ecuación o ley de curvatura de la clotoide

ecuacioacuten que coincide con la (1 3) di la - correspon ente a espual de Euler en la que se relacionan la cunratura y la longItud recorrida de dicha curva

Resumien~o la trayectoria descrita por los vehiacuteculos que en un~ curva c1rculan a velocidad constante y cuyo volant~ es accIonado de tal fonna que el angulo d e guo aumente gradualmente cOIncIde con la espiral de Euler

CAPITULO 11

LA ESPIRAL DE EULER O CLOTOIDE

Ecuacioacuten o ley de curvatura de la clotoide

Sin entrar en consideraciones sobre la estabilidad proporcionada por las fuerzas de rozamiento transversal y la generada por la inclinacioacuten de la calzada o peralte es de conocimiento general que cuando un vehiacuteculo transita a velocidad constante por una curva circular de radio Ro la aceleracioacuten centriacutefuga (o transversal o radial) que actuacutea sobre eacutel tiene el siguiente valor

2 v a

e =shyR (2-1)

e

21

Figura 21 Curva de UCLU

Si la curva de

con la recta siguiente magnitud

Esta misma -amp

sera

En la recta no se presenta aceleracioacuten centrifuga ac=O yel incremento total de aceleracioacuten al pasar de la tangente a la curva corresponde a ~Re

Si el vehiacuteculo se desplaza por la tangente y se aproxima a una curva circular al llegar al pe experimenta un cambio suacutebito en la aceleracioacuten centrifuga lo mismo y por estar relacionados ocurre con el radio con la curvatura y demaacutes paraacutemetros o fenoacutemenos asociados situacioacuten semejante a la anterior se presenta en el PT cuando el vehiacuteculo sale de la curva circular Para que este cambio en la aceleracioacuten radial ~ en los demaacutes paraacutemetros asociados) se produzca en forma progresiva seraacute necesario disponer de un elemento entre la recta y el arco circular que proporcione los efectos deseados Si se pretende que la velocidad del vehiacuteculo se conserve que sea constante cualquiera que sea su posicioacuten en recta o en curva por observacioacuten de la ecuacioacuten anterior se deduce que dicho demento deberaacute pennitir de alguna manera una variacioacuten en el radio Lo deseable y lo que se busca es una variacioacuten constante progresiva uniforme o lineal en la aceleracioacuten radial al elemento o curva que se dispone para efecmar este cambio se le conoce como curva de transicioacuten

Si en el enlace entre la tangente y la curva circular de radio Re se dispone de una curva de tranSlCIOn de longitud Legt Figura 8 para que en dicha longitud la aceleracioacuten centriacutefuga pase de O (cero) a ~Re seraacute necesario que se produzca una variacioacuten de la aceleracioacuten por unidad de longitud (aceleracioacuten unitaria) dada por

22

I

tl 11

8

1

1

- ~- --- - - - --lo

iexcl - -- - - _ shy

TANGENTE

ORIGEN

t

En la recta no se presenta aceleracioacuten centrifuga ac=O y el incremento total de aceleracioacuten al pasar de la tangente a la curva corresponde a v2Re

Si el vehiacuteculo se desplaza por la tangente y se aproxima a una curva circular al llegar al pe experimenta un cambio suacutebito en la aceleracioacuten centrifuga lo mismo y por estar relacionados ocurre con el radio con la curvatura y demaacutes paraacutemetros o fenoacutemenos asociados situacioacuten semejante a la anterior se presenta en el PT cuando el vehiacuteculo sale de la curva circular Para que este cambio en la aceleracioacuten radial (y en los demaacutes paraacutemetros asociados) se produzca en forma progresiva seraacute necesario disponer de un elemento entre la recta y el arco circular que proporcione los efectos deseados Si se pretende que la velocidad del vehiacuteculo se conserve que sea constante cualquiera que sea su posicioacuten en recta o en curva por observacioacuten de la ecuacioacuten anterior se deduce que dicho elemento deberaacute permitir de alguna manera una variacioacuten en el radio Lo deseable y 10 que se busca es una variacioacuten constante progresiva uniforme o lineal en la aceleracioacuten radial al elemento o curva que se dispone para efectuar este cambio se le conoce como curva de transicioacuten

Si en el enlace entre la tangente y la curva circular de radio Re se dispone de una curva de transicioacuten de 10no1tud L

~ e

Figura 8 para que en dicha longitud la aceleracioacuten centriacutefuga pase de O (cero) a v2 Re seraacute necesario que se produzca una variacioacuten de la aceleracioacuten por unidad de longitud (aceleracioacuten unitaria) dada por

22

I 1 0 11

8

1l

1l

l -s

(

- shy-lt 1 bull

_ ~ _ _ bull - -le

T~A~NG~E~NTE~____bull ~ ----- -r

~ ORIGEN

Figura 21 Curva de transicioacuten entre la tangente y la curva circular

Si la curva de transicioacuten varia su radio de 00 en la tangente a Re en la curva para un punto cualquiera ubicado en ella y a una distancia 1 desde el inicio de la curva punto de contacto con la recta experimentaraacute una aceleracioacuten centrifuga de la siguiente magnitud

Esta misma aceleracioacuten en funcioacuten de la aceleracioacuten unitaria sera

23

Igualando los teacuterminos de la derecha de las dos expresiones anteriores se obtiene

2 V

R

cancelando ~ en ambos lados y ordenando se llega a

Por ser Re Y Le constantes su producto es tambieacuten una constante a la que para mayor facilidad en los caacutelculos se le acostumbra denominar por K2

quedando la expresioacuten antenor en

(2-2)

a esta relacioacuten se le conoce como ecuaClOn o ley de curvatura de la Clotoide o espiral de Euler y dice que el radio R en un punto cualquiera variacutea en proporcioacuten inversa a la distancia l desde el origen o lo que es lo mismo el producto del radio R por la distancia l desde el origen es constante e igual a K2

Tambieacuten aunque el radio y la longitud en los distintos puntos de la espiral tienen diferentes valores eacutestos estaacuten ligados entre siacute de modo que su producto es un valor constante pudieacutendose calcular faacutecilmente uno de ellos cuando se conoce el otro

El paraacutemetro K es un indicador de la forma de la espiral si su valor es pequentildeo indica que la espiral es maacutes cerrada que

24

otra cuyo paraacutemetro sea maacutes grande En cierta fonna K tiene un significado semejante al del radio R en las curvas circulares a mayor K en la transicioacuten y a menor K corresponde - -lQ

Homotecia O se

El paraacutemetro K clotoide y se obtiene longitud del arco curvatura o sea clotoide de K=12 siempre seraacute igual a obtiene en el longitud de la

Punto K K2 Origtn 12 144 o

1 12 144 1 2 12 144 2 3 12 144 4 12 144 5 12 144 6 12 144 7 12 144 8 12 144 9 12 144

Ig~alando los teacuterminos de la derecha de las dos expresiones antenores se obtiene

otra cuyo paraacutemetro sea maacutes grande En cierta foona K tiene un significado semejante al del radio R en las curvas circulares a mayor K mayor suavidad en la transicioacuten y a menor K corresponde una transicioacuten maacutes forzada

Homotecia O semejanza de las espirales

El paraacutemetro K es siempre constante para una misma clotoide y se obtiene en un punto para el cual el valor de la

cancelando ~ en ambos lados y ordenando se liega a

Por ser Rc Y Le constantes su producto es tambieacuten una constante a la que para mayor facilidad en los caacutelculos se le acostumbra denominar por K2

quedando la exp~esioacuten an terior en

(2-2)

a esta relacioacuten se le conoce como ecuaClOn o ley de cu~atura de la Clotoide o espiral de Euler y dice que el radi~ R ~n un punto cualquiera variacutea en proporcioacuten inversa a la distanCIa l desde el origen o lo que es lo mismo el producto del radio R por la distancia 1 desde el origen es constante ~ igual a K

2 Tambieacuten aunque el radio y la longitud

en los distlntos puntos de la espiral tienen diferentes valores eacutestos estaacuten ligados entre siacute de modo que su producto es u~ valor constante pudieacutendose calcular faacutecilmente uno de ellos cuando se conoce el otro

El paraacutemetro ~ esun indicador de la forma de la espira~ si su valor es pequeno illdica que la espiral es maacutes cerrada que

24

longitud del arco desde el origen hasta eacutel es igual al radio de curvatura o sea cuando l=Roacute por ejemplo para una clotoide de K=12 el producto del radio por la longitud siempre seraacute igual a 144 (K) el valor del paraacutemetro K=12 se obtiene en el punto parameacutetrico o sea donde el radio y la longitud de la curva son iguales Figura 22

Punto K K2 1 R ~ I 1I l~l

Origen 12 144 O 8 iD 1 12 144 1 144 I

2 12 144 2 72 ~ ~

3 12 144 4 36 4 12 144 9 18

S 12 144 12 12 6 12 144 18 9

7 12 144 36 4 8 12 144 72 2 9 12 144 144 1 0

7o l1~~~--middotmiddotmiddot - _---- ---shy

2 3 4 5ORIGEN iexcl

Figuta 22 Espiral de Euler o c1otoide de paraacutemetro K = 12

25

El punto para el cual se cumple R=l=K se llama punto parameacutetrico

Todas las variedades de clotoides se obtienen por variacioacuten del paraacutemetro K lo cual significa que todas las clotoides son semejantes u homoteacuteticas y por tanto se pueden obtener los elementos de una clotoide a partir de los elementos de otra utilizando como relacioacuten de semejanza la relacioacuten de sus paraacutemetros en conclusioacuten todas las espirales de Euler o clotoides son iguales entre siacute pero se diferencian por su tamantildeo y se pueden designar por su longitud o por la magnitud de su paraacutemetro K a mayor paraacutemetro corresponde una variacioacuten maacutes lenta de la curvatura Figura 23

Y ~

= 4

K =

K =8

A=ll1__- -_ _ __ _ _ bull -_ bull

Figura 23 Semejanza u homotecia de las clotoidcs

26

La evoluta de la espiral se muestra en la Figura 10 es el lugar geomeacutetrico de los centros de los radios de curvatura

Obtencioacuten del paraacutemetro k y del aacutengulo central ee de la espir~a~I _____----shy

De la

donde total de la

Tambieacuten longirud y extremos de

reemplazando ecuacioacuten (2-2)

ecuacioacuten que al

reemplazando K2


Todas las variedades de clotoides se obtienen por variacioacuten del paraacutemetro K lo cual significa que todas las clotoides son semejantes u homoteacuteticas y por tanto se pueden obtener los elementos de una clotoide a partir de los elementos de otra utilizando como relacioacuten de semejanza la relacioacuten de sus paraacutemetros en conclusioacuten todas las espirales de Eu1er o clotoides son iguales entre siacute pero se diferencian por su tamantildeo y se pueden designar por su longitud o por la magnitud de su paraacutemetro K a mayor paraacutemetro corresponde una variacioacuten maacutes lenta de la curvatura Figura 23

~lL-____ _______ _______ __oo __ __ __ __ _ ___ _ ___ ___ _ ___

K = 8

=___ __

Figura 23 Semejanza u homotecia de las clotoides

26


Obtencioacuten del paraacutemetro k Y del aacutengulo central ee de la espiral

De la ecuacioacuten (2-2) R 1=K2 se puede obtener el

paraacutemetro de la espiral cuando se conoce la longitud y el radio en el extremo en efecto

donde Re es el radio de la curva circular y Le es la longitud total de la espiral

Tambieacuten es posible obtener el paraacutemetro K a partir de la longitud y del aacutengulo e que forman las tangentes en los extremos de la espiral de la Figura 24 se obtiene

di == R dO

reemplazando el valor de R de la relacioacuten de curvatura

ecuacioacuten (2-2) y despejando de se llega a

I dI dO =-2

K

ecuacioacuten que al integrarse queda en

El en radianes (2-3)

K2reemplazando por Rc Le obtenido en la ecuacioacuten (2-2)

27

--

e en radianes (2-4)

K2o reemplazando por R 1 obtenido tambieacuten de la ecuacioacuten (2-2) en la (2-3)

1 B=- e en radianes (2-5)

2R

Las ecuaClOnes (2-3) (2-4) Y (2-5) para e=ec y I=Lc quedan

L 2 IB =_e_ ee en radianes (2-6)2 K 2t

LB=-- ee en radianes (2-7) e 2 Re

En las cinco ecuaciones anteriores para obtener los aacutengulos e y ee en grados sexadecimales deberaacute multiplicarse por 180degIn

Para el punto parameacutetrico K=I=R se obtiene el aacutengulo parameacutetrico ep =05 radianes oacute ep =2864789deg o ep =28deg38 524

Ecuaciones parameacutetricas de la clotoide

Las ecuaciones parameacutetricas de la clotoide estaacuten referida~ al sistema de coordenadas cartesianas con origen en el punto inicial de la espiral punto de contacto de la espiral con la

