiones de la forma

x2 + bx y de la forma ax2 + bx + c, con a distinto de 1.

La actividad se realiza en sala de clases y los alumnos(as) trabajan en grupos pequeos conunpuzzle, con el objeto de que el trabajo sea ms productivo y todos puedan desarrollarlos desafos propuestos.

Adems se propone utilizar el appletGeometric Algebra 2D para trabajar con apoyodel computador, el cual permite representar y manipular expresiones algebraicas de un

modo similar al juego de los factores. Existen otros dos applets (Geometric Algebra 2D- Problemas tipo 1 y 2) con desafos que se resuelven usando la representacin geomtricausada en el primerapplet.

Para cerrar esta actividad el profesor(a) puede hacer uso de la planilla Excel Interpretacinnumrica de la factorizacin, con el propsito de ilustrar con ms fuerza la relacin queexiste entre expresiones algebraicas y nmeros.

Recursos

Gua 3 y 4Gua 5 (complementaria)Juego de factores

Applets Geometric Algebra 2D, Geometric Algebra 2D Problems 1, GeometricAlgebra 2D Problems 2PlanillaExcelInterpretacin numrica de la factorizacin



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22 Unidad de lgebra

Actividad 4: Explorando la idea de simplificacin de expresiones algebraicas (nuclear)

En esta actividad se trata de introducir, paso a paso, el concepto de simplificacin deexpresiones algebraicas. Se utilizan las guas exploratorias N 6 Son expresionesequivalentes? y N 7 Trabajo con expresiones equivalentes, para ilustrar el problema que

resuelve la simplificacin y poniendo nfasis en la herramienta de anlisis matemtico queest detrs, es decir, al enfrentar un problema complejo una estrategia posible es reducirloa otro ms simple pero equivalente.

La actividad se realiza en sala de clases y los alumnos(as) trabajarn en forma individual ogrupal, dependiendo del criterio del profesor(a).

En el caso de la Gua N 6, se la puede abordar en forma alternativa a travs de un trabajogrupal, en donde cada grupo recibe un problema diferente, pero del mismo tipo. La idea esque intenten demostrar por qu las expresiones son equivalentes. Al finalizar esta gua, sedebe hacer una puesta en comn para discutir los resultados obtenidos por cada grupo.

Recursos

Guas 6 y 7



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Actividad 5: Simplificacin de expresiones algebraicas sencillas (nuclear)

La actividad comienza formalizando el concepto de simplificacin a travs de la Gua8 Transformando expresiones algebraicas, en la que se muestran las propiedades que

justifican la simplificacin. Esta formalizacin se puede apoyar con una presentacin PowerPoint preparada para ello.

Con las Guas 9, 10 y 11 se trata de que los alumnos(as) retomen, recuerden y ejerciten losdistintos mtodos para factorizar expresiones algebraicas. Aqu se trabajan las tcnicas delfactor comn, la factorizacin de polinomios de la formax2 + bx + c y los productos notablescuadrado de binomio y suma por diferencia. Este trabajo tiene un carcter fundamental,ya que, sin este conocimiento de base, la simplificacin de expresiones algebraicas se hacemuy difcil en los casos en que el numerador o el denominador no estn factorizados. Eltrabajo con la Guas 9, 10 y 11 debe ser grupal para que los estudiantes refuercen de mejormanera la factorizacin.

La ltima parte corresponde a la ejercitacin de la tcnica de simplificacin, considerando

casos sencillos tal como ilustrados en la Gua 12. El trabajo de ejercitacin se puede apoyarcon dos recursos computacionales: a) sitio webInteractive Algebra y b) appletCalculadoraWiris, mediante los cuales se pueden comprobar los resultados.

Recursos

Guas 8, 9, 10 y 12Gua 11 (complementaria)Sitio web Interactive Algebra

AppletCalculadora Wiris


Actividad 6: Ensayo para la primera evaluacin (nuclear)

El propsito de esta actividad es que los alumnos(as) trabajen en problemas similares alos que se preguntarn en la primera prueba de lgebra, de modo que puedan consultar yaclarar sus dudas.

La actividad se desarrolla en la sala de clases y los estudiantes pueden trabajar en formaindividual o grupal.

Recursos

Gua 13



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24 Unidad de lgebra

Actividad 7: Primera evaluacin sumativa de lgebra (nuclear)

El propsito de esta prueba es evaluar los aprendizajes esperados relativos al manejoy comprensin de las expresiones algebraicas, el anlisis y valoracin de frmulas,factorizacin y simplificacin de expresiones algebraicas sencillas.

La prueba es de seleccin mltiple y tiene 18 preguntas.

Recursos

Primera prueba de lgebra (formasA yB).Pauta de correccin.


Segunda parte: Simplificacin y aplicaciones de las expresiones algebraicas

Actividad 8: Simplificacin de expresiones algebraicas complejas (nuclear)

En esta actividad se contina con el trabajo anterior a la prueba y, bsicamente, permiteque los alumnos(as) ejerciten las tcnicas de simplificacin de expresiones algebraicas atravs de una amplia gama de ejercicios combinados. Aqu los estudiantes se enfrentarna los distintos tipos de factorizacin que ya conocen y que deben reforzar en el marco delos ejercicios propuestos.

La actividad se realiza en sala de clases y los estudiantes, aunque pueden trabajar en formagrupal ayudndose y consultndose entre ellos, deben hacerse cargo de su gua y responderlacompletamente.

Tambin este trabajo de ejercitacin se puede apoyar con la tecnologa informtica usandola calculadora Calculadora Wiris, mediante la cual se pueden comprobar los ejerciciosrealizados.

Recursos

Gua 14 AppletCalculadora Wiris



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Actividad 9: Resolucin de problemas aplicados (nuclear)

El propsito de esta actividad es que los alumnos(as) se enfrenten a problemas aplicados,contextualizados en otras reas de conocimiento tales como la Fsica, la Biologa, la Ingeniera, etc.,que puedan resolverlos en equipo, utilizando variadas estrategias. En algunos problemas, distintosequipos pueden llegar a diferentes resultados. Esta situacin es la que dar dinamismo al trabajo y

es una caracterstica de los problemas abiertos, esto es, problemas con ms de un resultado correcto,dependiendo de los supuestos iniciales. Lo fundamental es que los estudiantes sean capaces deexplicar claramente cmo abordaron el problema y cules fueron los supuestos utilizados.

