prof. giuseppe abatematteo liceo scientifico einstein mottola (ta) gli insiemi 2^parte le operazioni
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Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO “EINSTEIN” MOTTOLA (TA)
GLI INSIEMIGLI
INSIEMI2^PARTE
LE OPERAZIONI
2^PARTELE OPERAZIONI
Prof. Giuseppe Abatematteo LICEO SCIENTIFICO “EINSTEIN” MOTTOLA (TA)
INTERSEZIONE “A B”
A
B
è l’insieme degli elementiche appartengono contemporaneamente
ad A e a Bcioè gli elementi in comune
Scriveremo:
A B
A B = xx A x B ^ simbolo di congiunzione , si legge: e contemporaneamente simbolo di congiunzione , si legge: e contemporaneamente^
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A Ba d
c
b e f
g
h
l
i
C
m n
esempio - intersezione fra tre insiemi
A = a; b; c; d; e; f
B = d; e; f; g; h; i; l
C = m; n; d
Dati gli insiemi:
Trovare: A B C
Solo l’elemento d appartiene contemporaneamente ai tre insiemi,
quindi: A B C = {d}
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CASI PARTICOLARI di INTERSEZIONE
A A = A
A =
se B A allora A B = B
A Ā =
A U = A
se A B = , A e B si dicono DISGIUNTI
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UNIONE “A B”
AB
A B
è l’insieme degli elementi che appartengono ad A “o” a B,
cioè ad almeno uno dei due insiemi dati
A B = xx A v x B V simbolo di disgiunzione si legge: “o” – “oppure” V simbolo di disgiunzione si legge: “o” – “oppure”
Scriveremo:
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CASI PARTICOLARI DELL’UNIONE
A A = A
A = A
se B A allora A B = A
A Ā= U
se A e B sono insiemi disgiunti
allora A B è formata da tutti gli
elementi di A e di B
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AB
a d
c
b e f
g
h
l
i
A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l
A B = d; e; f A B = a; b; c; d; e; f; g; h; i; l
A B esempi A B
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DIFFERENZA. “A - B”
A B
si tolgono ad A tutti gli elementi che appartengono a B (cioè A B)
è l’insieme formato da tutti gli elementi di A che non appartengono a B
Scriveremo:
A - B = xx A x B ^
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A B
esempi: differenza A - B e B - A
A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l
a d
c
b e
f
g
h
l
i
A - B = a; b; c B - A = g; h; i; l
si noti che A - B ≠ B-A
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A - A =
A - = A
se A B = allora A - B = A e B - A = B
se B A allora B - A =
CASI PARTICOLARI DELLA DIFFERENZA
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INSIEME DELLE PARTI “P(A)”
Aa
c b
A = a; b; c;
a; b; c
dato un insieme A, si definisce insieme delle parti di A e si
indica con P(A)l’insieme di tutti i SOTTOINSIEMI
propri e impropri di A.
a b c a; b a; c b; c
P(A) = ; a; b; c; a; b; a; c; b; c; a; b; c
Si noti che gli elementi di P(A) sono INSIEMI
Se A contiene n elementi, P(A) contiene 2n sottoinsiemi
dato l’insieme A di fig. tutti i suoi sottoinsiemi sono:
quindi:
Nell’es. di fig. si ha: n =3 → 23 =8
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PARTIZIONE DI UN INSIEME
A
Ai A e Ai , i
A1
A2
A3
A4
A5
ogni sottoinsieme è proprio
Ai Ak = con i ki sottoinsiemi sono
a due a due disgiunti
A1 A2 A3 A4 A5 = Al’unione di tutti i
sottoinsiemi dà l’insieme A
1
2
3
dato un insieme A, si consideri un certo numero n di suoi sottoinsiemi (che
indichiamo con Ai)si dice che questi sottoinsiemi formano una
partizione di A se:
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PRODOTTO CARTESIANO
dato due insiemi A e B, considerati gli elementi x A e y B, si definisce prodotto cartesiano dei due insiemi A e B (si indica A x B, si legge A cartesiano B), l’insieme formato da tutte le possibili coppie ordinate (x; y)
A x B = (x; y)x A e y B
es. Dati gli insiemi: A = a; b; c; e B = 1; 2
A a
b
c
B
1
2
A x B = (a; 1), (a; 2), (b; 1), (b; 2), (c; 1), (c; 2)
Scriveremo:
avremo:
(è un insieme di coppie di elementi)
IL NUMERO DELLE COPPIE ORDINATE CHE COMPONGONO IL PRODOTTO CARTESIANO E’ UGUALE AL PRODOTTO FRA I NUMERI DEGLI ELEMENTI DI CIASCUN INSIEME Nell’es. rappresentato avremo: 3x2 =6 coppie.