28

tangente el eje de las x coincide con la rmsma y obviamente el eje de las y es perpendicular

y

se j8

8

TE

Figura 24

En el triaacutengulo aacutengulo que hace ortogonales entre siacute

al in tegrar 1=0 se obtiene

9 en radianes (2-4)

K2 o reemplazando por R 1 obtenido tambieacuten de la ecuacioacuten (2-2) en la (2-3)

O=_i_ 9 en radianes (2-5)2R

Las ecuaClones (2-3) (2-4) Y (2-5) para 9=g y 1=L quedan e

e

) ge en radianes (2-6)

O=~ ge en radianes (2-7)e 2 R e

En las cinco ecuaciones anteriores para obtener los aacutengulos

9 y ge en grados sexadecimales deberaacute multiplicarse por 180degIn

Para el punto parameacutetrico K=I=R se obtiene el aacutengulo parameacutetrico 9p =05 radianes o 9p =2864789deg o 9p =28deg38 524


Las ecuaciones parameacutetricas de la clotoide estaacuten referida~ al ~l~t~ma de coorenadas cartesianas con origen en el punto 1tl1clal de la esplal punto de contacto de la espiral con la

28

tangente el eje de las x coincide con la tnlsma y obviamente el eje de las Y es perpendicular

y

He middotmiddot d 8 iexcl- _

8~-

EC

_ lt- X TE

Figura 24 Sistema de coordenadas cartesianas para la c1otoide

En el triaacutengulo diferencial de la Figura 24 se observa que el aacutengulo que hace dl con dx es 9 por tener los lados ortogonales entre siacute Por tanto

dx =di CosO y dy =di SenO

al integrar teniendo como origen de coordenadas el punto 1=0 se obtiene

x = idl CosO y y = Idl SenO

29

Puesto que el seno y el coseno son funciones con valores cercanos a cero sus desarrollos en series de McClaurin las cuales son expansiones de f(x) en potencias de x se pueden utilizar para integrar las ecuaciones antenores Las expansiones para dichas funciones son

(2-8)

(2-9)

0 7 0 4(j fI (jSenO=O--3+--- + y CosO =1--+shy

1 5 7 2 4

reemplazando los valores antenores para Sene cose y el [2

obtenido anterionnente para e en la ecuacioacuten (2-3)

se obtienen las siguientes ecuaciones

2 2 2

1 ( 1 J2 1 ( 1 J4 1 ( 1 J6 x= 1---- +--- ---- + di() 2 62 K 2 4 2 K 2 2 K 2 bullbullbull

e integrando

1 ( 2 ) 2 1 (2)4 1 (2)6 Ix=[1-5x2 2K2 +9x4 2K2 -13x6 2K2 + I

I 1 ( 1

2 ) 1 ([2) 3 1 ([2) 5 1 (2) 7 I

Y = [ 3 2K2 - 7x3 2K2 + Ilx5 2K2 -15x7 2K2 +

2 reemplazando nuevamente 2 K 2 por e se obtiene

30

Puesto que el seno y el coseno son funciones con valores cercanos a cero sus desarrollos en series de McClaurin las cuales son expansiones de f(x) en potencias de ~ se pueden utilizar para integrar las ecuaciones anteriores Las expansiones para dichas funciones son

(j (j (J7 (j (J4Sen(J (J--+--- + y Cos(J =1--+shy3 5 7 2 4

reemplazando los valores anteriores para Sene Cose



2 2 2r 1 ( 1 J2 1 ( 1 J4 1 ( 1 ) 6 X = jiexcl (1)- 2 2 K2 + 4 2 K2 - 6 2 K2 + dI

e integrando

iexcl2 reemplazando nuevamente 2 K 2 por ese obtiene

30

(2-8)

(2-9)

Las anteriores son las ecuaciones en funcioacuten de la longitud que deflnen la espiral de Euler referidas al sistema de coordenadas mostrado en la Figura 24 si en ellas se

reemplaza 1 por K J20 valor deducido de la ecuacioacuten (2shy4) se obtienen las siguientes ecuaciones que deflnen la espiral en funcioacuten del paraacutemetro K

(2-10)

(2-11 )

En las ecuaciones anteriores el aacutengulo e estaacute en radianes y eacutestas son vaacutelidas para valores pequentildeos de e laquo1t) para valores maacutes grandes o para obtener mayor precisioacuten deberaacute incluirse un nuacutemero mayor de teacutenninos ( a partir de los teacutenninos de las series del seno y del coseno)

En las ecuaciones (2-8) a (2-11) para valores de emenores a 60deg y para la mayoriacutea de las aplicaciones son suficientes los tres primeros teacutenninos y despreciables los demaacutes

31

Las plantillas para el disentildeo geomeacutetrico de viacuteas y su confeccioacuten

En el disentildeo geomeacutetrico de viacuteas en todo tipo de terreno las labores de disentildeo y de dibujo pueden hacerse maacutes faacuteciles raacutepidas y sencillas mediante el uso de computadoras calculadoras programables y plantillas auxiliares Dichos elementos son excelentes herramientas de trabajo para el disentildeador de carreteras y representan una considerable economiacutea de tiempo al ejecutar el proyecto

Se recomienda el empleo de plantillas con la fInalidad de que la metodologiacutea de disentildeo sea flexible y se acomode con facilidad la liacutenea del proyecto a los contornos de la topografiacutea existente en el sector de acuerdo a las especificaciones que lo ngen

La praacutectica de proyectar previamente un trazado con curvas circulares y luego adaptarlo para hacer posible la colocacioacuten de curvas con espirales no es recomendable debido a que el proceso no solamente es maacutes laborioso sino que puede alterar el proyecto original especialmente cuando sean necesarias transiciones largas ello obliga a trasladar en una distancia apreciable el eje del trazado o a cambiar el radio de las curvas inconvenientes que pueden reducirse por medio del disentildeo con ayuda de las plantillas

Teniendo en cuenta que las espirales de Euler son homoteacuteticas al detenninar las coordenadas Xl Yl por medio de las ecuaciones (2-10) y (2-11) para una espiral de paraacutemetro KI se obtienen las coordenadas Xn yn para cualquier otra espiral de paraacutemetro ~ multiplicando las primeras por la relacioacuten ~Kl es decir

32

y

Con el coordenadas obtenerse

ecuaoones K con nueve

Y =K 7i~-I 113-11

Con

presentan A partir de antes las dichos calculado

- -- - - --

Las plantiUas para el disentildeo geomeacutetrico de viacuteas y su confeccioacuten


Se recomienda el empleo de plantillas con la fmalidad de que la metodologiacutea de disentildeo sea flexible y se acomode con facilidad la liacutenea del proyecto a los contornos de la topografiacutea existente en el sector de acuerdo a las especificaciones que lo ngen


Teniendo en cuenta que las espirales de Euler son homoteacuteticas al determinar las coordenadas Xl Yl por medio de las ecuaciones (2-10) y (2-11) para una espiral de paraacutemetro Kl se obtienen las coordenadas xo Yo para cualquier otra espiral de paraacutemetro ~ multiplicando las primeras por la relacioacuten ~Kl es decir

32

-

Kx =-x (2-12) K 11

(2-13)y

Con el fin de dar una mayor precislOn tanto a las coordenadas y a los datos que a partir de ellas p~en obtenerse como a los dibujos de las curvas a traves de dispositivos electroacutenicos computadoras o calculadoras programables en el caacutelculo de los diferentes elementos de las espirales o para la confeccioacuten de plantillas ~e han ob~do las ecuaciones de la espiral de Euler en funClOO de su parametro K con nueve teacuterminos Las ecuaciones son

Con estas ecuaciones se han calculado las coordenadas xtYt para la espiral de paraacutemetro 1 K=1 las cuales se presentan (en miliacutemetros y para escala 1~()()O) en el Anexo 1 A partir de dichas coordenadas se obtlen~ com~ ~e diJo antes las coordenadas para cualquier espiral multlplicando dichos valores por el de su paraacutemetro De esta fonna se han calculado las coordenadas x 45Y45 y ~Y60 para las espirales de paraacutemetros K=45 y K=60 (en miliacutemetros y para escala 11000) las cuales tambieacuten se consignan en el Anexo 1

En la Figura 25 se presentan los graacuteficos correspondientes a las espirales de K=45 y K=60 en escala 11000

33

K=45 ~ 11000

- ~ ~ ~ Y

~ loSmiddotmiddotmiddot middot middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot - Clj~

-1

AS~

~ Ql -_ _---

~ ___~

3i)()- shy _ _- _ ~eo- ~-

-En __ -30-- - ~ -- middot4-(o-

400---middot _ _-__ --middot30amp middot middot- _ _-_- _

0)_ ~_ O

_-0

~

tJ middot40

~~-30 _ --shy

f

__-_

-shy

-

K=60 11000

Figura 25 Plantillas espirales de Euler K=45 y K=60 escala 11000

34

En la obtencioacuten manual de las curvas para la confeccioacuten de las plantillas se recomienda que el dibujo se haga con extremada precisioacuten a la deacutecima de miliacutemetro Se obtiene mayor precisioacuten faacutecil elaborarlas para cualquier

escala a traveacutes

van aumenta resultados

Entre

que un v la tange suficiente pasajeros fuerza ce de facili

condici anteno de la es

--

K=45 11000

~

~

t~ middotmiddot middotmiddot -- -

AI)0 -shy

----shy10amp-_ __ -1)

-3tl(tmiddot- - -- AS~ ~8(t-_ __o

1e-middotmiddotmiddotmiddot

__raquo -_- _ _ middotmiddot--30middotmiddot -middotmiddotu -400

_ bull bull Alt bullbull----

_ 11)0- _ _-_ bull -

middot-30ampmiddot -middotmiddot _ bull_~ -_ ~_

~ _--_ ~_

jQ

- -40 -3Gmiddot middot

K=60 11000


34

En la obtencioacuten manual de las curvas para la confeccioacuten de las plantillas se recomienda que el dibujo se haga con extremada precisioacuten a la deacutecima de miliacutemetro Se obtiene mayor precisioacuten y es maacutes faacutecil elaborarlas para cualquier escala a traveacutes de programas de dibujo por computadora

Con estas mismas ecuaciones es posible la obtencioacuten de la espiral en su totalidad tal como se muestra en la Figura 16 Es de anotar que para la obtencioacuten de eacutesta debe t nerSe cuicado con los resultadosdebido a la mayor 1rnportancia que

van adquiriendo los_ teacuterminos de la derecha L medida que e aumenta De no tenerse en cuenta lo anterior se obtendraacuten --- shyresultados que no corresponden a la espiral

Longitud miacutenima de la espiral

Entre otras una de las funciones que debe cumplir la curva de transicioacuten es la de proporcionar una longitud adecuada para que un vehiacuteculo transitando a la velocidad de disentildeo pase de la tangente a la curva circular en un tiempo considerado suficiente para que no se reduzca su seguridad y para que los pasajeros no experimenten molestias por la aparicioacuten de la fuerza centrifuga o empuje lateral Otra de las funciones es la de facilitar el cambio gradual del desarrollo de una seccioacuten en bombeo a otra en peralte debe ser lo suficientemente larga para permitir que la pendiente del borde exterior de la calzada con respecto a la linea media de la misma tenga un valor maacuteximo establecido el cual no debe sobrepasarse en siacutentesis la translClOn del peraltado debe hacerse satisfaciendo condiciones de seguridad comodidad y apariencia Los anteriores son tres de los criterios para establecer la longitud de la espiral

35

Mientras no se diga lo contrario los siguientes criterios se aplican a carreteras de dos carriles sin separador central

De acuerdo a la variacioacuten de la aceleracioacuten

F-W=mar r IT

D de a es la aceleracIoacuten radial residual on cr

(1)

wcentrifuga - Condicioacuten de comodidad o de confort

El objetivo que se busca como se establecioacute anterionnente es el de lograr que la aceleracioacuten centrifuga se introduzca en una fonna gradual

Un vehiacuteculo en una recta no sufre runguna accioacuten transversal del anaacutelisis de la dinaacutemica del vehiacuteculo en una curva peraltada se deduce que su equilibrio se modifica considerablemente no solo por la aparicioacuten del peralte tambieacuten y mucho maacutes por la aparicioacuten de la fuerza centriacutefuga dicha fuerza se disminuye por accioacuten de la componente transversal del peso del vehiacuteculo Figura 26 de esta fonna la resultante de la fuerza centriacutefuga que actuacutea sobre el vehiacuteculo es

Fr

1 _~ Wr--- - ~ ~ ifiexclrr---~ - - IIIL_ -~Tana= e

ex

Figura 26 Fuerza centrifuga residual o no compensada

36

suficiente para que la com onentSi el peralte fuera del peso igualara Fr los pasajero solicitacioacuten (correspon compensada) ademaacutes de

De la Figura

reemplazando

Dividiendo por

Pero Tana = e

----

Mientras no se diga lo contrario los siguientes criterios se F-W = mar cr

aplican a carreteras de dos carriles sin separador central

De acuerdo a la variacioacuten de la aceleracioacuten centrifuga - Condicioacuten de comodidad o de confort