Esta actividad se realiza en sala de clases y se trabaja en equipo. Todos los alumnos(as) resuelvenlos problemas Buscando un modelo matemtico para la reproduccin humana y Gestin ymanejo de residuos slidos domiciliarios, apoyados por las indicaciones del profesor(a). La ideaes que cada grupo elija con qu problema partir y un vez terminado, dado un tiempo especfico,ellos sigan trabajando con el segundo problema. Una vez resuelto ambos por todos los grupos, sehace una puesta en comn con los resultados obtenidos. Se sugiere elegir al azar a los grupos que

presenten sus resultados al resto del curso. La discusin del problema de la reproduccin se puede

ilustrar, simulando el proceso, doblando sucesivamente una hoja de papel en blanco y contando elnmero de rectngulos que quedan.

Adicionalmente, se pueden trabajar los proyectos Geometra de fractales y Diseo de espaciosacsticamente apropiados con aquellos estudiantes ms motivados o avanzados o en la medidaen que el tiempo lo permita.

El trabajo de la sala de clases respecto al problema de la basura (residuos slidos), se puedecomplementar haciendo uso del laboratorio de computacin. All los estudiantes pueden sistematizarsus clculos y hallazgos, haciendo uso de la PlanillaExcelIngeniera y medio ambiente. Adems,cuentan con algunos applets especialmente diseados para facilitar los clculos.

Tambin se han considerado otros dos recursos para que los maneje el profesor como apoyo a susexplicaciones. Uno es una presentacin enPower Pointexplicando el modelo de la divisin celular,y el otro es un sitio web que muestra cmo se construye un fractal.

Recursos

Guas 15 y 16Proyectos 1 y 2 (complementarios)Pauta para informe de grupoPautas de correccin de los problemas

PlanillasExcelde registro de datos Residuos slidos y AcsticaSitio web Fractals: an introductory lesson AppletProduccin de basura AppletNmero de viajes AppletDiseo de cuadrilla



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26 Unidad de lgebra

Actividad 10: Ensayo para la segunda evaluacin (nuclear)

El propsito de esta actividad es que los alumnos y alumnas trabajen en problemas similaresa los que se preguntarn en la segunda prueba de lgebra, que consulten acerca de las cosasque an no tienen claras y que ganen confianza en relacin a los conocimientos adquiridos.

La actividad se desarrolla en la sala de clases y los estudiantes pueden trabajar en formaindividual o grupal.

Recursos

Gua 17


Actividad 11: Segunda evaluacin sumativa de lgebra (nuclear)

El propsito de esta prueba es evaluar los aprendizajes adquiridos por los alumnos(as) hastala fecha respecto a los temas de simplificacin de expresiones algebraicas (considerandocasos combinados de factorizacin), y la aplicacin a la resolucin de problemas.

La prueba es de seleccin mltiple y tiene 22 preguntas.

Recursos

Segunda prueba de lgebra (formasA yB)

Pauta de correccin



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Tercera parte: Operatoria de expresiones (potencias y cuocientes)

Actividad 12: Relacin entre aritmtica y lgebra (complementaria)

El propsito de esta actividad es que los alumnos(as) establezcan un paralelo entre las

operaciones numricas bsicas que se realizan entre racionales y aquellas que se realizan entrecuocientes de expresiones algebraicas. Se trata de que los alumnos y alumnas reflexionenacerca del hecho de que las operaciones numricas corresponden a casos particulares delas operaciones que se realizan con expresiones algebraicas. Luego, es posible evaluar lasvariables (letras) de una expresin con valores numricos para encontrar casos particulares.Tambin debe quedar la idea de que si se tiene una operacin numrica, naturalmente es

posible encontrar una expresin general en funcin de algunas variables escogidas. Aques fundamental volver a insistir en la idea de visualizar las expresiones algebraicas comorepresentaciones generales de cantidades numricas.

La actividad se desarrolla en la sala de clases y puede ser desarrollada en parejas.

Recursos

Gua 18 (complementaria)


Actividad 13: Aplicacin de la operatoria algebraica (complementaria)

El propsito de esta actividad es que los alumnos(as) se enfrenten a algunos desafos queinvolucren operatoria algebraica y que los motiven a pensar y aplicar el conocimientoadquirido hasta el momento. Bsicamente, se trata de que demuestren propiedades sencillas,que busquen valores permitidos de expresiones algebraicas, que valoren expresionesalgebraicas en forma secuencial y que encuentren patrones en secuencias numricas.

La actividad se desarrolla en sala de clases y puede ser realizada en parejas o grupos.

Recursos

Gua 19 (complementaria)



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28 Unidad de lgebra

Actividad 14: Operatoria de expresiones algebraicas (complementaria)

El propsito de esta actividad es que los alumnos y alumnas ejerciten la operatoria bsicacon expresiones algebraicas, abarcando suma y resta de cuocientes de expresiones conigual denominador, suma y resta de cuocientes de expresiones con distinto denominador,multiplicacin y divisin de cuocientes de expresiones algebraicas, ms la operatoria

combinada con uso de parntesis. El acento est puesto en la ejercitacin y los estudiantesdeben aplicar el conocimiento adquirido respecto a la simplificacin de expresiones. Setrata de que en cada caso lleguen a la mnima expresin posible.

La actividad se desarrolla en la sala de clases y puede ser hecha en parejas o grupos, aunque cadaalumno(a) debe hacerse responsable por sus guas de trabajo y responderlas completamente.

Tambin se puede hacer uso del appletCalculadora Wiris para comprobar los ejerciciosrealizados.

