prof. mariely gÓmez curvas de transiciÓn clotoide enlace

PROF. MARIELY GÓMEZ

CURVAS DE TRANSICIÓN

Clotoide Enlace



V: Vértice de la curva.

Δ : Angulo de deflexión.

α : Angulo entre rectas o tangentes.

O : Origen del circulo.

Өe : Angulo tangencial en el EC o CE.

γ : Angulo al centro del arco circular

Elementos:

Rc : Radio de la curva circular

TE : Unión tangente-espiral

EC : Unión espiral-círculo

CC : Centro de la curva circular

EC : Unión círculo-espiral

ET : Unión espiral-tangente

Le : Longitud espiral

Lc : Longitud arco de círculo

Xc, Yc : Coord. Rectangulares, EC o CE

Cl, φe : Coord. Polares, EC o CE

T: Subtangente de la clotoide

K : Abscisa del centro del círculo

U: Subtangente corta de la clotoide

N: Normal

G: Subnormal

D : Desplazamiento del círculo

TL: Tangente larga dla clotoide

Tt: Subtangente total (clotoide+círculo)



Fórmulas para el cálculo:• Los datos básicos son Rc, Le y ∆• La figura anterior muestra el arco de clotoide entre el TE y el EC• En un PSC situado a L metros del TE, se obtienen las siguientes fórmulas:

• Radio de curvatura en PSC=R

•En el EC (o CE) R = Rc

L

AR

L

LRR

LRLR

ALR

ALR

2

ec

ec

2ec

2

• Ángulo tangencial en un PSC = θ

• En el punto EC (o CE)

R2

L

A2

L

LR2

L

LR2

L

LR

dLLd

L

LRR

,R

dLd

2

2

2

ec

2

ec

ec

c

ee

2

2e

e

ec

2e

e

R2

LA2

L

LR2

L



Dividiendo θ entre θe se obtiene

Los valores de los ángulos están en radianes.

El Punto Característico: R=L=AEn este punto θ=L/2R=L/2L=0,5 radianes = 28ª38´52,4”

2

ee

2e

2

e

L

L

L

L

• Coordenadas Cartesianas de un PSC (X e Y)

2e

2

e

2e

2

e

2e

2

e

L

0

L

0

L

LsendLdY

L

LcosdLdX

L

L

dLsenY

dLcosX

sendLdY

cosdLdX


...936021610

1LX

...dLA2

L

!6

1dL

A2

L

!4

1dL

A2

L

!2

1dLX

dL....!6!4!2

1X

...!6!4!2

1cos

642

L

0

6

2

2L

0

L

0

4

2

22

2

2L

0

L

0

642

642

El desarrollo en serie de cosθ es:



...756001320423

LY

...dLA2

L

!7

1dL

A2

L

!5

1dL

A2

L

!3

1dL

A2

LY

dL....!7!5!3

Y

...!7!5!3

sen

753

L

0

7

2

2L

0

L

0

5

2

23

2

2L

02

2

L

0

753

753

Del mismo modo, el desarrollo en serie de senθ es:



En el punto EC (o CE) se cumple que:

Estando θe en radianes.

...756001320423

LY

...936021610

1LX

7e

5e

3ee

ec

6e

4e

2e

ec




• Coordenadas Polares de un PSC (Φ, C)

C = cuerda

• En el punto EC (o CE):X

Yarctan

X

Ytan

YXC 22

c

ce

c

ce

2c

2c

X

Yarctan

X

Ytan

YXCL

• Ubicación del arco circular: El centro del arco del círculo se puede ubicar respecto del TE (o ET) mediante las distancias K y Rc+D, donde: K= abscisa del centro del círculo D= desplazamiento del círculo o retranqueo Rc= radio del círculo

En la figura de la clotoide enlace se observa que:

En la misma figura se observa que:

ecc

ec

c

senRXK

senRAC

ACXK

ecc

eccc

cos1RYD

cosRYDR



Si en las ecuaciones anteriores se reemplaza Xc y Yc por las expresiones deducidas anteriormente, se desarrolla en serie el coseno y el seno de θe y se sustituye Rc =Le/2θe, se obtienen las siguientes expresiones:

La distancia D es el desplazamiento que debe efectuarse en la curva circular respecto de la tangente para poder introducir la clotoide.

Cuando D es muy pequeño, lo cual ocurre en curvas de radios muy grandes, la diferencia entre la curva circular simple y la curva con clotoide es muy pequeña. Normalmente se considera que cuando D≤0,10, la curva de transición tiene poca significación.

600.209.1840.1533612LD

...040.131160.2602

1LK

7e

5e

3ee

e

6e

4e

2e

e



• Ubicación del TE (o ET) En la figura clotoide enlace, se puede observar que:

Entonces:

2

tanDRAV

AVKT

c

T

K2

tanDRT cT

• Ubicación del CC

Entonces:

2cos

DROV

ROVE

c

c

c

c R

2cos

DRE

• Elementos del Arco Circular

180RL

2

cc

e



• Otros Elementos de la clotoide

GXT

UXT

tanYG

cos

YN

ancotYU

sen

YT

c

cL

ec

e

c

ec

e

cC



Enlace de transición total



Nomenclatura correspondiente a la clotoide de enlace:

V: Vértice de la curva.

K: Abscisa del centro del circulo.

Δ : Angulo de deflexión.

α : Angulo entre rectas o tangentes.

Өe: Angulo tangencial en el ECE.

γ: Angulo al centro del arco circular.

O : Centro del circulo

Rc: Radio de la curva circular.

TE: Unión Tangente - Espiral

ECE: Unión Espiral – Circulo - Espiral

ET: Unión Espiral - Tangente

Le: Longitud de clotoide TE – ECE (ECE – ET).

Xc, Yc: Coord rectangulares de ECE.

Cl, Φe: Coord polares de ECE.

D: Desplazamiento del circulo.

T: Subtangente de la clotoide.

TL: Tangente larga de la clotoide.

TC: Tangente corta de la clotoide.

U: Subtangente corta.

N: Normal.

G: Subnormal


Ejemplos.

1-. Rc =240 θe= 13°14´48”Calcule los elementos de la clotoide:

Entramos con “θe”

k = 0,339395 x 163,20 K = 55,39

l = 0,680 x 163,20 Le = 110,976

x = 0,676374 x 163,20 Xc = 109,94

y = 0,052206 x 163,20 Yc = 8.52

θ = 13°14´48” = θe



t = 0,688664x 163,20 T = 112.39

r = 1,470588 x 163,20 Rc = 240

d = 0,013076 x 163,20 D = 2.13

c = 0,678386 x 163,20 Cl = 110,71

Rc = A x r

A = Rc/ r (mantener fijo Rc)

A = 240/1,470588

A = 163,20

ф = 04°24´49” = фe


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