El objetivo que se busca como se establecioacute anterionnente es el de lograr que la aceleracioacuten centriacutefuga se introduzca en una fonna graduaL

Un vehiacuteculo en una recta no sufre runguna aCClOn transversal del anaacutelisis de la dinaacutemica del vehiacuteculo en una curva peraltada se deduce que su equilibrio se modifica considerablemente no solo por la aparicioacuten del peralte tambieacuten y mucho maacutes por la aparicioacuten de la fuerza centriacutefuga dicha fuerza se disminuye por accioacuten de la componente transversal del peso del vehiacuteculo Figura 26 de esta fonna la resultante de la fuerza centrifuga que actuacutea sobre el vehiacuteculo es

ex e -----

1 ~Tanex= e I

-JJ

ex


36

D nde acr es la aceleracioacuten radial residual o

Si el peralte fuera suficiente para que la componente Wr

del peso igualara ella sola la totalidad de la fuerza centriacutefuga Fr los pasajeros no experimentariacutean ninguna impresioacuten de solicitacioacuten radial La aparicioacuten brutal de la fuerza macr

(correspondiente a la parte de la aceleracioacuten centriacutefuga no compensada) es lo peligroso para la estabilidad del vehiacuteculo y ademaacutes de molesto para los pasajeros

De la Figura 26 se deduce

F = FCosa y W r =WSena

reemplazando estos valores en la ecuacioacuten (1 ) se obtiene

F Cosa - W Sena = macr

Dividiendo por Cosa

m acr F - W Tana = ------shyCosa

Pero Tana = e y para aacutengulos pequentildeos Cosa 1

F - We = m a cr

mae -mge=macr

37

Para un radio R

V2R - g e es la aceleracioacuten solicitante en sentido radial cuando un vehiacuteculo circula por una curva de radio R con peralte e

Si el vehiacuteculo recorre la curva de transicioacuten en un tiempo t

y a velocidad constante V el incremento promedio de la aceleracioacuten radial ac t sera

t t

crPero t = LIv Ydenominando a por e (variacioacuten de

la-aceleracioacuten radial por unidad de tiempo) con lo cual se llega a

Despejando Le

En esta expresioacuten entrando la velocidad en m s el radio en metros y ec en tanto por uno se obtendraacute la longitud de la

38

espiral en metros Para entrar la velocidad en Kmh y obtener la misma longitud en metros se tendraacute

Ex

disentildeo 12 ms2

Para un origen a la Smimoff

En caso ecuaClOn

~_ F

Para un radio R

V2IR - g e es la aceleracioacuten solicitante en sentido radial

cuando un vehiacuteculo circula por una curva de radio R con peralte e

Si el vehiacuteculo recorre la curva de transicioacuten en un tiempo t y a velocidad constante V el incremento promedio de la aceleracioacuten radial acJ t sera

t t

Pero t = LIv y denominando aci por C (variacioacuten de

la aceleracioacuten radial por unidad de tiempo) con lo cual se llega a

- g e C=_R---c___

Le V

Despejando Le

En esta expresioacuten entrando la velocidad en mIs el radio en metros y ec en tanto por uno se obtendraacute la longitud de la

38


V (V 2

gt - -127e J (2-16)Le - 4666 e Re e

Experimentalmente se ha comprobado que la variacioacuten de la aceleracioacuten radial por unidad de tiempo o constante e debe tener un valor en carreteras entre 03 y 09 ms3 de acuerdo al grado de comodidad que se desee proporcionar La praacutectica tambieacuten ha demostrado que este valor en ferrocarriles debe estar cerca a 03 mI S2 y en viacuteas de baja velocidad de disentildeo variaraacute de acuerdo con ella hasta un valor maacuteximo de 12 ms2

Para un valor de C=041 mI S3 la expreslon (2-16) da origen a la siguiente ecuacioacuten conocida como Foacutermula de Smimoff

V [V2

)L gt - - - - 127 ec (2-] 7) e - 19 R

e

En caso de que no se tenga en cuenta el peralte la ecuacioacuten (2-16) se convierte en

(2-18) Le iquest 4666 e Re

Expresioacuten obtenida en 1909 por W H Shortt para la longitud miacutenima de la espiral que se deberiacutea emplear en

39

ferrocarriles razoacuten por la cual se le conoce como Foacutermula de Shortt y a la foacutennula de Smimoff ecuacioacuten (2-17) tambieacuten se le denomine Foacutermula de Shortt modificada

En deftnitiva el valor actual maacutes recomendado para C es de 06 m82 igual al propuesto por Joseph Bamett en 1940 el cual al ser reemplazado en la foacutennula de Short4 produciraacute la Foacutermula de Bamett

v3

L gt-shy (2-19)e - 28 R

e

De acuerdo a la transicioacuten del peralte shyCondicioacuten de alabeo

En la Figura 27 el peralte se hace variar gradualmente desde O (cero) en A hasta ec en B la calzada se ha rotado alrededor del eje

I

D __ _ - -- shye ECA

B -ril middotmiddotmiddot middot - - - -lec

_ 4 - bull _ _ bull - __ ______ _ _ _ _ __ _ _ _

A Le C

Figura 27 Longitud miacutenima de la espiral de acuerdo a la transicioacuten del peralte

40

Considerando los triaacutengulos ABC y BCD se obtienen las dos relaciones siguientes

AC 1 BC e CD --- ---c AC=-eBe m

y CD 1 m c

CD=a ancho de carril y AC=Lc

I

I 1

t

---

ferrocarriles razoacuten por la cual se le conoce como Foacutennula de Shortt y a la foacutermula de Smimoff ecuacioacuten (2-17) tambieacuten se le denomine Foacutennula de Shortt modificada

En defmitiva el valor actual maacutes recomendado para C es2de 06 m8 igual al propuesto por Joseph Bamett en 1940 el cua4 al ser reemplazado en la foacutermula de ShoItt produciraacute la Foacutennula de Bamett

(2-19)

De acuerdo a la transicioacuten del peralte _ Condicioacuten de alabeo

En la Figura 27 el peralte se hace variar gradualmente desde O (cero) en A hasta ee en B la calzada se ha rotado alrededor del eje

B

o EC

13e

B

o A C EC

B ~ ~ middotrntilde middot Ec

~ - I~ - _ middot 1 A Le

Figura 27 Longitud miacutenima de la espiral de acuudo a la transicioacuten del peralte

40

Considerando los triaacutengulos ABe y BCD se obtienen las dos relaciones siguientes

CDAC AC=-ey m eBC m CD 1

CD=a ancho de carril y AC=Le

a ecL gtshye shy m

donde m es la pendiente del borde exterior con respecto al eje en tanto por uno

Empiacutericamente y teniendo en cuenta las apariencias de las transiciones la AASHTO ha estableCIdo para V1aS de dos

I carriles el siguiente valor para m

m = 15625(V) + 75

Por lo tanto la longitud Le de la espiral debe ser

(2-20)

relacioacuten en la cual la velocidad V debe entrarse en Kmh a es el ancho dd carril y ee el peralte en la curva circular

Por razones de esteacutetica - En curvas de gran radio

Tambieacuten se aconseja por razones de esteacutetica la utilizacl~n de curvas de transicioacuten para que la apariencia en los cambIOS de alineamiento no incomode oacutepticamente a los conductores El ojo humano es extremadamente sensible a las variaciones

41

bruscas del grado de curvatura en este caso cuando se sale de la recta y se entra en un ciacuterculo o viceversa ya que da al conductor la sensacioacuten de que la carretera ha sido quebrada sensacioacuten que se incrementa si ademaacutes existe una inadecuada combinacioacuten con el alineamien to vertical

Si en las curvas de gran radio (Rgt 1 000 m) de carreteras de altas especificaciones como autopistas uacutenicamente se tienen en cuenta las condiciones impuestas por la transicioacuten del peralte y por el cambio en la aceleracioacuten centriacutefuga la perspectiva del borde de la calzada presentariacutea un efecto de bisel muy desagradable a la vista Bajo estas condiciones el desplazamiento de la curva circular puede resultar insignificante y posiblemente no justificariacutea el uso de espirales por lo que se considera que un aacutengulo miacutenimo de deflexioacuten de la espiral de 30 9 produce un aumento conveniente en dicho desplazamiento y evita el efecto antes mencionado

El valor recomendado para el aacutengulo de desviacioacuten en el punto de tangencia con la curva circular debe ser como miacutenimo de 35 grados centesimales (3150 oacute 30 09 )

Despejando Le de la ecuacioacuten (2-7)

B en radianes

Reemplazando Be por el miacutenimo valor admisible

De acuerdo a la recomendacioacuten de la AASHTO La AASHTO dice que independientemente del peralte el

uso de longitudes de transicioacuten inferiores a la distancia recorrida por un vehiacuteculo en 2 segundos a la velocidad de disentildeo evitan los bordes abruptos en los perftles y mejoran la apariencia general Por tal razoacuten no son recomendables el uso de valores inferiores a eacutestos

obtener la longitud mlfllffia en metros _~lir nt-A rIt~ L 1shy ___ I~ __

quedando R

L gt ~ (2-21 )e - 9

42

bruscas del grado de curvatura en este caso cuando se sale de la recta y se entra en un ciacuterculo o viceversa ya que da al condu~~or la sensacioacuten de que la carretera ha sido quebrada sensaCIon que se incrementa si ademaacutes existe una inadecuada combinacioacuten con el alineamiento vertical

Si en las curvas de gran radio (Rgt 1 000 m) de carreteras de altas especificaciones como autopistas uacutenicamente se tienen en cuenta las condiciones impuestas por la transicioacuten del peralte r por el cambio en la aceleracioacuten cen triacutefuga la perspectIva del borde de la calzada presentariacutea un efecto de bisel muy desagradable a la vista Bajo estas condiciones el middot ~e~pl~zamiento de la curva circular puede resultar InsIgmficante y posiblemente no justificariacutea el uso de espirales por lo que se considera que un aacutengulo miacutenimo de de flexioacuten de la espiral de 3deg 9 produce un aumento conveniente en dicho desplazamiento y evita el efecto antes mencionado

El valor recomendado para el aacutengulo de desviacioacuten en el pun to de tangencia con la curva circular debe ser como miacutenimo de 35 grados centesimales (315deg oacute 3deg09 )


B en radianes


quedando

L gt Re e - 9 (2-21 )

42



Para obtener la longitud rrumma en metros independientemente de cualquier otro criterio de la espiral que debe usarse en una carretera con una velocidad de disentildeo dada en kiloacutemetros por hora bastaraacute dividir eacutesta por middot 18 Y el resultado se podraacute aproximar al muacuteltiplo de 5 metros maacutes proacuteximo El valor de 18 se obtiene multiplicando por 2 el resultado de la conversioacuten de unidades

En curvas de radio muy pequentildeo - De acuerdo a la transicioacuten del sobreancho

Cuando se trata de curvas de radio rruacutenimo para ser recorridas a muy baja velocidad la curva no puede ser sensiblemente peraltada (si se trata de un cruce) y las aceleraciones normales son despreciables por lo que las preocupaciones para justificar los enlaces de curvarura continua desaparecen En este caso la necesidad de introducir progresivamente el sobreancho obliga a trazar el borde interior de la calzada con una curva espiralizada o de curvarura progresiva El estudio teoacuterico del movimiento en una curva de pequentildeo radio de un vehiacuteculo de cuatro ruedas demuestra que especialmente si el giro es raacutepido las ruedas posteriores siguen una trayectoria de curvatura progresiva En el caso de un vehiacuteculo articulado (camioacuten + semirremolque) las condiciones de entrada y de salida de una curva son muy diferentes y se obtienen para las curvas que determinan el gaacutelibo una forma rusimeacutetrica El disentildeador debe tener en

43

_--shycuenta estas consideraciones al proyectar una curva de enlace especialmente cuando dispone de poco espacio debido por ejemplo a obstaacuteculos construcciones etc Esto obliga a trazar el borde interior de la calzada en foona de un arco de ciacuterculo central con dos curvas de enlace

La AASHTO da recomendaciones para el valor miacutenimo que debe tener el radio del arco cen tral de acuerdo al aacutengulo de deflexioacuten y al tipo de los vehiacuteculos Tambieacuten considera que en las curvas con transicioacuten el sobreancho puede hacerse en el borde interior de la curva o puede dividirse por igual entre el borde interior y el borde exterior dicha transicioacuten debe realizarse en una longitud lo suficientemente larga para que la calzada pueda ser utilizada totalmente Desde el punto de vista de la utilidad y apariencia el borde de la calzada en la transicioacuten del sobreancho debe ser una curva suave continua y deben evitarse los quiebres tangenciales