Recursos

Guas 20 a 26 (complementarias) AppletCalculadora Wiris


Actividad 15: Operatoria con potencias de exponente entero (complementaria)

El propsito de esta actividad es que los alumnos y alumnas desarrollen operaciones entreexpresiones algebraicas que involucren potencias de exponente entero. En la Gua 27 se

proponen casos donde el exponente genrico puede ser un nmero cualquiera par o impar, loque afectar el signo de la expresin si la base es negativa. Tambin se analizan operacionesde expresiones algebraicas en el caso de que los exponentes sean negativos. En la Gua28, los estudiantes deben ejercitar la operatoria de expresiones que involucran potenciasde exponente entero, aplicando propiedades de las potencias y simplificando al mximo laexpresin resultante.

La actividad se desarrolla en sala de clases y puede ser elaborada en parejas o grupos, aunquecada estudiante debe hacerse responsable por su trabajo y responder las guas en su totalidad.

Como complemento, tambin se puede hacer uso del applet Calculadora Wiris paracomprobar los ejercicios realizados.

Recursos

Guas 27 y 28 (complementarias) AppletCalculadora Wiris



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Actividad 16: Tercera evaluacin sumativa de lgebra (complementaria)

El propsito de esta prueba es evaluar los aprendizajes esperados respecto de los contenidosque los alumnos y alumnas han trabajado hasta la fecha: relacin entre la aritmtica y ellgebra, operatoria de cuocientes de expresiones algebraicas, operatoria de expresiones

algebraicas con potencias de exponente entero y desafos algebraicos.

La prueba es de desarrollo y tiene 11 preguntas.

Recursos

Tercera prueba de lgebra (formasA yB)



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30 Unidad de lgebra

SUGERENCIAS DIDCTICAS ESPECFICAS

Uno de los problemas fuertes que se presentan en esta unidad, son los vacos de conocimientosprevios que traen los alumnos(as), dado que al operar y simplificar cuocientes de expresiones

algebraicas se ocupan muchas herramientas y tcnicas vistas en Primero Medio, frecuentemente,olvidadas. Tambin existen muchos errores por el mal manejo de la aritmtica de los nmerosenteros y de los nmeros racionales. Esto trae como consecuencia que, a la dificultad propia deentender y operar las expresiones algebraicas, se agregue la dificultad de operar con signos, demanejar las prioridades de las operaciones y de sacar un mnimo comn mltiplo. Por ello una delas caractersticas del trabajo en esta unidad, es tratar, en lo posible, de llenar estos vacos medianteun trabajo dirigido y personalizado de acuerdo a las necesidades que presente cada estudiante.A continuacin se entregan sugerencias didcticas para cada una de las actividades propuestas,donde se aborda con mayor profundidad la forma de ponerlas en prctica con los estudiantes, loque se complementa con informacin proveniente de la puesta en prctica en la sala de clases.

Adems, se aportan sugerencias para el uso de la tecnologa informtica all donde correspon-da, sealando tanto el recurso especfico como la metodologa de uso que se propone para eltrabajo.

Actividad 1: Evaluacin diagnstica

La primera actividad consiste en detectar cules son las conductas de entrada de los alumnos yalumnas. Para ello, se propone una evaluacin diagnstica de desarrollo, focalizando la miradaen la operatoria en ZZ y en IQ que los estudiantes deben dominar. El anlisis de los resultados de

esta prueba, debera aportar informacin para personalizar el trabajo con un conjunto de guas derefuerzo complementarias que estn en formato digital y disponibles para ser impresas segn lasnecesidades del grupo. El objeto de este trabajo es nivelar y llenar aquellos vacos de conocimientos

previos que suelen interferir con el logro de los aprendizajes esperados en esta unidad.El trabajo con las guas de refuerzo debe hacerse en forma autnoma y en horarios alternativos alos de la clase regular, para no interferir con el tiempo reservado a las actividades nucleares.

Actividad 2: Qu es una expresin algebraica y para qu sirve?

Una vez realizado el diagnstico y delimitado el trabajo personal, corresponde traer a la memoria

de trabajo la idea de expresin algebraica. El foco aqu es volver a introducir la nocin de expresinalgebraica y analizar con detalle cmo se escriben y qu es lo que representan. Para ello, en la Gua1 se propone a los estudiantes una lectura, a partir de la cual deben generar distintas expresionescon distintas variables y darles un significado coherente. Lo usual es que les cueste entender dequ se trata el trabajo y presenten resistencia a leer, en cuyo caso es conveniente incentivarlos e,incluso, leer un poco con ellos. Pronto descubren que en realidad no es tan complejo.


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3 Esta actividad es un aporte de Cecilia Ritchie de la Universidad Catlica de Valparaso.

Una vez que entienden lo que se les pide, es muy comn que slo se remitan a expresiones simplescon sumas y restas de variables. Es importante ayudarlos un poco para que incluyan combinacionesde operaciones, e incluso divisiones, e interpreten lo que representan. Tambin es usual que tengan

problemas con el lenguaje y les cueste decir en palabras qu representa la expresin generada,para lo cual se sugiere apoyarlos con algn ejemplo y que despus intenten ellos por s mismos.

Lo que debe quedar claro en esta gua, es que la expresin algebraica es una forma general y abs-tracta de representar un nmero y que los smbolos (las letras) no son otra cosa que un contenedorde nmeros. En la medida que vara el valor almacenado en el contenedor, vara inmediatamenteel valor final de la expresin algebraica.

Para reforzar esta idea, se sugiere hacer un trabajoen el computador con el apoyo de la planilla elec-trnica, haciendo uso del archivo Expresiones consentido, donde se reproduce el trabajo de la sala,

pero ahora con la ventaja que permite la planilla

para generar frmulas. En ella estn definidas lasvariables utilizadas, las cuales permiten generarlas frmulas correspondientes. Aqu es muchoms evidente la idea del nmero que hay detrsuna expresin algebraica.

Es importante el grado de interaccin que se logre en este trabajo entre el estudiante y el com-putador, por lo cual se recomienda tener pocos alumnos(as) por computador (a lo ms tres) puesde otro modo se pierde el objetivo central, que es lograr que el estudiante manipule la frmula yexperimente por s mismo cmo se producen las variaciones.