IL NUMERO DELLE COPPIE ORDINATE CHE COMPONGONO IL PRODOTTO CARTESIANO E’ UGUALE AL PRODOTTO FRA I NUMERI DEGLI ELEMENTI DI CIASCUN INSIEME Nell’es. rappresentato avremo: 3x2 =6 coppie.
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RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL PRODOTTO CARTESIANO
Rappresentazione SAGITTALE
Rappresentazione CARTESIANA
a
b
c
1 2
AB
a c
1
2
b A
B
x
y
•sull’asse x si rappresentano nell’ordine gli elementi di A•sull’asse y si rappresentano nell’ordine gli elementi di BOGNI PUNTO RAPPRESENTA UNA COPPIA ORDINATA DI ELEMENTI
1 (a;1) (b;1) (c;1)
2 (a;2) (b;2) (c;2)
B/A a b c
Rappresentazione mediante TABELLE A DOPPIA ENTRATA
RAPPRESENTAZIONE DELL’ES. PRECEDENTE:
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OSSERVAZIONI SUL PRODOTTO CARTESIANO
ogni coppia è una coppia ordinata di elementi, quindi: (x; y) (y; x)
A x A = A2
di conseguenza: A x B B x A
A x B x C B x A x C B x A x C A x C x B ….
se m, n, p sono il numero degli elementi degli insiemi A, B, C allora l’insieme prodotto cartesiano dei tre insiemi conterrà mxnxp elementi.
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il diagramma ad alberoEsso è utile per determinare l’insieme di tutte le possibili “coppie” ordinate di un prodotto cartesiano. Es. Siano dati gli insiemi: B = ; C = 1; 2; 3A = a; b
a
123
e si voglia determinare il prodotto cartesiano A x B x C
123
b
123
123
(a; ; 1)(a; ; 2)(a; ; 3)
(a; ; 1)(a; ; 2)(a; ; 3)
(b; ; 1)
(b; ; 2)(b; ; 3)
(b; ; 1)(b; ; 2)(b; ; 3)
SI DISPONGONO GLI ELEMENTI DI OGNI INSIEME, IN ORDINE, COME IN FIG.
Nel nostro caso non avremo delle “coppie” ma delle “terne” ordinate di elementi.
Per la determinazione è sufficiente seguire il percorso delle frecce
ESERCIZIO: ESEGUIRE IL PROD. CARTES.
C x B x A
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A Ba d
c
b e f
g
h
l
i
C
m n
Esercizio - intersezione e differenza fra insiemi
A = a; b; c; d; e; f
B = d; e; f; g; h; i; l
C = m; n; d
Dati gli insiemi:
Trovare: C – ( A B)
C – (A B ) = {m; n}
A B = d; e; ftroviamo prima A B :
quindi:
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A B
C
Esercizio - intersezione e differenza fra insiemi
Dati gli insiemi A, B, C
Individuare quale espressione fra insiemi rappresenta l’area
evidenziata:
(B C ) – A
Notiamo che è una parte fra l’intersezione di B con C (C B) ma
che non appartiene ad A … quindi
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A B
C
Esercizio - unione e differenza fra insiemi
Dati gli insiemi A, B, C
Individuare quale espressione fra insiemi rappresenta l’area
evidenziata:
(A B ) – C
Notiamo che è una parte fra l’unione di A con B (A B) ma
che non appartiene ad C … quindi
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A
B
C
Esercizio - intersezione, unione e differenza fra insiemi
Dati gli insiemi A, B, C
Individuare quale espressione fra insiemi rappresenta l’area
evidenziata:
C – (A B )Notiamo che: una 1^parte rappresenta C meno gli elementi di A e B
(A B ) – Cuna 2^parte rappresenta gli elementi in comune fra A e B ma che non appartengono a C
Quindi la l’area evidenziata è l’unione fra le due parti [C – (A B )] [(A B ) – C]
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A B = B A
LE PROPRIETA’ DEGLI INSIEMI
A B = B A
Propr. COMMUTATIVA
(A B) C = A (B C)
(A B) C = A (B C)
Propr. ASSOCIATIVA
A (B C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C)
Propr. DISTRIBUTIVA
A (A C) = A
A (A C) = A
Propr. dell’ ASSORBIMENTO
A B = A B
A B = B A
LEGGI di DE MORGAN