El MOPT considera que la aplicacioacuten del sobreancho deberaacute efectuarse en el borde interior de la curva y recomienda los valores que eacuteste debe tener de acuerdo con el radio de curvatura el ancho de la calzada y la velocidad de disentildeo para lograr la utilizacioacuten oacuteptima del sobreancho y una mejor apariencia de la carretera considera la necesidad de distribuirlo sobre el tramo de transicioacuten del peraltado suavizando todo aacutengulo pronunciado que se presente

En las curvas con espiral se coloca la tranSicioacuten del sobreancho entre el TE y el EC a continuacioacuten entre el EC y el CE se coloca en su totalidad y de nuevo la transicioacuten de salida se efectuacutea entre el CE yel ET

La transicioacuten del sobreancho por medio de espirales a la entrada y a la salida de las curvas adecuadamente disentildeadas

44

garantizan un alineamiento continuo en los bordes de la calzada

En curvas de violiacuten o curvas bombillo de carreteras en terreno n tAlrAno___~

escarpado Para trazar una carretera

tramos de pendientes f por medio de trayectos curvas con deflexiones de el espacio disponible reducido a pesar de que de tierras y los radios valores muy proacuteximos a poder trazar estas carretera preciso a veces trazar aacute resulta la foona carac bombillo

Con el fin de reducir al en estas curvas aun s

y dife

deberaacuten analizarse con curva el radio miacutenimo en los bordes interior ocasionada por la circulares in terior y e transicioacuten en dichos transicioacuten es menor en maacuteximo del peralte la para el sobreancho

En estas curvas la importante de foona vehiacuteculos maacutes volurniiJ

---~---

cuenta estas consideraciones al proyectar una curva de enlace especialmente cuando dispone de poco espacio debido por ejemplo a obstaacuteculos construcciones etc Esto obliga a trazar el borde interior de la calzada en forma de un arco de ciacuterculo central con dos curvas de enlace

-iones para el valor miacutenimo ~n tral de acuerdo al aacutengulo ~ulos Tambieacuten considera sobreancho puede hacerse puede dividirse por igual ~xterior dicha transicioacuten ficientemente larga para mente Desde el punto

rde de la calzada en la curva suave contlnua y

ClOn del sobreancho curva y recomienda do con el radio de dad de disentildeo para ho y una mejor

ad de distribuirlo suavizando todo

transicioacuten del acioacuten en tre el de nuevo la ET

spirales a la e disentildeadas

garanuzan un alineamiento cononuo en los bordes de la calzada

En curvas de violin o curvas bombillo de carreteras en terreno montantildeoso y en terreno escarpado

Para trazar una carretera en una montantildea es preciso en los tramos de pendientes fuertes construirla en forma de zigzag por medio de trayectos cortos de gran pendiente unidos por curvas con deflexiones de hasta 180deg En terreno escarpado el espacio disponible para trazar la curva es a veces muy reducido a pesar de que se realicen importantes movimientos de tierras y los radios de las curvas son iguales o tienen valores muy proacuteximos a los miacutenimos preestablecidos para poder trazar estas carreteras en los flancos de las montantildeas es preciso a veces trazar aacutengulos de maacutes de 180deg de donde resulta la forma caracteriacutestica de las llamadas curvas bombillo

Con el ftn de reducir al miacutenimo posible las incomodidades en estas curvas aun siendo las velocidades muy reducidas deberaacuten analizarse con extremada rigurosidad el radio de la curva el radio miacutenimo en el borde interior las pendientes en los bordes interior y exterior (diferencia de pendientes ocasionada por la diferencia en longitudes de las curvas circulares interior y exterior) las longitudes de las espirales de transicioacuten en dichos bordes 0a necesidad del desarrollo de la transicioacuten es menor en el interior que en el exterior) el valor maacuteximo del peralte la magnitud y la posicioacuten maacutes adecuada para el sobreancho

En estas curvas la calzada debe tener un s breancho importante de forma que permita la inscripcioacuten de los vehiacuteculos maacutes voluminosos El peralte deberaacute introducirse

45

progresivamente y de tal fonna que sea constante en toda la extensioacuten de la curva circular deberaacute descartarse la

introduccioacuten brusca del peralte para evitar cambios inadecuados de pendientes en el borde interior de la calzada

Para facilitar la construccioacuten de estas curvas es preciso a veces desviarse un poco de las nonnas relacionadas con las curvas ordinarias colocar el sobreancho casi totalmente por el borde exterior construir en las curvas a la derecha subiendo la seccioacuten transversal con dos pendien tes en la que uacutenicamen te se peralte el carril exterior empezar en casos excepcionales el peralte en la parte recta

De todas maneras seriacutea mucho mas incoacutemodo pasar bruscamente de la recta a la curva circular por lo que se impone la necesidad de utilizar curvas de transicioacuten

El problema del trazado de estas curvas es por lo canco delicado y debe resolverse con el mayor cuidado para que la carretera no resulte peligrosa

En general las longitudes necesarias de las espirales estaacuten determinadas en la mayoriacutea de estos casos por valores establecidos como miacutenimos para dichas transiciones valores que se obtienen tal como se describe en la seccuacutegtn De acuerdo a la recomendacioacuten de la AA5THO

En intersecciones En intersecciones se tienen en cuen ca generalmen te las

consideraciones expuestas en las secciones anteriores Se debe dar priacuteoridad a la comodidad del vlaje y a la apariencia de la carretera por medio del control en el cambio de pendiente de la seccioacuten transversal

46

En una interseccioacuten en la separacioacuten o en la ~oacuten ~e una calzada a otra viacutea es importante el disentildeo de los aline~entos en los bordes --- J__A AQtQ~ ~t

La

----- _-- - --- ~--- ~

progresivamente y de tal forma que sea constante en toda la extensioacuten de la curva circular deberaacute descartarse la

middot ~troduccioacuten brusca del peralte para evitar cambios madecuados de pendientes en el borde interior de la calzada

Para facilitar la constnlCcioacuten de estas curva es preciso a veces desviarse Uf de las normas relacionadas con las curvas orcl ~ obreancho casi totalmente por el bf~ las curvas a la derecha subiendo

uendien tes en la que uacutenicamente 1pezar en casos excepcionales

h maacutes lncoacutemodo pasar va circular por lo que se

s de transicioacuten

urvas es por 10 tanw r cuidad() para ltjue la

le la s espirales estaacuten casos por valo res

nsiClones valores ccioacuten De acuerdo

ralmente las res Se debe iencia de la

l1diente de

En una interseccioacuten en la separacioacuten o en la unioacuten de una calzada a otra viacutea es importante el disentildeo de los alineamientos en los bordes de las calzadas en las zonas donde eacutestasmiddot se apartan o se juntan y la transicioacuten del peralte debe efectuarse de tal forma que la circulacioacuten en la curva resulte coacutemoda segura y esteacuteticamente agradable El drenaje es otro de los factores a tener en cuenta especialmente en pavimentos con cordones o con andenes

La velocidad de disentildeo en general corresponde a la velocidad que desarrollan los vehiacuteculos en ellas si no existen obstaacuteculos a la fluidez del traacutefico no se presentan conflictos con peatones o con otras corrientes de traacutefico y la sentildealizacioacuten es adecuada los vehiacuteculos viajan maacutes raacutepidamente en intersecciones que en curvas similares de carreteras por lo que es posible aplicarles disentildeos maacutes liberales

La AASHTO establece valores miacutenimos para los radios que deben tener las curvas en las intersecciones para diferentes velocidades el ancho que debe tener la calzada y los factores que lo detenninan tambieacuten detalla las foonas de realizar el peraltado y la relacioacuten que debe existir entre la pendiente del eje de la viacutea Y la del borde de la calzada para diferentes tipos de interseccioacuten

Los vehiacuteculos que circulan por una interseccioacuten tambieacuten siguen una trayectoria correspondiente a una curva de transicioacuten En la detenninacioacuten de la longitud para hacer esta transicioacuten por medio de espirales se utilizan dos criterios la adecuada para efectuar la transicioacuten del peralte y la necesaria para que la tasa de cambio de la aceleracioacuten centrifuga proporcione una maniobra confortable y segura

47

El segundo criteno es el maacutes unlizado y la longttud miacutenuna que debe tener la espiral se obtiene por medlO de la foacutermula de

Shortt (2-18) Le~V3I 4666CRc en la que e variacutea desde 075 mi S2 hasta 125 mi S2 para elocidade entre 80 y 30 Kmh respectivamente

En viacuteas urbanas de baja velocidad Los conductores en viacuteas urbanas estaacuten habItuados a tolerar

coeficientes de friccioacuten mayores en las curvas esto puede ser motivado por el hecho de que las viacuteas urbana middot son recorrida lt por conductores que las transitan con mucha frecuencia v por tanto las conocen bien Este conocimiento da mayor confianza al conductor y lo lleya a considerar como pocu peligrosa la fuerza centrifuga que experimenta en determInada curva Una carretera rural en cambio es maacutes frecuentemente usada por conductores que poco la conocen lo cual lo s lleva a ser maacutes temerosos Por tal razoacuten el coeficiente de fnccloacuten pennisible es mayor al de las vIacuteas de alta velocidad y ariacutean desde 030 para 30 kph hasta 0164 para 64 kph velocidad esta que es el limite superior establecido para el disentildeo de viacuteas de baja velocidad

En cuanto al peralte la expenencla en el disentildeo y en la construccioacuten de carretera y calles ha demostrado que no son recomendables peraltes por encima del 10 en especial por las incomodidades que presentan para los conductores que recorren la curva a baja velocidad ya que estos deben accionar la direccioacuten en sentido contrario de la curva con el consiguiente desagrado e incomodidad ademaacutes de que lleva a una conduccioacuten que pudiera llamarse erraacutetica Tambieacuten pueden presentarse problemas con relacioacuten al drenaje de la iacutea y problemas constructivos Por tal razoacuten la AASHTO recomienda un maacuteximo del 10 de peralte para viacuteas rurales Igual nonna establece el Ministerio de Obras Puacuteblicas y

48

Transportes de Colombia Para viacuteas urbanas teniendo en cuenta las menores velocidades que nonnalmente se presentan en estas y las dificultades que se tienen al tratar de ~oner peraltes altos con los paramentos de las edificacl0ne~ adyacentes con las otras viacuteas que se cruzan con la que se esta disentildeando o con las sirven de acceso a las propledade~

es LdLJl-n

centriacutefuga alcanzado despeja (2-18) se

ecuaclOn longitud velocidad

El segundo criterio es el maacutes utilizado y la longItud minuna que debe tener la espual se obtiene por medio de la foacutermula de Shortt (2-18) Le~V3I 4666CRc en la que e varia desde

2075 m8 hasta 125 m82 para -elocidades entre 80 v 30 Kmh respectivamente

En viacuteas urbaop - ~~ baja velocidad Los OV bull urbanas estaacuten habItuado a tolerar

ores en las curvas esto puede ser e las viacuteas urbanas son recorrida ~ tan con mucha frecuencia y po r

ste conocimiento da mavor ea a considerar como p~C()

experimenta en determinada ubio es maacutes frecuentemente

conocen lo cual los Uea a el coeficien re de friccioacuten de alta velocidad y ariacutean 0164 para 64 kph por establecido para e

en el disentildeo en la ostrado yue no son U en especial por

conductores que )s deben aCCIonar

curva con el s de que Uea a Ca Tambieacuten enae de la Iacutea

AASHTO viacuteas rurales Puacuteblicas y

Transportes de Colombia Para viacuteas urbanas teniendo en cuenta las menores velocidades que nonnalmente se presentan en estas y las dificultades que se tienen al tratar de poner peraltes altos con los paramentos de las edificaciones adyacentes con las otras viacuteas que se cruzan con la que se estaacute disentildeando o con las que sirven de acceso a las propiedades aledantildeas etc la AASHTO propone que puede bajarse el maacuteximo hasta el 4 o hasta el 6 en donde se presenten tales dificultades Cuando dichas dificultades no se presenten no hay ninguna razoacuten vaacutelida para no utilizar un peralte maacuteximo del 10 y debe utilizarse este

Puede decirse que en todas las carreteras rurales de una relativa importancia (independientemente de su velocidad de disentildeo) y en todas las autopistas urbanas donde la velocidad sea relativamente alta (mayor de 64 kph) las curvas horizontales se deben disentildear con transiciones con peralte y con el sobreancho resultantes de los requerimientos establecidos

Si en la ecuaClOn baacutesica para el caacutelculo del peralte e+f=y2I 127Re en la que ninguna parte de la fuerza centrifuga se contrarreste con el peralte hasta que no se haya alcanzado el coeficiente de friccioacuten maacuteximo permisible se despeja Re y se reemplaza en la foacutennula de Shortt ecuacioacuten (2-18) se obtiene

(2-22)

ecuacioacuten correspondiente a la dada por la AASHTO para la longitud que debe tener la espiral en viacuteas urbanas de baja velocidad