Una ampliacin interesante que se puede hacer en este trabajo en el laboratorio es presentardesafos a los estudiantes3, proponindoles significados para que ellos escriban la expresin co-rrespondiente o bien, que ellos le den el significado a expresiones algebraicas propuestas. Estotambin puede dar origen a una evaluacin formal adicional, calificando el trabajo realizado porlos distintos grupos, el cual debe ser entregado en formato digital.

Antes de pasar a la siguiente gua, es necesario hacer un cierre formal de este trabajo donde debeenfatizarse su idea central: qu es lo que representan las expresiones algebraicas? y por qu y paraqu se usan?, destacando la necesidad de representar nmeros en forma abstracta y general.

Siguiendo con el objetivo de traer a la sala de clases la nocin de expresin algebraica, se tra-baja la Gua 2, donde los estudiantes deben experimentar con frmulas algebraicas aplicadasen la Ciencia. Se proponen para ello diversas situaciones donde deben elegir algunas de ellas y


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32 Unidad de lgebra

trabajarlas en grupo, discutiendo la validez y aplicacin de sus resultados (por ejemplo, qusignifica si aparece una distancia menor que cero?).

Esta gua tambin se puede trabajar en el laboratorio

de computacin de modo similar a la de expresiones

algebraicas con sentido, proporcionndose para ello

el archivo Frmulas en la Ciencia. En este archivo

aparecen en hojas separadas todas las situaciones

propuestas en la gua, y los estudiantes deben cons-

truir las frmulas correspondientes enExcelusando

los nombres definidos para cada variable.

Puede que, a pesar del trabajo realizado, an existan alumnos(as) a los que les cueste entender lanocin de expresin algebraica. No importa tanto en este momento, pues ms adelante existen otrasinstancias donde se retoma esta idea. Lo importante es que al final de la unidad si que est claraesta nocin intuitiva de ver las expresiones como un gran contenedor de nmeros cualesquiera

y que, por lo tanto, cumplen con todas las propiedades asociadas a dichos nmeros.

Actividad 3: Recordando la factorizacin con el juego de los factores

Otra nocin difcil de dominar es la factorizacin de expresiones algebraicas, particularmenteaquellas donde hay un factor comn, pero no del todo obvio, y aquellas que son productos no-tables. Esto es clave, puesto que sin esta herramienta, entender y realizar simplificaciones deexpresiones algebraicas no factorizadas, es para ellos una tarea imposible de realizar. Por estarazn, se propone invertir tiempo en hacer un trabajo cuidadoso previamente, de modo de traer

a memoria todo el conocimiento relativo a factorizaciones estudiado en Primero Medio. En casoque los estudiantes manejen bien este tema, estas actividades pueden realizarse rpidamente paraganar tiempo y lograr ms avances en otros.

Para abordar la comprensin de la factorizacin de polinomios de segundo grado, se dise eljuego de los factores, que consiste en un puzzle con piezas que permiten formar rectngulos,cuyas reas corresponden a expresiones de la formax2+ bx + c, mientras que los lados representanfactores de la forma x + d y x + e, de modo que . Se trabaja engrupos pequeos de a lo ms cuatro estudiantes, pues grupos ms grandes no alcanzan a manipularelpuzzle, considerando que el uso de las manos activa otras zonas cerebrales importantes para

desarrollar una comprensin ms profunda (Araya, 2000).

La primera parte del trabajo propuesto en la Gua 3, tiene como fin ver si los estudiantes lograncomprender las reglas del juego y representan de manera adecuada las expresiones. Aqu se tratade que desarrollen las expresiones usando elpuzzle,pues es ms rpido que hacerlo de maneraalgebraica; adems que eso asegura que comprenden bien la representacin geomtrica, que esuna idea central en esta actividad.


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La segunda parte de la gua es ms compleja, pues se trata de agrupar las piezas de modo deformar un rectngulo, es decir, factorizar el trinomio cuadrtico, pero de manera geomtrica. Losejercicios estn cuidadosamente elegidos de modo de ir complejizando cada vez ms la tarea,hasta que aparece la necesidad de incorporar piezas al tablero, pues de otro modo no se puedeconstruir el rectngulo pedido. Esta tarea es muy importante, pues la nocin matemtica que sub-yace es la de sumar un cero escrito de manera conveniente, lo que permite arreglar la situaciny llegar al resultado pedido. Esta herramienta de sumar un cero convenientemente escrito es muytil en matemtica, y particularmente en el lgebra, cuando se requiere demostrar propiedades yteoremas especficos.

La Gua 4 presenta desafos para ser abordados y discutidos en grupos ms grandes, pues es nece-sario reunir ms de unpuzzlepara resolverlos. Se trata de incluir la factorizacin de expresionesdel tipox2 + bx (que incluyen un factor comn) y de la forma ax2 + bx + c, con a distinto de 1.

Adems, se propone utilizar el appletGeometricAlgebra 2D, desarrollado por elFreudenthal Institute

de Holanda, para trabajar con apoyo del computador,el cual permite representar y manipular expresionesalgebraicas de un modo similar al juego de los factores.Aqu la interaccin entre el estudiante y el appletesalta, por lo cual se recomienda trabajar, si es posible,con pocos alumnos por computador (a lo ms tres).Un problema que se puede presentar con este recurso,es que por el hecho de estar en Internet puede tenerdificultades en el acceso simultneo en todo el labo-ratorio, por lo cual se requiere una conexin de buena

calidad para un uso adecuado.

Existen otros dos applets (Geometric Algebra 2D Problemas tipo 1 y 2) con problemas delgebra desafiantes que se resuelven usando la misma representacin geomtrica utilizada en el

primerapplet.

Applet Geometric Algebra 2D Problems 1 Applet Geometric Algebra 2D Problems 1

Applet Geometric Algebra 2D


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34 Unidad de lgebra

Para cerrar esta actividad es necesario que elprofesor formalice en la pizarra las principalesideas trabajadas hasta ahora, relacionando lasexpresiones algebraicas y la factorizacin. Sitiene la posibilidad de tener un computadorcon un proyector, puede hacer uso de la pla-nilla Excel Interpretacin numrica de lafactorizacin para ilustrar con ms fuerzala relacin que existe entre la expresin alge-

braica y los nmeros que ellas representan.Pueden escribir diversas expresiones, dndole valores numricos a la variable para ver cmo sereproducen los factores numricos. Esto permite ilustrar de mejor manera la idea que la factori-zacin algebraica, es una generalizacin de la factorizacin del nmero que se est representandomediante la expresin algebraica.

Actividad 4: Explorando la idea de simplificacin de expresiones algebraicas

Inmediatamente hecho el cierre de la actividad 3 (es decir, sin hacer ningn ejercicio de factori-zacin adicional a los propuestos en las Guas 3 y 4), se propone abordar la idea de simplifica-cin de expresiones algebraicas. Para ello se realiza un trabajo exploratorio donde se introduceformalmente y paso a paso el concepto.

Aqu se utilizan las guas exploratorias N 6 Son expresiones equivalentes? y N 7 Trabajo conexpresiones equivalentes, para ilustrar el problema que resuelve la simplificacin. El nfasis deeste trabajo est puesto en la herramienta de anlisis matemtico que subyace, es decir, al enfrentar

un problema complejo, una estrategia posible es reducirlo a otro ms simple pero equivalente.

Lo primero es introducir la idea de simplificacin en la Gua 7, a travs de la resolucin de unproblema algebraico que los estudiantes no conocen, el cual se plantea como un desafo. El trabajoconsiste en mostrar o demostrar que las expresiones siguientes son equivalentes:

=x + 2

Lo ms usual es que los estudiantes recurran a lo que ya conocen y han trabajado, dndole asvalores numricos a la variablex de la expresin y demostrando que al reemplazar en ambos

lados de la igualdad, da el mismo valor. Obviamente, eso no es una demostracin, pero sirve parailustrar la idea y resolver el problema en este nivel. Sin embargo, cuando surge esta solucin, laidea es alentarlos para que vayan ms all e intenten llegar a una solucin general. Es necesariosealarles que no se puede demostrar de esta manera, pues es imposible probar para todos losvalores numricos dex que son infinitos. Aqu se trata de que los estudiantes piensen durante unmomento y, poco a poco, ir dndoles algunas pistas para que resuelvan el problema, haciendoemerger as la necesidad y la tcnica de la simplificacin.

x2 +x 2x 1


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El trabajo planteado en la Gua N 6, se lo puede abordar en forma alternativa a travs de un trabajo

grupal, en donde cada uno recibe un problema diferente, pero del mismo tipo. La idea es similar,

es decir, deben intentar demostrar que las expresiones son equivalentes y hacer una discusin con

toda la clase acerca de las conclusiones a que llega cada grupo.

Para cerrar el trabajo de la Gua N 6, es necesario que el profesor explique en la pizarra la forma

correcta de abordar el problema, usando las herramientas de factorizacin y las propiedades de losnmeros que permiten hacer la simplificacin correspondiente. En esta oportunidad se trata de que

los estudiantes entiendan la idea que subyace a la simplificacin, es decir, la necesidad de transformar

una expresin algebraica en otra ms sencilla, pero equivalente. Ms adelante tendrn la oportunidad

de formalizar el concepto y de ejercitar la tcnica, desarrollando mltiples ejercicios. Por ahora, el

nfasis est puesto en la exploracin y en tratar de lograr que todos comprendan la idea.

En la Gua N 7 se contina con el trabajo exploratorio, pero ahora se trata de reconocer situaciones

de equivalencia de expresiones algebraicas, intentando que desarrollen simplificaciones sencillas y

que lleguen a reconocer cundo estn en presencia de una simplificacin. Todava en este nivel no

se han ejercitado las tcnicas, de modo que no importa cmo llegan a establecer la equivalencia,

aunque es importante enfatizar y tratar de que lo hagan en forma algebraica en vez de numrica,reemplazando valores en las variables de las expresiones. El trabajo se cierra analizando en la pizarra

los ejercicios sobre la base de las respuestas que hayan dado los estudiantes, mostrando la forma

algebraica de llegar al resultado correcto.

Por la naturaleza analtica de este trabajo y la necesidad de discusin en conjunto de los resulta-

dos, no se recomienda hacer uso de herramientas computacionales en este caso, privilegindose

el trabajo individual y grupal en la sala de clases, junto con la puesta en comn y discusin de los

resultados.

Actividades 5: Simplificacin de expresiones algebraicas sencillasUna vez que los alumnos(as) han explorado intuitivamente el concepto de simplificacin de ex-

presiones algebraicas, se aborda su formalizacin matemtica. Para ello, en la Gua N 8 Trans-formando expresiones algebraicas, se propone una lectura donde los estudiantes debern revisaren profundidad las propiedades que justifican la simplificacin, y aplicarlas a la resolucin decuatro ejercicios relativamente sencillos.

En la misma Gua N 8 se proponen algunos ejercicios de simplificacin, a modo de desafos. Loimportante es que los alumnos(as) los aborden, tomando conciencia de las estrategias necesarias

para resolverlo. En esta parte, nuevamente se hace fundamental el apoyo del profesor(a) para

clarificar las inquietudes que vayan surgiendo en el transcurso de la clase.Un aspecto muy importante que se propone en este trabajo, es el relativo a las restricciones que

permiten que una expresin algebraica tenga validez.