49

IlNlVERSIOMgt NACIONAL

Para las viacuteas de alta velocidad de disentildeo se especifica una diferencia maacutexima de pendientes entre la de los bordes y la dd eje de transicioacuten por razones de apariencia para las viacuteas urbanas de baja velocidad este criterio se deja a un lado y se utiliza la foacutermula anterior con los siguientes valores de f y de c

Velocidad de disentildeo f kph

32 030 120 40 025 114 48 022 107 56 0195 100 64 0164 091

Las longitudes miacutenimas establecidas por medio de la aplicacioacuten del criterio anterior pueden ajustarse por la s condiciones impuestas relacionadas con la comodidad el drenaje v la esteacutetica

En carreteras de maacutes de dos carriles sin y con separador central

La determinacioacuten de las longitudes miacutenimas de las espirales para carreteras con maacutes de dos carriles estaacute sujeta a las mismas consideraciones teoacutericas relacionadas con las de dos carriles Desde este punto de vista las longitudes de las espirales para carreteras de cuatro carriles deberiacutean ser el doble ue las obtenidas para dos carriles y para las de seis carriles seriacutean el triple estas longitudes son las maacutes adecuadas especialmente cuando esta longitud se utiliza para efectuar la transicioacuten del peralte pero no se acostumbra obtenerlas por medio de esta relacioacuten directa La mayoriacutea de ingenieros estaacuten de acuerdo en que las espirales en estos casos deben ser mayores a las obtenidas para carreteras de dos carriles pero no aceptan el criterio de la proporcionalidad entre la longitud y el ancho

50

~T~ MENlO DE 1I1l10TlltAgt

bU - faculNd d la etamente empiacutericos se llega a

A partl de cntenos ~ e las transiciones d la 1 n 01tudes para electuar

conc1uslon e que s o b- de dos carriles deben ser de los peraltes en carreteras con mas

J veces la lonOUacuterri1 12En carreteras de tres ca es correspondiente a las obt~ -shy

empezar a

Figura 21 Curva de UCLU

Si la curva de

con la recta siguiente magnitud

Esta misma -amp

sera

En la recta no se presenta aceleracioacuten centrifuga ac=O yel incremento total de aceleracioacuten al pasar de la tangente a la curva corresponde a ~Re

Si el vehiacuteculo se desplaza por la tangente y se aproxima a una curva circular al llegar al pe experimenta un cambio suacutebito en la aceleracioacuten centrifuga lo mismo y por estar relacionados ocurre con el radio con la curvatura y demaacutes paraacutemetros o fenoacutemenos asociados situacioacuten semejante a la anterior se presenta en el PT cuando el vehiacuteculo sale de la curva circular Para que este cambio en la aceleracioacuten radial ~ en los demaacutes paraacutemetros asociados) se produzca en forma progresiva seraacute necesario disponer de un elemento entre la recta y el arco circular que proporcione los efectos deseados Si se pretende que la velocidad del vehiacuteculo se conserve que sea constante cualquiera que sea su posicioacuten en recta o en curva por observacioacuten de la ecuacioacuten anterior se deduce que dicho demento deberaacute pennitir de alguna manera una variacioacuten en el radio Lo deseable y lo que se busca es una variacioacuten constante progresiva uniforme o lineal en la aceleracioacuten radial al elemento o curva que se dispone para efecmar este cambio se le conoce como curva de transicioacuten

Si en el enlace entre la tangente y la curva circular de radio Re se dispone de una curva de tranSlCIOn de longitud Legt Figura 8 para que en dicha longitud la aceleracioacuten centriacutefuga pase de O (cero) a ~Re seraacute necesario que se produzca una variacioacuten de la aceleracioacuten por unidad de longitud (aceleracioacuten unitaria) dada por

22

I

tl 11

8

1

1

- ~- --- - - - --lo

iexcl - -- - - _ shy

TANGENTE

ORIGEN

t




~ e


22

I 1 0 11

8

1l

1l

l -s

(

- shy-lt 1 bull

_ ~ _ _ bull - -le


~ ORIGEN




23


2 V

R




(2-2)




24


Homotecia O se



1 12 144 1 2 12 144 2 3 12 144 4 12 144 5 12 144 6 12 144 7 12 144 8 12 144 9 12 144








(2-2)





24



Origen 12 144 O 8 iD 1 12 144 1 144 I

2 12 144 2 72 ~ ~

3 12 144 4 36 4 12 144 9 18

S 12 144 12 12 6 12 144 18 9

7 12 144 36 4 8 12 144 72 2 9 12 144 144 1 0


2 3 4 5ORIGEN iexcl


25



Y ~

= 4

K =

K =8

A=ll1__- -_ _ __ _ _ bull -_ bull


26



De la

donde total de la




reemplazando K2



~lL-____ _______ _______ __oo __ __ __ __ _ ___ _ ___ ___ _ ___

K = 8

=___ __


26







di == R dO



I dI dO =-2

K




27

--

e en radianes (2-4)



2R








28


y

se j8

8

TE

Figura 24



9 en radianes (2-4)




e








28


y


8~-

EC

_ lt- X TE






29


(2-8)

(2-9)


1 5 7 2 4




2 2 2


e integrando

1 ( 2 ) 2 1 (2)4 1 (2)6 Ix=[1-5x2 2K2 +9x4 2K2 -13x6 2K2 + I

I 1 ( 1

2 ) 1 ([2) 3 1 ([2) 5 1 (2) 7 I

Y = [ 3 2K2 - 7x3 2K2 + Ilx5 2K2 -15x7 2K2 +


30







e integrando


30

(2-8)

(2-9)



(2-10)

(2-11 )



31






32

y



Y =K 7i~-I 113-11

Con


- -- - - --






32

-

Kx =-x (2-12) K 11

(2-13)y




33

K=45 ~ 11000

- ~ ~ ~ Y


-1

AS~

~ Ql -_ _---

~ ___~

3i)()- shy _ _- _ ~eo- ~-

-En __ -30-- - ~ -- middot4-(o-


0)_ ~_ O

_-0

~

tJ middot40

~~-30 _ --shy

f

__-_

-shy

-

K=60 11000


34




Entre



--

K=45 11000

~

~


AI)0 -shy

----shy10amp-_ __ -1)

-3tl(tmiddot- - -- AS~ ~8(t-_ __o




_ 11)0- _ _-_ bull -


~ _--_ ~_

jQ


K=60 11000


34






35



F-W=mar r IT


(1)




Fr


ex


36


De la Figura

reemplazando

Dividiendo por

Pero Tana = e

----






ex e -----

1 ~Tanex= e I

-JJ

ex


36









Dividiendo por Cosa



F - We = m a cr

mae -mge=macr

37

Para un radio R




t t



Despejando Le


38


Ex

disentildeo 12 ms2


En caso ecuaClOn

~_ F

Para un radio R




t t



- g e C=_R---c___

Le V

Despejando Le


38


V (V 2

gt - -127e J (2-16)Le - 4666 e Re e



V [V2

)L gt - - - - 127 ec (2-] 7) e - 19 R

e




39



v3

L gt-shy (2-19)e - 28 R

e



I



_ 4 - bull _ _ bull - __ ______ _ _ _ _ __ _ _ _

A Le C


40



y CD 1 m c


I

I 1

t

---



(2-19)



B

o EC

13e

B

o A C EC




40




a ecL gtshye shy m




m = 15625(V) + 75


(2-20)




41





B en radianes





quedando R

L gt ~ (2-21 )e - 9

42





B en radianes


quedando

L gt Re e - 9 (2-21 )

42






43






44






y dife



---~---













45









46


La

----- _-- - --- ~--- ~











l1diente de





47






48


es LdLJl-n

















(2-22)


49




32 030 120 40 025 114 48 022 107 56 0195 100 64 0164 091




50






empezar a




~ e


22

I 1 0 11

8

1l

1l

l -s

(

- shy-lt 1 bull

_ ~ _ _ bull - -le


~ ORIGEN




23


2 V

R




(2-2)




24


Homotecia O se



1 12 144 1 2 12 144 2 3 12 144 4 12 144 5 12 144 6 12 144 7 12 144 8 12 144 9 12 144








(2-2)





24



Origen 12 144 O 8 iD 1 12 144 1 144 I

2 12 144 2 72 ~ ~

3 12 144 4 36 4 12 144 9 18

S 12 144 12 12 6 12 144 18 9

7 12 144 36 4 8 12 144 72 2 9 12 144 144 1 0


2 3 4 5ORIGEN iexcl


25



Y ~

= 4

K =

K =8

A=ll1__- -_ _ __ _ _ bull -_ bull


26



De la

donde total de la




reemplazando K2



~lL-____ _______ _______ __oo __ __ __ __ _ ___ _ ___ ___ _ ___

K = 8

=___ __


26







di == R dO



I dI dO =-2

K




27

--

e en radianes (2-4)



2R








28


y

se j8

8

TE

Figura 24



9 en radianes (2-4)




e








28


y


8~-

EC

_ lt- X TE






29


(2-8)

(2-9)


1 5 7 2 4




2 2 2


e integrando

1 ( 2 ) 2 1 (2)4 1 (2)6 Ix=[1-5x2 2K2 +9x4 2K2 -13x6 2K2 + I

I 1 ( 1

2 ) 1 ([2) 3 1 ([2) 5 1 (2) 7 I

Y = [ 3 2K2 - 7x3 2K2 + Ilx5 2K2 -15x7 2K2 +


30







e integrando


30

(2-8)

(2-9)



(2-10)

(2-11 )



31






32

y



Y =K 7i~-I 113-11

Con


- -- - - --






32

-

Kx =-x (2-12) K 11

(2-13)y




33

K=45 ~ 11000

- ~ ~ ~ Y


-1

AS~

~ Ql -_ _---

~ ___~

3i)()- shy _ _- _ ~eo- ~-

-En __ -30-- - ~ -- middot4-(o-


0)_ ~_ O

_-0

~

tJ middot40

~~-30 _ --shy

f

__-_

-shy

-

K=60 11000


34




Entre



--

K=45 11000

~

~


AI)0 -shy

----shy10amp-_ __ -1)

-3tl(tmiddot- - -- AS~ ~8(t-_ __o




_ 11)0- _ _-_ bull -


~ _--_ ~_

jQ


K=60 11000


34






35



F-W=mar r IT


(1)




Fr


ex


36


De la Figura

reemplazando

Dividiendo por

Pero Tana = e

----






ex e -----

1 ~Tanex= e I

-JJ

ex


36









Dividiendo por Cosa



F - We = m a cr

mae -mge=macr

37

Para un radio R




t t



Despejando Le


38


Ex

disentildeo 12 ms2


En caso ecuaClOn

~_ F

Para un radio R




t t



- g e C=_R---c___

Le V

Despejando Le


38


V (V 2

gt - -127e J (2-16)Le - 4666 e Re e



V [V2

)L gt - - - - 127 ec (2-] 7) e - 19 R

e




39



v3

L gt-shy (2-19)e - 28 R

e



I



_ 4 - bull _ _ bull - __ ______ _ _ _ _ __ _ _ _

A Le C


40



y CD 1 m c


I

I 1

t

---



(2-19)



B

o EC

13e

B

o A C EC




40




a ecL gtshye shy m




m = 15625(V) + 75


(2-20)




41





B en radianes





quedando R

L gt ~ (2-21 )e - 9

42





B en radianes


quedando

L gt Re e - 9 (2-21 )

42






43






44






y dife



---~---













45









46


La

----- _-- - --- ~--- ~











l1diente de





47






48


es LdLJl-n

















(2-22)


49




32 030 120 40 025 114 48 022 107 56 0195 100 64 0164 091




50






empezar a


2 V

R




(2-2)




24


Homotecia O se



1 12 144 1 2 12 144 2 3 12 144 4 12 144 5 12 144 6 12 144 7 12 144 8 12 144 9 12 144








(2-2)





24



Origen 12 144 O 8 iD 1 12 144 1 144 I

2 12 144 2 72 ~ ~

3 12 144 4 36 4 12 144 9 18

S 12 144 12 12 6 12 144 18 9

7 12 144 36 4 8 12 144 72 2 9 12 144 144 1 0


2 3 4 5ORIGEN iexcl


25



Y ~

= 4

K =

K =8

A=ll1__- -_ _ __ _ _ bull -_ bull


26



De la

donde total de la




reemplazando K2



~lL-____ _______ _______ __oo __ __ __ __ _ ___ _ ___ ___ _ ___

K = 8

=___ __


26







di == R dO



I dI dO =-2

K




27

--

e en radianes (2-4)



2R








28


y

se j8

8

TE

Figura 24



9 en radianes (2-4)




e








28


y


8~-

EC

_ lt- X TE






29


(2-8)

(2-9)


1 5 7 2 4




2 2 2


e integrando

1 ( 2 ) 2 1 (2)4 1 (2)6 Ix=[1-5x2 2K2 +9x4 2K2 -13x6 2K2 + I

I 1 ( 1

2 ) 1 ([2) 3 1 ([2) 5 1 (2) 7 I

Y = [ 3 2K2 - 7x3 2K2 + Ilx5 2K2 -15x7 2K2 +


30







e integrando


30

(2-8)