Por ejemplo, en la expresin al factorizar el numerador se obtiene ,

que al simplificarlo queda finalmente (x 2).

x2 +x 2x 1

(x + 3) (x 2)x + 3


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36 Unidad de lgebra

La pregunta aqu es la siguiente: esta simplificacin es vlida para todos los valores de x? Larespuesta es obviamente NO, ya que la expresin original se indefine para x = -3. En este contexto,la expresin deber volver a escribirse considerando la restriccin correspondiente:

= x 2 (x 3)

A medida que los estudiantes avancen en las distintas actividades, ser importante no dejar delado esta idea al momento de realizar la simplificacin de expresiones algebraicas. Sin duda, unatarea importante para el profesor(a) es el recordar a los alumnos(as) que analicen cada expresinantes de operar con ella. Por ello se enfatiza en el trabajo de reflexin a este respecto al final dela Gua 8.

En esta parte es fundamental la intervencin delprofesor(a) para que el concepto de simplifica-cin quede grabado en los estudiantes. En estesentido es muy til hacer una sesin expositiva,

luego de que los alumnos(as) hayan ledo y re-suelto la Gua N 8, donde se repase la idea y sediscutan las dudas que an persistan. Para ellose ha diseado una presentacin enPower Pointque apoya esta exposicin.

A pesar de que los alumnos(as) ya han reforzado la factorizacin en la actividad 4, con los ejer-cicios de la Gua N 8 quedar de manifiesto que es necesario practicar con los distintos tipos defactorizacin para tener xito en las simplificaciones. Por esto a travs de las Guas N 9, 10 y 11se propone retomar nuevamente y ejercitar la factorizacin, considerando las tcnicas del factorcomn, trinomios cuadrticos de la formax2 + bx + c y los productos notables.

Finalmente, a travs de la Gua N 12 los alumnos(as) podrn ejercitar la simplificacin de expre-siones algebraicas, considerando casos sencillos, principalmente expresiones que ya estn facto-rizadas y quedar preparados para enfrentar la primera evaluacin sumativa formal de la unidad.Es importante notar que todas las guas de ejercitacin de la tcnica tienen la misma estructura:

primero se da una explicacin breve de la tcnica a emplear con ejemplos especficos; luego sepresenta una serie de entre 10 y 20 ejercicios graduados, es decir, de menor a mayor complejidad,que los estudiantes deben resolver. En todas las guas de ejercitacin se ha elegido deliberadamenteuna cantidad acotada de ejercicios, de modo que sean abordables para todos los estudiantes.

Alternativamente, el trabajo de ejercitacin propuesto en las Guas 9, 10, 11 y 12 se puedeapoyar con dos recursos computacionales: el sitio web Interactive Algebra para ejercitar lafactorizacin de trinomios cuadrticos y el applet Calculadora Wiris, mediante el cual se

pueden comprobar los ejercicios realizados en papel. Este trabajo puede realizarse trabajandolas guas de ejercicios directamente en el laboratorio de computacin o bien fuera de la salade clases, y los estudiantes vayan espontneamente al laboratorio para comprobar y evaluar sutrabajo.

x2 +x 6x + 3


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Sitio web Interactive Algebra Applet Calculadora Wiris

Actividades 6: Ensayo para la primera evaluacin

Esta actividad es fundamental para que los alumnos(as) tengan xito en la primera evaluacin, yaque se proponen ejercicios similares a los que sern evaluados. Adems, los estudiantes debernfamiliarizarse con las preguntas, cuya respuesta es de seleccin mltiple. La idea es que tomenconfianza en lo que han trabajado hasta este momento y sean capaces de enfrentar los distintos

problemas de la mejor forma. Aqu se propone que el trabajo se realice tanto en forma individualcomo grupal para que todos aprendan a intercambiar conocimientos. Naturalmente el profesor(a)deber atender las preguntas que surgirn a medida que los estudiantes resuelvan el ensayo. Loimportante es que se aclare la mayor cantidad de dudas, para lo cual tambin se propone que el

profesor(a) haga una puesta en comn, donde se solucionen en conjunto los problemas que hayansido ms difciles para los alumnos(as).

Actividades 7: Primera evaluacin sumativa de lgebra

En esta primera evaluacin sumativa de lgebra, que es de seleccin mltiple y donde existen dosformas equivalentes, se juega un hito importante para los estudiantes. Se ha tratado de mantener unnivel equilibrado en las preguntas de modo que la mayora de los estudiantes logren un resultado

positivo, para que ganen confianza en su capacidad de entender y aplicar el lgebra. La razn deesto es mejorar su autopercepcin respecto de su capacidad de aprender Matemtica y as teneruna mejor disposicin para enfrentar los desafos ms complejos que vienen luego.

Actividades 8: Simplificacin de expresiones algebraicas complejasYa superada la primera barrera de la unidad, los estudiantes deberan tener ms confianza en susconocimientos, en el caso de que no fuera as, ellos deben saber dnde fallaron para reforzar esevaco. En esta parte del trabajo se contina profundizando en el manejo de tcnicas de simplifica-cin de expresiones algebraicas, ampliando el repertorio de ejercicios y complejizando un pocoms el tipo de expresiones y factorizaciones involucradas.


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38 Unidad de lgebra

Si los alumnos(as) realizaron un buen trabajo en las actividades anteriores, esta no debera repre-sentar mayores dificultades, pues es la misma idea de fondo, pero con expresiones un poco mscomplejas. Por lo dems, el tipo de guas de ejercicios es el mismo.

Uno de los problemas que usualmente tienen los estudiantes, es que no pueden ver y reconocerdeterminadas estructuras algebraicas que se factorizan de una forma especfica y que permiten

obtener una expresin algebraica que puede ser simplificada y transformada en otras ms simple.Por lo tanto, se requiere una atencin especial a aquellos estudiantes que tienen dificultades paraver estas estructuras ocultas, dirigiendo su mirada a establecer distinciones que les sean tiles.En este sentido, un trabajo dirigido en el computador con el apoyo de la calculadora algebraicaWiris, puede ser de mucha utilidad para los que presentan dificultades, dado que permite com-

probar los ejercicios y analizarlos de modo interactivo y rpido.

Una actividad de mucho potencial pedaggico, es el poder trabajar en este caso con toda la clase,comprobando ejercicios mediante la Calculadora Wiris y discutiendo los cambios en la expresiny las razones acerca de por qu se producen dichos cambios. Esto ayuda a focalizar la mirada en

las estructuras que los estudiantes deben reconocer para proceder a factorizar y, posteriormente,a simplificar. Sin embargo, este recurso tiene la dificultad que requiere conexin a Internet y laposibilidad de proyectar la imagen.