(2-9)



(2-10)

(2-11 )



31






32

y



Y =K 7i~-I 113-11

Con


- -- - - --






32

-

Kx =-x (2-12) K 11

(2-13)y




33

K=45 ~ 11000

- ~ ~ ~ Y


-1

AS~

~ Ql -_ _---

~ ___~

3i)()- shy _ _- _ ~eo- ~-

-En __ -30-- - ~ -- middot4-(o-


0)_ ~_ O

_-0

~

tJ middot40

~~-30 _ --shy

f

__-_

-shy

-

K=60 11000


34




Entre



--

K=45 11000

~

~


AI)0 -shy

----shy10amp-_ __ -1)

-3tl(tmiddot- - -- AS~ ~8(t-_ __o




_ 11)0- _ _-_ bull -


~ _--_ ~_

jQ


K=60 11000


34






35



F-W=mar r IT


(1)




Fr


ex


36


De la Figura

reemplazando

Dividiendo por

Pero Tana = e

----






ex e -----

1 ~Tanex= e I

-JJ

ex


36









Dividiendo por Cosa



F - We = m a cr

mae -mge=macr

37

Para un radio R




t t



Despejando Le


38


Ex

disentildeo 12 ms2


En caso ecuaClOn

~_ F

Para un radio R




t t



- g e C=_R---c___

Le V

Despejando Le


38


V (V 2

gt - -127e J (2-16)Le - 4666 e Re e



V [V2

)L gt - - - - 127 ec (2-] 7) e - 19 R

e




39



v3

L gt-shy (2-19)e - 28 R

e



I



_ 4 - bull _ _ bull - __ ______ _ _ _ _ __ _ _ _

A Le C


40



y CD 1 m c


I

I 1

t

---



(2-19)



B

o EC

13e

B

o A C EC




40




a ecL gtshye shy m




m = 15625(V) + 75


(2-20)




41





B en radianes





quedando R

L gt ~ (2-21 )e - 9

42





B en radianes


quedando

L gt Re e - 9 (2-21 )

42






43






44






y dife



---~---













45









46


La

----- _-- - --- ~--- ~











l1diente de





47






48


es LdLJl-n

















(2-22)


49




32 030 120 40 025 114 48 022 107 56 0195 100 64 0164 091




50






empezar a








(2-2)





24



Origen 12 144 O 8 iD 1 12 144 1 144 I

2 12 144 2 72 ~ ~

3 12 144 4 36 4 12 144 9 18

S 12 144 12 12 6 12 144 18 9

7 12 144 36 4 8 12 144 72 2 9 12 144 144 1 0


2 3 4 5ORIGEN iexcl


25



Y ~

= 4

K =

K =8

A=ll1__- -_ _ __ _ _ bull -_ bull


26



De la

donde total de la




reemplazando K2



~lL-____ _______ _______ __oo __ __ __ __ _ ___ _ ___ ___ _ ___

K = 8

=___ __


26







di == R dO



I dI dO =-2

K




27

--

e en radianes (2-4)



2R








28


y

se j8

8

TE

Figura 24



9 en radianes (2-4)




e








28


y


8~-

EC

_ lt- X TE






29


(2-8)

(2-9)


1 5 7 2 4




2 2 2


e integrando

1 ( 2 ) 2 1 (2)4 1 (2)6 Ix=[1-5x2 2K2 +9x4 2K2 -13x6 2K2 + I

I 1 ( 1

2 ) 1 ([2) 3 1 ([2) 5 1 (2) 7 I

Y = [ 3 2K2 - 7x3 2K2 + Ilx5 2K2 -15x7 2K2 +


30







e integrando


30

(2-8)

(2-9)



(2-10)

(2-11 )



31






32

y



Y =K 7i~-I 113-11

Con


- -- - - --






32

-

Kx =-x (2-12) K 11

(2-13)y




33

K=45 ~ 11000

- ~ ~ ~ Y


-1

AS~

~ Ql -_ _---

~ ___~

3i)()- shy _ _- _ ~eo- ~-

-En __ -30-- - ~ -- middot4-(o-


0)_ ~_ O

_-0

~

tJ middot40

~~-30 _ --shy

f

__-_

-shy

-

K=60 11000


34




Entre



--

K=45 11000

~

~


AI)0 -shy

----shy10amp-_ __ -1)

-3tl(tmiddot- - -- AS~ ~8(t-_ __o




_ 11)0- _ _-_ bull -


~ _--_ ~_

jQ


K=60 11000


34






35



F-W=mar r IT


(1)




Fr


ex


36


De la Figura

reemplazando

Dividiendo por

Pero Tana = e

----






ex e -----

1 ~Tanex= e I

-JJ

ex


36









Dividiendo por Cosa



F - We = m a cr

mae -mge=macr

37

Para un radio R




t t



Despejando Le


38


Ex

disentildeo 12 ms2


En caso ecuaClOn

~_ F

Para un radio R




t t



- g e C=_R---c___

Le V

Despejando Le


38


V (V 2

gt - -127e J (2-16)Le - 4666 e Re e



V [V2

)L gt - - - - 127 ec (2-] 7) e - 19 R

e




39



v3

L gt-shy (2-19)e - 28 R

e



I



_ 4 - bull _ _ bull - __ ______ _ _ _ _ __ _ _ _

A Le C


40



y CD 1 m c


I

I 1

t

---



(2-19)



B

o EC

13e

B

o A C EC




40




a ecL gtshye shy m




m = 15625(V) + 75


(2-20)




41





B en radianes





quedando R

L gt ~ (2-21 )e - 9

42





B en radianes


quedando

L gt Re e - 9 (2-21 )

42






43






44






y dife



---~---













45









46


La

----- _-- - --- ~--- ~











l1diente de





47






48


es LdLJl-n

















(2-22)


49




32 030 120 40 025 114 48 022 107 56 0195 100 64 0164 091




50






empezar a



Y ~

= 4

K =

K =8

A=ll1__- -_ _ __ _ _ bull -_ bull


26



De la

donde total de la




reemplazando K2



~lL-____ _______ _______ __oo __ __ __ __ _ ___ _ ___ ___ _ ___

K = 8

=___ __


26







di == R dO



I dI dO =-2

K




27

--

e en radianes (2-4)



2R








28


y

se j8

8

TE

Figura 24



9 en radianes (2-4)




e








28


y


8~-

EC

_ lt- X TE






29


(2-8)

(2-9)


1 5 7 2 4




2 2 2


e integrando

1 ( 2 ) 2 1 (2)4 1 (2)6 Ix=[1-5x2 2K2 +9x4 2K2 -13x6 2K2 + I

I 1 ( 1

2 ) 1 ([2) 3 1 ([2) 5 1 (2) 7 I

Y = [ 3 2K2 - 7x3 2K2 + Ilx5 2K2 -15x7 2K2 +


30







e integrando


30

(2-8)

(2-9)



(2-10)

(2-11 )



31






32

y



Y =K 7i~-I 113-11

Con


- -- - - --






32

-

Kx =-x (2-12) K 11

(2-13)y




33

K=45 ~ 11000

- ~ ~ ~ Y


-1

AS~

~ Ql -_ _---

~ ___~

3i)()- shy _ _- _ ~eo- ~-

-En __ -30-- - ~ -- middot4-(o-


0)_ ~_ O

_-0

~

tJ middot40

~~-30 _ --shy

f

__-_

-shy

-

K=60 11000


34




Entre



--

K=45 11000

~

~


AI)0 -shy

----shy10amp-_ __ -1)

-3tl(tmiddot- - -- AS~ ~8(t-_ __o




_ 11)0- _ _-_ bull -


~ _--_ ~_

jQ


K=60 11000


34






35



F-W=mar r IT


(1)




Fr


ex


36


De la Figura

reemplazando

Dividiendo por

Pero Tana = e

----






ex e -----

1 ~Tanex= e I

-JJ

ex


36









Dividiendo por Cosa



F - We = m a cr

mae -mge=macr

37

Para un radio R




t t



Despejando Le


38


Ex

disentildeo 12 ms2


En caso ecuaClOn

~_ F

Para un radio R




t t



- g e C=_R---c___

Le V

Despejando Le


38


V (V 2

gt - -127e J (2-16)Le - 4666 e Re e



V [V2

)L gt - - - - 127 ec (2-] 7) e - 19 R

e




39



v3

L gt-shy (2-19)e - 28 R

e



I



_ 4 - bull _ _ bull - __ ______ _ _ _ _ __ _ _ _

A Le C


40



y CD 1 m c


I

I 1

t

---



(2-19)



B

o EC

13e

B

o A C EC




40




a ecL gtshye shy m




m = 15625(V) + 75


(2-20)




41





B en radianes





quedando R

L gt ~ (2-21 )e - 9

42





B en radianes


quedando

L gt Re e - 9 (2-21 )

42






43






44






y dife



---~---













45









46


La

----- _-- - --- ~--- ~











l1diente de





47






48


es LdLJl-n

















(2-22)


49




32 030 120 40 025 114 48 022 107 56 0195 100 64 0164 091




50






empezar a



~lL-____ _______ _______ __oo __ __ __ __ _ ___ _ ___ ___ _ ___

K = 8

=___ __


26







di == R dO



I dI dO =-2

K




27

--

e en radianes (2-4)



2R








28


y

se j8

8

TE

Figura 24



9 en radianes (2-4)




e








28


y


8~-

EC

_ lt- X TE






29


(2-8)

(2-9)


1 5 7 2 4




2 2 2


e integrando

1 ( 2 ) 2 1 (2)4 1 (2)6 Ix=[1-5x2 2K2 +9x4 2K2 -13x6 2K2 + I

I 1 ( 1

2 ) 1 ([2) 3 1 ([2) 5 1 (2) 7 I

Y = [ 3 2K2 - 7x3 2K2 + Ilx5 2K2 -15x7 2K2 +


30







e integrando


30

(2-8)

(2-9)



(2-10)

(2-11 )



31






32

y



Y =K 7i~-I 113-11

Con


- -- - - --






32

-

Kx =-x (2-12) K 11

(2-13)y




33

K=45 ~ 11000

- ~ ~ ~ Y


-1

AS~

~ Ql -_ _---

~ ___~

3i)()- shy _ _- _ ~eo- ~-

-En __ -30-- - ~ -- middot4-(o-


0)_ ~_ O

_-0

~

tJ middot40

~~-30 _ --shy

f

__-_

-shy

-

K=60 11000


34




Entre



--

K=45 11000

~

~


AI)0 -shy

----shy10amp-_ __ -1)

-3tl(tmiddot- - -- AS~ ~8(t-_ __o




_ 11)0- _ _-_ bull -


~ _--_ ~_

jQ


K=60 11000


34






35



F-W=mar r IT


(1)




Fr


ex


36


De la Figura

reemplazando

Dividiendo por

Pero Tana = e

----






ex e -----

1 ~Tanex= e I

-JJ

ex


36









Dividiendo por Cosa



F - We = m a cr

mae -mge=macr

37

Para un radio R




t t



Despejando Le


38


Ex

disentildeo 12 ms2


En caso ecuaClOn

~_ F

Para un radio R




t t



- g e C=_R---c___

Le V

Despejando Le


38


V (V 2

gt - -127e J (2-16)Le - 4666 e Re e



V [V2

)L gt - - - - 127 ec (2-] 7) e - 19 R

e




39



v3

L gt-shy (2-19)e - 28 R

e



I



_ 4 - bull _ _ bull - __ ______ _ _ _ _ __ _ _ _

A Le C


40



y CD 1 m c


I

I 1

t

---



(2-19)



B

o EC

13e

B

o A C EC




40




a ecL gtshye shy m




m = 15625(V) + 75


(2-20)




41





B en radianes





quedando R

L gt ~ (2-21 )e - 9

42





B en radianes


quedando

L gt Re e - 9 (2-21 )

42






43






44






y dife



---~---













45









46


La

----- _-- - --- ~--- ~











l1diente de





47






48


es LdLJl-n

















(2-22)


49




32 030 120 40 025 114 48 022 107 56 0195 100 64 0164 091




50






empezar a

--

e en radianes (2-4)



2R








28


y

se j8

8

TE

Figura 24



9 en radianes (2-4)




e








28


y


8~-

EC

_ lt- X TE






29


(2-8)

(2-9)


1 5 7 2 4




2 2 2


e integrando

1 ( 2 ) 2 1 (2)4 1 (2)6 Ix=[1-5x2 2K2 +9x4 2K2 -13x6 2K2 + I

I 1 ( 1

2 ) 1 ([2) 3 1 ([2) 5 1 (2) 7 I

Y = [ 3 2K2 - 7x3 2K2 + Ilx5 2K2 -15x7 2K2 +


30







e integrando


30

(2-8)

(2-9)



(2-10)

(2-11 )