Actividad 9: Resolucin de problemas aplicados

Despus de trabajar la simplificacin en sus distintos niveles de complejidad, corresponde aplicar laoperatoria de expresiones algebraicas a la resolucin de problemas en diversos contextos, algunosde los cuales tienen la particularidad de ser abiertos, es decir, admiten ms de una respuesta co-rrecta, segn los supuestos que se hagan al inicio. Esta actividad es, junto con la simplificacin, el

foco de esta unidad y es conveniente dedicarle tiempo y hacer un trabajo cuidadoso al respecto.Los problemas que se trabajarn han sido seleccionados con especial cuidado en que el contexto searelevante y, en cierta medida, atractivo para los diversos intereses que manifiestan los estudiantes.La experiencia piloto mostr que a los estudiantes les llama la atencin que la Matemtica y loque ellos han estado estudiando tengan aplicaciones concretas. Si bien es muy difcil responderde buena manera a todos los intereses presentes en una sala de clases normal, los problemas se-leccionados cubren, en cierta medida, parte de ellos.

Un hecho relevante es la carga de lenguaje que tienen los problemas. Eso est pensado a prop-sito, pues la experiencia muestra que muchos estudiantes no son capaces de resolver problemasen Matemtica, slo porque no tienen el suficiente manejo de lenguaje. Aqu se trata de que leancomprensivamente textos, de una o dos pginas de extensin, donde se entrega informacinrelevante para resolver el problema, y otra informacin que es importante para comprender elcontexto, pero que no es relevante para llegar a una solucin.

Otro aspecto importante son algunas nociones de Matemtica superior que estn incluidas enlos problemas, y que se pueden trabajar si el inters de los estudiantes va por ese lado, como porejemplo, la nocin de lmite y de fractal (Matemtica) y la idea de sucesin (Biologa).


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4 Esta actividad fue propuesta por el profesor cataln David Barba, de la Universidad Autnoma de Barcelona en una visita deestada en el Centro Comenius USACH en noviembre del 2003, donde tuvimos la grata oportunidad de discutir e intercambiarinformacin acerca de este y otros temas.

Antes de abordar el trabajo con los problemas, es muy importante que el profesor(a) los resuelvapor su propia cuenta, para calibrar bien la complejidad de la tarea y poder dar indicaciones msprecisas a las mltiples dudas y consultas que surgen de los estudiantes. Como siempre, no setrata de darles las respuestas directas o indicarles si est bien o mal lo que han realizado. Se tratade establecer dilogos productivos con los distintos grupos de trabajo y responder a sus preguntascon una contrapregunta.

Alumno(a): Profesor(a)... est bien as? Profesor(a): No s, qu piensas t? Alumno(a): Bueno, no s... usted es la que sabe. Profesor(a): Pero analiza la cifra de camiones obtenida, te parece razonable?

Es deseable que sean capaces de argumentar por s mismos la validez de su solucin. De todosmodos, a veces hay situaciones que los superan y eso puede afectar su motivacin por seguir enla tarea. Hay que estar atento a estas situaciones y calibrar cundo es necesario apoyarlos un pocoms.

Para comenzar el trabajo, se organiza el curso en grupos pequeos y se les entregan dos proble-mas: Buscando un modelo matemtico para la reproduccin humana y Gestin y manejo deresiduos slidos domiciliarios, para que los resuelvan con un apoyo importante del profesor(a).Ellos eligen con qu problema partir, pero deben resolver ambos. El profesor(a) los apoya, demodo que puedan captar la lgica del trabajo y las estrategias usadas para abordarlos. Eso fcil-mente puede tomar dos clases completas. Para finalizar esta actividad, se eligen grupos al azar

para que presenten al resto de la clase sus resultados y la forma en que abordaron los problemas.Esta debe ser una instancia rica de discusin donde el profesor(a) debe alentar el intercambio deideas y el anlisis acerca de la validez matemtica de los argumentos expuestos. Es importanteremarcar que aqu no existe una nica respuesta correcta, sino que depende de las consideracionesiniciales que se hayan realizado, por lo tanto, lo importante es el anlisis de las condiciones de

validez de la respuesta alcanzada.Este trabajo debe ser evaluado y calificado de acuerdo con las pautas dadas, lo que puede dar origena otra nota, o bien puede ponderarse con la nota de la segunda prueba sumativa que corresponderealizar una vez terminado el trabajo de resolucin de problemas. En esta evaluacin se sugieremirar distintos aspectos involucrados y no slo si la solucin dada es la correcta. Por supuestoque esto ltimo es importante y debe ser considerado, pero no es lo nico. Importa por ejemplo sifueron capaces de establecer o interpretar el modelo matemtico detrs del problema, la calidaddel informe, los procedimientos empleados en la solucin, la calidad de la argumentacin y eltrabajo desplegado en la clase.Para la discusin del problema de la divisin celular, un recurso interesante que debe considerar-se es simular el proceso con una hoja de papel en blanco, la cual se va doblando sucesivamenteen dos y se cuentan cuntos rectngulos quedan marcados en la hoja cada vez4. El modelo queexplica el nmero de rectngulos que quedan despus del doblez n-simo es 2n. En el siguientecuadro se muestra la secuencia:


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Figura N de dobleces N de rectngulos Potencia

0 1 20

1 2 21

2 4 22

3 8 23

4 16 24

... ... ... ...doblez n-simo n ... 2n

Como apoyos computacionales para este trabajo, se ha diseado una presentacin enPower Pointpara ilustrar el modelo de la divisin celular y la sucesin que se genera y, en el caso de la Gua16 Ingeniera y Medio Ambiente, se propone una planilla Excelpara construir las frmulasque requiere el problema. El trabajo con esta planilla puede ser realizado en el laboratorio decomputacin.