31






32

y



Y =K 7i~-I 113-11

Con


- -- - - --






32

-

Kx =-x (2-12) K 11

(2-13)y




33

K=45 ~ 11000

- ~ ~ ~ Y


-1

AS~

~ Ql -_ _---

~ ___~

3i)()- shy _ _- _ ~eo- ~-

-En __ -30-- - ~ -- middot4-(o-


0)_ ~_ O

_-0

~

tJ middot40

~~-30 _ --shy

f

__-_

-shy

-

K=60 11000


34




Entre



--

K=45 11000

~

~


AI)0 -shy

----shy10amp-_ __ -1)

-3tl(tmiddot- - -- AS~ ~8(t-_ __o




_ 11)0- _ _-_ bull -


~ _--_ ~_

jQ


K=60 11000


34






35



F-W=mar r IT


(1)




Fr


ex


36


De la Figura

reemplazando

Dividiendo por

Pero Tana = e

----






ex e -----

1 ~Tanex= e I

-JJ

ex


36









Dividiendo por Cosa



F - We = m a cr

mae -mge=macr

37

Para un radio R




t t



Despejando Le


38


Ex

disentildeo 12 ms2


En caso ecuaClOn

~_ F

Para un radio R




t t



- g e C=_R---c___

Le V

Despejando Le


38


V (V 2

gt - -127e J (2-16)Le - 4666 e Re e



V [V2

)L gt - - - - 127 ec (2-] 7) e - 19 R

e




39



v3

L gt-shy (2-19)e - 28 R

e



I



_ 4 - bull _ _ bull - __ ______ _ _ _ _ __ _ _ _

A Le C


40



y CD 1 m c


I

I 1

t

---



(2-19)



B

o EC

13e

B

o A C EC




40




a ecL gtshye shy m




m = 15625(V) + 75


(2-20)




41





B en radianes





quedando R

L gt ~ (2-21 )e - 9

42





B en radianes


quedando

L gt Re e - 9 (2-21 )

42






43






44






y dife



---~---













45









46


La

----- _-- - --- ~--- ~











l1diente de





47






48


es LdLJl-n

















(2-22)


49




32 030 120 40 025 114 48 022 107 56 0195 100 64 0164 091




50






empezar a

9 en radianes (2-4)




e








28


y


8~-

EC

_ lt- X TE






29


(2-8)

(2-9)


1 5 7 2 4




2 2 2


e integrando

1 ( 2 ) 2 1 (2)4 1 (2)6 Ix=[1-5x2 2K2 +9x4 2K2 -13x6 2K2 + I

I 1 ( 1

2 ) 1 ([2) 3 1 ([2) 5 1 (2) 7 I

Y = [ 3 2K2 - 7x3 2K2 + Ilx5 2K2 -15x7 2K2 +


30







e integrando


30

(2-8)

(2-9)



(2-10)

(2-11 )



31






32

y



Y =K 7i~-I 113-11

Con


- -- - - --






32

-

Kx =-x (2-12) K 11

(2-13)y




33

K=45 ~ 11000

- ~ ~ ~ Y


-1

AS~

~ Ql -_ _---

~ ___~

3i)()- shy _ _- _ ~eo- ~-

-En __ -30-- - ~ -- middot4-(o-


0)_ ~_ O

_-0

~

tJ middot40

~~-30 _ --shy

f

__-_

-shy

-

K=60 11000


34




Entre



--

K=45 11000

~

~


AI)0 -shy

----shy10amp-_ __ -1)

-3tl(tmiddot- - -- AS~ ~8(t-_ __o




_ 11)0- _ _-_ bull -


~ _--_ ~_

jQ


K=60 11000


34






35



F-W=mar r IT


(1)




Fr


ex


36


De la Figura

reemplazando

Dividiendo por

Pero Tana = e

----






ex e -----

1 ~Tanex= e I

-JJ

ex


36









Dividiendo por Cosa



F - We = m a cr

mae -mge=macr

37

Para un radio R




t t



Despejando Le


38


Ex

disentildeo 12 ms2


En caso ecuaClOn

~_ F

Para un radio R




t t



- g e C=_R---c___

Le V

Despejando Le


38


V (V 2

gt - -127e J (2-16)Le - 4666 e Re e



V [V2

)L gt - - - - 127 ec (2-] 7) e - 19 R

e




39



v3

L gt-shy (2-19)e - 28 R

e



I



_ 4 - bull _ _ bull - __ ______ _ _ _ _ __ _ _ _

A Le C


40



y CD 1 m c


I

I 1

t

---



(2-19)



B

o EC

13e

B

o A C EC




40




a ecL gtshye shy m




m = 15625(V) + 75


(2-20)




41





B en radianes





quedando R

L gt ~ (2-21 )e - 9

42





B en radianes


quedando

L gt Re e - 9 (2-21 )

42






43






44






y dife



---~---













45









46


La

----- _-- - --- ~--- ~











l1diente de





47






48


es LdLJl-n

















(2-22)


49




32 030 120 40 025 114 48 022 107 56 0195 100 64 0164 091




50






empezar a


(2-8)

(2-9)


1 5 7 2 4




2 2 2


e integrando

1 ( 2 ) 2 1 (2)4 1 (2)6 Ix=[1-5x2 2K2 +9x4 2K2 -13x6 2K2 + I

I 1 ( 1

2 ) 1 ([2) 3 1 ([2) 5 1 (2) 7 I

Y = [ 3 2K2 - 7x3 2K2 + Ilx5 2K2 -15x7 2K2 +


30







e integrando


30

(2-8)

(2-9)



(2-10)

(2-11 )



31






32

y



Y =K 7i~-I 113-11

Con


- -- - - --






32

-

Kx =-x (2-12) K 11

(2-13)y




33

K=45 ~ 11000

- ~ ~ ~ Y


-1

AS~

~ Ql -_ _---

~ ___~

3i)()- shy _ _- _ ~eo- ~-

-En __ -30-- - ~ -- middot4-(o-


0)_ ~_ O

_-0

~

tJ middot40

~~-30 _ --shy

f

__-_

-shy

-

K=60 11000


34




Entre



--

K=45 11000

~

~


AI)0 -shy

----shy10amp-_ __ -1)

-3tl(tmiddot- - -- AS~ ~8(t-_ __o




_ 11)0- _ _-_ bull -


~ _--_ ~_

jQ


K=60 11000


34






35



F-W=mar r IT


(1)




Fr


ex


36


De la Figura

reemplazando

Dividiendo por

Pero Tana = e

----






ex e -----

1 ~Tanex= e I

-JJ

ex


36









Dividiendo por Cosa



F - We = m a cr

mae -mge=macr

37

Para un radio R




t t



Despejando Le


38


Ex

disentildeo 12 ms2


En caso ecuaClOn

~_ F

Para un radio R




t t



- g e C=_R---c___

Le V

Despejando Le


38


V (V 2

gt - -127e J (2-16)Le - 4666 e Re e



V [V2

)L gt - - - - 127 ec (2-] 7) e - 19 R

e




39



v3

L gt-shy (2-19)e - 28 R

e



I



_ 4 - bull _ _ bull - __ ______ _ _ _ _ __ _ _ _

A Le C


40



y CD 1 m c


I

I 1

t

---



(2-19)



B

o EC

13e

B

o A C EC




40




a ecL gtshye shy m




m = 15625(V) + 75


(2-20)




41





B en radianes





quedando R

L gt ~ (2-21 )e - 9

42





B en radianes


quedando

L gt Re e - 9 (2-21 )

42






43






44






y dife



---~---













45









46


La

----- _-- - --- ~--- ~











l1diente de





47






48


es LdLJl-n

















(2-22)


49




32 030 120 40 025 114 48 022 107 56 0195 100 64 0164 091




50






empezar a







e integrando


30

(2-8)

(2-9)



(2-10)

(2-11 )



31






32

y



Y =K 7i~-I 113-11

Con


- -- - - --






32

-

Kx =-x (2-12) K 11

(2-13)y




33

K=45 ~ 11000

- ~ ~ ~ Y


-1

AS~

~ Ql -_ _---

~ ___~

3i)()- shy _ _- _ ~eo- ~-

-En __ -30-- - ~ -- middot4-(o-


0)_ ~_ O

_-0

~

tJ middot40

~~-30 _ --shy

f

__-_

-shy

-

K=60 11000


34




Entre



--

K=45 11000

~

~


AI)0 -shy

----shy10amp-_ __ -1)

-3tl(tmiddot- - -- AS~ ~8(t-_ __o




_ 11)0- _ _-_ bull -


~ _--_ ~_

jQ


K=60 11000


34






35



F-W=mar r IT


(1)




Fr


ex


36


De la Figura

reemplazando

Dividiendo por

Pero Tana = e

----






ex e -----

1 ~Tanex= e I

-JJ

ex


36









Dividiendo por Cosa



F - We = m a cr

mae -mge=macr

37

Para un radio R




t t



Despejando Le


38


Ex

disentildeo 12 ms2


En caso ecuaClOn

~_ F

Para un radio R




t t



- g e C=_R---c___

Le V

Despejando Le


38


V (V 2

gt - -127e J (2-16)Le - 4666 e Re e



V [V2

)L gt - - - - 127 ec (2-] 7) e - 19 R

e




39



v3

L gt-shy (2-19)e - 28 R

e



I



_ 4 - bull _ _ bull - __ ______ _ _ _ _ __ _ _ _

A Le C


40



y CD 1 m c


I

I 1

t

---



(2-19)



B

o EC

13e

B

o A C EC




40




a ecL gtshye shy m




m = 15625(V) + 75


(2-20)




41





B en radianes





quedando R

L gt ~ (2-21 )e - 9

42





B en radianes


quedando

L gt Re e - 9 (2-21 )

42






43






44






y dife



---~---













45









46


La

----- _-- - --- ~--- ~











l1diente de





47






48


es LdLJl-n

















(2-22)


49




32 030 120 40 025 114 48 022 107 56 0195 100 64 0164 091




50






empezar a






32

y



Y =K 7i~-I 113-11

Con


- -- - - --






32

-

Kx =-x (2-12) K 11

(2-13)y




33

K=45 ~ 11000

- ~ ~ ~ Y


-1

AS~

~ Ql -_ _---

~ ___~

3i)()- shy _ _- _ ~eo- ~-

-En __ -30-- - ~ -- middot4-(o-


0)_ ~_ O

_-0

~

tJ middot40

~~-30 _ --shy

f

__-_

-shy

-

K=60 11000


34




Entre



--

K=45 11000

~

~


AI)0 -shy

----shy10amp-_ __ -1)

-3tl(tmiddot- - -- AS~ ~8(t-_ __o




_ 11)0- _ _-_ bull -


~ _--_ ~_

jQ


K=60 11000


34






35



F-W=mar r IT


(1)




Fr


ex


36


De la Figura

reemplazando

Dividiendo por

Pero Tana = e

----






ex e -----

1 ~Tanex= e I

-JJ

ex


36









Dividiendo por Cosa



F - We = m a cr

mae -mge=macr

37

Para un radio R




t t



Despejando Le


38


Ex

disentildeo 12 ms2


En caso ecuaClOn

~_ F

Para un radio R




t t



- g e C=_R---c___

Le V

Despejando Le


38


V (V 2

gt - -127e J (2-16)Le - 4666 e Re e



V [V2

)L gt - - - - 127 ec (2-] 7) e - 19 R

e




39



v3

L gt-shy (2-19)e - 28 R

e



I



_ 4 - bull _ _ bull - __ ______ _ _ _ _ __ _ _ _

A Le C


40



y CD 1 m c


I

I 1

t

---



(2-19)



B

o EC

13e

B

o A C EC




40




a ecL gtshye shy m




m = 15625(V) + 75


(2-20)




41





B en radianes





quedando R

L gt ~ (2-21 )e - 9

42





B en radianes


quedando

L gt Re e - 9 (2-21 )

42






43






44






y dife



---~---













45









46


La

----- _-- - --- ~--- ~











l1diente de





47






48


es LdLJl-n

















(2-22)


49




32 030 120 40 025 114 48 022 107 56 0195 100 64 0164 091




50






empezar a

- -- - - --






32

-

Kx =-x (2-12) K 11

(2-13)y




33

K=45 ~ 11000

- ~ ~ ~ Y


-1

AS~

~ Ql -_ _---

~ ___~

3i)()- shy _ _- _ ~eo- ~-

-En __ -30-- - ~ -- middot4-(o-


0)_ ~_ O

_-0

~

tJ middot40

~~-30 _ --shy

f

__-_

-shy

-

K=60 11000


34




Entre



--

K=45 11000

~

~


AI)0 -shy

----shy10amp-_ __ -1)

-3tl(tmiddot- - -- AS~ ~8(t-_ __o




_ 11)0- _ _-_ bull -


~ _--_ ~_

jQ


K=60 11000


34






35



F-W=mar r IT


(1)




Fr


ex


36


De la Figura

reemplazando

Dividiendo por

Pero Tana = e

----






ex e -----

1 ~Tanex= e I

-JJ

ex


36









Dividiendo por Cosa



F - We = m a cr

mae -mge=macr

37

Para un radio R




t t



Despejando Le


38


Ex

disentildeo 12 ms2


En caso ecuaClOn

~_ F

Para un radio R




t t



- g e C=_R---c___

Le V

Despejando Le


38


V (V 2

gt - -127e J (2-16)Le - 4666 e Re e



V [V2

)L gt - - - - 127 ec (2-] 7) e - 19 R

e




39



v3

L gt-shy (2-19)e - 28 R

e



I



_ 4 - bull _ _ bull - __ ______ _ _ _ _ __ _ _ _

A Le C


40



y CD 1 m c


I

I 1

t

---



(2-19)



B

o EC

13e

B

o A C EC




40




a ecL gtshye shy m




m = 15625(V) + 75


(2-20)




41





B en radianes





quedando R

L gt ~ (2-21 )e - 9

42





B en radianes


quedando

L gt Re e - 9 (2-21 )

42






43






44






y dife



---~---













45









46


La

----- _-- - --- ~--- ~











l1diente de





47






48


es LdLJl-n

















(2-22)


49




32 030 120 40 025 114 48 022 107 56 0195 100 64 0164 091




50






empezar a

K=45 ~ 11000

- ~ ~ ~ Y


-1

AS~

~ Ql -_ _---

~ ___~

3i)()- shy _ _- _ ~eo- ~-

-En __ -30-- - ~ -- middot4-(o-


0)_ ~_ O

_-0

~

tJ middot40

~~-30 _ --shy

f

__-_

-shy

-

K=60 11000


34




Entre



--

K=45 11000

~

~


AI)0 -shy

----shy10amp-_ __ -1)

-3tl(tmiddot- - -- AS~ ~8(t-_ __o




_ 11)0- _ _-_ bull -


~ _--_ ~_

jQ


K=60 11000


34






35



F-W=mar r IT


(1)




Fr


ex


36


De la Figura

reemplazando

Dividiendo por

Pero Tana = e

----






ex e -----

1 ~Tanex= e I

-JJ

ex


36









Dividiendo por Cosa



F - We = m a cr

mae -mge=macr

37

Para un radio R




t t



Despejando Le


38


Ex

disentildeo 12 ms2


En caso ecuaClOn

~_ F

Para un radio R




t t



- g e C=_R---c___

Le V

Despejando Le


38


V (V 2

gt - -127e J (2-16)Le - 4666 e Re e



V [V2

)L gt - - - - 127 ec (2-] 7) e - 19 R

e




39



v3

L gt-shy (2-19)e - 28 R

e



I



_ 4 - bull _ _ bull - __ ______ _ _ _ _ __ _ _ _

A Le C


40



y CD 1 m c


I

I 1

t

---



(2-19)



B

o EC

13e

B

o A C EC




40




a ecL gtshye shy m




m = 15625(V) + 75


(2-20)




41





B en radianes





quedando R

L gt ~ (2-21 )e - 9

42





B en radianes


quedando

L gt Re e - 9 (2-21 )

42






43






44






y dife



---~---













45









46


La

----- _-- - --- ~--- ~











l1diente de





47






48


es LdLJl-n

















(2-22)


49




32 030 120 40 025 114 48 022 107 56 0195 100 64 0164 091




50






empezar a

--

K=45 11000

~

~


AI)0 -shy

----shy10amp-_ __ -1)

-3tl(tmiddot- - -- AS~ ~8(t-_ __o




_ 11)0- _ _-_ bull -


~ _--_ ~_

jQ


K=60 11000


34






35



F-W=mar r IT


(1)




Fr


ex


36


De la Figura

reemplazando

Dividiendo por

Pero Tana = e

----






ex e -----

1 ~Tanex= e I

-JJ

ex


36









Dividiendo por Cosa



F - We = m a cr

mae -mge=macr

37

Para un radio R




t t



Despejando Le


38


Ex

disentildeo 12 ms2


En caso ecuaClOn

~_ F

Para un radio R




t t



- g e C=_R---c___

Le V

Despejando Le


38


V (V 2

gt - -127e J (2-16)Le - 4666 e Re e



V [V2

)L gt - - - - 127 ec (2-] 7) e - 19 R

e




39



v3

L gt-shy (2-19)e - 28 R

e



I



_ 4 - bull _ _ bull - __ ______ _ _ _ _ __ _ _ _

A Le C


40



y CD 1 m c


I

I 1

t

---



(2-19)



B

o EC

13e

B

o A C EC




40




a ecL gtshye shy m




m = 15625(V) + 75


(2-20)




41





B en radianes





quedando R

L gt ~ (2-21 )e - 9

42





B en radianes


quedando

L gt Re e - 9 (2-21 )

42






43






44






y dife



---~---













45









46


La

----- _-- - --- ~--- ~











l1diente de





47






48


es LdLJl-n

















(2-22)


49




32 030 120 40 025 114 48 022 107 56 0195 100 64 0164 091




50






empezar a



F-W=mar r IT


(1)




Fr


ex


36


De la Figura

reemplazando

Dividiendo por

Pero Tana = e

----






ex e -----

1 ~Tanex= e I

-JJ

ex


36









Dividiendo por Cosa



F - We = m a cr

mae -mge=macr

37

Para un radio R




t t



Despejando Le


38


Ex

disentildeo 12 ms2


En caso ecuaClOn

~_ F

Para un radio R




t t



- g e C=_R---c___

Le V

Despejando Le


38


V (V 2

gt - -127e J (2-16)Le - 4666 e Re e



V [V2

)L gt - - - - 127 ec (2-] 7) e - 19 R

e




39



v3

L gt-shy (2-19)e - 28 R

e



I



_ 4 - bull _ _ bull - __ ______ _ _ _ _ __ _ _ _

A Le C


40



y CD 1 m c


I

I 1

t

---



(2-19)



B

o EC

13e

B

o A C EC




40




a ecL gtshye shy m




m = 15625(V) + 75


(2-20)




41





B en radianes





quedando R

L gt ~ (2-21 )e - 9

42





B en radianes


quedando

L gt Re e - 9 (2-21 )

42






43






44






y dife



---~---













45









46


La

----- _-- - --- ~--- ~











l1diente de





47






48


es LdLJl-n

















(2-22)


49




32 030 120 40 025 114 48 022 107 56 0195 100 64 0164 091




50






empezar a

----






ex e -----

1 ~Tanex= e I

-JJ

ex


36









Dividiendo por Cosa



F - We = m a cr

mae -mge=macr

37

Para un radio R




t t



Despejando Le


38


Ex

disentildeo 12 ms2


En caso ecuaClOn

~_ F

Para un radio R




t t



- g e C=_R---c___

Le V

Despejando Le


38


V (V 2

gt - -127e J (2-16)Le - 4666 e Re e



V [V2

)L gt - - - - 127 ec (2-] 7) e - 19 R

e




39



v3

L gt-shy (2-19)e - 28 R

e



I



_ 4 - bull _ _ bull - __ ______ _ _ _ _ __ _ _ _

A Le C


40



y CD 1 m c


I

I 1

t

---



(2-19)



B

o EC

13e

B

o A C EC




40




a ecL gtshye shy m




m = 15625(V) + 75


(2-20)




41





B en radianes





quedando R

L gt ~ (2-21 )e - 9

42





B en radianes


quedando

L gt Re e - 9 (2-21 )

42






43






44






y dife



---~---













45









46


La

----- _-- - --- ~--- ~











l1diente de





47






48


es LdLJl-n

















(2-22)


49




32 030 120 40 025 114 48 022 107 56 0195 100 64 0164 091




50






empezar a

Para un radio R




t t



Despejando Le


38


Ex

disentildeo 12 ms2


En caso ecuaClOn

~_ F

Para un radio R




t t



- g e C=_R---c___

Le V

Despejando Le


38


V (V 2

gt - -127e J (2-16)Le - 4666 e Re e



V [V2

)L gt - - - - 127 ec (2-] 7) e - 19 R

e




39



v3

L gt-shy (2-19)e - 28 R

e



I



_ 4 - bull _ _ bull - __ ______ _ _ _ _ __ _ _ _

A Le C


40



y CD 1 m c


I

I 1

t

---



(2-19)



B

o EC

13e

B

o A C EC




40




a ecL gtshye shy m




m = 15625(V) + 75


(2-20)




41





B en radianes





quedando R

L gt ~ (2-21 )e - 9

42





B en radianes


quedando

L gt Re e - 9 (2-21 )

42






43






44






y dife



---~---













45









46


La

----- _-- - --- ~--- ~











l1diente de





47






48


es LdLJl-n

















(2-22)


49




32 030 120 40 025 114 48 022 107 56 0195 100 64 0164 091




50






empezar a

Para un radio R




t t



- g e C=_R---c___

Le V

Despejando Le


38


V (V 2

gt - -127e J (2-16)Le - 4666 e Re e



V [V2

)L gt - - - - 127 ec (2-] 7) e - 19 R

e




39



v3

L gt-shy (2-19)e - 28 R

e



I



_ 4 - bull _ _ bull - __ ______ _ _ _ _ __ _ _ _

A Le C


40



y CD 1 m c


I

I 1

t

---



(2-19)



B

o EC

13e

B

o A C EC




40




a ecL gtshye shy m




m = 15625(V) + 75


(2-20)




41





B en radianes





quedando R

L gt ~ (2-21 )e - 9

42





B en radianes


quedando

L gt Re e - 9 (2-21 )

42






43






44






y dife



---~---













45









46


La

----- _-- - --- ~--- ~











l1diente de





47






48


es LdLJl-n

















(2-22)


49




32 030 120 40 025 114 48 022 107 56 0195 100 64 0164 091




50






empezar a



v3

L gt-shy (2-19)e - 28 R

e



I



_ 4 - bull _ _ bull - __ ______ _ _ _ _ __ _ _ _

A Le C


40



y CD 1 m c


I

I 1

t

---



(2-19)



B

o EC

13e

B

o A C EC




40




a ecL gtshye shy m




m = 15625(V) + 75


(2-20)




41





B en radianes





quedando R

L gt ~ (2-21 )e - 9

42





B en radianes


quedando

L gt Re e - 9 (2-21 )

42






43






44






y dife



---~---













45









46


La

----- _-- - --- ~--- ~











l1diente de





47






48


es LdLJl-n

















(2-22)


49




32 030 120 40 025 114 48 022 107 56 0195 100 64 0164 091




50






empezar a

---



(2-19)



B

o EC

13e

B

o A C EC




40




a ecL gtshye shy m




m = 15625(V) + 75


(2-20)




41





B en radianes





quedando R

L gt ~ (2-21 )e - 9

42





B en radianes


quedando

L gt Re e - 9 (2-21 )

42






43






44






y dife



---~---













45









46


La

----- _-- - --- ~--- ~











l1diente de





47






48


es LdLJl-n

















(2-22)


49




32 030 120 40 025 114 48 022 107 56 0195 100 64 0164 091




50






empezar a





B en radianes





quedando R

L gt ~ (2-21 )e - 9

42





B en radianes


quedando

L gt Re e - 9 (2-21 )

42






43






44






y dife



---~---













45









46


La

----- _-- - --- ~--- ~











l1diente de





47






48


es LdLJl-n

















(2-22)


49




32 030 120 40 025 114 48 022 107 56 0195 100 64 0164 091




50






empezar a





B en radianes


quedando

L gt Re e - 9 (2-21 )

42






43






44






y dife



---~---













45









46


La

----- _-- - --- ~--- ~











l1diente de





47






48


es LdLJl-n

















(2-22)


49




32 030 120 40 025 114 48 022 107 56 0195 100 64 0164 091




50






empezar a






44






y dife



---~---













45









46


La

----- _-- - --- ~--- ~











l1diente de





47






48


es LdLJl-n

















(2-22)


49




32 030 120 40 025 114 48 022 107 56 0195 100 64 0164 091




50






empezar a

---~---













45









46


La

----- _-- - --- ~--- ~











l1diente de





47






48


es LdLJl-n

















(2-22)


49




32 030 120 40 025 114 48 022 107 56 0195 100 64 0164 091




50






empezar a









46


La

----- _-- - --- ~--- ~











l1diente de





47






48


es LdLJl-n

















(2-22)


49




32 030 120 40 025 114 48 022 107 56 0195 100 64 0164 091




50






empezar a

----- _-- - --- ~--- ~











l1diente de





47






48


es LdLJl-n

















(2-22)


49




32 030 120 40 025 114 48 022 107 56 0195 100 64 0164 091




50






empezar a






48


es LdLJl-n

















(2-22)


49




32 030 120 40 025 114 48 022 107 56 0195 100 64 0164 091




50






empezar a















(2-22)


49




32 030 120 40 025 114 48 022 107 56 0195 100 64 0164 091




50






empezar a




32 030 120 40 025 114 48 022 107 56 0195 100 64 0164 091




50






empezar a

ecuación o ley de curvatura de la clotoide

Documents