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Power Point Divisin Celular Planilla Excel Residuos slidos

Para la Gua 16 existen disponibles tres applets, especialmente diseados, los cuales facilitan eltrabajo con las actividades. Estos son los siguientes: Produccin de basura, Nmero de viajesy Diseo de cuadrilla.

Alternativamente, se han propuesto dos proyectos para trabajar en forma opcional: uno focaliza-

do en matemtica en el tema de fractales, y otro en acstica, centrado en el diseo de espaciosapropiados desde un punto de vista acstico. La lgica de trabajo con estos proyectos es la mismaque estaba propuesta para los problemas. Adems, se han considerado apoyos computacionales

para trabajar estos dos proyectos. En el caso de los fractales se dispone del sitio web Fractals:an introductory lesson, y para el de la acstica, la planillaExcelAcstica, para ser usada enel laboratorio de computacin.

Sitio web sobre fractales Planilla Excel Acstica

Actividad 10: Ensayo para la segunda prueba de lgebraPara esta actividad son vlidas todas las recomendaciones enunciadas en la actividad 6: Ensayo parala primera evaluacin, es decir, se sugiere un trabajo tanto individual como grupal para que todos

puedan aprender al intercambiar conocimientos. Antes de finalizar la sesin, se debern atendertodas las dudas que surgirn a medida que los estudiantes resuelvan el ensayo. Lo importante esque se aclaren para todos mediante una puesta en comn, donde se solucionen los problemas quehayan sido ms difciles para los alumnos(as).


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42 Unidad de lgebra

Actividad 11: Segunda evaluacin sumativa de lgebra

El trabajo en el tema de simplificacin de expresiones algebraicas, culmina con la segunda prue-ba sumativa, la cual es de seleccin mltiple y se focaliza en evaluar el dominio de tcnicas desimplificacin ms complejas que la primera prueba, y en la capacidad de resolver problemas einterpretar resultados en un contexto especfico.

Actividad 12: Relacin entre la aritmtica y el lgebra

El ltimo tema que corresponde abordar en esta unidad es la operatoria generalizada de cuocien-tes de expresiones algebraicas, esto es: sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Adems,se amplan las posibilidades de operatoria hacia las expresiones algebraicas con potencias deexponente entero.

Este tema no forma parte del ncleo de la unidad, no porque se le reste importancia, sino porque

el tiempo real disponible para abordar la unidad, en general, no permite llegar a este punto. Se haconsiderado ms importante focalizar el esfuerzo en la comprensin y manejo de la simplificacinde expresiones algebraicas y su aplicacin a la resolucin de problemas. De todos modos, se loha incluido, pues forma parte de los contenidos a tratar en el Segundo Ao Medio, de acuerdocon el programa oficial del MINEDUC.

El trabajo comienza estableciendo un paralelo entre las operaciones numricas bsicas que serealizan entre nmeros racionales, y aquellas que se realizan entre cuocientes de expresionesalgebraicas. La idea es que los alumnos(as) reflexionen acerca del hecho que las operacionesnumricas corresponden a casos particulares de las operaciones que se realizan con expresiones

algebraicas, siempre con la idea de mostrar el potencial que tiene el lgebra para generalizarsituaciones numricas.

En ese momento se propone realizar un trabajo en grupos pequeos, orientado a la comprensiny el anlisis, para culminar con una puesta en comn donde se revisa en la pizarra el trabajo rea-lizado. Para esta actividad no se sugiere hacer uso de apoyos informticos.

Actividad 13: Aplicacin de la operatoria algebraica

Otra idea que debe transmitirse es que si se tiene una operacin numrica, casi naturalmente se

puede encontrar para ella una expresin algebraica general en funcin de algunas variables es-cogidas. Lo fundamental es volver a insistir en la idea de visualizar las expresiones algebraicascomo representaciones generales de cantidades numricas, que su operacin es posible y obedecea las mismas propiedades que cumplen los nmeros que estn representando.


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Actividad 15: Operatoria con potencias de exponente entero

Para finalizar el trabajo de la unidad, se aborda el anlisis de las expresiones algebraicas queinvolucran potencias con exponentes enteros, y donde se aplican todas las reglas ya conocidas

para el trabajo con potencias numricas. Si el trabajo anterior con simplificacin de expresionesalgebraicas ha sido bien resuelto, entonces este tema no debera presentar mayores problemas

para los estudiantes, ya que se sigue la misma lgica, slo que ahora se trabaja con la operatoriade potencias.

Donde se presentan dificultades, es en aquellos desafos que implican desarrollar un anlisis dela situacin, y determinar qu ocurre bajo ciertas circunstancias especficas, como por ejemplo,cuando se eleva a 1 un nmero par, o si una expresin determinada crece o decrece al elevarsea una potencia negativa. La dificultad radica en la necesidad de generalizar resultados a partirde situaciones puntuales (justamente el potencial del lgebra), y expresarlos en forma resumidaen una pequea expresin simblica, pero cargada de informacin. Mencin especial merece lanecesidad de reconocer la caracterizacin general de los nmeros enteros pares o impares como,

2n o 2n +1, respectivamente, con n perteneciente a ZZ. Esto es importante para generalizar e in-terpretar resultados de expresiones con exponente par o impar.

En la Gua 27 se propone un trabajo de revisin y ejercitacin de las propiedades bsicas, asociadasa la opertoria de expresiones con exponente entero, con ejercicios donde el exponente genrico

puede ser un nmero cualquiera par o impar, lo que afectar el signo de la expresin si la base esnegativa. Tambin se abordan operaciones de expresiones algebraicas donde los exponentes sonnegativos, para lo cual es necesario aplicar correctamente las propiedades revisadas, simplificandosiempre al mximo la expresin resultante.

Para la Gua 28, en cambio, los estudiantes deben desarrollar un trabajo ms analtico, dondedeben enfrentar desafos y responder preguntas asociadas a la necesidad de generalizar resultadosa partir de las regularidades observadas.

La actividad se desarrolla en sala de clases, en parejas o grupos

profesor 2do medio 2008

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